BAB II

GARIS-GARIS SEJAJAR

1. Pengertian

Dua garis sejajar

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak berhingga.

Perhatikan gambar berikut

garis m dan garis n di atas ,jika diperpanjang sampai tak berhingga maka keduanya tidak akan berpotongan,keadaan ini dikatakan kedua garis sejajar.dinotasikan dengan lambang

//

Contoh-contoh Garis-garis Sejajar

•) Bidang datar

Perhatikan bidang-bidang datar berikut

Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjang ABCD adalah AB // CD, AD // CB, maka ada 2 garis sejajar.

Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjang FGHI adalah FG // HI, FI // GH, maka ada 2 garis sejajar.

1

Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari trapesium ABCD adalah AB // CD, maka ada 1 garis sejajar.

•) Bangun ruang

Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut

Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar pada balok tersebut adalah AE // BF, BF // CG, CG // DH, DH //AE, AB // DC, DC // HG, HG // EF, EF // AB, AD // BC, BC // FG, FG // EH, EH // AD, maka ada 12 pasang garis yang sejajar.

2.Sifat-sifat Garis Sejajar

Sifat pertama:Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu.

Perhatikan Gambar disampingPada gambar tersebut, melalui dua buah titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuat

tepat satu garis, yaitu garis m.Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang

melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n.

Sifat kedua:Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.

Selanjutnya perhatikan kedua buah gambar disamping

2

Pada gambar di samping diketahui garis m sejajar dengan garis n ( m // n) dan garis l memotong garis m di t itik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjang maka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.

Sifat ketiga:Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.

Sekarang, perhatikan disamping.Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar dengan garis l dan garis m.

Tampak bahwa garis k sejajar dengan garis l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengan garis m, ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berarti bahwa garis l sejajar dengan garis m.

3.Transversal

Transversal dari dua garis sejajar adalah sebuah garis yang memotong kedua garis tersebut.

Perhatikan gambar berikut

dari gambar diatas maka garis l adalah transversal dari garis sejajar m dan n,karena garis l memotong garis n juga garis m.

A.Pengertian Sudut Dalam (Interior Angles) dan Sudut Luar (Exterior Angles)

3

Sudut Dalam (Interior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis dan berada diantara kedua garis tersebut.

Dari gambar diatas yang disebut sudut dalam adalah A∠ 4, A∠ 3, B∠ 1 dan B∠ 2

Sudut Luar (Exterior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis dan berada diluar kedua garis tersebut.

Dari gambar diatas yang disebut sudut luar adalah A∠ 1, A∠ 2, B∠ 3 dan B∠ 4

B. Sudut-sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar yang dipotong oleh garis tranversal

•) Sudut-sudut sepihak

1) Sudut-sudut dalam SepihakSudut yang berada di dalam dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kiri

maupun kanan garis transversal. Sudut-sudut itu di sebut sudut dalam sepihak.Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam sepihak adalah ∠A3 dengan ∠B2 dan ∠A4 dengan B1

2) Sudut-sudut luar SepihakSudut yang berada diluar dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kiri

maupun kanan garis transversal. Sudut-sudut ini disebut sudut luar sepihak.Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar sepihak adalah ∠A1 dengan ∠B4 dan ∠A2 dengan B3

•) Sudut-sudut Berseberangan

1) Sudut-sudut dalam BerseberanganSudut yang berada diantara (di dalam) dua garis sejajar dan berseberangan terhadap

garis transversal. Sudut-sudut itu disebut sudut dalam berseberangan.Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam berseberangan adalah ∠A3

dengan ∠B1 dan ∠A4 dengan B2

2) Sudut-sudut luar Berseberangan

4

Sudut yang berada di luar dua garis sejajar dan berseberangan terhadap garis transversal. Sudut itu disebut sudut luar berseberangan.

Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar berseberangan adalah A∠ 1 dengan B∠ 3 dan A∠ 2 dengan B4

•) Sudut Sehadap

Sudut yang menghadap kearah yang sama, Sudut itu disebut sudut sehadap.Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut sehadap adalah A∠ 1 dengan B∠ 1,

A∠ 2 dengan B2, A∠ 3 dengan B∠ 3 dan A∠ 4 dengan B4

C. Hubungan antara sudut-sudut pada garis-garis sejajar

•) Sudut Sehadap

Dari Gambar di samping, kita akan memperoleh pasangan sudut sehadap, yaitu A1 dengan∠ B1,∠   A2 dengan∠

B2,∠   A3 dengan B3, A4 dengan B4.∠ ∠ ∠ ∠Ternyata akan diperoleh hubungan antar sudut tersebut, yaitu:

A1 = B1∠ ∠A2 = B2∠ ∠A3 = ∠ ∠B3∠A4 = ∠B4

Perhatikan pola pengubinan di samping•) Apabila jajar genjang ABCD kita geser ke kanan sejauh AB maka akan menempati jajargenjang BEHC, maka:

∠DAB → ∠CBE, berarti ∠DAB = ∠CBE•) Sekarang kita geser jajargenjang ABCD sejauh 2AB sehingga menempati jajargenjang EFGH, maka:

∠DAB → ∠HEF, berarti ∠DAB = ∠HEFDari kedua pernyataan di atas maka akan kita dapat:•) ∠DAB= ∠CBE = ∠HEF•) Sudut diatas adalah sudut sehadap, jadi bias kita tarik kesimpulan bahwa sudut-sudut sehadap sama besar.

5

•) Sudut-sudut dalam Berseberangan

Jajargenjang ABCD diputar 180o dengan titik P sebagai pusat. Dengan demikian maka C’ → B dan B’ → C. Terlihat bahwa:∠DAB = ∠B’A’D’ = DCB dan ADC = A’D’C’ = ABC∠ ∠ ∠ ∠

Secara matematik, hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut∠DAB = ∠B’A’D’ (kedua sudut saling bertolak belakang)∠ B’A’D’ = ∠ DCB + (sudut-sudut sehadap sama besar)∠DAB + ∠B’A’D’ = ∠B’A’D’ + ∠DCB∠DAB = ∠DCBDengan cara yang sama kita akan memperoleh ∠ADC = ∠ABCDari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam berseberangan sama

besar.

(a) (b)

Nah perhatikan kedua gambar diatasGambar (b) diperoleh dari gambar (a), tapi ada sedikit modifikasi yaitu:

• Buat sembarang titik C dan titik D dimana AC = BD• Kemudian tarik garis dari titik C ke titik B dan titik D ke titik A.Sekarang kita sudah dapatkan 2 buah segitiga yaitu segitiga ABC dan segitiga ABD.

Langkah selanjutnya adalah kita tunjukkan bahwa kedua segitiga itu kongruen dengan langkah-langkah berikut:∆ ABC = ∆ ABDSegitiga yang kongruen memiliki panjang sisi yang sama AD = CB, AC = DB, AB = ABMemiliki besar sudut yang sama ∠A = ∠B dan ∠D = ∠CMaka terbukti bahwa sudut dalam berseberangan sama besar.

•) Sudut-sudut luar Berseberangan

6

P

Perhatikan gambar di atasJika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 = ∠B3 dan ∠A1 + ∠A3Hal itu dapat dijelaskan sebagai berikut:∠A1 = ∠A3 (kedua sudut sudut saling bertolak belakang)∠ A 3 = ∠ B 3 + (sudut-sudut sama besar)∠A1 + ∠A3 = ∠A3 + ∠B3∠A1 = ∠B3

Dengan cara yang sama dapat ditunjukan bahwa ∠A1 + ∠A3

Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar berseberangan sama besar.

(a) (b)

Perhatikan kedua gambar diatas.Kita putar gambar (a) sebesar 180o, kemudian himpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (b).

Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa:•) Sudut luar berseberangan sama besar dimana ∠A4 = ∠B2 dan ∠B3 = ∠A1

•) Sudut-sudut dalam Sepihak

Perhatikan gambar di atasJika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A4 + ∠B1 = 180o dan ∠A3 + ∠B2 = 180o

Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikutKarena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1

Sehingga :∠A4 + ∠B1 = ∠A4 + ∠A1 = 180o (sudut lurus)Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A3 + ∠B2 = 180o

Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak jumlahhnya 180o.

7

Perhatikan gambar jajargenjang diatas. Kita ingat sifat-sifat jajar genjang yaitu:•) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar•) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.•) sudut yang berdekatan besarnya 180o.

Dari sifat ketiga dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak besarnya 180o.

•) Sudut-sudut luar Sepihak

Perhatikan gambar di atasJika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 + ∠B4 = 180o dan ∠A2 + ∠B3 = 180o

Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikutKarena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1

Sehingga :∠A1 + ∠B4 = ∠B1 + ∠B4 = 180o (sudut lurus)Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A2 + ∠B3 = 180o

Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar sepihak jumlahhnya 180o.

(n) (m)

Perhatikan kedua gambar diatas.Kita geser gambar (n) sehingga garis a bertemu garis b, kemudian himpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (m).Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa:

8

•) Sudut luar berseberangan = 180o∠A4 + ∠B3 = 180o (sudut pelurus) ∠A1 + ∠B2 = 180o (sudut pelurus)

Contoh Soal

a) Sebutkan hubungan antar sudutb) Jika ∠P1 = 45o, maka tentukan besar sudut lainnya dan jelaskan hubungan sudut

tersebut dengan ∠P1

Jawaba) •) Sudut sehadap: O∠ 1 dengan P∠ 1, O∠ 2 dengan P2, O∠ 3 dengan P∠ 3 dan O∠ 4

dengan ∠P4

•) Sudut dalam berseberangan: ∠P3 dengan ∠O1 dan ∠P4 dengan ∠O2

•) Sudut luar berseberangan: ∠P2 dengan ∠O4 dan ∠P1 dengan ∠O3

•) Sudut dalam sepihak: ∠P3 dengan ∠O2 dan ∠P4 dengan ∠O1

•) Sudut luar sepihak: ∠P2 dengan ∠O3 dan ∠P1 dengan ∠O4

b) ∠P2 = 135o (sedut pelurus)∠P3 = 45o (sedut bertolak belakang)∠P4 = 135o (sedut pelurus)∠O1 = 45o (sedut sehadap)∠O2 = 135o ( … )∠O3 = 45o (sedut luar berseberangan)∠O4 = 135o (sedut luar sepihak)

4.Melukis Garis SejajarUntuk melukis garis-garis sejajar dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:Dengan menggunakan mistar atau penggaris segitiga siku-siku. Untuk melukis garis melalui sebuah titik sejajar dengan garis yang diketahui.

Diketahui : garis a dan titik P di luar a.Lukislah : garis b melalui titik P dan sejajar garis a.Langkah-langkahnya:a. Impitkan sisi miring penggaris segitiga siku-siku pada garis a.b. Letakan mistar rapat pada sisi salah satu siku-sikunya.c. Geserlah penggaris segitiga siku-siku, dengan sisi siku-siku tetap rapat dengan

mistar sehingga sisi miring segitiga siku-siku melalui titik P.

9

Maka dari proses melukis tersebut kita dapatkan 2 kesimpulan1.Aksioma kesejajaran ,yaitu melalui sebuah titik tertentu diluar garis yang diketahui dapat dibuat tepat satu garis sejajar yang diketahui.2.Torema ,jika suatu garis memotong salah satu garis sejajar,garis tersebut juga memotong garis yang kedua.

10