FUNGSI KOMPOSISI

A. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan

Jika diketahui A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3, b4}, dan C = {c1, c2, c3}, maka fungsi f: A → B dan g : B → C didefinisikan seperti diagram berikut.

Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.

Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengang ₒ f dibaca “fungsi g bundaran f”. g ₒ f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g. Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis:

Sedangkan, untuk f ₒ g dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f ₒ g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f. Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

a) Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2.a. Tentukan (g ₒ f) (x).b. Tentukan (f ₒ g) (x).jawab:a. (g ₒ f) (x) = g (f (x))

= g (2x – 1)= (2x – 1)2 + 2= 4x2– 4x + 1 + 2= 4x2 – 4x + 3

b. (f ₒ g) (x) = f (g (x))= f (x2 + 2)= 2(x2 + 2) – 1= 4x2 + 4 – 1= 4x2 + 3

b) Diketahui f(x) = x2, g(x) = x – 3, dan h(x) = 5x.a. Tentukan (f ₒ (g ₒ h)) (x).b. Tentukan ((f ₒ g) ₒ h) (x).c. Apakah f ₒ (g ₒ h) = (f ₒ g) ₒ h, mengapa?Jawab:a. (f ₒ (g ₒ h)) (x) = ….

Misal p(x) = (g ₒ h) (x)= g (h(x))= g (5x)= 5x – 3

Soalnya menjadi(f ₒ (g ₒ h)(x)) = (f ₒ p) (x)

= f (p(x))

= f (5x – 3)= (5x – 3)2

= 25x2 – 30x + 9

b. ((f ₒ g) ₒ h) (x) = ….Misal s(x) = (f ₒ g) (x)

= f (g (x))= f(x – 3)= (x – 3)2

Soalnya menjadi:((f ₒ g) ₒ h)(x) = (s ₒ h) (x)

= s (h(x))= s (5x)= (5x – 3)2

= 25x2 – 30x + 9

c. Ya, (f ₒ (g ₒ h)) (x) = ((f ₒ g) ₒ h) (x) sebab berlaku sifat asosiatif.

B. SIFAT KOMPOSISI SUATU FUNGSIa. (f ₒ g) (x) ≠ (g ₒ f) tidak bersifat komutatifb. (f ₒ I) (x) = (I ₒ f) (x) = f(x), I(x) identitasc. [(f ₒ g) ₒh] (x) = [f ₒ (g ₒ h)] (x), bersifat asosiatif

C. NILAI FUNGSI KOMPOSISI DAN KOMPONEN PEMBENTUKNYAUntuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat

dilakukan dengan dua cara berikut ini.a. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan

nilainya.b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x2 + 4.Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.

a. (g ₒ f)(1)b. (f ₒ g)(–2)c. (g ₒ f)(–3)

JAWAB :a. (g ₒ f)(1) = g (f (1))

= g (3 1 – 1)= g (2)= 22 + 4 = 8

b. (f ₒ g) (–2) = f (g (–2))= f ((–2)2

+ 4)= f (8)= 38 – 1 = 23

c. (g ₒ f)(–3) = g (f (–3))= g (3 (–3) – 1)= g (–10)= (–10)2

+ 4 = 104

D. MENENTUKAN FUNGSI JIKA SALAH SATU FUNGSI YANG LAIN DAN KOMPOSISINYA DIKETAHUIPrinsip dasar yang digunakan adalah definisi komposisi fungsi. Tidak semua masalah atau

soal seperti dapat diselesaikan.Contoh soal:1. Diketahui fungsi f dan g pada R dengan g(x) = x – 5

Tentukan fungsi f jika:

a. (g ₒ f) (x) = 4x + 1b. (f ₒ g) (x) = x2 + 3x

Jawab :

E. Soal – Soal

1. Diketahui f(x) = 5x – 2 dan I(x) = x.Buktikan I ₒ f = f ₒ I = f.

2. Diketahui f dan g dari R ke R dirumuskan oleh f(x) = x – 3 dan g(x) = x2 Tentukan rumus (g ₒ f), dengan aturan komposisi !

3. Diketahui f dan g dengan himpunan pasangan berurutan.f = {(0,2), (1,3), (2,4)}g = {(2,3), (3,4), (4,6), (5,7)}

Tentukan (g ₒ f) dan (f ₒ g) (2) !

4. Diketahui g(x) = 5x + 3 dan (f ₀ g) (x) = 10x + 7Tentukan f(x) !

5. Jika f(x) = 2x – 1 dan ( f o g ) (x) = 2x2 + 3Tentukan g (x)

F. PEMBAHASAN SOAL1. (I ₀ f)(x) = I (f(x))

= I (5x – 2) = 5x – 2

(f ₀ I) (x) = f(I(x)) = f(x) = 5x – 2 Tampak bahwa I ₀ f = f ₀ I = f (terbukti).

2. Dengan aturan komposisi,(g ₀ f) (x) = g (f(x))

= g (x – 3) = (x – 3)2

= x2 – 6x + 93. Dengan menghitung satu per satu,

(g ₀ f) = {(0,3), (1,4), (2,6)}Sehingga, (g ₀ f) (2) = g (f(2)

= g (4)= 6

4. (f ₀ g) (x) = 10x +7f(5x + 3) = 10x + 7 f( 5x + 3) = 2(5x + 3) + 1

f (x) = 2x + 15. Misalkan g(x) = a

Maka f(a) = 2x2 + 3 2a – 1 = 2x2 + 3 2a = 2x2 + 4

a = x2 + 2 Jadi g(x) = x2 + 2