ax2+by2+cx+dy+e=0

(x−i)2+( y− j)2=r2

ax2+by2+cx+dy+e=0

FUNGSI NON - LINEAR

Fungsi berderajat 2 atau fungsi kuadrat adalah bentuk fungsi non-linear yang paling

sering diterapkan dalam bidang bisnis dan ekonomi. Fungsi kuadrat mempunyai 4

kemungkinan bentuk, yaitu:

a. LINGKARAN

Bentuk umum persamaan lingkaran :

dimana a dan b setanda dan sama besar (a=b) sedangkan nilai c dan d dapat bernilai

positif maupun negatif dan tidak harus sama besar, begitu juga dengan e dapat bernilai

positif maupun negatif. Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan memanipulasi

bentuk umum persamaan lingkaran menjadi bentuk:

dimana i dan j mencerminkan koordinat pusat lingkaran, sedangkan r dalah jari-jari

lingkaran.

b. ELIPS

Bentuk umum persamaan elips :

dimana a dan b setanda tetapi tidak sama besar (a ≠ b), sedangkan c, d , dan e dapat

bernilai positif atau negatif. Pusat dan jari-jari elips dapat dicari dengan cara

memanipulasi bentuk umum persamaan elips menjadi bentuk :

(x−i)2

r12 +

( y− j)2

r22 =1

dimana i dan j menggambarkan koordinat pusat elips, sedangkan r1 dan r2 adalah jari-jari

elips.

y=ax2+bx+c

x=ay2+by+c

c. PARABOLA

Bentuk umum persamaan parabola:

Atau

Bentuk yang pertama adalah persamaan parabola yang sumbu simetrisnya sejajar sumbu

y, sedangkan bentuk yang kedua adalah persamaan parabola yang sumbu simetrisnya

sejajar sumbu x.

Setiap parabola mempunyai satu titik ekstrim atau titik puncak. Letak titik ekstrim ini

mengandung empat kemungkinan tergantung dari bentuk parabolanya. Apabila sumbu

simetris parabola sejajar dengan sumbu vertikal, letak titik ekstrimnya mungkin di atas

(parabola terbuka ke bawah) dan mungkin di bawah (parabolanya terbuka ke atas).

Sedangkan apabila sumbu simetris parabola sejajar dengan sumbu horizontal, letak titik

ekstrimnya mungkin di kiri (parabolanya terbuka ke kanan) dan mungkin di kanan

(parabolanya terbuka ke kiri).

Berikut adalah gambar-gambar parabola dengan kemungkinan letak titik puncaknya.

(a) (b)

y = f(x)

(c) (d)

x = f(y)

Titik puncak parabola :

(−b2 a

,b2−4 ac−4a )

Titik potong parabola dengan sumbu-sumbu koordinat pun dapat dicari dengan cara

memisalkan x=0 dan / atau y=0.

d. HIPERBOLA

Bentuk umum persamaan hiperbola :

Dimana a tidak setanda dan tidak sama besar dengan b.

Setiap hiperbola mempunyai satu titik pusat serta masing – masing dua asimtot datar

dan asimtot tegak. Asimtot – asimtot itu dapat berupa garis miring y=ax+b dan

x=ay+b, ataupun berupa garis lurus horizontal y=bdan garis lurus vertical x=b,

dimana b adalah suatu konstanta. Asimtot – asimtot dari suatu hiperbola tidak selalu

berpotongan dengan sumbu – sumbur koordinat.

Contoh hiperbola dengan asimtot datar dan asimtot tegak :

y

x0

x

y

bx

y

a

d

Contoh hiperbola dengan hiperbola dengan asimtot – asimtot miring :

e. FUNGSI KUBIK

Bentuk umum persamaan fungsi pangkat tiga :

Fungsi kubik dengan bentuk persamaan seperti di atas mempunyai satu titik

minimum, dan juga titik belok (inflexion point); kurvanya berpotongan di sumbu

vertikal y pada posisi y=d. Andaikan d=0, maka kurvanya akan bermula dari titik

pangkal O(0,0).

y

x

y=a x3+b x2+cx+d y=a x3+b x2+c x

Cara mencari titik maksimum dan titik minimum serta titik belok dari suatu fungsi

kubik akan diterangkan tersendiri pada bab tentang diferensial. Tidak semua fungsi

kubik mempunyai titik ekstrim (titik maksimum atau titik minimum), ada yang hanya

mempunyai sebuah titik belok. Hal ini tergantung dari besar kecilnya harga – harga

a ,b , dan c persamaan kubik yang bersangkutan. Dengan demikian, selain seperti kurva

– kurva pada kedua gambar di atas, kurva fungsi kubik dapat pula berbentuk seperti

berikut :

f. FUNGSI PANGKAT DAN FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum persamaan fungsi pangkat :

Bentuk umum persamaan fungsi eksponen :

Perbedaan pokok antara fungsi pangkat dengan fungsi eksponen adalah bahwa

untuk x = bilangan positif, kurva fungsi eksponen selalu bermula dari suatu penggal

pada sumbu vertikal y, sedangkan kurva fungsi pangkat tidak selalu bermula dari suatu

penggal kecuali jika di dalam persamaan fungsinya memang tercermin harga sesuatu

penggal. Bandingkan kurva-kurva dari fungsi pangkat dan fungsi eksponen di bawah

ini:

y=x2 y=2x

x

y

a

d

x

y

0 b

y

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

x

y

a

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

1. PENERAPAN EKONOMI

1.1. Fungsi Permintaan dan Fungsi Penawaran

Bentuk non-linear dari fungsi permintaan dan fungsi penawaran dapat berupa

potongan parabola, potongan hiperbola, fungsi pangkat atau fungsi eksponen.

Bentuk – bentuk fungsi permintaan non linear :

1) fungsi permintaan berupa potongan parabola

(a) (b )

(d )

(c )

2) fungsi permintaan berupa potongan hiperbola

(a)

3) fungsi permintaan berupa fungsi pangkat dan fungsi eksponen

Bentuk – bentuk fungsi penawaran non - linear :

1) Fungsi penawaran berupa potongan parabola

(a) (b)

2) Fungsi penawaran berupa potongan hiperbola

E

0 Q

P

Pc

3) Fungsi penawaran berupa fungsi pangkat dan fungsi eksponen

(a) (b)

1.2. Keseimbangan Pasar

Pasar suatu barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila

jumlah barang yang diminta sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara

matematis, sepeti halnya pada kondisi linear, hal ini ditunjukan oleh kesamaan

Qd=Qs, yakni pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar :

Qd : jumlah permintaan

Qs : jumlah penawaran

Pe : harga keseimbangan

E : titik keseimbangan

Qe : jumlah keseimbangan

CONTOH 1:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=12−P2

sedangkan penawarannya Qs=−4+3 P2. Berapa harga keseimbangan dan jumlah

keseimbangan yang tercipta di pasar ?

Solusi.

Keseimbangan pasar : Qd=Qs

12−P2=−4+3P2

16=4 P2

4=P2→ P=2

Qd=12−(2)2=8

Jadi, Pe=2

Qe=8

1.3 Pengaruh Pajak dan Subsidi

Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen

berubah, ini dicerminkan oleh berubahnya fungsi penawaran, sehingga harga

keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar pun berubah. Pajak

menyebabkan harga keseimbangan sedikit lebih mahal dan jumlah keseimbangan

menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan

menjadi lebih murah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

Qd=QS

CONTOH 2:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=12−P2

sedangkan penawarannya Qs=−4+3 P2. Jika terhadap barang dikenakan pajak

sebesar 2 per unit, berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sesudah

pajak ?

Solusi.

Penawaran sebelum pajak :

Qs=−4+3 P2

Qs+4=3 P2

P=√ Qs+43

Penawaran sesudah pajak :

P=√ Qs+43

+2

P−2=√ Q s+43

( P−2 )2=(√ Qs+43 )

2

P2−4 P+4=Qs+4

3

3 P2−12 P+12=Qs+4

3 P2−12 P+8=Q s

Keseimbangan Pasar : Qd=Qs

12−P2=3 P2−12 P+8→ 4 P2−12 P−4=0

P1,2=12 ±√144−4.4 .−4

8

P1,2=12 ±√208

8

P1=12+14.42

8=3.3

P2=12−14.42

8=−0.3

(P2 tidak dipilih karena harga negatif adalah irrasional)

Qd=12−P2=12−(3.3 )2=1.11

Jadi setelah dikenakan pajak, Pe=3.3 dan Qe=1.11. Sedangkan, sebelum pajak

Pe=2 dan Qe=8. (Penyelesaian contoh 1).

Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen.

Beban pajak yang ditanggung konsumen

Besarnya adalah selisih antara harga keseimbangan sesudah pajak dengan harga

keseimbangan sebelum pajak.

Beban pajak yang ditanggung produsen

Besarnya adalah selisih antara besarnya pajak yang di kenakan dengan bagian

pajak yang ditanggung konsumen.

Dalam contoh di atas, besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung

konsumen adalah 3.3−2=1.3; sedangkan, besarnya pajak yang menjadi beban

pihak produsen adalah 2−1.3=0.7 masing-masing untuk setiap unit barang.

Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah. Jumlah pajak yang diterima oleh

pemerintah. adalah jumlah barang yang terjual dikalikan besar pajak per unit.

Dalam contoh tersebut, jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah

1.11×2=2.22

Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen.

Bagian dari subsidi yang dinikmati oleh konsumen

Besarnya adalah selisih antara harga keseimbangan sebelum subsidi dengan

harga keseimbangan sesudah subsidi.

Bagian dari subsidi yang dinikmati oleh produsen

Besarnya adalah selisih antara besarnya subsidi dengan bagian subsidi yang

dinikmati oleh konsumen.

Jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah. Jumlah subsidi yang diberikan

oleh pemerintah adalah jumlah barang yang terjual dikalikan dengan besarnya

subsidi per unit.

1.4. Fungsi Biaya

Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel, dan biaya total, dalam konsep

biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marginal

(marginal cost).

Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit

produk atau output yang merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah

output yang dihasilkan.

Biaya marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan

satu unit tambahan output.

FC=k (k : konstanta)

VC=f (Q)

C=FC+VC=k+ f (Q)

AFC= FCQ

AC=CQ

AVC=VCQ

MC= ∆C∆ Q

Dengan cara lain : C=AC X Q

AC=AFC+ AVC

Bentuk non-linear dari fungsi biaya dapat berupa potongan parabola, fungsi

pangkat, fungsi eksponen, atau fungsi kubik. Hubungan secara grafis antara biaya

total dan bagian-bagiannya dapat dilihat sebagai berikut.

a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat

Misal C=a Q2 – bQ+c

Maka FC=c

VC=a Q2 – bQ

AC=aQ – b+ cQ

AFC= cQ

AVC=aQ – b

Karena biaya total (C) dan biaya variabel (VC) merupakan fungsi parabola,

maka dapat dihitung tingkat produksi (Q) yang memberikan C minimum dan VC

minimum serta besarnya Cminimum dan VC minimum tersebut.

b. Biaya total merupakan fungsi kubik

Misal C=a Q3 – bQ2+cQ+d

Maka FC=d

VC=a Q3 – b Q2+cQ

AFC= dQ

AVC=a Q2 – bQ+c

Kurva biaya tetap (FC ) selalu berupa sebuah garis lurus sejajar sumbu jumlah

produksi (Q) , sebab FC adalah suatu konstanta. Sementara itu, kurva biaya

tetap rata-rata ( AFC ) selalu berupa sebuah asimtot terhadap kedua sumbu

koordinat.

CONTOH 3:

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh

C=3 Q2−14 Q+50. Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total minimum?

Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap,

biaya variable, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada

tingkat produksi tadi.

Solusi.

C minimum terjadi pada Q=−ba

=143

=5 unit

Besarnya C minimum ¿3 Q2−14 Q+50

¿3(5)2−14 (5 )+50

¿75−70+50

¿55

Biaya tetap (FC) ¿50

Biaya variabel (VC) = 3 Q2−14 Q=¿ C−FC=55−50=5

Biaya rata-rata (AC¿=CQ

=555

=11

Biaya tetap rata-rata (AFC) = FCQ

=505

=10

Biaya variabel rata-rata (AVC) = VCQ

=55=1

1.5. Fungsi Penerimaan

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, yaitu hasil kali antara

jumlah barang yang dihasilkan atau terjual dengan harga barang per unit. Seperti

halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaan pun dikenal pengertian rata-

rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (Average Revenue/AR) adalah penerimaan

yang diperoleh dari setiap unit output, merupakan hasil bagi penerimaan total

terhadap jumlah barang. Penerimaan marginal (Marginal Revenue/MR) adalah

penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit output yang

dihasilkan atau terjual.

R=f (Q)=Q × P

AR= RQ

MR= ΔRΔQ

Dengan cara lain : R=AR ×Q

Dan karena R=Q× P=AR× Q, berarti P=AR

Secara grafis, kurva permintaan adalah juga kurva AR. Bentuk fungsi penerimaan

total (Total Revenue/R) yang non-linear adalah berupa suatu fungsi parabola

terbuka ke bawah. Fungsi penerimaan ini dihadapi oleh produsen yang beroperasi di

pasar monopoli.

CONTOH 4:

Permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen dicerminkan oleh Q=9−0.5 P.

Bentuklah fungsi penerimaan totalnya. Pada tingkat produksi berapa unit

penerimaan total mencapai maksimum. Berapa besarnya penerimaan total dan

penerimaan rata-rata pada tingkat produksi tersebut ?

Solusi.

Mengingat R=f (Q )=Q × P, sedangkan dalam soal di atas fungsi permintaannya

masih dalam bentuk Q=f ( P ) , maka fungsi permintaan ini harus diubah dulu

menjadi bentuk P=f (Q ) .

Q=9−0.5 P → 0.5 P=−Q+9 → P=−2 Q+18

R=Q× P=Q (−2Q+18 )=−2Q2+18 Q

Karena R merupakan fungsi parabola, maka nilai R maksimum dapat dicari dengan

pendekatan titik ekstrim parabola.

R maksimum terjadi pada Q=−b2 a

=−18−4

=4 unit

Besarnya R maksimum ¿−2Q 2+18 Q

¿−2(4 )2+18 ( 4 )=40

AR= RQ

=404

=10 ; AR=P=−2Q+18=−2 (4 )+18=10

1.6. Keuntungan, Kerugian dan Pulang – pokok

Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan, kerugian, dan keadaan pulang

pokok secara grafis dapat dilihat sebagai berikut :

Tingkat produksi Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok (break-even),

sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran/biaya total (R=C). Area

disebelah kiri Q1 dan disebelah kanan Q4 mencerminkan keadaan rugi, sebab

penerimaan total kurang dari pengeluaran total (R<C). Sedangkan area diantara Q1

dan Q4 mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih dari

pengeluaran total (R>C). Tingkat produksi Q3 mencerminkan tingkat produksi

yang memberikan penerimaan total maksimum.

Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif

antara R dan C. Secara grafis, ditunjukkan oleh jarak antara kurva R dan kurva C.

Jarak positif terlebar antara kurva C dan kurva C akan terjadi saat lereng (slope)

dari kedua kurva tersebut sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar

atau maksimum. Dalam gambar, R mencapai maksimum pada Q3, sedangkan jarak

positif terlebar terjadi pada Q2. Jadi, R maksimum/atau C minimum tidak selalu

menghasilkan keuntungan maksimum.

CONTOH 5:

Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaaan ditunjukkan oleh

persamaan R=−0.20 Q2+30Q , sedangkan biaya total yang dikeluarkannya

C=0.4 Q3−5Q 2+6Q+10. Hitunglah keuntungan perusahaan ini jika output yang

dihasilkan dan terjual sebanyak 15 unit.

Solusi.

Q=15, R=−0.20 Q2+30Q

R=−0.20 (15 )2+30 (15 )=−45+450=405

C=0.4 Q3−5Q 2+6Q+10

C=0.4 (15 )3−5 (15 )2+6 (15 )+10

C=0.4 (3375 )−5 (225 )+6 (15 )+10

C=1350−1125+90+10

C=325

π=R−C=405−325=80

1.7. Fungsi Produksi

Bentuk fungsi produk total (Total Product/P) yang non-linier adalah berupa

suatu fungsi kubik yang mempunyai titik belok dan titik puncak. Produk total

merupakan fungsi dari jumlah input yang digunakan. Dalam konsep produksi juga

dikenal pengertian rata-rata dan marginal. Produk rata-rata (Average product/AP)

adalah jumlah output atau produk yang dihasilkan dari setiap unit input yang

merupakan hasil bagi produk total terhadap jumlah input. Sedangkan produk

marginal (Marginal Product/MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari

setiap tambahan satu unit input yang digunakan.

Jika dalam suatu kegiatan produksi dianggap hanya ada satu input variabel

katakanlah X , sementara input-input lainnya merupakan input tetap, maka fungsi

produksinya dapat dinyatakan dengan P=f ( X) ,

P=f ( X)

AP= PX

MP= ΔPΔX

Secara grafis, kurva produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurva

produk marginal MP=0. Sedangkan, MP mencapai puncaknya tepat pada posisi

titik belok kurva P. Kecuali itu, kurva MP memotong kurva AP pada posisi

maksimum AP.

CONTOH 6:

Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh

P=5 X2−2 X3. Carilah fungsi produk rata-ratanya dan hitunglah produk total serta

produk rata-rata tersebut jika digunakan input sebanyak 6 unit. Berapa produk

marjinalnya kalau digunakan tambahan input sebanyak 2 unit?

Solusi.

P

P

AP

X

P=7 X2−X3, maka : AP= PX

=7 X−X2

Untuk X=6, P=7 (6 )2−(6 )3=252−216=36

AP=7 (6 )−(6)2=6

Jika X=8, P=7 (8 )2−(8 )3=448−512=−64

∆ P=Pakhir−Pawal=−64−36=−100

MP= ∆ P∆ X

=−1002

=−50

MPX

AP

P

XAP

p

U

QO

u

1.8 Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas total (Total Utility/U) berbentuk parabola terbuka kebawah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Utilitas

marginal (Marginal Utility/MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap

tambahan satu unit barang yang dikonsumsi.