pangkat dan akar
TRANSCRIPT
1
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena buku ini akhirnya
dapat diselesaikan. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika
sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul
karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa
yang sulit dipahami.
Setelah mempelajari materi pada buku ajar ini, siswa diharapkan memahami
materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku ajar
Mudah Belajar Pangkat dan Akar untuk Kelas IX Sekolah Menengah
Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan
menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ajar ini juga memiliki
tampilan yang menarik sehingga siswa tidak merasa bosan.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah
membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan
panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah
dan menyenangkan. Selamat belajar.
Penulis
Prakata
2
Prakata ............................................................................................. 1
Daftar isi ......................................................................................... 2
Kata Motivasi ................................................................................... 3
Tujuan Pembelajaran ........................................................................ 4
Peta Konsep ...................................................................................... 4
Pangkat dan Akar ............................................................................ 5
1.1 Bilangan Berpangka................................................................. 5
1.2 Menyelesaikan Operasi Pangkat Tak Sebenarnya .................. 11
1.3 Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari ..................................... 21
1.4 Rangkuman ............................................................................. 23
1.5 Latihan ..................................................................................... 25
Daftar Pustaka .................................................................................. 27
Pembahasan ...................................................................................... 28
Petunjuk Quiz Maker Pangkat dan Akar .......................................... 33
Biografi Penulis ................................................................................ 35
Daftar Isi
3
Kata Motivasi
“Jika seseorang bepergian dengan
tujuan mencari ilmu, maka Allah
akan menjadikan perjalanannya
seperti perjalanan menuju surga”
– Nabi Muhammad SAW
“Orang-orang yang berhenti
belajar akan menjadi pemilik masa
lalu. Orang-orang yang masih terus
belajar, akan menjadi pemilik
masa depan” – Mario Teguh
4
Standar Kompetensi:
Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta
penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana
Kompetensi Dasar
1.1 Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar
1.2 Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkatdan
bentuk akar
Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan
berpangkatdan bentuk akar
Peta konsep
Tujuan Pembelajaran
Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Mempelajari
Bilangan berpangkat
Sifat Operasi
meliputi
Bentuk akar
meliputi
Merasionalkan Operasi Sifat
5
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering
menemui perkalian bilangan-bilangan
dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan
kita temui perkalian bilangan-bilangan
sebagai berikut.
4 x 2 = 2 × 2 × 2
9 x 3 = 3 × 3 × 3
6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6
Perkalian bilangan-bilangan dengan
faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang.
Pangkat dan Akar
Seorang peneliti ingin
mengetahui luas suatu danau
pada beberapa tahun
mendatang. Luas sebuah danau
setiap tahunnya menyusut 5%.
Pada tahun 2010 luas danau
tersebut 100 km2 . Berapakah
luas danau itu pada tahun 2014?
Jawaban dari masalah dapat
diketehui, jika kita mengerti
tentang pangkat tak sebenarnya.
BILANGAN BERPANGKAT 1 . 1
Pengertian Perpangkatan A.
6
Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan
notasi bilangan berpangkat.
Secara umum perpangkatan dapat ditulis dengan an , a merupakan
bilangan pokok dan n merupakan pangkat. Pada perpangkatan, pangkat atau
eksponen tidak hanya berupa bilangan bulat positif tetapi dapat pula berupa
pecahan atau desimal, bilangan nol dan bilangan bulat negatif
Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:
2 × 2 × 2 = 23 (dibaca 2 pangkat 3)
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 (dibaca 3 pangkat 5)
6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 66 (dibaca 6 pangkat 6)
Bilangan 23, 3
5, 6
6 disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-
bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang.
Secara umum jika a R (bilangan real) dan n bilangan bulat positif maka:
Pangkat Bilangan Bulat Positif B.
Contoh 1
32 = 3 x 3 = 9
54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
(-6)4 = (-6) x (-6) x (-6) x (-6) = 1.296
an = a x a x .... x an
n faktor
7
Bilangan bulat yang berpangkat negatif dapat digunakan formula
berikut ini :
Contohnya :
3-2
(baca : tiga pangkat negatif dua), berarti (3-1
) x (3-1
),
Pangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol C.
Tuliskan bilangan-bilangan dibawah ini dalam
bentuk bilangan bulat berpangkat bulat positif
a. 256
b. -16.807
Jawab
MELIHAT ANGKA
SATUAN SEBUAH
BILANGAN
BERPANGKAT
30 = angka satuan = 1
31 = angka satuan = 3
32 = angka satuan = 9
33 = angka satuan = 7
34 = angka satuan = 1
Setiap pangkat dari
bilangan 3 bertambah
4, angka satuannya
pasti sama, yaitu
angka satuan dari:
30 = 3
4 = 3
8 = ..... = 1
31 = 3
5 = 3
9 = ..... = 3
32 = 3
6 = 3
10 = .... = 9
33 = 3
7 = 3
11 = .... = 7
Coba terka
berapa angka?
256 2
128
2 64
2
2 32
2
16
2
8
4 2
2 2
1
7
7
7
7
7
16.80
7 2.401
343
49
7
1
a. 256 = 28
b. – 16.807 = (-7)5
(stop)
(stop)
Ingat perkalian tanda
(-) . (-) . (-) . (-) . (-)
= (-)5 = (-)
a-n = 1
𝑎𝑛 dengan a 0
8
3-3
(baca : tiga pangkat negatif tiga), berarti (3-1
) x (3-1
) x (3-1
),
3-4
(baca : tiga pangkat negatif empat), berarti (3-1
) x (3-1
) x (3-1
) x (3-1
),
Formula tersebut dapat digunakan untuk mengubah bilangan
bulat berpangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya
Khusus bilangan bulat tidak nol berpangkat nol
menggunakan formula:
Contoh :
a. 5-2
b. (-5)-3
Jawab :
untuk menghitung bilangan bulat negatif, kita gunakan
a-n = 1
𝑎𝑛 dengan a 0
a. (5) -2
= 1
52 =
1
25
b. (-5) -3
= 1
53 = −
1
125
a0 = 1 dengan a 0
Contoh:
a. 30
b. (-3)0
Jawab :
Berdasarkan formula a0 = 1 dengan a 0, diperoleh :
a. 30 = 1
b. (-3)0 = 1
9
(i). 𝑎
𝑏 𝑛
= 𝑎
𝑏 𝑥
𝑎
𝑏 𝑥 … . 𝑥
𝑎
𝑏=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 , dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 , dan n > 0
(ii). 𝑎
𝑏 −𝑛
= 𝑏
𝑎 𝑥
𝑏
𝑎 𝑥… . 𝑥
𝑏
𝑎=
𝑏𝑛
𝑎𝑛 , dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 , dan n > 0
(iii). 𝑎
𝑏
0= 1, dengan a ≠ 0 , b ≠ 0 .
Bilangan Bulat Berpangkat Pecahan D.
Sebanyak n buah
Sebanyak n buah
Contoh :
Uraikan dan hitunglah hasinya!
a. (0,2)3
b. (3
10)
4
c. (1
10)
-3
Jawab:
a. (0,2)3 = (
2
10)3 =
1
5
3=
1 𝑥 1 𝑥 1
5 𝑥 5 𝑥 5=
1
125
b. (3
10)
4 =
3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3
10 𝑥 10 𝑥 10 𝑥 10=
81
10000
c. (1
10)
-3 =
10 𝑥 10 𝑥 10
1 𝑥 1 𝑥 1= 1000
10
Secara umum dapat kita tuliskan
𝑎𝑛
𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ 𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
= ( 𝑎𝑛
)𝑚
𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
Contoh :
a. 161
2
Jawab:
a. 161
2 = 16
2 karena 16 = 4
2 . Jadi 16
1
2 = 4
b. (−16)1
2 tidak bisa, karena -16 < 0
c. 921
2 = 9
5
2 = ( 9
2 )5 = ( 322
)5 = 35 ,𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 9 = 32 . Jadi 921
2 = 243
Contoh :
Tentukan nilai dari
a. 27−1
3
b. (125)23
Jawab:
a. 27−1
3 = (33)−1
3 = 33(−1
3 ) = 3−1 =
1
3
b. 125 = 5 x 5 x 5 = 53
Sehingga (125)23= (53)23
= 563=
56
3 = 52 = 25
Bilangan Bulat Berpangkat Pecahan E.
11
Untuk sembarang bilangan real a dan b serta bilangan bulat m dan n
berlaku:
Operasi Perpangkatan B.
Operasi Perpangkatan
A.
Persamaan Eksponen dan Persamaan Bentuk Akar C.
MENYELESAIKAN OPERASI PANGKAT TAK
SEBENARNYA 1.2
(1) 𝑎0 = 1 dengan a 0
(2) 𝑎 −𝑛 = 1
𝑎𝑛 dengan a 0
(3) 𝑎𝑚 𝑥 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
(4) (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
(5) 𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 dengan m n , a 0
(6) (𝑎 𝑥 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 𝑥 𝑏𝑚
(7) (𝑎
𝑏)𝑚 =
𝑎𝑚
𝑏𝑚 dengan b ≠ 0
Sederhanakanlah masing-masing bentuk di bawah ini dan tuliskan
hasilnya dalam bentuk pangkat positif.
a. 𝑥5 .𝑥−1
b. (𝑎2𝑏−3)−4
c. (𝑥−2
𝑦3)−4
d. (4𝑚)0
e. (4
𝑥3)−2
f. (𝑚−4
𝑛3)−2
(𝑎
𝑏)−𝑛 = (
𝑏
𝑎)𝑛
12
1. Sifat – sifat perpangkatan dalam bentuk akar
Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku:
Jawab :
a. 𝑥5 . 𝑥−1 = 𝑥5−1 = 𝑥4
b. (𝑎2𝑏−3)−4 = (𝑎2)−4 . (𝑏−3)−4 = 𝑎−8 . 𝑏12 = 𝑏12
𝑎8
c. (𝑥−2
𝑦3)−4 =
𝑥8
𝑦−12= 𝑥8𝑦12
d. (4m)0 = 1
e. (4
𝑥3)−2 =
4−2
𝑥−6=
1
42 . 𝑥6 =
𝑥6
16
(𝑚−4
𝑛3)−2 =
(𝑚−4)−2
(𝑛3)−2=
𝑚8
𝑛−6= 𝑚8.𝑛6
= −2 −2 𝑎3 −2 𝑏−4 −2
5 −2 𝑎−5 −2 𝑏−6 −2=
−2 −2 𝑎−6 𝑏8
5 −2 𝑎10 𝑏12
= 52 𝑏8
−2 2 𝑎6 𝑎10 𝑏12 =
52 𝑏8
4 𝑎6 + 10 𝑏12
=25 𝑏8
4 𝑎16 𝑏12 =
25
4 𝑎16 𝑏12 𝑏−8
Sederhanakanlah !
1. (−2𝑎3 . 𝑏−4
5𝑎−5 . 𝑏−6)−2
Jawab :
1. −2𝑎3 . 𝑏−4
5𝑎−5 . 𝑏−6 −2
= −2𝑎3 −2 . 𝑏−4 −2
5𝑎−5 −2 . 𝑏−6 −2
= 25
4𝑎16𝑏12−8 =25
4𝑎16𝑏4
Bentuk Akar C.
13
(i). 𝑎𝑏𝑛
= 𝑎𝑛
. 𝑏𝑛
dengan a, b 0
(ii). 𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑚𝑛
dengan a, b 0
(iii). 𝑎
𝑏
𝑛=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 dengan a 0
2. Bentuk akar di dalam akar
Dengan sifat yang kita dapat menyederhanakan bentuk di dalam akar
menjadi sebuah bentuk akar dengan mengalikan antarindeks akar tersebut.
Contoh
Sederhanakanlah : 72 ke bentuk akar sederhana
Jawab :
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat berarti kita menarik akar kuadrat.
Untuk menarik akar kuadrat,bilangan di bawah ini tanda akar harus bilangan
kuadrat
72 = 36 . 2
= 36 . 2 = 6 22
Memo
72 = 36 . 2
36 = bilangan kuadrat
64𝑎7. 𝑏84= 24. 22 . 𝑎4 . 𝑎3 . 𝑏4. 𝑏44
= 2 .𝑎 . 𝑏 . 𝑏 22𝑎34
= 2𝑎𝑏2 4𝑎34
Contoh : sederhanakanlah 64𝑎7. 𝑏84
Jawab:
Menyederhankanlah akar pangkat 4, berarti kita
menarik akar pangkat . untuk menarika akar
pangkat 4, bilangan atau huruf di dalam tanda akar
harus berpangkat 4.
14
3. Merasionalkan penyebut
Sebuah akar dapat disederhanakan dengan cara menghilangkan akar
bilangan atau akar huruf tunggal (non multinomial) dari penyebut. Proses ini
disebut merasionalkan penyebut, karena kita mengalikan pembilang dan
penyebut dengan bentuk akar yang akan kita hilangkan faktornya.
= 9𝑚2 . 2
= 9𝑚4
Sederhanakanlah
a. 4𝑥53
b. 3 𝑚
Jawab :
a. 4𝑥53
= 4𝑥3 . 5
= 4𝑥15
b. 3 𝑚 = 9𝑚
Memo:
Indeks 3 . 5 = 15
Karena 4x di dalam tanda akar terdalam
Memo:
Angka 3 tidak jadi satu dengan m, maka
harus diubah dulu menjadi 32 . m = 9m,
9m berada di dalam tanda akar terdalam
= 5 . 𝑎3. 𝑎3
4 . 𝑏33
= 𝑎 5𝑎
3
𝑏 43 .
23
23
=𝑎 10𝑎
3
2𝑏
Sederhanakanlah
a. 5𝑎
7
Jawab:
a. 5𝑎
7 =
5𝑎
7=
5𝑎
7 . 7
7=
35𝑎
7
b. 5𝑎4
4𝑏3
3
= 5𝑎43
4𝑏33
b. 5𝑎4
4𝑏3
3
Memo
Yang akan dihilangkan 7 ,
maka pembilang dikalikan
7
7 . 7 = 7
Memo
Yang akan dihilangkan 43
,
maka pembilang dan
penyebut dikalikan 33
43
. 23
= 233 = 2
15
4. Mereduksi Induk suatu akar
Mereduksi induk sebuah akar berarti mengubah bentuk akar ke bentuk yang
paling sederhana.
5. Bentuk akar Polinomial
Bentuk akar polinomial dapat disederhanakan apabila polinomial itu dapat
dituliskan dalam bentuk perpangkatan indeks akar atau kelipatannya
𝑎𝑚𝑛 . 𝑏
𝑝𝑛 = 𝑎𝑚𝑏𝑛
𝑛
Contoh :
a. 4𝑥26
Jawab :
a. 4𝑥26 = 2
2
6 .𝑥2
6
= 21
3 .𝑥1
3
= 2𝑥3
b. 81𝑦26
= 346 .𝑦
26
= 323 .𝑦
13
b. 81𝑦26 = 34 .𝑦26
= (32)1
3 .𝑦1
3
= 9𝑦3
3𝑥2 − 2𝑥 + 1
3=
9𝑥2 − 6𝑥 + 1
3
= 3𝑥 − 1 2
3
= 3𝑥 − 1 2
3
Contoh : sederhanakanlah bentuk akar polinomial berikut ini !
3𝑥2 − 2𝑥 + 1
3
Jawab:
= 3𝑥−1
3 . 3
3 =
(3𝑥−1)
3 3
Memo
9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 3𝑥 − 1 2,
lihat pembahasan operasi
aljabar di kelas 2 , Bab 1
16
6. Operasi bentuk akar
Penjumlahan dan pengurangan
(i). 𝑏 𝑎𝑚
+ 𝑐 𝑎𝑚
= (𝑎 + 𝑏) 𝑎𝑚
(ii). 𝑏 𝑎𝑚
− 𝑐 𝑎𝑚
= (𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑚
Perkalian
Operasi perkalian bentuk akar dapat digunakan sifat operasi bentuk akar
seperti di bawah ini:
4 8 + 5 18 = 4 4 . 2 + 5 9 .2
= 4.2 2 + 5.3 2
= 8 2 + 15 2
= 8 + 15 2
= 23 2
Contoh:
Hitunglah 4 8 + 5 18
Jawab:
8 = 4 . 2 = 2 2
18 = 9 . 2 = 3 2
Memo
8 dan 18 belum sejenis,
maka harus diubah ke bentuk
ke akar sejenis:
2 2 dan 3 2 sejenis
𝑎𝑛
. 𝑏𝑛
= 𝑎𝑏𝑎
2 3 5 – 6 7 = 2 3 . 5 − 2 3 . 6 7
= 2 3 . 15 − 2 . 6 3 . 7
= 2 15 − 12 21
Contoh
Sederhanakan bentuk perkalian berikut ini: 2 3 ( 5 − 6 7 )
Jawab:
17
Perkalian bentuk aakar dari indeks akar berbeda
Untuk melakukan perkalian bentuk akar dari indeks yang berbeda , kita
diharuskan mengubah bentuk akar ke bentuk bilangan berpangkat pecahan.
Pembagian
63
. 4𝑥 = 613 4𝑥
12
= 626 4𝑥
36
Contoh
Selesaikanlah 63
. 4𝑥
Jawab:
= 62 4𝑥 3 1
6 = 2.3 2. 22. 𝑥3 1
6
= 22. 32. 26. 𝑥36 = 2 36𝑥36
𝑎𝑛
𝑏𝑛 =
𝑎
𝑏
𝑛
Contoh
1. 42
7
2. 4 10𝑥
3 2𝑥2
3. Sederhanakanlah 𝑥− 3 𝑦
𝑥− 𝑦
Jawab:
1. 42
7 =
42
7= 6
2. 4 10𝑥
3 2𝑥2=
4
3
10 𝑥
2𝑥2 = 4
3
5
𝑥=
4 5 𝑥
3 𝑥 𝑥=
4 5𝑥
3𝑥
MEMO
Apabila menemukan
bentuk: 𝑎
𝑥 , pembilang dan
penyebut dikalikan dengan
𝑥 , diperoleh 𝑎 𝑥
𝑥
18
Persamaan eksponen dan persamaan bentuk akar untuk tingkat SMP yang
akan dibahas hanya dalam bentuk yang sederhana. Bentuk yang rumit akan
dipelajari di tingkat SMA.
𝑥 − 3 𝑦
𝑥 − 𝑦=
𝑥 − 3 𝑦
𝑥 − 𝑦 .
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦
= 𝑥 − 3 𝑦 𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦=
𝑥2 + 𝑥𝑦 − 3 𝑥𝑦 − 3 𝑦2
𝑥 − 𝑦
=𝑥 − 2 𝑥𝑦 − 3𝑦
𝑥 − 𝑦
3. Untuk menjawab soal nomer tiga kita harus melakukan proses
rasionalisasi penyebut. Penyebut ( 𝑥 − 𝑦 ) dicari sekawannya yaitu (
𝑥 + 𝑦 ).
Persamaan Eksponen dan Persamaan Bentuk Akar E.
Contoh
Tentukan nilai x dari persamaan 9x + 1
= 273x – 4
.
Jawab:
9x + 1
= 273x – 4
(32)
x + 1 = (3
3)
3x – 4 3
2x + 2 = 3
9x – 12
2x + 2 = 9x – 12 2 + 12 = 9x – 2x 14 = 7x x = 2
Jadi, nilai x adalah 2.
Contoh :
1. Selesaikanlah
a. 3𝑥 − 4 – 5 = 0
b. 2𝑥 − 13
= 3
2. Tentukan HP dari variabel y yang memenuhi : 𝑦 − 1 + 2 = 𝑦 − 3
3. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan : 4𝑥+3 = 8𝑥+54
19
3𝑥 − 4 = 25
3𝑥 = 25 + 4
jadi nilai x adalah 29
3
2𝑥 − 1 = 27
2𝑥 = 27 + 1
2𝑥 = 28
1. a. 3𝑥 − 4 – 5 = 0 3𝑥 − 4 = 5
3𝑥 − 4 2
= 52
(kedua ruas dikuadratkan)
𝑥 = 29
3
b. 2𝑥 − 13
= 3
2𝑥 − 13
3
= 33
( kedua ruas dipangkatkan tiga)
𝑥 = 28
2= 14
Jadi nilai x adalah 14
3 29
3 − 4 − 5 = 0
25 − 5 = 0
5 − 5 = 0
0 = 0
MEMO
Periksa jawaban :
2𝑥 − 13
= 3
273
= 3
3 = 3
MEMO
Periksa jawaban :
𝑦 − 1 + 2 2
= 𝑦 − 3 2
𝑦 − 1 + 4 𝑦 − 1 + 4 = 𝑦 − 3
4 𝑦 − 1 = −6
4 𝑦 − 1 2
= −6 2
16 𝑦 − 1 = 36
16 𝑦 = 52, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑦 = 52
16=
13
4
2. 𝑦 − 1 + 2 = 𝑦 − 3
Setelah diperiksa jawabannya tidak cocok, hal ini berarti 𝑦 = 13
4
bukan jawabannya,
dan HP = { }.
13
4− 1 + 2 =
13
4− 3
3
2+ 2 ≠
1
2
MEMO
Periksa jawaban :
20
(22)𝑥+3 = 23 𝑥+5 14
22𝑥+6 = 23𝑥+15
4
8𝑥 + 24 = 3𝑥 + 15
8𝑥 – 3𝑥 = 15 − 24
5𝑥 = −9
𝑥 = −9
5 .
2
2= −
18
10= −1,8
3. 4𝑥+3 = 8𝑥+54
2𝑥 + 6 = 3𝑥+15
4 (kedua ruas dikalikan 4)
AYO MENCOBA
SOAL OSN
Diberikan:
𝑥 = 10+ 2
2 dan
𝑥 = 10− 2
2
Tentukanlah:
a) 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2
b) 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 − 2
𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥 + 3
𝑥2 − 4𝑥 2
= 𝑥 + 3 2
𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9
−4𝑥 = 6𝑥 + 9
−4𝑥 − 6𝑥 = 9
−10𝑥 = 9
𝑥 = − 9
10= −0,9
Contoh :
Selesaikanlah : 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥 − 2
Jawab:
Kedua ruas dikuatdratkan
Jadi nilai 𝑥 = − 9
10 atau 𝑥 = −0,9
21
Dengan menggunakan akar pangkat juga dapat digunakan pada kehidupan
sehari-hari seperti
1. Pada pekerjaan arsitek tersebut yang ingin mengetahui panjang rusuk dari
rumah yang di buatnya
Arsitektur yang sedang membuat rumah minimalis yang berbantuk
kubus,Pemilik rumah yang akan di buat itu menginginkan ukuran volume
rumah nya 343m3.Dan Arsitek ingin mengetahui berapa meter panjang
rusuk dari rumah tersebut untuk membuat pilar rumah tersebut. Berikut
penghitungannya menggunakan akar pangkat :
(menggunakan faktorisasi prima)
= 343:7=49,49:7=7
=343=7x7x7=73
= 7m
2. Petani mengetahui panjang sisi kebun tersebut dengan menggunakan akar
pangkat.
Seorang Petani ingin mengetahui
panjang sisi dari kebunnya yang
berbentuk persegi yang akan di beri
pagar di setiap pinggirnya. Diketahui
bahwa luas kebun tersebut adalah
55225m2 jadi cara mengetahui panjang
Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari 1.3
22
sisi kebun tersebut dengan menggunakan
akar pangkat seperti berikut:
=55225m2= 𝑠 m x 𝑠 m
= 𝑠2
=235m x 235m
Jadi panjang sisi dari petani tersebut adalah 235m
3. Pada ilmu fisika mempelajari tentang panjang gelombang.
Penggunaan pangkat dalam panjang gelombang memudahkan kita dalam
menghitung panjang atau tidak nya panjang gelombang.
Faktor Awalan Simbol
10-18
Atto A
10-15
Femto F
10-12
Pico p
10-9
Nano n
10-6
Micro µ
10-3
Mili m
103 Kilo K
106 Mega M
109 Giga G
1012
Tera T
4. Pada biologi menghitung banyaknya bakteri membelah diri.
Bakteri E.coli memiliki lebar 10−3
milimeter.
Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter.
Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi
diameter jarum tersebut. Untuk menentukan
banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10−3
1
10−3= 103 = 1000.
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000
bakteri.
23
Perpangkatan ditulis dengan an , dengan a merupakan bilangan pokok dan n
pangkat atau eksponen
Pangkat bilangan bulat positif
Secara umum jika a R (bilangan real) dan n bilangan bulat positif, maka
an = a x a x ..... x a
Pangkat bilangan bulat negatif
Bentuk tersebut sering digunakan untuk mengubah bilangan bulat berpangkat
positif menjadi negatif maupun sebaliknya.
Pangkat bilangan nol
a0 = 1 dengan a 0
Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat
(i). (𝑎
𝑏)𝑛 =
𝑎
𝑏 𝑥
𝑎
𝑏 𝑥 … . .
𝑎
𝑏=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 0
(ii). (𝑎
𝑏)−𝑛 =
𝑏
𝑎 𝑥
𝑏
𝑎 𝑥 … . .
𝑏
𝑎=
𝑏𝑛
𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 0
(iii). (𝑎
𝑏)0 = 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0
Bilangan berpangkat pecahan
Bilangan 𝑎𝑚𝑛
merupakan bilangan real, maka :
𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
= ( 𝑎𝑛
)𝑚 dengan m dan n bilangan bulat serta n 0
𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
a-n =
1
𝑎𝑛 dengan a 0
Rangkuman 1.4
n faktor
Sebanyak n buah
Sebanyak n buah
24
Menyelesaikan operasi pangkat tak sebenarnya
Untuk sembarang bilangan real a dan b dan bilangan m dan n , berlaku :
1. a0 = 1 dengan a 0
2. a-n =
1
𝑎𝑛 dengan a 0
3. am x a
n = a
m+n
4. (an)
m = a
nm
5. 𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 dengan m n , a 0
6. 𝑎𝑚
𝑎𝑛=
1
𝑎𝑛−𝑚 dengan n m , a 0
7. (ab)m = a
m b
m
8. 𝑎
𝑏 𝑚
= 𝑎𝑚
𝑏𝑚
9. 𝑎𝑛𝑛
= 𝑎 ,𝑎 ≥ 0
10. 𝑎𝑏𝑛
= 𝑎𝑛
𝑥 𝑏𝑛
a,b 0
11. 𝑎𝑛𝑚
= 𝑎𝑛𝑚
, a 0
25
1. Hitunglah
a. (-3) x (-6)3
b. 33 + 6
3 - 5
3
2. Sederhanakan dan tuliskan dalam bentuk pangkat positif:
a. 3𝑚−1𝑝3
𝑚𝑛 𝑝−6
b. 3𝑥 .𝑦−2𝑧4
9𝑥−4𝑦−3
3. Sederhanakanlah! (𝑥−2𝑦
13)2
𝑥−
34 . 𝑧−2
4. Tuliskan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana
a. 27𝑥3 . 𝑦5
16𝑧5
5. Selesaikanlah
a. 3 8 + 5 18 − 3 72
b. 27 + 2 72 − 3 48
c. 125 − 20 − 45
6. Jabarkan dan sederhanakanlah:
a. (3 6 + 5)( 6 − 2 5)
b. (8 7𝑚 + 6 10𝑛)( 7𝑚 + 2 10𝑛 )
7. Rasionalkan bentuk akar di bawah ini
a. 2 𝑚− 𝑛
𝑚+ 𝑛
b. 𝑎 + 4 𝑏
𝑎 −4 𝑏
8. Sederhanakanlah 5𝑎4
𝑏5
3
9. Hitunglah 4𝑥53
Latihan 1.5
26
10. Sebuah trapesium memiliki luas 54a2. Jika panjang sisi sejajarnya berturut-
turut adalah 8a dan 10a, tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a.
11. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 7 cm. Jika tinggi kerucut tersebut 18 5
cm, tentukan volume kerucut tersebut.
12. Selesaikanlah persamaan di bawah ini:
a. 42x = 2
8
b. 2𝑥2+ 5𝑥 – 7 = 27+3𝑥+ 𝑥2
c. ( 52𝑥+33)2 = 1252𝑥−4
13. Tentukan HP dari masing-masing penyelesaian berikut ini:
a. 6 𝑥 = 12
b. 3𝑥 − 4 = 5
14. a. Apabila 𝑥 = 𝑦𝑎 , 𝑦 = 𝑧𝑏 ,𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑥𝑐 , maka tentukan nilai abc
b. jika m = ax , n = a
y , dan m
y . n
y = 𝑎
2
𝑧 , tentukan nilai xyz
Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak
jatuh bebas, yaitu h = 1/2
gt
2. Dalam hal ini h = ketinggian benda, g =
percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah
benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan
bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik. Jika percepatan
gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut?
27
Sukino dan S.Wilson, 2007, Matematika SMP jilid 3 untuk Kelas IX, Jakarta:
Erlangga
Sulaiman R., Yuli Eko S.Tatag., Nusantara Toto., Kusrini dan Ismail, 2008,
Contextual Teaching and Learning Matematika Sekolah Menengah
Pertama/Madrasah Tsanawiyah Kelas IX edisi 4, Jakarta: Pusat Perbukuan
Departement Pendidikan Nasional
Wagiyo A., Mulyono Sri., dan Susanto,2008, Pegangan Belajar MATEMATIKA
3 Untuk SMP/MTs Kelas IX, Jakarta: Pusat Perbukuan Departement Pendidikan
Nasional
Avianti Agus Nuniek, 2007, MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3
Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah, Jakarta :
Pusat Perbukuan Departement Pendidikan Nasional
Masduki dan Budi Utomo Ichwan, 2008, MATEMATIKA IX
Untuk SMP dan MTs Kelas IX, Jakarta: Pusat Perbukuan Departement
Pendidikan Nasional
http://magefrozen.blogspot.com/2013/08/penerapan-aljabarakar.html
Daftar Pustaka
28
1. 𝑎. −3 𝑥 −6 3 = −3 𝑥 −6 𝑥 −6 = − 108
𝑏. 33 + 6 3 − 53 = 27 + 216 − 125 = 118
2. 𝑎. 3𝑚−1𝑝3
𝑚𝑛 𝑝−6=
3 𝑝3𝑝6
𝑚 . 𝑚 . 𝑛=
3 𝑝9
𝑚2 𝑛
𝑏. 3𝑥 . 𝑦−2𝑧4
9𝑥−4𝑦−3=
1 𝑥. 𝑥4𝑦−2𝑦3𝑧4
3=
𝑥1+4𝑦−2+3𝑧4
3=
𝑥5 𝑦 𝑧4
3
3. 𝑥−2𝑦
13
2
𝑥−
34 . 𝑧−2
= 𝑥−2 2 𝑦
13
2
𝑥−
34 𝑧−2
= 𝑥−4 𝑥
34 𝑦
23
𝑧−2= 𝑥−4+
3
4 𝑦2
3 𝑧2
= 𝑥−54 𝑦
23 𝑧2 =
𝑦23 𝑧2
𝑥54
= 𝑦
23 𝑧2
𝑥 𝑥4
4. 27𝑥3 . 𝑦5
16 𝑧5=
33𝑥3𝑦5
42𝑧5 =
32 . 3. 𝑥2 . 𝑥 . 𝑦4 . 𝑦
42 .𝑧4 . 𝑧 =
3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦
4𝑧4 𝑧
Atau hasilnya bisa kita rasionalkan 3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦
4𝑧4 𝑧 .
𝑧
𝑧=
3𝑥𝑦2 3𝑥𝑦𝑧
4𝑧5
5. a. 3 8 + 5 18 − 3 72
= 3 𝑥 2 2 + 5 𝑥 3 2 − 3𝑥 6 2
= 6 2 + 15 2 − 18 2
= 6 + 15 − 18 2 = 3 2
b. 27 + 2 72 − 3 48
= 3 2 + 2 𝑥 6 2 − 3 𝑥 4 3
= 3 2 + 12 2 − 12 3 = 15 2 − 12 3
c. 125 − 20 − 45
= 5 5 − 2 5 − 3 5
= 5 − 2 − 3 5 = − 5
Pembahasan soal
29
6. a. (3 6 + 5)( 6 − 2 5)
= 3 6 𝑥 6 − 3 6 𝑥 2 5 + 5 𝑥 6 − 5𝑥 2 5
= 18 − 6 30 + 30 − 10 = 8 − 5 30
b. (8 7𝑚 + 6 10𝑛)( 7𝑚 + 2 10𝑛 )
= 8 7𝑚 𝑥 7𝑚 + 8 7𝑚 𝑥 2 10𝑛 + 6 10𝑛 𝑥 7𝑚 +
6 10𝑛 𝑥2 10𝑛
= 56𝑚 + 16 70 𝑚𝑛 + 6 70 𝑚𝑛 + 120𝑛
= 56𝑚 + 22 70 𝑚𝑛 + 120𝑛
7. a. 2 𝑚− 𝑛
𝑚+ 𝑛
= 2 𝑚− 𝑛
𝑚+ 𝑛 𝑥
𝑚− 𝑛
𝑚− 𝑛 =
2 𝑚− 𝑛 2
𝑚− 𝑛
= 2 𝑚 − 2 𝑚𝑛 + 𝑛
𝑚 − 𝑛
= 2𝑚− 4 𝑚𝑛 + 2𝑛
𝑚 − 𝑛
= 2 𝑚 − 𝑛 − 4 𝑚𝑛
𝑚 − 𝑛
= 2 𝑚 − 𝑛
𝑚 − 𝑛 −
4 𝑚𝑛
𝑚 − 𝑛
8. 5𝑎4
𝑏5
3
= 5𝑎43
𝑏53 = 𝑎 5𝑎
3
𝑏 𝑏23
9. 4𝑥53
= 4𝑥3 . 5
= 4𝑥15
10. Dik ∶ luas trapesium 54a2. panjang sisi sejajarnya berturut −
turut adalah 8a dan 10a.
Dit ∶ Tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a
Jawab :
𝐿 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
2
b. . 𝑎 + 4 𝑏
𝑎 −4 𝑏
= 𝑎 + 4 𝑏
𝑎 −4 𝑏 𝑥
𝑎 + 4 𝑏
𝑎 + 4 𝑏
= 𝑎 + 4 𝑏
2
𝑎−16 𝑏
= 𝑎+16 𝑏+8 𝑎𝑏
𝑎−16 𝑏
= 𝑎+16 𝑏 +8 𝑎𝑏
𝑎−16 𝑏
30
54𝑎2 = 8𝑎 + 10𝑎 𝑥 𝑡
2
108𝑎2 = 8𝑎 + 10𝑎 𝑥 𝑡
𝑡 = 108𝑎2
16𝑎= 6,75 𝑎
11. Dik ∶ jari − jari kerucut 7 cm. tinggi kerucut 18 5 cm
Dit ∶ Tentukan volume kerucut tersebut.
Jawab:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 1
3 𝑥 π𝑟2 𝑥 𝑡 𝑥 𝜋𝑟2 𝑥 𝑡
𝑉 =1
3 𝑥
22
7 𝑥 72 𝑥 18 5
𝑉 = 22 𝑥 7 𝑥 6 5
𝑉 = 924 5 𝑐𝑚2
12. a. 42x
= 28
22 2𝑥 = 28
24𝑥 = 28
4𝑥 = 8
𝑥 = 2
b. 2𝑥2+ 5𝑥 – 7 = 27+3𝑥+𝑥2
𝑥2 + 5𝑥 – 7 = 7 + 3𝑥+𝑥2
0 = 0
𝑥 = 0
13. a. 6 𝑥 = 12
6 𝑥 = 12 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛
6 𝑥 2
= 122
36 𝑥 = 144
𝑥 = 4
b. 3𝑥 − 4 − 5 = 0
𝑐. ( 52𝑥+33)2 = 1252𝑥−4
𝑥 = 3
((52𝑥+3)1
3)2 = (53) 2𝑥−4
52𝑥+3 2
3 = (53) 2𝑥−4
2
3 2𝑥 + 3 = 3 2𝑥 − 4
2 2𝑥 + 3 = 9 2𝑥 − 4
4𝑥 + 6 = 18𝑥 − 36
18𝑥 − 4𝑥 = 36 + 6
14 𝑥 = 42
31
3𝑥 − 4 − 5 = 0
3𝑥 − 4 = 5 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛
3𝑥 − 4 2
= 52
3𝑥 − 4 = 25
3𝑥 = 29
𝑥 = 29
3
14. a. Apabila 𝑥 = 𝑦𝑎 ,𝑦 = 𝑧𝑏 ,𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑥𝑐 , maka tentukan nilai abc.
𝑥 = 𝑦𝑎
𝑥 = 𝑧𝑏 𝑎
𝑥 = 𝑧𝑎𝑏
𝑥 = 𝑥𝑐 𝑎𝑏
𝑥 = 𝑥𝑎𝑏𝑐
𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑎𝑏𝑐 = 1
b. jika m = ax , n = a
y , dan m
y . n
y = 𝑎
2
𝑧 , tentukan nilai xyz
my . n
y = 𝑎
2
𝑧
(𝑎𝑥)𝑦(𝑎𝑦)𝑦 = 𝑎2𝑧
𝑎𝑥𝑦𝑎𝑦2
= 𝑎2𝑧
𝑥𝑦 + 𝑦2 = 2
𝑧
2 = 𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦2
2 = 𝑧 𝑥𝑦 1 + 𝑦
𝑧𝑥𝑦 = 2 − 𝑧𝑦
15. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak
jatuh bebas, yaitu h = 1/2
gt
2. Dalam hal ini h = ketinggian benda, g =
percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah.
Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran
32
menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik.
Jika percepatan gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/det2, berapa meterkah
tinggi gedung tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2
Ditanyakan: h = ?
h = 1/2
gt
2
= 1/2
× 9,8 × (4,9)
2
= 4,9 × (4,9)2
= (4,9)1+2
= (4,9)3 = 117,649
Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter
33
Berikut ini adalah langkah-langkah penggunaan quiz
maker kelompok Pangkat dan akar:
1. Langkah yang pertama adalah buku Quiz Maker
dengan password “E55CE”. Judul dari Quiz Maker ini
adalah Mudah Belajar Pangkat dan Akar
2. Langkah kedua silahkan klik Continue atau Start
yang berada di bagian tengah bawah. Pada Quiz
Maker ini terdapat 30 soal yang berisikan pilihan
ganda, memasangkan, benar atau salah, banyak
pilihan beserta pembahasannya dari setiap soal.
3. Langkah yang ketiga silahkan Anda menjawab soal-
soal yang telah disediakan dengan jawaban yang
menurut Anda benar. Waktu yang tersedia untuk
semua soal adalah 90 menit dengan passing rate 80.
Format Quiz ini adalah Anda harus menjawab semua
soal terlebih dahulu baru Anda dapat mengetahui
apakah jawaban Anda benar atau salah.
4. Langkah keempat jika sudah menjawab semua soal
Anda dapat mengklik Submit yang berada di sebelah
kiri bawah.
5. Langkah kelima silahkan Anda mengklik Review
6. Langkah keenam setelah Anda mengkilk Review
silahkan Anda klik Feedback. Disini Anda dapat
mengetahui jawaban dan pembahasan dari setiap
soal.
Petunjuk Penggunaan Quiz Maker
34
7. Langkah ketujuh setelah selesai silakan Anda
mengklik Close
8. Terimakasih Anda sudah berkunjung di Quiz Maker
Mudah Belajar Pangkat dan Akar.
35
Syukur alhamdulillah kepada Allah SWT karena izin-Nya kami
dapat menyelesaikan buku ajar “Mudah Belajar Pangkat dan
Akar”.
“Mudah Belajar Pangkat dan Akar” adalah tugas pengganti
UTS, pada saat proses pembuatan kami sangat bingung dan lagi-
lagi salah. Lalu akhirnya kami mengumpulkan informasi dan
bertekad bulat dalam pembuatan buku ajar ini.
Buku ajar ini dikerjakan oleh dua orang, yang pertama Rhetna
Sari sebagai pembuat materi dan buku ajar ini, dan yang kedua
Fariza Azmi dalam pembuatan desainnya. Kami masih kuliah di
Unswagati jurusan Pendidikan Matematika . Berikut data diri
penulis
Rhetna Sari Fariza Azmi Cirebon, 27 Desember 1993 Cirebon, 2 Januari 1994 SDN 2 Lurah SMPN 1 Plumbon SMAN 4 Kota Cirebon
SDN V Arjawinangun MTsN 1 Arjawinangun SMAN 1 Arjawinangun
Hobi : jalan-jalan, cari-cari kuliner yang murah
Hobi : dengerin music.
Biografi penulis
36
Hal yang sangat terkesan adalah candaan kami ketika kami
sedang mengerjakan, mungkin karena terlalu ribet otak juga
kadang telat mikir, Tapi jangan khawatir insya allah buku ajar ini
bermanfaat untuk pembacanya, karena kami bersungguh-sungguh
mengerjakan sebuah karya ini bukan sebuah tugas melainkan
keinginan dari kami yang sangat ingin membuat buku ajar untuk
menunjang dan mempermudah siswa SMP dalam memahami
Pangkat dan Akar.
Dalam buku ini tentunya terdapat kekurangan untuk itu,
kami sangat menantikan kritik dan sarannya ke
[email protected] dan [email protected]
Tidak lupa juga kami ucapkan terimakasih kepada semua
pihak yang membantu dalam pembuatan buku ajar, terimakasih
kepada dosen kami, Dede Trie Kurniawan, S.Si., M.Pd ,
terimakasih sahabatku, yang bersedia menjadi tuan rumah (ngasih
makan+ minum gratiss), orang tua, dan juga teman-teman sekalian.
Untuk itu kami mengucapkan Alhamdullillah dan Terimakasih.