geometri analitik bidang dan ruangrepository.uncp.ac.id/13/1/buku geometri analitik bidang...iii...

i

GEOMETRI

ANALITIK

BIDANG DAN

RUANG

ii

UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA

NOMOR 28 TAHUN 2014

TENTANG HAK CIPTA

PASAL 113

KETENTUAN PIDANA

(1) Setiap orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah).

(2) Setiap orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komerial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp.

500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

(3) Setiap orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp 1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah).

(4) Setiap orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah)

iii

GEOMETRI

ANALITIK BIDANG

DAN RUANG

Oleh

Rio Fabrika Pasandaran, S.Pd, M.Pd.

Dr. Ma’rufi, M.Pd.

2018

Global Research and Consulting Institute (Global-RCI)

iv

Judul : Geometri Analitik Bidang dan Ruang

Penulis : Rio Fabrika Pasandaran, S.Pd, M.Pd. & Dr. Ma’rufi, M.Pd.

ISBN 978-602-51782-2-1

Penyunting

:

Prof. Dr. H. Hamzah Upu, M.Ed.

Perancang Sampul : Arfah Penata Letak : Muhammad Izzad Kaisar Isi

:

Sepenuhnya tanggung jawab penulis

Diterbitkan Oleh:

Global Research and Consulting Institute (Global-RCI) Jalan Poros Kompleks Perumahan BTN Samata Indah /SMA Negeri 10 Kabupaten Gowa, Sungguminasa, Sulawesi Selatan, Indonesia.. Telepon: 081355428007, Homepage: http://www.global-rci.com.

Cetakan Pertama, Maret 2018

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Hak Cipta 2018 pada penulis. Hak penerbitan pada Global RCI. Bagi mereka yang ingin memperbanyak sebagian isi buku ini dalam bentuk atau cara apapun harus mendapat izin tertulis dari penulis dan Penerbit Global RCI. All Rights Reserved

Perpustakan Nasional: Katalog dalam Terbitan (KDT)

Pasandaran, Rio Fabrika & Ma’rufi Geometri Analitik Bidang dan Ruang / Pasandaran, Rio Fabrika & Ma’rufi: -- cetakan I -- Makassar: Global RCI, 2018 x + 172 hal.; 14.8 x 21 cm

v

MOTTO

"Jika seseorang bertanya apakah lupa

itu memiliki obat sebagai penyembuh?"

Lalu kami katakan "Ya, lupa itu

memiliki obatnya, yaitu dengan

mencatat/menulis".

(Ibnu Utsmain)

vi

Halaman Persembahan “Seorang penuntut ilmu harus semangat dalam mengingat-ingat dan

menghafalkan apa yang telah ia pelajari, baik dengan hafalan di

dalam dada ataupun dengan menuliskannya. Sesungguhnya manusia

adalah tempatnya lupa, maka jika dia tidak bersemangat untuk

mengulang pelajaran yang telah didapatkan, maka ilmu yang telah

diraih bisa hilang sia-sia atau dia lupakan” (Kitaabul ‘Ilmi hal. 62).

Buku ini tercipta karena penulis sadar betapa pentingnya aktivitas

menulis. Setiap hal yang dibahas dalam buku ini merupakan hasil

pengembangan dari catatan kuliah penulis yang diarsipkan dan

didiskusikan melalui proses yang panjang sehingga terciptalah

sebuah buku dengan judul “Geometri Analitik Bidang dan Ruang”.

Penulis berharap bahwa buku ini dapat menginspirasi setiap

pembaca, khususnya bagi mahasiswa matematika yang mempelajari

tentang ilmu ukur analitis bidang dan ruang.

Memang perlu disadari bahwa perkembangan ilmu ukur analitis

telah mengalami perkembangan yang pesat. Sejak ditemukannya

dalil Pytagoras hingga kini, ilmu ukur analitis telah menjelma

menjadi sebuah kajian geometri yang tidak hanya membahas

gambar, namun lebih jauh mengaitkannya dengan bahasa aljabar

(Geometri Modern). Dinamika ini yang menyebabkan kebutuhan

belajar mahasiswa Matematika tentang Geometri Modern juga

meningkat. Oleh karena itu penulis terdorong untuk membuat sebuah

buku yang memuat penggabungan kajian geometri murni dan aljabar

secara praktis. Praktis karena dalam buku ini memuat materi dan

lembar kerja secara terpadu dengan harapan mahasiswa dapat

membaca sekaligus memecahkan masalah melalui tahapan-tahapan

berpikir yang sistematis.

Semoga karya sederhana ini dapat menjadi bingkisan ringan yang

unik bagi setiap pembacanya, dapat menjadi sumber pengetahuan

bagi mereka yang menekuninya, dapat menjadi inspirasi bagi mereka

yang mendalaminya, dan tentu saja dapat menjadi sumber

keberkahan ilmu dari sang pencipta buat kita semua. Amin ya rabbal

alamin.

vii

PRAKATA

Alhamdulillah, segala puji dan syukur senantiasa

penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat,

karunia dan ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

penyusunan dan penulisan buku ini. Shalawat dan salam

semoga tetap tercurahkan kepada Nabi tercinta, Muhammad

SAW yang telah menyinari dunia ini dengan cahaya Islam.

Teriring harapan semoga kita termasuk umat beliau yang akan

mendapatkan syafa’at di hari kemudian. Aamiin.

Buku ini berjudul “Geometri Analitik Bidang dan

Ruang”, ditulis untuk memenuhi kebutuhan belajar mahasiswa

pendidikan matematika dan Matematika dalam menekuni ilmu

ukur analitis bidang dan ruang. Penyajian materi buku ini

dideskripsikan secara hierarkis dan disusun berdasarkan teknik

scaffolding yang memudahkan mahasiswa untuk belajar

mandiri dan konstruktivis. Di bagian akhir pada setiap bab

juga dilengkapi dengan soal-soal untuk melatih penguasaan

konsep dan keterampilan proses matematis mahasiswa.

Proses penyelesaian buku ini sungguh merupakan suatu

perjuangan panjang bagi penulis. Penulis menyadari bahwa

dalam proses penelitian, hingga penulisan buku, penulis

viii

menemui banyak hambatan. Namun berkat bantuan, motivasi,

doa, dan pemikiran dari berbagai pihak, maka hambatan-

hambatan tersebut dapat teratasi dengan baik. Penulis juga

menyadari bahwa buku ini jauh dari kesempurnaan sehingga

penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca demi

kesempurnaan buku ini. Penulis berharap dengan selesainya

buku ini, bukanlah akhir dari sebuah karya, melainkan awal

dari semuanya, awal dari sebuah perjuangan hidup.Kiranya

Allah SWT senantiasa melimpahkan Rahmat dan Hidayah-

Nya kepada kita semua. Aamiin.

PENULIS

ix

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................ iii

MOTTO .............................................................. v

PERSEMBAHAN ................................................ vi

PRAKATA ......................................................... vii

DAFTAR ISI ....................................................... ix

BAB I VEKTOR ................................................. 1

A. Vektor Sebagai Sinar garis ..................... 1

B. Aljabar Vektor ......................................... 5

C. Vektor Bidang .......................................... 14

D. Vektor Ruang ........................................... 22

E. Hasil Kali Titik ....................................... 29

F. Hasil Kali Silang .................................... 34

G. Proyeksi Vektor .................................... 45

H. Ujian Akhir Bab .................................... 51

BAB II GARIS LURUS ......................................

A. Persamaan Garis Lurus ........................... 54

B. Garis-Garis Sejajar .................................... 69

C. Ketegaklurusan Dua Garis ...................... 78

D. Surat antara Dua Garis ............................ 82

E. Jarak Titik Ke Garis .................................. 85

F. Perpotongan Garis-Garis ......................... 91

G. Berkas Garis ............................................. 93

H. Ujian Akhir Bab ....................................... 99

BAB III PERSAMAAN LINGKARAN

x

A. Persamaan Lingkaran ............................. 101

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran .. 108

C. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran ............ 119

D. Garis Kuasa .............................................. 124

E. Berkas Lingkaran ..................................... 132

F. Persamaan Parameter Lingkaran ........... 137

G. Ujian Akhir Bab ....................................... 141

BAB IV PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG

DALAM RUANG

A. Persamaan Garis dan Bidang dalam

Ruang ...................................................... 145

B. Jarak Titik ke Bidang ............................. 148

C. Persamaan Garis dalam Ruang ............... 153

D. Posisi Garis Lurus terhadap Bidang

Datar dalam Ruang ................................ 160

E. Ujian Akhir Bab ....................................... 163

DAFTAR PUSTAKA

RIWAYAT HIDUP PENULIS

BAB 1 VEKTOR PENGANTAR ANALISIS VEKTOR

1 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor

A. VEKTOR SEBAGAI SINAR GARIS

Perhatikan gambar di bawah ini !

Berdasarkan gambar di atas, sebuah vektor memiliki

beberapa komponen. A disebut titik pangkal, B disebut

titik ujung. Sedangkan himpunan titik yang

menghubungkan A ke B mewakili ukuran panjang

vektor. Oleh karena itu, vektor memiliki komponen

besar/ukuran dan komponen arah, sehingga vektor

disebut sebagai sebuah besaran, atau dikenal dengan

istilah besaran vektor.

Dalam bab ini, kita akan mengkaji tentang vektor baik

secara geometris maupun analitis. Untuk menyatakan

sebuah vektor, kita dapat menotasikannya dengan AB =

Gambar 1.1 Vektor

Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 2

v , yang berarti bahwa ruas garis berarah dari A ke B

disebut sebagai vektor v . Sedangkan untuk menyatakan

panjang AB , kita tuliskan sebagai |AB |. Istilah panjang

vektor juga disebu dengan magnitude.


Kumpulan beberapa vektor memiliki istilah, bisa saja

kita sebut sebagai himpunan vektor. Namun harus diingat

bahwa setiap himpunan tentu memiliki

identitas/karakteristik yang berlaku bagi setiap

elemennya. Analogi ini dapat mengantarkan pemikiran

kita bahwa kumpulan vektor di atas tentu saja memiliki

identitas. Panjang dan arah yang yang sama menjadi

syarat kesamaan dua vektor atau lebih. Sehingga

Gambar 1.2 Kumpulan Vektor


kumpulan vektor akan membentuk himpunan vektor

yang ekuivalen jika memiliki panjang dan arah yang

sama. Berbeda halnya dengan sekumpulan vektor berikut

ini !

Berdasarkan gambar, kelima vektor memiliki panjang

dan arah yang berbeda-beda. Kelima vektor tersebut non

ekuivalen. Vektor v menjadi vektor dasar, sedangkan

vektor lainnya dibentuk dengan cara mengalikan panjang

vektor v dengan skala tertentu, baik positif maupun

negatif. Jika skalanya positif maka vektor v yang baru,

memiliki arah yang sama dengan vektor v semula.

Sebaliknya, jika skalanya negatif maka vektor v yang

baru, memiliki arah yang berlawanan dengan vektor v

Gambar 1.3 Vektor-vektor non ekuivalen


semula. Sedangkan untuk panjangnya akan

menyesuaikan dengan besaran skala yang diberikan.

Berdasarkan hal ini, untuk membuat kumpulan vektor

yang ekuivalen, maka kita harus memastikan bahwa

skala yang kita pilih dapat membentuk vektor baru

dengan panjang dan arah yang sama dengan vektor

semula. Dengan kata lain, skala yang kita pilih bersifat

konstan.

Bagaimana jika sebuah vektor panjangnya nol (0)???

Jawabannya, tentu saja bisa! Sebuah vektor dengan

kondisi demikian masih memiliki panjang sebesar nol (0)

dan juga memiliki arah. Arah vektor ini bebas, dapat

dibentuk ke segala arah yang dibuat dari titik

pangkalnya. Namun sekali lagi harus diingat bahwa

ukuran panjang vektor ini bernilai nol. Hal ini

menegaskan bahwa antara titik pangkal dan titik ujung

selalu berhimpit. Oleh karena itu vektor yang seperti ini

disebut sebagai vektor nol, disimbolkan

0 = 0 .


B. ALJABAR VEKTOR

Sub bab ini memuat beberapa operasi vektor seperti

penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan

skalar. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua

buah vektor atau lebih, terdapat tiga aturan yang lazim

digunakan yaitu aturan segitiga, aturan jajargenjang, dan

aturan poligon. Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diberikan dua vektor yaitu A dan B , maka

penjumlahan keduanya dilakukan dengan cara

menempatkan titik pangkal B di titik ujung A , sehingga

hasilnya berupa vektor yang ditarik dari titik pangkal A

hingga ke titik ujung B . Dalam gambar 1.4 diperlihatkan

bahwa hasil penjumlahan kedua vektor yaitu vektor baru

Gambar 1.4 Aturan Segitiga pada penjumlahan dua vektor


yang berwarna biru. Aturan lainnya adalah aturan

jajargenjang. Aturan ini memiliki prinsip kerja yang

berbeda dengan aturan segitiga. Perhatikan gambar

berikut!

Berdasarkan gambar, diberikan dua vektor yaitu v dan w .

Penjumlahan kedua vektor dilakukan dengan

menempatkan/menghimpitkan titik pangkal kedua

vektor, lalu membuat bayangan masing-masing vektor

yang ditandai dengan garis putus-putus. Antar kedua

vektor dan bayangannya membentuk bangun

jajargenjang. Hasil penjumlahannya adalah diagonal

jajargenjang yang ditarik dari titik pangkal persekutuan

Gambar 1.5 Aturan Jajargenjang pada penjumlahan dua vektor


dua vektor hingga ke titik persekutuan ujung bayangan

dua vektor.

Aturan ketiga yakni aturan poligon. Aturan ini

merupakan spesifikasi/bentuk khusus dari aturan

segitiga. Penggunaan aturan poligon dikhususkan untuk

menjumlahkan vektor yang banyak jumlahnya. Aturan

ini relatif lebih mudah karena hanya dikerjakan dengan

menempatkan titik pangkal vektor ke titik ujung vektor

lainnya. Hal ini dilakukan sebanyak jumlah vektor yang

dijumlahkan. Hasil penjumlahannya ditentukan dengan

cara menarik vektor baru dari titik pangkal vektor

pertama hingga ke titik ujung vektor terakhir. Perhatikan

gambar berikut ini !

Gambar 1.6 Aturan poligon pada penjumlahan tiga vektor


Ketiga aturan diatas dapat digunakan berdasarkan

kondisi soal yang dihadapi. Pembaca dapat membuktikan

bahwa hasil yang diperoleh dengan aturan yang berbeda

ternyata selalu sama. Untuk itu, coba tentukan vektor

hasil penjumlahan berikut ini, dengan menggunakan 3

aturan secara berurutan !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Pengurangan beberapa vektor juga dapat dikerjakan

menggunakan aturan-aturan di atas. Hanya saja yang

Tentukan hasil

penjumlahan keempat

vektor di samping !


perlu difahami adalah pengurangan dua buah vektor atau

lebih pada dasarnya merupakan penjumlahan sebuah

vektor dengan invers/kebalikan dari vektor lainnya.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Berdasarkan gambar diperoleh hubungan bahwa a − b =

a + (−b ).

Contoh 1.1

Gambar 1.7 Pengurangan dua vektor


A dan B dijumlahkan dengan menggunakan aturan

poligon. Namun saat menjumlahkan hasil dari A + B ,

kita membuat invers/kebalikan dari C yaitu − C , dengan

cara menempatkan titik ujung B di titik pangkal − C ,

dilanjutkan dengan cara menempatkan titik ujung − C di

titik pangkal − D sehingga hasil akhir yang diperoleh

didapatkan dengan cara membuat vektor baru yaitu R

yang ditarik dari titik pangkal A hingga ke titik ujung

− D . Istilah R (resultan) seringkali digunakan untuk

menyatakan hasil akhir operasi dari beberapa vektor.

Untuk menguji pemahamanmu, selesaikan masaalah

berikut ini!

Gambar 1.8 Operasi campuran pada vektor


(1) Tentukan resultan A + B − C − E + D , dari vektor-

vektor di bawah ini!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Tentukan resultan F3 − F2

+ F1 − F4

, dari vektor-

vektor di bawah ini!

.....................................................................................

.....................................................................................


.....................................................................................

.....................................................................................

(3) Tentukan resultan −a − c − b dari gambar di bawah

ini!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

Selain operasi penjumlahan dan pengurangan, terdapat

juga operasi perkalian vektor dengan skalar. Skalar

dalam hal ini merupakan bilangan real yang jika

dikalikan dengan suatu vektor, maka hasilnya dapat

mempengaruhi panjang maupun arah vektor tersebut.

Untuk lebih memahami konsep ini, Perhatikan gambar

berikut!


Berdasarkan gambar 1.9, a diperpanjang tiga kali

sehingga menjadi 3a . Vektor 3a merupakan vektor baru

yang panjangnya tiga kali panjang a dan arahnya sama

dengan arah a . Bandingkan dengana gambar berikut ini!

Gambar 1.9 Perkalian vektor dengan skalar

Gambar 1.10 Perkalian vektor dengan skalar


Berdasarkan gambar, v dikalikan dengan berbagai skalar

sehinga bentuknya berbeda-beda. Misalkan −3v ,

merupakan sebuah vektor yang panjangnya tiga kali v ,

namun arahnya berlawanan dengan v . Dari kedua contoh

di atas, secara umum kita dapat mendefinisikan bahwa

hasil kali skalar k dengan a ditulis v = k a , dengan k

skalar real dan a sebuah vektor, ditentukan sebagai

berikut.

Jika k > 0, maka v searah dengan a

Jika k < 0, maka v berlawanan arah dengan a

C. VEKTOR BIDANG

Terdapat beberapa istilah yang harus difahami dalam

vektor bidang/vektor di dimensi dua antara lain, panjang

vektor, vektor posisi, dan vektor satuan. Istilah-istilah

tersebut saling terkait antara satu dan lainnya. Kita akan

memulainya dengan gambar berikut ini!

Gambar 1.11 Vektor dalam bidang Cartesius


Secara geometris, vektor disajikan sebagai ruas garis

berarah. Namun secara analitik, vektor dinyatakan

sebagai pasangan bilangan real berurutan (v1, v2).

Berdasarkan gambar 1.11, pasangan berurutan tersebut

mewakili sebuah vektor yang ditarik dari pusat (sebagai

titik pangkal vektor) O (0,0) hingga menuju titik ujung

(v1, v2), sebut saja sebagai v = (v1, v2). Kita dapat

menentukan posisi titik (v1, 0) pada sumbu x dan posisi

titik (0, v2) pada sumbu y, sedemikian hingga v memuat

dua komponen yaitu v1 menyatakan skalar sepanjang

sumbu x dan v2 menyatakan skalar sepanjang sumbu y.

Kedua komponen tersebut dinamakan komponen skalar

vektor dituliskan sebagai ∆x = v1 dan ∆y = v2.

Untuk menyatakan suatu vektor di bidang sebagai

pasangan terurut dua bilangan real, diperlukan

pemahaman konsep tentang vektor-vektor basis dalam


bidang. Misalkan i dan j merupakan vektor-vektor basis

dengan panjang satu satuan. Vektor i berimpit dengan

sumbu x positif, sedangkan vektor j berimpit dengan

sumbu y positif. Dengan demikian, setiap v yang terletak

pada bidang Cartesius dapat dinyatakan secara tunggal

sebagai kombinasi linear dari i dan j, sedemikian hingga

v = v1i + v2j. Terdapat beberapa hal yang perlu

diperhatikan, diantaranya adalah sebagai berikut.

(a) Bilangan-bilangan (v1, v2) disebut komponen-

komponen skalar yang berpadanan dengan koordinat

v .

(b) Vektor-vektor i dan j disebut vektor-vektor basis

dalam bidang yang panjangnya masing-masing satu

satuan. Vektor i disebut juga sebagai vektor satuan

dalam arah sumbu x, sedangkan j disebut juga

sebagai vektor satuan dalam arah sumbu y.

(c) Penulisan v = v1i + v2j disebut bentuk baku dari

vektor v , sedangkan penulisan lainnya dapat

disajikan dalam bentuk vektor baris v = (v1, v2) dan

vektor kolom v = (v1

v2).


Secara geometris, vektor-vektor basis disajikan dalam

gambar berikut ini!

Secara analitik, penentuan komponen-komponen skalar

sebuah vektor dapat juga ditentukan dengan

menggunakan aturan segitiga. Masalah ini dapat

diperluas melalui gambar 1.13 berikut!

Gambar 1.13 Vektor �� secara analitik

Gambar 1.12 Vektor-vektor basis dalam bidang


Berdasarkan gambar 1.13, terdapat tiga titik yaitu

O(O, O), P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) yang membentuk

∆OP1P2 . Melalui ketiga titik tersebut akan dibentuk

sebuah vektor v yang memuat komponen–komponen

skalar vektor. Untuk menentukan bentuk komponen-

komponen tersebut, kita gunakan aturan segitiga sebagai

berikut.

OP1 + P1P2

= OP2

P1P2 = OP2

− OP1 = (x2, y2) − (x1, y1)

= (x2 − x1, y2 − y1) = (∆x, ∆y)

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1) = (∆x, ∆y)

Contoh 1.2

Tentukan komponen-komponen skalar vektor yang

dibentuk dari A(2,-1) ke titik B(1,2)! Selidiki, apakah

komponen vektor AB = BA ??

Penyelesaian:

AB = (xB − xA, yB − yA) = (1 − 2, 2 − (−1))

= (−1,3) = (∆x, ∆y)


BA = (xA − xB, yA − yB) = (2 − 1, (−1 − 2) = (1,−3)

= (∆x, ∆y)

Disimpulkan bahwa AB ≠ BA

Setelah menentukan komponen-komponen skalar pada

vektor di bidang, kita akan melanjutkan pembahasan

tentang panjang vektor/magnitude. Jika diberikan sebuah

v , maka panjang vektor ditulis sebagai |v |. Untuk

menentukan panjang sebuah vektor, kita dapat

memperhatikan ilustrasi berikut.

Berdasarkan gambar 1.14, kita dapat membuat hubungan

antara |v | dengan komponen-komponen skalarnya, yaitu:

|v |2 = (v1)2 + (v2)

2

Gambar 1.14 Panjang vektor v


Mengapa demkian??.....

Karena gambar 1.14 merupakan sebuah segitiga siku-

siku dengan |v | sebagai sisi miringnya, akibatnya dalil

phytagoras berlaku di dalamnya.

Sekarang perhatikan besaran e =1

|v |v

Jika |v |2 = (v1)2 + (v2)

2 dan v = (v1, v2) maka

e =1

√(v1)2 + (v2)2(v1, v2)

e =1

√(v1)2 + (v2)2(v

1, v2)

e =v1

√(v1)2 + (v2)2,

v2

√(v1)2 + (v2)2

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa |e| = 1!

|e| = √(v1

2

√v12 + v2

2)

2

+ (v2

2

√v12 + v2

2)

2

= √v1

2

v12 + v2

2+

v22

v12 + v2

2= √

v12 + v2

2

v12 + v2

2= √1 = 1


Disimpulkan bahwa |e| = 1, selanjutnya e disebut

sebagai vektor satuan.

Contoh 1.3

Jika AB = (−1,3), maka tunjukkan bahwa 1

|AB |AB = 1!

Penyelesaian:

1

|AB |AB =

(−1,3)

√(−1)2 + (3)2=

−1

√10,

3

√10

|e| =1

|AB |AB

= √((−1)2

√(−1)2 + (3)2)

2

+ ((3)2

√(−1)2 + (3)2)

2

= √1

10+

9

10= √

10

10= √1 = 1

Coba selesaikan masalah berikut ini!

(1) Diberikan A(1,7) dan B(4,1). Titik C terletak pada

ruas garis yang menghubungkan A ke B sehingga

AC = 2 AB ! Tentukanlah komponen-komponen

AC dan AB , serta tentukan pula koodinat titik C!


.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

D. VEKTOR RUANG

Sama halnya dengan vektor-vektor dalam bidang, vektor-

vektor dalam ruang pun dapat dinyatakan sebagai

pasangan tiga bilangan real berurutan melalui sistem

koordinat segiempat. Untuk membangun sistem

koordinat segiempat, dapat dilakukan dengan beberapa

tahapan sebagi berikut.

(1) Pilih titik O yang selanjutnya disebut sebagai titik

asal.

(2) Pilih tiga garis yang saling tegak lurus, yang

selanjutnya disebut sebagi sumbu-sumbu koordinat


melalui titik asal, kemudian beri nama sumbu x,

sumbu y dan sumbu z.

(3) Pilih suatu arah postif untuk masing-masing sumbu

koordinat dan tentukan satu satuan panjang untuk

mengukur jarak.

(4) Setiap pasangan sumbu koordinat menentukan suatu

bidang yang selanjutnya disebut sebagai bidang

koordinat.

(5) Terdapat tiga bidang koordinat untuk sumbu positif

pada ketiga sumbu koordinat, antara lain bidang

koordinat xy, bidang koordinat xz, dan bidang

koordinat yz.

Untuk setiap vektor v dalam ruang, kita tuliskan sebagai

v (v1, v2, v3) seperti pada gambar di bawah ini!

Gambar 1.15 Vektor v dalam ruang


Untuk menggambar v , terlebih dahulu dibuat bidang

OQRS pada bidang koordinat xy. Tarik diagonal bidang

OQRS dari titik pusat koordinat hingga ke titik R. Dari

titik R kemudian ditarik garis setinggi P. Langkah

terakhir adalah menarik garis dari titik pusat koordinat

hingga ke titik P sehingga terbentuklah OP = v .

Komponen v1 berpadanan dengan arah sepanjang sumbu

x, yang diwakili oleh OQ , Komponen v2 berpadanan

dengan arah sepanjang sumbu y, yang diwakili oleh OS ,

dan komponen v3 berpadanan dengan arah sepanjang

sumbu z, yang diwakili oleh RP .

Untuk menyatakan suatu vektor dalam ruang sebagai

pasangan terurut tiga bilangan real, diperlukan

pemahaman konsep tentang vektor-vektor basis dalam

ruang. Misalkan i,j dan k merupakan vektor-vektor basis

dengan panjang satu satuan. Vektor i berimpit dengan

sumbu x positif, Vektor j berimpit dengan sumbu y

positif, sedangkan vektor k berimpit dengan sumbu z

positif. Dengan demikian, setiap v yang terletak pada

dalam ruang dapat dinyatakan secara tunggal sebagai


kombinasi linear dari i,j dan k, sedemikian hingga v =

v1i + v2j + v3k.

Selanjutnya, untuk menentukan |v |, terlebih dahulu

ditentukan |OR |2 = |OQ |2 + |QR |2. Setelah

mendapatkan |OR |, kita tentukan panjang |OP | = |v |

dengan cara |OP |2 = |QR |2 + |RP |2. Berdasarkan proses

ini, kita melakukan perhitungan dengan dalil phytagoras

sebanyak dua kali. Sedangkan jika dikaji secara analitik,

penentuan |OP | = |v | dapat dilakukan dengan cara yang

serupa dengan vektor-vektor di bidang, namun

ditambahkan dengan komponen sepanjang sumbu z,

sebagai berikut.

v (v1, v2, v3) = (∆x, ∆y, ∆z)

= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Gambar 1.16 Vektor-vektor basis dalam ruang


|v | = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

e =1

√(v1)2 + (v2)2 + (v3)2(v1, v2, v3)

e =v1

√(v1)2 + (v2)2,

v2

√(v1)2 + (v2)2,

v3

√(v1)2 + (v2)2

Sebagai vektor satuan. Selanjutnya akan ditunjukkan

bahwa |e| = 1!

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Contoh 1.4

(1) Tentukan komponen v = P1P2 dari titik pangkal

P1(2,0, −1) dan titik ujung P2(−2,1,0) !

Penyelesaian:

v = P1P2 = (−2 − 2, 1 − 0, 0 − (−1)) = (−4,1,1)

Jadi v = P1P2 = (−4,1,1)


(2) Tentukan salah satu vektor tak nol u yang

berpangkal di titik A (1,0,1) sehingga u memiliki

arah yang sama dengan v (2, −1,3)!

Penyelesaian:

Dua buah vektor memiliki arah yang sama jika dan

hanya jika setiap komponen-komponen skalarnya

berpadanan atau memiliki perbandingan yang

konstan/sama, yang dinyatakan sebagai ku = v .

Misalkan k = 2, diperoleh; 2u = 2AB =

(2(xB − xA),2(yB − yA), 2(zB − zA))

(2xB − 2, 2yB − 0, 2zB − 2) = (2, −1,3) = v

2xB − 2 = 2 → 2xB = 4 → xB = 2

2yB − 0 = −1 → 2yB = −1 + 0 = −1 → yB = −1

2

2zB − 2 = 3 → 2zB = 3 + 2 = 5 → zB =5

2

Diperoleh B (2, −1

2,5

2)

u = AB = ((xB − xA), (yB − yA), (zB − zA))


= ((2 − 1), ( −1

2− 0) , (

5

2− 1))

Jadi u = AB = (1,−1

2 ,

3

2)

Untuk menguji pemahamnmu, selesaikan masalah-

masalah berikut ini!

(1) Jika u = (3, −1,2) dan v = (0,1,2). Tentukan hasil

dari |v | +|u | dan |u + v |!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Tentukan salah satu vektor tak nol u dengan titik

ujung Q(3,0, −5) sedemikian hingga u berlawanan

arah dengan v = (4,−2,−1)!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


(3) Tentukan salah satu vektor tak nol u yang

berpangkal di titik A (−1,2,1) sehingga u memiliki

arah yang sama dengan v = (3,−1,2)!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(4) Buktikan secara geometris bahwa jika u dan v

merupakan vektor-vektor dalam bidang atau ruang,

maka |u | + |v | ≥ |u + v |!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

E. HASIL KALI TITIK/ HASIL KALI

SKALAR/DOT PRODUCT

Diberikan dua buah vektor |0P1 | dan |0P2

| tak nol dalam

dimensi dua sedemikian hingga kedua vektor membentuk

sudut θ. Hubungan antara kedua vektor dinyatakan

melalui definisi berikut.


|0P1 ||0P2

| cos θ = 0P1 ◦ 0P2

Notasi “ ◦ “ dibaca (dot) merupakan notasi dari hasil kali

titik antara dua buah vektor. Secara analitik, hasil kali

titik dapat ditentukan dengan menggunakan aturan

cosinus pada gambar segitiga di bawah ini!

Berdasarkan gambar 1.17, pembaca tentu dapat

menentukan posisi sudut θ antara OP1 dan OP2

sehingga

diperoleh hubungan;

|P1P2 |

2= |0P1 |

2+ |0P2

|2− 2|0P1 ||0P2

| cos θ

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

22=

= √(x1)2 + (x2)

22+ √(y1)

2 + (y2)22− 2|0P1 ||0P2

| cos θ

Gambar 1.17 Vektor v pada bidang


(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 =

= (x1)2 + (y1)

2 + (x2)2 + (y2)

2 − 2|0P1 ||0P2 | cos θ

= x22 + x1

2 − 2x1x2 + y22 + y1

2 − 2y1y2

= x12 + x2

2 + y12 + y2

2 − 2|0P1 ||0P2 | cos θ

−2x1x2 − 2y1y2 = −2|0P1 ||0P2 | cos θ

2x1x2 + 2y1y2 = 2|0P1 ||0P2 | cos θ

x1x2 + y1y2 = |0P1 ||0P2 | cos θ

Dapat disimpulkan bahwa 0P1 ◦ 0P2 = |0P1 ||0P2

| cos θ =

x1x2 + y1y2.

Berdasarkan hasil ini, kita dapat menduga bahwa

besarnya hasil kali titik memiliki beberapa kemungkinan,

diantaranya adalah:

(1) Jika 0P1 ◦ 0P2

> 0, maka cos θ > 0 atau 00 < θ <

900. Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut

lancip.

(2) Jika 0P1 ◦ 0P2

= 0, maka cos θ = 0 atau θ = 900.

Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut siku-

siku.


(3) Jika 0P1 ◦ 0P2

< 0, maka cos θ < 0 atau 900 < θ <

1800. Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut

tumpul.

(4) Jika 0P1 ◦ 0P2

= |0P1 ||0P1

| < 0, maka cos θ = 1

atau θ = 00. Dalam hal ini kedua vektor berhimpit

atau searah.

(5) Jika 0P1 ◦ 0P2

= −|0P1 ||0P1 | < 0, maka cos θ = −1

atau θ = 1800. Dalam hal ini kedua vektor

berlawanan arah.

Contoh 1.5

(1) Tentukan hasil kali titik dan besar sudut antara u =

2i − 3j dan v = 3i + 2j !

Penyelesaian:

u ◦ v = (2)(3) + (−3)(2) = 6 + (−6) = 0

Karena u ◦ v = 0, maka kedua vektor membentuk

sudut siku-siku.

(2) Buatlah dua buah vektor sedemikian hingga hasil

kali skalar keduanya bernilai negatif!


Penyelesaian:

Agar hasil kali skalar dua vektor bernilai negatif,

ambil dua vektor yang saling invers/berkebalikan

sedemikian hingga keduanya membentuk sudut 1800

Misalkan u = 2i − 3j dan v = −2i + 3j

u ◦ v = (2)(−2) + (−3)(3) = (−4) + (−9) = −13

Karena u ◦ v = −13 < 0, maka kedua vektor

membentuk sudut 1800.

(3) Selanjutnya, buktikan bahwa hasil kali titik untuk

u (u1, u2,u3) dan v (v1, v2,v3) adalah u ◦ v = u1v1 +

u2 v2 + v3u3 !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


F. HASIL KALI SILANG/CROSS PRODUCT

Diberikan tiga buah vektor dalam ruang, misalnya u ,

v dan w . Akan dibuat aturan bahwa w tegak lurus

terhadap dua vektor lainnya, jika u (u1, u2, u3),

v (v1, v2, v3), dan w (l, m, n) maka w didefinisikan

sebagai hasil kali silang antara u dan v sehingga ditulis

w = u × v . Karena w tegak lurus u , akibatnya berlaku

lu1 + mu2 + nu3 = 0 dan w juga tegak lurus v ,

akibatnya juga berlaku lv1 + mv2 + nv3 = 0.

Selanjutnya kita akan menentukan komponen-komponen

w dengan aturan Cramer berikut ini!

{lu1 + mu2 + nu3 = 0 lv1 + mv2 + nv3 = 0

atau {lu1 + mu2 = −nu3 lv1 + mv2 = −nv3

(1) Menentukan l

l =|−nu3 u2

−nv3 v2|

|u1 u2

v1 v2|

=−nu3v2 + nv3u2

u1v2 − v1u2

=n(v3u2 − u3v2)

u1v2 − v1u2=

n |u2 u3

v2 v3|

|u1 u2

v1 v2|


(2) Menentukan m

m =|u1 −nu3

v1 −nv3|

|u1 u2

v1 v2|

=−nv3u1 + nu3v1

u1v2 − v1u2

=n(u3v1 − v3u1)

u1v2 − v1u2=

n |u3 u1

v3 v1|

|u1 u2

v1 v2|

Untuk menentukan bentuk n, terlebih dahulu kita

perhatika bentuk baku dari w berikut ini!

w (l, m, n) = li + mj + nk

w (l, m, n) =n |

u2 u3

v2 v3|

|u1 u2

v1 v2|i +

n |u3 u1

v3 v1|

|u1 u2

v1 v2|j + nk

Untuk menentukan n, kita tidak perlu menggunakan

metode Cramer seperti di atas, sebab n dapat ditentukan

secara langsung berdasarkan bentuk baku dari w . Kita

dapat menduga bahwa n akan membuat bentuk baku di

atas menjadi lebih sederhana. Untuk itu, kita ambil

sebarang n yang dapat menghilangkan penyebut dari

bentuk baku w .


Berdasarkan gambar 1.18, w tegak lurus terhadap u dan

v . Oleh karena itu, w dapat ditentukan dengan kaidah

tangan kanan. u mewakili jari telunjuk, v mewakili jari

tengah dan w sebagai hasil kali silang antara u dan v ,

diwakili oleh ibu jari.

Contoh 1.5

Perhatikan gambar berikut ini !

Gambar 1.19 Aturan tangan kanan


Perhatikan vektor-vektor satuan standar pada gambar

1.20 di atas!

i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

Vektor-vektor tersebut memiliki panjang satu satuan dan

terletak pada sumbu-sumbu koordinat. Vektor-vektor ini

disebut sabagai vektor satuan standar dalam ruang

berdimensi 3. Setiap vektor dalam ruang berdimensi 3

dapat dinyatakan dalam bentuk baku seperti;

v = (v1, v2, v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)

= v1i + v2j + v3k

i x j = (|0 01 0

| , − |1 00 0

| , |1 00 1

|) = (0,0,1) = k

Gambar 1.20 Vektor-vektor satuan standar


i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = −k k x j = −i i x k = −j

Gambar berikut ini dapat membantu kita untuk

mengingat hasil-hasil di atas!

Berdasarkan gambar 1.21, hasil kali silang dari dua

vektor berturut-turut searah dengan jarum jam adalah

vektor berikutnya, dan hasil kali silang dua vektor

berturut-turut berlawanan arah dengan jarum jam adalah

negatif adalah negatif dari vektor berikutnya.

Gambar 1.21 Hasil kali silang vektor-vektor satuan standar


Selanjutnya, untuk menyatakan bentuk geometris dari

hasil kali silang kita dapat mengambil dua vektor

sebarang dalam ruang berdimensi tiga, misalkan u dan v .

Dalam hal ini kita menggunakan Identitas Lagrange

sebagai berikut.

|u × v |2 = |u |2|v |2 − (u ◦ v )2

Jika θ menyatakan sudut antara kedua vektor maka u ◦

v = |u | |v | cos θ, sedemikian hingga Identitas Lagrange

dapat ditulis menjadi:

|u × v |2 = |u |2|v |2 − (|u | |v | cos θ)2

|u × v |2 = |u |2|v |2 − |u |2|v |2cos2 θ

|u × v |2 = |u |2|v |2(1 − cos2 θ)

|u × v |2 = |u |2|v |2cos2 θ

Karena 0 ≤ θ ≤ π, maka θ ≥ 0, sehingga hal ini dapat

dituliskan sebagai:

|u × v | = |u ||v | sin θ

Jika kita mengasumsikan bentuk di atas sebagai sebuah

rumus, maka akan diperoleh rumus luasan sebuah


bangun datar dalam bentuk L = a × t. Sekarang akan kita

buat padanan dari kedua rumus diatas.

|u × v | = |u ||v | sin θ = a × t = L

Dengan |u | = a dan |v | sin θ = t. Berdasarkan hal ini,

kita dapat menduga bentuk bangun datar yang memenuhi

ketentuan di atas. Perhatikan gambar di bawah ini!

Berdasarkan gambar 1.22, bentuk geometris hasil kali

silang adalah jajargenjang. Hal ini benar, bahkan jika

kedua vektor kolinear (segaris), akibatnya jajargenjang

yang terbentuk mempunyai luas nol. Hal ini disebabakan

karena sudut antara kedua vektor juga nol. Dengan

demikian kita dapat menyatakan hubungan diatas secara

umum sebagai sebuah teorema yaitu:

Gambar 1.22 Bentuk geometris hasil kali silang


Jika �� 𝐝𝐚𝐧 �� merupakan vektor-vektor dalam ruang

berdimensi tiga, maka |�� × �� | sama dengan luasan

sebuah jajargenjang yang ditentukan oleh �� 𝐝𝐚𝐧 �� .

Contoh 1.6

(1) Tentukan luasan jajargenjang yang dibentuk oleh

u = (2,0, −1) dan v = (3,1,0)!

Penyelesaian:

|u × v | = a × t = L

u × v = |i j k2 0 −13 1 0

| = i + 3i + 2k

L = |u × v | = √12 + 32 + 22 = √1 + 9 + 4 = √14

Luas jajargenjang yang dibentuk oleh u =

(2,0,−1) dan v = (3,1,0) adalah √14 satuan luas.

(2) Tentukan luasan segitiga yang dibentuk oleh titik A

(2,2,0) , B (3,2,1) dan C(0, −2,1)!

Penyelesaian:

AB = (1,0,1) dan BC = (−3,−4,0)


AB × BC = |i j k1 0 1

−3 −4 0

| = 4i + 3i − 4k

Luas jajargenjang = |AB × BC |

= √42 + 32 + (−4)2

= √16 + 9 + 16 = √41

Luas segitiga = 1

2 Luas jajargenjang =

1

2√41

Jadi luas segitiga yang dibentuk oleh A (2,2,0) , B

(3,2,1) dan C(0, −2,1) adalah 1

2√41 satuan luas.

Coba selesaikan masalah-masalah berikut ini!

(1) Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik-titik

sudut P, Q, dan R sebagai berikut!

(a) P(2,6,1), Q(1,2,0) dan R(3,0, −2)

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(b) P(0,3,1), Q(1-2,1) dan R(0,2, 3)


...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(c) P(2,0,1), Q(1,1,0) dan R(1,0, −2)

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(2) Tentukan luas jajargenjang yang dibentuk oleh u dan

v berikut!

(a) u = (1,−1,2) dan v = (0,3,1)

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................


(b) u = (0,1, −2) dan v = (−1,3,1)

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(c) u = (2,1,2) dan v = (0,2, −1)

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

G. PROYEKSI VEKTOR


Gambar 1.23 Proyeksi vektor �� pada ��


Diberikan dua buah vektor yaitu u pada v dalam bidang

atau ruang sedemikian hingga keduanya membentuk

sudut θ. Berdasarkan gambar 1.23, proyeksi u pada

vektor v adalah |w1 | yang ditentukan oleh:

cos θ =|w1 |

|u |→ |w1 | = |u | cos θ

Besarnya |w1 | disebut sebagai proyeksi skalar

ortogonal dari u pada v . Proyeksi skalar ortogonal

disebut juga sebagai panjang proyeksi dari u pada v .

Proyeksi skalar ortogonal memiliki beberapa

kemungkinan nilai yang bergantung pada besarnya sudut

θ. Kemungkinan-kemungkinan tersebut antara lain:

(1) Jika θ lancip, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai positif.

(2) Jika θ siku-siku, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai 0

(nol).

(3) Jika θ tumpul, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai

negatif.

Dengan mengingat bentuk cos θ =u ∘ v

|u ||v |, kita

substitusikan ke |w1 | = |u | cos θ, sedemikian hingga

diperoleh bentuk berikut ini.


|w1 | = |u | (u ∘ v

|u ||v |) → |w1 | =

u ∘ v

|v |

Selanjutnya, pada gambar terdapat vektor satuan e1 yang

memenuhi w1 = |w1 |e1

Dalam hal ini, e1 merupakan vektor satuan dari v .

Karena v searah dengan w1 , maka vektor satuan dari w1

sama dengan vektor satuan dari v . Vektor satuan dari

v ditentukan oleh:

e1 =v

|v |

Substitusikan |w1 | =u ∘ v

|v | dan e1 =

v

|v | ke persamaan

w1 = |w1 |e1, diperoleh:

w1 = (u ∘ v

|v |) (

v

|v |) = (

u ∘ v

|v |2) v

w1 = (u ∘ v

|v |2) v

Besaran ini selanjutnya disebut sebagai proyeksi vektor

ortogonal dari u ke v .


Contoh 1.6

Diketahui A(1, 3,1), B(−2,1,1) dan p = (2,0,1)

(a) Tentukan proyeksi skalar p pada arah AB !

Misalkan w sebagai proyeksi skalar p pada arah AB

dan AB = (−3,−2,0), maka:

|w | =p ∘ AB

|AB |=

(2(−3) + 0(−2) + 1(0))

√(−3)2 + (−2)2 + 02

=(−6) + 0 + 0

√9 + 4=

−6

√13

Jadi proyeksi skalar p pada arah AB adalah |w | =−6

√13

(b) Tentukan proyeksi vektor p pada arah AB !

w = (p ∘ AB

|AB |2 )AB = (

−6

(√13)2) (

−3−20

)

w =−6

13 (

−3−20

) =1

13(18120

)

Jadi proyeksi vektor p pada arah AB adalah w =

1

13(18120

)


Selesaikan masalah-masalah berikut ini!

(1) Bagaimana jika v diproyeksikan ke u ???

..............................................................................

(2) Bagaimanakah gambar kedua vektor tersebut???

.....................................................................................

Hal ini diserahkan kepada pembaca sebagai latihan untuk

membuktikan bahwa ;

|w1 | =u o v

|u | disebut sebagai proyeksi skalar ortogonal

dari v ke u .

Sedangkan

w1 = (u o v

|u |2) u , disebut sebagai proyeksi vektor

ortogonal dari v ke u .

...................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................


...................................................................................................

...................................................................................................

(3) Diketahui A(2,3, −1), B(−2,−4,3) dan p = 4i −

3j + k

(a) Tentukan proyeksi skalar p pada arah AB !

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(b) Tentukan proyeksi ortogonal p pada arah AB !

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(4) Diketahui a = 3i + 5j − 2k , b = −i − 2j + 3k, dan

c = 2i − j + 4k

(a) Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari b ke

(2a − c )!

...............................................................................

...............................................................................


...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

(b) Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari b ke

(2a − c )!

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

H. UJIAN AKHIR BAB

(1) Buktikan bahwa r = ai + bj + ck merupakan vektor

posisi yang menghubungkan titi pusat koordinat

dengan sebarang titik di ruang dengan koordinat

(a,b,c)!

(2) Vektor i dan j masing-masing merupakan vektor

satuan yang searah dengan sumbu x positif dan

sumbu y positif. Jelaskan mengapa i + j bukan


merupakan vektor satuan? Tentukan vektor satuan

dari vektor i + j !

(3) Tunjukkan bahwa titik-titik P(4,2,6), Q(10, −2,4)

dan R(−2,0,2) merupakan titik-titik sudut segitiga

sama kaki! Tentukan luas segitiga tersebut!

(4) Tunjukkan bahwa titik-titik A(4,2,4), B(10,2, −2)

dan C(2,0, −4) merupakan titik-titik sudut segitiga

sama sisi! Tentukan luas segitiga tersebut!

(5) Tunjukkan bahwa titik-titik D(6,-10,0), E(1,0, −5)

dan F(6,10,10) merupakan titik-titik sudut segitiga

siku-siku! Tentukan luas segitiga tersebut!

(6) Diketahui empat buah titik teletak di ruang

berdimensi tiga dengan koordinat masing-masing

A(2, −1,0), B(0, −1,−1), C(1,1−3), dan

D(3,1, −2). Dengan menggunakan hasil kali titik,

tunjukkan bahwa ABCD membentuk sebuah persegi

panjang!

(7) Sudut α, β, dan γ masing-masing merupakan sudut

yang dibentuk oleh a = i + 2j − 2k terhadap sumbu

x, sumbu y dan sumbu z.


(a) Dengan menggunakan hasil kali titik,

tentukanlah cos α, cos β, dan cos γ!

(b) Kemudian tunjukkan bahwa cos2 α + cos2 β +

cos2 γ = 1

(8) Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut

A(4, −,2), B(2, −2,6) dan C(3,4,5).

(a) Tunjukkan dengan gambar bahwa proyeksi

vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh

vektor 2i − j − 4k !

(b) Tunjukkan dengan gambar bahwa proyeksi

vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh

vektor i + 6j − k!

BAB II GARIS LURUS MODEL ANALITIK GARIS LURUS

54 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus

A. Persamaan Garis Lurus

Garis lurus merupakan bentuk geometris yang dihasilkan

dari korespondensi dari tak hingga titik dalam bidang.

Terbentuknya garis lurus dapat dianalisis berdasarkan

kompen-komponen di dalamnya seperti titik, vektor, dan

parameter lainnya. Untuk itu penting bagi kita mengetahui

proses-proses analitik pada sebuah garis lurus dalam

bidang. Selain itu, ada istilah lain dalam bidang aljabar

yang sudah lama kita kenali yaitu linear. Bagaimanakah

kaitan antara garis lurus dengan linear?? Ya...linear

merupakan istilah yang menyatakan bentuk geometris dari

persamaan aljabar dengan pangkat tertinggi variabelnya

adalah satu. Oleh karena itu, jika persamaan linear ini

digambar, maka bentuknya menjadi garis lurus. Jadi, jika

kita membahas persamaan garis lurus, maka sudah pasti

kita akan menemui persamaan linear di dalamnya.

Setiap garis lurus selalu memuat komponen-komponen

skalar seperti halnya pada gambar garis k berikut ini.

Dapat kita lihat bahwa melalui titik A, B, dan C dapat

ditentukan besaran ∆x dan ∆y. Kedua besaran ini masing-

masing menyatakan komponen skalar garis secara

Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 55

horizontal dan vertikal. Jika pada garis k memuat AB ,

maka komponen-komponen vektor tersebut ditentukan

oleh [∆x = (xb − xa), ∆y = (yb − ya)] dan pasangan ini

dinamakan pasangan bilangan arah dari suatu garis lurus.

Untuk memahami posisi bilangan arah pada garis,

perhatikan gambar di bawah ini!

Jika dikaitkan dengan trigonometri, maka perbandingan

antara ∆y terhadap ∆x pada gambar (1) dapat dinyatakan

dalam bentuk tan θ = ∆y

∆x dengan θ merupakan sudut yang

dibentuk oleh garis k terhadap AC = ∆x. Namun jika

besaran ini diinterpretasikan ke dalam konsep garis lurus,

Gambar 2.1. Pasangan Bilangan Arah


maka nilai tan θ dipandang sebagai kemiringan dari garis

k. Untuk itu perhatikan gambar (2) berikut ini !

Kemiringan garis atau gradien garis atau kecondongan

garis adalah konstanta atau bilangan yang menentukan

kedudukan/posisi garis tertentu. Kemiringan garis atau

gradien garis atau kecondongan garis dikelompokan ke

dalam tiga kategori yaitu: 1) kemiringan garis positif, 2)

kemiringan garis nol, dan 3) kemiringan garis negatif.

Sebuah garis memiliki kemiringan/gradien positif apabila

posisi garis itu miring ke kanan (jatuh ke arah kanan),

kemiringan/gradien garis nol apabila garis tersebut sejajar

sumbu x, dan kemiringan/gradien garis negatif apabila

Gambar 2.2. Kemiringan Pada Garis Lurus


posisi garis itu miring ke kiri (jatuh ke arah kiri). Sebuah

garis tegak lurus sumbu x atau sejajar sumbu y

didefinisikan tidak memiliki kemiringan/gradien.

Berdasarkan gambar 2.2, nilai θ disebut sebagai inklinasi

dari garis lurus. Sedangkan nilai tangen dari inklinasi

sebuah garis lurus disebut koefisien

arah/kemiringan/gradient (disimbolkan m). Nilai m

ditentukan oleh besarnya θ. Oleh karena itu, ada beberapa

kasus (akibat) yaitu :

Akibat 1 :

Jika garis membentuk sudut lancip terhadap sumbu x

maka m bernilai positif, dan jika membentuk sudut

tumpul, maka m negatif. Hal ini disebabkan karena nilai

tangen di kuadran I bernilai positif, sedangkan di kuadran

II (sudut tumpul) nilai tangen bernilai negatif.

Coba gambarlah garis lurus sehingga gradiennya bernilai

positif !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


Akibat II :

Jika garis tegak lurus terhadap sumbu x, atau θ = 900,

maka m tidak didefinisikan. Mengapa??

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Gambarlah garis tersebut dan tunjukkan

ketegaklurusannya terhadap sumbu x!

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Akibat III :

Jika garis sejajar sumbu x atau θ = 00, maka m = 0

Coba analisa akibat tersebut, nyatakan dalam gambar !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Setelah mempelajari kemungkinan-kemungkinan gradien

garis, sekarang kita akan menganalisa garis lurus

berdasarkan vektor-vektor yang termuat di dalamnya.


Diberikan sebuah garis g yang memuat titik-titik A (x1,y1),

B (x2,y2) dan P (x,y). Nampak bahwa garis g dapat

dinyatakan ke dalam bentuk perbandingan vektor yaitu AP

dan AB . Jika P adalah suatu titik yang berubah-ubah

g

Gambar 2.3 Garis g


posisinya pada garis g dan t adalah suatu parameter

(ukuran yang nilainya berubah-ubah), maka kita peroleh

AP = t AB , dengan t bilangan real. Berdasarkan hal ini,

kita bisa mengambil beberapa contoh t untuk nilai tertentu

dan akibatnya. Jika t = 0, maka A berhimpit dengan P. Jika

t =1 maka P berhimpit dengan B. Bagaimana jika 0 < t <

1, Bagaimana jika t > 1, dan bagaimana jika t < 0 ?

Dimanakah posisi P untuk ketiga kasus di atas?

(Pembaca dipersilahkan untuk menjawab permasalahan

ini) !

Berdasarkan AP = t AB dengan AP = [x − x1, y − y1]

dan AB = [x2 − x1, y2 − y1], kita peroleh bentuk sebagai

berikut !

[x − x1, y − y1] =t[x2 − x1, y2 − y1] ↔ (x − x1) =

t(x2 − x1) dan (y − y1) = t(y2 − y1)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa setiap titik (x,y)

merupakan koordinat titik yang terletak pada g dan juga

memuat AB . Untuk selanjutnya :


{(x − x1) = t(x2 − x1)(y − y1) = t(y2 − y1)

atau (x − x1) = t ∆x(y − y1) = t ∆y

dengan t

sebagai parameter.

(Persamaan 1)

Persamaan (1) selanjutnya disebut sebagai persamaan

parameter garis lurus.

Berdasarkan proses di atas, kita ubah bentuk persamaan

parameter sedemikian hingga menjadi:

t = (x−x1)

∆x dan t =

(y−y1)

∆y

karena t = t, maka berlaku (x−x1)

∆x=(y−y1)

∆y (Persamaan 2)

Karena persamaan (2) berbentuk simetris untuk kedua

ruasnya, maka persamaan ini disebut sebagai persamaan

simetris garis g. Penting untuk diketahui juga bahwa ∆x

dan ∆y merupakan sepasang bilangan arah garis g. ∆x

mewakili arah sepanjang sumbu x (horizontal) dan ∆y

mewakili arah sepanjang sumbu y (vertikal). Karena

persamaan (2) memuat sepasang bilangan arah [∆x, ∆y],

maka persamaan (2) juga disebut sebagai persamaan

bilangan arah.


Untuk mengkonstruksi persamaan umum suatu garis

lurus, mari kita tinjau ulang bentuk persamaan (2) di atas

!

(x − x1)

∆x=(y − y1)

∆y

∆y(x − x1) = ∆x(y − y1)

∆yx − ∆yx1 = ∆xy − ∆xy1

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini, sekarang kita

tinjau gambar berikut ini !

Misalkan n = [a, b] merupakan vektor yang tegak lurus

terhadap garis yang melalui PQ dengan P (x1, y1) dan Q

Gambar 2.4. Vektor Normal n terhadap garis dalam bidang


(x,y) sehingga PQ = [ x − x1, y − y1] maka n disebut

vektor normal terhadap PQ . Berdasarkan teorema

ortogonalitas vektor (dot product theorem), jika n dan PQ

tegak lurus maka n o PQ = 0. Teorema ini berakibat pada

[a,b] o [ x − x1, y − y1] = 0.

a (x − x1) + b (y − y1)= 0

ax−ax1+ by − by1= 0

ax + by − ax1 − by1= 0

ax + by + C= 0 ; dengan −ax1 − by1= C

Untuk selanjutnya ax + by + C= 0 ; a,b,c bilangan real

disebut persamaan umum garis lurus. Persamaan garis ini

berpangkat satu untuk x dan y sehingga disebut juga

sebagai persamaan linear. Penting untuk diketahui bahwa:

n = [a, b] disebut vektor koefisien atau vektor normal

garis dengan a dan b, tidak boleh keduanya 0.

Sebuah vektor [b, −a] pasti terletak pada garis, karena

[a, b] o [b, −a] = 0. Jadi koefisien arah dari garis dengan


persamaan umum ax + by + C= 0 ditentukan oleh by =

−ax − C atau y = −ax−C

b

y = −a

bx −

C

b sehingga m =−

a

b

Contoh 2.1

(1) Tentukan persamaan parameter dari g; 2x – 4y = 8 dan

kemiringannya!

Penyelesaian:

Ambil dua titik sebarang pada g, paling mudah kita

tentukan titik potongnya terhadap sumbu x dan

sumbu y yaitu, (0, –2) dan (4,0). Dari kedua titik ini,

kita tentukan ∆x = 4 dan ∆y = 2. Dengan mengambil

salah satu dari dua titik potong, misalkan kita ambil

(x1, y1) = (4,0), dapat dibentuk persamaan parameter

g yaitu;

(x − x1) = ∆x t(y − y1) = ∆y t

} → (x − 4) = 4 t(y − 0) = 2 t

} →x = 4 t + 4y = 2 t

}

Gradien/kemiringan garis g adalah ∆y

∆x=2

4=1

2 ,

dengan


Persamaan parameter g adalah x = 4 t + 4y = 2 t

}

(2) Jika (x − 2) = 4t − 1(y + 3) = t − 2

, maka tentukan persamaan

garis tersebut dalam bentuk umum !

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu komponen-komponen

vektor arah pada persamaan parameter diatas!

(x − 2) = 4t − 1(y + 3) = t − 2

} → x = 4t + 1y = t − 5

} → ∆x = 4, ∆y =

1, melalui (1, –5)

Jadi vektor arahnya adalah [4,1] melalui titik (x1, y1)

= (1, –5), sedangkan vektor normalnya [–1,4].

Persamaan umumnya berbentuk; −1 (x − 1) +

4(y + 5) = 0

−1 (x − 1) + 4(y + 5) = 0 → −x + 1 + 4y + 20

= 0 → −x + 4y + 21 = 0

Jadi persamaan garis dalam bentuk umumnya adalah

−x + 4y + 21 = 0


Untuk menguji pemahamanmu, coba selesaikan

masalah-masalah berikut ini!

(1) Diberikan garis g dengan vektor arah v = mi + nj

dan suatu titik A(x1, y1) yang terletak pada garis g.

Tunjukkan bahwa garis g dapat dinyatakan ke dalam

bentuk persamaan y − y1 =n

m(x − x1) !

Ambil sebarang P (x,y) ∈ g sedemikian hingga AP = tv

untuk suatu parameter t. Karena v vektor arah dari garis g

akibatnya berlaku :

AP = tv → [(x − x1)⏟ ∆x

, (y − y1)⏟ ∆y

] = tm⏟∆x

i + tn⏟∆y

j

Gambar 2.5. Vektor arah pada garis g


Kita ambil komponen-komponen yang bersesuaian

dengan ∆x dan ∆y yaitu :

(x − x1) = tm dan (y − y1) = tn, sehingga diperoleh

bentuk parameter sebagai berikut !

x = ⋯y = ⋯}

tm = x − x1 dan tn = y − y1

t =…

…t =

…

…

}

Diperoleh …

…=…

…→ n(… ) = m(… ) → (… ) =

𝐧

𝐦(… )

Diketahui persamaan parameter garis h berbentuk x =

−2 − 2 t dan y = 5t + 5. Tentukan persamaan umum dan

vektor normalnya !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


(2) Garis g melalui titik P(–1,2) dan mempunyai

pasangan bilangan arah [2,3]. Tentukan :

(a) Koefiseien arahnya

................................................................................

................................................................................

................................................................................

(b) Persamaan parameter garis

................................................................................

................................................................................

................................................................................

(c) Persamaan garis dalam bentuk bilangan arah

................................................................................

................................................................................

................................................................................

(d) Persamaan umum garis

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................


Gambar 2.6 Dua garis sejajar

B. Garis-garis Sejajar

Secara geometris garis-garis sejajar merupakan garis-garis

lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak

berpotongan satu sama lain sejauh apapun garis-garis

tersebut diperpanjang. Dua garis lurus saling sejajar

dinyatakan dengan simbol AB // CD . Bentuk dua garis

sejajar diperlihatkan pada gambar di bawah ini !

Berdasarkan gambar 2.6 di atas, dapat dibentuk beberapa

prinsip tentang kesejajaran garis lurus. Sebagai pembaca,

anda diharapkan dapat mengidentifikasi setiap prinsip

melalui gambar. Berikut ini disajikan prinsip-prinsip

kesejajaran yang meliputi;


(1) Melalui suatu titik tertentu yang tidak berada pada

garis tertentu, dapat dibuat satu dan hanya satu garis

yang sejajar dengan garis pertama.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Dua garis dikatakan sejajar, jika sepasang sudut yang

bersesuaian kongruen.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(3) Dua garis dikatakan sejajar, jika sepasang sudut

dalam bersebrangan kongruen.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


(4) Dua garis dikatakan sejajar jika sepasang sudut dalam

pada sisi transversal yang sama adalah sudut-sudut

suplementer.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(5) Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut

tegak lurus terhadap satu garis yang sama.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(6) Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut

sejajar terhadap satu garis yang sama.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


Setelah mempelajari prinsip-prinsip geometris garis-garis

sejajar, sekarang kita akan mengkaji tentang bentuk

analitik dari dua garis sejajar. Kita akan memulai

pembahasan ini dengan memberikan dua garis dengan

persamaan masing-masing yaitu g1 ; a1x + b1y + c1 = 0 dan

g2 ; a2x + b2y + c2 = 0. Berdasarkan pembahasan

sebelumnya, kita dapat membuat vektor-vektor arah pada

kedua garis tersebut. Untuk g1, kita ambil sebarang vektor

arah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah u =

[–b2,a2]. Berdasarkan prinsip kesejajaran, jika kedua garis

sejajar, maka semua vektor arah dari kedua garis tersebut

juga sejajar. Hal ini berarti u //v , sedemikian hingga kita

dapat menyatakan hubungan kedua vektor dalam bentuk

perbandingan seperti u = k v , untuk suatu k parameter

tertentu.

u = k v →[–b1,a1] = k[–b2,a2]

[–b1,a1] = [–k b2, k a2] → –b1 = –k b2 dan a1 = k a2

Dari kedua persamaan tersebut, k = −b1

−b2=a1

a2 → −b1a2 =

−b2a1


−b1a2 = −b2a1 →−a2

b2=−a1

b1 → m1 = m2

Ini membuktikan bahwa dua garis sejajar terjadi jika

gradien (m) keduanya bernilai sama. Sekarang kita akan

mempersempit kajian kita mengenai konsep lain dari

kesejajaran yaitu dua garis berhimpit. Bagaimana syarat

dua garis berhimpit? Bagaimana ciri-ciri persamaannya?

Untuk menjawab masalah ini, kita harus memahamai

perbedaan dua garis sejajar dan dua garis berhimpit. Jika

kedua garis sejajar, maka kedua garis tidak memiliki titik

potong/penyelesaian, sehingga sudut inklinasi diantara

keduanya tidak ada. Sedangkan dua garis berhimpit

memiliki tak hingga titik potong/penyelesaian atau dengan

kata lain, kedua garis membentuk sudut inklinasi yang

besarnya 00. Selain itu, kita juga bisa mengamati bahwa

dua garis sejajar atau berhimpit tidak terbatas pada

ukurannya. Bisa saja satu garis menjadi kelipatan dari

garis lainnya. Inilah yang menyebabkan koefisien-

koefisien pada persamaan garisnya membentuk

perbandingan tertentu, bisa sama untuk setiap koefisien

dan konstantanya, namun bisa juga tidak khususnya pada

konstantanya saja.


Jika diberikan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0 dan g2 ; a2x + b2y +

c2 = 0 , dalam hal ini kita buat sehingga c1 = k c2 atau k =

c1

c2. Jika digabungkan dengan kesamaan sebelumnya

diperoleh bentuk k = b1

b2=a1

a2=

c1

c2. Kesamaan ini berarti

semua koefisien dan konstanta memiliki nilai

perbandingan yang sama/tetap. Hal ini memungkinkan

dugaan kita bahwa, sangat mungkin terjadi jika satu garis

menjadi kelipatan dari garis lainnya. Dalam hal ini,

kelipatan yang dimaksud dinyatakan dengan besaran k.

Jadi kesimpulannya jika k = b1

b2=a1

a2=

c1

c2, maka g1 = g2

atau dengan kata lain, kedua garis berhimpit.

Contoh 2.2

(1) Diberikan g1 = 3x – 2y + 1 = 0 dan g2 = x – 2

3y +

1

3=

0, tentukan kedudukan kedua garis tersebut!

Penyelesaian:

Selidiki perbandingan b1

b2=a1

a2= c1

c2 pada kedua garis !

b1b2=a1a2=c1c2→3

1=−2

−23

=1

13

= 3


nilai perbandingannya sama, akibatnya kedua garis

berhimpit.

(2) Jika k; x = 4t − 1y = 2t − 5

} dan l; x = 2t + 4y = t − 3

}, tentukan

kedudukan kedua garis tersebut!

Penyelesaian:

Selidiki gradiennya dengan cara menentukan vektor

arah dari masing-masing persamaan!

[∆xk, ∆yk] = [4,2] → mk =∆yk∆xk

=2

4=1

2

[∆xl, ∆yl] = [2,1] → ml =∆yl∆xl

=1

2

mk = ml =1

2 , akibatnya k//l, namun masih ada

kemungkinan yang belum diselidiki yaitu konstanta

kedua garis dengan cara membentuk persamaan

umumnya.

Gunakan vektor normal kedua garis yaitu nk = [–2,4]

dan nl = [–1,2] melalui (xk,yk) = (–1, –5) dan (xl,yl) =

(4, –3)!


k; −2(x + 1) + 4(y + 5) = 0 → −2x − 2 + 4y + 20 =

0 → −2x + 4y + 18 = 0 → ck = 18

l; − (x − 4) + 2(y + 3) = 0 → −x + 2 + 2y + 6 =

0 → −x + 2y + 8 = 0 → cl = 8

18 ≠ 8 → ck ≠ cl akibatnya garis k tidak berhimpit

dengan garis l,

Jadi kedua garis hanya sejajar.

Untuk menambah pemahamnmu, coba selesaikan


(1) Dari pasangan-pasangan garis berikut, manakah

pasangan yang sejajar atau berhimpit??? Berikan

alasan disertai gambar !!

(a) 2x – y + 2 = 0 dan y + 2x – 2 = 0

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(b) y = x – 8 dan 2y = x – 1

.....................................................................................


.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(c) y = 2 dan x = 2

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(d) {x = 2 + 2ty = t

dan x = 2 − 6ty = 1 − 3t

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(e) 2x + y – 3 = 0 dan 6x + 3y – 9 = 0

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


Gambar 2.7 Dua garis tegak lurus

C. Ketegaklurusan Dua Garis

Perhataikan gambar di bawah ini!

Berbicara ketegaklurusan antara dua garis, maka kita juga

akan bicara ketegaklurusan antara dua vektor arah dari dua

garis yang berbeda. Jika diberikan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0

dan g2 ; a2x + b2y + c2 = 0, dengan vektor arah untuk g1

adalah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah

v = [–b2,a2]. Berdasarkan definisi dot product, kita

dapatkan hubungan sebagai berikut.

u ◦ v = |u ||v |cos θ, karena g1 tegak lurus g2, akibatnya θ =

900.


(-b1)(-b2) + a1 a2 = 0, sebab cos 900 = 0

b1b2 + a1a2 = 0 → b1b2 = – a1a2

b1b2 = – a1a2 → a1

b1=

b2

−a2=

1−a2b2

→ m1 = 1

−m2→ m1m2 =

−1

Dapat disimpulkan bahwa dua garais tegak lurus jika hasil

kali kedua gradiennya adalah (–1).

Contoh 2.3

(1) Diberikan g1 = x – 2y + 1 = 0 dan g2 = 2x + y +1

3=

0, tentukan kedudukan kedua garis tersebut!

Penyelesaian :

Selidiki gradien kedua garis !

mg1 = −1

−2=1

2 dan mg2 =

−2

1= −2

mg1 x mg2 = 1

2 x (−2 ) = −1

Karena mg1 x mg2 = −1 akibatnya kedua garis tegak

lurus


(2) Jika k; x = 4t − 1y = t + 5

} dan l; x = 2t + 4y = t − 3

}, tentukan

kedudukan kedua garis tersebut!

Penyelesaian :

Selidiki gradiennya dengan cara menentukan vektor

arah dari masing-masing persamaan!

[∆xk, ∆yk] = [4,1] → mk =∆yk∆xk

=1

4

[∆xl, ∆yl] = [2,1] → ml =∆yl∆xl

=1

2

mk x ml = 1

4 x 1

2=

1

8≠ −1

Kedua garis tidak tegak lurus.

Untuk menambah pemahamnmu, coba selesaikan


(1) Dari pasangan garis berikut, manakah yang saling

tegak lurus?? Berikan alasan disertai dengan gambar

!!!


(a) 2x – y + 5 = 0 dan y + 2x = 0

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

(b) y = x – 1 dan 2y = x + 2

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

(c) x = 3 dan x = -3

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................

................................................................................


Gambar 2.8 Sudut di antara dua garis

D. Sudut antara Dua Garis


Untuk menentukan sudut di antara dua garis, terlebih

dahulu kita perhatikan segitiga besar dari gambar di atas!

Jika γ merupakan sudut antara g1 dan g2, maka m ∠ γ +m

∠(180 − α) + m ∠β = 1800, sebab jumlah tiga sudut

dalam pada segitiga adalah 1800.

m ∠ γ +m ∠(180 − α) + m ∠β = 1800

m ∠ γ − m ∠α + m ∠β =0

m ∠ γ = m ∠α − m ∠β

Jika dikaitkan dengan tan γ = tan (α − β)


tan (α − β) = tanα−tanβ

1+tan α.tanβ =

m1−m2

1+m1.m2

Dengan m1 adalah gradien g1 dan m2 adalah gradien g2.

Kesimpulannya bahwa besarnya sudut antara dua garis

dapat ditentukan dengan rumus selisih tangen dua sudut di

atas.

Terdapat cara lain yang tentunya menggunakan

pendekatan yang berbeda. Misalkan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0

dan g2 ; a2x + b2y + c2 = 0, dengan vektor arah untuk g1

adalah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah

v = [–b2,a2]. Dengan menggunakan operasi dot product

kita peroleh ;

cos γ =�� 0 ��

|�� ||�� | =

b1b2+a1a2

√(b1)2+(b2)2√(a1)2+(a2)2

Kedua cara dapat digunakan sesuai dengan syarat yang

ada pada soal.

Contoh 2.4

(1) Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis k; 2x

– y = 6 dan n; x + 2y = 5 !

Penyelesaian:


Kita tentukan gradien masing-masing garis terlebih

dahulu.

mk = 2 dan mn = −1

2

tan θ =tanα−tanβ

1+tan α.tanβ =

mk−mn

1+mk.mn=

2+ 1

2

1+(−1)=

5

2

0

tan θ =

5

2

0↔ θ = 900

Jadi besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis

adalah 900

(2) Tentukan nilai cos θ dari sudut yang dibentuk antara

vektor q[1, –2] terhadap garis p; x + 2y – 3 = 0 !

Penyelesaian:

Ambil sebarang vektor arah dari garis p, misalkan

p = [2,1], lalu operasikan dengan vektor q = [1,-2]

melalui dot product.

cos θ =�� 𝟎 ��

|�� ||�� | =

1(2)+(−2)1

√(1)2+(−2)2√(2)2+(1)2=0

5= 0

cos θ = 0 ↔ θ = 900


Gambar 2.9 Jarak titik P ke garis g

(3) Cobalah pikirkan bagaimana cara menentukan sudut

antara g1; 2x – 3y + 12 = 0 dan g2 ; x + 2y – 4 = 0???

Gunakan dua cara disertai gambarnya !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

E. Jarak Titik ke Garis

Jarak titik ke garis didefinisikan melalui gambar berikut !


Berdasarkan gambar, jarak titik P(x,y) ke garis g diwakili

d. Jarak dalam hal ini merupakan lintasan terpendek yang

menghubungkan titik dan garis sedemikian hingga antara

garis dan ruas garis yang mewakili jarak membentuk sudut

siku-siku/ortogonal. Nah, untuk menentukan panjang d,

kita dapat menggunakan beberapa pendekatan analitik,

antara lain dengan prinsip hasil kali silang vektor dan

vektor normal.

Dengan prinsip hasil kali silang vektor (cross product),

diberikan persamaan garis g; ax + by + c = 0, dengan titik

potong pada sumbu x adalah (−c

a, 0),

mengapa????......................................................................

Ambil sebarang vektor arah pada g, yaitu u = [b,-a] dan

QP = [x + 𝐜

𝐚, 0]

maka berdasarkan hasil kali silang dua vektror, diperoleh;

|u x QP | = |u | |QP | sin γ = |u | d, dengan d = |QP | sin γ

mengapa??????


............................................................................................

............................................................................................

|u x QP | = |i j kb ……… 0…… y 0

| = (by +........) k

= (ax + by + .....) k,

d = |u x QP |

|�� |=(ax + by + .....)

√b2+a2

Untuk pendekatan yang kedua, kita gunakan analisa

vektor. Namun pembaca diminta untuk membuat

gambarnya berdasarkan uraian berikut !

Diberikan titik P1(x1,y1), garis g; ax + by + c = 0, dan u =

[a,b] vektor normal pada garis g. Titik P2 (x2,y2)

merupakan proyeksi titik P1(x1,y1) pada garis g

sedemikian hingga ruas garis P1P2 tegak lurus garis g.

Selanjutnya ruas garis P1P2 diubah menjadi P2P1 , inilah

yang disebut dengan jarak (d). Tujuan kita adalah mencari

jarak P ke garis g. Coba gambarkan ilustrasi tersebut !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Berdasarkan keterangan di atas, jelas bahwa u = [a,b]

sejajar dengan P2P1 , akibatnya sudut antara keduanya

adalah θ = 00. Dengan menggunakan rumus cosinus sudut

antara dua vektor, yaitu:

cos θ =u 𝐨 P2P1

|u || P2P1 |

d = | P2P1 | = u o P2P1

|u |= [a, b] o [x1 − x2, y1 − y2]

√a2 + b2

=a(x1 − x2) + b( y1 − y2)

√a2 + b2

d = | P2P1 | =ax1 + by1 + (−ax2 − by2)

√a2 + b2

=ax1 + by1 + C

√a2 + b2

d = |ax1 + by1 + C

√a2 + b2|


Contoh 2.5

(1) Tentukan jarak antara titik P(2, –1) terhadap garis 2x

+ y – 6 = 0 !

Penyelesaian :

Misalkan P (x1,y1) = (2, –1) , a = 2 dan b = 1. Gunakan

rumus d, sedemikian hingga d = |ax1+by1+C

√a2+b2| = d =

|2(2)+(−1)+(−6)

√22+12| = |

−3

√5| =

3

√5

Jarak antara titik P ke garis 2x + y – 6 = 0 adalah 3

√5

satuan

(2) Tentukan jarak antara garis p; x + y = 3 dan q; x + y

– 4 = 0 !

Penyelesaian:

Ambil sebarang titik pada salah satu garis, misalkan

kita ambil titik dari garis p; x + y = 3, diperoleh A(0,3)

dengan a = 1, b = 1, c = –4 diambil dari garis q. Lalu

gunakan rumus d sedemikian hingga;

d = |ax1+by1+C

√a2+b2| = d = |

1(0)+1(3)+(−4)

√12+12| = |

−1

√2| =

1

√2


Jarak antara kedua garis adalah 1

√2 satuan

Sekarang kita gunakan rumus di atas untuk

menyelesaikan masalah berikut ini !

(1) Bagaimana jarak titik A(–3,5) dan titik (0, –3)

terhadap garis g dengan persamaan g; 3x – 4y + 12 =

0 ??? buatlah gambarnya !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Buktikan bahwa jarak antara dua garis sejajar g1; Ax

+ By + C = 0 dan g2; Ax + By + C’ = 0 adalah |C−C′|

√a2+b2

!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

....................................................................................


(3) Tentukan jarak antara g1 ; x = –3 dan g2 ; y = 2x !

Nyatakan dalam gambar!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

....................................................................................

F. Perpotongan Garis-garis

Ada beberapa kemungkinan kedudukan dua garis lurus,

berpotongan, sejajar atau berhimpit. Dua garis

berpotongan tepat pada satu titik. Titik ini kemudian

disebut sebagai penyelesaian. Dua garis sejajar dikatakan

tidak memiliki penyelesaian, sebab keduanya tidak

berpotongan, sedangkaan dua garis berhimpit memiliki

tak hingga banyaknya penyelesaian. Mengapa demikian??

............................................................................................

............................................................................................

Khusus untuk garis-garis yang berpotongan, terdapat

beberapa cara standar/baku dalam menentukan koordinat


titik potong/penyelesaiannya. Metode substitusi, eliminasi

atau gabungan keduanya merupakan metode lazim yang

telah kita pelajari sejak SMP. Sekarang kita akan

mengubah ilustrasi tentang metode-metode tersebut

menjadi sebuah ilustrasi baru sedemikian hingga setiap

sistem persamaan garis lurus akan dinyatakan ke dalam

bentuk determinan koefisien-koefisien dari variabel yang

dimuat dalam sistem persamaan.

Misalkan diberikan g1; a1x + b1y + c1 = 0 dan g1; a2x +

b2y + c2 = 0, membentuk sebuah sistem sedemikian hingga

kita akan menentukan ada tidaknya solusi dari kedua

persamaan tersebut. Ada 3 kemungkinan, yaitu;

(1) Jika |a1 b1a2 b2

| = a1b2 − a2b1 ≠ 0,atau a1

a2≠b1

b2, maka

dua garis tersebut berpotongan di satu titik.


| = a1b2 − a2b1 = 0,atau a1

a2=b1

b2 dan

a1

a2=b1

b2 ≠

c1

c2, maka dua garis tersebut sejajar (tidak

berpotongan).



| = |a1 c1a2 c2

| = |c1 b1c2 b2

| atau a1

a2=b1

b2 =

c1

c2, maka kedua garis tersebut berhimpit.

Berdasarkan ketiga kemungkinan di atas, buatlah

beberapa contoh sistem persamaan yang memenuhi setiap

kemungkinan dan tunjukkan melalui determinan !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

G. Berkas Garis

Sebuah titik dilalui oleh beberapa garis yang banyaknya

tak hingga. Garis-garis tersebut membentuk suatu

himpunan yang disebut sebagai berkas garis. Jika

diberikan g1; a1x + b1y + c1 = 0 dan g1; a2x + b2y + c2 = 0,

yang tidak sejajar, maka secara simbolis dapat dituliskan

sebagai g1 = 0 dan g2 = 0. Untuk menyatakan suatu berkas


Gambar 2.10 Berkas garis

garis, kita buat persamaan g1 + ⋋ g2 = 0, dengan ⋋

parameter real. Berikut ini diberikan gambar berkas garis!

g1 + ⋋ g2 = 0

a1x + b1y + c1 + ⋋ (a2x + b2y + c2) = 0

(a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2) = 0

Karena kedua garis berpotongan, maka titik potongnya

juga akan dilalui oleh garis garis lain yang bentuknya

bergantung pada nilai parameter ⋋. Jadi persamaan g1 + ⋋

g2 = 0 disebut sebagai persamaan berkas garis, dengan g1


dan g2 merupakan garis-garis dasar dari berkas garis yang

terbentuk.

Contoh 2.6

(1) Tentukan persamaan berkas garis yang dibentuk oleh

p; x + 2y – 4 = 0 dan q; 2x – y + 2 = 0 !

Penyelesaian:

Persamaan berkas dapat ditentukan dengan aturan

berikut.

g1 + ⋋ g2 = 0

a1x + b1y + c1 + ⋋ (a2x + b2y + c2) = 0

(a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2 = 0

(1 + 2 ⋋ )x + (2 – ⋋ ) y – 4 + 2 ⋋ = 0

Jadi persamaan berkas garisnya adalah (1 + 2 ⋋ )x +

(2 – ⋋ ) y – 4 + 2 ⋋ = 0

(2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong

antara g1 ; 2x + y = 6 dan g2 ; 3x – 2y – 1 = 0, dengan

gradien 1 !


Penyelesaian:

Garis-garis tersebut membentuk berkas dengan

persamaan;

(2 + 3 ⋋ ) x + (1 – 2 ⋋ ) y – 6 – ⋋ = 0

Gradien dari persamaan ini adalah m = −(2 + 3 ⋋ )

(1 – 2⋋ ) = 1

m = −(2 + 3 ⋋ )

(1 – 2⋋ ) = 1 → −(2 + 3 ⋋ ) = (1 – 2 ⋋ ) →

⋋ = (−3)

substitusikan nilai ⋋ = (−3) ke persamaan berkas,

sedemikian hingga diperoleh persamaan garis berkas

yaitu;

(2 + 3 ⋋ ) x + (1 – 2 ⋋ ) y – 6 – ⋋ = 0 → [2 + 3 (−3)]

x + [1 – 2(−3)] y – 6 – (−3) = 0

(2 - 9 ) x + (1 + 6) y – 6 + 3 = 0

– 7x + 7y – 3 = 0

Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah – 7x + 7y

– 3 = 0

(3) Tentukan garis-garis dasar dari persamaan berkas ;


(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋) y – 2 + 3 ⋋ = 0

Penyelesaian:

(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋ ) y – 2 + 3 ⋋ = 0

Identifikasi semua koefisien dan konstanta pada

persamaan di atas !

(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋ ) y – 2 + 3 ⋋ = 0 berpadanan

dengan (a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2 = 0,

sehingga diperoleh hubungan berikut ini.

(2 + ⋋ ) = (a1 + ⋋ a2), untuk variabel x

(–1 + ⋋ ) = (b1 + ⋋ b2), untuk variabel y

– 2 + 3 ⋋ = c1 + ⋋ c2, untuk konstanta

Diperoleh a1 = 2, b1 = –1, dan c1 = –2 dan a2 = 1, b2 =

1, dan c1 = 3

Jadi garis-garis dasar yang membentuk berkas garis

adalah

p; a1x + b1y + c1 = 0 → 2x − y − 2 = 0 dan

q; a2x + b2y + c2 = 0 → x + y + 2 = 0


Untuk menguji pemahamanmu, selesaikanlah

masalah-masalah berikut!

(1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong

antara g1 ; x + 2y = 4 dan g2 ; x – 2y + 2 = 0, dengan

gradien 2 ! Gambarkan berkas garisnya !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Tentukan garis-garis dasar dari persamaan (1 + ⋋ )x

+ (−2 + ⋋ ) y − ⋋ = 0!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


H. UJIAN AKHIR BAB

(1) Persamaan parameter dari garis x = y adalah....

(2) Jika ABCD merupakan sebuah jajargenjang,

tentukanlah persamaan sisi BD dan sisi CD!

(3) Vektor [–2,3] terletak pada garis g, dan vektor [–3,2]

terletak pada garis k. Jika γ merupakan sudut yang

dibentuk kedua garis, maka nilai cos γ adalah..

(4) Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan sejajar

dengan garais y = 3x – 1 adalah...???? Gambarkan

garis yang dimaksud!

(5) Jarak antara garis 2x – y = 3 dan 6x – 3y – 7 = 0

adalah....

(6) Perpotongan antara 2x – 3y + 1 = 0 dan px – 6y + 2 =

0 berupa sebuah garis, tentukanlah nilai p dan gambar

garis perpotongan di antara keduanya!

(7) Persamaan berkas garis yang melalui titik potong

antara 2x = 1 dan y = 3x – 2 adalah....

(8) Persamaan sebuah garis yang melalui titik potong

antara 3x + 7y – 1 = 0 dengan x – 9y = 7 = 0, dan

memotong sumbu y pada titik (0,3) adalah...

(9) Persamaan garis 2x + 3y = 12 memotong sumbu x di

A dan memotong sumbu y di B. jika T adalah titik


tengah ruas garis AB, maka tentukan persamaan garis

yang melalui T dan tegak lurus garis tersebut !

(10) Diberikan tiga garis lurus a, b, dan c dengan gradient

berturut-turut adalah 3, 4, dan 5. Ketiga garis itu

memotong sumbu Y di titik yang sama. Jika jumlah

absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu

x adalah 47

60 , maka persamaan garis a adalah…

BAB III LINGKARAN MODEL ANALITIK LINGKARAN

101 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran


Secara geometrik, lingkaran terbentuk dari hasil rotasi

(perputaran) sisi miring segitiga siku-siku yang

mengelilingi pusat koordinat O (0,0). Jika dimisalkan jari-

jari (r) lingkaran membentuk vektor, maka titik ujungnya

akan membentuk lintasan (orbit) sirkular, sedemikian

hingga titik-titik yang berada pada lintasan tersebut

memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat koordinat.

Secara analitik, pada gambar 3.1 berlaku hubungan r2 = x2

+ y2. Mengapa?? Karena A (x,y) merupakan sebarang titik

pada lingkaran, maka persamaan r2 = x2 + y2 berlaku

umum untuk setiap titik pada lingkaran. Berdasarkan hal

Gambar 3.1 Lingkaran dengan pusat O (0,0)

Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 102

ini, kita simpulkan bahwa persamaan tersebut merupakan

persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0).

Coba pikirkan, bagaimana cara mencari banyaknya

pasangan titik yang mungkin memenuhi persamaan 252 =

x2 + y2???

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Sekarang kita akan mengkaji, bagaimana bentuk

persamaan lingkaran jika pusatnya digeser sejauh arah

vertikal dan horizontal pada bidang Cartesius. Perhatikan

gambar di bawah ini !

Gambar 3.3 Lingkaran berpusat di (a,b) Gambar 3.2 Pergeseran lingkaran


Berdasarkan gambar 3.2, nampak bahwa lingkaran yang

berpusat di titik O digeser sejauh a arah horizontal dan

sejauh b pada arah vertikal. Pergeseran tersebut

menyebabkan pusat lingkaran juga berubah, namun tidak

berlaku pada ukuran jari-jarinya. Jika kita memperhatikan

proses tersebut secara analitik, kita dapat mengamati

bahwa pada gambar 3.3 ada sebuah segitiga siku-siku

yang terbentuk. Segitiga tersebut beralaskan sisi

sepanjang (x−a) dan tinggi (y−b). Mengapa???

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Jika diterapkan dalil Phytagoras, maka diperoleh bentuk

berikut!

(x−a)2 + (y−b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

... + y2...... – 2by + a2 + b2 = r2


... + .....– 2ax – ...... + ..... + ...... – r2 = 0 (*)

persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi;

x 2 + y2 + Ax + By+ C = 0 (**)

dengan syarat A = ...................... , B = ....................... , dan

C = ...................... ,

Lebih lanjut persamaan (**) disebut sebagai persamaan

lingkaran dengan pusat (a,b) atau persamaan umum

lingkaran.

Contoh 3.1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di

P(2, −1) dan berjari-jari 3!

Penyelesaian:

Untuk mendapatkan persamaan lingkaran yang

dimaksud, kita gunakan rumus;

(x−a)2 + (y−b)2 = r2 → (x−2)2 + (y + 1)2 = 32

(x−2)2 + (y + 1)2 = 32 → x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1=0

x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0


Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah:

x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0

Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran O; x2 + y2 +4x

– 6y + 3 = 0

Penyelesaian:

x2 + y2 +4x – 6y + 3 = 0

4x = –2ax → a = –2

–6y = –2by → b = 3

Diperoleh pusat lingkaran O adalah (–2,3)

Untuk menentukan jari-jarinya, kita gunakan rumus

r2 = a2 + b2 – c

r2 = (–2)2 + (3)2 – 3 → r2 = 4 + 9 – 3 = 10

r = √10 satuan

Untuk menambah pemahamanmu, selesaikan


(1) Mengapa r2 = x2 + y2 tidak disebut sebagai persamaan

umum lingkaran??


.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Sekarang, kita akan menganalisa setiap permasalahan

yang mungkin terjadi. Misalkan saja diberikan

persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 1 = 0.

Bagaimana cara anda menentukan panjang jari-

jarinya??

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(3) Tentu saja, kita dapat memanfaatkan C =

.................pada persamaan umum lingkaran !

Tunjukkan gambar dari persamaan x2 + y2 + 2x – 6y

+ 1 = 0 ??!!

.....................................................................................


.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(4) Lantas bagaimana gambar lingkaran dengan

persamaan x2 + y2 + x = 0 !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(5) Bandingkan gambarnya dengan persamaan x2 + y2 +

6x – 4y + 14 = 0 !!!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


Berdasarkan ketiga masalah di atas, kalian dapat

membedakan antara lingkaran nyata, lingkaran titik, dan

lingkaran khayal (imaginer) berdasarkan panjang jari-

jarinya!

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Sekarang kita akan memperluas kajian kita dengan

menghubungkan konsep lingkaran dan garis lurus. Tentu

kalian masih ingat bahwa persamaan garis lurus dapat

dituliskan sebagai y = mx + c. Kedudukan garis terhadap

lingkaran ditentukan dengan;

Untuk persamaan garis linear, nyatakan x ke dalam y atau

x ke dalam y !

Substitusikan x atau y yang diperoleh ke dalam persamaan

lingkaran sehingga didapatkan persamaan kuadrat

gabungan. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) dari

persamaan kuadrat tersebut !

Nilai Diskriminan (D) = b2 – 4ac, menentukan

posisi/kedudukan garis terhadap lingkaran, sebagai

berikut !


Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik

berbeda.

Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran di satu

titik.

Jika D < 0, maka garis tidak menyinggung dan tidak

memotong lingkaran.

Sekarang, coba buatlah masing-masing satu contoh yang

mewakili ketiga kondisi di atas !

Kondisi 1

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Kondisi 2

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


Kondisi 3

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Ketiga kondisi di atas akan membuatmu lebih faham

mengenai syarat terjadinya garis singgung pada lingkaran.

Suatu garis lurus y = mx + c akan menyinggung lingkaran

pada satu titik singgung jika dan hanya jika nilai

diskriminan (D) dari persamaan gabungannya adalah 0

(nol). Sekarang, coba substitusikan y = mx + c ke

persamaan x2 + y2 = r2 !

x2 + (mx+c)2 = r2

x2 + (mx)2 + 2mxc + c2 − r2 = 0

(...........)x2 + 2mcx + c2 − r2 = 0 (*)

Coba identifikasi bentuk a, b, dan c dari (*), sehingga nilai

D dapat ditentukan dengan;

D = 0 = b2 – 4ac, dengan b = ................, a = .....................,

dan c = ...................


D = ............................................................

0 = ............................................................

0 = − c2 + r2 + m2 r2

c2 = r2 + m2 r2 atau c2 = r2 (.......+ ........)

jadi c = ∓ r √m2 + 1

Ingat!!! Tujuan kita adalah menentukan persamaan garis

singgung pada lingkaran. Hal ini terbukti jika kita

mensubstitusikan c ke dalam y = mx + c, sehingga

diperoleh persamaan y = mx + ....................

Persamaan ini memuat m sebagai gradien, jadi hanya

dapat digunakan jika lingkaran berpusat di O (0,0), serta

gradien garis dan jari-jari lingkaran telah diketahui!

Bagaimana jika lingkaran yang disinggung berpusat di A

(a,b)???? Bagaimanakah persamaan garis singgungnya???

Gambar 3.4 berikut ini dapat membantumu menemukan

persamaan garis singgung tersebut !


Cara termudah untuk menemukan persamaan garis

singgung pada gambar 3.4 adalah dengan mengasumsikan

bahwa persamaan lingkaran berbentuk;

x’2 + y’2 = r2, dengan x1 – a = x’ dan y1 – b = b’ atau x1 =

a + x’ dan y1 = b + y’.

Telah diketahui bahwa y = mx ∓ r √m2 + 1 merupakan

persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0).

Gunakan asumsi di atas untuk menunjukkan bahwa ;

y’ = mx’ ∓ r √m2 + 1 → y1 – b = m (x1 – a) ∓ r

√m2 + 1...........∇(terbukti)

Gambar 3.4 Garis singgung lingkaran dengan pusat A (a,b)


bentuk ini dapat diperumum untuk setiap (x,y) pada

lingkaran, yaitu:

y – b = m (x – a) ∓ r √m2 + 1

Contoh 3.2

(1) Jika diberikan persamaan lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2

= 4 dan gradien garis singgung 2, tentukanlah

persamaan garis singgungnya !

Penyelesaian :

Gunakan rumus y – b = m (x – a) ∓ r √m2 + 1 dengan

pusat (1,2) dan jari-jari 2.

y – 2 = 2 (x – 1) ∓ 2 √22 + 1

y – 2 = 2x – 2 ∓ 2 √5

y = 2x – 2 ∓ 2 √5 + 2

y1 = 2x – 2+ 2 √5 + 2 dan y2 = 2x – 2− 2 √5 + 2

y1 = 2x + 2 √5 dan y2 = 2x − 2 √5

Jadi persamaan garus singgung lingkaran yang

dimaksud adalah;


y1 = 2x + 2 √5 dan y2 = 2x − 2 √5

Sekarang coba selesaikan soal berikut ini !

(1) Jika diberikan persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2

= 16, dan gradien garis adalah 2, maka tentukanlah

persamaan garis singgungnya!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Sekarang yang menjadi pusat perhatian kita adalah

titik singgung (x1,y1), sebut saja titik T (x1,y1). Titik

tersebut merupakan irisan antara garis dan lingkaran.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar 3.5 berikut!

Gambar 3.5 Garis singgung lingkaran melalui titik T dengan pusat O

(0,0)


Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran berpotongan di titik

T dan membentuk sudut 900. Jika jari-jari dimisalkan

sebagai sebuah vektor r = [x1,y1], maka kita dapat

menentukan besarnya gradien garis singgung lingkaran

dengan cara; Karena r = [x1,y1] tegak lurus garis

singgung, akibatnya hasil kali gradien kedua garis adalah

-1 atau mrmg = −1. Kita tahu bahwa mr =y1

x1, ini

berakibat mg =−x1

y1

Karena T melalui garis singgung, akibatnya berlaku y – y1

= mg (x – x1). Dari persamaan ini, kemudian substitusikan

mg sehingga diperoleh;

y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = −x1

y1 (x – x1)

Buktikan penjabaran di atas hingga diperoleh xx1 + yy1 =

r2 !

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................


Persamaan tersebut dapat digunakan jika gradien garis dan

koordinat titik singgung telah diketahui sebelumnya.

Contoh 3.3

(1) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2

= 16, melalui titik (0, –4) !

Penyelesaian :

Titik (0, –4) jelas berada pada lingkaran sebab (0)2 +

(–4)2 = (4)2. Selanjutnya, gunakan rumus xx1 + yy1 =

r2 dengan (x1,y1) = (0, –4);

xx1 + yy1 = r2→ x (0) + y (-4) = (4)2 → 0 – 4y = 16

– 4y = 16 → y = – 4

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y = – 4

(2) Sekarang, gambarkan garis singgung lingkaran x2 +

y2 = 25, melalui titik (–4,3) ! Tuliskan bentuk

persamaan garis singgungnya !

.....................................................................................


.....................................................................................

.....................................................................................

(3) Dengan cara yang serupa, tunjukkan pula bahwa

persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat A

(a,b) yang melalui titik T adalah ;

(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2.

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

Contoh 3.4

(1) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2

+4x – 2y – 20 = 0, dengan titik singgung (1,5) !

Penyelesaian:

Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, diperoleh

pusat lingkaran (–2,1) dan jari-jari 5,

mengapa????...............................................................

Substitusikan ke persamaan (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1

– b) = r2.

(x + 2)(1 + 2) + (y – 1)(5 – 1) = (5)2


3(x + 2) + 4(y – 1)= 25

3x + 6 + 4y – 4 – 25 = 0

3x + 4y – 23 = 0

Jadi persaman garis singgung yang dimaksud adalah

3x + 4y – 23 = 0

(2) Sekarang kita akan mengkaji kemungkinan lain dari

persamaan garis singgung lingkaran. Coba analisa

masalah di bawah ini !

Coba analisa masalah tersebut dengan cara mengurutkan

langkah-langkah kerja, mengurutkan konsep-konsep yang

digunakan, kemudian buatlah contoh serupa dan

selesaikan !

Gambar 3.6 Masalah garis singgung dari titik di luar lingkaran


............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

C. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran

Perhatikan gambar 3.7 di bawah ini !

Berdasarkan gambar di atas nampak terdapat banyak garis

yang memotong lingkaran. Keadaan khusus terjadi ketika

ada dua garis yang menyinggung lingkaran di dua titik

yang berbeda. Dengan menggunakan dalil Phytagoras,

Gambar 3.7 Titik Kuasa P terhadap lingkaran


kita dapatkan bahwa PM 2 – AM 2 = PA2 , dengan

mengingat bahwa M(a,b) adalah pusat lingkaran dan garis

singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.

Hasil ini disebut sebagai kuasa titik P terhadap lingkaran.

Dengan memisalkan P(x1,y1), kita peroleh bahwa:

(x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 = PA2 = K

Kuadrat dari panjang garis singgung dari titik P pada

lingkaran ternyata sama dengan nilai dari bentuk

persamaan lingkaran setelah r2 dipindahkan ke ruas kiri.

Jadi, jika titik P(x1,y1) dan lingkaran L; (x – a)2 + (y – b)2

= r2, maka kuasa P terhadap Lingkaran L adalah (x1 – a)2

+ (y1 – b)2 – r2 = PA2 = K. Namun jika lingkarannya

berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka kuasanya

adalah K = x12 + y1

2 + Ax1 + By1 + C,

Mengapa???........................................................................

............................................................................................

Jadi panjang PA = √K, atau jika persamaan lingkarannya

berbentuk x2 + y2 +Ax + By + C = 0, maka titik kuasa

P(x1,y1) terhadap lingkaran, merupakan hasil yang


konstan yaitu; |PA|2 =|PC1|.|PC2|= [|PM|– r] [|PM|+ r] =

|PM|2 – r2

|PM|2 – r2 = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2

Penting bagi kita untuk menganalisa semua kemungkinan

posisi P terhadap lingkaran. Ada 3 kemungkinan letak titik

P, yaitu:

(1) Jika P terletak di luar lingkaran, maka kuasa P bernilai

positif dan merupakan kuadrat dari panjang garis

singgungnya.

(2) Jika P pada lingkaran, maka kuasa P bernilai 0.

(3) Jika P berada dalam lingkaran, maka kuasanya

bernilai negatif.

Contoh 3.5

(1) Tentukan kuasa panjangnya dari titik B(1,−3) pada

lingkaran yang berpusat di M(1, −1) dan berjari-jari

1 !

Penyelesaian:


Bentuklah persamaan lingkaran dalam bentuk standar

terlebih dahulu, yaitu; (x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x –

1)2 + (y +1)2 = 1

Substitusikan B(1,-2) ke persamaan kuasa (x1 – a)2 +

(y1 – b)2 – r2 = PA2 = K, sehingga diperoleh hubungan

(1 – 1)2 + (–3 +1)2 –1 = PA2 = K

K = PA2 = 0 + (–2)2 – 1

K = PA2 = 3

|PA| = √K = √3

Jadi kuasa titik yang dimaksud adalah 3 dan panjang

garis singgungnya adalah √3.

(2) Tentukan kuasa T (−2,2) terhadap lingakaran (x – 1)2

+ (y + 2)2 = 8 dan x2 + y2 – 2x + 2y +1 = 0 !

Penyelesaian:

Kuasa untuk lingkaran pertama L1 ; (−2 −1)2 + (2 +

2)2 – 25 = 9 + 16 – 8 = 17


Ubah dahulu persamaan lingkaran kedua L2; x2 + y2 –

2x + 2y – 14 = 0 menjadi (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1,

sehingga kuasa untuk lingkaran kedua L2 ;

(–2 –1)2 + (2 – 2)2 – 1 = 9 – 1 = 8

Jadi kuasa T terhadap L1 adalah 17 dan terhadap L2

adalah 8

Lantas bagaimana cara menyelesaikan masalah

berikut ini???

(1) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(−1,4)

pada lingkaran yang berpusat di m (2, −1) dan

berjari-jari 5 !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


(2) Tentukan kuasa T (–4,2) terhadap lingakaran (x – 3)2

+ (y + 2)2 = 25 dan 2x2 + 2y2 + 3x – y – 5 = 0

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

D. Garis Kuasa

Diberikan dua buah lingkaran dengan persamaan L1 : x2 +

y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 : x2 + y2 + A2x + B2y + C2

= 0 dan titik P(x1, y1). Dari kedua persamaan tersebut, kita

akan menentukan posisi/tempat kedudukan titik P

sedemikian hingga titik tersebut memiliki kuasa yang

sama terhadap L1 dan L2 .

Berdasarkan prinsip kuasa titik, kuasa P terhadap L1

adalah x12 + y1

2 + A1x1 + B1y1 + C1 . Sedangkan kuasa titik

P terhadap L2 ditentukan oleh x22 + y2

2 + A2x2 + B2y2 + C2.

Karena nilai kuasa titik selalu tetap, maka diperoleh


hubungan k (T,L1) = k (T,L2). Berdasarkan hal ini

diperoleh hubungan sebagai berikut.

k (T,L1) = k (T,L2)

x12 + y1

2 + A1x1 + B1y1 + C1 = x22 + y2

2 + A2x2 + B2y2 +

C2.

(A1 – A2) x1 + (B1 – B2) y1 + (C1 – C2) = 0

Dalam hal ini kita bisa mengganti P(x1, y1) dengan

sebarang P(x,y), sedemikian hingga hubungan di atas

menjadi (A1 – A2) x + (B1 – B2) y + (C1 – C2) = 0

Persamaan ini berbentuk linear/garis lurus yang memuat

titik P. Oleh karena itu, persamaan ini disebut juga sebagai

persamaan garis kuasa. Berdasarkan proses analitik ini,

kita bisa mendefinisikan garis kuasa sebagai tempat

kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap

dua lingkaran.

Sekarang kita bisa membuat semua kemungkinan garis

kuasa dari dua buah lingkaran. Ada dua kemungkinan

sebagai berikut.


Jika kedua lingkaran berpotongan, maka garis kuasanya

adalah garis yang melalui titik potong kedua lingkaran

tersebut.


Garis MN disebut sebagai garis sentral, sedangkan k

adalah garis kuasa kedua lingkaran. Kedua garis

berpotongan tegak lurus.

Selanjutnya, kita bisa memikirkan kondisi khusus dari

kemungkinan pertama ini, yaitu sebagai berikut.

Jika sudut antara dua lingkaran yang diapit oleh garis-

garis pada lingkaran besarnya 900, maka berlaku segitiga

MNA siku-siku di A sehingga berlaku |MN|2 = (rm)2 + (rn)2

Gambar 3.8 Garis kuasa dua lingkaran yang berpotongan


Jika sebuah lingkaran memotong lingkaran lainnya

sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama besar,

maka segitiga MNA siku-siku di N, sehingga berlaku

|MN|2 = (rm)2 − (rn)2. Seperti diperlihatkan pada gambar

berikut.

Jika kedua lingkaran bersinggungan, maka garis kuasanya

adalah garis singgung persekutuan luar antara dua

lingkaran. Untuk kemungkinan ini, kita bisa membuat dua

kondisi sebagai berikut.


Gambar 3.9 Kedua lingkaran saling

beririsan


Berdasarkan gambar 3.10, diperoleh hubungan sebagai

berikut.

|MN| = rm + rn, dengan MN sebagai garis sentral.

Garis kuasa pada lingkaran M dan lingkaran N merupakan

garis singgung persekutuan dua lingkaran. Perhatikan

gambar di bawah ini !

Gambar 3.10 Kedua lingkaran saling bersinggungan

Gambar 3.11 Kedua lingkaran saling bersinggungan dalam


Berdasarkan gambar 3.11, diperoleh hubungan sebagai

berikut.

|MN| = Rm − rn, dengan MN sebagai garis sentral.

Contoh 3.6

(1) Tentukan garis kuasa L1; x2 + y2 = 16 dan L2; x

2 + y2

– 2x – 4y = 0!

Penyelesaian:

Gunakan prinsip (A1 – A2) x + (B1 – B2) y + (C1 – C2)

= 0

x2 + y2 – 16 = x2 + y2 – 2x – 4y

– 16 = – 2x – 4y

– 16 = – 2x – 4y → x + 2y = 8

Jadi garis kuasa pada kedua lingkaran adalah x + 2y

= 8

(2) Tentukanlah nilai k agar L1; x2 + y2 – 4x + 2y + k = 0

saling tegak lurus dengan L2; (x + 1)2 + y2 = 4,

tentukan pula persamaan garis dari kedua lingkaran

tersebut!


Penyelesaian:

Tentukan jari-jari dan pusat dari kedua lingkaran!

L1 berpusat di (2, –1) dan r = √5 − k

L2 berpusat di (-1,0) dan r = 2

Agar kedua lingkaran tegak lurus, gunakan prinsip

|MN|2 = (rm)2 + (rn)2 Kemudian tentukan jarak antara

pusat kedua lingkaran!

(2 + 1)2 + (–1 – 0)2 = (√5 − k)2

+ (2)2

9 + 1 = 5 − k + 4

10 = 9 − k

k = (−1)

(3) Tentukanlah nilai k agar L1; x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0

membagi dua sama besar L2; x2 + (y – 2)2 = 4!

Penyelesaian:

Tentukan jari-jari dan pusat dari kedua lingkaran!

L1 berpusat di (2,-3) dan r = √13 + k


L2 berpusat di (0,2) dan r = 2

Agar L1 membagi L2 menjadi dua sama besar,

gunakan prinsip berikut!

|MN|2 = (rm)2 – (rn)2, kemudian tentukan jarak antara

pusat kedua lingkaran!

(2 – 0)2 + (–3 – 2)2 = (√13 + k)2

− (2)2

4 + 25 = 13 + k – 4

29 = 9 + k

k = 20

Untuk menambah pemahamanmu, coba selesaikan


(1) Tentukan garis kuasa lingkaran x2 + y2 = 25 dan

lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y = 0!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


(2) Tentukanlah nilai k agar lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y

– k = 0 saling tegak lurus dengan lingkaran (x – 4)2 +

y2 = 9, tentukan pula persamaan garis dari kedua

lingkaran tersebut!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(3) Tentukanlah nilai k agar lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y

– k = 0 membagi dua sama besar lingkaran x2 + (y –

1)2 = 4!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

E. Berkas Lingkaran

Seperti halnya pada garis lurus, dalam lingkaran juga

dikenali istilah berkas lingkaran yang dinyatakan dalam

bentuk L1 + ⋋L2 = 0. Jika diberikan L1 dan L2, maka


keduanya disebut sebagai lingkaran dasar, dan dua titik

potongnya disebut sebagai titik-titik dasar, dan ⋋

merupakan parameter yang bernilai real.

Jika diberikan L1 : x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 :

x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0, untuk sebarang nilai ⋋ ,

berlaku; L1 + ⋋ L2 = 0.

L1 + ⋋ L2 = 0

x2 + y2 + A1x + B1y + C1 + ⋋ (x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0

(1 + ⋋) x2 + (A1 + A2) x + (B1 + B2) y + C1 + C2 = 0 (kedua

ruas dibagi dengan (1 + ⋋)

x2 + y2 + (A1+A2

1+⋋) x + (

B1+B2

1+⋋) y + (

C1+C2

1+⋋) = 0

Misalkan (A1+A2

1+⋋) = A3, (

B1+B2

1+⋋) = B3 , dan (

C1+C2

1+⋋) = C3

Sehingga diperoleh persamaan:

L3 : x2 + y2 + A3x + B3y + C3 = 0.

Berdasarkan proses di atas, dapat ditentukan sifat dari

berkas lingkaran yaitu:


“Semua anggota berkas, selalu melalui titik-titik dasar

berkas dan pusat dari anggota-anggota berkas terletak

pada garis sentral”.

Contoh 3.7

Bentuklah persamaan sebuah berkas lingkaran

dengan L1 ; x2 + y2 – 2x – 4y – 2 = 0 dan L2 ; x

2 + y2

– 8 = 0 ! Kemudian tentukan persamaan sebuah

anggota berkas yang melalui titik (2,0) !

Penyelesaian:

Persamaan berkas dengan lingkaran dasar L1 dan L2

adalah;

x2 + y2 – 2x – 4y – 2 + ⋋ (x2 + y2 – 8) = 0

melalui titik (2,0) akibatnya L; (2)2 + (0)2 – 2(2) – 4(0)

– 2 + ⋋ (22 + 02 – 8) = 0

– 2 – 4 ⋋ = 0

⋋= −1

2

Jadi persamaan anggota berkasnya adalah;


L; x2 + y2 – 2x – 4y – 2 – 1

2 (x2 + y2 – 8) = 0

(2) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (–

2,2) dan menyinggung lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y +

3 = 0, di titik (–1,1) !

Penyelesaian:

Lingkaran yang dicari menyinggung lingkaran x2 + y2

+ 2x – 4y + 3 = 0, di titik (-1,1), artinya bahwa

lingkaran yang akan dicari merupakan anggota berkas

sedemikian hingga;

L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + ⋋ [(x + 1)2 + (y − 1)2] = 0

L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + ⋋ (x2 + y2 + 2x – 2y + 2) = 0

Melalui titik (−2,2), diperoleh;

(–2)2 + (2)2 + 2(–2) – 4(2) + 3 + ⋋ ((–2)2 + (2)2 + 2(–2) –

2(2) + 2) = 0

4 + 4 – 4 – 8 + 3 + ⋋ (4 + 4 – 4 – 4 + 2) = 0

– 1 + 2 ⋋ = 0 → ⋋ = 1

2


Substitusikan nilai ⋋ = 1

2 ke persamaan berkas

lingkaran sedemikian hingga diperoleh;

L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + 1

2 [(x + 1)2 + (y − 1)2] = 0

Untuk menguji pemahamanmu, coba selesaikan


(1) Bentuklah persamaan sebuah berkas lingkaran

dengan L1 ; x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan L2 ; x

2 + y2

– 16 = 0 ! Kemudian tentukan persamaan sebuah

anggota berkas yang melalui titik (3,1) !

Gunakan persamaan berkas lingkaran L1 + ⋋ L2 = 0

Substitusikan nilai titik (3,1) ke dalam persamaan

berkas, sehingga diperoleh nilai ⋋.

Sederhanakan persamaan berkas sehingga diperoleh

L ; 5x2 + 5y2 – 6x + 12y – 44 = 0

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


(2) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (–

2,5) dan menyinggung lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y + 9

= 0, di titik (1,2) !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

F. Persamaan Parameter Lingkaran

Sebuah lingkaran tidak hanya dapat dinyatakan ke dalam

persamaan umum saja, namun dapat juga dinyatakan ke

dalam persamaan yang memuat parameter tertentu.



Lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r. Jika P

(−x,y) merupakan sebarang titik pada lingkaran, dan θ

merupakan sudut yang dibentuk oleh sumbu x terhadap

jari-jari lingkaran OP, maka berlaku;

cos θ = x

r↔ x = r cos θ

sin θ = y

r↔ y = r sin θ

kedua persamaan tersebut merupakan persamaan

parameter lingkaran dengan pusat O, dengan θ sebagai

parameter.

Gambar 3.12 Bentuk parameter lingkaran


Sekarang bagaimana jika pusat lingkaran menjadi

P(a,b)??? Bagaimanakah persamaan parameter

lingkarannya??

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan gambar di

bawah ini !

Berdasarkan gambar, perhatikan pergeseran pusat dari O

sejauh P (a,b)!

cos θ = ………………

r↔ (… … … ) = r cos θ

sin θ = ………………

r↔ (… … … ) = r sin θ

disimpulkan bahwa :

x = ...................

Gambar 3.13 Bentuk parameter lingkaran dengan pusat P(a,b)


y = ...................

Sebagai persamaan parameter lingkaran dengan pusat

P(a,b).

Untuk menguji pemahamanmu, selesaikanlah


(1) Sekarang, coba gambarlah lingkaran dengan

persamaan x = 5 cos θ dan y = 5 sin θ !

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

(2) Gambarlah L1 ; x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan L2 ; x

2 +

y2 – 16 = 0, serta tunjukkan persamaan parameternya!

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................


G. UJIAN AKHIR BAB

(1) Tentukan persamaan-persamaan lingkaran dengan

syarat-syarat berikut ini!

(a) Melalui titik (2,-3), (4,2) dan (0,0)

(b) Pusat lingkaran terletak pada garis x – 3y – 1 = 0,

melalui (3,1) dan menyinggung sumbu x.

(c) Berdiameter AB, dengan A (2,-3) dan B (-2,2).

(2) Diberikan lingkaran dengan persamaan L: x2 + y2 –

4x + 6y – 2 = 0, tentukan:

(a) Pusat dan jari-jarinya

(b) Buatlah gambarnya

(c) Ubahlah persamaan L menjadi persamaan standar

dan parameter.

(3) Jika ruas garis AB dengan A(2,-3) dan B(6,3)

merupakaan diameter suatu lingkaran, maka tentukan

persamaan lingkaran tersebut !

(4) Persamaan umum lingkaran yang berpusat pada garis

2x – y = 0 dan melalui titik (2,2), serta menyinggung

sumbu y adalah....

(5) Diberikan persamaan lingkaran L: x2 + y2 + 4x – 6y –

19 = 0 dan titik T (6,4). Tentukan persamaan garis

singgung lingkaran ! Gambarlah lingkaran tersebut !


(6) Tentukan persamaan garis singgung pada titik (2,-1)

terhadap lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 5!

(7) Tunjukkan bahwa setiap lingkaran titik berjari-jari 0!

(8) Persamaan lingkaran yang melalui titik (4,0), (2,3)

dan (1,-2) !

(9) Koordinat titik singgung antara GS1 dan terhadap

lingkaran adalah...

(10) Dari titik P(4,2) ditarik garis-garis singgung pada

lingkaran x2 + y2 = 10. Carilah persamaan-

persamaan garis singgung itu !

(11) Gambarlah persamaan garis singgung lingkaran (x +

6)2 + (y – 2)2 = 36 melalui titik A (16,8)!


(12) Perhatikan gambar di bawah ini!

(13) Kuasa titik (3,4) terhadap lingkaran 2x2 + 2y2 + 3x

+ 2 = 0, adalah...

(14) Dari titik T (0,2) dibuat garis singgung terhadap

lingkaran (x + 4)2 + (y + 1)2 = 9, jarak dri titik T ke

titik singgungnya adalah...

(15) Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,2) dan

menyinggung garis 3x – 4y + 14 = 0 adalah...

(16) Buatlah sebuah persamaan lingkaran dan persamaan

garis lurus! Kemudian gambarlah lingkaran dan

garis tersebut sedemikian hingga garis memotong

lingkaran pada dua buah titik yang berbeda!

(17) Gambarlah sebuah lingkaran, dan tunjukkan bahwa

hanya terdapat dua titik singgung dari kuasa titik di

luar lingkaran !

Tentukanlah persamaan garis

singgung kedua GS2 dari

gambar di samping!


(18) Persamaan parameter dari L; x2 + y2 – 2x – 3 = 0,

adalah....

(19) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik

(3,2) dan menyinggung garis 3x – 4y + 14 = 0 !

(20) Tentukan koordinat titik-titik singgung dari gambar

di bawah ini!

145

BAB IV PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG

DALAM RUANG

A. Persamaan Bidang dalam Ruang


Untuk menentukan persamaan bidang dalam ruang

(sebut bidang 𝛼), kita gunakan prinsip dot product

antara vektor normal �� = ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ dan sebarang

vektor pada bidang, yaitu 𝑃𝑄 . Jika P = (x0, y0, z0) dan

Q = (x,y,z), maka 𝑃𝑄 = (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0),

sedemikian hingga;

�� o 𝑃𝑄 = 𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B(𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0

Gambar 4.1 Vektor Normal pada Bidang

146

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 0

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎

dengan konstanta D = (−𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0)

Persamaan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 disebut sebagai

persamaan bidang dalam ruang.

Contoh 4.1

Tentukan persamaan bidang 𝛼 melalui titik K(2,1,4)

dengan �� = 3𝑖 − 2𝑖 + �� !

Penyelesaian:

Tinjau persamaan berikut ini!

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0

3(𝑥 − 2) − 2(𝑦 − 1) + (𝑧 − 4) = 0

3𝑥 − 6 − 2𝑦 + 2 + 𝑧 − 4 = 0

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 8 = 0

Contoh 4.2

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik A

(2,1,-1), B (3,2,0) dan C (2,-1,3) !

Penyelesaian :

147

Untuk menentukan persamaan bidang dari tiga

titik, terlebih dahulu kita tentukan dua vektor yaitu

𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 .

𝐴𝐵 = ⟨1,1,1⟩ dan 𝐴𝐶 = ⟨0, −2,4⟩

Untuk menentukan vektor normal �� , kita gunakan

operasi cross product sebagai berikut.

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 𝑗 ��

1 1 10 −2 4

| = 6𝑖 − 4𝑗 − 2�� = ��

Vektor normal �� tegak lurus terhadap setiap

vektor pada bidang sehingga untuk menentukan

persamaan bidang kita gunakan salah satu titik

yaitu A sehingga berlaku;

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0

6(𝑥 − 2) − 4(𝑦 − 1) −2 (𝑧 + 1) = 0

6𝑥 − 12 − 4𝑦 + 4 − 2𝑧 − 2 = 0

𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎

148

B. Jarak Titik ke Bidang


Diberikan sebuah bidang 𝛼 dengan

persamaan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 dan titik

T(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) terletak di luar bidang 𝛼. Vektor

normal �� = ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ tegak lurus bidang dan 𝑄𝑇

merupakan vektor yang dibentuk oleh titik Q dan

titik T, dengan titik Q pada bidang 𝛼. Kita akan

menentukan koordinat titik Q dengan

mengasumsikan nilai A ≠ 0, sehingga kita peroleh

Q (−𝐷

𝐴, 0,0) . Dengan ini kita dapatkan 𝑄𝑇 =

Gambar 4.2 Jarak titik ke Bidang

149

(𝑥1 +𝐷

𝐴) 𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�� dan sudut antara �� dan 𝑄𝑇

disebut 𝜃 dengan interval 0 < 𝜃 <𝜋

2 atau

𝜋

2< 𝜃 <

𝜋 bergantung pada arah vektor normal.

Berdasarkan hubungan di atas, diperoleh 𝑑 = |𝑄𝑇 |

cos 𝜃 untuk 0 < 𝜃 <𝜋

2 dan ;

𝑑 = |𝑄𝑇 | cos (𝜋 − 𝜃) untuk 𝜋

2< 𝜃 < 𝜋

Dengan operasi dot product diperoleh hubungan

berikut.

�� o 𝑄𝑇 = 𝐴 (𝑥1 +𝐷

𝐴) + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1

�� o 𝑄𝑇 = |�� || 𝑄𝑇 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 = |�� |𝑑

𝑑 = |(𝐴 (𝑥1 +

𝐷𝐴) + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1)

|�� ||

𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

Kasus ini dapat diperluas untuk kondisi B ≠ 0

dan C ≠ 0. Jadi jarak titik T ke bidang 𝛼

dinyatakan dengan ;

𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

150

Contoh 4.3

Tentukan jarak antara titik P (4,-1,2) ke bidang

yang melalui titik-titk A(2,3,1), B(4,2,5) dan

C(5,2,-1)!

Penyelesaian :

Tentukan terlebih dahulu persamaan bidang yang

melalui titik-titk A(2,3,1), B(4,2,5) dan C(5,2,-1)!

𝐴𝐵 = ⟨2, −1,4⟩

𝐴𝐶 = ⟨3, −1,−2⟩

Selanjutnya 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 𝑗 ��

2 −1 43 −1 −2

| = 6𝑖 +

16𝑗 + �� = ��

Vektor normal �� tegak lurus terhadap setiap

vektor pada bidang sehingga untuk menentukan

persamaan bidang kita gunakan salah satu titik

yaitu A sehingga berlaku;

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0

6(𝑥 − 2) +16(𝑦 − 3) + (𝑧 − 1) = 0

6𝑥 − 12 + 16𝑦 − 48 + 𝑧 − 1 = 0

151

6𝑥 + 16𝑦 + 𝑧 − 61 = 0

Selanjutnya, akan ditentukan jarak titik P (4,-1,2)

ke bidang.

𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

𝑑 =|6(4) + 16(−1) + (2) − 61|

√(6)2 + (16)2 + (1)2

𝑑 =|24 − 16 − 59|

√36 + 256 + 1=

|−51|

√291=

51

√293

Contoh 4.4

Diberikan bidang-bidang berikut ini!

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0 dan 2𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 − 7 = 0

Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut!

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa 𝑛1 = ⟨1,2, −2⟩ dan 𝑛2 =

⟨2,4, −4⟩, ternyata 𝑛2 = 2𝑛1 atau dengan kata lain

kedua vektor normal tersebut paralel, akibatnya

kedua bidang sejajar.

Selanjutnya, untuk menentukan jarak antara kedua

bidang tersebut, kita dapat mengambil sebarang

152

titik pada salah satu bidang, kemudian menghitung

jaraknya terhadap bidang lainnya.

Misalkan 𝑥 = 𝑦 = 0 pada bidang 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 −

3 = 0, sehingga diperoleh 𝑧 = −3

2 . jadi titik yang

dimaksud adalah A (0,0, −3

2). Substitusikan ke

𝑑 =|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶𝑧1+𝐷|

√𝐴2+𝐵2+𝐶2, sehingga diperoleh bentuk

berikut!

𝑑 =|2(0) + 4(0) − 4 (−

32) − 7|

√(2)2 + (4)2 + (−4)2

𝑑 =|6 − 7|

√4 + 16 + 16

𝑑 =|−1|

√36

𝒅 =𝟏

𝟔

153

C. Persamaan Garis dalam Ruang


Pada gambar di atas, terdapat sebuah garis yang

melalui titik P (x,y,z) dan P0 (x0, y0, z0) (sebut garis

k). Tujuan kita adalah menentukan persamaan

garis k dengan menggunakan vektor posisi 𝑟0 =

⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ , 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ dan vektor 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

yang sejajar dengan garis k. Jika 𝑣 sejajar dengan

garis k, maka diperoleh hubungan 𝑃0𝑃 = 𝑡𝑣

dengan t konstanta real serta vektor-vektor posisi

dan 𝑃0𝑃 = 𝑡𝑣.

𝑟 − 𝑟0 = 𝑡𝑣

Gambar 4.3 Garis Lurus dalam Ruang

154

𝑟 = 𝑟0 + 𝑡𝑣

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ + 𝑡⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏, 𝑧0 + 𝑡𝑐⟩

Berdasarkan persamaan ini diperoleh hubungan

sebagai berikut.

𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎; 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏; 𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐

Jika ketiga persamaan di atas dimanipulasi,

dengan memperhatikan kesamaan parameter t,

maka diperoleh hubungan berikut.

𝒙−𝒙𝟎

𝒂=

𝒚−𝒚𝟎

𝒃=

𝒛−𝒛𝟎

𝒄

Persamaan ini disebut sebagai persamaan garis

lurus dalam bentuk parametrik dengan bilangan

arah (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang melalui titik (x0, y0, z0).


155

Berdasarkan gambar 4.4, bidang 𝛽1 = 𝑥1 +

𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷1dan 𝛽2 = 𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷2,

keduanya merupakan dua bidang yang tak

sejajar/berpotongan. Perpotongan antara dua

bidang tersebut merupakan sebuah garis lurus

yang selanjutnya disebut garis g. Untuk

menentukan persamaan garis g, kita dapat

menggunakan vektor normal dari masing-masing

bidang. Vektor normal untuk bidang 𝛽1 disebut �� 1

dan vektor normal untuk bidang 𝛽2 disebut �� 2.

Jika kita mengoperasikan �� 1 × �� 2, maka akan

diperoleh sebuah 𝑣 sebagai vektor arah garis g

Gambar 4.4 Garis Lurus sebagai perpotongan dua bidang tak sejajar

156

yang tegak lurus dengan �� 1dan �� 2. Jadi garis g

dapat dinyatakan sebagai;

{𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 + 𝐷2 = 0

𝑣 = �� 1 × �� 2 sebagai vektor arahnya.

Contoh 4.5

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik P

(−1,−2,3) dan sejajar dengan garis g dengan

persamaan: 𝑥−1

3=

𝑦+2

2=

4−𝑧

4 !

Penyelesaian :

Garis g sejajar dengan bidang, akibatnya vektor

arah garis g adalah 𝑣 = ⟨3,2,4⟩.

Ambil satu titik Q (4,0,0) pada garis g sedemikian

hingga 𝑃𝑄 = ⟨5,2 − 3⟩. Untuk menentukan vektor

normal �� dari garis g, gunakan cross product

sebagai berikut.

�� = 𝑣 o 𝑃𝑄 = |𝑖 𝑗 ��

3 2 45 2 −3

| = −14𝑖 + 29𝑗 − 4��

157

Persamaan bidang melalui titik Q (4,0,0)

ditentukan oleh:

−14(𝑥 − 4) + 29(𝑦 − 0) − 4(𝑧 − 0) = 0

−14𝑥 + 56 + 29𝑦 − 4𝑧 = 0

−𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟗𝒚 − 𝟒𝒛 + 𝟓𝟔 = 𝟎

Contoh 4.6

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik R

(1,−4,3) dan memuat garis k berikut!

{𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

Penyelesaian :

Misalkan �� 1 = ⟨1,2, −1⟩ dan �� 2 = ⟨−1,3,2⟩

merupakan vektor-vektor normal dari

{𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4

−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

Akibatnya �� 1 × �� 2 = 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��

1 2 −1−1 3 2

|

𝑣 = 7𝑖 − 𝑗 + 5��

158

Selanjutnya ambil titik S (9,0,5) pada garis k,

kemudian didapatkan vektor 𝑅𝑆 = ⟨8,4,2⟩. Untuk

menentukan vektor normal bidang, gunakan

operasi cross product sebagai berikut.

𝑣 × 𝑅𝑆 = |𝑖 𝑗 ��

7 −1 58 4 2

| = −22𝑖 + 26𝑗 + 36��

Kemudian persamaan bidang melalui titik R

ditentukan oleh:

−22(𝑥 − 1) + 26(𝑦 + 4) + 36(𝑧 − 3) = 0

−22𝑥 + 22 + 26𝑦 + 104 + 36𝑧 − 108 = 0

−𝟐𝟐𝒙 + 𝟐𝟔𝒚 + 𝟑𝟔𝒛 + 𝟏𝟖 = 𝟎

Contoh 4.7

Tentukan persamaan simetrik garis g dari

perpotongan bidang-bidang berikut ini!

2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −14 dan 4𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 28

Penyelesaian :

Misalkan �� 1 = ⟨2,−1,−5⟩ dan �� 2 = ⟨4,5,4⟩

merupakan vektor-vektor normal dari masing-

masing bidang yang berpotongan sedemikian

159

hingga vektor arah garis (𝑣 ) yang akan dicari dapat

ditentukan dengan;

�� 1 × �� 2 = 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��

2 −1 −54 5 4

|

𝑣 = 21𝑖 − 28𝑗 + 14��

Atau 𝑣 = ⟨21,−28,14⟩

Selanjutnya kita ambil satu titik pada garis g

dengan mengeliminasi kedua persamaan bidang di

atas sehingga diperoleh titik P(3,0,4).

Jika 𝑣 = ⟨21, −28,14⟩ sebagai vektor arah garis g

dan P(3,0,4) pada garis g, maka persamaan

simetrik garis g ditentukan oleh:

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

𝑥 − 3

21=

𝑦 − 0

−28=

𝑧 − 4

14= 𝑡

t sebagai parameter, atau dapat juga dituliskan

dalam bentuk berikut.

𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝟏𝒕 ; 𝒚 = −𝟐𝟖𝒕 ; 𝒛 − 𝟒 = 𝟏𝟒𝒕

160

D. Posisi Garis Lurus terhadap Bidang Datar

dalam Ruang

Diberikan bidang 𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 dan

garis k dengan persamaan:

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

Hubungan antara garis lurus terhadap bidang

datar dalam ruang dapat dinyatakan ke dalam 3

kondisi yaitu;

1. Garis memotong bidang

2. Garis sejajar bidang

3. Garis terletak pada bidang

4. Garis tegak lurus bidang

Jika sebuah garis memotong bidang, maka kita

dapat menentukan koordinat titik potongnya

dengan cara menentukan solusi dari persamaan

garis dalam bentuk parameter berikut;

𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎; 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏; 𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐

161

Substitusikan persamaan parameter tersebut ke

persamaan bidang, sehingga diperoleh bentuk

berikut ini!

𝐴(𝑥0 + 𝑡𝑎) + 𝐵(𝑦0 + 𝑡𝑏) + 𝐶(𝑧0 + 𝑡𝑐) + 𝐷 = 0

𝐴𝑥0 + 𝐴𝑡𝑎 + 𝐵𝑦0 + 𝐵𝑡𝑏 + 𝐶𝑧0 + 𝐶𝑡𝑐 + 𝐷 = 0

𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐴𝑡𝑎 + 𝐵𝑡𝑏 + 𝐶𝑡𝑐 + 𝐷 = 0

𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + (𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐)𝑡 + 𝐷 = 0

Berdasarkan persamaan akhir di atas, dapat

dikembangkan beberapa kemungkinan sebagai

berikut.

1. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 ≠ 0, maka koordinat titik

potong antara bidang dan garis dapat

ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai

t ke persamaan parameter garis.

2. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 ≠ 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +

𝐶𝑧0 + 𝐷 = 0 , maka koordinat titik potong

antara bidang dan garis adalah (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜).

3. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +

𝐶𝑧0 + 𝐷 ≠ 0, maka garis dan bidang sejajar.

162

4. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +

𝐶𝑧0 + 𝐷 = 0, maka garis terletak pada bidang.

5. Untuk kondisi garis tegak lurus bidang hanya

akan terpenuhi jika dot product antara vektor

arah bidang dan vektor arah garis

menghasilkan 0 atau jika vektor normal bidang

sejajar dengan vektor arah garis.

Contoh 4.8

Tentukan posisi antara garis dan bidang berikut!

a. 𝑥 = −5 − 4𝑡 ; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 = 3 + 2𝑡 ;

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 9

b. 𝑥 = 3𝑡 ; 𝑦 = 1 + 2𝑡 ; 𝑧 = 2 − 𝑡;

4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1

Penyelesaian :

1) Substitusikan 𝑥 = −5 − 4𝑡; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 =

3 + 2𝑡 ke persamaan bidang 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 =

9, sehingga diperoleh bentuk berikut ini!

−5 − 4𝑡 + 2(1 − 𝑡) + 3(3 + 2𝑡) − 9 = 0

−5 − 4𝑡 + 2 − 2𝑡 + 9 + 6𝑡 − 9 = 0

−5 + 2 + 9 − 9 − 4𝑡 − 2𝑡 + 6𝑡 = 0

163

−3 − 𝑡(4 + 2 − 6) = 0

−3 − 𝑡(0) = 0

𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 +

𝐷 ≠ 0, maka garis dan bidang sejajar.

2) Substitusikan 𝑥 = 3𝑡; 𝑦 = 1 + 2𝑡; 𝑧 = 2 − 𝑡

ke persamaan bidang 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1,

sehingga diperoleh bentuk berikut ini!

4(3𝑡) − (1 + 2𝑡) + 2(2 − 𝑡 ) − 1 = 0

12𝑡 − 1 − 2𝑡 + 4 − 2𝑡 − 1 = 0

12𝑡 − 2𝑡 − 2𝑡 − 1 + 4 − 1 = 0

𝑡(12 − 2 − 2) + 2 = 0

8𝑡 + 2 = 0

8𝑡 = −2 atau 𝑡 = 1

4

Jika nilai t dapat ditentukan, maka garis dan

bidang berpotongan.

E. Ujian Akhir Bab

1. Tentukan persamaan bidang yang memotong

sumbu-sumbu koordinat (𝑎, 0,0), (0, 𝑏, 0) dan

(0,0, 𝑐)!

164

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-

titik 𝑃(−4,−1, −1); 𝑄(−2,0,1); 𝑅(−1, −2,−3)!

3. Tentukan persamaan parametrik untuk garis

yang melalui 𝑃(3, −1,2) dan �� = ⟨2,1,3⟩!

4. Tentukan sebuah persamaan untuk bidang yang

melalui R (−2,1,7) dan tegak lurus dengan

garis 𝑥 − 4 = 2𝑡; 𝑦 + 2 = 3𝑡; 𝑧 = −5𝑡!

5. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik

asal dan sejajar dengan bidang 7𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 +

3 = 0!

6. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik

S(3, −6,7) dan sejajar dengan bidang 5𝑥 −

2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0!

7. Tentukan titik potong garis;

𝑥 − 9 = −5𝑡; 𝑦 + 1 = −𝑡, 𝑧 − 3 = 𝑡

dengan bidang 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 + 7 = 0!

8. Tentukan jarak titik (3, −2,4) terhadap garis

berikut {3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 22𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10

!

9. Tunjukkan bahwa garis-garis ;

𝑥 = 3 − 2𝑡; 𝑦 = 4 + 𝑡; 𝑧 = 1 − 𝑡

𝑥 = 5 + 2𝑡; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 = 7 + 𝑡

165

Sejajar dan tuntukan sebuah persamaan bidang

yang dibentuk oleh garis-garis tersebut!

10. Tunjukkan bahwa garis-garis;

𝑥 = 4𝑡 + 3; 𝑦 = 4 + 𝑡; 𝑧 = 1

𝑥 = 12𝑡 − 1; 𝑦 = 6𝑡 + 7; 𝑧 = 3𝑡 + 5

Saling berpotongan dan tentukan titik

potongnya!

167

DAFTAR PUSTAKA

C.C. Carico and I. Drooyan, 1980, Analytic Geometry,

John Wiley and Son.

C. Wexler, 1962, Analytic Geometry : A vector

approach, Addison-Wesley Publishing Company.

Inc.,

G. L Bradley and K.J Smith, 1995, Calculus, Prentice-

Hall. Inc.

Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang,

Yogyakarta: FPMIPA-IKIP

Yogyakarta, 1974.

Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana

Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri

Analitis Jilid I, Jakarta: Erlangga, 1984.

Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic

Geometry, Japan Publications

Trading Company, Ltd, 1963.

169

Riwayat Hidup

Rio Fabrika Pasandaran

dilahirkan di Banyuwangi pada

tanggal 16 Juli 1989. Penulis

menempuh pendidikan Sekolah Dasar

di SD Inpres 2 Lalundu dan lulus pada

tahun 2001, pendidikan Sekolah Menengah Pertama di

SMPN 19 Palu dan lulus pada tahun 2004, pendidikan

Sekolah Menengah Atas di SMAN 5 Palu dan lulus pada

tahun 2007. Melanjutkan pendidikan tinggi Strata-I di

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNTAD

dan lulus pada tahun 2011, hingga melanjutkan ke

Program S2 Pascasarjana Jurusan Matematika di

Universitas Negeri Makassar dan lulus pada tahun 2014.

Penulis pernah menjadi Instruktur Olimpiade

Matematika tingkat SMP Provinisi Sulawesi Tengah

tahun 2015 dan saat ini aktif mengajar di Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Cokroaminoto

Palopo. Penulis dapat dihubungi melalui surat elektronik

(e-mail) di [email protected]

171

Riwayat Hidup

Ma’rufi dilahirkan di Kabupaten

Soppeng, Sulawesi Selatan pada

tanggal 3 Agustus 1968. Dia

menikah dengan Muhammad Ilyas

pada tahun 1994 dan dikarunia

Allah SWT. seorang putri Nita

Magfirah Ilyas dan seorang putra

Irsyad Khalid Ilyas. Penulis

menempuh pendidikan SD sampai

SMA di Kabupaten Soppeng, lulus Sarjana Pendidikan

Matematika IKIP Ujung Pandang pada tahun 1991, lulus

Magister Pendidikan pada Program Studi PKLH pada

tahun 2006 dan pada tahun 2008 lulus Magister

Pendidikan Matematika Universitas Negeri Makassar.

Pada tahun 2017 lulus program S3 Pendidikan

Matematika di Universitas Negeri Surabaya.

Penulis aktif mengajar di SMA sejak tahun 1992

sampai 2007, sebagai pengawas sekolah menengah pada

tahun 2007 sampai akhir 2010. Sejak tahun 1996 sampai

2005 mengajar di program studi pendidikan matematika

STKIP Cokroaminoto Palopo dan tahun 2005 sampai

sekarang sebagai dosen tetap Universitas Cokroaminoto

Palopo. Penulis aktif melakukan penelitian di bidang

pendidikan matematika, baik melalui hibah Penelitian

172

Dosen Pemula, Hibah Pengembangan Inovasi

Pembelajaran di Sekolah, Hibah Bersaing, dan Hibah

Penelitian Unggulan Perguruan Tinggi. Tahun 2018

penulis mendapatkan hibah pengabdian pada masyarakat

melalui Program Pengembangan Kewirausahaan FKIP

UNCP. Diseminasi hasil penelitian dilakukan melalui

seminar dan publikasi nasional maupun internasional.

Tahun 2017 penulis melakukan diseminasi hasil

penelitian pada International Conference on Science and

Mathematics Education, SEAMEO RECSAM Penang,

Malaysia dan WALS International Conference di

Nagoya University Jepang. Penghargaan yang pernah

diperoleh antara lain peneliti penyaji poster terbaik

bidang pendidikan wilayah Indonesia Timur pada tahun

2007 dan pada tahun 2016 juga sebagai peneliti penyaji

poster terbaik pada seminar hasil penelitian disertasi

Doktor. Tahun 2009 dan 2014 memperoleh Satya

Lencana Karya Satya dari Presiden Republik Indonesia.

geometri analitik bidang dan ruangrepository.uncp.ac.id/13/1/buku geometri analitik bidang...iii...

Documents