fungsi rasional dan ekspansi fraksi parsial … · · 2013-03-27banyak dalam variabel s ......

FUNGSI RASIONAL DAN EKSPANSI FRAKSI PARSIAL (EFP)

Asep NajmurrokhmanJurusan Teknik Elektro

Universitas Jenderal Achmad Yani

1EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

Tujuan Belajar :

mengetahui bentuk polinomial atau persamaan suku banyak dalam variabel s

menghitung akar-akar polinomial mengetahui bentuk fungsi rasional mengetahui, menghitung, dan menggambar pole dan

zero sebuah fungsi rasional dalam bidang kompleks mengetahui definisi ekspansi fraksi parsial (EFP) menerapkan konsep EFP dalam menentukan

transformasi Laplace balik


Polinomial dan akar

nnsasaasA 10

naaa ,,, 10 • Koefisien :

• n menyatakan derajat (orde) polinomial

• Akar polinomial atau zero A(s) adalah sebuah bilangan yang memenuhi 0A

nn sssasA 21

Sebuah polinomial dengan k buah akar yang sama dikatakan memiliki multiplisitas akar


Fungsi rasional

n

n

mm

sasaasbsbb

sAsBsF

10

10

• Polinomial B(s) disebut pembilang (numerator)

• Polinomial A(s) disebut penyebut (denominator)


Pole dan Zero

sAsBsF

•Pole : akar-akar A(s)

•Zero : akar-akar B(s)

adalah zero F(s) apabila F() = 0

merupakan pole F(s) apabila

sFslim


Plot Pole dan Zero

n

mn

n

mm

pspspszszszsk

sasaasbsbbsF

21

21

10

10

mzzz ,,, 21 zero F(s)

nppp ,,, 21 pole F(s)

real

imajiner


Ekspansi Fraksi Parsial (EFP)

n

n

mm

sasaasbsbb

sAsBsF

10

10

n

n

sr

sr

srsF

2

2

1

1

• multiplisitas akar-akar A(s) sama dengan satu• m < n

n ,,, 21 : pole-pole F(s)

nrrr ,,, 21 : residu


Penentuan EFP

Tentukan pole-pole yaitu dengan memfaktorkan A(s)

Tentukan residu-residu Metode pemecahan persamaan linier Metode Heaviside Metode l’Hospital

n

n

mm

sasaasbsbb

sAsBsF

10

10

n ,,, 21

n

n

sr

sr

srsF

2

2

1

1


Metode pemecahan persamaan linier

23

32

ssssF

2123

3 212

sr

sr

ssssF

23

221

1221 2

21212121

ssrrsrr

sssrsr

sr

sr

321

233

232

21

2122

2121

rrrr

sss

ssrrsrr 1;2 21 rr

Fungsi rasional

EFP

Fungsi = EFP

residu


Metode Heaviside

kskk sFsr

kalikan F(s) dengan (s - k) coret suku (s - k) dari pembilang dan penyebutnya

evaluasi bentuk yang diperoleh di s = k untuk mendapatkan rk

2123

2 32123

2

s

rs

rsr

sssssF

121

221

2

0

2

0

2

01

ss

s sss

sssssssFr

122

21211

1

2

1

2

12

sss ss

ssss

sssFsr

112

21222

2

2

2

2

23

sss ss

ssss

sssFsr10EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

Metode Turunan (formula l’Hospital)

k

kk A

Br

2123

3 212

sr

sr

ssssF

1

32232

22

2312

3111

2

1

ABr

ABr


Pole berulang (repeated poles)

lk

lkk sss

sBsF

21

21

l

lk

l

klk

l

kl

kk

kk

kk

kk

sr

s

r

s

rs

rs

r

s

rs

rs

r

s

rsF

l

l

l

l

1,1

1,,

2

1,21

2

1,2

2

,2

1

1,11

1

1,1

1

,1

2

2

2

2

1

1

1

1

•Pole i berbeda-beda (i j untuk i j) •multiplisitas pole ki•derajat pembilang < penyebut

tk

k etk

rs

r

1

!1Transformasi Laplace balik12EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

EFP untuk pole berulang

• Metode pemecahan persamaan linier

• Metode Heaviside

• Cari residu dengan formula

• Residu lain melalui perluasan formulaikir ,

ii

ikis

ki rssF ,

jkis

kij

j

i

i

i rssFdsd

j

,!1


Ilustrasi (1)

11

2

sssF

132

21

sr

sr

srsF

11

1111

213

s

s ssssFsr

Langkah pencarian residu :

111

111

11

11

221

22

2

2212

21

2

sssrrsr

sssssrsr

ssr

sr

ss

Metode Heaviside

111 212

2 srrsr

12 r 11 rdan 14EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

Ilustrasi (2)

11

2

sssF

132

21

sr

sr

srsF

11

1

02

2

0

21

ss ss

ssFsr

Pencarian residu :

11

1111

213

s

s ssssFsr

11

11

1!1

1

02

00

22

sss ssdsdsFs

dsdr


Ilustrasi (3)

11

11 2

21

2

ssr

sr

ss

• Kalikan masing-masing ruas dengan s2

11

11 2

212

22

ssr

srs

sss 11

1 2

21

sssrr

sSubstitusi s = 0 ke dalam bentuk terakhir didapat r1 = 1

• Diferensialkan bentuk terakhir

111 2

21 sssrr

dsd

sdsd

2

2

22 112

11

s

sssrs

Substitusi s = 0 ke dalam bentuk terakhir didapat r2 = -1

Metode Heaviside


Aplikasi dalam Rangkaian Listrik

Diberikan rangkaian RL berikut

Tentukan i(t), jika V(t) = 10 sin5t V, R = 4 dan L = 2 H.

11 March 2013 EL2032 Sinyal dan Sistem 17

JawabDari persamaan rangkaian diperoleh

Dengan asumsi maka bentuk terakhir menjadi


I(s) dapat dituliskan menjadi

Ekspansi Fraksi Parsial dari bentuk di atas adalah


Solusi


Pole kompleks

pole kompleks sinyal sinusoidal

Penentuan transformasi Laplace balik :• EFP standar

•Metode pemecahan persamaan linier•Metode Heaviside•Metode l’Hospital

• Modifikasi fungsi rasional


Ilustrasi

000,10;0 vvvvvTentukan solusi dari persamaan diferensial berikut :

023 sVssVs

Jawab :

Transformasi Laplace :

111 2

2

3

2

ssss

sssV


EFP standar

23

21

3

23

21

212

2

3

2

1111 jsr

jsr

sr

ssss

sssV

111 2

2

3

2

ssss

sssV

3

1;31

3;

31

131

11

32

23

21

2

23

21

23

21

23

21

22

2

1

rj

jjAjB

rABr

Metode l’Hospital

23

21

31

23

21

31

31

3

2

11 jsjsssssV


EFP standar (lanjutan)

tjtjtttjtjt eeeeeeetv 2

323

21

23

21

23

21

31

31

31

31

31

23

21

31

23

21

31

31

3

2

11 jsjsssssV

teeeeeetv tttjtj

tt23cos

32

31

232

31

212

323

21

2cos

jj ee


Modifikasi Fungsi Rasional

11 2

2

sssssV

1111 22

2

ss

sssss

sEFP

31

111

12

2

ssss

ss

1111

1111 2

231

231

2

2

sss

ssssss

sssss

s

Penentuan residu dengan metode Heaviside :

Substitusi ke EFP :


Modifikasi Fungsi Rasional (lanjt.)

1111

1111 2

231

231

2

2

sss

ssssss

sssss

s

31

312

312 sss

31

32 ;

111111 221

32

31

231

32

31

2

2

sss

ssss

sssss


Modifikasi Fungsi Rasional (lanjt.)

111111 221

32

31

231

32

31

2

2

sss

ssss

sssss

432

21

21

221

32

32

1 ss

sss

Modifikasi

te

ss t

cos

22

teetv tt23cos

32

31

21

Transformasi Laplace :

Solusi :


Properness of rational function Fungsi Rasional Proper :

derajat pembilang derajat penyebut

Fungsi Rasional Strictly Proper :derajat pembilang < derajat penyebut

Fungsi Rasional Non Properderajat pembilang > derajat penyebut

EFP Fungsi Rasional Strictly Proper28EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

EFP Fungsi Rasional Non Strictly Proper

Pembagian langsung

n

n

mm

sasaasbsbb

sAsBsF

10

10

sAsDsCsF

; m n

nmnm scsccsC

10

nksdsddsD kk ;10

nmnm

nmnm cccscscc

1010 29EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

Ilustrasi

135

sssF 1

25

s tetf 25

23

7952

23

ss

ssssG23

32 2

ss

ss

21

12

233

2

sssss

2

11

2223

7952

23

ss

sss

ssssG tt eetttg 222 30EL2032 Sinyal dan Sistem11 March 2013

Tugas#51. Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor memiliki muatan awal1 mC dan saklar berada di posisi1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arus i(t) untuk t > 0.


2. Untuk rangkaian berikut

Jika rangkaian bersifat initially at rest, tentukan arus i2(t).


fungsi rasional dan ekspansi fraksi parsial … · · 2013-03-27banyak dalam variabel s ......

Documents