HASILKALI TRANSFORMASI

Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, denganF = V VG = V V

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G 0 F didefinisikansebagai :( G 0 F ) (P) = G [ F (P) ] . V P V

Teorema 5.1 :Jika F : V V dan G : V V masing masing suatu transformasi, maka hasilkali H = G 0 F : V V adalah juga suatu transformasi

Buktikan :Untuk inni harus di buktikan dua hal yaitu 1) H subjektif . 2) H injektif1) Oleh karena F transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V dan daerah asal G juga seluruh V sebab G transformasi juga.ambil y V ; apakah ada x sehingga H(x) y?karena G transformasi maka untuk setiap y V ada z V sehingga y = G(z). karena F suatu transformasi maka pada z ini ada x V sehingga z = F(x).Maka y = G atau y = (G o F) (x). Jadi y = H(x).2) Untuk membuktikan bahwa H injektif, harus kita perlihatka bahwa kalau P Q maka H(P) H(Q).Andaikan H(P) = H(Q), maka G = G oleh karena G injektif maka F(P) = F(Q). Karena F injektif maka pula P = Q. ini bertentangan dengan pengandaian bahwa P Q.jadi pemisalan bahwa H(P) = H(Q) tidak benar.sehingga haruslah H(P) H(Q)Catatan:Dengan jalan yang serupa dapat pula dibuktikan bahwa hasilkali F o G juga suatu transformasi.

Contoh soal :Andaikan G sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V V yang didefinisikan sbagai berikut ; jika X g maka T(X) = X

jika X g maka T ( X ) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak lurus Xh

T(X)

Jelas T suatu transformasi (Buktikan). Apakah T suatu isometric? Ambil kemudian transformasi kedua, misalnya sebagai berikut:Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah refleksi pada garis h. jadi hasil kali Mh adalah suatu transformasi pula sehingga Y = ( Mh o T)(X).apakah hasilkali ini suatu transformasi?pada contoh diatas kebetulan Mh o T = T o Mh . Untuk semua ini ambilah garis g sebagai sumbu X suatu sistem h dan g kita ambil sebagai titik asal.Andaikan X = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2 y) dan Mh = (-x, 1/2 y)selanjutnya perhatikan (T o Mh) (X) = T kalau X = (x,y) , maka Mh (x) = (-x, y) dan T = (-x, 1/2 y)oleh karena Mh T

yang berlaku untuk semua X V. Jadi Mh o T = T o Mhakan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku.

Tampak bahwa Mh [T ( x) ] T[Mh (X)]. Jadi Mh o T T o Mh Dari contoh di atas dapat di katakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S

Buktikanlah bahwa memang Mh [T ( x) ] T[Mh (X)] pada gambar. Hasilkali transformasi yang telah di bahas di atas tidak hanya terbatas pada dua transformasiAndaikan T1 , T2, transformasi transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasilkali T1 o T2 kemudian dikalikan dengan T3 untuk hasil kali transformasi kita tulis T3 (T1 , T2)

Jadi andaikan :P=T1, (P), Ph = 2(P) . P = T3(P3).maka(T3 (T2 . T1 ) (P) = T3 (T2 . T1 (P))= T3 (T2 (T1 (P))

= (T3 (T2 (P))= T3 (P) = Pkita juga dapat mengalikan sebagai berikut

((T3 T2) T1) (P)= (T3 T2) (T1 (P))= (T3 T2) (P)= T3 (T2 (P))= T3 (P) = Pjadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif, kita dapat juga mengatakan bahwa: