REVISI TUGAS GEOMETRI EUCLIDES DAN NON EUCLIDES

GEOMETRI NETRAL

Disusun Oleh

Kelompok IVARLIANTO RAMADHANFRISKA B. SIAHAAN

KWOK HINROSLINA TANJUNG

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCA SARJANAUNIVERSITAS NEGERI MEDAN2010

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang

telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya, sehingga kami dapat menyelesaikan

makalah ini tepat pada waktunya.

Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri Euclides dan Non-

Euclides, kami mengangkat mengenai “Geometri Netral”.

Dalam penyusunan makalah ini kami menggunakan literatur perpustakaan

dan hasil browsing dari internet. Dengan demikian, diharapkan dapat memberi

hasil seperti harapan semua pihak. Terlepas dari semuanya itu, kami sadar bahwa

makalah ini masih memiliki banyak keterbatasan dan kelemahan. Oleh karena itu,

saran dan kritik membangun senantiasa diharapkan demi penyempurnaan makalah

ini lebih lanjut.

Medan, Februari 2010

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

BAB I PENDAHULUAN 1

BAB II PEMBAHASAN 2

1. Jumlah Sudut Pada Segitiga 2

2. Adakah persegi panjang itu? 5

BAB III KESIMPULAN 10

DAFTAR PUSTAKA 11

BAB I

PENDAHULUAN

Suatu geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidenst,

sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut,

segitiga) dan sistem aksioma-aksioma Archimedes disebut dengan Geometri

Netral. Di dalam geometri ini ada konsep kesejajaran dua garis, di dalam geometri

netral ini tidak disebut banyaknya garis yang melalui sebuah titik T di luar sebuah

garis lain yang dapat sejajar dengan garis itu.

Kalau banyaknya garis itu hanya satu, geometri netral itu disebut geometri

Euclid. Jika ada lebih dari satu garis, geometri netral ini disebut geometri

Lobachevsky. Geometri ini adalah salah satu geometri non Euclid.

Dalam geometri netral ini ada konsep kesejajaran, akan tetapi ada satu hal

yaitu bahwa melalui sebuah titik di luar seluruh garis tidak perlu ada tepat satu

garis sejajar dengan garis yang diketahui, yang jelas dalam geometri ini ada garis

yang sejajar dengan garis yang diketahui melalui titik tadi yang fundamental.

Hal yang amat mendasar, bahwa dalam geometri netral ini ada

kemungkinan adanya persegi panjang atau ada kemungkinan tidak ada persegi

panjang. Dalam hal geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah

besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah 1800. Dalam geometri netral ada

segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat Saccheri. Dalam

Geometri Euclide, tidak ada perbedaan antara segiempat Sachheri dan sebuah

persegi panjang.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Jumlah sudut pada segitiga

Teorema 1.

Jumlah besar dua sudut dalam setiap segitiga kurang dari 1800.

Bukti :

Misalkan diketahui ΔABC, (seperti pada gambar), akan ditunjukkan bahwa

∠ A + ∠ B < 1800.

Perpanjang CB melalui B ke D,

maka ∠ ABD adalah sudut luar ∠ABC

Menurut teorema yang mengatakan bahwa : “sudut luar suatu segitiga lebih

besar daripada sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut”.

Maka :

∠ ABD > ∠ A; tetapi

∠ ABD = 1800 - ∠ B

Dengan demikian berarti :

1800 - ∠ B > ∠ A; atau

1800 > ∠ A + ∠ B

Jadi, ∠ A + ∠ B < 1800 (terbukti)

Teorema 2.

Jika diberikan ΔABC dan ∠ A, maka terdapat ΔA1B1C1 sedemikian sehingga

ΔA1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan ΔABC dan ∠A1 ≤ ½ ∠ A.

A

BC D

Bukti :

- Misalkan E titik tengah AC

- Perpanjang BE sampai di F

sedemikian sehingga BE = EF

Karena BE = EF

∠ AEB = ∠ CEF

(bertolak belakang)

CE = EA

Maka ΔAEB ΔCEF, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian sama.

- Akan ditunjukkan bahwa ΔAFC adalah ΔA1B1C1 yang dicari.

Pada gambar dapat kita lihat bahwa :

∠ 2 = ∠ 2’

∠ 3 = ∠ 3’

Pada Δ ABC

∠ A+ ∠ B+ ∠ C = ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4

= ∠ 1+ ∠ 2’+ ∠ 3’+ ∠ 4

= ∠ CAF+ ∠ AFC+ ∠ FCA

Maka ΔACF adalah ΔA1B1C1 yang dicari

- Perhatikan bahwa :

∠ A = ∠ 1 + ∠ 2

= ∠ 1 + ∠ 2’

Karena A = ∠ 1 + ∠ 2’ maka pastilah salah satu berlaku yaitu :

∠ 1 ≤ ½ ∠ A ; atau

∠ 2’ ≤ ½ ∠ A

Jika ∠ 1 < ½ ∠ A maka A sebagai A1, C sebagai C1 dan F sebagai B1.

Tetapi,

jika ∠ 2’ ≤ ½ ∠ A maka F sebagai A1, C sebagai B1 dan A sebagai C1.

(terbukti)

A

B C

E

F

21 4

3’

3 2’

Teorema 3.

(Saccheri – Legendre)

Jumlah besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah kurang atau sama

dengan 1800.

Bukti :

Andaikan diketahui ΔABC dan andaikan ∠ A + ∠ B + ∠ C > 1800, maka

ada p0 > 0 sehingga ∠ A + ∠ B + ∠ C = (180 + p)0.

Dengan menggunakan teorema 2;

maka ada ΔA1B1C1 sehingga ∠ A1 + ∠ B1 + ∠ C1 = (180 + p)0

dan ∠ A1 ≤ ½ ∠ A,

begitu pula ada : ΔA2B2C2 sehingga ∠ A2 + ∠ B2 + ∠ C2 = (180 + p)0

dan ∠ A2 ≤ ½ ∠ A1 ≤ (½)2 ∠ A.

Jika proses ini dilanjutkan maka diperoleh :

ΔAnBnCn sehingga ∠ An + ∠ Bn + ∠ Cn = (180 + p)0 dan ∠An = (½)n ∠ A.

Dalam hal ini kita dapat memilih ΔAnBnCn sedemikian sehingga

∠ An = (½)n ∠ A ≤ p dengan n cukup besar.

Jadi, ∠ An + ∠ Bn + ∠ Cn ≤ p + ∠ Bn + ∠ Cn sehingga

1800 + p ≤ p + ∠ Bn + ∠ Cn atau ∠ Bn + ∠ Cn ≥ 1800

Hal ini merupakan kontradiksi dari teorema 1, berarti pengandaian salah

sehingga haruslah ∠ A + ∠ B + ∠ C ≤ 1800.

Teorema Akibat (Corollary)

Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 3600.

Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis

sudut tumpul adalah salah. Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa

jumlah sudut suatu segitiga dapat melebihi 1800. Tetapi kemungkinan

bahwa jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 1800, yang bersesuaian

dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita

sendiri.

2. Adakah persegi panjang itu?

Untuk melanjutkan studi kita tentang geometri netral, kita jadi tertarik apakah

persegipanjang dapat muncul dalam geometri netral ini dan apa yang dapat

didasarkan pada persegipanjang itu. Jika memang ada.

Adanya persegipanjang dalam geometri merupakan yang penting. Bayangkan

bagaimana untu geometri Euclides jika kita tidak punya atau tidak dapat

menggunakan persegipanjang. Tentu saja sulit sekali akan membuat suatu

persegipanjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides,

atau salah satu dari teorema akibatnya, misalnya jumlah sudut segitiga adalah

1800. akibatnya seluruh teorema kita dalam pembahasan ini dapat dianggap bahwa

persegi panjang itu ada. Untuk menghindari kesalah pahaman, secara formal kita

defenisikan istilah persegi panjang sebagai berikut.

Defenisi.

Suatu persegiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya adalah sudut

siku-siku.

Ingat, karena kita mempelajari geometri netral, tidak otomatis kita dapat

menggunakan oposisi Euclides yang terkenal seperti:

a) Sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar.

b) Sisi-sisi tersebut sama panjang

c) Diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua segitigayang

kongruen.

Jika kita ingin mennyatakan sembarangan akibat, kita harus membuktikan

denganberdasarkan defenisi di atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran.

Sebagai contoh, (a) adalah akibat langsung dari teorema akibat 1 dari teorema 2

bab 2 (garis sisi yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar).

Teorema 2.

Jika sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah persegipanjang dengan

salah satu sisinya lebih panjang dari pada ruas garis tertentu.

Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD ada ruas garis XY. Maka

persegipanjang yang satu sisinya lebih panjang pada XY.

B C C2 C3 Cn

A D D2 D3 Dn

X Y

Bukti :

Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun” (building block), untuk

melukiskan persegipanjangyang kita inginkan. Lukis segi empat D2C2CD yang

kongruen dengan ABCD sedemikian sehingga C2D2 dan BA berlainan pihak

terhadap CD. (Caranya dengan memperpanjang AD kearah C sehingga panjang

CC2 sama dengan BC dan memperpanjang AD kearah D sehingga panjang DD2

sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang. Lebih dari itu B, C, C2

terletak pada suatu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di

C. Demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis , jadi ABCC2D2D merupakan

segi empat ABC2D2, dan merupakan persegi empat. Ingat bahwa ABC2D2

mempunyai sifat:

AD2= 2 AD

Dengan cara yang sama lukis D3C3C2D2 kongruen dengan DCC2D2 sehingga C3D3

dan CD bersesuaian letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2. Akibatnya

ABC3D3 adalah persegipanjang, dan

AD3= 3 AD

Selajutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan bahwa untuk sebarang bilangan

bulat positif n ada persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga:

ADn= n AD

Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY, dengan demikian persegipanjang

ABCnDn merupakan persegipanjang yang kita inginkan.

Teorema Akibat

Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang yang dua sisinya yang

berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua segmen tertentu.

Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD dan segmen garis XY dan ZW

di berikan. Maka ada persegipanjang PQRS sedemikian sehingga PQ > XY dan

PS > ZW.

G H

B

A

E

F

C

D

X Y

Z

W

Bukti :

Sesuai dengan teorema 2, ada persegipanjang ABEF dengan AF > XY. Dengan

melukiskan persegi panjang yang kongruen dengan persegipanjang ABEF

berulang-ulang dengan menempatkan diatasnya, kita dapat melukis AFHG denga

AG > ZW. Karena AF > XY. Maka AFHG merupakan persegipanjang PQRS

yang dimaksudkan pada teorema akibat diatas.

Teorema 3.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang dengan panjang dua sisi

yang berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.

Bukti :

Cara kita membuktikan seperti apa yang kita lakukan penjahit. Dengan

mengunakan teorema akibat terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang PQRS

dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian kita potong sedemikian hingga

panjang PQ = XY dan PS = ZW.

Jadi ada titik Q’ pada PQ sedemikian hingga PQ’ = XY. Dari Q’ ditarik

garis yang tegak lurus RS dengan kaki R’. kita tunjukkan bahwa PQ’R’S adalah

persegipanjang.

S R’

S’

P

R*

Q’

R

Q

X Y

Z

W

Sudut P, R’ dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa ∠ PQ’R’ juga

siku-siku. Andaikan ∠ PQ’R’ > 90º, maka jumlah sudut segi empat

PQ’R’S > 360º, kontradiksi dengan teorema akibat 1 dari teorema 1. andaikan ∠PQ’R’ < 90º , maka ∠ QQ’R’ > 90º dan jumlah sudut persegi panjang QQ’R’R

> 360º (Kontradiksi).

Jadi satu-satunya kemungkinan adalah ∠ PQ’R’ = 90º, dan PQ’R’S adalah

persegipanjang.

Dengan cara yang sama, ada titik S’ pada PS sedemikian hingga

PS’ = ZW. Tarik garis dari S’ tegak lurus pada Q’R’ dengan kaki R*. maka

sebagaimana diatas, PQ’R*S’ adalah persegipanjang. Sisi-sisinya yang berdekatan

PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti.

BAB III

KESIMPULAN

Geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah besar sudut-

sudut dalam setiap segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 1800. Dalam

geometri netral ada segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan segi empat

Saccheri. Jika ada ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang yang

dua sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua

segmen tertentu.

DAFTAR PUSTAKA

Moeharti, Hw, 2000, Sistem-Sistem Geometri, Modul 1-6, PMAT 4438.

retniparadesa.blogspot.com/2009_0501/archive.html

Soemadi & Masriyah, 2000, Sistem Geometri, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Surabaya : University Press IKIP Surabaya.

trisyanaharti_42m.werdpress.