GEOMETRI ANALITIK DATAR

I. Sistem Koordinat dan Garis Lurus- Sistem koordinat dibagi menjadi beberapa koordinat diantaranya koordinat cartecius dan

koordinat polar.- Koordinat Cartecius

Titik potong kedua sumbu disebut titik pangkal atau titik asal (O). Sumbu-sumbu koordinat diberi nama x dan y, sumbu x yang terletak disebelah kanan

O diberi tanda positif dan sebaliknya. Sedangkan sumbu y terletak di atas O diberi tanda positif dan sebaliknya.

Bilangan-bilangan pada sumbu x disebut absis atau koordinat x, sedang bilangan-bilangan pada sumbu y disebut ordinat atau koordinat y.

Koordinat cartecius dibagi menjadi dua yaitu koordinat orthogonal dan condong.

y y

α x x

Koordinat orthogonal Koordinat Condong- Jarak antara Dua Titik pada Bidang

AB = √(x1−x2)2+( y1− y2)

2+2(x1−x2)❑( y1− y2)

❑cosα Jika susunan sumbu orthogonalAB = √(x1−x2)

2+( y1− y2)2

- Koordniat Titik terletak pada Garis Penghubung Dua Titik yang Diketahui

xc=nx1+mx2

m+nyc=

n y1+m y2

m+n- Ada dua kemungkinan letak titik C :

o BIla C membagi di dalam, m dan n bertanda sama :AC :CB = m :n

o Bila C membagi diluar, m dan n berlainan tanda :AC : CB = m :-n

- Koordinat Polar x = r cos θ dan y = r sin θ

r =√ x2+ y2 dan θ = arc tg yx

r y

θ

KW IKW II

KW III KW IV

x

- Persamaan garis melalui sebuah titik (x1, y1 ¿dengan koefisien arah = my− y1=m(x−x1)

- Persamaan garis melalui dua buah titik (x1, y1 ¿ dan (x2, y2 ¿y− y1

y2− y1=x−x1

x2−x1

- Persamaan parameter suatu garis yang diketahui salah satu titik dan koefisien arahx=x1+r cosθ y= y1+r sin θ

- Jarak suatu titik dengan garis lurus

d=|A x1+B y1+C

√A2+B2 |II. Lingkaran

- Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama besarnya.

- Persamaa lingkaran dengan berpusat O (0,0) dan berjari-jari rx2+ y2=r2, r = √ x2+ y2

- Persamaan lingkaran dengan pusat a,b dan berjari-jari r¿

- Bentuk umum persamaan lingkaranx2+ y2+Ax+By+C=0

r=√[ 12A ]

2

+[ 12B ]

2

P=[−12A ,−1

2B]

- Persamaan parameter lingkaranx=a+r cosθ y=b+r sinθ

- Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0) dengan jari-jari r dan koefisien arah “m”y=mx±r √m2+1

- Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0) dengan jari-jari r yang di titik x1 , y1

x1 x+ y1 y=r2

- Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P (a,b) dengan jari-jari r yang di titik x1 , y1

(x1−a ) (x−a )+( y1−b ) ( y−b )=r2 Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat melalui titik x1 , y1pada lingkaran x2+ y2+Ax+By+C=0

x1 x+ y1 y+12A (x+x1 )+ 1

2B ( y+ y1 )+C=0

- Persamaan garis kutub lingkarank : x1 x+ y1 y=r

2

- Berkas lingkarano Suatu berkas lingkaran ditentukan oleh anggota dasar

L1+δg=0o Setiap titik bidang datar dilalui satu anggota dari berkas

L1+L2=0

III. Tempat Kedudukan- Tempat kedudukan adalah suatu himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat

sebagai berikut : (i) semua titik anggota dari himpunan mempunyai sifat yang sama, (ii) semua titik yang mempunyai sifat itu adalah anggota dari himpunan.

- Ada tiga metode dalam penyelesaian masalah yang berkaitan dengan tempat kedudukan :o Matode A (langsung)

1. Misalkan titik (x0 , y0 ¿memenuhi tempat kedudukan.2. Buat persamaan yang mengkaitkan titik (x0 , y0 ¿ dengan syarat yang diketahui.3. Tempat kedudukan dapat diperoleh dengan menghilangkan indek 0 pada (x0 , y0 ¿

o Metode B (parameter)1. Misalkan parameter (δ), jika ada.2. Buat persamaan yang mengkaitkan paraneter dengan syarat yang diketahui.3. Tempat kedudukan diperoleh dengan eleminiasi parameter dari persamaan yang

ada.o Metode C (gabungan metode A dan B).

IV. Parabola- Persamaan parabola dengan puncak O (0,0) menghadap kanan

y2=2 px- Persamaan parabola dengan puncak O (0,0) menghadap kiri

y2=−2 px- Persamaan parabola dengan puncak O (0,0) menghadap atasx2=2 py

- Persamaan parabola dengan puncak O (0,0) menghadap atasx2=−2 py

- Persamaan parabola dengan puncak P(a,b) menghadap kanan( y−b)2=2 p (x−a)

- Persamaan parabola dengan puncak P(a,b) menghadap kiri( y−b)2=−2 p (x−a)

- Persamaan parabola dengan puncak P(a,b) menghadap atas(x−a)2=2 p( y−b)

- Persamaan parabola dengan puncak P(a,b) menghadap atas(x−a)2=−2 p( y−b)

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat O (0,0) koefisien m menghadap kanan

y=mx+ p2m

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat P (a,b) koefisien m menghadap kanan

( y−b)=m(x−a)+ p2m

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat O (0,0) koefisien m menghadap kiri

y=mx− p2m

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat P (a,b) koefisien m menghadap kiri

( y−b )=m ( x−a )− p2m

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat O (0,0) koefisien m menghadap atas

y=mx+m2 p2

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat P (a,b) koefisien m menghadap atas

( y−b )=m ( x−a )+m2 p2

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat O (0,0) koefisien m menghadap bawah

y=mx−m2 p2

- Persamaan garis singgung parabola dengan pusat P (a,b) koefisien m menghadap bawah

( y−b )=m ( x−a )−m2 p2

V. Elips- Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu

tetap harganya.- Persamaan elips melebar dengan pusat O (0,0)

x2

a2 + y2

b2 =1

- Persamaan elips memanjang dengan pusat O (0,0)x2

b2 + y2

a2 =1

- Persamaan elips melebar dengan pusat α ,β¿¿

- Persamaan elips memanjang dengan pusat α ,β(x−α )2

b2 +( y−β)2

a2 =1

- Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m melebary=mx±√a2m2+b2

- Persamaan garis singgung elips dengan pusat α ,β dengan gradient m melebar( y−β)=m(x−α)±√a2m2+b2

- Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m memanjangy=mx±√b2m2+a2

- Persamaan garis singgung elips dengan pusat α ,β dengan gradient m melebar( y−β)=m(x−α)±√b2m2+a2

VI. Hiperbola- Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua

titiktertentu tetap harganya.

- Persamaan hiperbola dengan pusat O (0,0) menghadap kanan-kirix2

a2 + y2

b2 =1

- Persamaan hiperbola O (0,0) menghadap atas bawah y2

a2 + x2

b2 =1

- Persamaan hiperbola dengan pusat α ,β menghadap kanan-kiri¿¿

- Persamaan hiperbola dengan pusat α ,β menghadap atas-bawah¿¿

- Persamaan garis singgung hiperbola dengan pusat O (0,0) dengan gradient m menghadap kanan-kiriy=mx±√a2m2−b2

- Persamaan garis singgung hiperbola dengan pusat α ,β dengan gradient m menghadap kanan-kiri( y−β)=m(x−α)±√a2m2−b2

- Persamaan garis singgung hiperbola dengan pusat O (0,0) dengan gradient m menghadap atas-bawahy=mx±√a2−b2m2

- Persamaan garis singgung hiperbola dengan pusat α ,β dengan gradient m menghadap kanan-kiri( y−β)=m(x−α)±√a2−b2m2

VII. Berkas Irisan Kerucut- Definisi : k1+δ k2 disebut berkas irisan kerucut- Sifat : semua irisan kerucut yang didapat untuk tiap-tiap harga δ senantiasa melalui

keempat titik dasar.VIII. Persamaan Umum Derajat Dua

- Translasi- Rotasi- Garis lengkung aljabar adalah tempat kedudukan titik-titik yang koordinat-koordinatnya

(x,y) memenuhi persamaan f(x,y) = 0.- Dalil adalah ordernya garis lengkung aljabar adalah invariant di bawah suatu informasi.