modul bentuk pangkat
DESCRIPTION
silahkan di uploadTRANSCRIPT
![Page 1: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/1.jpg)
MENGGUNAKAN ATURAN PANGKAT DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
====================================================
1. BILANGAN BERPANGKAT
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bentuk bilangan berpangkat ini merupakan salah satu cara untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan tersebut, terutama dalam kaitannya dengan perhitungan-perhitungan, misalnya mata pelajaran fisika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Untuk lebih jelas tentang bilangan berpangkat, perhatikan pernyataan berikut ini, setelah anda mengetahui sifat-sifat dan aturannya diharapkan anda dapat menggunakan atau menerapkan dalam memecahkan permasalahan yang sedang dihadapi.
Pernyataan “ 2 x 2 x 2 x 2 “ diartikan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 4 faktor dan dinotasikan dengan “ 24 “ dibaca “ 2 pangkat 4 “
2 x 2 x 2 x 2 = 16 ... (1) ⇒ hasil perhitungan2 x 2 x 2 x 2 = 24 ... (2) ⇒ notasi perkalian berulang
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa nilai dari 24 = 16
Untuk sebarang bilangan real a dan bilangan bulat n, maka an didefinisikan sebagai
an = a x a x a x ... x a
sebanyak “ n “ faktor
an disebut bilangan berpangkat, dengan : a adalah bilangan pokok n adalah pangkat dari a
1
Kegiatan Belajar 1
![Page 2: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/2.jpg)
1.1 Mengulang sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif dan nol
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 1 : an x am = a n + m
Contoh 1 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 24 x 23 = 27
b. 56 x 53 = 59
Penyelesaian :
24 x 23 = ( 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
56 x 53 = ( ... x ... x ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... ) = ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... = ...
Jika a ∈R, a ≠ 0 dengan n > m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 2 : m
n
aa = an– m
Contoh 2 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 3
5
22 = 22 b. 4
7
55 = 53
Penyelesaian :
a. 3
5
22 = 2x 2x2
2x 2x2x2x2
= 2 x 2
2
![Page 3: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/3.jpg)
= 22
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. 4
7
55 = ...x ...x...x...
...x ...x...x...x...x...x...
= ... x ... x ... = . . .
....
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 3 : ( an )m = a n m
Contoh 3 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 23 )4 = 212 b. ( 52 )3 = 56
Penyelesaian :
a. ( 23 )4 = ( 23 ) x (23 ) x ( 23 ) x ( 23 ) = ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 212
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 52 )3 = ( ... ) x ( ... ) x ( ... ) = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ...) = ... x ... x ... x ... x ... x ... = ..... ....
Jika a,b∈R dengan n dan m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 4 : (a x b)n = an x bn
Contoh 4 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 2 x 5 )3 = 23 x 53 b. ( 3 x 7 )4 = 34 x 74
Penyelesaian :
a. ( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 )
3
![Page 4: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/4.jpg)
= ( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5 ) = 23 x 53
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 3 x 7 )4 = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) = ( ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... x ... )
= .... ... x .... ...
Jika a,b∈R dan b ≠ 0 dengan n bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 5 : n
ba
= nb
na
Contoh 5 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 3
25
= 3
3
2
5 b. 5
32
= 5
5
32
Penyelesaian :
a. 3
25
=
25 x
25 x
25
=
2x2x25x5x5
= 3
3
2
5
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
5
32
= ( )
...
... x ( )...... x ( )
...
... x ( )...... x ( )
...
...
=
...x...x...x...x...
...x...x...x...x...
= ......
Pangkat nol dari suatu bilangan
Sifat 6 : Untuk setiap a∈R dan a ≠ 0, berlaku a0 = 1
4
![Page 5: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh 6 :
Tunjukkan bahwa 4
4
33 = 30 = 1 ,
a. Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan
b. Dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat
Penyelesaian :
a. 4
4
33 = 3x3x3x3
3x3x3x3 = 1
b. 4
4
33 = 3 4 – 4 = 30
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 30 = 1
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
a. 5
5
66 = ...x...x...x...x...
...x...x...x...x... = ...
b. 5
5
66 = .... .... – .... = ...
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 60 = 1
Catatan : 00 tidak terdefinisi
LATIHAN 1
5
![Page 6: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 c. (x – 2) x (x – 2)
b. n x n x n x . . . x n d. (a + b) x (a + b) x {–(a + b)} m faktor
2. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.
a. 33 x 35 c. 5c3 x 3c2
b. –23 x 22 d. –4y5 x 2y2
3. Bilangan manakah yang mempunyai nilai paling besar 2175 atau 575
4. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.
a. 2
5
3
3 c. 3
6
4
8
p
p−
b. 2
3
4
4− d. 2
3
3
9
c
c
−−
5. Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat di bawah ini.
a. ( 2a2 )4 e. {– (c2 d 3 )}2 i. 410
265
2
4
y
zy
b. 2(a 2 )4 f. (– 2 x 3 y2 )3 j. 3
2
2
3
2
b
a
c. (–3k 3 )2 g. 3
3
2
b
a k. 2
96
128
yx
yx
d. – ( 2k 3 )3 h. 33
65
ca
cal.
5
24
75
cb
ba
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 1, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
6
![Page 7: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/7.jpg)
Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.
JAWABAN LATIHAN 1
1. a. 56 2. a. 38 3. 2175 = ( 27 )25 = 12825
b. nm b. –25 575 = ( 53)25 = 12525
c. (x – 2)2 c. 15c5 Jadi nilai 2175 lebih besar
d. – (a + b)3 d. –8y7 dibanding nilai dari 575
4. a. 33 5. a. 16a 8 e. c4 d 6 i. y 2 z 2
b. – 41 = – 4 b. 2a 8 f. –8x 9y 6 j. 6
6
27
8
b
a
c. –2p 3 c. 9k 6 g. 9
6
b
a k. x 4y 6
d. 3c d. –8k 9 h. a2c3 l. 10
1525
c
ba
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.
1.2. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya
7
![Page 8: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga berlaku pada bilangan berpangkat bulat negatif atau berpangkat nol kecuali 0n = 0. Untuk bilangan bulat positif n , 0–n tidak terdefinisi
Untuk setiap a∈R, a ≠ 0 dan n bilangan bulat, berlaku
Sifat 7 : a– n = na1 atau a n = na −
1
Untuk pembuktian secara intuitif dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan menggunakan sifat operasi aljabar pembagian pada bilangan berpangkat, kita dapat menyatakan bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
Perhatikan operasi aljabar pembagian bilangan berpangkat berikut :
6
4
55 = 5x5x5x5x5x5
5x5x5x5 = 25
1 ... definisi bilangan berpangkat (1)
6
4
55 = 5 4 – 6 = 5– 2 ... sifat operasi bagi bil. pangkat (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : 5– 2 = 251
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
4
3
66 = ...x...x...x...
...x...x... = ... ... (1)
4
3
66 = .... .... – .... = ... ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : ... ... = ...
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini
... , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 21 , 4
1 , 81 , 16
1 , ...
... , 24 , 23 , 22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2– 4 , ...
Untuk setiap suku dari barisan bilangan pecahan di atas, dapat dinyata kan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat negatif , sebagai berikut :
2–1 = 21
2– 2 = 22
1 = 41
8
![Page 9: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/9.jpg)
2– 3 = 32
1 = 81
2– 4 = 421 = 16
1 dst.
Nyatakan dalam bentuk pangkat tiap-tiap suku dari barisan bilangan di bawah ini dengan bilangan pokok 10... , 10.000 , 1.000 , 100 , 10 , 1 , 10
1 , 1001 , 000.1
1 , 000.101 , ...
... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ...
Bilangan positif kecil dan besar dengan pokok 10 , seperti :
10–1 , 10– 2 , 10– 3 , 10– 4 , ... disebut bentuk baku bilangan kecil
1 , 10 , 100 , 1.000 , 10.000, ... disebut bentuk baku bilangan besar
Bentuk umum bilangan baku ditulis : a x 10n , 1≤ a ≤ 10 dan n∈B
Contoh 7 : Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah ini
a. 145.000.000 c. 5,25 x 0,0000064
b. 0,0000096 d. 750.000.000 : 15.000
Penyelesaian :
a. 145.000.000 = 1,45 x 108
b. 0,0000096 = 9,6 x 10–6
c. 525 x 0,0000064 = 5,25 x 102 x 6,4 x 10–6 = 33,6 x 10–4 = 3,36 x 10–3
d. 750.000.000 : 15.000 = 7,5 x 108 : 1,5 x 104 = 5 x 104
Pangkat Pecahan dari suatu bilangan
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif , nol dan negatif juga berlaku pada bilangan berpangkat rasional pecahan.
Bentuk umum pangkat pecahan dari suatu bilangan ditulis
9
![Page 10: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/10.jpg)
nm
a , untuk a ∈ R dengan m dan n bilangan bulat
Contoh 8 :
Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk paling sederhana
a. 21
16 c. 32
125 e. 32
63 )8( yx
b. 51
)243(− d. 21
62 )4( −ba
Penyelesaian :
a. 21
16 = 21
2 )4( = 4
b. 51
)243(− = 51
5 )3(− = – 3
c. 32
125 = ...... )5( = ...... = ...
d. 21
62 )4( −ba = 21
622 )2( −ba = .............
e. 32
63 )8( yx = .........32
......... .........).........( =
= ..............
3. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK PANGKAT
10
![Page 11: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Pada bagian ini akan dibahas berbagai persoalan yang berkaitan dengan bilangan berpangkat positif, nol, negatif dan pecahan. Dalam melakukan operasi aljabar pada bilangan berpangkat, kita dapat memilih dan menggunakan sifat-sifat mana yang cocok digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang sedang dihadapi. Perhatikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
Contoh 9 :
Tentukan nilai x, y, z dari ( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
43
1615
= 2x 3 y 5z
Penyelesaian :
( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
43
1615
= 2x 3 y 5z
⇔ 3
5
44
)(.
.)(
4343
44
53253
x
x
xx
= 2x 3 y 5z
⇔ 32
5
2
4
442
)(.
.)(
232
3
2
5353
x
xx
= 2x 3 y 5z
⇔
10
635
16
4484
2
2
2
5353
33 xx
xxx
= 2x 3 y 5z
⇔
68
10
16
128
23
2
2
53
x
x = 2x 3 y 5z
⇔ .5.3.2 12012− = 2x 3 y 5z
Jadi nilai x = –12 , y = 0 dan z = 12
Contoh 10 :
Sederhanakan bentuk operasi aljabar bilangan berpangkat di bawah ini.
11
![Page 12: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/12.jpg)
a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) c. 2
12222
:
)()(−
−+
nn
nn
aa
aa x
b.3
1
2
32
−
−
ba d. 22
11
−−
−−
−−
yx
yx, Jika x + y ≠ 0
Penyelesaian :
a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) = ( 4a 2b – 6 )( 3a – 2 b 7 )
= 12 a 2 – 2 b 7 – 6
= 12b
b. 3
1
2
32
−
−
ba = 33
63
3
2−
−
b
a = 3
6
27
8−
−
b
a = 6
3
27
8
a
b
c. 2
12222
:
)()(−
−+
nn
nn
aa
aa x = )2(
2442
−−
−+
nn
nn
a
aa x= 2
26
a
a n + = a6n
d. 22
11
−−
−−
−−
yx
yx=
2211
11
yx
yx
−
−
= 22
22
yx
xy
xyxy
−
−
=
−
−
22
22
xy
yxxy
xy
=
+−
−
))(()( 2
xyxyxy
xyxy
= yxxy+
LATIHAN 2
1. Tulislah dalam bentuk 3–n : 91 , 81
1 , 7291
2. Tulislah nilai bilangan berpangkat di bawah ini :
a. 40 , 4–1 , 4– 2 , 4– 3 c. 321
32
32
32 ,,
−−−
b. 20 , 2–4 , 221− , 52
1−
12
![Page 13: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/13.jpg)
3. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan.
a. 4– 2 c. 2a– 5 e. 421
−x
b. x – 8 d. (2a)–2 f. 221 −x
4. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan
a. 32 x 3– 3 c. 5– 2 x 2– 4 e. ( 5x– 2 )– 3
b. 34 x 2– 3 d. 2–2 x 2– 3
5. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif
a.2
2
2
77
−
−b.
2
2
4
33
−
c.
3
3
2
54
−
yx d.
2
22
22
32
−−
−
ba
6. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat negatif
a. 63
25
yaya
b. 2610
25
24
zyy
c. 2
4
3
ba d. 26
24
2 yxyx −
7. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat positifa. ( 2– 2 + 2–1 + 20 ) –2 d. (–2ab– 3 )( 3a2b–2 )
b.5
:37
25
24
80
81
15
16x
e. 2531
yx−
c.2
4
3
−
−
ba
8. Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah a. 25 : 6.250.000.000 b. 480.000.000 x 25.000.000
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 2, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.
JAWABAN LATIHAN 2
1. 3–2, 3–4 , 3–6
2. a. 1, 41 , 16
1 , 641 b. 1, 16
1 , 4, 32 c. 23 , 4
9 , 827
3. a. 241
= 161 b. 8
1x c. 5
2a
d. 2)2(1a = 24
1a e.
24x = 4
21 x f. 22
1x
13
![Page 14: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/14.jpg)
4. a. 3– 1 = 31 b. 32
43 = 881 c. 2542
1= 400
1
d. 521
= 321 e. 35
6x =125
6x
5. a. 1 b. 431
c. 9612564
yx
d. 4
44342
a
b = 4
446
a
b
6. a. 42
ya = 2
4
−−
a
y b. 24 −− zy c. 6
8−−
ab
d. 2
42 −− yx
7. a. ( 41 + 2
1 +1)–2 = ( 47 ) –2 = 49
16 b. 2105123272
105123282 =
c. 68
ab d. –6a3b–5 = 5
36b
a− e. 23
5
yx
8. a. 4 x 10-8 b. 1,2 x 1016
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.
TUGAS 1
1. Tentukan nilai a,b,c,d dari
dcba 7532)125()42()14(
)28()234
42345( =××
×
2. Sederhanakan bilangan berpangkat di bawah ini
a. 2
)1213
31212
25
252.5
(
)(−−
+−
×
×nn
nnn
b. 2
2)
1212
311212
53
5353
(
))((−
×
××+−
+−+−
nn
nnnn
14
![Page 15: Modul bentuk pangkat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/559b34631a28ab39638b46c3/html5/thumbnails/15.jpg)
c. 3
1
22
2
11
1
1..
−
−
−
−−
− x
x
x
x
x
3. Nyatakan dalam bentuk baku
2
8
000.640
125128
000.1000.100
x
x
4. Berapa digitkah bilangan berpangkat di bawah ini apabila dituliskan dalam bentuk bilangan tidak berpangkat.
a. 210 x 1010 c. 50
4
1028
5
8
x
b. 418 x 5 29
5. Angka satuan manakah yang ditunjukkan oleh bilangan berpangkat a. 777333 b. 31001 x 71002 x 131003
c. 1183281
6. Diketahui bilangan berpangkat A=20022002 , B = 20012002+ 20022001
Bilangan manakah yang nilainya paling besar antara A dan B
15