Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Kelompok 4:Dinda Anggi ArviantiDinna PrasticaPutri MunggaraniRestu Alawiyah

Shelly NadiaSiti kartikaWisa sulastri

Fungsi

Definisi fungsi

Misalkan A dan B dua himpunan tidak kosong.Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota di A dengan tepat satu anggota di B dan ditulis: f: A → B yang dibaca: f sebuah fungsi dari A ke B atau f memetakan A ke B.

Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain yang merupakan himpunan semua nilai yang mungkin sebagai input, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, dan himpunan semua peta di B disebut daerah hasil atau range dari fungsi yang merupakan himpunan semua nilai output.Jika suatu fungsi diartikan sebagai persamaan, variabel dari domain yang berfungsi sebagai input disebut variabel bebas. Sebagai contoh, persamaan y= 3x – 2 memiliki variabel bebas x. Variabel yang menyatakan anggota dari range yang berfungsisebagai output disebut variabel bergantung, persamaan y = 3x – 2 memiliki variabel bergantung y. Domain dari fungsi f dinotasikan sebagai Df, kodomain dari fungsi f dinotasikan sebagai Kf, dan range dari fungsi f dinotasikan sebagai Rf.

A. Cara menyatakan fungsi

Fungsi f : A → B dapat dinyatakan dalam tiga bentuk berikut ini.

Fungsi yang dinyatakan dalam diagram panah sering disebut sebagai pemetaan (mapping).Pada diangram panah di samping dapat dituliskan formula dari fungsi f, yaitu

y = f(x)Bentuk y = f(x) dikenal sebagai rumus fungsi.

1. Diagram panah

2. Himpunan pasangan terurut

Fungsi sebagai himpunan pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y adalah himpunan (x,y) dengan x ϵ Df paling banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan dan setiap x harus mempunyai pasangan didaerah kodomainnya.

3. Grafik Fungsi

Fungsi yang dinyatakan dalam bentuk grafik sering disebut grafik fungsi. Grafik dari fungsi f(x) pada koordinat Cartisius terbentuk atas titik-titik (x,y) yang beraturan sedemikian sehingga x ϵ Df dan y = f(x) ϵ Rf.

B. Domain dan Range suatu fungsi

Penentuan domain dan range suatu fungsi yang rumusnya diketahui tergantung pada pendefinisian rumus itu dalam kondisi yang terdefinisi

Nilai Fungsi

Jika f suatu fungsi dan x suatu input untuk fungsi, maka nilai outputnya ditulis f(x), yang berarti f dari x atau nilai dari f pada x. Sebagai contoh dari notasi itu, perhatikan fungsi f(x) = x² - 3x + 1f(-2) menyatakan output dari hasil input x = -2 pada f(x) 

f(-2) = (-2) ² - 3(-2) + 1= 4 + 6 + 1

f(-2) = 11

Dalam melakukan pencarian nilai fungsi, harus dihindari beberapa kesalahan yang sering dilakukan, karena ketentuan itu tidak berlaku secara umum.

Kesalahan yang harus dihindari

Contoh masalah : f(x) = x + 1, a = 2, b = 3

 f(a + b) = f(a) + f(b)  f(ab) = f(a) . f(b)  f() =    =   

 f(2 + 3) = f(5) = 6, f(2) + f(3) = 3 + 4 = 7 ,ini berarti f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3) f(2 . 3) = f(6) = 7, f(2) . f(3) = 3 . 4 = 12,ini berarti f(2 . 3) ≠ f(2) . f(3) f = + 1 = ; = = ini berarti f ≠   = = , ini berarti ≠

Fungsi Surjektif

Fungsi f : A → B disebut “fungsi into” atau “fungsi ke dalam B” , apabila range dari f(Rf) merupakan himpunan bagian dari kodomain f(Kf), ditulis: Rf Kf . Jika Rf = Kf , yaitu setiap anggota di B mempunyai pasangan/kawan (prepeta) anggota di A (daerah asal/domain fungsi f), maka f : A → B disebut “fungsi onto” atau “fungsi surjektif” atau “fungsi kepada B”.

Fungsi Injektif

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila anggota yang berbeda di B (Rf) mempunyai pasangan/kawan (prapeta) yang berbeda di A (Df). Hal ini berarti, jika dua anggota yang berbeda di A tidak boleh mempunyai pasangan/peta yang sama di B. Secara matematis, dapat didefinisikan sebagai berikut.Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila f() = f(), maka = atau ekuivalen dengan apabila ≠, maka f() ≠ (), untuk sembarang dan ϵ A.

Fungsi Bijektif

Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif atau fungsi berkorespondensi satu satu apabila anggota-angota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan satu anggota B dan sedemikian juga sebaliknya. Hal ini berarti n(A) = n (B). Secara matematis pendefisian diatas dapat ditulis sebagai berikut :Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus sebagai fungsi injektif.

Dengan domain : D g ০ ƒ =

Dua buah fungsi ƒ dan g dapat di komposisikan dengan suatu “aturan tertentu” yang disebut dengan “komposisi suatu fungsi”

h(x) = (ƒ g)(x) = ƒ(g (x))

h(x) = (g ০ ƒ)(x) = g (ƒ(x))

Fungsi ƒ ০ g : Jika fungsi ƒ dan g memenuhi Rg Dƒ , maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Dg ke himpunan bagian Rƒ, yang dinyatakan oleh h = ƒ ০ g Dengan aturan :

Fungsi g ০ ƒ : jika fungsi ƒ dan g memenuhi Rƒ Dg , maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Dƒ ke himpunan bagian Rg yang dinyatakan h = g ০ ƒ Dengan aturan:

Dengan domain : D ƒ ০ g =

Fungsi Komposisi

Misalkan, suatu fungsi real ƒ dan g yang difinisikan dengan rumus berikut ini:ƒ(x) = → Fungsi dengan mengkuadratkan setiap nilai

xdan

g (x) = x + 1 → Fungsi dengan menambahkan 1 pada setiap nilai xKita dapat menemukan fungsi baru yaitu dengan menambahkan 1 pada setiap nilai x di g dan kemudian dikuadratkan di ƒ . Fungsi baru itu disebut dengan komposisi ƒ melanjutkan g dengan notasi ‘’ ƒ g ‘’. Komposisi ƒ g tersebut dapat diperlihatkan dengan diagram dibawah ini

x ●

g(x)

x + 1

●

f(g(x))

(x + 1)

●

g ƒ

ƒ g

Fungsi komposisi ƒ ০ g (‘’komposisi ƒ melanjutkan g’’ atau ‘’g dilanjutkan ƒ’’) didefinisikan sebagai (ƒ ০ g)(x) = ƒ(g(x)).Pada gambar 6.1 pada (1) dan (2) setiap anggota A mempunyai tepat satu pasang di C, maka ƒ ০ g terdefinisi jika range g (Rg) merupakan domain ƒ (Dƒ).

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

AA

A A

B

B B

BC

CC

C

g ƒ

g ƒ

g ƒ

g ƒ

Contoh: Proyek perintis 1981

-4

-1

0

2

3

-5

1

3

7

9

P Qf

f: P → Q dengan P = {pǀp bilangan bulat}f: P → Q adalah hubungan fungsional. Kalau pada peta diatas hubungan semua p P dengan q Q dilanjutkan, maka hubungan p dan q ditulis sebagai...

A. q = p + 3

B. q = p + 5

C. q = 2p + 3

D. q = p - 1

E. q = 2p + 1

1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi umumnya tidak komutatif

Sifat-sifat fungsi komposisi:

(g ০ ƒ) (x) ≠ (ƒ ০ g) (x)

2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

3. Terdapat fungsi identitas I (x) = x sedemikian sehingga

(ƒ ০(g ০ h)) (x) = {(ƒ ০ g) ০ h} (x)

(ƒ ০ I) (x) = ( I ০ ƒ)(x) = ƒ(x)

Menentukan rumus komposisi

untuk menentukan rumus fungsi komposisi (ƒ ০ g)(x) adalah dengan mensubsitusikan g(x) sebagai fungsi pertama ke x pada ƒ(x) sebagai fungsi ke dua.

Contoh soal : (EBTANAS 1990)

Fungsi f : R → R dan g : R → R

Diketahui : f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x²+2x-3.

nilai dari (ƒ ০ g) (2) = ??

Jawab :

(ƒ ০ g) (x) = f (g(x))

=f (x²+2x-3)

=2 (x²+2x-3)-3

=(2x²+4x-6)-3

=2x²+4x-9

(ƒ ০ g) (2) = 2(2)² +4 (2)-9

= 8+8-9

= 7

Fungsi invers

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

ƒ

A B

ƒ

A B

ƒ

A B

ƒ

A B

gambar 6.3

Dari fungsi tersebut kita dapat membentuk relasi baru yaitu h : B → A pada diagram panah pada gambar 6.3

Relasi baru tersebut dinamakan invers fungsi ƒ. Bila kita perhatikan relasi-relasi tersebut,relasi yang merupakan fungsi adalah pada (1) dan (3). Dengan demikian,fungsi pada gambar (1) dan (3) tersebut mempunyai fungsi invers. suatu fungsi ƒ : A → B akan mempunyai fungsi invers ƒˉ¹ B → A, jika fungsi ƒ merupakan fungsi yang bijektif atau berkorespondasi satu-satu.

Jika ƒˉ¹ adalah fungsi invers dari ƒ, maka untuk setiap x Dƒ dan setiap y Rƒ sedemikian sehingga berlaku y=ƒ(x) → x=ƒˉ¹(y). Nilai fungsi ƒ dinyatakan dengan ƒ(x) = y dan nilai fungsi inversnya dinyatakan dengan ƒˉ¹(y)=x

Menentukan rumus fungsi invers

Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers ƒˉ¹ bila rumus fungsi ƒ(x) diketahui sebagai berikut:1. Mengubah persamaan y = ƒ(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan ƒˉ¹ (y)3. Mengganti y pada ƒˉ¹ (y) dengan x, sehingga diperoleh ƒˉ¹ (x)

Contoh :

Diketahui f(x) = 30x + 20 dan g(x) = 15x – 10(f o g)ˉ¹ (x) = ??

Jawab:

(f o g)(x) = f(g(x))= f (15x – 10)= 30 (15x – 10) + 20= 450x – 300 + 20= 450x – 280

(f o g)ˉ¹ (x) = (f o g)(x)= 450x – 280

y = 450x – 280450x = y + 280x =

(f o g)ˉ¹ (x) =

Apabila fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h, ditulis h = f o g, maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah hˉ¹ = (f o g)ˉ¹Perhatikan gambar berikut:

f o gg f

(f o g)ˉ¹

gˉ¹ fˉ¹

Dari gambar disamping diperoleh bahwa:

Rumus fungsi invers dari dari komposisi yang lain adalah:

(f o g)ˉ¹ = gˉ¹ o fˉ¹

(g o f)ˉ¹ = fˉ¹ o gˉ¹(f o g o h)ˉ¹ = hˉ¹ o gˉ¹ o fˉ¹

Fungsi invers dari Fungsi komposisi

Contoh: UMPTN1992

Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan olehf(x) = 2x + 5g(x) = x + 2Maka (f o g)ˉ¹ (x) memetakan x ke...

Cara 1(f o g) = f(g(x))

= f(x + 2)= 2(x + 2) + 5= 2x + 4 + 5= 2x + 9

(f o g) = 2x + 9y = 2x + 92x = y – 9x = (f o g)ˉ¹ =

Cara 2y = 2x + 52x = y – 5x = fˉ¹ (x) = (f o g)ˉ¹ = gˉ¹ o fˉ¹

= gˉ¹ = - =