3.1 Pendahuluan

Dalam mempelajari struktur kristal di dua bab terakhir, kita telah mengasumsikan bahwa

atom diam pada kedudukan kisi nya. Atom, bagaimanapun, tidak cukup diam, tetapi berosilasi

di sekitar posisi kesetimbangan sebagai akibat dari energi panas. Mari kita sekarang membahas

secara rinci ini getaran kisi, dan pengaruh mereka terhadap sifat termasuk thermal, akustik, dan

optik kristal.

Dalam bab ini pertama-tama kita akan mempertimbangkan getaran kristal dalam batas

jangka panjang gelombang elastis, di mana kristal dapat dianggap sebagai media terus menerus,

dan kami akan membandingkan berbagai model yang digunakan untuk menggambarkan panas

yang spesifik. Hal ini disahkan dengan eksperimen yang dihasilkan hanya melalui penggunaan

konsep kuantum. Jadi kita akan memperkenalkan fonon, unit kuantum gelombang suara. Ini

diikuti dengan diskusi getaran kisi, kemudian mengenai sifat kisi diskrit, dan kita juga akan

membahas tentang konduksi panas melalui kisi-kisi

Pengamatan langsung dari gelombang kisi oleh hamburan radiasi (seperti x-ray) yang

juga akan dibicarakan. Hal ini diikuti oleh aspek yang sama menariknya pada gelombang kisi di

wilayah microwave. Pada akhirnya kita akan membahas refleksi dan daya serap inframerah

cahaya oleh getaran kisi dalam kristal ionic.

3.2. Gelombang Elastis

Zat padat terdiri dari atom-atom diskrit, dan sifat kediskritan yang harus

diperhitungkan dalam pembahasan getaran kisi. Namun, ketika panjang gelombang sangat

panjang, salah satu mungkin diabaikan sifat atom dan memperlakukan zat padat sebagai sarana

getaran yang berkelanjutan yang dikenal sebagai gelombang elastic.

Mari kita periksa propagasi pada sebuah gelombang elastis pada sampel dalam bentuk

bar panjang (Gambar 3.1) Misalkan adalah gelombang longitudinal. Dan menunjukkan

perpindahan elastis pada titik x dengan u (x). Regangan di definisikan sebagai

, ……………………………………………………… (3.1)

yang mana merupakan perubahan panjang per satuan panjang. S (Rapatan) didefinisikan

sebagai gaya per satuan luas, dan juga merupakan fungsi dari x. Menurut Hukum Hooke,

rapatan sebanding dengan regangan

S= Ye, …………………………………………………………..(3.2)

Dimana Y elastis adalah konstan , Y dikenal sebagai modulus young.

x x+dx

Untuk menguji dinamika bar, kami memilih sembarangan segmen dx panjang,

seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menggunakan hukum kedua Newton, kita

dapat menulis untuk pergerakan segmen ini,

= A’,…………………………..(3.3)

Dimana ρ adalah massa jenis dan A’ adalah garis area bar. Bagian yang terletak di

kiri adalah pengukur massa perpindahan , ketika berada di kanan adalah hasil dari gaya total

dari rapatan pada akhir bagian. Ditulis S(x + dx)-S(x)=ӘS/Әx dx untuk bagian yang pendek,

disubstitusi untuk S dari(3.2)dan kemudian digunakan(3.2) untuk regangan, persamaan nya

dapat ditulis kembali sebagai persamaan dinamika yakni

- - = 0,…………………………………………………… (3.4)

Dimana diketahui dengan baik bahwa persamaan gelombang dalam satu dimensi

Kita sekarang menambahkan solusi dari rumus dari propagansi gelombang yaitu

U=Aei(qx-ωt), ………………………………………………………(3.5)

Dimana q, tentu saja adalah nomor gelombang (q=2π/ ), ω adalah frequensi

gelombang dan A adalah amplitudo. Subtitusi ke dalam(3.4)diperoleh

ω=vSq,……………………………………………………………..(3.6)

dimana

vs= …………………………………………………………(3.7)

Hubungan (3.6) berhubungan dengan frekuensi dan jumlah gelombang yang diketahui

sebagai hubungan dispersi. Karena kecepatan gelombang sebanding denga ω/q, pada

kenyataannya diketahui dari teori gelombang, yang diketahui bahwa υs konstan pada (3.6)

sebanding dengan kecepatan. Ini dapat ditunjukkan pada tingkat bahan dari medium pada (3.7).

Gelombang yang paling dikenal adalah gelombang suara.

Dari gambar 3.2 menunjukkan hubungan dispersi untuk gelombang elastis. itu adalah

garis lurus yang lereng adalah sama dengan kecepatan suara. Jenis hubungan dispersi, dimana ω

adalah hubungan garis lurus ke q, yang dikenal oleh gelombang familiar . misalnya, sebuah

gelombang optik yang berjalan dalam vakum memiliki hubungan dispersi ω = cq, di mana c

adalah kecepatan cahaya. gelombang suara dalam cair dan gas-gas memenuhi hubungan yang

serupa.

Gambar 3.2. Curva disperse pada gelombang elastis

Penyimpangan dari hubungan linear sering dilakukan, tetapi dan ini dikenal sebagai

dispersi. kita akan lihat dalam bagian 6, misalnya, bahwa dampak sifat kediskritan kisi adalah

ω

ω=υs q

q0

untuk memperkenalkan sejumlah besar dispersi ke kurva dispresion dari gambar 3.2, terutama

jika panjang gelombang sangat pendek untuk menjadi sebanding dengan jarak interatomik.

Pada rumus (3.7) dapat digunakan untuk evaluasi Modulus Young. Pengukuran

menunjukkan bahwa nilai tipical pada bahan padat υs= 5x105 cm/s dan ρ=5 g/cm3, yang mana Y=

5 x (5x105)2 = 1.25 x 1012 g/cm s2.

Kita telah memberikan perlakuan gelombang longitudinal, tetapi tipe yang sama juga

berlaku untuk analisis melintang, atau gelombang geser. ini memperkenalkan geser elastis

konstan, analog dengan modulus muda dan kecepatan gelombang geser terkait dengan itu dengan

persamaan yang mirip dengan (3,7). dua konstanta elastis maka dapat digunakan untuk

menggambarkan propagasi gelombang elastik pada zat padat .

Secara tersembunyi diasumsikan bahwa bahan padat adalah isotrops. Walaupun

demikian, Kristal adalah anistropic dan efek dari anistropic pada bahan-bahan elastic telah di

demonstrasikan. Pada umumnya untuk memperkenalkan elastis konstan dari dua yang

dibutuhkan untuk menjadi padat isotropik. Pertimbangan menunjukkan simetris bagaimanapun,

bahwa banyak dari konstanta adalah interelate, fakta yang mengakibatkan penurunan substansial

dalam jumlah konstanta elastis independen. Misalnya, dalam kasus penting dari suatu kristal

kubik, dapat ditunjukkan bahwa hanya tiga konstanta independen diperlukan. mereka

dilambangkan dengan C11, C12 dan C44. yang berkaitan C11 konstan tegangan tekan dan regangan

sepanjang arah [100], misalnya x-sumbu, sedangkan C44 berkaitan tegangan geser dan regangan

pada arah yang sama. Berkaitan dengan C12 konstan tegangan tekan dalam satu arah untuk

regangan di berbagai tempat , ini mungkin, misalnya, menjadi-x dan y-arah. tiga konstanta C11,

C12 dan C44 yang ditentukan dengan mengukur kecepatan suara di arah tertentu dalam kristal.

dapat ditunjukkan, misalnya, bahwa kecepatan gelombang longitudinal dan geser sepanjang arah

[100] adalah, masing-masing dan , yang ditemukan pada basis pada (3.2). C12

dapat ditentukan dari kecepatan dari gelombang longitudinal di [111] arah, yang mana

ditemukan menjadi . Siapapun yang tertarik dalam pembahasan

selanjutnya dari topik ini harus membaca perlakuan yang sangat baik dalam buku Kittel.

Pencacahan Mode; Kepadatan Tetap Dari Satu Medium Kontinyu

Mempertimbangkan gelombang elastis di bar panjang gambar 3.1, di mana gelombang itu

bergerak dalam satu dimensi saja. Solusi telah ditulis dalam 3,5. yang mana kami telah

menghilangkan faktor temporal, karena tidak relevan dengan diskusi ini. Sekarang kita harus

mempertimbangkan dampak kondisi batas pada solusi (3,8). kondisi batas ditentukan oleh faktor

eksternal membatasi diterapkan pada ujung bar. jenis kondisi batas yang kita akan menemukan

yang paling nyaman, dan yang digunakan di seluruh buku ini, dikenal sebagai kondisi batas

periodik. dengan ini kita berarti bahwa ujung kanan bar dibatasi sedemikian rupa sehingga selalu

dalam keadaan yang sama dari osilasi sebagai ujung kiri. Seolah-olah bar itu cacat menjadi

bentuk melingkar sehingga ujung kanan bergabung kiri. mengingat bahwa panjang bar adalah L,

jika kita mengambil asal sebagai di ujung kiri, kondisi periodik berarti bahwa:

dimana u adalah solusi yang diberikan pada (3.8). jika kita subsitusikan (3.8) ke (3.9), maka akan

di dapat:

Persamaan ini memaksakan kondisi pada nilai-nilai diterima dari q; hanya nilai-nilai yang

memenuhi (3.10) diperbolehkan. mencatat bahwa setiap n bilangan bulat, kita

simpulkan dari (3.10) bahwa nilai diperbolehkan adalah

dimana n = 0,±1, ±2, dll. Kapan nilai-nilai ini direncanakan sepanjang pada sebuah q-axis,

mereka membentuk satu dimensi secara teratur , yang ditunjukkan di dalam gambar 3.3. jarak

antara nilai- nilai adalah 2π/.. Ketika panjangnya adalah besar , mengatur jarak menjadi kecil

dan nilai- nilai tersebut membentuk suatu quasi-continuous mata jala.

origin

Gambar 3.3. Harga q yang diperbolehkan

Masing-Masing q-value ( 3.11), atau masing-masing titik di (dalam) figur 3.3,represents

suatu ragam getaran. Ira[lah kita memilih suatu interval sewenang-wenang dq di (dalam) q-space

dan men/cari banyaknya gaya [yang] q siapa tiduran interval ini. Kita mengasumsikan di sini

bahwa L besar, sedemikian sehingga poin-poin adalah quasi-continuous; ini benar, tentang

course,for [adalah] object yang makroskopik dengan mana kita sedang berhadapan. Karena

pengaturan jarak antar[a] poin-poin adalah 2π/L banyaknya gaya adalah

,…………………………………………………………..(3.12)

Tetapi q dan frekwensi w adalah saling berhubungan via hubungan tebaran, dan kita

boleh dengan baik mencari banyaknya gaya di (dalam) cakupan frekwensi dw berbaring antar[a]

( w,w+ dw). Kecepatan tetap g(w) digambarkan g(w itu seperti (itu) ) dw= ( L/2) dq,or g(w)=

( L/2 )/( dw/dq). Kita tidak menggambarkan 3.4, bagaimanapun itu menghitung g(w) kita harus

meliputi gaya berbaring di (dalam) hal negatif [itu] q-region seperti halnya di (dalam) hal positif

daerah. Yang terdahulu menghadirkan ombak yang bepergian kepada yang ditinggalkan, dan

yang belakangan ombak bepergian di sebelah kanan. Efek akan mengalikan di atas ungkapan

untuk g(w) dengan suatu faktor dua orang. Itu adalah.

Ini yang hasil umum untuk kasus dimensional, dan kita lihat [bahwa/yang] rapat keadaan

[itu] g(w) menjadi yang ditentukan oleh hubungan tebaran [itu]. Karena hubungan [yang] yang

linier Exampel ( 3.6) dw/dq= V dan oleh karena itu:

yang mana adalah a konstan tidak terikat pada w.

Gambar 3.4 Penyebutan satu per satu gaya. pembubaran Kurva adalah terdiri atas dua segmen:

w= Vsq dan w= - Vsq. Yang terdahulu menghadirkan ombak bepergian di sebelah kanan, yang

belakangan ombak yang bepergian kepada yang ditinggalkan.

Sekarang mari kita meluas hasil kepada ke tiga kasus dimensional. solusi gelombang/lambaian

Analisator untuk ( 3.8)

Dimana pengembangan diuraikan oleh voktor gelombang q, [yang] arah siapa

menetapkan mereka yang dari perkembangbiakan dan [yang] siapa penting/besar adalah

sebanding kepada kebalikan [itu] wavelenght. Di sini lagi kita harus menanyakan ke dalam efek

dari syarat batas. Untuk kepentingan kesederhanaan, mari kita mengasumsikan suatu contoh

berbentuk kubus [yang] tepi siapa L. Dengan mengesankan syarat batas berkala, orang

temukan [bahwa/yang] nilai-nilai [yang] yang diijinkan q harus mencukupi kondisi.

Pada gambar 3.5 nilai-nilai [yang] yang diijinkan q untuk suatu gelombang/lambaian

yang bepergian di (dalam) 3 dimension(only potongan melintang di (dalam) Qx,Qy naik pesawat

terbang di (dalam) ditunjukkan) Naungi kulit/kerang lingkar digunakan untuk menghitung gaya

ω

dω