fungsi dan grafikfungsi dan grafik diferensial dan ... · pdf filegaris lurus. parabola,...

ii

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan GrafikFungsi dan GrafikFungsi dan GrafikFungsi dan Grafik

Diferensial dan IntegralDiferensial dan IntegralDiferensial dan IntegralDiferensial dan Integral

i

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

oleh

Sudaryatno Sudirham

ii

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

iii

Kata Pengantar

Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika bagi

pembaca untuk memperoleh pengertian dengan lebih mudah tentang

kalkulus. Walaupun materi yang dibahas adalah materi matematika,

namun uraian dengan bahasa matematika telah dicoba untuk sangat

dibatasi. Pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan

pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami.

Penulis berharap bahwa pengertian dasar yang bisa diperoleh dari buku

ini akan mendorong minat untuk mendalami materi lebih lanjut.

Buku ini dutujukan untuk umum. Bahan utama isi buku adalah catatan

penulis sewaktu mengikuti kuliah di Institut Teknologi Bandung,

sedangkan contoh-contoh hubungan diferensial dan soal-soal persamaan

diferensial penulis ambil dari buku “Analisis Rangkaian Elektrik”.

Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal

berupa bilangan nyata.

Karakterisasi fungsi-fungsi serta perhitungan diferensial dan integral

sangat dipermudah dengan bantuan komputer. Hal demikian banyak

dilakukan dalam meghadapi persoalan yang kompleks. Namun buku ini

tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer

tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian

dasar tentang fungsi serta hitungan diferensial dan integral.

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini ada manfaatnya. Saran-saran

pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan lebih lanjut.

Bandung, Nopember 2010

Wassalam,

Penulis

iv

<< La plus grande partie du savoir humain

est déposée dans des documents et des livres,

mémoires en papier de l’humanité.>>

A. Schopenhauer, 1788 – 1860

dari

Mini-Encyclopédie, France Loisirs

ISBN 2-7242-1551-6

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1

Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk

Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak.

Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar.

Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.

Bab 2: Fungsi Linier 15

Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis

Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.

Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 27

Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian

Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.

Bab 4: Mononom dan Polinom 37

Mononom: Mononom Pangkat Dua; Mononom Pangkat

Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom

Pangkat Tiga.

Bab 5: Bangun Geometris 55

Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.

Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua.

Perputaran Sumbu.

Bab 6: Fungsi Trigonometri 69

Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas

Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.

Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 85

Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus.

Spetrum Dan Lebar Pita.

Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 95

Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi

Hiperbolik.

Bab 9: Turunan Fungsi-Fungsi (1) 105

Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak.

Garis Singgung.

vi Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral


Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari

Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi

Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx

dan dy.


Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi.

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi

Logaritmik. Fungsi Eksponensial.

Bab 12: Integral (1) 141

Integral Tak Tentu. Penggunaan Integral Tak Tentu.

Luas Sebagai Suatu Integral. Penggunaan Dalam

Praktek.


Luas Sebagai Suatu Integral - Integral Tentu. Penerapan

Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva.


Volume Sebagai Suatu Integral. Panjang Kurva. Nilai

Rata-Rata Suatu Fungsi. Pendekatan Numerik.

Bab 15: Persamaan Diferensial 179

Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu

Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan

Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial

Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi

Pemaksa.

Bab 16: Persamaan Diferensial (2) 193

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga

Kemungkinan Bentuk Solusi.

Bab 17: Koordinat Polar 201

Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku.

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan

Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan

Oval Cassini. Luas Bidang.

Indeks 213

Referensi 215

Biodata penulis 216

1

Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1.1. Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran

lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi

besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.

Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

)(xfy = (1.1)

Perhatikan bahwa penulisan )(xfy ==== bukanlah berarti y sama dengan f

kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x

yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y

akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-tak-

bebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu

besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.

Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai

yang dimiliki x.

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah

sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.

Kita ambil contoh dalam relasi fisis

)1(0 TLLT λ+=

dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah

panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai

panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi

temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin

panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan

bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya.

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,

sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus

ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1.2. Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x

bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk

sebagai berikut:

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a

dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai

a < x < b

Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun

lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat

kita gambarkan sebagi berikut:

a b

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.

b). rentang nilai

a ≤ x < b

yang kita gambarkan sebagai

a b

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan

rentang setengah terbuka.

c). rentang nilai

a ≤ x ≤ b

Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini

adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan

a b

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri

Kurva. Fungsi )(xfy ==== dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam

visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal

memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan

sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi

3

0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat

menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x

memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal

terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah

bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal

terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang

jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya

adalah 3,141592654.

Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x,

memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati

titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan

sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titik-

asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga

satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita

untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik

yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak

harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y

menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y,

selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu

kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

y

x

IV

I II

III


Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai

K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di

sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada

Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II,

III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan

S[3,-2].

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan

satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki

oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan

pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang

x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan

pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.

Contoh: sebuah fungsi

xy 5,0= (1.2)

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam

suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.

Tabel-1.1.

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

Fungsi xy 5,0= yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti

tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti

terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titik-

asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari

lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah xy 5,0= .

Gb.1.2. Kurva dari fungsi xy 5,0====

∆x

∆y

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y R

P

Q

5

Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional,

setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu

persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan

persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita

bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan

sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi xy 5,0= membentuk

kurva dengan persamaan xy 5,0= di bidang x-y. Dalam contoh ini titik-

titik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5],

Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini

perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara

paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x

tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang

tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan

sebagai berikut:

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x =

c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai )()(lim cfxfcx

=→

yang kita baca limit f(x)

untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini

tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;

)(lim xfcx→

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x

= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0

(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

0untuk 0

0untuk 1 ),(

<=

≥==

xy

xyxuy


yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan

Gb.1.3.

Tak terdefinikan di x = 0.

Terdefinisikan di x = 0

Gb.1.3. Fungsi xy /1= dan y =u(x)

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.

Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x =

2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap.

y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

y

x

y = u(x) 1

0 0

7

Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti

– x dan y diganti – y.

Kurva 922 =+ yx simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap

sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga

simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana

peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti

)(xfy = . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana

nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah

beberapa contoh bentuk implisisit.

8

1

1

22

2

22

=++

=

=

=+

yxyx

xy

xy

yx

(1.3)

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x

2 = 9

x

y

tidak berubah jika x dan y

diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika

x diganti −x x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan

y diganti dengan −y


Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x

akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh

pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk

eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem

koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh

yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan

bentuk persamaan kuadrat

822 =++ yxyx ⇒ 0)8( 22 =−++ xxyy

yang akar-akarnya adalah

2

)8(4,

22

21

−−±−=

xxxyy

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan

nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita

tuliskan sebagai

2

)8(4

2

22 −−±

−=

xxxy (1.4)

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit )(xfy = . Kurva fungsi

ini terlihat pada Gb.1.5.

Gb.1.5. Kurva 2

)8(4

2

22 −−±

−=

xxxy

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4 x

y

9

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai

peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi

bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.

1). 25,0 xy = .

Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva

dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva

fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini

terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.

Gb.1.6. Kurva 25,0 xy =

2). xy += .

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia

bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.

Gb.1.7. Kurva xy +=

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,5 1 1,5 2x

y

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y


3). xy −= .

Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu

ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8.

Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

xy += . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai

baik positif maupun negatif.

Gb.1.8. Kurva xy −=

4). xy 10log= .

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat

kembali tentang logaritma.

log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti

berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi

xy 10log= berarti xy =10

01log101 ==y ;

31000log102 ==y ;

30103,02log103 ==y ; ...dst.

Kurva fungsi xy 10log= terlihat pada Gb.1.9.

Gb.1.9. Kurva xy 10log=

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

00 0, 1 1, 2x

y

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 1 2 3 4x

y

11

5). 2xxy == .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.

Perhatikanlah bahwa 2

x tidak hanya sama dengan x, melainkan

± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.

Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai

banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.

1). Fungsi xy ±= .

Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat

pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif

saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan

pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .

Gb.1.11. Kurva xy ±=

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3x

y

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y


2). Fungsi x

y12 = .

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.

Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.

Gb.1.12. Kurva xy /12 = ⇒ xy /1±=

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu

peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.

Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan

sebagai

),( txfy = (1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan

fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang

berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi

(x) dan waktu (t).

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak

sebagai

),,,,( vuzyxfw = (1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,

z,u,dan v.

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,

misalnya

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

13

2222 zyx ++=ρ (1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif

dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

222 zyx +++=ρ (1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam

skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik

ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r

dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku

posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar

dinyatakan sebagai P(r,θ).

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

θ= sinry ;

θ= cosrx ;

22 yxr +=

)/(tan 1 xy−=θ

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

x

P

θ

r

y

rsinθ

rcosθ


1.8. Fungsi Parametrik

Dalam koordinat sudut-siku fungsi )(xfy = mungkin juga dituliskan

sebagai

)(tyy = )(txx = (1.10)

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang

demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.

1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan

Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah

bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di

buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan

kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak

dicakup oleh buku ini.

Bahasan dari Bab-2 mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16

mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat

sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17.

15

Bab 2

Fungsi Linier

2.1. Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

Kita tuliskan

ky = [2.1]

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa

garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞

sampai +∞.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 4

y = −3,5

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

4=y dan 5,3−=y .

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang

merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti

terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak

sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.

Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap

perubahan x, atau kita tuliskan

∆

∆==

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym (2.2)


Dalam hal garis lurus, rasio x

y

∆

∆ memberikan hasil yang sama di titik

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya

mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada

fungsi mxy = . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva

garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan

kemiringan yang berbeda-beda. Garis xy = lebih miring dari

xy 5,0= , garis xy 2= lebih miring dari xy = dan jauh lebih miring

dari xy 5,0= , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis

akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan

ia miring ke bawah (menurun).

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus mxy = .

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah

mxy = (2.3)

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan

semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika

m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]

melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini

memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x,

sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah

2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai

22 += xy . Perhatikan Gb.2.3.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

y = 0,5x y = x

y = 2x

y = -1,5 x

17

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong

sumbu-y di [0,b] adalah

mxby =− )( (2.4)

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah

sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas

titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke

bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b

pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong

sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4.

Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis xy 2= ,

setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis xy 2= ; atau

dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan

nilai x pada garis xy 2= dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini

terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada )1( 1 −= xx pada kurva

xy 2= .

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].

x1 x1−1

y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

y =2(x–1)

y = 2x

y = 2x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 x


Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan

kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan

mxy = dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah

)( axmy −= (2.5)

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis mxy ==== tergeser ke arah

sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah

sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan

pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan

memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2].

Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,

pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya

adalah

21

2

1

)2(0========

−−−−−−−−========

x

ym

∆∆

dan persamaan garis adalah

22 −= xy (2.6)

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan

memberikan m = 2 dan b = −2.

Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat

di [a,0] dan [0,b] adalah

a

bmbmxy −=+= dengan (2.7)

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

garis memotong sumbu x di 2,

dan memotong sumbu y di 4

Persamaan garis: 4242

4+−=+−= xxy

19

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya

dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat

dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut.

Lihat Gb.2.5.

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆= (2.8)

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua

titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

12

12

xx

yym

−

−= (2.9)

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini

adalah

xxx

yymxy

11

12

−

−== (2.10)

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus melalui titik asal dan

sejajar dengan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2).

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7)

dan Q(1,2).

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2


Kemiringan garis ini adalah 25,115

27=

−

−=

−

−=

Qp

QP

xx

yyy

Garis dengan kemiringan ini dan melalui titik asal adalah

xy 25,1=

Perhatikan bahwa persamaan ini adalah persamaan garis yang

melalui titik asal, dan sejajar dengan garis yang melalui titik

P(5,7) dan Q(1,2) . Kita masih harus mencari perpotongannya

dengan salah satu sumbu agar kita dapatkan persamaan garis yang

melalui titik P dan Q tersebut. Untuk itu kita perhatikan hal

berikut lebih dulu.

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi

)(xfy =

akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x −

x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y

− y1)

)(xfy = menjadi )( 1xxfy −= atau )(1 xfyy =− (2.11)

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia

berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan

kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.

Contoh:

y + 2 = 2x (pergeseran –2

searah sumbu-y) y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

kurva semula

atau

y = 2(x – 1) (pergeseran +1

searah sumbu-x)

21

Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan

garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis

seharusnya adalah xby 25,1=− atau )(25,1 axy −= . Nilai a dan

b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang

diketahui, misalnya P(5,7). Dengan memasukkan koordinat titik

ini kita dapatkan persamaan 525,17 ×=− b atau )5(25,17 a−= .

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75

sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)

dapat diperoleh, yaitu xy 25,175,0 =− atau )6,0(25,1 += xy .

Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di

−0,6.

2.4. Perpotongan Garis

Dua garis lurus

111 bxay += dan 222 bxay +=

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 21 yy =

2p21P1 bxabxa +=+

sehingga

2P2P1P1P

21

12P

atau

bxaybxay

aa

bbx

+=+=⇒

−

−=⇒

(2.12)

Contoh:

Titik potong dua garis 84dan 32 21 −=+= xyxy

112843221 =→−=+→= xxxyy

5,52

11P ==x ; 1435,5232P =+×=+= xy

atau 1485,54P =−×=y

Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut

ini.


Gb.2.6. Perpotongan dua garis.

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita

tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga

mereka berpotongan di ∞.

Contoh: Dua garis 84dan 34 21 −=+= xyxy adalah

sejajar.

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat

Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu

koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan

memiliki kemiringan garis

θ= tanm (2.13)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x

atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

P ⇒ Koordinat P memenuhi

persamaan y1 maupun y2.

y2

y1

−5

y

x | |

−

−

5

5 θ= tanm

θ

23

Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian

skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik

menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama

besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya

sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan

bukan dilihat dari grafik.

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Pada fungsi linier baxmy +−= )( , peubah y akan selalu memiliki nilai,

berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga

kontinyu dalam rentang tersebut.

Kurva fungsi mxy = simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini

tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa

fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,

merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan.

maF = ; a adalah percepatan

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a

benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

atvtv += 0)(

v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan

awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah

attv =)(

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda

adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara

anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar


l

VE =

Elektron yang

muncul di

permukaan katoda

akan mendapat

percepatan dari

adanya medan

listrik sebesar

eEa =

a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E

medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu

tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada

waktu mencapai katoda adalah

atvk =

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada

posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas

elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas

sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

kxF =

dengan k adalah konstanta pegas.

4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i

jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V.

Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan

relasi

R

VGVi == , dengan

RG

1=

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut

resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan

iRV =

yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka

resistansi dapat dinyatakan dengan

A

lR

ρ=

]]]] anoda katoda

l

25

ρ disebut resistivitas bahan logam.

Kerapatan arus dalam logam adalah A

ij = dan dari persamaan di

atas kita peroleh

El

V

RA

V

A

ij σ=

ρ===

1

dengan lVE /= adalah kuat medan listrik dalam logam, ρ=σ /1

adalah konduktivitas bahan logam.

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau

gradien dari V yang kita tuliskan dx

dVE = . Mengenai pengertian

gradien akan kita pelajari di Bab-9.

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk

terjadinya difusi,

yaitu penyebaran

materi menembus

materi lain, adalah

adanya perbedaan

konsentrasi. Situasi

ini analog dengan

peristiwa aliran

muatan listrik di mana

faktor pendorong

untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat

kita tuliskan sebagai

dx

dCDJ x −=

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam

keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini

disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa

fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien

konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan

fungsi linier dari gradien konsentrasi.

xa x

Ca

Cx

materi masuk

di xa

materi keluar

di x

∆x


Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan

dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita

menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam

praktik rekayasa.

Soal-Soal

1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima

yang tergambar di bawah ini.

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada

soal nomer-1 di atas.

3. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2;

b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4. Carilah persamaan garis yang melalui

a) titik potong y1 − y2 dan titik potong y3 – y4 ;

b) titik potong y3 − y4 dan titik potong y1 – y5 ;

c) titik potong y1 − y2 dan titik potong y4 – y5.

5. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ;

b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y1 y2

y3

y4

y5

y

x

27

Bab 3

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari

perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin

merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya

waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,

sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak

bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika

dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier,

besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-

fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis

tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis

rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita

menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan

membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang

disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk

x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai )(xu . Jadi

0untuk 0

0untuk 1)(

<=

≥=

x

xxu (3.1)

Jika suatu fungsi tetapan ky ==== dikalikan dengan fungsi anak tangga

satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak

tangga (disebut juga undak), yaitu

)(xkuy = (3.2)

Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x

≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi

)(5,3 xuy = dan fungsi )(5,2 xuy −= yang bernilai nol untuk x < 0

dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.


-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u(x)

y = −2,5 u(x)

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan

k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru

muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.

Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)( ax − . Dengan demikian maka fungsi anak tangga

)( axkuy −= (3.3)

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak

tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini

bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif

sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u(x−1)

1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan

fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).

29

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan

kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.

Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x

< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak

tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk

x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

)(xaxuy = (3.4)

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah

)()( gxugxay −−= (3.5)

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5)

bagian )(1 gxay −= adalah fungsi linier tergeser sedangkan

)(2 gxuy −= adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3.

memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan )(1 xxuy = , fungsi ramp

)(22 xxuy = , dan fungsi ramp tergeser )2()2(5,13 −−= xuxy .

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),

ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).

3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan

menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 x

y

y1 = xu(x) y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)


berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya

adalah

)()( 21 xxauxxauy −−−= (3.6)

x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1.

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk

pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)( 12 xx − disebut lebar pulsa

12 xxpulsalebar −= (3.7)

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x

= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{ })2()1(2

)2(2)1(2

−−−=

−−−=

xuxu

xuxuy

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu

{ })2()1( −−−=′ xuxuy , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang

muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{ })()( 21 xxuxxuAy −−−=′ ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3

dan amplitudo 4, memiliki persamaan { })3()(4 −−= xuxuy .

y1=2u(x-1)

y2=-2u(x-2)

y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2)

lebar

pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

31

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar

lebar pulsanya, )( 12 xx − , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena

itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki

nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.

Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.

memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul

biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang

diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa

adalah

makson

rr yT

ty =pulsa (3.8)

dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.

Persamaan umumnya adalah

{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×= (3.9)

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan

amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=

Perhatikan bahwa 1)( =xu karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp )(21 xxuy = dengan

fungsi pulsa { })3()1(5,12 −−−= xuxuy yang hanya memiliki nilai

antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

x

y


nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil

kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{ }{ })3()1(3

)3()1(5,1)(2213

−−−=

−−−×==

xuxux

xuxuxxuyyy

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp )(1 xmxuy = dengan pulsa { })()(12 bxuxuy −−=

membentuk fungsi gigi gergaji { })()()1( bxuxuxmy −−×= yang

muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara

periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2gergaji-gigi maks

rry

y = (3.10)

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5 x

y y

x b

y2={u(x)-u(x-b)}

y1=mxu(x)

y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}

33

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

.......)()(

)()()(

22

11

+−−+

−−+=

xxuxxc

xxuxxbxaxuy (3.11)

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, )(21 xxuy = dan

)2()2(22 −−−= xuxy seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua

fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena

mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi

gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat

mencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, )(21 xxuy =

dan )2()2(4 −−−= xuxy . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

y

x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5x

y

y1=2xu(x)

y2= −2(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)

y


negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh

karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa

)3()1( −−−= xuxuypulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti

terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk

gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga.

x

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 x

y

5

y1=2xu(x)

y2= −4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

y1=2xu(x)

y2= −4(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

35

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam

bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.

Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji

misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.


Fungsi anak tangga satuan yang tergeser )( axuy −= hanya mempunyai

nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan

dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥

a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang

memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris

terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan

yang tergeser.


Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada

bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak

tangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi

berikut ini.

3216315214 c). ; b). ; a). yyyyyyyyyy ++=+=+=

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :

a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.

c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan

pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan

amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertama

dari kurva periodik yang

digambarkan di samping ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama

dari bentuk kurva periodik yang

digambarkan di samping ini.

5

−3

0 x

y

perioda

1 2 3 4 5 6

−5

0 x

y

perioda

5

1 2 3 4 5 6

37

Bab 4

Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k

adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini

beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5

10

)5(

735

4

3

222

231

=

=

−=

+−+=

y

xy

xy

xxxy

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu

pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi

berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat

satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan

fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai

fungsi genap, kita tuliskan

2kxy = (4.1)

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan

mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya

akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier kxy = nilai k merupakan

kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah

positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar

kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x

jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k

makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.

memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.


Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.

Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsi 2kxy = dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva

dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada

titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum

pada titik [0,0].

-100

-80

-60

-40

-20

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = −2x2

y = −10x2

y

x

Gb.4.2. Kurva fungsi 2kxy = dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;

kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva

sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x

dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh

dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan

mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2)()( axkby −=− (4.3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

y = 3x2 y = 5x

2 y

39

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,

a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =

10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi 2

1 10xy =

22 )2(10 −= xy

30)2(10 23 +−= xy

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x

sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y

sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan

membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat

dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k

positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4.

memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang

memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin

cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.

Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin

tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat

dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika

pangkat makin besar.

0

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y1 = 10x2

y2 = 10(x−2)2

y3 = 10(x−2)2 + 30


Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien

sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika

koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang

sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.

Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat

meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar

sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada

nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang

makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin

kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah

seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0

1

2

3

4

5

6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y3 = 2x2

y2 = 3x4

y1 = 6x6 y

x

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x

41

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang makin rendah pada mononom

berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.

Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada

nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat

rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh

peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi

waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

attv =)(

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2

2

1)( atts =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan

waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan

elektron pada waktu mencapai katoda adalah

atvk =

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2


(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 2

2

1)( atts = , di mana s(t)

= l.

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,

fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan

sentral adalah rje k=ψ dengan k adalah vektor bilangan gelombang

yang searah dengan rambatan gelombang. λ

π=

2k , λ : panjang

gelombang

Energi kinetik elektron sebagai

gelombang, Ek , adalah

ek

m

kE

2

22h

=

me massa electron, h suatu konstanta.

Ek dan k memiliki relasi mononomial

pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan

dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis kxy = .

Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.

memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia

bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin

tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

]]]] anoda katoda

l

k

Ek

43

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam

“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang 11 ≤≤− x .

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien

k, perpotongan kurva dengan garis kxy = bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

cbxaxy ++= 2 (4.4)

Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan

mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing

mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom

positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva

masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

y

y1=2x2

x

y3=13

y2=15x

-150

0

150

-10 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3


Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan

bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di

sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

(a)

(b)

(c)

Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

y4=2x2+15x

−15/2

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

−15/4

y1=2x2

y4=2x2+15x

x

y

y2=15x

-150

0

150

-10 0

x = −15/2

45

Karena xy 152 = melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2

juga melalui titik [0,0]

maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva

xxyyy 152 2214 +=+= (4.5)

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga

memotong sumbu-x di 2/15−=x karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan

2/15−=x ) memenuhi persamaan 0152 23 =+= xxy . Kurva ini

memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di 4/15−=x seperti

terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4

tebentuklah

13152 25 ++= xxy (4.6)

yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13

skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

cbxaxy ++= 2

yang dapat kita tuliskan sebagai

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxacx

a

bxay

4

4

2

42

22

222

−−

+=

+−

+=+

+=

(4.7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y

adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh

a

b

2−

kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh

−−

a

acb

4

42

.

Perhatikan Gb.4.8.


Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri

sejauh

–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah

sejauh –(b2−4ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada a

bx

2−= dan kurva memotong sumbu-x di

sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari

persamaan (4.7) kita dapatkan

04

4

2

22

=−

−

+=

a

acb

a

bxay →

a

acb

a

bxa

4

4

2

22 −=

+

→2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

−=

+ →

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

−±=

+

a

acb

a

bxx

2

4

2,

2

21−

±−= (4.8)

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan

dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama

besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

-50

0

0

y = ax2 +bx +c

x1 x2

}

y

x

y = ax2

−−

a

acb

4

42

a

b

2−

47

0)4(04

4 22

=−⇒=−

− acba

acb (4.9)

Jika 0)4( 2 <− acb maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini

memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.

Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:

1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi bxaxy += 2 yang memotong sumbu-

x di x = 0 dan a

bx −= dan memiliki sumbu simetri di

a

bx

2−=

yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat

cbxaxy ++= 2 .

2. Nilai puncak fungsi cbxaxy ++= 2 adalah nilai puncak

bxaxy += 2 ditambah c yaitu ca

by +−=

4

2

atau a

acb

4

42 −

− .

3. Fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 memotong sumbu-x di

a

acb

a

bx

2

4

2

2

2,1−

±−=


4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan 3kxy = . Jika k positif, fungsi

ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x

negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva

fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y =−3x3

y = 2x3

y = 2x3

y =−3x3

y

x

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx

3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan

pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan

(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh

dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang

tergeser akan menjadi

baxky +−= 3)( (4.10)

dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.

49

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,

terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang

berbentuk

dcxbxaxy +++= 23 (4.11)

Karena 3kxy = naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan

ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di

sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan 31 axy = dan b =19, c = −80, d

= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi dcxbxy ++= 22 seperti

terlihat pada Gb.4.11.a.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x3

y = 10(x−2)3

y = 10(x−2)3 + 100

y


Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.

Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai

negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1

ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan

berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.

Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan

kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa

persamaan pangkat tiga 023 =+++ dcxbxax (dengan nilai koefisien

yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh

perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.

-2000

0

2000

-10

0 10

y

x

y1=

4x3 2008019 2

2 −−= xxy

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 23

213

−−+=

+=

xxx

yyy

(a)

(b)

51

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,

penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini

menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.

Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini

fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang

terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.

Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan

yang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat

tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2


peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak

memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di

sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita

bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif

akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai

negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah

di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak

terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat

pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi

perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a

-2000

0

-10 0

y3 = y1 + y2

y1

y2

15

-2000

0

2000

-10 0 15

y3 = y1 + y2

y1

y2

53

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva

berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada

Gb.4.13.b.

CATATA4: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga

dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien

a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi

kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.


Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞

sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom

kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita

mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan

polinom, 21 yyy ×= .

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 2kxy ==== simetris

terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah

fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang

berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap

untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi

cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 3kxy ====

simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan

penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku

pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri

ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],

seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom

berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu

simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi

mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan

untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga

merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga

simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier

dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi

mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan


dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva

fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri

yang sejajar dengan sumbu-y.

Soal-Soal

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan

sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

84 ; 123

; 75 ; 4

24

23

22

21

+−=−=

−==

xyxy

xyxy

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan

antara kurva-kurva fungsi berikut ini

433221 dan ; dan ; dan yyyyyy



xxyxxyxxy 24 ; 123 ; 105 23

22

21 +−=−=−=

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan

kurva-kurva fungsi berikut.




824 ; 2123 ; 7105 23

22

21 ++−=+−=−−= xxyxxyxxy

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan

kurva-kurva fungsi berikut.


55

Bab 5

Bangun Geometris

5.1. Persamaan Kurva

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai

0),( =yxF (5.1)

Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi

persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi

persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak

pada kurva.

Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di

antaranya telah kita pelajari di bab pertama.

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva

funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

�ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata

dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan

terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang

berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.

Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak

memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini

telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan

pembahasan.

Contoh: 122 =+ xy . Jika kita cari nilai y kita dapatkan

21 xy −±=


Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di

bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita

membatasi x hanya pada rentang 11 ≤≤− x . Karena kurva ini

simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas

pada rentang 11 ≤≤− y .

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan

sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan

koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x

= 0.

Contoh: 122 =+ xy . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0]

dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan

S[0,−1].

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan

mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak

akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak

memotong sumbu-x maupun sumbu-y.

Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva

menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis

tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan

asimptot dari kurva.

Contoh: 10)(222 +=− xxxy .

Persamaan ini memberikan )1(

102

−

+±=

xx

xy

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini

berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu

agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.

Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada

antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah

asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.

57

Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).

Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai

x

x

xx

xy

/11

/10110 2

2

22

−

+=

−

+=

Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y

= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.

Soal-Soal:

Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu

koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:

xxy

1+= ; 12 += xy ;

1

1

2 +=x

y ;

12 −= xy ; 1

1

2 −=x

y .

5.2. Jarak Antara Dua Titik

Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

jarak antara keduanya adalah

22 )()(PQ qpqp yyxx −+−= (5.2)

Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat

kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan

melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.

-4

0

4

-4 0 4

y


Soal-Soal:

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap P dan Q.

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang

sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.

5.3. Parabola

Kita telah melihat bentuk kurva

2kxy = (5.3)

yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.

Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak

antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak

di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,

seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,

dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak

parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.

Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.

xppyyxpyxp 2222222 2 )()PR(PQ ++−=+−=+−=

py )(PR +=

[0,0]

y

x

y=kx2

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,−p]

59

Karena PQ = PR, maka

pyxppyy +=++− 222 2

22222 22 ppyyxppyy ++=++−

pyx 42 +=+

atau

p

xy

4

2

= yang berarti p

k4

1= atau

kp

4

1=

Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan

2

4

1x

py = (5.4)

dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].

Contoh: Persamaan parabola 25,0 xy = dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

×==

dan parabola ini memiliki direktrik 5,0−=−= py dan

titik fokus di Q[0,(0,5)].

Soal-Soal:

Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:

842 =+ xy ; 482 =− yx ;

03422 =−−+ yxx ; 02 =++ yxy

5.4. Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.

Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]

ke titik-asal adalah

22XO yx +=


Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka

ryx =+ 22

Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah

222 ryx =+ (5.5)

dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat

melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di

P[a,b] mempunyai persamaan

222 )()( rbyax =−+− (5.6)

Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut

lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan 122 =+ yx .

Gb.5.3. Lingkaran

Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2

= 0,4 berpusat di

[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5

skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan

4,0)5,0()5,0( 22 =−+− yx

-1

0,5

1

-1 [0,0]

0,5

1 x

y

y1

61

Soal-Soal:

Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu

koordinat lingkaran berikut

1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.

2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.

3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.

4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.

5.5. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik

tertentu adalah konstan. Kedua

titik tertentu tersebut merupakan

dua titik fokus dari elips.

Perhatikan Gb.5.4. Misalkan

diketahui posisi dua titik P[−a,0]

dan Q(a,0]. Jarak antara titik

sembarang X[x,y] dengan kedua

titik tersebut masing-masing

adalah

Gb.5.4. Elips

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +−=

Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =+−+++

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di

kuadratkan, akan kita peroleh

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++

yang dapat disederhanakan menjadi

22)( ycxxa

ca +−=−

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x


Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan

2222

2

22 22 yccxxx

a

ccxa ++−=+−

yang dapat disederhanakan menjadi

122

2

2

2

=−

+ca

y

a

x

Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir

ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi

selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,

sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar

nyata; misalkan bca =− 22. Dengan demikian kita mendapatkan

persamaan elips

12

2

2

2

=+b

y

a

x (5.7)

Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong

dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi

panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu

pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita

mendapatkan persamaan lingkaran).

Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa

melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

qy

a

px (5.8)

dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran

sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan

15,0

)25,0(

1

)5,0(

2

22

=−

+− yx

63

Gb.5.5. Elips tergeser.

Soal-Soal:

Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:

1) 3649 22 =+ xx ;

2) 14494 22 =+ yx ;

3) 14 22 =+ yx ;

4) 144)3(9)2(16 22 =++− yx

5.6. Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya

antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola

dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di

atas.

Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan

Q(c,0].

Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-

masing adalah

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +−=

1

-1

0

-1 0 1 2x

y


Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].

Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =+−−++

Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di

kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan

22)()/( ycxaxac +−=−

Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh

122

2

2

2

=−

−ac

y

a

x

Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu

lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua

ruas kiri selalu positif, misalkan 222 bac =− . Dengan demikian kita

dapatkan persamaan

12

2

2

2

=−b

y

a

x (5.9)

Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

65

Gb.5.7. Kurva hiperbola

Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan

sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak

memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada

bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.

Soal-Soal:

Gambarkan (skets) hiperbola berikut:

1) 1169

22

=−yx

; 2) 1169

22

=−xy

;

3) 1916

22

=−yx

; 4) 1169

22

−=−yx

5.4. Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus

kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan

berderajat dua adalah

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx (5.10)

Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======

+∞

−∞

X(x,y)

-c -a a c

y

x


sehingga diperoleh persamaan (5.4) 2

4

1x

py = .

Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1

Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari

(5.10), di mana

bFEaDCBA −==−==== ;1 ; ;0

yang memberikan persamaan garis lurus baxy += . Namun dalam

kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi

persamaan berderajat satu.

Bentuk Ax2 dan Cy

2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah

sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun

bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah

kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.

5.5. Perputaran Sumbu Koordinat

Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola

sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini

sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam

bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]

dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong

sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di

P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.

Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]

Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a

aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

67

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua

ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh

22 )()( ayaxayx −+−=−+

Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan

22 axy = (5.11)

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva

persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II

dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.

Gb.5.9. Kurva 2xy = a

2.

Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola

sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki

sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran

jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.

Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai

perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.

Gb.5.10. Perputaran sumbu.

-5

0

5

-5 0

x’

y

x α β

y’ P[x,y]

P[x’,y’]

Q

Q’

O


Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat

dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau

P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan

)sin(OPPQ

)cos(OPOQ

β+α==

β+α==

y

x (5.12)

Sementara itu

β==

β==

sinOPPQ''

cosOPOQ''

y

x (5.13)

Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6)

βα+βα=β+α

βα−βα=β+α

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos( (5.14)

Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi

α+α=

α−α=

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx (5.15)

Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.

Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada

Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga

2/1sincos =α=α . Oleh karena itu kita peroleh

2

'' yxx

−= dan

2

'' yxy

+=

Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan

222)'()'(

2

''

2

''2 ayx

yxyx=−=

+×

−

Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)

sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah

sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o.

Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi

lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar

sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita

pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan

demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana

sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu

koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].

69

Bab 6

Fungsi Trigonometri

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai

peubah-bebas.

.sin

1csc ;

cos

1sec

sin

coscot ;

cos

sintan

cos ;sin

65

43

21

θ=θ=

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ=θ=

yy

yy

yy

(6.1)

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-

satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini

diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif

berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-

jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

O

P

Q

θ

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

r

P’

-θ


Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka

PQPQ

sin ==θr

(6.2)

PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai

mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ

menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ

menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada

waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu

θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya

terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian

seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat

kita memperoleh

0360sin ;1270sin

;0180sin ;190sin ;00sin

oo

ooo

=−=

===

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

OQOQ

cos ==θr

(6.3)

OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai

mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ

meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π.

Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ

= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1

pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus

berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan

demikian seterusnya. Secara singkat

1360cos ;0270cos

;1180cos ;090cos ;10cos

oo

ooo

==

−===

Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil

Pitagoras memberikan PQ2 + OQ

2 = OP

2 =1, maka

1)(cos)(sin 22 =θ+θ (6.4.a)

Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

71

θ−=−

=′

=θ− sinPQQP

)sin(rr

(6.4.b)

θ==θ− cosOQ

)cos(r

(6.4.c)

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil

dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai

antara −1 dan +1.

Fungsi Tangent.

OQ

PQtan =θ (6.4.d)

θ−=−

=′

=θ− tanOQ

PQ

OQ

QP)tan( (6.4.e)

Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju

90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada

waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.

Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1

jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.

Fungsi Cotangent.

PQ

OQcot =θ (6.4.f)

θ−=−

=′

=θ− cotPQ

OQ

QP

OQ)cot( (6.4.g)

Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0

walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0.

Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan

menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula

kurva Gb.6.6.


Fungsi Secan dan Cosecan

OQcos

1sec

r=

θ=θ (6.4.h)

PQsin

1csc

r=

θ=θ (6.4.i)

Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ =

1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1.

Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju

0. Lihat pula Gb.6.7.

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan

mengunakan Gb.6.2., yaitu

Gb.6.2. Relasi-relasi

βα−βα=β+α

βα+βα=β+α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.5)

Karena β−=β− sin)sin( dan β=β− cos)cos( maka kita peroleh pula

βα+βα=β−α

βα−βα=β−α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.6)

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

β

sinα sinβ

sinα cosβ

73

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,

π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan

satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ

didefinisikan dengan persamaan

θ==θ rsr

s , (6.7)

Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr .

Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka

ukuran sudut

rad. adalah 180 o1 π=θ

rad. 0,5adalah 90 o2 π=θ

rad. )180/(adalah 1 o3 π=θ dst.

Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri

akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa

sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi

sinus

)sin(xy = (6.8)

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.

Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o,

mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah

negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ =

360o; inilah satu perioda.

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.

x

y

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0−π π 2π −2π

θ s r


Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus

)cos(xy = (6.9)

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0

atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90

o, mencapai

minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x

= 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu

perioda, 2π.

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan

perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang

sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

)cos()cos( sedangkan )sin()sin( xxxx −=−−= (6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki

simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut

memiliki simetri genap.

Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi

sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar

sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan

dalam cosinus

)2/cos()sin( π−== xxy (6.11)

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi

)cos(

)sin()tan(

x

xxy == (6.12)

perioda

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 x

y

2π π −π

75

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak

hingga pada x = +π/2 dan −π/2.

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

)tan(

1

)sin(

)cos()cot(

xx

xxy === (6.13)

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.

Lihat Gb.6.6.

Gb.6.6. Kurva y = cot (x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

y

Gb.6.5. Kurva )tan(xy ====

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π


Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

)cos(

1)sec(

xxy == (6.14.a)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai

1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

)sin(

1)csc(

xxy == (6.14.b)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara

pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.

(a) y = sec(x)

(b) y = csc(x)

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

77

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:

xy sin2= ; xy 2sin3= ; xy 3cos2= ;

)4/2cos(3 π+= xy ; )3/tan(2 xy =

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan )sin(xy = , maka fungsi

sinus inversi dituliskan sebagai

xyxy 1sinatau arcsin −== (6.15)

Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x

yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan

x.

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi

xy 1sin−= tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada

Gb.6.8.a.

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya

meninjau fungsi sinus inversi pada 22

π≤≤

π− y . Dengan pembatasan ini

maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai

utama xy 1sin−= terletak pada 2

sin2

1 π≤≤

π− −

x . Kurva fungsi

xy 1sin−= yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.

Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =

0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh: π== − 5,0)1(sin 1y ;

π−=−= − 5,0)1(sin 1y

6)5,0(sin 1 π== −y ;

6)5,0(sin 1 π−=−= −y


a) b)

Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.

(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan

horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan

memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang

22

π≤≤

π− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi

sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

xxy11

sin2

cos−− −

π== (6.16)

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cossin .

Oleh karena itu jika x=αsin maka x=βcos sehingga

xx 11 sin2/2/cos −− −π=α−π=β=

x

y

-1 0

10

−π

π

2π

−2π -0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

79

Karena dengan pembatasan 22

π≤≤

π− y pada fungsi sinus inversi

memberikan 2

sin2

1 π≤≤

π− −

x maka nilai-nilai utama dari x1cos− akan

terletak pada π≤≤ − x1cos0 . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi

cosinus inversi pada nilai utama.

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y

digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.

dalam rentang π≤≤ x0 .

a) b)

Gb.6.9. Kurva xy 1cos−=

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

xy 1tan−= (6.17)

dengan nilai utama 2

tan2

1 π<<

π− − x

Untuk fungsi ini, nilai )2/(π±=y tidak kita masukkan pada

pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada

nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva xy 1tan−= lengkap

sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai π<<π− 5.05,0 y .

x

y

-1 0

10

−π

π

0

0,25π

0,5π

0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y


a) b)

Gb.6.10. Kurva xy 1tan−=

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b

ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,

dalam rentang

2tan

2

1 π<<

π− −

x

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

xxy11

tan2

cot−− −

π== (6.18)

dengan nilai utama π<< − x1cot0

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y

menjadi tak hingga.

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cottan .

Oleh karena itu jika x=αtan maka x=βcot sehingga

xx 11 tan2/2/cot −− −π=α−π=β=

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π

-π

-0,5π

0

0,5π

π

1,5π

y

x

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-10 -5 0 5 10x

y

81

Gb.6.11. Kurva xy 1cot−=

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan

bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

xxy

1cossec 11 −− == (6.19)

dengan nilai utama π≤≤ − x1sec0 .

Gb.6.12. Kurva xy 1sec−=

Fungsi Cosecan Inversi.

xx

1sincsc 11 −− = (6.20)

dengan nilai utama 2

csc2

1 π≤≤

π− −

x

0

0,5π

1π

-10 -5 0 5 10

y

x

0

0,25

0,5π

0,75π

π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi

terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.

Gb.6.12. Kurva xy 1csc−=

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi

dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan

gambar segitiga siku-siku.

1). Dari fungsi xy 1sin−= , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x

dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama

dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

Dari gambar ini selain fungsi xy 1sin−= dan xy =sin , kita

dapat peroleh

21cos xy −= , 2

1

tan

x

xy

−= , dst.

2). Dari fungsi cosinus inversi xy 1cos−= dapat kita gambarkan

segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

x 1

21 x−

y

y

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

83

Selain xy =cos dari gambar ini kita dapatkan

21sin xy −= , x

xy

21tan

−= , dst.

3). Dari fungsi xy 1tan−= , kita gambarkan segitiga seperti di

bawah ini.

Selain xy =tan , kita peroleh

21

sin

x

xy

+= ,

21

1cos

x

y

+= , dst

4). Dari fungsi xy 1sec−= kita gambarkan

Dari gambar ini kita peroleh

21tan xy −= , x

xy

1sin

2 −= , dst.

x 12 −x

y

1

x

1

21 x+

y

x

1 21 x−y


Soal-Soal:

1) Dari fungsi xy 1cot−= tentukan ysin dan ycos

2) Dari fungsi xy 1csc−= tentukan ytan dan ycos

85

Bab 7

Gabungan Fungsi Sinus

7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya

gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan

listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi

waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu

sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.

Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik

disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1

siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka

00

1

Tf = (7.1)

Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan

jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan

sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per

detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi

siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan

radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut

(ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah

00

22

Tf

π=π=ω (7.2)

Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A

dituliskan sebagai

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy (7.3)

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan

yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi

sinus )sin(xy = atau fungsi cosinus )cos(xy = dengan x sebagai

peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan

fungsi cosinus ty ω= cos dengan t sebagai peubah bebas dengan

satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi

radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.


Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita

geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi

sinus. Gb.7.2.

π=ω=

π−ω=

0

2sinsin

2cos

T

tAtAtAy (7.4)

Gb.7.1. Fungsi cosinus

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy

Gb.7.2. Fungsi sinus

π−ω=

π=ω=

2cos

2sinsin

0

tAT

tAtAy

Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3.

Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah

( )

π−

π=−ω=

00

22coscos

T

T

T

tATtAy s

s

T0

-A

0

A

0 t

y

T0

-A

0

A

0 t

y

87

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser

Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan

pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran

adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi

kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu

fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk

cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang

ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.

Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal

kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap

sebagai bentuk normal

Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga

fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)

( )sTtAy −ω= cos

yang dapat pula kita tuliskan

( )sTtAy ω−ω= cos

Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan

satuan ωt. Selanjutnya

0

2

T

TT ss

π=ω=ϕ (7.5)

disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak

pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita

tuliskan

( )ϕ−ω= ty cos (7.6)

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts


Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah

fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita

menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.

Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan

adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.

Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang

bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.

Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi

jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut

fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,

fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen

searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi

dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 .

Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi

sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang

berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk

sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk

fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang

menyusunnya.

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan

bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi

dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 .

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa

ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa

ke-n mempunyai frekuensi nf0 .

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.

Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa

mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.

Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau

dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga

mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-

komponen tersebut.

89

Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.

Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan

dengan persamaan

( ) ( ) ( )tftftfy )4(2cos5,7)2(2sin152cos3010 000 π−π+π+=

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga

komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen

berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen

sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen

inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku

ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3

tidak ada.

Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk

melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku

dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan

-4

1

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy

y

y = 1 + 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====

y

t

- 4

0

4

- 5 15

y

y = 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t


di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah

menggunakan fungsi cosinus, yaitu )2cos( ϕ+π= ftAy .

Dengan menggunakan kesamaan

)2/2cos()2sin( π−π=π ftft dan )2cos()2cos( π+π=π− ftft

persamaan fungsi di atas dapat kita tulis

)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam

bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap

komponen seperti dalam tabel berikut.

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa − 0 −π/2 π

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan

suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan

apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu

spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo

maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari

frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu

: 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut

adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal

tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan

4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.

Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu

grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi

frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)

dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).

91

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.

Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat

dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.

Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi

jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian

fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :

....)2/72cos(7

)2/52cos(5

+

)2/32cos(3

)2/2cos(

00

00

+π−π+π−π

π−π+π−π=

tfA

tfA

tfA

tfAy

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut

fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya

frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada

harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.

0

π/2

2π

0 1 2 3 4 5

Sudut Fasa

Frekuensi [×f0]

−π/2

−2π

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Frekuensi [×f0]

Amplitudo


Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0

Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n

Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2

Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun

dari harmonisa-harmonisanya.

a) b)

d)

c)

e)

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.

a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +

harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada

harmonisa ke-21.

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan

menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan

makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan

terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi

yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk

yang kita inginkan.

Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi

frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak

hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.

Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas

93

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap

amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi

tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita

tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%

dari amplitudo sinus dasar.

Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga

perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar

jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.

Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah

nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band

width).


Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum

1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini

dalam format cosinus )cos( sxxAy −= :

a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi

siklus 10 siklus/skala.

b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,

frekuensi siklus 10 siklus/skala.

c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10

rad/skala.

d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut

10 rad/skala.

2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan

sinus berikut ini

80002sin2,0 40002cos220002sin54 ttty π+π−π+=

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,

tentukan lebar pita fungsi ini.

3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

8000cos2 20002sin2-)6010002cos(3o

ttty π+π−π=


5000cos02,01500cos2.0

500cos300cos2100cos10

tt

ttty

++

++=


20002cos2,0 15002cos2

10002cos35002cos1010

tt

tty

π+π+

π+π+=

95

Bab 8

Fungsi Logaritma 4atural, Eksponensial,

Hiperbolik

8.1. Fungsi Logarithma 4atural.

Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis

bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-

nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang

koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting

dalam matematika:

1ln =e (8.1)

aeaea == lnln (8.2)

Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural

dari x dituliskan sebagai

xy ln= (8.3)

Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita

pelajari pada Bab-12), yaitu

∫=x

dtt

x1

1ln (8.4)

Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral

dengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t

dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilai

fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan

sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.

Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.

x t

ln x 1/t

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y


Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2.

Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e.

Gb.8.2. Kurva y = ln x.

Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa.

Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:

1 untuk negatif bernilai ln

ln

1ln

lnln

;lnlnln

lnlnln

<

=

=

=

−=

+=

xx

xe

e

xnx

axa

x

xaax

x

n (8.5)

Soal-Soal

Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1

dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmen

sebagai luas trapesium, hitunglah

1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 1 2 3 4x

y

e

y = ln x

97

8.2. Fungsi Eksponensial

Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi

dari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsi

yx ln= (8.6)

Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini

ekivalen dengan

xey = (8.7)

yang disebut fungsi eksponensial.

Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi

eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul

pada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak

dituliskan.

0 ; ≥= − xaey bx (8.8)

Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai

fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini

akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan

tersebut.

Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi

eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti

terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b,

makin cepat fungsi menurun.

Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e−x

dan y = e−2x.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x

y

e− x

e−2x


Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%

dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x

= 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah

di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial

biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah

)(tuAey at−= (8.9)

Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa

kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat

jika a makin besar. Didefinisikanlah

a

1=τ (8.10)

sehingga (8.9) dituliskan

)(/ tuAey t τ−= (8.11)

τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi

eksponensial menurun.

Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang

banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu

penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai

amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya

juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah

( ) )( 21 //tueeAy

tt τ−τ− −= (8.12)

Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4.

Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja

(surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai

suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih

lambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan laboratorium

berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan

dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.

99

Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.

Soal-Soal

1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial

yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini :

a). ya = amplitudo 5, τ = 2.

b). yb = amplitudo 10, τ = 2.

c). yc = amplitudo −5, τ = 4.

2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi

berikut.

cbaf

cae

bad

yyyy

yyy

yyy

++=

+=

+=

c).

b).

a).

3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut.

{ } )( 1 10 a). 5,01 xuey x−−=

{ } )( 510 b). 2,02 xuey x−−=

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

(((( ))))21 // ττ tteeAy−−−−−−−− −−−−====

1/1

τtAey

−−−−====

2/2

τtAey

−−−−====

A

0t/τ


8.3. Fungsi Hiperbolik

Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi

hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2sinh ;

2cosh

vvvvee

vee

v−− −

=+

= (8.13)

Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan

sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri

biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan

y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan

“lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu

θ+θ==+ 2222 cossin1yx .

Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsi-

fungsi ini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”:

122 =− yx

Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v

untuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan”

akan terpenuhi. Kita coba:

14

4

4

2

4

2 sinhcosh

22222222 ==

+−−

++=−=−

−− vvvveeee

vvyx

Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan

2sinh ;

2cosh

vvvvee

vyee

vx−− −

==+

==

Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan.

-4

-3

-2 -1 0

1

2

34

0 1 2 3 4

y

x

P[x,y] v = 0

v = ∞

101

Jika kita masukkan

2sinh ;

2cosh

vvvvee

vyee

vx−− −

==+

==

maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena ev

selalu bernilai positif dan e−v = 1/e

v juga selalu positif untuk semua nilai

nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah

kanan sumbu-y) kurva hiperbolik.

Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain

didefinisikan sebagai

vv

vv

vv

vv

ee

ee

v

vv

ee

ee

v

vv

−

−

−

−

−

+==

+

−==

sinh

coshcoth ;

cosh

sinhtanh (8.14)

vvvv eevv

eevv

−− −==

+==

2

sinh

1csch ;

2

cosh

1sech (8.15)

Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini.

1). 1sinhcosh 22 =− vv . Identitas ini telah kita buktikan di atas.

Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa.

2). vv 22 sechtanh1 =− . Identitas ini diperoleh dengan membagi

identitas pertama dengan cosh2v.

3). vv 22 csch1coth =− . Identitas ini diperoleh dengan membagi

identitas pertama dengan sinh2v.

4). uevv =+ sinhcosh . Ini merupakan konsekuensi definisinya.

5). uevv −=− sinhcosh . Ini juga merupakan konsekuensi

definisinya.


Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan

kurva fungsi-fungsi hiperbolik.

(a)

b)

c)

xe2

1

xe −−2

1

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy sech=

xy cosh= y

x

xe2

1 xy sinh=

xy cosh= y

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

103

d)

e)

Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.

xy csch=

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch=

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy coth=

xy coth=

xy tanh=

x

y


Soal-Soal

1). Turunkan relasi )sinh( vu + dan )cosh( vu + .

2). Diketahui 4/3sinh −=v . Hitung cosh v, coth v, dan csch v.

3). Diketahui 4/3sinh −=v . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.

105

Bab 9

Turunan Fungsi-Fungsi (1)

(Fungsi Mononom, Fungsi Polinom)

9.1. Pengertian Dasar

Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada

suatu garis lurus diketahui, misalnya [x1,y1] dan [x2,y2], maka kemiringan

garis tersebut dinyatakan oleh persamaan

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆= (9.1)

Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x1,y1] dan [x2,y2]

berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan

garis lengkung? Perhatikan Gb.9.1.

(a)

(b)

Gb.9.1. Tentang kemiringan garis.

Pada Gb.9.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P1P2 dan bukan

kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat

pada Gb.9.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan

garis lurus P1P′2. Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan

P1 ∆y′

∆x′

x

y

P′2

y = f(x)

P1

∆y

∆x

x

y

P2

y = f(x)


kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P1, dan jika ∆x

mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva

y di titik P1. Jadi jika kita mempunyai persamaan garis )(xfy ==== dan

melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x

mendekati nol, persamaan (9.1) dapat kita tuliskan

)()()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

xx′=

∆

−∆+=

∆

∆

→∆→∆ (9.2)

)(xf ′ merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita

tinjau )(xf ′ memiliki nilai berbeda; )(xf ′ disebut fungsi turunan dari

)(xf , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, )(xf ′ bernilai konstan

dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (9.1) tidak

hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapat

diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa

kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva

lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 9.2.

Gb.9.2. Garis singgung pada garis lengkung.

Jika fungsi garis lengkung adalah )(xfy = maka )(xf ′ pada titik [x1,y1]

adalah kemiringan garis singgung di titik [x1,y1], dan f ′(x) di titik (x2,y2)

adalah kemiringan garis singgung di [x2,y2]. Bagaimana mencari f ′(x)

akan kita pelajari lebih lanjut.

Jika pada suatu titik x1 di mana x

y

x ∆

∆

→∆ 0lim seperti yang dinyatakan oleh

(9.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dan

dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilai

(x1,y1)

(x2,y2)

x

y

107

x

y

x ∆

∆

→∆ 0lim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan

kemiringan garis singgung di titik tersebut).

Persamaan (9.2) biasanya ditulis

)()()(

lim

lim)(

0

0

xfx

xfxxf

x

yy

dx

d

dx

dy

x

x

′=∆

−∆+=

∆

∆==

→∆

→∆ (9.3)

dx

dy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi y

terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan

fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

Misalnya y merupakan fungsi t , )(tfy = ; maka penurunan y hanya bisa

dilakukan terhadap t, tidak terhadap x.

)()(

tfdt

tdf

dt

dyy ′===′

9.2. Fungsi Mononom

Kita lihat uraian-uraian berikut ini.

1). kxfy == )(0, bernilai konstan. Di sini

00)()(

lim0

0 =∆

=∆

−∆+=′

→∆ xx

xfxxfy

x

2). xxfy 2)(11 ==

⇒ 222)(2

lim)(0

1 =∆

∆=

∆

−∆+=′

→∆ x

x

x

xxxxf

x


Gb.9.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.

Kurva )(1 xf ′ membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilai

konstan 2 untuk semua x.

3). 222 2)( xxfy ==

xxx

x

xxxxx

x

xxxxf

x

xx

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

0

222

0

22

02

=∆+×=∆

−∆+∆+=

∆

−∆+=′

→∆

→∆→∆

Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan

4.

4). 333 2)( xxfy ==

2222

0

33323

0

33

03

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxf

x

x

x

=∆+∆×+×=

∆

−∆+∆+∆+=

∆

−∆+=′

→∆

→∆

→∆

Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5x

yxxf 2)(

1====

2)(1 ====′′′′ xf

109

5). Secara umum, turunan mononom

nmxxfy == )( (9.4)

adalah

)1()( −×=′ nxnmy (9.5)

Jika n pada (9.4) bernilai 1 maka kurva fungsi )(xfy = akan

berbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan,

kxfy =′=′ )(

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

)(xfy ′=′ . Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapat

diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya

)(xfy ′′=′′

yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapat

diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagi

)(xfy ′′′=′′′

dan demikian seterusnya.

dx

dyxfy =′=′ )( kita sebut turunan pertama,

2

2

)(dx

ydxfy =′′=′′ turunan kedua,

3

3

)(dx

ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.

Contoh:

344 2)( xxfy ==

12 ;12)2(6 ;6)3(2 4)12(

42)13(

4 =′′′==′′==′ −−yxxyxxy

6) Dari (9.4) dan (9.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatu

fungsi dengan kurva fungsi turunannya.

Fungsi mononom nmxxfy == )( memiliki turunan

)1()( −×=′ nxnmy . Koordinat titik potong P antara kurva mononom

f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan


)1()( −×=→′= nn xnmmxyy

⇒ nx =P dan nmxy PP =

Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan

selanjutnya dapat pula dicari.

Gb.9.4. memperlihatkan kurva mononom 4xy = dan turunan-

turunannya 34xy =′ , 212xy =′′ , xy 24=′′′ , 24=′′′′y .

Gb.9.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.

9.3. Fungsi Polinom

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contoh-

contoh berikut.

1). 24)(11 +== xxfy

{ } { }4

242)(4lim)(1 =

∆

+−+∆+=′

→∆ x

xxxxf

xx

Kurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.9.5.

-100

0

100

200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4xy =

34xy =′

212xy =′′xy 24=′′′

24=′′′′y

212xy =′′34xy =′

111

Gb.9.5. f1(x) = 4x + 2 dan turunannya.

Suku yang bernilai konstan pada f1(x), berapapun besarnya, positif

maupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.

2). )2(4)(22 −== xxfy ⇒ 84)(2 −= xxf

⇒ 4)(2 =′ xf

Gb.9.6. f2(x) = 4(x – 2) dan turunannya.

3). 524)( 233 −+== xxxfy

{ } { }28224

5245)(2)(4lim

22

03

+=+×=∆

−+−−∆++∆+=′

→∆

xx

x

xxxxxxy

x

4). 5245)( 2344 −++== xxxxfy

{ } { }

281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

22

2323

04

++=+×+×=

∆

−++−−∆++∆++∆+=′

→∆

xxxx

x

xxxxxxxxxy

x

)2(4)(2 −−−−==== xxf

4)(2 ====′′′′ xf

-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4x

y

f1(x) = 4x + 2

f1′(x) = 4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y


5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah

beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing

mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom

itu memang memiliki turunan.

9.4. 4ilai Puncak

Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakan

kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik

[xp,yp] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik

[xp,yp] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol.

Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di

mana turunan pertama fungsi bernilai nol.

Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi

kuadrat):

13152 2 ++= xxy

Turunan pertama fungsi ini adalah

154 +=′ xy

Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai xp dari titik puncak yaitu

xp = −(15/4) = −3,75

Jika nilai xp ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita

dapatkan nilai puncak yp.

125,15 13)75,3(152(-3,75)

13152

2

2

−=+−×+=

++= ppp xxy

Secara umum, xp dari fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 dapat diberoleh

dengan membuat

02 =+=′ baxy (9.6)

sehingga diperoleh

a

bxp

2−= (9.7)

113

Nilai puncak, yp dari fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 dapat diperoleh

dengan memasukkan xp

a

acbc

a

bcbxaxy ppp

4

4

4

222 −

−=+−=++= (9.8)

Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan

apakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum?

Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lihat

Gb.9.7.

Gb.9.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.

Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada

kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke

kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di

titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ di

sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di

titik maksimum bernilai negatif.

Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan,

kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titik

puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar

titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik

minimum bernilai positif.

Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak

tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak

bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.

y

x

Q

P

y′ y′


Dalam kasus fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 , turunan pertama adalah

baxy +=′ 2 dan turunan kedua adalah ay 2=′′ . Jadi pada fungsi

kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a

negatif ia memiliki nilai maksimum.

Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di

atas.

13152 2 ++= xxy

Nilai puncak fungsi ini adalah 125,15−=py dan ini merupakan

nilai minimum, karena turunan keduanya 4=′′y adalah positif.

Lihat pula Gb.10.5.c.

Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:

13152 2 ++−= xxy

Turunan pertama fungsi menjadi

75,3 memberi 0 jika yang , 154 +==′+−=′ pxyxy

Nilai puncak adalah

125,411375,3152)^75,3(2 +=+×+−=py

Turunan kedua adalah 4−=′′y bernilai negatif. Ini berarti

bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.

Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta

menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa

sehingga perkaliannya mencapai nilai maksimum,

sementara jumlahnya tetap 20.

Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yang

lain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi 220)20( xxxxy −=−=

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan

memberikan nilai x yang memberikan ypuncak.

0220 =−=′ xy memberikan x = 10

115

dan nilai puncaknya adalah

100100200 =−=puncaky

Turunan kedua adalah 2−=′′y ; ia bernilai negatif. Jadi

ypuncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; kedua

bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva

dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.8.

Kurva tersebut memotong sumbu-x di

20dan 0 0)20( 21 ==⇒=−= xxxxy

Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum;

semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilai

maksimum ypuncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kita

sebut nilai maksimum absolut.

Jika seandainya ypuncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia

akan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut.

Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta

menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa

sehingga perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara

selisihnya tetap 20.

Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan

yang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanya

menjadi

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

-5 0 5 10 15 20 25

y

x

Gb.9.8. Kurva )20( xxy −=


xxxxy 20)20( 2 +=+=

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan

memberikan nilai x yang memberikan ypuncak.

0202 =+=′ xy sehingga x = −10

dan nilai puncak adalah

100200100 −=−=puncaky

Turunan kedua adalah 2+=′′y ; ia bernilai positif. Jadi

ypuncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; kedua

bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10.

Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.9.

Gb.9.9. Kurva )20( += xxy

Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh

dcxbxaxy +++= 23 (9.10)

Turunan dari (10.29) adalah

cbxaxy ++=′ 23 2 (9.11)

Dengan membuat 0====′′′′y kita akan mendapatkan xp.

cbxaxy pp ++==′ 2302

Ada dua posisi nilai puncak, yaitu

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

-25 -20 -15 -10 -5 0 5x

y

117

a

acbb

a

acbbxx pp

3

3

6

1242,

2

2

21

−±−=

−±−=

(9.12)

Dengan memasukkan xp1 dan xp2 ke penyataan fungsi (10.11) kita peroleh

nilai puncak yp1 dan yp2. Namun bila xp1 = xp2 berarti dua titik puncak

berimpit atau kita sebut titik belok.

Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva

fungsi 332 23 +−= xxy dan apakah nilai puncak

merupakan nilai minimum atau maksimum.

Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol,

akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurva

terjadi.

1dan 0 memberikan

0)1(666 2

==

=−=−=′

xx

xxxxy

Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya

memberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.

2 memberikan 1

3 memberikan 0

+==

+==

puncak

puncak

yx

yx

Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah

nilai puncak ypuncak minimum atau maksimum kita lihat dari

turunan kedua dari fungsi y

6 1Untuk

6 0Untuk

612

+=′′⇒=

−=′′⇒=

−=′′

yx

yx

xy

Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum,

sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurva

dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.10.


Gb.9.10. Kurva 332 23 +−= xxy dan garis singgung di R.

9.5. Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsi

)(xfy = secara umum adalah mxys = dengan kemiringan m adalah

turunan pertama fungsi di titik R.

Contoh: Lihat fungsi 332 23 +−= xxy yang kurvanya diberikan

pada Gb.9.10.

Turunan pertama adalah )1(666 2 −=−=′ xxxxy . Titik R dengan

absis 2R =x , memiliki ordinat 734382R =+×−×=y ; jadi

koordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R

adalah 12126 =××=m .

Persamaan garis singgung Kxys +=12 . Garis ini harus melalui

R(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaan

garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaan

garis singgung akan kita dapatkan nilai K.

Kxys +=12 ⇒ K+×= 2127 ⇒ 17247 −=−=K .

Persamaan garis singgung di titk R adalah 1712 −= xys

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

P[0,3] Q[1,2]

x

y

ys

R

119

9.6. Contoh Hubungan Diferensial

Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)

Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir per

detik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran

muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q maka

dt

dqi =

Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi

1 A = 1 C/detik.

Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan

energi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energi

diberi simbol w, maka

dq

dwv =

Satuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W =

1 J/detik.

Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi.

Jika daya diberi simbol p maka

dt

dwp =

Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan vidt

dq

dq

dw

dt

dwp ===

Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakan

dengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yang

ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, vL dan

iL masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus

dan tegangan induktor adalah

dt

diLv L

L =

Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi

kapasitor, vC dan iC adalah tegangan dan arus kapasitor, maka

dt

dvCi c

C =


Soal-Soal

1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan

nilai puncak

824

; 2123

;7105

23

22

21

++−=

+−=

−−=

xxy

xxy

xxy

2. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan

nilai puncak

2373

2342

231

2173

; 627

; 2452

xxxy

xxxy

xxxy

+−=

++−=

−+−=

121

Bab 10


(Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari

Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit)

10.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Misalkan kita memiliki dua fungsi x, )(xv dan )(xw , dan kita hendak

mencari turunan terhadap x dari fungsi vwy = . Misalkan nilai x berubah

sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar

∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian

rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan vwy = tetap

berlaku, yaitu

)(

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

∆∆+∆+∆+=

∆+∆+=∆+ (10.1)

Dari sini kita dapatkan

x

wv

x

vw

x

wv

x

vwvwvwwvwv

x

yyy

x

y

∆∆∆

+∆∆

+∆∆

=

∆−∆∆+∆+∆+

=∆

−∆+=

∆∆

)()(

(10.2)

Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga x

wv

∆∆∆

juga mendekati nol. Persamaan (10.2) akan memberikan

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

dx

dy+==

)( (10.3)

Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua

fungsi.

Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi

mononom 56xy = yang kita tahu turunannya adalah 430xy =′ . Kita

pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi vwy =

dengan 32xv = dan 23xw = . Menurut (10.3) turunan dari y menjadi


44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

xxdy =+=×+×=

×=′

Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan.

Bagaimanakah dx

uvwd )( jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita

aplikasikan (10.3) secara bertahap seperti berikut.

dx

duvw

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

duv

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

uvdw

dx

dwuv

dx

wuvd

dx

uvwd

)()()(

)(

)()(

))(()(

++=

++=

+==

(10.4)

Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji

sebelumnya, yaitu 56xy = yang kita tahu turunannya adalah

430xy =′ . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga

fungsi uvwy = dengan xu 2= , 23xv = , dan xw = . Menurut

(10.9) turunan dari y adalah

44442

222

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

uvwd

dx

dy

=++=×+

×+×==

Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan.

10.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan dx

dy jika y = v

n dengan

v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi

vvvvy ××== 2361

dengan v merupakan fungsi x. Jika kita

aplikasikan formulasi (10.4) akan kita dapatkan

123

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dy

5

4555

22345

32

23231

6

2

)()()(

=

++++=

++

++=

++=

Contoh ini memperlihatkan bahwa

dx

dvv

dx

dv

dv

dv

dx

dv 566

6==

yang secara umum dapat kita tulis

dx

dvnv

dx

dv nn

1−= (10.5)

Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara

perkalian dan pangkat dua fungsi.

2332 )1()1( −+= xxy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan

pangkat suatu fungsi.

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

)1()1(

3223

22233322

22232332

3223

2332

−++−=

+−+−+=

+−+−+=

+−+

−+=

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy


10.3. Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w

vy = (10.6)

Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan 0≠w .

Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:

1−= vwy (10.7)

Kalau kita aplikasikan (10.3) pada (10.7) kita peroleh

−=

+−

=+−=

+==

=

−−

−−−

dx

dwv

dx

dvw

w

dx

dv

wdx

dv

w

v

dx

dvw

dx

dvvw

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

w

v

dx

d

dx

dy

2

2

12

111

1

1

)(

atau 2w

dx

dwv

dx

dvw

w

v

dx

d

−

=

(10.8)

Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya

merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w.

(Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi

peubah x dari w).

Contoh:

1). 3

2 3

x

xy

−=

4

2

6

244

6

223

9)93(2

)3)(3()2(

x

x

x

xxx

x

xxxx

dx

dy

+−=

−−=

−−=

2). 2

2 1

xxy +=

125

3

2 22

4

2102

xx

xxx

dx

dy−=

×−×+=

3). 1dengan ;1

1 2

2

2

≠−

+= xx

xy (agar penyebut tidak nol)

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2)1(2)1(

−

−=

−

−−−=

−

+−−=

x

x

x

xxxx

x

xxxx

dx

dy

10.4. Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun

sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk

eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita

pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke

dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat

didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.

Contoh:

1). 822 =++ yxyx . Fungsi implisit ini merupakan sebuah

persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,

maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar

kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di

kedua ruas, dan kita akan peroleh

yxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dxy

dx

dyxx

−−=+

=+++

2)2(

022

Untuk titik-titik di mana 0)2( ≠+ yx kita peroleh turunan

yx

yx

dx

dy

2

2

+

+−=

Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka


8,041

22−=

++

−=dx

dy.

Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y

bentuk implisit yang sedang kita hadapi.

2). 434 434 =−+ yxyx . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah

persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita

akan memperoleh

0124)3(44

0)3()4(

44

3323

43

33

=−++

=−++

dx

dyyy

dx

dyyxx

dx

yd

dx

xdy

dx

dyxx

)(4)1212(3332yx

dx

dyyxy +−=−

Di semua titik di mana 0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh

turunan

)(3

)(32

33

yxy

yx

dx

dy

−

+−=

10.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari

suatu fungsi lain, y = vn , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat.

Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio

q

pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah

fungsi yang bisa diturunkan.

qpvy /= (10.9)

Fungsi (10.9) dapat kita tuliskan

pq vy = (10.10)

yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi

terhadap x di kedua ruas (10.10) kita peroleh

dx

dvpv

dx

dyqy pq 11 −− =

127

Jika y ≠ 0, kita dapatkan

dx

dv

qy

pv

dx

vd

dx

dy

q

pqp

1

1/)(

−

−== (10.11)

Akan tetapi dari (10.9) kita lihat bahwa

( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==

sehingga (10.11) menjadi

dx

dvv

q

p

dx

dvv

q

p

dx

dv

qv

pv

dx

vd

dx

dy

qp

qppp

qpp

pqp

1)/(

)/()1(

)/(

1/

)(

−

+−−

−

−

=

=

==

(10.12)

Formulasi (10.12) ini mirip dengan (10.5), hanya perlu persyaratan

bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

10.6. Kaidah Rantai

Apabila kita mempunyai persamaan

)(dan )( tfytfx == (10.13)

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian

disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita

eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang

berbentuk

)(xFy = (10.14)

Bagaimanakah )(xFdx

dy′= dari (10.14) ber-relasi dengan

)(dan )( tfdt

dxtg

dt

dy′=′= ?

Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.


Jika )(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan

)(tfx = dapat diturunkan terhadap t, maka

( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t

menjadi

dt

dx

dx

dy

dt

dy= (10.15)

Relasi ini sudah kita kenal.

10.7. Diferensial dx dan dy

Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆=

kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol.

Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x

pada formulasi

)(lim0

xfx

y

dx

dy

x′=

∆

∆=

→∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa

sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap

x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan

fungsi dari x:

)(xFy = (10.16)

Kita ambil definisi sebagai berikut

1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata

berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain

selain x;

2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx

yang dinyatakan dengan

dxxFdy )('= (10.17)

Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai

129

)(xfdx

dy′= .

Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan

turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang

relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan

memperoleh relasi (10.17), namun sesungguhnya (10.17) didefinisikan

dan bukan berasal dari relasi ini.

Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti

terlihat pada Gb.10.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar

dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan

berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia

“mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy

dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika

“mengarah ke bawah”.

Gb.10.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.

θ= tandx

dy ; dxdy )(tanθ=

1. dx

dy adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.

2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis

singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah

sebesar dx skala.

P dx

dy

θ

P dx

dy

θ

P dx

dy

θ

P dx

dy

θ

y

x

x x

x

y

y y


Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula

turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam

tabel ini v adalah fungsi x.

Tabel-10.1

Turunan Fungsi Diferensial

1. 0=dx

dc; c = konstan 1. 0=dc ; c = konstan

2.dx

dvc

dx

dcv= 2. cdvdcv =

3.dx

dw

dx

dv

dx

wvd+=

+ )(

3. dwdvwvd +=+ )(

4.dx

dvw

dx

dwv

dx

dvw+= 4. wdvvdwvwd +=)(

5.2w

dx

dwv

dx

dvw

dx

w

vd −

=

5.2

w

vdwwdv

w

vd

−=

6.dx

dvnv

dx

dv nn

1−= 6. dvnvdv nn 1−=

7. 1−= nn

cnxdx

dcx 7. dxcnxcxd nn 1)( −=

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-10.1),

kemudian dikalikan dengan dx.

2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan

Tabel-10.1)

Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi

653 23 −+−= xxxy

131

Turunan y adalah : 563 2 +−=′ xxy

sehingga dxxxdy )563( 2 +−=

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam

tabel di atas:

dxxx

dxxdxdxxdxdxdxddy

)563(

563 )6()5()3()(

2

223

+−=

+−=−++−+=


Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

322

43

23

)1()2(

; )2(

;)3()1(

−++=

−=

+−=

xxy

xxy

xxy

13

2

;1

1

; 1

12

2

2

2

+=

−

+=

−

+=

x

xy

x

xy

x

xy

22

; 1

;

;2

33

2222

2

=−

−

=+

+=

+=+

yx

yx

yx

yxyx

yxyxy

133

Bab 11


(Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri

Inversi, Logaritmik, Eksponensial)

11.1. Turunan Fungsi Trigonometri

Jika xy sin= maka

x

xxxxx

x

xxx

dx

xd

dx

dy

∆

−∆+∆=

∆

−∆+==

sinsincoscossin

sin)sin(sin

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh

karena itu

xdx

xdcos

sin= (11.1)

Jika xy cos= maka

x

xxxxx

x

xxx

dx

xd

dx

dy

∆

−∆−∆=

∆

−∆+==

cossinsincoscos

cos)cos(cos

Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu

xdx

xdsin

cos−= (11.2)

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 2

22

2

seccos

1

cos

)sin(sincos

cos

sintan==

−−=

=

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 2

22

2

cscsin

1

sin

)(coscossin

sin

coscot−=

−=

−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdtansec

cos

sin

cos

)sin(0

cos

1sec22

==−−

=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdcotcsc

sin

cos

sin

)(cos0

sin

1csc

22−=

−=

−=

=


Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

xyxyxy 222 cos3 ; )3(sin5 ; )4tan( ===

)2cos()2(sin ; )63cot( 3 xxyxy −=+=

244 )cot(csc ; tansec xxyxxy +=−=

Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat

turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4).

1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC =

200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada

kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10-6

farad ini.

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt

dvCi C

C =

Arus yang melalui kapasitor adalah

( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

d

dt

dvCi C

C =××==

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap

kapasitor adalah

watt800sin16

400sin400cos32400cos16,0400sin200

t

ttttivp CCC

=

=×==

Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.

Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai

menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus

mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

vC

pC iC

vC iC pC

t [detik]

135

bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan

kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor

besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda

fasa sebesar 90o.

Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali

lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris

terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah

perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya.

Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini

disebut daya reaktif.

2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus

terhadap waktu sebagai iL = −0,2cos400t ampere. Berapakah

tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ?

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt

diLv L

L =

( ) tttdt

d

dt

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==

Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.

W800sin20

400cos400sin40)400cos2.0(400sin200

t

ttttivp LLL

−=

−=−×==

Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.

Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari

kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering

dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan

kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya

arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o.

Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu,

yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.

vL iL pL

vL

pL

iL

t[detik]

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05


11.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

1) xy 1sin−=

yx sin= ⇒ ydydx cos= ⇒ ydx

dy

cos

1=

21

1

xdx

dy

−=

2) xy 1cos−=

yx cos= ⇒ ydydx sin−= ⇒

ydx

dy

sin

1−=

21

1

xdx

dy

−

−=

3) xy 1tan−=

yx tan= ⇒ dyy

dx2

cos

1= ⇒

ydx

dy 2cos=

21

1

xdx

dy

+=

4) xy 1cot−=

yx cot= ⇒ dyy

dx2

sin

1−= ⇒

ydx

dy 2sin−=

21

1

xdx

dy

+

−=

x 1

21 x−

y

x

1 21 x−y

x

1

21 x+y

x

1

21 x+y

137

5) xy 1sec−= ⇒ y

yxcos

1sec == ⇒ dy

y

xdx

2cos

)sin(0 −−=

1

1

1

1

sin

cos

2

22

2

−=

−×==

xx

x

x

xy

y

dx

dy

6) xy 1csc−= y

yxsin

1csc == ⇒ dy

y

xdx

2sin

)(cos0 −=

1

1

1

1

cos

sin

2

22

2

−

−=

−×−=

−=

xx

x

x

xy

y

dx

dy

Soal-Soal

1). Jika )5.0(sin 1−=α carilah αcos , αtan , αsec , dan αcsc .

2). Jika )5.0(cos 1 −=α − carilah αsin , αtan , αsec , dan αcsc .

3). Hitunglah )1(sin)1(sin 11 −− −−.

4). Hitunglah )1(tan)1(tan 11 −− −−.

5). Hitunglah )2(sec)2(sec 11 −− −−.

11.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

Jika v = f(x), maka

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdcos

)(sin)(sin==

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdsin

)(cos)(cos−==

1

x 12 −x

y

1 x

12 −x

y


dx

dvv

dx

dv

x

xx

v

v

dx

d

dx

vd 2

2

22

seccos

sincos

cos

sin)(tan=

+=

=

dx

dvv

v

v

dx

d

dx

vd 2csc

sin

cos)(cot−=

= . (Buktikan!).

dx

dvvv

dx

dv

v

v

vdx

d

dx

vdtansec

cos

sin0

cos

1)(sec

2=

+=

=

dx

dvvv

vdx

d

dx

vdcotcsc

sin

1)(csc−=

= . (Buktikan!).

Jika w = f(x), maka

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(sin

−=

−. (Buktikan!).

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cos

−−=

−. (Buktikan!).

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(tan

+=

−. (Buktikan!).

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cot

+−=

−. (Buktikan!).

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(sec

2

1

−=

−. (Buktikan!).

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(csc

2

1

−−=

−. (Buktikan!).

Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

xyx

y

xyxy

4sec ; 3

tan3

1

)2(cos ; )5,0(sin

11

11

−−

−−

==

==

139

11.4. Turunan Fungsi Logaritmik

Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah

mengetahui bahwa fungsi xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu

integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)

)0( 1

ln)(1

>== ∫ xdtt

xxfx

y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di

selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.

Gb.11.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.

Kita lihat pula

∆=

∆

−∆+∫

∆+ xx

xdt

txx

xxx 11)ln()ln( (11.3)

Apa yang berada dalam tanda kurung (11.3) adalah luas bidang yang

dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas

bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika

∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x);

dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada

keadaan batas ini (11.3) akan bernilai (1/x). Jadi

xdx

xd 1ln= (11.4)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4x

y

x t

1/x

1/t

lnx

ln(x+∆x)−lnx

x+∆x

1/(x+∆x)


Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan

memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: 43 2 += xv

43

6)43(

43

1lnln

2

2

2 +=

+

+==

x

x

dx

xd

xdx

dv

dv

vd

dx

vd


)ln(ln ; )ln(cos ;22

ln ; )2ln( 2 xyxyx

xyxxy ==

+=+=

11.5. Turunan Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial berbentuk

xey = (11.5)

Persamaan (11.5) berarti xexy == lnln , dan jika kita lakukan

penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan

11ln

==dx

dy

ydx

yd atau xey

dx

dy== (11.6)

Jadi turunan dari ex adalah e

x itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang

tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan

dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunan-

turunan dari xey = adalah

xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.

Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu

fungsi, )(xvv = .

dx

dve

dx

dv

dv

de

dx

de vvv

== (11.7)

Kita ambil contoh: xey1tan −

=

2

tan1tan

1

tan1

1

x

e

dx

xde

dx

dyx

x

+==

−−

−


2 ; 2

xxx ee

yexy−−

== ; xx

xx

xx

eyeyee

eey /1sin ; ;

1

==+

−=

−

−

−

141

Bab 12 Integral (1)

(Macam Integral, Pendekatan 4umerik)

Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama

kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas

bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.

Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti

“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan

keseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti

“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk

mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

dy= (12.1)

Persamaan seperti (12.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai

fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)

disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:

036

652

22

2

2

2

=++

++=

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan

diferensial seperti contoh yang pertama.

12.1. Integral Tak Tentu

Suatu fungsi )(xFy = dikatakan sebagai solusi dari persamaan

diferensial (12.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dan

dapat memenuhi

)()(

xfdx

xdF= (12.2)

Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (12.2) maka KxF +)( dengan K

adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (12.2) sebab


[ ]0

)()()(+=+=

+

dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFd (12.3)

Jadi secara umum dapat kita tuliskan

KxFdxxf +=∫ )()( (12.4)

yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.

Persamaan (12.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu

dxxfxdF )()( =

yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan

∫∫ = dxxfxdF )()( (12.5)

Jika kita bandingkan (12.5) dan (12.4), kita dapat menyimpulkan bahwa

KxFxdF +=∫ )()( (12. 6)

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak

tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.

Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini

1) Cari solusi persamaan diferensial 45xdx

dy=

Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial

dxxdy 45=

Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9,

dxxxd 45 5)( =

Oleh karena itu

Kxxddxxy +=== ∫∫ 554)(5

2). Carilah solusi persamaan yxdx

dy 2=

Kita tuliskan dalam bentuk diferensial dxyxdy 2= dan kita

kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri

143

mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya

mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi

kedua ruas dengan √y.

dxxdyy 22/1 =−

Ruas kiri memberikan diferensial ( ) dyyyd 2/12/12 −= dan ruas kanan

memberikan diferensial dxxxd23

3

1=

, sehingga

( )

= 32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh

23

12/1

3

12 KxKy +=+ atau

KxKKxy +=−+= 312

32/1

3

1

3

12

Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa

adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.

Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan

tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta

sembarang K.

Kydy +=∫

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat

dikeluarkan

∫∫ = dyaady

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan

menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya

dengan (n + 1).

1 jika ,1

1

−≠++

=+

∫ nKn

ydyy

nn

Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat

suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti


bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan

banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan

menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita

gambarkan kurva 210xy = kita akan mendapatkan kurva bernilai

tunggal seperti Gb.12.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi

∫ dxx

3

103

tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan

tetapi banyak kurva seperti pada Gb.12.1.b; kita akan mendapatkan satu

kurva jika K dapat ditentukan.

a) b)

Gb.12.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.

Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan

kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda

bergerak dinyatakan sebagai tatv 3== , dengan v adalah kecepatan, a

adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi

awal benda adalah 30 =s pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda

pada t = 4.

Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan

adalah laju perubahan jarak, dt

dsv = ; sedangkan percepatan adalah laju

perubahan kecepatan, dt

dva = . Karena kecepatan sebagai fungsi t

diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi

dt

dsv = yang memberikan vdtds =

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

y

yi = 10x2 +Ki

y

x

145

sehingga integrasinya memberikan

∫ +=+== KtKt

atdts2

2

5,12

3

Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu 30 =s pada t = 0.

K+= 03 yang memberikan 3=K

Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi 35,12 += ts

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah 274 =s

Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang

dibatasi oleh suatu kurva )(xfy = , sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x

= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan 2=y seperti

terlihat pada Gb.12.2.

Gb.12.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.

Jika luas dari p sampai x adalah Apx, dan kita bisa mencari fungsi

pertambahan luas ∆Apx yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi

x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai

dari x = p sampai x = q untuk memperoleh Apq yaitu luas dari p sampai q.

Pertambahan luas yang dimaksud tentulah

xApx ∆=∆ 2 atau )(2 xfx

Apx ==∆

∆ (12.7)

Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit

2)(lim0

===∆

∆

→∆xf

dx

dA

x

A pxpx

x (12.8)

Dari (12.8) kita peroleh

KxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22 (12.9)

p x x+∆x q

y

x

y = f(x) =2

0

2

∆Apx Apx


Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini

kita terapkan pada (12.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu

Kp += 20 atau pK 2−= (12.10)

sehingga

pxApx 22 −= (12.11)

Kita mendapatkan luas Apx (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan

fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh

)(222 pqpqApq −=−= (12.12)

Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri

yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang

dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.

Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi

tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia

kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ seperti digambarkan pada Gb.12.3.

Gb.12.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam bxa ≤≤

Dalam kasus ini, ∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah

dalam menghitungnya kita memilih ∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x.

Namun kita akan mempunyai nilai

xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0 (12.13)

dengan x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x kita buat mendekati nol kita akan mempunyai

xxxfxxfxxfApx ∆∆+=∆=∆=∆ )()()( 0 (12.14)

Dengan demikian kita akan mendapatkan limit

p x x+∆x q

y

x

y = f(x)

0

∆Apx

f(x) f(x+∆x )

Apx

147

)(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x==

∆

∆

→∆ (12.15)

Dari sini kita peroleh

KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()( (12.16)

Dengan memasukkan kondisi awal Apx = 0 untuk x = p dan kemudian

memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh

] qppq xFpFqFA )()()( =−= (12.17)

12.2. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai

suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu

kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang

diarsir pada Gb.12.4.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian

menjumlahkannya untuk memperoleh Apq. Jika penjumlahan luas segmen

kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada

Gb.12.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas

yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas

segmen bawah).

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas

segmen seperti tergambar pada Gb.12.4.c, kita akan memperoleh luas

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan

terjadinya error. Antara Apqb dan Apqa ada selisih seperti terlihat pada

Gb.12.4.d. Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-

k, yaitu antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (12.18)


(a)

(b)

(c)

(d)

Gb.12.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.

Jika pertidaksamaan (12.18) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil

dan bernilai positif, maka

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (12.19)

Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (12.19) kita

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita

buat), kita akan memperoleh

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

149

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11

0

1

)()()( (12.20)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling

kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa

pqanpqb AAA ≤≤ (12.21)

Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita

cari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n

kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆xk menuju nol, maka luas

bidang yang kita cari adalah

pqax

nx

pqbx

pq AAAAkkk 000

limlimlim→∆→∆→∆

=== (12.22)

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,

dituliskan

∫=q

ppq dxxfA )( (12.23)

Integral tertentu (12.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

] )()()()( pFqFxFdxxfAqp

q

ppq −=== ∫ (12.24)

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang

bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu

berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat

bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang

disebut dengan Apx dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang

baru ini akan berlaku umum, yaitu


Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy = dan

sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian

yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian

yang di bawah sumbu-x.

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan

menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3 sampai x

= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.12.5.

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x

dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75,33)5425,20(064

)12(

0

3

240

3

3 =−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75,33)0(5425,2064

)12(

3

0

243

0

3 −=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai

Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di

bawah sumbu-x.

Gb.12.5. Kurva xxy 123 −= - 20

- 10

0

10

20

- 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

xxy 123 −=

151

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.12.6. kita

dapatkan

4321 AAAAApq +−+−=

yang kita peroleh dari ( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

Gb.12.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang

di antara kurva )(11 xfy = dan )(22 xfy = pada batas antara x = p dan x

= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam

rentang qxp ≤≤ . Kita tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas

)(22 xfy = meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang

berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.12.7.

Gb.12.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.

Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya

diperlihatkan pada Gb.12.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),

dimana npqx /)( −=∆ .

p

q

y

x 0

y1

y2

x x+∆x

p

q

y

x

A4

A1

A2

A3

y = f(x)


Luas segmen dapat didekati dengan

{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (12.25)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{ }∑∑∆−=

=

∆−=xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 21

1

(12.25)

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita

sampai pada suatu limit

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21

1

(12.26)

Kita lihat beberapa contoh.

1). Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

{ } ] 30)12(186)2(4(32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy

dan panjang 512 =− xx .

2). Jika 21 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1

dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,2 4 212

21 ==−==⇒=→= qxpxxyy

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian

kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada

di di bawah y2 = 4.

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2 =−

−=

−−−−

−=

−=−= ∫−x

xdxxApq

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan

melakukan kesalahan:

153

03

16

3

168

3

88

3

84

3)4(*

2

2-

32

2

2 =+

−−

=

+

−−

−=

−=−= ∫− x

xdxxApq

3). Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang

dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi

y1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus

melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang

berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka

bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari

luasnya berada di atas y2.

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.

22

811 ; 1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=

−

++−==

=++−−=+−⇒=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+

−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada

penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak

selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,

yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat

pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan

ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian

seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua

contoh dalam kelistrikan.

1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8

jam ?


Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p

dan energi diberi simbol w, maka

dt

dwp = yang memberikan ∫= pdtw

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau

batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,

dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap

selama 8 jam adalah

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 1008

0

8

0

8

0

=

==== ∫∫ tdtpdtw

2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai

i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang

dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt

dqi = sehingga ∫= idtq

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

Pendekatan �umerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita

fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,

∆x.

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai

∑∫=

→∆∆=

n

k

kkx

q

pxxfdxxf

10

)(lim)(

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang

besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi

dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.

155

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x

sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai

terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi

oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas

ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini perhitungan

∫− −=3

3

3)12( dxxxApq akan kita lakukan dengan pendekatan numerik

dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas

antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah

sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =

0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x akan terbagi dalam 40 segmen.

Perhitungan menghasilkan

4,6739875,67)12(

40

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5,6748875,67)12(

120

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA


Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung

luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas

setiap segmen menjadi


( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (12.27)

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.

Soal-Soal:

1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan

sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva

fungsi dengan sumbu-x.

xyyxxy =−−= 322 ; 2

2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.

3 garisdan 2 kurva antara Luas

4 garisdan kurva antara Luas

2

2

−=−=

==

xxxy

xxy

3. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.

24 2xxy −= dan 22xy =

52 2 −= xy dan 52 2 +−= xy

12.3. Volume Sebagai Suatu Integral

Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu

integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk

menghitung volume.

Balok. Kita ambil contoh sebuah balok

seperti tergambar pada Gb.12.8. Balok ini

dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p

dan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebal

irisan ∆x sehingga volume balok, V,

merupakan jumlah dari volume semua irisan.

Gb.12.8. Balok

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan

di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah

xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(

Volume balok V adalah

∆x

157

∑ ∆=q

p

xxAV )(

dengan )(xA adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti )(xA

maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu

∑ ∆≈q

p

xxAV )(

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka

∫∑ =∆=→∆

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim (12.28)

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x.

Satu kerucut dapat dibayangkan sebagai

segitiga yang berputar sekitar salah satu

sisinya. Sigitiga ini akan menyapu satu

volume kerucut seperti terlihat pada

Gb.12.9. Segitiga OPQ, dengan OQ

berimpit dengan sumbu-x, berputar

mengelilingi sumbu-x.

Gb.12.9. Rotasi Segitiga OPQ

mengelilingi sumbu-x

Formula (12.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah

luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan

garis OP.

[ ] ∫∫∫ π=π==hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()( (12.29)

dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula

(12.29) akan memberikan volume kerucut

3

3

PQ/OQ)(

3

23232

kerucuth

rhhm

V π=π

=π

= (12.30)

dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.

Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan

memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut

y

x

∆x

x O Q

P


terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis

OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk mxy = berubah menjadi

bmxy += dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.

Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x)

kontinyu pada bxa ≤≤ , rotasi bidang

antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x

antara bxa ≤≤ sekeliling sumbu-x akan

membangun suatu volume benda yang

dapat dihitung menggunakan relasi (12.10).

Gb.12.10. Rotasi bidang

mengelilingi sumbu-x

Dalam menghitung integral (12.28) penyesuaian harus dilakukan pada

A(x) dan batas-batas integrasi.

( ) ( )22)()()( xfxrxA π=π=

sehingga ( )∫ π=b

adxxfV

2)( (12.31)

Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada

(12.31) merupakan gabungan fungsi linier,

kita akan mendapatkan situasi seperti pada

Gb.12.11.

Gb.12.11. Fungsi f(x) merupakan

gabungan fungsi linier.

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.12.11. terdapat tiga

rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume

total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (12.29) menunjukkan bahwa

dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada

bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian

ini akan menjadi positif.

12.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar

Jika kurva )(xfy = kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar

∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah

y

x

∆x

x 0 a b

f(x)

y

x

∆x

x 0 a b

2000

159

22 yxPQl ∆+∆==∆

Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12.

Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak

antara P dan Q di mana turunan fungsi )(Py ′′ , yang merupakan garis

singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian )(Py ′′ ini,

∆l dapat dinyatakan sebagai

( )[ ] ( ) xyxyxl ∆′′+=∆′′+∆=∆ 222 )P(1)P(

Gb.12.12. Salah satu segmen pada kurva )(xfy = .

Setiap segmen memiliki )(Py ′′ masing-masing yaitu ky′ , dan ∆l

masing-masing yaitu ∆lk . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =

a ke x = b adalah

( ) ( ) xyxyll

n

k

kx

n

k

kn

n

k

kn

ab ∆′+=∆′+=∆= ∑∑∑=

→∆=

∞→=

∞→1

2

01

2

1

1lim 1limlim

atau dxdx

dyl

b

aab ∫

+=

2

1 (12.32)

Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi

sumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagai

dydy

dxl

b

aab ∫

′

′

+=

2

1 dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah

bebas.

P ∆y

∆x

x

y

Q

y = f(x)

∆l

a b


12.5. 4ilai Rata-Rata Suatu Fungsi

Untuk fungsi )(xfy = yang kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ nilai

rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai

∫−=

q

pxrr dxxf

pqy )(

1)( (12.33)

(Penulisan (yrr)x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)

Definisi (12.33) dapat kita tuliskan

∫=−⋅q

pxrr dxxfpqy )()()( (12.34)

Ruas kanan (12.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi )(xfy =

dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (12.34) dapat

ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar

(yrr)x. Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan

(12.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi )(xfy = dengan sumbu-

x bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif

pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai rata-

rata (12.33) kontibusi tersebut adalah negatif.

Sebagai contoh, kita ambil fungsi xxy 123 −= . Luas bidang antara

xxy 123 −= dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,

5,67=pqA (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita

menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya

adalah (yrr)x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah

sumbu-x akan saling meniadakan.

161

Bab 13

Integral (2)

(Integral Tak Tentu)

Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan

integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan

pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang

mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan

sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat

perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

13.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ adx

Kaxadx +=∫ karena adxdax =

Contoh: Kxdxy +== ∫ 22

13.2. Integral Fungsi Mononom: ∫ dxxn

Karena dxxdx nn 1−= dengan syarat n ≠ −1, maka Kn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

Contoh: Kxdxxdxxy +=== ∫∫ 322

3

222

13.3. Integral Fungsi Polinom ∫ + dxxxmn

)(

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu

polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.

Karena dxxdxxxxd mnmn +=+ )( maka

1 ,1syarat dengan ,11

)(11

−≠−≠++

++

=+++

∫ mnKm

x

n

xdxxx

mnmn

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫

∫∫∫∫++++−

+

dxxxxdxxx

dxxdxxxdxdx

)2464( ; )42(

; )52( ;4 ;2 ; 5

231

0

2

4


13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: ∫ dxv n

Jika v adalah polinom, maka ∫ ++

=+

Kdvn

vdvv

nn

1

1

karena

dvvn

vd n

n

=+

+

1

1

dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk

mencari ∫ dxvn

.

Contoh: Hitunglah ∫ += dxxy2

)12(

Misalkan 12 += xv → dxdv 2= →2

dvdx =

Kxxx

Kxxx

Kv

dvv

dxxy

++++=

++++

=+==+= ∫∫

6

12

3

4

6

16128

62)12(

23

23322

Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan

diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

Kxxx

dxxxdxxy ′+++=++=+= ∫∫ 2

4

3

4)144()12(

2322

Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,

6/1+=′ KK .

Contoh: Hitunglah ∫−

= dx

x

xy

21

3

Misalkan x

dvdxx

dx

dvvx

221 2

−=→−=→=−

22/1

2/1

2/1213

2/12

3

2

3

2

3

1

3 y x

vdvv

x

dv

v

xdx

x

x−−=−=−=

−=

−= ∫∫ −


∫∫ ++ dxxdxx 14 ; )1(2

; ∫∫∫++

+ dx

x

xdx

xdxx

12

; )23(

1 ; 52

22

163

13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: ∫ v

dv

Karena v

dvvd =)(ln , maka Kv

v

dv+=∫ ln . Integrasi ini

memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi ∫ dxvn

.

Contoh: Carilah integral ∫ += dx

x

xy

1

2

2

Misalkan x

dvdxx

dx

dvxv

2212 =→=→+=

∫∫ ++=+==+

= KxKvx

dv

v

xdx

x

xy )1ln(ln

2

2

1

2 2

2

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫ ∫∫∫ ∫ +−+−−+ 14 ;

1 ;

1 ;

32 ;

4 ;

32 223

2

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

dx

x

dxx

x

dx

13.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ dvev

Karena dvede vv = maka Kedvevv +=∫

Soal-Soal:

∫∫∫∫ + x

xxxx

e

dxedxedxxedxe

21 ; ; ; 3/2 2

13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ dvav

Karena advada vv ln= maka Ka

adva

vv +=∫ ln

Contoh: Carilah ∫= dxyx2

3

Misalkan v = 2x → 2

2dv

dxdx

dv=→=

∫∫ +=== Kdvdxyxv

x

3ln

3

2

1

2

33

22


13.8. Integral Fungsi Trigonometri

Karena vdvvd cossin = maka Kvdxv +=∫ sincos

Karena vdxvd sincos −= maka Kvdxv +−=∫ cossin

Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain

termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah integral tak tentu ∫= xdxy 2sin

Misalkan 2

22dv

dxdx

dvxv =→=→=

2

2cos

2

cos

2

sin2sin

xvdv

vxdxy −=

−=== ∫∫


∫∫∫ + xdxdxxxdx 3cos4 ; )22cos( ; 4sin .

∫∫ xdxxdxxx cossin ; cossin2 2 .

∫∫ axdxxdx22

cos ; sin

∫∫ −dx

x

xxdxx

2cos2

2sin ; sincos2

.

13.9. Integral Fungsi Hiperbolik

Karena vvd cosh)(sinh = maka Kvvdv +=∫ sinhcosh

Karena vdvvd sinh)(cosh = maka Kvvdv +=∫ coshsinh

Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat

dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah ∫ += dxxy )12cosh(

Misalkan 2

212dv

dxdx

dvxv =→=→+=

Kx

Kvdvvdxxy

++=

+==+= ∫∫)12sinh(

2

1

sinh2

1)cosh(

2

1)12cosh(

165

Soal-Soal: Carilah integral berikut

∫∫∫∫∫ xdxdxx

xxdxxdxdx

x

x 2

4

2tanh ;

cosh

sinh ; 2cosh ; tanh ;

sinh

13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi

Integral fungsi-fungsi yang berbentuk ∫− 21 v

dv , ∫ + 21 v

dv,

∫−1

2vv

dv dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,

menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.

Contoh: Carilah ∫−

=241 x

dxy

Jika kita membuat pemisalan 241 xv −= maka xdx

dv8−= atau

x

dvdx

8−= . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan

integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk x

dvv

8

2/1

−∫ −

yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat

ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.

Namun bentuk ∫− 241 x

dx ini dapat kita transformasi menjadi bentuk

yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x

yang akan memberikan 2=dx

dv atau

2

dvdx = . Persoalan integral kita

menjadi

∫∫∫−

=−

=−

=222

12

1

1241 v

dv

v

dv

x

dxy

yang menghasilkan KxKvy +=+= −− )2(sin2

1sin

2

1 11

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫∫∫∫∫ −++−+

1 ;

4

;

4

;

1

;

4122222 x

dx

xx

dx

x

dx

x

dx

x

dx


13.9. Relasi Diferensial dan Integral

Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.

Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9

dan 16, 17 yang sering kita temui.

Tabel-13.1.

1. dxdx

dvdv = 1. Kvdv +=∫

2. kdvkvd =)( 2. ∫∫ = dvkkdv

3. dwdvwvd +=+ )( 3. ∫∫∫ +=+ dwdvdwdv )(

4. dvnvdv nn 1−= 4. Cn

vdvv

nn +

+=

+

∫ 1

1

; n≠1

5. v

dvvd =)(ln 5. Kv

v

dv+=∫ ln

6. dvede vv = 6. Kedvevv +=∫

7. advada vv ln= 7. Ka

adva

vv +=∫ ln

8. vdvvd cos)(sin = 8. Kvvdv +=∫ sincos

9. vdvvd sin)(cos −= 9. Kvvdv +−=∫ cossin

10. vdvvd 2sec)(tan = 10. ∫ += Kvvdv tansec2

11. vdvvd 2csc)(cot −= 11. Kvvdv +−=∫ cotcsc2

12. vdvvvd tansec)(sec = 12. Kvvdv +=∫ sectansec

13. vdvvvd cotcsc)(csc −= 13. Kvvdv +−=∫ csccotcsc

14. vvd cosh)(sinh = 14. Kvvdv +=∫ sinhcosh

15. vdvvd sinh)(cosh = 15. Kvvdv +=∫ coshsinh

16. vdvvd 2hsec)(tanh = 16. Kvvdv +=∫ tanhhsec2

167

17. vdvvd 2hcsc)(coth −= 17. Kvvdv +−=∫ cothhcsc 2

18. vdvvvd tanhhsec)sech( −= 18. Kvvdvv +−=∫ sechtanhhsec

19. vdvvvd cothhcsc)csch( −= 19. Kvvdvv +−=∫ coshcothcsch

20.2

1

1

)(sin

v

dvvd

−=−

20. ∫ +=−

− Kv

v

dv 1

2sin

1

21.2

1

1

)(cos

v

dvvd

−

−=−

21. ∫ ′+−=

−

−Kv

v

dv 1

2cos

1

22. 2

1

1tan

v

dvvd

+=−

22. ∫ +=+

−Kv

v

dv 1

2tan

1

23. 2

1

1cot

v

dvvd

+

−=−

23. ∫ +−=+

−Kv

v

dv 1

2cot

1

24.

1

sec2

1

−=−

vv

dvvd 24. ∫ +=

−

−Kv

vv

dv 1

2sec

1

, v >0

25.

1

csc2

1

−

−=−

vv

dvvd 25. ∫ +−=

−

− Kvvv

dv 1

2csc

1, v >0

26.2

1

1)(sinh

v

dvvd

+=−

26. ∫ +=+

−Kv

v

dv 1

2sinh

1

27.

1

)(cosh2

1

−=−

v

dvvd 27. ∫ +=

−

− Kv

v

dv 1

2cosh

1

28.2

1

1)(tanh

v

dvvd

−=−

28. ∫ +=−

− Kvv

dv 1

2tanh

1; jika |v|<1

29.2

1

1)(coth

v

dvvd

−=−

29. ∫ +=−

−;coth

1

1

2Kv

v

dv jika |v|>1

30. 2

1

1

)h(sec

vv

dvvd

−

−=−

30. ∫ +−=−

−;hsec

1

1

2Kv

vv

dv

31. 2

1

1

)h(csc

vv

dvvd

+

−=−

31. ∫ +−=+

−;hcsc

1

1

2Kv

vv

dv


Catatan Tentang Isi Tabel-13.1.

Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat

melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:

Fungsi mononom dan polinom: ∫vdv

Fungsi polinom berpangkat: ∫∫ v

dvdvvn ;

Fungsi exponensial: ∫∫ dvadvevv

;

Fungsi trigonometri: ∫ vdvcos ; ∫ vdvsin ; ∫ vdv2

sec ; ∫ vdv2

csc ;

∫ vdvtansec ; ∫ vdvcotcsc .

tetapi tidak: ∫ vdvtan ; ∫ vdvcot ; ∫ vdvsec ; ∫ vdvcsc .

Fungsi hiperbolik: ∫ vdvcosh ; ∫ vdvsinh ; ∫ vdv2

hsec ;

∫ vdv2hcsc ; ∫ vdvv tanhhsec ; ∫ vdvv cothcsch .

tetapi tidak: ∫ vdvtanh ; ∫ vdvcoth ; ∫ vdvhsec ; ∫ vdvhcsc .

Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri

inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

∫− 21 v

dv ; ∫ + 21 v

dv; ∫

−12

vv

dv; ∫

+ 21 v

dv ;

∫−12v

dv ; ∫ − 21 v

dv; ∫

− 21 vv

dv; ∫

+ 21 vv

dv.

tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

∫ − vdv1sin ; ∫ − xdx1tan ; ∫ −vdv

1sinh ; ∫ −

vdv1

tanh

Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang

berbentuk ∫∫∫ −±+

dsb ; ; ; 2222

22dvavdvva

va

dv

169

Bab 14

Integral (3)

(Integral Tentu)

14.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang

sebagai suatu limit.

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y =

f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang

diarsir pada Gb.14.1.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian

menjumlahkannya untuk memperoleh Apq.


segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.b, kita akan memperoleh luas

yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah).


segmen seperti tergambar pada Gb.14.1.c, kita akan memperoleh luas

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan

terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan

pada Gb.14.1.d.

Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu

antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (14.1)

Jika pertidaksamaan (14.1) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil

dan bernilai positif, maka

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (14.2)


(a)

(b)

(c)

(d)

Gb.14.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

171

Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (14.2) kita

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita

buat), kita akan memperoleh

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11

0

1

)()()( (14.3)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling

kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa

pqanpqb AAA ≤≤ (14.4)

Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita

cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n.

Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆xk menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah

pqanpqbpq AAAA limlimlim === (14.5)

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,

dituliskan

∫=q

ppq dxxfA )( (14.6)

Integral tertentu (14.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

] )()()()( pFqFxFdxxfAqp

q

ppq −=== ∫ (14.7)

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).


Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang

bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu berlaku

pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat bernilai negatif.

Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apx

dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan

berlaku umum, yaitu

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy ==== dan sumbu-x

dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di

atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 14.2.

Gb.14.2. Kurva xxy 123 −−−−====

Kita akan menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3

sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.14.2

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x

dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

=−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

−=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y = x3−12x

173

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai

Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di

bawah sumbu-x.

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.14.3. kita

dapatkan

4321 AAAAApq +−+−=

yang kita peroleh dari

( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

Gb.14.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

p

q

y

x

A4

A1

A2

A3

y = f(x)


14.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva )(11 xfy = dan

)(22 xfy = pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi

sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ . Kita

tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas )(22 xfy = meskipun

mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x.

Perhatikan Gb.14.4.

Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya

diperlihatkan pada Gb.14.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),

dimana npqx /)( −=∆ .

Gb.14.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva.

Luas segmen dapat didekati dengan

{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (14.8)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{ }∑∑∆−=

=

∆−=xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 21

1

(14.9)

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita

sampai pada suatu limit

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21

1

(14.10)

Kita akan melihat beberapa contoh

Contoh 1: Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1

dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

{ } ] 30)12(186)2(4(32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

p

q

y

x 0

y1

y2

x x+∆x

∆Apx

175

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy

dan panjang 512 =− xx .

Contoh 2: Jika 2

1 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi

oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,2

4

21

221

==−==⇒

=→=

qxpx

xyy

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian

kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada

di di bawah y2 = 4.

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

=−

−=

−−−−

−

−==−= ∫−x

xdxxApq

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan

melakukan kesalahan:

03

16

3

168

3

88

3

8

43

)4(*

2

2-

32

2

2

=+

−−

=

+

−−

−

−=−= ∫− x

xdxxApq

Contoh 3: Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang

dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1

adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus melalui

titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia

menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1

yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y2.


Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=

−

++−==

=++−−=+−→=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+

−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

14.3. Penerapan Integral

Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah

suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan

untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu

menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang

berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula

divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat

dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolah-

olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh

dalam kelistrikan.

Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan

energi diberi simbol w, maka

dt

dwp = yang memberikan ∫= pdtw

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas

bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan

satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8

jam adalah

[kWh]hour Watt kilo 8,0 [Wh]r Watt.hou800

100 1008

0

8

0

8

0

==

=== ∫∫ tdtpdtw

177

Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu

sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan

melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt

dqi = sehingga ∫= idtq

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

14.4. Pendekatan 4umerik

Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-

langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,

∆x.

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai

∑∫=

→∆∆=

n

k

kkx

q

pxxfdxxf

10

)(lim)(

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan

sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x

menuju nol.

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x

sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai

terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi

oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas


ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini kita melakukan

perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer.

∫− −=3

3

3)12( dxxxApq

Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x,

maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai

positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x

akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan

4,6739875,67)12(

40

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA


Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5,6748875,67)12(

120

1

3 ≈=−=∑=k

kkpq xxA


Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung

luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas

setiap segmen menjadi

( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (14.13)

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.

179

Bab 15

Persamaan Diferensial

(Orde Satu)

15.1. Pengertian

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau

lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita

pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan

satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi

turunan fungsi yang ada dalam persamaan. 3

3

dx

yd adalah orde

tiga; 2

2

dx

yd adalah orde dua;

dx

dy adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah

pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Sebagai contoh: x

ex

y

dx

yd

dx

yd=

++

+

12

5

2

22

3

3

adalah persamaan

diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,

orde satu dan orde dua, derajat satu.

15.2. Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan

diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya

y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Kita ambil satu contoh:


xkey −= adalah solusi dari persamaan 0=+ ydt

dy karena turunan

xkey−= adalah xke

dt

dy −−= , dan jika ini kita masukkan dalam

persamaan akan kita peroleh 0=+− −− xx keke

Persamaan terpenuhi.

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu

mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada

umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang

mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua

yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi

dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh

kondisi awal.

15.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat

Dipisahkan

Solusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah

dapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua

y dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan maka

persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( =+ dxxgdyyf (15.1)

Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum

dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()( (15.2)

Kita ambil dua contoh.

1). yxedx

dy −= . Persamaan ini dapat kita tuliskan y

x

e

e

dx

dy=

sehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisah

0=− dxedye xy dan Kdxedyexy =− ∫∫

sehingga Kee xy =− atau Kee xy +=

181

2). xydx

dy 1= . Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

0=−x

dxydy dan K

x

dxydy =− ∫∫

sehingga Kxy

=− ln2

2

atau Kxy ′+= 2ln

15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

=

x

yF

dx

dy (15.3)

Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah

bebas baru

x

yv =

Dengan peubah baru ini maka

vxy = dan dx

dvxv

dx

dy+=

Persamaan (14.2) menjadi

)(vFdx

dvxv =+ (15.4)

yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.

0)(=

−+

vFv

dv

x

dx (15.5)

Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x

setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.

Kita ambil contoh: 02)( 22 =++ xydydxyx

Persamaan ini dapat kita tulis 02)1(2

22 =++ xydydx

x

yx atau


dyx

ydx

x

y2)1(

2

2

−=+ sehingga )/()/(2

)/(12

xyFxy

xy

dx

dy=

+−=

yang merupakan bentuk persamaan homogen.

Peubah baru v = y/x memberikan

vxy = dan dx

dvxv

dx

dy+=

dan membuat persamaan menjadi

v

v

dx

dvxv

2

12+

−=+ atau v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

122 +

−=+

−−=


x

dx

vv

dv−=

+ 2/)31(2

atau 031

2

2=

++

v

vdv

x

dx

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v

sebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini.

Kita tahu bahwa xdx

xd 1)(ln= . Kita coba hitung

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(

2

2

2

22

xxdx

xd

xd

xd

dx

xd

+=

+

+

+=

+

Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di atas

kita dapatkan solusi dari

031

2

2=

++

v

vdv

x

dx

adalah KKvx ′==++ ln3

1)31ln(

3

1ln 2 atau

KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2 sehingga Kvx ′=+ )31( 23

Dalam x dan y solusi ini adalah

( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 atau ( ) Kyxx ′=+ 22 3

183

15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol.

Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari

peubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderajat dua karena y

dan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan

untuk menentukan derajat dari y(dy/dx).

Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan

dalam bentuk

QPydx

dy=+ (15.6)

dengan P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan. Persamaan diferensial

bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi pada

situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita

akan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadi

pada analisis rangkaian listrik.

Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus

merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang

akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

dya =+ (15.7)

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada

peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara

yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan.

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan

rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a

dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan

ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.

Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai solusi total yang

merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus

adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusi

homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

0=+ bydt

dya (15.8)


Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi (15.7) dan fungsi f2(t)

memenuhi (15.8), maka y = (f1+f2) akan memenuhi (15.7) sebab

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=+++=

+++

=+

bfdt

dfabf

dt

dfabf

dt

dfa

ffbdt

ffdaby

dt

dya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut solusi total yang

terdiri dari solusi khusus f1 dari (15.7) dan solusi homogen f2 dari (15.8).

Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan

diferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selang

peralihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain..

Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yang

kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan

yaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beri

tanda t = 0+ dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0

−.

Solusi Homogen. Persamaan (15.8) menyatakan bahwa y ditambah

dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua

nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama.

Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu

sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi

dari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K1est

. Jika solusi dugaan

ini kita masukkan ke (15.8), kita peroleh

( ) 0atau 0 111 =+=+ ybasKebKseaK stst (15.9)

Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K1 juga tidak

boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untuk

seluruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalah

0 =+ bas (15.10)

Persamaan (15.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde

pertama. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = −(b/a). Jadi

solusi homogen yang kita cari adalah

tabsta eKeKy )/(

11−== (15.11)

Nilai K1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan

tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0+ sesaat

185

setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telah

mempunyai nilai tertentu pada t = 0+ sehingga nilai K1 haruslah

sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0+ tersebut dapat dipenuhi.

Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusi

homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi

awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi

homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih

dulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan

kondisi awal.

Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsi

pemaksa f(t). Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dapat

melakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslah

sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (15.7) maka

ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang

sama. Jika solusi khusus kita sebut yp, maka yp dan turunannya harus

mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai

bentuk f(t), solusi khusus dugaan yp adalah sebagai berikut.

. cosinusmaupun sinus fungsi umumbentuk

adalah sincos

sincos

maka , cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi

maka al,eksponensi)( Jika

konstan maka konstan,)( Jika

0 maka , 0)( Jika

tKtKy

tKtKy

tAtftAtf

Key

Aetf

KyAtf

ytf

sc

scp

tp

t

p

p

ω+ω=

ω+ω=

ω=ω=

==

==

====

==

α

α

: Perhatikan

Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut yp, maka solusi total adalah

tspap eKyyyy

1+=+= (15.12)

Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan

memberikan nilai K1.

Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya

perubahan yaitu pada t = 0+. Dalam menurunkan persamaan diferensial

pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah


status. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini,

sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama.

Jika kondisi awal ini kita sebut y(0+) maka

)0()0( −+ = yy (15.13)

Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12)

akan kita peroleh nilai K1.

)0()0( )0()0( 11++++ −=→+= pp yyKKyy (15.14)

yp(0+) adalah nilai solusi khusus pada t = 0

+. Nilai y(0

+) dan yp(0

+) adalah

tertentu (yaitu nilai pada t = 0+). Jika kita sebut

0)0()0( Ayy p =− ++ (15.15)

maka solusi total menjadi

tsp eAyy

0 += (15.16)

15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa

Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kita

peroleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam

mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada,

akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus

diterapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri dari

solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol).

Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen saja

atau solusi khusus saja.

Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 =+ vdt

dv

untuk t > 0. Kondisi awal adalah v(0+) = 12 V.

tstp

p

ta

eAeAvv

v

eAv

ss

100000

10000

0 : totalsolusiDugaan

pemaksa) fungsi ada tidak (karena 0 : khusus solusiDugaan

:homogen solusiDugaan

100001000 :tik karakteris Persamaan

−

−

+=+=

=

=

−=→=+

187

V 12 : menjadi totalSolusi

12012 : memberikan

totalsolusidugaan pada awal kondisi Penerapan

V. 12)0()0( : awal Kondisi

1000

00

tev

AA

vv

−

−+

=

=→+=

==

Contoh: Pada kondisi awal v(0+) = 10 V, analisis transien

menghasilkan persamaan

03 =+ vdt

dv


010 : memberikan awal kondisi Penerapan

V 10)0( : awal Kondisi

: totalsolusiDugaan

0 :khusus solusiDugaan



3

0

30

30

t

tp

p

ta

ev

A

v

eAvv

v

eAv

ss

−

+

−

−

=

+=

=

+=

=

=

−=→=+

Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari

bahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan

bernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan

untuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskan

sebagai f(t) = A (tetapan).

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 =+− vdt

dv

dengan kondisi awal v(0+) = 0 V.

ta eAv

ss

10000

33


100010/1 0110 :tik karakteris Persamaan

−

−−

=

−=−=→=+


Karena f(t) = 12 konstan, kita dapat menduga bahwa solusi khusus

akan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehingga

kedua ruas persamaan tersebut dapat berisi suatu nilai konstan.


12120 :memberikan awal kondisi Penerapan

.0)0()0( : awal Kondisi

V 12 : totalsolusiDugaan

12 12 0 :persamaan ke inidugaan Masukkan

: khusus solusiDugaan

1000

00

10000

t

t

pp

p

ev

AA

vv

eAv

vKv

Kv

−

+

−

−=

−=→+=

=−=

+=

=⇒=+

=

Contoh: Pada kondisi awal v(0+) = 11 V, analisis transien

menghasilkan persamaan

2005 =+ vdt

dv

V. 2940 : totalTanggapan

294011

: memberikan awal kondisi Penerapan V. 11)0( :awal Kondisi

40 : lengkap solusiDugaan

40 20050 : khusus solusiDugaan



5

00

50

50

50

t

ttp

pp

ta

ev

A A

v

eAeAvv

vKKv

eAv

ss

−

+

−−

−

−=

−=→+=

=

+=+=

=→=+→=

=

−=→=+

Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusi

jika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak

tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen

dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh

sebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada

pencarian solusi khusus.

Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0,

bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskan

)cos( θ+ω= tAy

189

Melalui relasi

{ }θω−θω=θ+ω= sinsincoscos)cos( ttAtAy

bentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagai

θ−=θ=

ω+ω=

sindan cosdengan

sincos

AAAA

tAtAy

sc

sc

Dengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungan

sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien Ac dan As.

Koefisien Ac dan As tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka As = 0

dan jika θ = 90o maka Ac = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari

fungsi sinus yang dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapat

menggunakan relasi c

s

A

A=θtan .

Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu,

penjumlahan y = sinωt dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.

tAtAdt

yd

tAtAdt

dy

tAtAy

sc

sc

sc

ωω−ωω−=

ωω+ωω−=

ω+ω=

sincos

; cossin

; sincos

22

2

2

Contoh: Pada kondisi awal v(0+) = 0 V suatu analisis transien

menghasilkan persamaan tvdt

dv10cos1005 =+

ta eAv

ss

50 :homogen solusiDugaan


−=

−=→=+

Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akan

berbentuk sinus juga.


V 410sin810cos4 : Jadi

4 40 : awal kondisi Penerapan

.0)0( awal Kondisi

10sin810cos4 : totalsolusiDugaan

10sin810cos4 : khusus Solusi

8dan 4 100520 2

100510dan 0510

10cos10010sin510cos510cos1010sin10

: memberikanpersamaan ke ini khusus solusi Substitusi

10sin10cos

: khusus solusiDugaan

5

00

50

t

t

p

sccccs

cssc

scsc

scp

ettv

AA

v

eAttv

ttv

AAAAAA

AAAA

ttAtAtAtA

tAtAv

−

+

−

−+=

−=→+=

=

++=

+=

==⇒=+→=→

=+=+−→

=+++−

+=

Contoh: Apabila kondisi awal adalah v(0+) = 10 V, bagaimanakah

solusi pada contoh sebelum ini?

Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah.

V 610sin810cos4 : Jadi

6 41010)0( awal Kondisi

10sin810cos4 : totalSolusi

5

00

50

t

t

ettv

AAv

eAttv

−

+

−

++=

=→+=→=

++=

Ringkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen.

Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu

yang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam hal

rangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi

khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa,

yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar;

solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final.

191

Soal-Soal:

1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

5)0( , 015 b).

; 10)0( , 010 .a)

==+

==+

+

+

vvdt

dv

vvdt

dv


005,0)0( , 010 b).

; 2)0( , 08 .a)

4 −==+

==+

+

+

iidt

di

iidt

di

Solusi khusus :

� ditentukan oleh fungsi pemaksa.

� merupakan komponen mantap;

tetap ada untuk t →∞.

Solusi homogen :

� tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa.

� merupakan komponen transien; hilang pada t

→∞; sudah dapat dianggap hilang pada t = 5τ. � konstanta waktu τ = a/b pada (14.10)

τ−+= / 0 )(

tp eAtyy



5)0( , )(1010 b).

; 0)0( , )(1010 .a)

==+

==+

+

+

vtuvdt

dv

vtuvdt

dv


02,0)0( , )(10010 b).

; 0)0( , )(10010 .a)

4

4

−==+

==+

+

+

ituidt

di

ituidt

di


5)0( , )()5cos(1010 b).

; 0)0( , )()5cos(105 .a)

==+

==+

+

+

vtutvdt

dv

vtutvdt

dv

193

Bab 16

Persamaan Diferensial (2)

(Orde Dua)

16.1. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua

Secara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk

)(2

2

tfcydt

dyb

dt

yda =++ (16.1)

Pada persamaan diferensial orde satu kita telah melihat bahwa solusi

total terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus.

Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yang

dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada

persamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan ini

terletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdapat dua

kondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaan

solusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah

)0(')0(dan )0()0( −+−+ == ydt

dyyy (16.2)

Solusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaian

dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25),

sehingga persamaan menjadi

02

2

=++ cydt

dyb

dt

yda (16.3)

Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai

bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial ya =

Kest dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi

dugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh :

( ) 0atau 0 22 =++=++ cbsasKecKebKseeaKs stststst (16.4)


Fungsi est tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak

diperkenankan karena hal itu akan berarti ya = 0 untuk seluruh t. Satu-

satunya jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah

02 =++ cbsas (16.4)

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensial

orde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk

persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu:

a

acbbss

2

4,

2

21−±−

= (16.5)

Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua

akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat.

Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap

bentuk solusi akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita

melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua

akar.

Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi

homogen, yaitu:

tsa

tsa eKyeKy 21

2211 dan == (16.6)

Jika ya1 merupakan solusi dan ya2 juga merupakan solusi, maka jumlah

keduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cari

akan berbentuk

tstsa eKeKy 21

21 += (16.7)

Konstanta K1 dan K2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada

solusi total.

Solusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusi

khusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara menduga

bentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaan

orde satu. Kita umpamakan solusi khusus ykhusus = yp.

Solusi Total. Dengan solusi khusus yp maka solusi total menjadi

tstspap eKeKyyyy 21

21 ++=+= (16.8)

195

16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi

Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang

berbentuk umum as2

+ bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan

nilai akar, yaitu:

a). Dua akar riil berbeda, s1 ≠ s2, jika {b2− 4ac } > 0;

b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b2−4ac } = 0

c). Dua akar kompleks konjugat s1 , s2 = α ± jβ , jika {b2−4ac } < 0.

Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga

kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengan

contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.

Dua Akar �yata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0+) dan dy/dt (0

+) kita

terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan

yaitu

221121 )0()0('dan )0()0( KsKsyyKKyy pp ++′=++= ++++ (16.9)

yang akan menentukan nilai K1 dan K2. Jika kita sebut

)0()0(dan )0()0( 00++++ ′−′=−= pp yyByyA (16.10)

maka kita peroleh

02211021 dan BKsKsAKK =+=+

dan dari sini kita memperoleh

21

0012

12

0021 dan

ss

BAsK

ss

BAsK

−

−=

−

−=

sehingga solusi total menjadi

tstsp e

ss

BAse

ss

BAsyy 21

21

001

12

002

−

−+

−

−+= (16.11)

Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan orde

pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi

persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentang

kondisi awal, yang hanya dapat diterapkan pada solusi total. Persamaan

yang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaan

dengan solusi khusus yang bernilai nol.


Contoh: Dari analisis transien suatu rangkaian listrik diperoleh

persamaan

0104105,8 63

2

2

=×+×+ vdt

dv

dt

vd

dengan kondisi awal v(0+)=15 V dan dv/dt(0

+) = 0

berbeda). riilakar dua ( 8000 ,500

4)25,4(104250, :akar -akar

0104105,8 :ik karkterist Persamaan

21

2321

632

−=−=

−±−=→

=×+×+

ss

ss

ss

homogen). solusi dari terdiri(hanya

V 16 : totalSolusi

115 168000500

)8000(1515

)15(0 0)0( b).

15 15 V 15)0()0( a).

: awal Kondisi

nol)homogen (solusi

0 : totalsolusiDugaan

8000 500

1221

21

21112211

1221

80002

5001

tt

tt

eev

KKss

sK

sKsKsKsKdt

dv

KKKKvv

eKeKv

−−

+

−+

−−

−=

−=−=⇒=+−

−−=

−

−=⇒

−+=+=→=

−=⇒+=→==

++=

Dua Akar �yata Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut

dapat kita tuliskan sebagai

0dengan ; dan 21 →δδ+== ssss (16.12)

Dengan demikian maka solusi total dapat kita tulis sebagai

tsstp

tstsp

eKeKy

eKeKyy

)(21

21

21

δ+++=

++= (16.13)

Kalau kondisi awal pertama y(0+) kita terapkan, kita akan memperoleh

021

21

)0()0(

)0()0(

AyyKK

KKyy

p

p

=−=+→

++=

++

++

Jika kondisi awal kedua dy/dt (0+) kita terapkan, kita peroleh

197

0221

21

)0()0()(

)()0()0(

ByyKsKK

sKsKyy

p

p

=′−′=δ++→

δ+++′=′

++

++

Dari kedua persamaan ini kita dapatkan

δ

−−=→

δ

−=→=δ+

sABAK

sABKBKsA

0001

002020

(16.14)

Solusi total menjadi

stt

p

sttp

tsstp

ee

sABAy

eesABsAB

Ay

esAB

esAB

Ayy

1

)(

000

00000

)(00000

δ+

δ−−++=

δ

−+

δ

−−+=

δ

−+

δ

−−+=

δ

δ

δ+

(16.15.a)

Karena 1

lim1

lim 0

0t

ee tt

=

δ

−=

δ+

δ−

δ

→δ

δ

→δ

maka solusi total dapat kita tulis

[ ] stp etsABAyy )( 000 −++= (16.15.b)

Solusi total seperti dinyatakan oleh (16.15.b) merupakan bentuk khusus

yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama

besar. A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi

awal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (16.15.b) sebagai

[ ] stbap etKKyy ++= (16.15.c)

dengan nilai Ka yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai Kb

ditentukan oleh kondisi awal dan s. Dalam rangkaian listrik, nilai s

tergantung dari elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada

kaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahui

bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang

sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti

yang ditunjukkan oleh (16.15.c).


Contoh: Pada kondisi awal v(0+)=15 V dan dv/dt(0

+)=0, analisis

transien rangkaian listrik memberikan persamaan

0104104 63

2

2

=×+×+ vdt

dv

dt

vd

( ) ( ) .0 karena , 0

:berbentuk akan totalsolusi

itu karenaoleh besar; samaakar dua terdapatsini Di

2000 1041042000, :akar -akar


6621

62

=++=++=

=−=×−×±−=

=×++

pst

bast

bap vetKKetKKvv

sss

ss

( )

( ) V 3000015 : Jadi

30000 0)0(

memberikan

0)0( kedua awal kondisi Aplikasi

.15)0(

memberikan ini totalsolusi pada pertama awal kondisi Aplikasi

2000 t

abab

stba

stb

a

etv

sKKsKKdt

dv

estKKeKdt

dv

dt

dv

Kv

−

+

+

+

+=

=−=→+==→

++=

=

==

Akar-Akar Kompleks Konjugat. Kita belum membahas bilangan

kompleks di buku ini. Kita baru memandang fungsi-fungsi yang

memiliki nilai bilangan nyata. Namun agar pembahasan menjadi

lengkap, berikut ini diberikan solusinya.

Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagai

β−α=β+α= jsjs 21 dan

Solusi total dari situasi ini adalah

( ) ttjtjp

tjtjp

eeKeKy

eKeKyy

αβ−β+

β−αβ+α

++=

++=

2

1

)(2

)(1

(16.16)

Aplikasikan kondisi awal yang pertama, y(0+),

199

( )

021

21

)0()0(

)0()0(

AyyKK

KKyy

p

p

=−=+→

++=

++

++

Aplikasi kondisi awal yang kedua, )0()0( ++ ′= ydt

dv,

( )( ) ttjtj

ttjtjp

eeKeK

eeKjeKjdt

dy

dt

dy

αβ−β

αβ−β

α++

β−β+=

21

21

Kita akan memperoleh

( ) ( )

( ) ( ) 02121

2121

)0()0(

)0()0()0(

ByyKKKKj

KKKjKjyydt

dy

p

p

=′−′=+α+−β→

α++β−β+′=′=

++

+++

( ) ( )β

α−=−→=+α+−β

=+

j

ABKKBKKKKj

AKK

002102121

021

2

/)(

2

/)( 0002

0001

βα−−=

βα−+=

jABAK

jABAK

Solusi total menjadi

tp

ttjtjtjtj

p

ttjtjp

etAB

tAy

ej

eeABeeAy

eejABA

ejABA

yy

α

αβ−β+β−β+

αβ−β+

β

β

α−+β+=

−

β

α−+

++=

βα−−+

βα−++=

sin)(

cos

2

)(

2

2

/)(

2

/)(

000

00

0

000 000

(16.17)

A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal

sedangkan α dan β memiliki nilai tertentu (dalam rangkaian listrik

ditentukan oleh nilai elemen rangkaian). Dengan demikian solusi total

dapat kita tuliskan sebagai

( ) tbap etKtKyy

αβ+β+= sincos (16.18)


dengan Ka dan Kb yang masih harus ditentukan melalui penerapan

kondisi awal. Ini adalah bentuk solusi total khusus untuk persamaan

diferensial yang memiliki persamaan karakteristik dengan dua akar

kompleks konjugat.

Persamaan (16.8) menunjukkan bahwa bila persamaan karakteristik

memberikan dua akar kompleks konjugat, maka solusi persamaan

diferensial orde dua akan terdiri dari solusi khusus yp ditambah fungsi

sinus yang teredam.

Soal-Soal:


5)0( , 0)0( ; 054 c).

10)0( , 0)0( ; 044 b).

15)0( ,0)0( ; 0107 .a)

2

2

2

2

2

2

===++

===++

===++

++

++

++

dt

dvvv

dt

dv

dt

vd

dt

dvvv

dt

dv

dt

vd

dt

dvvv

dt

dv

dt

vd


10)0(

,5)0( ;)(100258 c).

10)0(

,5)0( ;)(1002510 b).

25)0(

,5)0( ; )(1002410 .a)

2

2

2

2

2

2

===++

===++

===++

+

+

+

dt

dvvtuv

dt

dv

dt

vd

dt

dvvtuv

dt

dv

dt

vd

dt

dvvtuv

dt

dv

dt

vd


0)0( ,0)0( , )( ] 1000[cos10086 .a)2

2

===++ ++

dt

dvvtutv

dt

dv

dt

vd

0)0( ,0)0( , )( ] 1000[cos10096 b).2

2

===++ ++

dt

dvvtutv

dt

dv

dt

vd

0)0( ,0)0( , )( ] 1000[cos100102 c).2

2

===++ ++

dt

dvvtutv

dt

dv

dt

vd

201

Bab 17

Koordinat Polar

Sampai dengan Bab-16 kita membicarakan fungsi dengan kurva-kurva

yang digambarkan dalam koordinat sudut-siku, x-y. Di bab ini kita akan

melihat sistem koordinat polar.

17.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

Pada pernyataan posisi satu titik P[xP,yP] pada sistem koordinat sudut-

siku terdapat hubungan

θ= sinP ry ; θ= cosP rx (17.1)

dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalah

sudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat pada

Gb. 17.1.

Gb.17.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar.

Dalam koordinat polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk menyatakan

posisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 17.1. dituliskan sebagai

P[r,θ].

17.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Di Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di

O[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu

222 )()( cbyax =−+−

P[r,θ]

θ[0,0] x

y

r

xP

yP


Kita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar dengan

mengganti x dan y menurut relasi (17.1), yaitu

222 )sin()cos( cbrar =−θ+−θ (17.2.a)

yang dapat dituliskan sebagai

( )( ) 0)sincos(2

0)sincos(2

0)sin2sin()cos2cos(

222

2222

2222222

=−++θ+θ−

=−++θ+θ−

=−+θ−θ++θ−θ

cbabarr

cbabarr

cbrbrarar

(17.2.b)

dengan bentuk kurva seperti Gb.17.2.a

Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] maka

persamaan (17.2.b) menjadi

0)cos2( =θ− arr (17.2.c)

Pada faktor pertama, jika kita mengambil 0====r , kita menemui titik

pusat. Faktor ke-dua adalah

0cos2 =θ− ar (17.2.d)

merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada

Gb.17.2.b.

(a) (b)

Gb.17.2. Lingkaran

Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola.

[0,0]

a

x

y

P[r,θ]

θ

r

b

[0,0]

a

x

y P[r,θ]

θ

r

203

Contoh: )cos1(2 θ−=r . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.17.3

yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati.

Gb.17.3 Kurva kardioid, )cos1(2 θ−=r

Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π,

r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2.

Contoh: θ= cos162r . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.17.4

Gb.17.4 Kurva θ= cos162r

Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π,

r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0.

Contoh: 2=θr . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat pada

Gb.17.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

θ

P[r,θ]

θ

y

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

r P[r,θ]


Gb.17.5 Kurva 2====θr

Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidak

benar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian

dengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendekati nol maka r mendekati ∞;

garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perhatikanlah bahwa

perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ

= π, 2π, 3π, 4π, dst.

17.3. Persamaan Garis Lurus

Salah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinat

polar adalah menggunakan relasi (17.1) jika persamaan dalam koordinat

sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan

lingkaran (17.2.a) menjadi (17.2.b) atau (17.2.c). Berikut ini kita akan

menurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung dari

bentuk / persyaratan kurva.

Gb.17.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l1 sejajar sumbu-x dan l2

sejajar sumbu-y.

Gb.17.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0].

Garis l1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini

harus memenuhi

r

θ O

y

x

l2

b r

θ O

y

x

l1

a

P[r,θ] P[r,θ]

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3 x

y

θ = π θ = 2π θ = 3π θ = 4π

r

θ

P[r,θ] y = 2

205

ar =θcos (17.3)

Inilah persamaan garis l1.

Garis l2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini

harus memenuhi

br =θsin (17.4)


Kita lihat sekarang garis l3 yang berjarak a dari titik asal dengan

kemiringan positif seperti terlihat pada Gb.17.7. Karena garis memiliki

kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l3, yaitu β

juga tertentu. Kita manfaatkan β untuk mencari persamaan garis l3. Jika

titik P harus terletak pada l3 maka

ar =θ−β )cos( (17.5)


Gb.17.7. Garis lurus l3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif.

Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (17.3) terlihat

bahwa persamaan (17.5) ini adalah bentuk umum dari (17.3), yang akan

kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita

lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif,

maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (17.5). Apabila

perputaran sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l4,

memiliki kemiringan negatif, seperti pada Gb.17.8., maka persamaan

garis adalah

ar =β−θ )cos( (17.6)

α

r

β

l3

a A

O

y

x

θ

P[r,θ]


Gb.17.8. Garis lurus l4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif.

17.4. Parabola, Elips, Hiperbola

Ketiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinat

sudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar.

Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah

menyimpang dari yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalah

rasio antara jarak suatu titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antara

titik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dan

garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada

waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan

pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola,

elips, dan hiperbola.

Perhatikan Gb.17.8. Jika es adalah eksentrisitas, maka

PD

PF=se (17.7)

Gb.17.8. Titik fokus dan garis direktriks.

Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka

r=PF

F

D

θ

r

k

x A B

y

direktriks

P[r,θ]

r

β

l4 a

O

y

x

θ

P[r,θ]

207

dan dengan (17.7) menjadi PDser = ; sedangkan

θ+=+== cosFBAFABPD rk

sehingga θ+=θ+= cos)cos( rekerker sss


θ−=

cos1 s

s

e

ker (17.8)

Nilai es menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan

peroleh.

Parabola. Jika 1=se , yang berarti PF = PD, maka

θ−=

cos1

kr (17.9)

Inilah persamaan parabola.

Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga.

Jika θ = π/2 maka r = k. Jika π=θ titik P akan mencapai puncak kurva

dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah

antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5.

Elips. Jika es < 1, misalnya 5,0=se , PF = PD/2, maka

θ−=

cos2

kr (17.10)

Inilah persamaan elips.

Perhatikan bahwa karena 1cos1 +≤θ≤− maka penyebut pada

persamaan (17.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu

mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P

mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π

maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F.

Hiperbola. Jika 1>se , misal 2=se , berarti PD2PF ×= , maka

θ−=

cos21

2kr (17.11)

Inilah persamaan hiperbola.


Jika θ mendekati π/3 maka r menuju tak hingga. Jika 2/π=θ maka r =

2k. Jika π=θ , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.

17.4. Lemniskat dan Oval Cassini

Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang

penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau

vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok

dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan.

Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique

Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat

di antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yang

menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin

ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.

Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan

situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik

yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan.

Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F1[a,π] dan F2[a,0]. Lihat

Gb.17.9.

Gb.17.9. Menurunkan persamaan kurva dengan

persyaratan PF1×PF2 = konstan

Dari Gb.17.9. kita dapatkan

( ) ( ) ( )θ++=

θ++θ=

cos2

cossinPF

22

2221

arar

rar

( ) ( ) ( )θ−+=

θ−+θ=

cos2

cossinPF

22

2222

arar

rar

Misalkan hasil kali 221 PFPF b=× , maka kita peroleh relasi

F1[a,π] F2[a,0]

P[r,θ]

r

θ θ = 0 θ = π

θ = π/2

209

( ) ( )

)cos21(2

)cos2(2

cos2cos2

22244

22244

22224

θ−++=

θ−++=

θ−+×θ++=

raar

arraar

ararararb

(17.12)

Kita manfaatkan identitas trigonometri

1cos2sincos2cos 222 −θ=θ−θ=θ

untuk menuliskan (17.12) sebagai

θ−+= 2cos2 22444 raarb (17.13)

Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (17.13)

ini dapat kita tuliskan

)1(2cos20 44224 karar −+θ−=

Untuk r > 0, persamaan ini menjadi

)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ= (17.14)

Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada

kondisi khusus (17.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau 2

21 PFPF a=× . Pada kondisi ini persamaan (17.14) menjadi

)2cos2(0 222 θ−= arr

Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua

memberikan persamaan

θ= 2cos2 22 ar

Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada

Gb.17.10.


Gb.17.10. Kurva persamaan (17.14), k = 1 = a.

Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1.

Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang

akan diperoleh terlihat seperti pada Gb.17.11.

Gb.17.11. Kurva persamaan (17.14), k = 1,1 & a = 1.

Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k =

0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah

seperti pada Gb.17.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah

menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planet

Saturnus.

θ = 0 θ = π

θ = π/2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

θ = 0 θ = π

θ = π/2

-0,6

-0,2

0

0,2

0,6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

211

Gb.17.12. Kurva persamaan (17.14), k = 0,8 & a = 1.

17.5. Luas Bidang Dalam Koordinat Polar

Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dan

dua garis masing-masing mempunyai sudut kemiringan α dan β. Lihat

Gb.17.12

Gb.17.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis.

Antara α dan β kita bagi dalam n segmen.

n

α−β=θ∆

Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara θ

dan (θ + ∆θ) ada suatu nilai θk sedemikian rupa sehingga luas sektor

lingkaran adalah

2/)(2 θ∆= kk rA

Luas antara θ = α dan θ = β menjadi

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

θ = 0 θ = π

θ = π/2

θ = α

θ = β

θ ∆θ

x

y


( )∑ ∑ θ∆θ=θ∆=αβ 2/)(2/)(22

kk frA

Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang

menjadi

[ ]

[ ]∫

∑∑β

α

→θ∆→θ∆αβ

θθ=

θ∆θ=θ∆=

df

frA k

2

2

0

2

0

)(2

1

2/)(lim2/)(lim

atau ∫β

ααβ θ= d

rA

2

2

(17.15)

Penutup

Bab-17 adalah bab terakhir tulisan ini. Penulis rasa cukup

ringan untuk dibaca. Sudah barang tentu untuk memahami

lebih jauh kalkulus pembaca perlu mempelajari buku-buku

referensi matematika yang memang ditujukan untuk

belajar matematika; bahkan mengikuti kuliah matematika.

213

I4DEKS

a

akar kompleks 198

akar nyata 195, 196

anak tangga 27, 187

antilogaritma 97

b

banyak 11, 12

c

cardioid 203

cosecan 72, 76, 81

cosinus 70, 74, 78, 85

cotangent 71, 75, 80

d

diferensial 166

domain 2

e

eksentrisitas 206

eksponensial 97, 98, 140,

163

elips 61, 207

f

fungsi 1

fungsi pemaksa 186, 187

g

garis lurus 15, 204

garis singgung 113, 118

geometris 55

gigi gergaji 32

h

hiperbola 63, 207

hiperbolik 100, 101, 164

i

implisit 7

integral 141, 143, 145, 147,

153, 156, 161, 166, 169, 176

inversi 77, 82, 136, 165

k

kekontinyuan 5

kemiringan 15

kondisi awal 185

kurva 2

l

lebar pita 88, 92

lemniskat 208

lingkaran 59, 202

linier 15

logarithma natural 95

logaritmik 133, 139

luas bidang 174, 211

m

mononom 37, 39, 41, 42, 48,

107, 161

nilai puncak 112

nilai rata-rata 160

numerik 141, 177

o

orde dua 193, 195

orde satu 179, 181, 183

oval cassini 210

214 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

p

parabola 58, 207

parametrik 14

pergeseran 16, 87

perpotongan 21

persamaan diferensial 179,

193

peubah 1

peubah-bebas 1, 12

peubah-tak-bebas 1

polar 13, 201

polinom 37, 43, 48, 110, 161

pulsa 29, 31

r

ramp 29, 31

rantai 127

rasional 124

rentang 2

s

secan 72, 76, 81

simetri 6

sinus 70, 73, 77, 85, 88, 188

spektrum 88, 91

t

tangent 71, 74, 79

tetapan 15, 161

trigonometri 69, 164, 165

tunggal 9

turunan 105, 136, 139

215

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

216 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Biodata Penulis

Nama: Sudaryatno Sudirham

Lahir: di Blora pada 26 Juli 1943

Istri: Ning Utari

Anak: Arga Aridarma

Aria Ajidarma.

1971 : Jurusan Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung.

1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung.

1974 : Tertiary Education Research Center – UNSW − Australia

1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis

1981 : INPT - Toulouse − Perancis; DEA 1982; Doktor 1985.

Mata Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran Listrik”; “Pengantar

Teknik Elektro”; “Pengantar Rangkaian Elektrik”; “Material

Elektroteknik”; “Phenomena Gas Terionisasi”; “Dinamika Plasma”;

“Dielektrika”; “Material Biomedika”.

Buku dan Artikel: “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, 2002,

2005; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi Susut Energi Jaringan

Distribusi”; Penerbit ITB, 2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan

Integral”; Penerbit ITB, Penerbit ITB, 2009, e-book 2010; “Analisis

Rangkaian Elektrik (1)”, e-book, 2010; “Analisis Rangkaian Elektrik

(2)”, e-book, 2010; ”Mengenal Sifat Material (1)”, e-book, 2010;

217

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

fungsi dan grafikfungsi dan grafik diferensial dan ... · pdf filegaris lurus. parabola,...

Documents