fungsi

04/21/23 1PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

Definisi : Fungsi dari A ke B adalah aturan yang

mengaitkan/memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Aturan :• Setiap anggota A harus habis terpasang dengan

anggota B.• Tidak boleh ada anggota yang dipasangkan lebih dari

satu anggota di B, seperti ini :

A B04/21/23

2PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

04/21/233

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan di B.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.

A BILUSTRASI FUNGSI

04/21/234


a)

04/21/235


04/21/236


Fungsi Satu-satu (Injektif)Fungsi Satu-satu (Injektif)Jika setiap elemen yang berbeda di Domain mempunyai peta Jika setiap elemen yang berbeda di Domain mempunyai peta yang berbeda di Kodomain, jika xyang berbeda di Kodomain, jika x11≠x≠x22 maka f(x maka f(x11)≠f(x)≠f(x22) atau jika ) atau jika f(xf(x11)=f(x)=f(x22) maka x) maka x11= x= x22. .

Fungsi Onto/Pada (Surjektif) Fungsi Onto/Pada (Surjektif) Jika setiap anggota di Kodomain memiliki pasangan pada Jika setiap anggota di Kodomain memiliki pasangan pada domain, Rdomain, Rff = K = Koo. . ((∀y∈B)(∃x∈A) . y = f(x)

Fungsi Satu-satu dan Pada (Bijektif) Fungsi Satu-satu dan Pada (Bijektif) Jika f merupakan fungsi injektif dan surjektif (Korespondensi Jika f merupakan fungsi injektif dan surjektif (Korespondensi satu-satu) satu-satu)

Fungsi Into/Ke dalam Jika ada anggota di Kodomain yang tidak memiliki pasangan/prapeta di domain.

04/21/237PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 04/21/238

A BA B

f. surjektifBukan f. surjektif,tetapi merupakan f. into

A B

f. satu-satu

A B

Bukan f. satu-satu

f. bijektif (korespondensi satu-satu)

1. Apakah fungsi f(x) = x2 dari Real ke Real bersifat surjektif ?.Jawab : Ambil y = f(x) = - 1 maka x2 = - 1 sehingga x = i (non-Real).

Karena x ∉ Real, maka f(x) = x2 bukan fungsi surjektif.

2. Apakah fungsi linier y = h(x) = x – 3 dari R ke R surjektif ?.Jawab : y = x – 3 maka x = y + 3. Untuk setiap bilangan real y akan ada bilangan real x yang memenuhi. Jadi h(x) surjektif.

3. Apakah fungsi eksponen g(x) = 2x-1 dari R ke R merupakan fungsi yang bersifat surjektif ?

Jawab : y = 2x-1 maka x = 2log y + 1. Ternyata tidak semua nilai real y akan didapatkan nilai real x. Misal y = 0. Jadi g(x) bukan surjektif.

4. Apakah fungsi k(x) = x3 + 1 dari Domain bilangan Real ke Kodomain bilangan Real merupakan fungsi surjektif ?

Jawab : y = x3 + 1 maka x = (y – 1)1/3. Untuk setiap y R akan ∈didapatkan x R. Jadi k(x) merupakan fungsi surjektif.∈

Contoh Soal :

04/21/23PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA9

Jelaskan sifat-sifat yang dipunyai fungsi berikut ?

f(x)=x+2

f(x) = |x-1|1.

f(x)=x2-5x+10

f (x) x2.

3. f : R R dengan f(x) = 2x3

4. f : R R+ dengan f(x) = x2

5. f : R R dengan f(x) = log x6. f : R R dengan f(x) = 2 sin x + 2

04/21/2310



Domain = Daerah asal fungsi sehingga fungsi mempunyai hasil pada sumbu XRange = Daerah hasil fungsi pada sumbu Y

1 0

0

2 0 0

0

. y f(x) D {x|f(x) ,x Real}R {y|y ,y Real)

. y f(x) g(x) D {x|f(x) ,x Real} {x|f(x) ,x Real}R {y|y ,y Real)

3

04

3 4

k. y

f(x)D {x|f(x) ,x Real}

g(x). y

f(x)Range pada soal no. dan perlu pembahasan khusus.


5 0

5 66

k. y D {x|f(x) ,x Real}

f(x)Range pada bentuk no. dan

g(x). y memerlukan pembahasan khusus

f(x)

7 0 0

0

f(x) f(x). y D x| dan g(x) ,x Real

g(x) g(x)R {y|y ,y Real}

8 0 0 1

9

0

f(x)

f(x)

. y logg(x) D {x|f(x) ,g(x) ,f(x) }R {y|y Real}

. y a D {x|x Real}R {y|y ,y Real}


2 4y x Tampak bahwa daerah asal (Domain)adalah D = {x|x ≥ 2, x R} ∈dan daerah hasil nya tidak pernah bernilai negatif. Sehingga R = {y| y ≥ 0, y∈R}

2

3 2

2

2

1 4 2

2 4

3 2 2 8

4 4 7 10

25

2

Tentukan Domain dan Range pada fungsi dengan persamaan sbb

. y x

. y x

. y x x x

. y x x x

x. y

x x


2

4

4y

x

Dari persamaan fungsi tampak bahwa penyebut bisa ditentukan harga nolnya sehingga ada asimtot grafik.•Asimtot tegak x = ±2 •Asimtot datar y = 0, karena

2

40

4xy Lim

x

Koordinat titik ekstrim dapat ditentukan dengan turunan, sbb :

2 12

2 2

2

44 4

44 4 2 0

80

40

y (x )x

y' (x ) . xx

xx


2

4

1y

x

Dari persamaan fungsi tampak bahwa penyebut tidak bisa ditentukan harga nolnya sehingga tidak ada asimtot tegak Asimtot datar y = 0, karena :

2

40

1xy Lim

x

1. Fungsi aljabar a. Fungsi Irrasional (Variabel nya di bawah tanda akar)b. Fungsi Rasional (Variabel fungsi memuat pangkat bilangan bulat)

i Fungsi Polinom iii Fungsi Kubik v. Fungsi Linearii Fungsi Pangkat iv. Fungsi Kuadrat vi. Fungsi Pecahan

2. Fungsi Transendena. Fungsi Eksponen d. Fungsi Siklometrib. Fungsi Logaritma e. Fungsi Hiperbolik c. Fungsi Trigonometri

3. Fungsi Khususa. Fungsi Konstan c. Fungsi Modulusb. Fungsi Identitas d. Fungsi Parameter

4. Fungsi Genap – Ganjil5. Fungsi Periodik6. Fungsi Lantai (floor function) Bil Bulat terbesar yang kurang dari/sama

dengan x7. Fungsi Atap (Ceil Function) Bil Bulat terkecil yang lebih dari/sama

dengan x04/21/23

16PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

1. f (x) x 2

22. f (x) x 4

x 1 2 3 4 6 10

y ? 0 1 1,4 2,4 3,2 2

x ±1 ±2 ±4 ±6 ±8

y ? 0 3,5 5,6 7,7

2-2

04/21/2317


n n 1 0n n 1 0

0

1

22 1 0

33

Bentuk umum fungsi rasional :

f (x) a x a x ... a x

Jika :

n 0 merupakan fungsi Kons tan f (x) a

n 1 merupakan fungsi Linear f (x) a x

n 2 merupakan fungsi Kuadrat f (x) a x a x a

n 3 merupakan fungsi Kubik f (x) a x a

22 1 0

nn 0

x a x a

Bentuk umum Fungsi Pangkat adalah:

f (x) a x a

04/21/2318


Fungsi Linear

f (x) 2x 4

x 0 2

y -4 0

2

-4

Fungsi Kons tan

f (x) 4

4

x -2 -1 0 1 2 3

y 4 4 4 4 4 4

04/21/2319


(1)(1)

(2)(2)

PergeseranPergeseran::1.1. Dari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x) + qDari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x) + q

• q > 0 jika grafik semula di geser ke atas q satuanq > 0 jika grafik semula di geser ke atas q satuan• q < 0 jika grafik semula di geser ke bawah q satuanq < 0 jika grafik semula di geser ke bawah q satuan

2.2.Dari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x+p)Dari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x+p)• p > 0 jika grafik semula di geser ke kiri p satuanp > 0 jika grafik semula di geser ke kiri p satuan• p < 0 jika grafik semula di geser ke kanan p satuanp < 0 jika grafik semula di geser ke kanan p satuan

04/21/2320



6

-22

y = f(y)

g = f(y

-4)+2 Grafik g didapat dari grafik f

dengan pergeseran horisontal kekanan 4 satuan lalu ke atas 2 satuan. Tentukan persamaan fungsi f dan g.

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya memotong sumbu X di titik A(-4,0) dan B(6,0) serta memotong sumbu Y di B(0,-6).

2. Grafik parabola dengan persamaan y = 2(4x – 1)2 – 8. Tentukan persamaan yang terjadi jika :a. Grafik parabola tersebut di naikkan vertikal 2 satuan lalu digeser

horisontal ke kiri 1 satuan.b. Sumbu X di geser ke bawah 3 satuan

3. Parabola terbuka ke kanan dengan persamaan x = (y – 2)(2y + 6). Tentukan : a. Gambarlah grafik parabola tersebut.b. Koordiant titik potong parabola dengan sumbu Y dan X.c. Koordinat titik balikd. Persamaaan parabola jika parabola tersebut di atas di geser

vertikal ke atas 4 satuan lalu di geser horisontal ke kiri 2 satuan.4.

04/21/2322



Jika suatu problem bisa dinyatakan dalam model fungsi kuadrat maka kondisi ekstrim (Maksimum/minimum) persoalan tersebut memenuhi sifat fungsi kuadrat yaitu mempunyai koordinat titik balik P(xP,yP) dengan :1 2P P

x x b Dx dan y

2 2a 4a

Sebuah Contoh :Seorang petani mempunyai pagar sepanjang 24 m dan bermaksud memagari kebunnya yang berbentuk persegi panjang. Salah satu sisi lapangan merupakan dinding luar sebuah pabrik. Berapa ukuran kebun yang berhasil ia pagari ?


Penyelesaian : Dengan tujuan memperoleh intuisi permasalahan tersebut, bisa dilakukan percobaan sbb

22 m222 m270 m270 m2

40 m2

40 m222 m

1 m

10 m

7 m

4 m

10 m10 m 7 m

1 m

Secara umum :

LL

x

yyL = x.y dengan 2x + y = 24.L = x.(24 – 2x) = 24x – 2x2

2 2

max

D b 4a.c 24 072

4a 4a 8

L

Note : Alternatif cara lain adalah menggunakan differensialL’ = 24 – 4x = 0 X = 6 L = 24(6) – 2(6)2 = 72


Soal :1.Gambarlah lalu tentukan daerah hasil (Range) pada

fungsi kuadrat f(y) = 4x – x2.2.Tentukan nilai k pada f(x) = (k+4)x2 + 2(k – 1)x + k –

1 agar grafiknya selalu berada di atas sumbu x ( definit positif).

3.Seutas kawat dengan panjang L dipotong menjadi 2 bagian. Potongan pertama dibentuk menjadi persegi dan potongan kedua menjadi segitiga sama sisi. Tentukan ukuran tiap potongan agar jumlah luas persegi dan segitiga menjadi maksimum (dalam L).

4.Tentukan luas terbesar persegi panjang yang dapat di gambar di dalam sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegak masing-masing 6 cm dan 8 cm.


5. Gambar di samping menunjukkan penampang melintang ( tampak depan) sebuah terowongan berbentuk parabola dengan lebar alas 6 m dan ketinggian 8 m. Sebuah truk dengan tinggi 5 m dan lebar 3 m hendak memasuki terowongan. Tentukan apakah truk bisa melintasi terowongan tersebut ?

3 23 2 1 0Bentuk umum: f (x) a x a x a x a

Bentuk dasar fungsi kubik adalah f(x) = x3 dengan grafik sbb :

f(x) = x(x+4)(x-2) juga merupakan fungsi kubik, dengan grafik :

x -2 -1 0 1 2

y -8 -1 0 1 8

x -4 0 2 -5 -2 1 3

y 0 0 0 -35

8 -5 21

-4 20

04/21/2327


1. y = 2x

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2. y = 2x–1 + 4

Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0.

Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4

½ 4,5

x -2 -1 0 1 2

2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2

04/21/2328



f(x) = Sin α , f(x) = Cos α , f(x) = Tan α

f(x) = Arc Sin α , f(x) = Arc Cos α , f(x) = Arc Tan α

x x x x1 1f(x) Sinhx ,f(x) Coshxe e e e2 2

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA04/21/2330

y Sinh x

y Cosh x

1-1

2

2

1-1

2

1-1

2

2


Bentuk Umum f(x) = | x |, dengan perluasan bentuk f(x) = | u | dan u merupakan fungsi dalam variabel x.Contoh : |-4| = 4 ; |-0,025| = 0,025 ; |0| = 0

Pengertian dan Definisi :

1. y = |x|y = x, jika x ≥ 0

y = - x, jika x < 0 2. y=| u |

y = u(x), jika u(x) ≥ 0

y = - u(x), jika u(x)<0

u merupakan fungsi,misal :1.u = 2x – 4 2.u = x2 – 4x 3.u = t(t – 2)4.u = sin x5.dll


y = | x – 4 |

Gambarlah grafik y = x – 4 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x sehingga semua grafik tidak ada yang berada di bawah sumbu x.

4

- 4

4


y = | x2 – 2x – 8 |

Gambarlah grafik y = x2 – 2x – 8 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x terhadap sumbu x.

y = x2 – 2x – 8 = (x+2)(x–4)a.Titik potong dg sb x (y = 0), maka x = - 2 atau x = 4b.Titik potong dg sb y (x =0), maka y = - 8 c.Titik balik (1,-9)

-2 4


y = x2 – | 4x | – 12

Gunakan definisi fungsi modulus untuk menggambar grafik dengan bentuk persamaan di atas. Perhatikan bahwa bagian fungsi dengan tanda mutlak hanya pada | 4x | saja, sehingga :

y = x2 – | 4x | – 12 y=x2–4x–12 utk x ≥ 0y=x2+4x–12 utk x < 0

Dengan demikian ada 2 fungsi kuadrat yang di gambar lalu sesuaikan dengan domainnya.

-6 2 6-2

Operasi-operasi seperti pada bilangan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan bisa diterapkan pada dua fungsi dengan catatan bahwa Domain hasil operasi merupakan irisan kedua domain fungsirisan kedua domain fungsi

2

Soal :

1.

a. F(x) f (x) g(x)

g(x)b. F(x)

f (x)

c. F(x) g(x) f (x)

2Jika f(x)= x-4 dan g(x)=x , tentukan fungsi F dandomain F jika:

04/21/2335


2

2 2 2

f (x x)2. ....

f (x 1)

f (x) f (x ) - 2f (x) (f g)(x) (f - g)(x) g (x)

Jika f(x) = bx maka

3. Diketahui f(x) = 1-x dan g(x) = x + 2.Tentukan rumus fungsi yang dinyatakan oleh

4. DIketahui persamaan f(x+1)=

2

2

2

2

f (x) .Jika f (1) 2.

Tentukan nilai dari f (4).

x 5x5. Tentukan nilai x agar f (x) terdefinisi.

1 x

log x 26. f (x) f (x) f

1 2 log x xJika , tentukan nilai

04/21/2336


Mesin fMesin fMesin fMesin f Mesin gMesin gMesin gMesin gInputInputInputInput OutpuOutputt

OutpuOutputt

Gabungan Gabungan Mesin f dan gMesin f dan g

Gabungan Gabungan Mesin f dan gMesin f dan g

InpuInputt

InpuInputt

OutpuOutputt

OutpuOutputt

Gabungan mesin f dan g dapat diartikan sebagai Gabungan mesin f dan g dapat diartikan sebagai fungsi komposisi yang ditulis g○f atau g(f(x)).fungsi komposisi yang ditulis g○f atau g(f(x)).

04/21/2337



x

Mesin f

f(x)

Mesin g

g(f(x))

misal :mesin fungsi f adalah f : x 2x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x2 + 1Jika nilai x = 3 maka :mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5

Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut :(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5

Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif.

f ○ g ≠ g ○ f

lebih jelas …..


2 11 1

11

1

. Untuk f(x) x dan g(x) , tentukan :x

a. f g untuk xb. (g f)(x ) ....c. (g g)(x) ....d. daerah asal (g g f)(x)

12 2

2. Untuk f(x) x dan g(x) , tentukan :

xa. (f g)(x)b. h(x), jika h(x) (g f)(x) (f g)(x)c. daerah asal (g g)(x)d. daerah asal (ff )(x)


2 2

2 2

22 2

2 2

1

1 1 1 2 21 1

1 1 2 1 2 1

1 11

1 1 21 1

11 2 2 3

1 1 1 11 21 211 1

Jawab No. :

x xa. f g(x) f

x x x x x x

b. g f(x) g x maka :x x

(g f)(x )(x ) x x

xc. (g g)(x) g g(x) g

xx xx x

d. (g g f)(x) g g f(x) 2

22 2

2

2 2

1 1 21

12 312

3 0 3

xg g x g

x xx

Untuk setiap x akan berlaku x karena nilai xMaka Domain {x|x Real}


2

1 1 5 22

2 2 2

12

2 2

1 1 212 5 222

2 2 2

2 0 2 2 2 0 2 2

2 4 6

Jawab No. :

xa. (f g)(x) f g(x) f

x x x

b. (g f)(x) g f(x) g xx

xc. (g g)(x) g g(x) g

x xx

d. (ff )(x) ff (x) f x x

x maka x dan x x

xSehingga Do

x

6main (ff )(x)adalah {x|x ,x Real}

3. Diketahui f (x) x dan g(x) 4.

Tentukan:

a.(g f )(4) ...

b.(f g)(4) ...

c.(g f )(x) ...

d.(f g)(x) ...

f(x)

g(x)

Mengapa pada soal b tidak ada hasil ? Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal c ?Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal d ?Kesimpulan :

Fungsi f dan g dapat di komposisi (f o g)(x) jika Rg ∩ Df ≠ ∅

04/21/2342


SOALSOAL : :

2

1.Tentukan :

1 1(i) f (ii). f f (x) (iii) f

x f (x)

x xJika: a. f (x) b.f (x)

x 1 x 1ax b

2.Andaikan : a. (x) , buktikan bahwa (x) xcx ax 3

b. (x) , buktikan bahwa (x) xx 1

3. Jika (fog)(x) 3x 6x 4 dan g(x)

2

2

22

x 2x, tentukan f (x).

4.Jika (fog)(x) 3x 6x 4 dan f (x) 3x 4, tentukan g(x).

x - 4x 55. Jika f (x) x 1 dan (fog)(x) ,

x - 2tentukan rumus fungsi untuk f (x - 3).

04/21/2343



6. Jika (f f )(x) 2 2 x dengan x 2. Tentukan f (x).

17. Jika (f f )(x) ,dengan x 0 1. Tentukan f (x).

11

xx 4 17

8. Jika(g g)(x) dengan x , tentukan g(x).4x 17 4


aa bb

ff

gg

Jika ada fungsi g sedemikian hingga Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f fungsi invers. f -1-1(x) = g(x).(x) = g(x).

Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS.


Fungsi f(x) mempunyai fungsi invers jika f(x) merupakan fungsi satu-satu.


2

22 2

f (x) x 2x

f (x) x 2x 1 1 y 1 x 2x 1 y 1 x 1

Maka x 1 y 1 sehingga didapatkan 2hasil dari fungsi f (x)sbb :

(i) Untuk x 1 0 maka x 1 y 1 x y 1 1

x 1 f (y) y 1 1

f (x) x 1 1

(ii)Untuk x 1 0 maka x 1 y 1 x y 1 1

x 1 f (y) 1 y

2

1

f (x) 1 x 1

Jadi : f (x) x 2x tidak mempunyai fungsi invers, tetapi mempunyai

2 invers fungsi yang ma sin g ma sin g sesuai dengan domainnya

Keterangan :1.Bijektif adalah syarat perlu dan cukup agar suatu fungsi memiliki fungsi invers. Jadi injektif atau surjektif saja belum cukup bagi invers suatu fungsi untuk menjadi fungsi invers.2.Grafik Fungsi Invers f-1 dan fungsi f simetri terhadap garis y = x.

Contoh :

2

1. Fungsi f : R R dengan x 2 .

Apakah fungsi f bijektif ?

Apakah f mempunyai fungsi invers ?

2. Diketahui f : R R dengan f (x) x 4

Apakah f mempunyai fungsi invers ?

f(x) =

04/21/2348


2

2

2

2

xdengan x 2

2 x

b. f (x) x 4

2. Tentukan Domain sehingga fungsi berikut

mempunyai inversnya

a. f (x) x 1

b. f (x) (x 1) 4

c. f (x) x 3x

d. f (x) 2x 4x 1

1. Tentukan fungsi invers dari :

a. f(x) =



2

10 3 130.

f (x 3) f (10 x) x

1. Suatu fungsi memenuhi persamaan berikut

+ = Tentukan nilai f(7).

10 3 130Jawab : (1)

f (0) f (7) 9

10 3 130(2)

f (7) f (0) 100

Untuk x=3 maka

Untuk x=10 maka

Eliminasi (1) dan (2) akan didapat f(7) = - 3

1f ( x)

x2. Misal f suatu fungsi yang memenuhi f(x)+ =2x

Untuk setiap bilangan Real x 0, tentukan nilai dari f(2).

24

Jawab :Substitusi x 2 dan x 2 sehingga didapat f (2)5

x

5x,

5

3. Misalkan f(x) didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil

yang lebih besar dari dan g(x) didefinisikan sebagai bilangan bulat

terbesar yang kurang dari tentukan nilai dari g(18) + f(102).

18 102Jawab : 4 20 24

5 5 g(18) + f(102) =

2

2

x, .....

x 14. Jika f(x) maka 51 f(50) f(49) f(48)....... f(2)

Jawab :100


(i) f (x) f (1- x) 11

(ii) f (1 x) 3 f (x)

Tentukan nilai dari f (x) f (-x)

5. Fungsi f didefinisikan pada himpunan bilangan Real R. Untuk setiap bilangan Real x berlaku :

Jawab:Substitusi persamaan (i) dengan -x diperoleh f(-x)+f(1+x)=11. Eliminasi dengan (ii) didapatkan f(x)+f(-x)=8.

xDiketahui fungsi bilangan Real f (x) , x 1. Nilai dari

1- x1 1 1

f (2007) f (2006) ..... f (2) f ..... f f .....2 2006 2007

6.

Jawab : 2006


fungsi

Documents