HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

A. Sistem Koordinat Tegak Lurus

Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang,

terdapat tiga buah garis lurus yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu

titik (ketiga garis tersebut disebut dengan sumbu-sumbu), dan ditentukan oleh himpunan semua

tripel-tripel terurut dari bilangan-bilangan nyata.

Dengan diterapkannya suatu sistem koordinat tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi

delapan bagian. Masing-masing bagian disebut dengan oktan dan diberi nomor dengan aturan

sebagai berikut:

Oktan I : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z > 0

Oktan II : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z > 0

Oktan III : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z > 0

Oktan IV : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z > 0

Oktan V : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z < 0

Oktan VI : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z < 0

Oktan VII : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z < 0

Oktan VIII : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z < 0

X

Y

Z

P (x,y,z)

Bila titik P memiliki koordinat x,y,z, kita dapat

menuliskannya dengan P (x,y,z) dimana x disebut absis,

y disebut ordinat, dan z disebut Aplikat.

VI

III II I

V

IV

VIII

VII

z+

x+

y+

C

B A F

D

E

G H

Gambarlah koordinat titik-titik berikut:

A (3,3,2)

B (3,-4,2)

C (3,-4,0)

D (3,3,0)

E (-1,-4,0)

F (-1,3,0)

G (-1,3,2)

H (-1,-4,2)

B. Jarak Dua Titik

Amatilah gambar paralel epipedum berikut ini

C. Koordinat yang Membagi Ruas Garis dengan Perbandingan m:n

;

; (karena tadi bidang XOY, maka)

;

; berdasarkan rumus membagi bidang, sehingga

:

:

:

:

:

:

Sehingga Koordinat titik R adalah

Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi PQ dengan perbandingan m : n = 1 : 1.

Sehingga dengan mensubstitusikan nilai perbandingan maka didapatkan

Secara umum, perbandingan m:n = k, dimana k positif atau negatif tergantung R terletak diantara

PQ ataukah perpanjangannya.

Jika k > 0 maka R terletak diantara PQ

-1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P)

k = -1 maka menunjukkan suatu titik tak berhingga

k < -1 maka R terletak diperpanjangan PQ (pada pihak Q)

sehingga koordinat R menjadi :

dimana k 1

X

Y

Z

P Q

R (𝑥2 𝑦2 𝑧2) S

T U

V W(𝑥1 𝑦1 𝑧1)

Apakah RQ bidang PQVW ?

Apakah RQ WQ?

Berdasarkan Teorema Phytagoras

𝑊𝑅2 𝑊𝑄2 𝑅𝑄2

𝑊𝑄2 𝑊𝑃2 𝑃𝑄2 sehingga

𝑊𝑅2 𝑊𝑄2 𝑅𝑄2

𝑊𝑃2 𝑃𝑄2 𝑅𝑄2

𝑊𝑅 𝑊𝑃2 𝑃𝑄2 𝑅𝑄2 maka

𝑾𝑹 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝟐 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 𝟐

X

Y

Z

M

K Q(𝑥2 𝑦2 𝑧2)

P (𝑥1 𝑦1 𝑧1)

N L

R

H m

n Terdapat R yang membagi garis PQ, dimana R (x,y,z)

dengan perbandingan m:n. Gambarlah PL,RN, dan QM

bidang XOY. Dari gambar tersebut diperoleh LNM adalah

perpotongan bidang XOY dengan bidang PRQMNL. Tarik

garis HRK sejajar LNM. Sehingga segitiga PRH sebangun

dengan segitiga KRQ.

D. Vektor

Notasi suatu vektor dapat dituliskan dengan dua huruf besar serta suatu strip atau tanda panah di

atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan huruf kedua menyatakan titik

ujungnya. Sering pula suatu vektor diberi nama dengan sebuah huruf kecil (yang dicetak tebal),

misalnya , atau , atau ataupun . Besar panjang vektor ditulis |PQ| atau | |

Suatu vektor dimana titik awal dan ujungnya berimpit disebut vektor nol. Vektor-vektor yang

terletak pada garis lurus yang sama atau sejajar disebut segaris. “vektor-vektor disebut sama jika

mereka segaris serta mempunyai panjang dan arah yang sama.”

Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor a tetapi mempunyai panjang yang sama,

dinya takan sebagai –a.

Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah sebuah vektor c = a + b, yang diperoleh dengan

menempatkan titik awal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a lalu menghubungkan titik

awal vektor a dengan titik ujung vektor b. metode ini disebut metode segitiga dari penjumlahan

vektor. Metode lain adalah metode jajaran genjang, yaitu dengan menempatkan titik-titik awal

vektor-vektor a dan b berimpit, lalu membentuk sebuah jajaran genjang dengan dua buah sisinya a

serta b. a + b adalah diagonal jajaran gejang tersebut, yang bertitik awal a dan b tersebut.

E. Vektor dan Sistem Koordinat

Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu. Maka bila a vektor dengan panjang |a| 0

maka a/|a| adalah vektor satuan yang searah dengan a. pandanglah sistem koordinat cartesian

berikut:

Q

Vektor 𝑷𝑸 �� ��

P

𝒂 ��

−𝒂 ��

�� ��

Metode segitiga

a a

a+b

a a+b a

1. Panjang Vektor Dengan Titik Awal 0

Pandanglah sembarang vektor a yang titik awalnya titik (0,0,0) dan titik ujungnya titik (a1, a2, a3).

Jelas menurut metode segitiga bahwa 1 2 3 1 2 3 .

Bilangan-bilangan 1 2 3 disebut dengan komponen-komponen dari vektor a dan vektor itu

(yang titik awalnya adalah 0) disebut dengan vektor posisi (radius vektor) dari titik ( 1 2 3).

2. Panjang Vektor dengan Titik Awal Bukan Titik 0

Bila 1 2 3 1 2 3 dan k suatu skalar, maka 1 1 2 2 3 3

dan 1 2 3 1 2 3 .

i yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu X positif;

j yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Y positif;

k yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Z positif.

Kita tulis : I = 1i + 0j +0k

J = 0i +1j +0k

k = 01 + 0j +1k

z+

x+

y+

𝑘

𝑗

𝑖

i = [1,0,0]

j = [0,1,0]

k = [0,0,1]

z+

x+

y+

𝑘

𝑗 𝑎1𝑖

𝑎2𝑗

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑖

𝑎3𝑘

𝑎

𝑎 𝑎12 𝑎2

2 𝑎32

Misalkan vektor p dengan titik awalnya adalah P (𝑝1 𝑝2 𝑝3), dan

titik ujungnya adalah Q (𝑞1 𝑞2 𝑞3). Jika ditarik vektor-vektor u dan

v, berturut-turut vektor posisi P dan Q maka:

𝑢 𝑝1𝑖 𝑝2𝑗 𝑝3𝑘

𝑣 𝑞1𝑖 𝑞2𝑗 𝑞3𝑘

Sedangkan 𝑝 𝑣 − 𝑢 𝑞1 − 𝑝1 𝑖 𝑞2 − 𝑝2 𝑗 𝑞3 − 𝑝3 𝑘

atau

𝒑 𝒒𝟏 − 𝒑𝟏 𝒒𝟐 − 𝒑𝟐 𝒒𝟑 − 𝒑𝟑

z+

x+

y+ 0

𝑄

𝑃 𝑝

𝑢 𝑣

F. Dot Product

Bila a dan b vektor-vektor, adalah sudut antara a dan b (0 , maka: Dot product:

Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:

1. a.b = b.a

2. a.(b+c) = ab +ac

3. m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m

4. bila a = 1 2 3 , b = 1 2 3 maka a.b = 1 1 2 2 3 3

5. a.a = 12 2

2 32 2

6. a.b = 0 (a 0, b 0) maka a tegak lurus b (ortogonal)

contoh: a = 3i +4j + 5k dan b = 2i+6j, tentukan cos !

jawab :

a.b = 3.2 + 4.6 + 5.0 = 30

|a| = √ √ 0 dan √ 0 √ 0

Maka cos =

3

√5 √4

3

√2

3

√2

3

2√5

G. Cross Product

Bila a dan b vektor-vektor, = sudut antara a dan b (0 , maka: Cross Product:

{ }

Arah dari a x b ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan. Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:

1. a x b = -b x a 2. a x (b +c) = (a x b) + (a x c) 3. m(axb) = ma x b = a x mb =(a x b)m 4. i x i = j x j = k x k = 0.

i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j =-i, i x k = -j

5. bila a = 1 2 3 = 1 2 3 bila b = 1 2 3 = 1 2 3

a

b

axb

a

b

bxa

maka a x b = [| 2 3

2 3| |

3 1

3 1| |

1 2

1 2|]

= | 1 2 3

1 2 3

|

6. panjang dari a x b yaitu |a x b| = |a||b|sin menyatakan luas jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b.

7. jika a x b = 0 dan a 0, b 0 maka a sejajar dengan b.

contoh: a = [2,1,1], b = [-3,6,7], maka a x b adalah…

jawab: a x b = [|

| | −

| |

− |] = [1, -17, 15]

H. Arti Suatu Persamaan

Pada sistem koordinat cartesius XYZ suatu bidang dinyatakan sebagai sebuah persamaan yang terdiri

dari 3 variabel x,y,z. Bidang nyata misalnya mempunyai mempunyai persamaan derajat pertama

f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D = 0. Suatu titik (x0,y0,z0,) terletak pada suatu bidang F(x,y,z) = 0 apabila

terpenuhi F (x0,y0,z0) = 0

Persamaan yang bebas dari suatu peubah :

- Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan semua garis pelukisnya

sejajar sumbu Z

- Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar

sumbu Y

- Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar

sumbu X

Contoh :

a. Persamaan 2x + 3y + 5z = 30 menyatakan permukaan, yang merupakan sebuah bidang rata

b. Persamaan y2 + z2 = 9 menyatakan suatu permukaan, yang merupakan sebuah silinder sejajar

sumbu X.

X

Z

Y

15

10

6

2x + 3y + 5z = 30

Persamaan hanya mengandung satu peubah :

- Persamaan f(x) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang YOZ

- Persamaan f(y) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOZ

- Persamaan f(z) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOY

Contoh:

a. Persamaan x = 2 menyatakan sebuah bidang rata, yang sejajar bidang YOZ dengan jarak

2 (ke arah sumbu positif).

b. Persamaan z2 – 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z = 2 dan z = -2, yang sejajar

bidang XOY berjarak z

c. Persamaan y3 – 2y2 – y = 0 menyatakan tiga buah bidang rata y = 0 , y = 4, y = -2 yang

sejajar bidang XOZ

X

Z

Y

2

X

Z

Y

X

Z

Y

4 0 -2

I. Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat

Pada garis lengkung c : f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0 jika salah satu peubah (misalnya z) dieleminasi,

terdapat suatu persamaan baru F(x,y) = 0, merupakan silinder yang garis pelukisnya // sumbu Z serta

melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c di atas, ke bidang XOY. Jadi

proyeksinya mempunyai F(x,y) = 0, z = 0 , untuk proyeksi ke bidang YOZ maupun XOZ Kita dapat

melakukan hal yang sama pada proyeksi ke bidang XOY. Dimana :

- Jika kita mengeliminasi x, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany YOZ.

- Jika kita mengeliminasi y, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany XOZ.

Contoh:

Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola

x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + (y -1)2 + (z – 1)2 = 1 ke bidang XOY.

Jawab :

Menentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan (1) dan (2).

x2 + y2 + z2 = 1 ….. (1)

x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1 ……(2)

- x2 + y2 + z2 = 1

- x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1

x2 + (y2 – 2y + 1) + (z2 – 2z + 1) = 1

x2 + y2 – 2y + z2 – 2z = -1

- x2 + y2 + z2 = 1

x2 + y2 – 2y + z2 – 2z = -1

2y + 2z = 2

2z = 2 – 2y

z = 1 – y …… (3)

f(x,y) = 0

z =0

Subtitusikan z ke dalam persamaan (1)

x2 + y2 + z2 = 1

x2 + y2 + (1 – y)2 = 1

x2 + y2 + (y2 – 2y + 1) = 1

x2 + y2 + y2 – 2y = 0

x2 + 2y2 – 2y = 0, merupakan persamaan silinder proyektor.

Jadi proyeksi :

x2 + 2y2 – 2y = 0

z = 0

yang dapat dijabarkan menjadi :

x2 + 2y2 – 2y = 0

x2 + 2(y2 – y) = 0

x2 + 2{(y –

)2 -

} = 0

x2 + 2{(y –

)2 -

} = 0

x2 + 2{(y –

)2 =

2x2 + 4{(y –

)2 = 1

−

Suatu elips dengan pusat (0, 1

2,0)

Latihan Soal

1. Buktikan bahwa segi empat yang titik-titik sudutnya adalah tengah-tengah sisi-sisi suatu

segi empat sebarang, merupakan suatu jajaran genjang!

2. Buktikan bahwa bila a = [a1,a2,a3], b = [b1,b2,b3], maka

| 1 2 3

1 2 3

|

3. Buktikan bahwa segitiga dengan satu sisinya garis tengah lingkaran dan titik yang ketiga

sebarang pada busur lingkaran adalah segitiga siku-siku!

4. Gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z = 12

5. Gambarlah grafik persamaan linear 2x + 3y = 6 dalam ruang dimensi 3

6. Berikan analisis persamaan dan buatlah sketsa grafiknya

7. Tentukan proyeksi garis lengkung x2 + y2 = 3z dan 2x – y + z = 0

J. Persamaan Vektoris Bidang Rata

Jika di dalam suatu bidang rata tertentu terdapat tiga buah titik (yang tidak segaris),

misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V:

Untuk setiap titik sebarang X (x,y,z) pada bidang rata V berlaku: PX = PQ + PR (−

− ). Terlihat jelas pada gambar di atas bahwa OX = OP + PX

Atau [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1] ……………………………………….(1)

Persamaan tersebut merupakan persamaan vektoris bidang rata melalui tiga buah titik.

Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak

segaris, pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan

vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P (x1,y1,z1) dan diketahui kedua vektor

arahnya a = [xa,ya,za] dan b = [xb,yb,zb] adalah:

[x,y,z] =[x1,y1,z1] + [xa,ya,za]+ [xb,yb,zb] ……………………………………………………………………………(2)

Dan persamaan (2) dapat ditulis menjado tiga persamaan:

x = x1 + xa + xb …………………………….. (3)

y = y1 + ya + yb …………………………….. (4)

z = z1 + za + zb …………………………….. (5)

Titik P (x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2), R(x3,y3,z3)

PQ = [x2-x1, y2-y1, z2-z1]

PR = [x3-x1, y3-y1, z3-z1]

X

Z

Y

P

R

Q

X

O

Disebut dengan persamaan

parameter bidang rata

Contoh:

Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang melalui titik

(1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)!

Penyelesaian:

Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga

[x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2]

[x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5]

Persamaan parameter :

x = 1 +

y = 1 + 2 + 2

z = 2 + 3 + 5

K. Persamaan Linier Bidang Rata

Jika dan kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas, maka diperoleh:

; ; ;

dan

; ; ;

Dimana C = − |

| dimana c 0 ……………………………………………….………(6)

Kemudian, jika dan diatas kita substitusikan ke persamaan (5), maka akan diperoleh:

− 1 − { − 1 − − 1 } − { − 1 − − 1 } 0 atau

− − − − − 0 …………………………….(7.1)

− − − − − − 0 ………..(7.2)

Dimana: − |

| dan − |

|

Dan −

Sehingga persamaan (7) menjadi Ax +By +Cz + D = 0 ……………………………………………….....(8)

Persamaan (8) tersebut merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata.

L. Vektor Normal dari Bidang Rata V = Ax + By + Cz + D = 0

Terlihat bahwa vektor |

| |

| |

|

|

|

Vektor di atas merupaka vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan

b, dalam hal ini bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. Dimana n = [A,B,C] disebut dengan

vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Dimana vektor normal tersebut akan

memegang peranan penting di dalam pembahasan suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di

atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu titik (x1,y1,z1) denganvektor normalnya

[A,B,C] berbentuk: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ……………………………………………………….(9)

Catatan 1:

Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0 adalah:

1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang

rata yang melalui titik asal, persamaannya akan mempunyai harga D = 0.

2. Apabila D 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi

−

−

−

dan sebut berturut-turut dengan

−

−

− , maka didapatkan persamaan

yang mana memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0), dan sumbu z

di (0,0,r).

3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X

Bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y

Bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z

4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY

Bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

Bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ

Catatan 2:

1. Jika persamaan (7.2) − − − − − 0

kita tulis dalam bentuk dot product, maka akan menjadi:

[ − ( − ) − ] [ − ) − − 0 …(10)

Atau (r – r1).n = 0, dimana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang, r1 vektor posisi

suatu titik tertentu pada bidang, dan n = vektor normal bidang.

2. Tetapi n = a x b, dimana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (10) dapat

ditulis sebagai (r – r1).(a x b) = 0 atau:

|

− − −

| 0 …………………..(11)

Adalah persamaan bidang melalui titik P (x1,y1,z1) dengan vektor arah a = [xa,ya,za] dan b

= [xb,yb,zb].

3. Jika a bertitik awal di P (x1,y1,z1) dan titik ujungnya adalah Q (x2,y2,z2), serta b titik

awalnya di P (x1,y1,z1) dan titik ujungnya R (x3,y3,z3), maka bentuk (11) menjadi:

|

− − −

− − −

− − −

| 0 …………………..(12)

Adalah persamaan bidang rata dengan diketahui tiga titik P (x1,y1,z1), Q (x2,y2,z2), dan R

(x3,y3,z3) yang ditulis dalam bentuk determinan.

4. Sehingga, empat buah titik (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), dan (x4,y4,z4) akan sebidang jika

dan hanya jika:

|

− − −

− − −

− − −

| 0 …………………..(13)

Contoh 1:

Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)!

Penyelesaian:

Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga

[x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2]

[x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5]

Untuk mengubah persamaan vektoris ke persamaan linier dapat dilakukan dengan cara

mencari vektor normal sebagai hasil cross product [1,2,3] x [0,2,5] = [4,-5,2]

Sehingga: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ……. (9)

4(x – 1) + (-5)(y – 1) + 2(z – 2) = 0

4x – 5y + 2z - 3 = 0

Contoh 2:

Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang 2x + 3y + 4z = -12

Penyelesaian :

Berdasarkan catatan no. 2 didapatkan

−

−

− dan

, sehingga:

, akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0), dan (0,0,3)

Contoh 3:

Tentukan persamaan bidang rata melalui tiga titik (2,-1,1), (3,2,-1), dan (-1,3,2)

Penyelesaian:

| − − − − −

− − − | 0 atau

| − −

− −

| 0 0

Latihan:

1. Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier bidang rata

melalui tiga titik:

a. (3,4,1), (-1,-2,5), (1,7,1)

b. (3,1,4), (2,1,6), (3,2,4)

c. (3,2,1), (1,3,2), (1,-2,3)

Z

Y

X

6

4

3

2. Apakah empat titik berikut sebidang? Jika sebidang, tentukan persamaan liniernya

a. (2,1,3), (4,2,1), (-1,-2,4), (0,0,5)

b. (4,2,1), (-1,-2,2), (0,4,-5), (

0)

c. (3,1,2), (4,-2,-1),(1,2,4), (1,2,1)

3. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik P(1,3,-2), Q(3,1,1) dan R(-

1,2,3)

4. Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang y + z = 4

M. Persamaan Normal Bidang Rata

Misalkan n = [A,B,C] adalah vektor normal bidang V = Ax + By + Cz + D = 0, berturut-

turut adalah sudut antara n dengan sumbu-sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan

oleh vektor i, j, dan k).

Atau: [cos , cos , cos ] = [A, B, C]/|n| = n/|n| …….(15), yaitu vektor satuan yang searah dengan

n, juga berarti bahwa cos2 + cos2 + cos2 = 1. = [cos , cos , cos ] disebut vektor cosinus dari

bidang V, atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan p = jarak titik

(0,0,0) ke bidang V = 0, dimana p 0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang, maka p adalah proyeksi

OX = [x,y,z] pada yaitu: p = OX. = [x,y,z]. [cos , cos , cos ] atau xcos + ycos + zcos = p

…..(16)merupaka persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. Untuk mengubah bentuk V = Ax + By

+ Cz + D = 0 ke bentuk normal maka (dari persamaan (14) diperoleh: |n|(xcos + ycos + zcos ) =

-D ……………..(17). Kita selalu menghendaki bahwa –D/|n|= p positif. Jadi, jika D negatif, maka

𝑐𝑜𝑠á 𝑛 𝑖

𝑛 𝑖

𝐴

𝑛

𝑐𝑜𝑠â 𝑛 𝑗

𝑛 𝑗

𝐵

𝑛 … (14)

𝑐𝑜𝑠ã 𝑛 𝑘

𝑛 𝑘

𝐶

𝑛

Z

Y

X

i

j

k

n

á

ã

â

masing-masing ruas persamaan (17) kita bagi +|n| = +√ dan kalau D positif,

masing-masing ruas kita bagi -|n|.

Contoh:

Carilah bentuk normal dari 3x +6y – 2z +6 = 0

Jawab:

D = 6 adalah positif, sedangkan |n| = √ −

= . Jadi persamaan

normalnya adalah −3

7 −

6

7

2

7

6

7

N. Sudut Antara Dua Bidang Rata

Sudut antara vektor V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 adalah

sudut antara normal-normal n1 = [A1, B1, C1] dan n2 = [A2, B2, C2] yaitu:

: :

√ :

: √

: :

Contoh :

Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan 2x + y + 2z – 11 = 0 adalah …..

Jawab:

1 1 1 2 1 2

√1 :1 :1 √2 :1 :2

5

3√3

Atau cos =arccos 5

3√3

Catatan:

- Kedudukan sejajar: bila V1 dan V2 sejajar, maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan), yang

berarti bahwa: [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2], adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar, (

sebarang 0).

- Kedudukan tegak lurus: bila V1 tegak lurus V2 maka vektor normalnya akan saling tegak

lurus, n1 n2, atau n1.n2 = 0 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Contoh:

1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang melalui (0,2,1) dan sejajar bidang rata V1 = x +

y +5z = 9 !

Jawab:

V1 = x + y +5z = 9 memiliki normal [1,1,5], akan berbentuk x + y + z + D2 = 0

V2 melalui (0,2,1) maka terpenuhi 0 + 1.2 + 5.1 + D2 = 0 7 + D2 = 0 D2 = -7

Sehingga persamaan bidang rata V2 adalah x + y + 5z -7 = 0

2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus bidang rata V1 = x + y + z = 1 serta

melalui titik- titik (0,0,0) dan (1,1,0)!

Jawab:

Misalkan V2 = A2x + B2y + C2z + D = 0 V berarti:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

1.A2 + 1.B2 + 1.C2 = 0 A2 + B2 + C2 = 0 C2 = -A2 – B2 ……….(*)

Karena V2 melewati (0,0,0), maka D = 0, dan melewati (1,1,0) berarti:

A2 + B2 = 0 atau A2 = -B2 ………(**)

Dari (*) dan (**)

C2 = -A2 – B2

C2 = -(-B2) – B2

C2 = 0

Jadi persamaan V2: A2 + B2 + C2 + D = 0 V2 = -B2x + B2y + 0z + 0 = 0 atau –x +y = 0

O. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Pandang bidang . Kita akan menentukan jarak antara titik

R (x1,y1,z1) ke bidang V1. Selanjutnya kita buat V2 yang melalui R sejajar dengan V1. Jadi

vektor normal V1 dan V2 sama. Sedangkan jarak dari titik asal 0 ke V2 adalah p d

(tergantung letak V1 dan V2 terhadap titik 0).

𝑑 |𝐴𝑥1 𝐵𝑦1 𝐶𝑧1 𝐷

√𝐴2 𝐵2 𝐶2|

𝑉 𝑥𝑐𝑜𝑠á 𝑦𝑐𝑜𝑠â 𝑧𝑐𝑜𝑠ã 𝑝 𝑑 dan

karena R (x1,y1,z1) pada V2, sehingga:

𝑥 𝑐𝑜𝑠á 𝑦 𝑐𝑜𝑠â 𝑧 𝑐𝑜𝑠ã 𝑝 𝑑 atau

𝑑 𝑥1𝑐𝑜𝑠á 𝑦1𝑐𝑜𝑠â 𝑧1𝑐𝑜𝑠ã − 𝑝 ,

adalah jarak titik R (x1,y1,z1) ke bidang

𝑉 𝑥𝑐𝑜𝑠á 𝑦𝑐𝑜𝑠â 𝑧𝑐𝑜𝑠ã 𝑝.

Jika V1 berbentuk Ax +By +Cz + D = 0, maka:

Contoh:

1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x +6y -3z -13 = 0

Jawab:

| : : :

√ : : |

|2 4:6 7: ;3 3;13

2 :6 : ;3 | =|

8:42;9;13

√4:36:9| |

28

√49| |

28

7|

2. Diketahui V1 = x + y + z -2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0, jika R pada V2, hitunglah jarak

tersebut ke V1!

Jawab:

Ambil sebarang titik R pada V2, x = 0, y = 0, z = 5, sehingga R (0,0,5), maka jarak R ke V1:

| : : :

√ : : | |

1 :1 :1 5;2

√1 :1 :1 | |

3

√3| √

P. Berkas Bidang Rata

Bidang-bidang V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 berpotongan

menurut sebuah garis lurus. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi

persamaan 1V1 + 2V2 = 0, (dimana 1 dan 2 parameter). Persamaan di atas merupakan

himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V1 dan V2. Bila 1 0 kita dapat menulis

menjadi V1 + ( 1/ 2)V2 = 0 atau V1 + V2 = 0 adalah persamaan berkas bidang melalui garis

potong bidang-bidang V1 = 0 dan V2 = 0.

Jika V1 dan V2 sejajar berkas bidang V1 + V2 = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang

sejajar V1 = 0 dan V2 = 0, dapat kita tulis menjadi: A1x + B1y +C1z = k, dimana k = parameter.

Contoh:

Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik

(0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang V1 = 2x

+3y +24 = 0 dan V2 = x – y +2z =12

Jawab:

V dapat dimisalkan berbentuk : V1 + V2 = 0

: 2x + 3y + 24 + (x – y + 2z – 12) = 0 …………………(*)

Karena V1 melalui (0,0,0), maka terpenuhi:

2.0 + 3.0 + 24 + (0 – 0 + 2.0 – 12) = 0

24 - 12 = 0

= 2 , kemudian substitusikan = 2 ke (*), maka akan diperoleh:

2x + 3y + 24 + 2(x – y + 2z – 12) = 0

2x + 3y + 24 + 2x – 2y + 4z – 24 = 0

4x + y + 4z = 0, bidang yang diminta.

Q. Jaringan Bidang Rata

Contoh:

Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z = 1 serta melalui titik

potong bidang-bidang V1 = x – 3 = 0, V2 = y – 4 = 0, V3 = z = 0

Jawab:

Bidang rata V berbentuk

V1 + V2 + V3 = 0

x – 3 + (y – 4) + (z) = 0

x – 3 + y - 4 + z = 0

x + y + z – 3 - 4 = 0 ………(*)

karena sejajar dengan U, maka [1,1,1] adalah normal dari V, atau [1, , ] kelipatan dari

[1,1,1] sehingga = = 1

substitusikan = = 1 ke (*) sehingga menghasilkan V = x + y + z -7 = 0, yang diminta.

Latihan Soal:

1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui (-1,2,4) dan sejajar bidang rata 2x -

3y-5z +6 = 0

Pandang bidang-bidang rata V1 = 0, V2 = 0,

dan V3 = 0 yang tidak terletak dalam sebuah

berkas yang sama (tidak berpotongan pada

satu garis ataupun sejajar satu sama lain).

Persamaan V1 + λV2 + ìV3 = 0 merupakan

himpunan bidang-bidang yang melalui

titik potong ketiga bidang disamping

(pada gambar melalui titik T), dan

himpunan bidang-bidang rata itu disebut

jaringan bidang.

2. Tentukan persamaan linier bidang rata yang sejajar bidang rata 3x – 6y – 2z – 4 = 0 dan

berjarak 3 dari titik asal (0,0,0).

3. Tentukan persamaan bidang rata melalui (3,-2,4) dan tegak lurus bidang-bidang rata 7x

– 3y + z – 5 = 0 dan 4x – y – z + 9 = 0

4. Tentukan persamaan bidang rata melalui P(2,2,1) dan Q(9,3,6) serta tegak lurus bidang

V = 2x + 6y +6z = 9

R. Persamaan Vektoris Garis Lurus

P = (x1, y1, z1), Q = (x2, y2, z2),

X = (x, y, z)

OP = [x1 – 0, y1 – 0, z1 – 0] = [x1, y1, z1]

OQ = [x2 – 0, y2 – 0, z2 – 0] = [x2, y2, z2]

= [xq – xp, yq – yp, zq – zp]

= [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1]

titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku

PX = PQ, (− )

OX = OP + PX = OP + PQ

OX = [x1, y1, z1] + [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1]

Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui

dua titik P dan Q.

PQ 0 yang terletak di g, disebut vektor arah garis lurus. Misalkan sebuah garis lurus

melalui satu titik P = (x1, y1, z1), dan mempunyai vektor arah a = [a,b, c], maka

persamaannya menjadi: [x, y, z] = [x1, y1, z1]+ [a,b,c]

x = x1 + a

y = y1 + b Persamaan Parameter Garis Lurus

z = z1 + c

a = x – x1 b = y – y1 c = z – z1

= ;

……(1) =

;

……(2) =

;

……(3) dari pers. (1), (2), dan (3):

;

;

;

persamaan linear garis lurus melalui titik P dengan vektor arah a

;

;

;

;

;

; Merupakan persamaan linear garis lurus melalui titik P dan Q

Contoh :

Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier garis lurus melalui titik (1, 2, 1) dan (-2,

3, 2)!

Jawab :

[x,y,z] = [x1, y1, z1] + [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1]

[x,y,z] = [1, 2, 1] + [-2-1, 3-2, 2-1] = [1, 2, 1] + [-3, 1, 1] ;

;

;

;

;

;

;1

;2;1

;2

3;2

;1

2;1

;1

;3

;2

1

;1

1

−

− − −

S. Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Persamaan { − −

adalah persamaan – persamaan garis lurus yang merupakan

perpotongan bidang-bidang − dan − . Tentukan persamaan

garis lurus dari perpotongan bidang-bidang tersebut!

Jawab :

− −

a = n1 x n2

[a,b,c] = [A1,B1,C1] x [A2,B2,C2]

| − −

| |− −

| |

| | − −

|

− 0 − − − − − −

Titik potong kedua bidang

Misalnya XOY, maka z = 0 sehingga

− x 1 − −

− x 2 − - −

− − −

−

Sehingga titik potongnya adalah (1,-3,0)

Maka persamaan garis tersebut adalah :

[x,y,z] = [1, -3,0] + [-9,-2, 5]

T. Kedudukan Dua garis Lurus

Jika g1 = [x,y,z] = [x1, y1, z1] + [a1, b1, c1]

g2 = [x,y,z] = [x2, y2, z2] + [a2, b2, c2]

kasus 1 : g1 //g2 (sejajar)

maka [a1, b1, c1] = [a2, b2, c2]

kasus 2 : g1 berimpit g2

maka [a1, b1, c1] = [a2, b2, c2] dan [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] = [a1, b1, c1]

kasus 3 : g1 berpotongan dengan g2

|

−

− −

| 0

Sedangkan bidang yang memuat g1 dan g2 |

−

− −

| 0

Contoh:

Tunjukkan bahwa −

−

berpotongan dengan

−

−

0

Tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2

Jawab :

g1 = [x,y,z] = [x1, y1, z1] + [a1, b1, c1]

= [x,y,z] = [4, -3, -1] + [1, -4, 7]

g2 = [x,y,z] = [x2, y2, z2] + [a2, b2, c2]

= [x,y,z] = [1, -1, -10] + [2, -3, 8]

>> Akan dibuktikan apakah g1 berpotongan dengan g2 : (kasus 3)

| −

− − − − 0

| 0 | −

− − −

| 0

|− −

| | −

− | − |

− −

| 0

− − − − 0

− − − − 0

Maka terbukti bahwa g1 dan g2 berpotongan.

>> Akan dicari bidang yang memuat g1 dan g2

|

−

− −

| 0 | −

− −

| 0

|−

| | −

| − |− −

| 0

− − − − − − 0

− − − − − 0

− − − 0 − 0

− 0 …….(bidang yang memuat g1 dan g2)

>> untuk mencari titik potong lihat g1 dan g2 | −

− − −

|, maka:

− ……………(1)

− 1 − 2 ……………(2)

− ……………(3)

Eliminasi (1) dan (2) − x 4 −

− 1 − 2 − 1 − 2 +

2 − 0

−

Substitisikan − ke persamaan (1)

− − −

− −

Jadi, [x,y,z] = [4, -3, -1] + [1, -4, 7]

= [4, -3, -1] + [1, -4, 7] = [5, -7, 6], titik potongnya adalah [5,-7,6]

U. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata

g1 sejajar bidang V

g1 tegak lurus bidang V

g1 terletak pada bidang V

1. g1 sejajar dengan bidang V jika dan hanya jika vektor arah g1 tegak lurus dengan normal

bidang, atau

a.n = 0

[a,b,c][A,B,C] = 0

aA + bB + cC = 0

2. g1 tegak lurus bidang V jika dan hanya jika vektor arah g1 = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya). a/A = b/B = c/C atau a. a >> [A,B,C] = [a,b,c]

3. g1 terletak seluruhnya pada bidang V jika terpenuhi a.n = 0 contoh :

Buktikan bahwa g : −

− sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0

Jawab :

g // V jika dan hanya jika a.n = 0

[2,-3,1].[1,1,1] = [2 – 3 + 1] = 0, maka terbukti bahwa g sejajar V.

V. Jarak Antara Dua Garis Lurus g1 dan g2

Tentukan jarak garis lurus g1 : ;2

2

3

;2

1 dan g2 :

2

;4

3

;8

1

Jawab :

g1 : [x,y,z] = [2,0,2] + [2,3,1]

g2 : [x,y,z] = [0,4,8] + [2,3,1]

g1//g2 karena [a1,b1,c1] = [a2,b2,c2]

1. Pilih titik yang ada di g1, titik P (2,0,2)

2. Buat bidang yang melalui (2,0,2) tegak lurus g2

a(x – x1) +b(y – y1) + c(z – z1) =0

2(x – 2) + 3(y – 0) + 1 (z – 2) = 0

2x – 4 + 3y – 0 + z – 2 = 0

2x + 3y + z – 6 = 0

3. Mencari titik Q, yaitu titi tembus g2 pada W

g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter

x = 2

y = 4 +3

z = 8 +

substitusikan persamaan parameter tersebut ke persamaan 2x + 3y + z – 6 = 0, maka

2 (2 ) + 3(4+3 ) + (8+ ) – 6 = 0

4 + 12 + 9 + 8 + – 6 = 0

14 + 14 = 0

14 = -14

= -1

Substitusi kembali = -1 ke persamaan parameter

x = 2 maka x = 2(-1) = -2

y = 4 +3 maka y = 4 + 3(-1) = 1

z = 8 + maka z = 8 -1 = 7

sehingga Q (-2,1,7)

4. Panjang PQ adalah jarak g1 ke g2

PQ = √ − −

−

PQ = √ − − − 0 −

PQ =√

PQ = √

W. Perpotongan Tiga Bidang Rata

Pandang tiga bidang rata

V1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

V2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

V3 : A3x + B3y + C3z + D3 = 0

Ketentuan :

|

| |

| 0 ……………….(1)

|

| 0 …………………………………..(2)

Terdapat tiga kemungkinan kedudukan

1. Hanya mempunyai satu titik persekutuan (membentuk jaringan bidang), jika tidak

memenuhi (1) dan (2).

2. Mempunyai satu garis lurus (membentuk berkas bidang), jika memenuhi (1) dan (2).

3. Membentik prisma sisi tiga, jika memenuhi (1) dan persamaan (2) tidak terpenuhi.

Contoh :

Tunjukkan bahwa bidang – bidang x + y + z + 3 = 0, 3x + y – 2z + 2 = 0, dan 2x + 4y + 7z -7 = 0

membentuk prisma sisi tiga!

Jawab :

Persamaan (1)

|

| | −

| 0

| −

| |−

| |

| 0

− − − 0

− 0 0 ……………………….(persamaan 1 terpenuhi)

Persamaan (2)

| −

| 0 0

| −

| |

− | |

| 0

− − − 0

− 0 0

0 0 ……………………………………(persamaan 2 tidak terpenuhi)

Maka ketiga persamaan bbidang tersebut membentuk prisma sisi tiga.

Latihan:

1. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong

bidang : V1 = 3x + 2y + 12 = 0 dan V2 = x + y - 3z = 10

2. Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z =1serta melalui titik

potong bidang-bidang V1 = x + 3 = 0, V2 = y – 2 = 0, V3 = z = 0

3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan! Tentukan bidang yang

memuat kedua garis berikut, serta titik potong kedua garis berikut! −

−

0

dan −

−

4. Tunjukkan bahwa kedua garis ini sejajar, dan hitunglah jaraknya! −

dan

−

−

5. Tentukanpersamaan vektoris dan persamaan linear garis lurus melalui (1,-3,2) dan

(4,1,0)

X. Persamaan Bola

Persamaan umum bola : 2 2 2 0

Secara simbolis ditulis dengan S = 0

Pusat bola : (−1

2 −

1

2 −

1

2 )

Jari-jari bola : √1

4 2

1

4 2

1

4 2 −

Catatan :

Pada persamaan 2 2 2 0 terdapat tiga kemungkinan

terhadap 1

4 2

1

4 2

1

4 2 − antara lain yaitu:

1. Bila > 0 : bola disebut bola sejati

2. Bila = 0 : bola berjari-jari nol (titik)

3. Bila < 0 : bola merupakan bola khayal.

Contoh:

1. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 2 2 2 − 0 − 0

2. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 2 2 2 0 0

Jawab:

1. A = 8, B = -10, C = -6, D = 1

Pusat = (−1

2 −

1

2 −

1

2 )= (−

1

2 −

1

2 − 0 −

1

2 − )) = (-4, 5, 3)

Jari – jari = √1

4 2

1

4 2

1

4 2 − = √

1

4 2

1

4 − 0 2

1

4 − 2 − = √ = 7

2. A = 2, B = 2, C = 4, D = 20

Pusat = (−1

2 −

1

2 −

1

2 )= (−

1

2 −

1

2 −

1

2 )= (-1, -1, -2)

Jari – jari = √1

4 2

1

4 2

1

4 2 − =√

1

4 2

1

4 2

1

4 2 − 0 =√− = khayal

Y. Bola dan Bidang Rata

Bola S = 0 berjari-jari r, dengan pusat M. Bidang V = 0, dengan d = jarak pusat M ke bidang.

1. V memotong bola, jika d < r, perpotongannya sebuah lingkaran.

2. V menyinggung bola, jika d = r, perpotongannya sebuah titik (bidang menyinggung bola).

Bidang singgung di N (x1, y1, z1) pada bola

S = 2 2 2 0

Pusat M (−1

2 −

1

2 −

1

2 )

Titik singgung N (x1, y1, z1)

- Jika bola (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2, maka bidang singgungnya adalah

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) + (z1 – c)(z – c) = r2

- Jika bola x2 + y2 + z2 = r2, maka bidang singgungnya adalah

x1x +y1y + z1z = r2

3. V tidak memotong bola, jika d > r

Contoh:

Bagaimana kedudukan bola S = 2 2 2 − 0 dan bidang

0. Bila berpotongan, tentukan jari-jari lingkaran perpotongannya!

Jawab:

Pusat Bola : (−1

2 −

1

2 −

1

2 )= (−

1

2 −

1

2 −

1

2 )) = (-1, -2, -2)

Jari – jari bola : √1

4 2

1

4 2

1

4 2 − = √

1

4 2

1

4 2

1

4 2 = √ = 5

d = jarak M ke bidang V = 0 yaitu:

d = | 1 ;1 : 2 ;2 : 2 ;2

√1 :2 :2 |

ternyata d < r, maka bidang memotong bola, dan perpotongannya sebuah lingkaran.

NP = √ − (phytagoras)

N P

M 3

S = 0

V = 0

Garis g

5