geometri analitik lecture 1
TRANSCRIPT
Geometri Analitik
M. Januar Ismail, M.Si.
UIN SGD
Juli 2012
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 1 / 17
Outline
1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutubKonikParabolContohSifat OptikReferensi
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 2 / 17
Irisan Kerucut (Konik)
Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangya. Kitapotong kerucut tersebut dengan berbagai bidang dengan sudutberbeda terhadap sumbu simetri, seperti gambar di bawah ini. bidangtersebut memotong kurva-kurva, masing-masing dinamakan elips,parabol dan hiperbol. kurva-kurva tersebut dinamakan irisan kerucutatau konik. selanjutnya kita berikan de�nisi yang lain mengenaikurva-kurva tersebut.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 3 / 17
Definisi Konik
Definisi
Pada sebuah bidang ada garis l tetap (garis arah) dan F sebuah titik tetap(fokus) yang tidak terletak pada garis l .Himpunan titik-titik P yangperbandingan antara jarak jPF j dari fokus dan jarak jPLj dari garis arahadalah suatu konstanta positif e (keeksentrikan), yakni yang memenuhihubungan
jPF j = e jPLjdinamakan Konik. Apabila 0 < e < 1, konik dinamakan elips, apabilae = 1 dinamakan parabol, dan e = 2 dinamakan hiperbol.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 4 / 17
Gambar konik
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 5 / 17
Konik
Pada gambar sebelumnya dapat kita lihat masing-masing kurva untuke = 1/2, e = 1, dan e = 2.
Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yangmelalui fokus dan tegak lurus terhadap garis arah. garis ini kita sebutsumbu panjang dari konik. titik yang merupakan titik potong sumbudengan konik disebut puncak.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 6 / 17
Konik
Pada gambar sebelumnya dapat kita lihat masing-masing kurva untuke = 1/2, e = 1, dan e = 2.Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yangmelalui fokus dan tegak lurus terhadap garis arah. garis ini kita sebutsumbu panjang dari konik. titik yang merupakan titik potong sumbudengan konik disebut puncak.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 6 / 17
Definisi
Definisi
Parabol (e = 1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yangberjarak sama daria arah l dan fokus F , yakni memenuhi hubunganjPF j = jPLj .
Kita dapat menentukan persamaan xy dari parabol dan persamaannyaberupa persamaan sederhana
kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaanpersamaan kurvaOleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, makasudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnyasumbu x pada sumbu simetri kurva.kita pilih fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya (p, 0). garisarah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaan x = �p. Dengandemikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 7 / 17
Definisi
Definisi
Parabol (e = 1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yangberjarak sama daria arah l dan fokus F , yakni memenuhi hubunganjPF j = jPLj .
Kita dapat menentukan persamaan xy dari parabol dan persamaannyaberupa persamaan sederhanakedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaanpersamaan kurva
Oleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, makasudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnyasumbu x pada sumbu simetri kurva.kita pilih fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya (p, 0). garisarah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaan x = �p. Dengandemikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 7 / 17
Definisi
Definisi
Parabol (e = 1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yangberjarak sama daria arah l dan fokus F , yakni memenuhi hubunganjPF j = jPLj .
Kita dapat menentukan persamaan xy dari parabol dan persamaannyaberupa persamaan sederhanakedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaanpersamaan kurvaOleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, makasudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnyasumbu x pada sumbu simetri kurva.
kita pilih fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya (p, 0). garisarah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaan x = �p. Dengandemikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 7 / 17
Definisi
Definisi
Parabol (e = 1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yangberjarak sama daria arah l dan fokus F , yakni memenuhi hubunganjPF j = jPLj .
Kita dapat menentukan persamaan xy dari parabol dan persamaannyaberupa persamaan sederhanakedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaanpersamaan kurvaOleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, makasudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnyasumbu x pada sumbu simetri kurva.kita pilih fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya (p, 0). garisarah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaan x = �p. Dengandemikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 7 / 17
Gambar
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 8 / 17
Parabol
Dari syarat jPF j = jPLj dan rumus jarak, dapat diperolehq(x � p)2 + (y � 0)2 =
q(x + p)2 + (y � y)2
Setelah disederhanakan diperoleh
y2 = 4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,perhatikan bahwa p > 0 dan p merupakan jarak dari fokus kepuncaknya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 9 / 17
Parabol
Dari syarat jPF j = jPLj dan rumus jarak, dapat diperolehq(x � p)2 + (y � 0)2 =
q(x + p)2 + (y � y)2
Setelah disederhanakan diperoleh
y2 = 4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,perhatikan bahwa p > 0 dan p merupakan jarak dari fokus kepuncaknya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 9 / 17
Parabol
Dari syarat jPF j = jPLj dan rumus jarak, dapat diperolehq(x � p)2 + (y � 0)2 =
q(x + p)2 + (y � y)2
Setelah disederhanakan diperoleh
y2 = 4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,perhatikan bahwa p > 0 dan p merupakan jarak dari fokus kepuncaknya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 9 / 17
Contoh 1
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol y2 = 12x.
Penyelesaian : Oleh karena y2 = 4(3)x , maka p = 3 sehingga fokusada di (3, 0) dan garis arah adalah x = �3.
Ada tiga persamaan baku dari parabol selain persamaan di atas.apabila x dan y dipertukarkan, dan tanda negatif pada salah saturuas persamaan parabol kita peroleh parabol yang terbuka ke arahyang berlawanan. Keempat jenis parabol tersebut dapat dilihat padagambar selanjutnya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 10 / 17
Contoh 1
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol y2 = 12x.
Penyelesaian : Oleh karena y2 = 4(3)x , maka p = 3 sehingga fokusada di (3, 0) dan garis arah adalah x = �3.Ada tiga persamaan baku dari parabol selain persamaan di atas.apabila x dan y dipertukarkan, dan tanda negatif pada salah saturuas persamaan parabol kita peroleh parabol yang terbuka ke arahyang berlawanan. Keempat jenis parabol tersebut dapat dilihat padagambar selanjutnya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 10 / 17
Gambar persamaan baku parabol
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 11 / 17
Contoh 2
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol x2 = �y dan gambarlah gra�knya.
Gambarnya
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 12 / 17
Contoh 3 dan 4
contohTentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal dan berfokus di(0, 5).
contohTentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal, yang melalui(�2, 4) dan terbuka ke kiri. Gambarkan parabolnya.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 13 / 17
Sifat Optik
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 14 / 17
Sifat Optik
Sifat Parabol di atas dipakai untuk membuat lampu sorot dan padateleskop
Selanjutnya buktikan sifat optik parabol di atas.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 15 / 17
Sifat Optik
Sifat Parabol di atas dipakai untuk membuat lampu sorot dan padateleskop
Selanjutnya buktikan sifat optik parabol di atas.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 15 / 17
Bukti sifat optik parabol
Perhatikan gambar
Kita harus membuktikan bahwa sudut α = β.
Oleh karena \FQP = β, maka cukup dibuktikan bahwa 4FQP samakaki.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 16 / 17
Bukti sifat optik parabol
Perhatikan gambar
Kita harus membuktikan bahwa sudut α = β.
Oleh karena \FQP = β, maka cukup dibuktikan bahwa 4FQP samakaki.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 16 / 17
Referensi
1 Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik Juli 2012 17 / 17