BAB II

PEMBAHASAN

Definisi Fungsi Pangkat :

Untuk setiap bilangan bulat positif n, fungsi ( ) dinamakan fungsi pangkat.

Catatan :

1. Fungsi f tersebut merupakan fungsi menyeluruh, karena ( )

2. Untuk n > 1, fungsi f bukanlah fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai

fungsi invers.

Definisi Transformasi Pangkat :

Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat

lebih mudah dipelajari dalam bentuk kutub. Jadi, dengan menyatakan fungsi di atas

dalam bentuk kutub, kita mempunyai ( ) (1)

kita dapat melihat dengan mudah bahwa jika | | arg z = t, maka | |

dan arg w = nt.

Dengan kata lain,

Sebagai contoh, di bawah w = z3, titk z = 2 cis (

) dipetakan ke titik w= 8 cis .

Pada umumnya, di bawah (1), suatu sinar yang dipancarkan dari pusat sumbu

koordinat dengan sudut inklinasi dipetakan menjadi suatu sinar yang bersudut

inklinasi n ; selanjutya mudahlah untuk melihat bahwa, seperti yang disarankan pada

Gambar 1., suatu juring lingkaran dengan jari-jari r bersudut ditransformasian ke

juring lingkaran dengan jari-jari rn pusat n . Sebagai akibat, misalnya, di bawah

, kuadran pertama bidang z dipetakan ke setengah bidang w atas, setengah lingkaran

atas bidang z dipetakan ke satu lingkaran pada bidang w, dan jika kita mengambil seluruh

bidang z maka kita akan menutupi bidang w dua kali. Dengan menggeneralisasikan kasus

khusus, kita melihat bahwa di bawah transformasi pangkat , bidang z dipetakan

ke bidang w, n kali, yaitu setiap titik pada bidang w kecuali w = 0, merupakan bayangan n

Transformasi pangkat memetakan suatu titik z dengan modulus r dan

argumen t ke suatu titik dengan modulus rn dan argument nt

titik berbeda dari bidang z. Kenyataan ini, tentu saja merupakan ungkapan geometrik

terhadap kenyataan bahwa setiap bilangan bukan nol mempunyai n akar berbeda.( Lihat

contoh 10 hal 17) Perhatikan gambar berikut.

Contoh –contoh:

A= {z = (x,y|x,y 0} * ( ) +

*

+ * +

* | | + * | | +

Gambar 1

𝑤 𝑧

* ( ) +

Contoh 1

Andai fungsi dan batasi domain sebagai berikut : adalah himpunan

semua sedemikian sehingga

dimana α adalah suatu sudut sembarang. Jelaslah, jika , maka . Untuk

yang lain di , fungsi yang diberikan memangkatkan tiga domain modulusnya dan

melipatkan tiga argumennya :

| | | | ( )

Dengan kata lain, bidang tertutup “tiga kali lebih cepat” dari pada bidang ,

Gambar 2 memperlihatkan bagaimana domain , yang merupakan “sepertiga” bidang

, dipetakan ke seluruh bidang Mudahlah dilihat bahwa jika z berubah-ubah di

seluruh bidang z, maka setiap kecuali , akan mempunyai tiga prapeta yang

berbeda.

Gambar 2

Meskipun beberapa aspek tertentu fungsi pangkat lebih mudah dipelajari dalam

bentuk kutub, bentuk Cartesius “fungsi kuadrat”.

mengungkapkan beberapa hubungan yang menarik. Kita memeriksanya pada contoh

berikut.

Contoh 2

Kita tahu bahwa uraian fungsi menghasilkan ;

( ) dan ( )

Perhatikan sekarang, pada bidang , hiperbola tegak lurus

Maka, jelaskan dan bila mengambil semua nilai yang diperbolehkan,

maka nilai bergerak dari hingga . Ini berarti bahwa, di bawah ,

hiperbola di atas dipetakan menjadi garis tegak

Kemudian, perhatikan hiperbola

Maka seperti di atas, tidaklah sulit untuk melihat bahwa, di bawah fungsi yang

diberikan, bayangannya adalah garis mendatar .

Kita boleh menunjukkan bahwa, di bawah fungsi yang sama, garis mendatar

dan tegak pada bidang dipetakan menjadi parabola-parabola di bidang .

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Transformasi 𝒘 𝒛𝟐

Domain Range

1. H pe b l 𝑥 𝑦 Garis tegak 𝑢

Secara umum Hiperbola 𝑥 𝑦 𝑐 𝑐 Garis tegak 𝑢 𝑐

2. Hiperbola 𝑥𝑦 1 Garis mendatar 𝑣 1

Secara umum Hiperbola 𝑥𝑦 𝑘 𝑘 Garis mendatar 𝑣 𝑘

3. Garis mendatar 𝑦 Parabola 𝑣 6(𝑢 9)

4. Garis tegak 𝑥 Parabola 𝑣 16( 𝑥 )

5. 𝑦 Sinar 𝑢 𝑣

6. 𝑥 Sinar 𝑢 𝑣

7. 𝑦 1 𝑥 Parabola 𝑦 𝑥 1

Uraiannya adalah sebagai berikut.

Uraian pada Tabel Transformasi

1. H pe b l

√

( ) atau

2. Hiperbola 1

1

3. Garis mendatar

( ) 6

(

6)

6 9

1

6( 9)

1

6( 9)

6 9 6( 9)

4. Garis tegak

(

)

16

16 16( )

5. ( )

6.

7. 1

(1 )

(1 )

( 1

) (1

1

)

( 1) ( 1

)

( 1)( 1)

1

* ( )|

+

+ - +

√ √

𝑢 𝑥 𝑦

𝑥 (1 𝑥)

𝑥 (1 𝑥 𝑥 )⬚

𝑥 1

𝑥 𝑢 1

𝑥 𝑢 1

=𝑥 1 𝑥 𝑥

Contoh 3:

Dibawah fungsi , petakan titik 1 ke bidang-w dengan domain

{ | | 1

}

Jawab :

| | √1 1 √ | | (√ )

Tulis Daerah A pada bidang-z dipetakan menjadi * | | 1

+ pada bidang-w, kita dapatkan

sin = 0

| |

Kita dapatkan b = 0 , Analog dengan cara di atas, kita dapatkan

cos = -1

1

Jadi didapat seperti gambar di bawah ini.

Latihan Soal

1. Carilah bayangan sector di bawah

Jawab :

Karena maka

2. a. Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat

menghasilkan , tunjukkan bahwa untuk fungsi ini,

( ) ( )

b. Gunakan hasil dari (a) untuk menunjukkan bahwa, dibawah garis-garis

mendatar ( ) dan tegak lurus ( ) dipetakan menjadi parabola.

Jawab:

a)

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) (1)

b) Misal x=c dan y=k.

(Seperti contoh no.3 dan 4 pada tabel transformasi di atas).

DAFTAR RUJUKAN

Paliouras, J.D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmiwan dan Insinyur (terjemahan

oleh: Wibisono Gunawan). Jakarta: Erlangga.

https://asimtot.files.wordpress.com/2012/02/fungsi-kompleks-transformasi-

pangkat.pdf