grup12

GRUP

ALJABAR ABSTRAK

GUSTINA ELFIYANTI

UIN SYAHID JAKARTA

30 SEPTEMBER 2009

GRUP

GRUP PENGERTIAN GRUPBEBERAPA SIFAT GRUP

Pendahuluan

Pada bab ini akan diperkenalkan siitem matematika yangdisebut grup.

Kita menggunakan notasi (X , �) untuk menyatakan sistemmatematika yang dibentuk oleh himpunan X dan operasi �.Perhatikan bahwa secara implisit kita menganggap bahwa Xtidak kosong.

GRUP


Pendahuluan


Kita menggunakan notasi (X , �) untuk menyatakan sistemmatematika yang dibentuk oleh himpunan X dan operasi �.

Perhatikan bahwa secara implisit kita menganggap bahwa Xtidak kosong.

GRUP


Pendahuluan


Kita menggunakan notasi (X , �) untuk menyatakan sistemmatematika yang dibentuk oleh himpunan X dan operasi �.Perhatikan bahwa secara implisit kita menganggap bahwa Xtidak kosong.

GRUP


Latar Belakang

Kesimetrian dan permutasi-permutasi di dalam alam dandalam matematika dapat digambarkan dengan baik oleh objekaljabar yang disebut grup.

Contoh :Dengan menggunakan teori grup kita dapatmenentukan semua simetri yang dapat terjadi dalam ruangberdimensi dua atau tiga.Konsep dasar teori grup muncul bersamaan denganpenyelidikan permutasi-permutasi dari himpunan-himpunanterhingga dalam teori-teori dari persamaan.Salah satu tujuan yang dicapai oleh para matematikawan padaawal abad ke-19 adalah ditemukannya metode untukmenyelesaikan persamaan-persamaan polinom berderajat 5.Evariste Galois (1811-1832) mengembangkan sebuah teoriyang lengkap, yang menghubungkan sebuah persamaandengan grup permutasi dari akar-akar persamaan itu, dikenaldengan Teori Galois.

GRUP


Latar Belakang

Kesimetrian dan permutasi-permutasi di dalam alam dandalam matematika dapat digambarkan dengan baik oleh objekaljabar yang disebut grup.Contoh :Dengan menggunakan teori grup kita dapatmenentukan semua simetri yang dapat terjadi dalam ruangberdimensi dua atau tiga.

Konsep dasar teori grup muncul bersamaan denganpenyelidikan permutasi-permutasi dari himpunan-himpunanterhingga dalam teori-teori dari persamaan.Salah satu tujuan yang dicapai oleh para matematikawan padaawal abad ke-19 adalah ditemukannya metode untukmenyelesaikan persamaan-persamaan polinom berderajat 5.Evariste Galois (1811-1832) mengembangkan sebuah teoriyang lengkap, yang menghubungkan sebuah persamaandengan grup permutasi dari akar-akar persamaan itu, dikenaldengan Teori Galois.

GRUP


Latar Belakang

Kesimetrian dan permutasi-permutasi di dalam alam dandalam matematika dapat digambarkan dengan baik oleh objekaljabar yang disebut grup.Contoh :Dengan menggunakan teori grup kita dapatmenentukan semua simetri yang dapat terjadi dalam ruangberdimensi dua atau tiga.Konsep dasar teori grup muncul bersamaan denganpenyelidikan permutasi-permutasi dari himpunan-himpunanterhingga dalam teori-teori dari persamaan.

Salah satu tujuan yang dicapai oleh para matematikawan padaawal abad ke-19 adalah ditemukannya metode untukmenyelesaikan persamaan-persamaan polinom berderajat 5.Evariste Galois (1811-1832) mengembangkan sebuah teoriyang lengkap, yang menghubungkan sebuah persamaandengan grup permutasi dari akar-akar persamaan itu, dikenaldengan Teori Galois.

GRUP


Latar Belakang

Kesimetrian dan permutasi-permutasi di dalam alam dandalam matematika dapat digambarkan dengan baik oleh objekaljabar yang disebut grup.Contoh :Dengan menggunakan teori grup kita dapatmenentukan semua simetri yang dapat terjadi dalam ruangberdimensi dua atau tiga.Konsep dasar teori grup muncul bersamaan denganpenyelidikan permutasi-permutasi dari himpunan-himpunanterhingga dalam teori-teori dari persamaan.Salah satu tujuan yang dicapai oleh para matematikawan padaawal abad ke-19 adalah ditemukannya metode untukmenyelesaikan persamaan-persamaan polinom berderajat 5.

Evariste Galois (1811-1832) mengembangkan sebuah teoriyang lengkap, yang menghubungkan sebuah persamaandengan grup permutasi dari akar-akar persamaan itu, dikenaldengan Teori Galois.

GRUP


Latar Belakang

Kesimetrian dan permutasi-permutasi di dalam alam dandalam matematika dapat digambarkan dengan baik oleh objekaljabar yang disebut grup.Contoh :Dengan menggunakan teori grup kita dapatmenentukan semua simetri yang dapat terjadi dalam ruangberdimensi dua atau tiga.Konsep dasar teori grup muncul bersamaan denganpenyelidikan permutasi-permutasi dari himpunan-himpunanterhingga dalam teori-teori dari persamaan.Salah satu tujuan yang dicapai oleh para matematikawan padaawal abad ke-19 adalah ditemukannya metode untukmenyelesaikan persamaan-persamaan polinom berderajat 5.Evariste Galois (1811-1832) mengembangkan sebuah teoriyang lengkap, yang menghubungkan sebuah persamaandengan grup permutasi dari akar-akar persamaan itu, dikenaldengan Teori Galois.

GRUP


Pengertian Grup

De�nitionHimpunan G dikatakan membentuk grup jika pada G dapatdide�nisikan operasi � sedemikian sehingga:

a � (b � c) = (a � b) � c untuk setiap a, b, c 2 G(Operasi � bersifat asosiatif).

Terdapat e 2 G yang memenuhia � e = e � a = a untuk setiap a 2 G(G memiliki unsur identitas terhadap operasi �).Untuk setiap a 2 G terdapat unsur a�1 2 G yang memenuhia � a�1 = a�1 � a = e(G memiliki unsur balikan terhadap operasi �).

GRUP


Pengertian Grup


a � (b � c) = (a � b) � c untuk setiap a, b, c 2 G(Operasi � bersifat asosiatif).Terdapat e 2 G yang memenuhia � e = e � a = a untuk setiap a 2 G(G memiliki unsur identitas terhadap operasi �).

Untuk setiap a 2 G terdapat unsur a�1 2 G yang memenuhia � a�1 = a�1 � a = e(G memiliki unsur balikan terhadap operasi �).

GRUP


Pengertian Grup


a � (b � c) = (a � b) � c untuk setiap a, b, c 2 G(Operasi � bersifat asosiatif).Terdapat e 2 G yang memenuhia � e = e � a = a untuk setiap a 2 G(G memiliki unsur identitas terhadap operasi �).Untuk setiap a 2 G terdapat unsur a�1 2 G yang memenuhia � a�1 = a�1 � a = e(G memiliki unsur balikan terhadap operasi �).

GRUP


Pengertian Grup

Jika G terhadap operasi � merupakan grup, maka cukupditulis (G , �)

GRUP


Grup Abel, Grup Aditif dan Grup Multiplikatif

De�nitions

Grup (G , �) disebut:Grup komutatif atau grup Abel, jika operasi � pada gruptersebut bersifat komutatif, yaitua � b = b � a untuk setiap a, b 2 G .

Grup Aditif jika � operasi penjumlahan.Grup Multiplikatif jika � operasi perkalian.

GRUP



De�nitions

Grup (G , �) disebut:Grup komutatif atau grup Abel, jika operasi � pada gruptersebut bersifat komutatif, yaitua � b = b � a untuk setiap a, b 2 G .Grup Aditif jika � operasi penjumlahan.

Grup Multiplikatif jika � operasi perkalian.

GRUP



De�nitions

Grup (G , �) disebut:Grup komutatif atau grup Abel, jika operasi � pada gruptersebut bersifat komutatif, yaitua � b = b � a untuk setiap a, b 2 G .Grup Aditif jika � operasi penjumlahan.Grup Multiplikatif jika � operasi perkalian.

GRUP


Contoh-contoh Grup

Examples1 Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasipenjumlahan biasa (Z,+) merupakan grup Abel, karenaa+ b = b+ a, 8a, b 2 Z

2 Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasipengurangan biasa (Z,+) bukan grup, karena pengurangantak asosiatif.

3 Himpunan Z4 =�0, 1, 2, 3

terhadap operasi penjumlahan

modulo 4 merupakan grup. Secara umumZn =

�0, 1, � � � , n� 1,


modulo n merupakan grup (Buktikan [PR no1 untuk lot 9]).4 Himpunan Z4 =

�0, 1, 2, 3

terhadap operasi perkalian

modulo 4 bukan grup. Secara umum Zn =�0, 2, � � � , n� 1,

terhadap operasi perkalian modulo n bukan grup(Mengapa,Buktikan [PR no1 untuk lot 10]).

GRUP


Contoh-contoh Grup



3 Himpunan Z4 =�0, 1, 2, 3



�0, 1, � � � , n� 1,


modulo n merupakan grup (Buktikan [PR no1 untuk lot 9]).

4 Himpunan Z4 =�0, 1, 2, 3




GRUP


Contoh-contoh Grup



3 Himpunan Z4 =�0, 1, 2, 3



�0, 1, � � � , n� 1,


modulo n merupakan grup (Buktikan [PR no1 untuk lot 9]).4 Himpunan Z4 =

�0, 1, 2, 3




GRUP


Penyederhanaan Notasi

Guna memudahkan notasi untuk selanjutnya:

G menyatakan suatu grup.

Operasi a � b untuk sebarang a, b 2 G cukup ditulis ab.

GRUP


Order dari Grup

De�nition

Banyaknya elemen (kardinalitas) dari grup G disebut dengan orderdari G ditulis jG j .

Example

Jika G = (Zn,+) maka order dari G adalah n, ditulis jG j = n

GRUP


Tabel Cayley suatu Grup

Jika order dari G kecil (banyaknya elemen dari G sedikit),maka untuk melihat sifat-sifatnya kita dapat menyusun tabelCayley hasil operasi dari setiap pasang elemen di G .

Untuk memudahkan dalam melihat sifat-sifatnya makapenyusunan tabel selalu memperhatikan hal berikut:

Elemen identitas ditulis pertama kali.Urutan penulisan elemen-elemen yang disusun mendatar samadengan urutan elemen-elemen yang disusun menurun.Elemen pertama dalam pengoperasian diambil darielemen-elemen yang disusun menurun dan elemen keduanyadiambil dari elemen-elemen yang disusun mendatar.Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap barismaupun kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.

GRUP



Jika order dari G kecil (banyaknya elemen dari G sedikit),maka untuk melihat sifat-sifatnya kita dapat menyusun tabelCayley hasil operasi dari setiap pasang elemen di G .Untuk memudahkan dalam melihat sifat-sifatnya makapenyusunan tabel selalu memperhatikan hal berikut:


GRUP




Elemen identitas ditulis pertama kali.

Urutan penulisan elemen-elemen yang disusun mendatar samadengan urutan elemen-elemen yang disusun menurun.Elemen pertama dalam pengoperasian diambil darielemen-elemen yang disusun menurun dan elemen keduanyadiambil dari elemen-elemen yang disusun mendatar.Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap barismaupun kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.

GRUP




Elemen identitas ditulis pertama kali.Urutan penulisan elemen-elemen yang disusun mendatar samadengan urutan elemen-elemen yang disusun menurun.

Elemen pertama dalam pengoperasian diambil darielemen-elemen yang disusun menurun dan elemen keduanyadiambil dari elemen-elemen yang disusun mendatar.Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap barismaupun kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.

GRUP




Elemen identitas ditulis pertama kali.Urutan penulisan elemen-elemen yang disusun mendatar samadengan urutan elemen-elemen yang disusun menurun.Elemen pertama dalam pengoperasian diambil darielemen-elemen yang disusun menurun dan elemen keduanyadiambil dari elemen-elemen yang disusun mendatar.

Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap barismaupun kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.

GRUP





GRUP


Contoh Tabel Cayley

Misalkan G = (Z5,+) =�0, 1, 2, 3, 4

, maka tabel Cayley dari G

adalah seperti berikut:

+ 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

GRUP


Grup Dihedral D8

Example

Misalkan ABCD merupakan sudut-sudut dari suatu bujur sangkar

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Kita dapat merotasikan bujur sangkar dititik pusatnya searah jarumjam dengan sudut sebesar θi = i 2π

4 , i = 0, 1, 2, 3 yaitu denganpemetaan

θ1 =

�A B C DB C D A

�

θ2 =

�A B C DC D A B

�= θ1 � θ1 = θ21

θ3 =

�A B C DD A B C

�= θ1 � θ2 = θ2 � θ1 = θ31

θ0 =

�A B C DA B C D

�= θ1 � θ3 = θ3 � θ1 = θ41

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Kita dapat merotasikan bujur sangkar dititik pusatnya searah jarumjam dengan sudut sebesar θi = i 2π

4 , i = 0, 1, 2, 3 yaitu denganpemetaan

θ1 =

�A B C DB C D A

�θ2 =

�A B C DC D A B

�= θ1 � θ1 = θ21

θ3 =

�A B C DD A B C

�= θ1 � θ2 = θ2 � θ1 = θ31

θ0 =

�A B C DA B C D

�= θ1 � θ3 = θ3 � θ1 = θ41

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Misalkan α, β,γ, σ berturut adalah re�eksi terhadap sumbuu, v , f , g , yaitu:

α =

�A B C DD C B A

�

β =

�A B C DB A D C

�γ =

�A B C DA D C B

�σ =

�A B C DC B A D

�

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


α =

�A B C DD C B A

�β =

�A B C DB A D C

�

γ =

�A B C DA D C B

�σ =

�A B C DC B A D

�

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


α =

�A B C DD C B A

�β =

�A B C DB A D C

�γ =

�A B C DA D C B

�

σ =

�A B C DC B A D

�

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


α =

�A B C DD C B A

�β =

�A B C DB A D C

�γ =

�A B C DA D C B

�σ =

�A B C DC B A D

�

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Perhatikan bahwa:

αθ0 = α � θ0 =

�A B C DD C B A

��

�A B C DA B C D

�

=

�A B C DD C B A

�= α

αθ1 = α � θ1 =

�A B C DD C B A

��

�A B C DB C D A

�

=

�A B C DA D C B

�= γ

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

αθ2 = α � θ2 =

�A B C DD C B A

��

�A B C DC D A B

�

=

�A B C DB A D C

�= β

αθ3 = α � θ3 =

�A B C DD C B A

��

�A B C DD A B C

�

=

�A B C DC B A D

�= σ

Jadi D8 = fθ0, θ1, θ2, θ3, α, αθ1, αθ2, αθ3g

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Akan diperiksa apakah Himpunan D8 terhadap operasi komposisi �merupakan suatu grup:

Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)

Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.

Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:

Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasi

karena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasi

Kontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.

Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.

Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)


Akan diperiksa apakah � operasi pada D8 (� tertutup di D8)Misal θ, δ 2 D8 dengan θ suatu rotasi dan δ suatu re�eksiterhadap sumbu simetri.Akan diperiksa apakah θδ dan δθ suatu re�eksi pada sumbusimetri:Andaikan θδ suatu rotasikarena θ3 suatu rotasi maka θ3 (θδ) = θ4δ = θ0δ = δ suaturotasiKontradiksi dengan δ suatu re�eksi.Jadi haruslah θδ suatu re�eksi pada sumbu simetri, dengancara yang serupa begitu juga dengan δθ.Jadi � tertutup di D8

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Tabel Cayley dari D8 terhadap operasi � adalah sebagai berikut:

� θ0 θ1 θ2 θ3 α γ β σ

θ0 θ0 θ1 θ2 θ3 α γ β σ

θ1 θ1θ2 θ2θ3 θ3α α

γ γ

β β

σ σ

[PR no2 untuk lot 9: Lengkapi Tabel Cayley di atas]

GRUP


Grup Dihedral D8

Example (Lanjutan)

Jelas operasi komposisi bersifat asosiatif

Terdapat unsur identias di D8 yaitu θ0

Setiap unsur di D8 memiliki balikan

θ�10 = θ0 , θ�11 = θ3 , θ�12 = θ2 , θ�13 = θ1

α�1 = α , γ�1 = γ , β�1 = β , σ�1 = σ

Jadi D8 dengan operasi komposisi membentuk grup.

GRUP


Unsur Identitas dan Balikan di Grup

TheoremMisalkan G suatu grup, maka:

1 Unsur identitas di G tunggal.

2 Unsur balikan di G tunggal.3 Setiap a 2 G berlaku

�a�1

��1= a

4 Setiap a 2 G berlaku (ab)�1 = b�1a�1

Proof.

[PR no.1 untuk lot 11]


GRUP




1 Unsur identitas di G tunggal.2 Unsur balikan di G tunggal.

3 Setiap a 2 G berlaku�a�1

��1= a


Proof.



GRUP




1 Unsur identitas di G tunggal.2 Unsur balikan di G tunggal.3 Setiap a 2 G berlaku

�a�1

��1= a


Proof.



GRUP



Proof.Misalkan G grup, akan dibuktikan untuk setiap a 2 G berlaku�a�1

��1= a

Ambil sebarang a 2 G .Karena G grup maka terdapat a�1 2 GPerhatikan bahwa:

a�1�a�1

��1= e

a�a�1

�a�1

��1�= ae (operasikan kedua ruas dg e)�

aa�1� �a�1

��1= ae (sifar assoasiatif operasi)

e�a�1

��1= a =)

�a�1

��1= a

Jadi untuk setiap a 2 G berlaku�a�1

��1= a

GRUP




��1= a

Ambil sebarang a 2 G .

Karena G grup maka terdapat a�1 2 GPerhatikan bahwa:

a�1�a�1

��1= e

a�a�1

�a�1


aa�1� �a�1


e�a�1

��1= a =)

�a�1

��1= a


��1= a

GRUP




��1= a

Ambil sebarang a 2 G .Karena G grup maka terdapat a�1 2 G

Perhatikan bahwa:

a�1�a�1

��1= e

a�a�1

�a�1


aa�1� �a�1


e�a�1

��1= a =)

�a�1

��1= a


��1= a

GRUP




��1= a

Ambil sebarang a 2 G .Karena G grup maka terdapat a�1 2 GPerhatikan bahwa:

a�1�a�1

��1= e

a�a�1

�a�1


aa�1� �a�1


e�a�1

��1= a =)

�a�1

��1= a


��1= a

GRUP


Ketunggalan Solusi Persamaan dan Hukum Pembatalan

TheoremMisalkan G grup dan a, b 2 G, maka persamaan

ax = b dan ya = b

mempunyai solusi tunggal di G dan berlaku hukum pembatalan kiridan kanan di G, yaitu:

au = aw =) u = w

ua = wa =) u = w

GRUP


Proof.

[(Solusi Persamaan)]

Misalkan G grup dan a, b sebarang unsur di G

Klaim

x = a�1b solusi dari ax = b dan

y = ba�1 solusi dari ya = b

Bukti klaim

Perhatikan bahwa

ax = a�a�1b

�=�aa�1

�b = eb = b

danya =

�ba�1

�a = b

�aa�1

�= be = b

Jadi x = a�1b dan y = ba�1masing-masing solusi daripersamaan ax = b dan ya = b

GRUP


Proof.

[(Solusi Persamaan)]

Misalkan G grup dan a, b sebarang unsur di G

Klaim

x = a�1b solusi dari ax = b dan

y = ba�1 solusi dari ya = b

Bukti klaim

Perhatikan bahwa

ax = a�a�1b

�=�aa�1

�b = eb = b

danya =

�ba�1

�a = b

�aa�1

�= be = b

Jadi x = a�1b dan y = ba�1masing-masing solusi daripersamaan ax = b dan ya = bGRUP


Proof.

[Ketunggalan Solusi Persamaan]

Akan dibuktikan persamaan ax = b dan ya = b mempunyaisolusi tunggal di G

Ambil a, b 2 G dengan ax = b untuk suatu x 2 GMisalkan x = x1 dan x = x2 adalah solusi dari persamaanax = b,maka ax1 = b dan ax2 = b, akibatnya ax1 = ax2Perhatikan bahwa

ax1 = ax2a�1 (ax1) = a�1 (ax2) (a 2 G =) 9 a�1 2 G )�a�1a

�x1 =

�a�1a

�x2 (sifat assosiatif)

ex1 = ex2 =) x1 = x2

Jadi persamaan ax = b mempunyai solusi tunggal, dengancara yang serupa dapat dibuktikan bahwa persamaan ya = bjuga mempunyai solusi tunggal di G .

GRUP


Proof.



Ambil a, b 2 G dengan ax = b untuk suatu x 2 G

Misalkan x = x1 dan x = x2 adalah solusi dari persamaanax = b,maka ax1 = b dan ax2 = b, akibatnya ax1 = ax2Perhatikan bahwa


�x1 =

�a�1a


ex1 = ex2 =) x1 = x2


GRUP


Proof.



Ambil a, b 2 G dengan ax = b untuk suatu x 2 GMisalkan x = x1 dan x = x2 adalah solusi dari persamaanax = b,maka ax1 = b dan ax2 = b, akibatnya ax1 = ax2

Perhatikan bahwa


�x1 =

�a�1a


ex1 = ex2 =) x1 = x2


GRUP


Proof.





�x1 =

�a�1a


ex1 = ex2 =) x1 = x2


GRUP


Proof.





�x1 =

�a�1a


ex1 = ex2 =) x1 = x2

Jadi persamaan ax = b mempunyai solusi tunggal, dengancara yang serupa dapat dibuktikan bahwa persamaan ya = bjuga mempunyai solusi tunggal di G .GRUP


Hukum Pembatalan

Akan dibuktikan au = aw =) u = w dan ua = wa =) u = wuntuk suatu a, u,w 2 GProof.

Ambil a, u,w 2 G dengan au = aw

Karena G grup maka terdapat a�1 2 G , sehingga

a�1 (au) = a�1 (aw)�a�1a

�u =

�a�1a

�w

eu = ew

u = w

Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan bahwa jikaua = wa maka u = w .

GRUP


Hukum Pembatalan

Akan dibuktikan au = aw =) u = w dan ua = wa =) u = wuntuk suatu a, u,w 2 GProof.

Ambil a, u,w 2 G dengan au = awKarena G grup maka terdapat a�1 2 G , sehingga

a�1 (au) = a�1 (aw)�a�1a

�u =

�a�1a

�w

eu = ew

u = w

Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan bahwa jikaua = wa maka u = w .

GRUP


Daftar Pustaka

Isaacs, I. Martin. 1994. Algebra, a graduate course.Wadsworth, Inc. California

Mukhlis Ahmad dan Pudji Astuti. Aljabar 1. Institut TeknologiBandung. Bandung

Sukirman M.P. 1986. Aljabar Abstrak. Karunika JakartaUniversitas Terbuka. Jakarta

GRUP


TERIMA KASIH

GRUP

grup12

Documents