!"#$%&"'()$"*

!"#"$%&'%(&)%*%(+!"#,-./0

*1223&*45647428&9:#;:+<4564742=>23:4;:?<0

)@AB@%9&#(C*"&!"#"$%!%$CD(%#&9%(E9%("$%&F&"D9C&)EGBE(%HC%G&%D%9

CG"IE@#"(%#&GEBE@"&JABJ%$%@(%

!!

!"#$%&!'(')&*+,-$.-

!"#$%&"&'

("))*+(,&-,.,)

!!

/0,$+12+1$+,

34%$5

!6!"#$%&'(")*"+(,-.'-"/(%/"-/01.2-"/(2"+$)+2$/.2-"

)*"3%/2$.%4".&"/(2"-)4.1"-/%/27+

8/4&9)"$:+;

&1)#"$4)<"9%=

!65(2"-/01,")*"$.6

.1"3%//2$7")$"-)4.1-7"89

:"/(2"

4%$62-/"#$%&'(")*"')&12&-21"3%//2$"+(,-.'-"89

:"-/01.2-"();"/(2"4%$62<-'%42"+$)+2$/.2-")*"-)4.1"

3%/2$.%4-"$2-04/"*$)

3"/(2.$"%/)3.'<-'%42"

+$)+2$/.2-"89

:"*)$3-"/(2"/(2)$2/.'%4"#%-.-")*"

3%/2$.%4"-'.2&'2<7

8/1>1?"91,=

!!

@+2$%9*+4)+$0"+?&4?"&$1"2+

A-"#0,)1#,B:+$0

"&-,B:+"B"#$&1#,B:+-

,C)"$1#+D+4?$1#,BE+

4F+-,$"&1,B+1)+$0"+24B19+2$,$"

A#&*2$,BB1)"+D+,-4&?04%2E

!!

!!

/0,$+,&"+."+C41)C+$4+B",&)5

!G&*2$,B+H$&%#$%&":+!,$$1#"+D+I"#1?&4#,B+!,$$1#"

!!,$$1#"+J13&,$14)+8K0"4&*+4F+;04)4)=

!K0"4&*+4F+L"$,B

8(&%9"+L49"B:+H4--"&F"B9M+N&""+OB"#$&4)+L49"B:+

P",&B*QN&""+OB"#$&4)+L49"B:+O)"&C*+R,)92=

!H"-1#4)9%#$4&

!!

;&"&"S%121$"2

!OB"#$&4-,C)"$12-

!H$,$12$1#,B+L"#0,)1#2+8TK0"&-49*),-1#2=

!U%,)$%-+L"#0,)1#2

!!

K"V$344>2

!G4-?%B24&*'

!@20#&4F$+D+L"&-1):+!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+R&44>2+

G4B":+WXYZ

!@991$14),B'

![-,&:+/

#)0)1'(2,&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+@99124)Q

/"2B"*:+W

XX\

!]1$$"B:+31

'2"%4.'$"1&'"&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+/1B"*:+

^__`

!!

a&,91)C

!b_c+-19$"&-+"V,-+T+,221C)-")$2

!b_c+F1),B+"V,-

Fisika Zat Padat

Kekisi K

ristal

Apa itu kekisi?

Kekisi (kekisi B

ravais) merupakan deretan tak hingga

dari titik-titik diskrit dengan susunan dan orientasi yang nam

pak tepat sama

!S

ingkatnya: kekisi adalah deretan periodik dan teratur dari titik-titik dalam

ruang!

Kekisi m

erupakan abstraksi matem

atis!

Struktur kristal terbentuk ketika basis yang terdiri atas atom

-atom ditem

pelkan secara identik ke setiap titik kekisi

!S

truktur kristal = kekisi + basis

Auguste B

ravais (1811 – 1863)

Apa itu kekisi?

Kekisi B

ravais terdiri atas titik-titik yang mem

iliki vektor posisi R

dengan bentuk

dengan

= sembarang vektor prim

itif yang tidak selalu berada di bidang yang sam

a

= bilangan bulat (negatif, nol, atau positif)

"R#n

1 " a1 $n

2 " a2 $n

3 " a3

" a1 , " a

2 , " a3

n1 , n

2 , n3

Kekisi B

ravais 2D (jejaring/net)

5 kekisi Bravais dasar: (1) jajaran genjang (2) persegi (3) persegi berpusat (4) hexagonal (5)

bujur sangkar

Kekisi B

ravais 3D

Contoh lain kekisi B

ravais 3D

Gam

bar berikut bukan kekisi Bravais!

Susunannya sam

a namun orientasinya beda!

Kekisi Tak H

ingga

!K

ekisi Bravais m

engisi ruang tak hingga!

Nam

un kristal bahan mem

iliki volume berhingga

!K

ekisi tak hingga merupakan idealisasi, jika

kekisinya berhingga akan muncul efek perm

ukaan!

Untuk m

udahnya, kita kaji kristal berhingga yang yang terdiri atas N

situs:untuk m

aka"R#n

1 " a1 $n

2 " a2 $n

3 " a3

0%n

1 &N

1 ,0%n

2 &N

2 ,0%n

3 &N

3 danN#N

1 N2 N

3

Untuk sem

barang kekisi Bravais, set vektor

primitifnya tidak unique!

Contoh lain: kekisi bcc

bcc = body-centered cubic

Jika kekisi simple cubic m

emiliki vektor prim

itif: a'x,a

'y,dan a

' z

Maka untuk bcc: " a

1 #a'x, " a

2 #a'y, " a

3 #a2('x$

'y$' z)

Atau dapat dituliskan sebagai:

" a1 #a2('y$

'z*'x), " a

2 #a2('z$

'x*'y), " a

3 #a2('x$

'y*'z)

Kedua set menyatakan

kekisi Bravais bcc

cek Kittel untuk sel bcc prim

itif

Contoh lain: kekisi fcc

fcc = face-centered cubic

set vektor primitif untuk kekisi fcc:

" a1 #a2('y$

'z), " a2 #a2('z$

'x), " a3 #a2('x$

'y)

cek Kittel untuk sel fcc prim

itif

Catatan: unsur dengan kekisi sim

ple cubic sangat jarang ditem

ukan, fase alpha dari Polonium

(Po) m

erupakan satu-satunya contoh yang ditem

ukan pada kondisi normal

Bilangan K

oordinasi

!Titik-titik pada kekisi B

ravais yang berada paling dekat dengan sebuah titik pilihan disebut nearest neighbors (tetangga terdekat)

!S

etiap titik pada kekisi Bravais m

emiliki jum

lah tetangga terdekat yang sam

a, disebut sebagai bilangan koordinasi dari kekisi tersebut

!B

ilangan koordinasi untuk kekisi sc : 6!

Bilangan koordinasi untuk kekisi bcc : 8

!B

ilangan koordinasi untuk kekisi fcc : 12

Sel S

atuan Prim

itif

!S

el (satuan) primitif m

erupakan volum ruang yang, ketika

ditranslasikan melalui seluruh vektor kekisi B

ravais, tepat m

engisi ruang tanpa overlap atau meninggalkan ruang

kosong (void)!

Untuk sebarang kekisi B

ravais, tidak ada cara khusus untuk m

emilih sel prim

itif!

Sel prim

itif harus mengandung hanya satu titik kekisi

!Volum

e sel primitif tidak bergantung pada pem

ilihan bentuk sel (v = 1/n; v = volum

e, n = rapat titik kekisi)

Sel S

atuan Prim

itif

!S

el primitif yang berkaitan dengan set vektor

primitif m

erupakan set untuk titik r dengan bentuk

!S

et ini umum

nya tidak menunjukkan bentuk

simetri dari kekisi B

ravais. Misal:

" a1 ," a

2 ," a3

" r#x

1 " a1 $x

2 " a2 $x

3 " a3 dengan 0%

xi %

1

Agar diperoleh sim

etri...

Sel S

atuan Konvensional

!S

el satuan merupakan daerah yang m

engisi ruang tanpa overlap ketika ditranslasikan m

elalui set vektor kekisi B

ravais!

Sel satuan konvensional um

umnya dipilih lebih besar

daripada sel satuan primitif agar dapat m

emiliki sim

etri!

Pada sel konvensional, bcc nam

pak sebagai sel satuan berbentuk kubus dua kali lebih besar dari sel satuan bcc prim

itif!

Dan kekisi fcc nam

pak sebagai sel kubus 4 kali lebih besar dari sel satuan fcc prim

itif

Bilangan yang m

enyatakan ukuran dari sel satuan disebut sebagai tetapan kekisi (lattice constants)

Sel P

rimitif W

igner-Seitz

Eugene W

igner (1902 - 1995)

Frederick Seitz

(1911 - 2008)

Kekisi N

on-Bravais

Struktur Intan

Terdiri atas dua kekisi fcc yang saling menyisip, bergeser

sepanjang diagonal utama kekisi kubus sejauh !

panjang diagonal. D

apat juga dianggap sebagai kekisi fcc dengan basis basis titik 0 dan !a

"4#!$x%$y%

$z#

Struktur H

exagonal Close-P

acked (hcp)

Untuk struktur hcp ideal: ca

&'83

Struktur N

aCl

Terdiri atas ion Na and C

l yang berjum

lah sama dan terletak pada

titik-titik yang berselang-seling pada kekisi sc. D

apat juga digambarkan

sebagai kekisi fcc dengan basis terdiri atas ion N

a 0 dan ion Cl di

!a"2#!$x%

$y%$z#

Fisika Zat Padat

Kekisi B

alik

Definisi

!D

itinjau sekumpulan titik R

yang mem

bentuk kekisi B

ravais, dan gelombang bidang datar

!U

ntuk k secara umum

, gelombang bidang

tersebut tidak mem

iliki sifat periodik kekisi B

ravais, namun dapat dim

iliki oleh vektor gelom

bang tertentu yang dipilih secara khusus!

Kekisi balik didefinisikan sebagai kum

pulan sem

ua vektor gelombang K

yang menghasilkan

gelombang bidang yang m

emiliki sifat periodik

dari suatu kekisi Bravais

ei "k#" r

!K

merupakan kekisi balik dari kekisi B

ravais dengan titik-titik dinyatakan R

, selama relasi

dipenuhi oleh sembarang r dan sem

ua R pada kekisi

Bravais

!M

aka kekisi balik adalah kumpulan vektor gelom

bang K

yang mem

enuhi

!K

ekisi Bravais yang m

enentukan kekisi balik sering disebut sebagai kekisi langsung (direct lattice)

!K

disebut kekisi balik hanya jika kumpulan vektor R

m

erupakan kekisi Bravais

ei "K#$"r%

"R&'ei "K#"r

ei "K# "R'

1

!M

isal merupakan vektor-vektor

primitif untuk kekisi langsung, m

aka kekisi balik dapat ditentukan oleh vektor-vektor prim

itif berikut: " a

1 , " a2 , " a

3

"b1 '

2(" a

2 )" a

3

" a1 #$" a

2 )" a

3 &

"b2 '

2(" a

3 )" a

1

" a1 #$" a

2 )" a

3 &

"b3 '

2(" a

1 )" a

2

" a1 #$" a

2 )" a

3 &

!b

i akan mem

enuhi

!S

embarang vektor k dapat dinyatakan sebagai kom

binasi linear dari b

i

!Jika R

merupakan vektor kekisi langsung (n

i bilangan bulat) :

!M

aka

!K

oefisien ki harus berupa bilangan bulat agar

dipenuhi untuk semua R

!Jadi, kekisi balik m

erupakan kekisi Bravais dan b

i merupakan

vektor-vektor primitif

"bi #" aj '

2(*ij dengan *

ij '+ 0,i,j

1,i'j

"k'k

1 "b1 %k

2 "b2 %k

3 "b3

"R'n

1 " a1 %n

2 " a2 %n

3 " a3

"k# "R'

2($k

1 n1 %k

2 n2 %k

3 n3 &

ei "K# "R'

1

!K

arena kekisi balik merupakan kekisi B

ravais, kita dapat m

embentuk kekisi balik dari kekisi ini,

yang tidak lain adalah kekisi langsung semula

Contoh

!K

ekisi Bravais sim

ple cubic (sc), dengan sel prim

itif bersisi a, mem

iliki kekisi balik berbentuk sim

ple cubic dengan sel primitif bersisi 2

!/a!

Kekisi B

ravais fcc dengan sel kubus konvensional bersisi a m

emiliki kekisi balik bebentuk bcc

dengan sel kubus konvensional bersisi 4!/a

!K

ekisi Bravais bcc dengan sel kubus konvensional

berisisi a mem

iliki kekisi balik berbentuk fcc dengan sel kubus konvensional bersisi 4

!/a

!Jika v adalah volum

e sel primitive pada kekisi

langsung, maka sel prim

itive dari kekisi balik m

emiliki volum

e (2!) 3/v

Zona Brillouin P

ertama

!Zona B

rillouin pertama m

erupakan sel primitif

Wigner-S

eitz dari kekisi balik!

Um

umnya, istilah zona B

rillouin pertama hanya

diterapkan pada sel ruang-k!

Karena kekisi balik dari kekisi bcc adalah kekisi

fcc, zona Brillouin pertam

a dari kekisi bcc adalah sel W

igner-Seitz fcc, dan begitu juga

sebaliknya.

Léon Brillouin (1889 – 1969)

Bidang K

ekisi

!B

idang kekisi (lattice plane) didefinisikan sebagai sem

barang bidang yang mengandung

setidaknya tiga titik kekisi Bravais non-kolinear

(tidak segaris)!

Karena sim

etri translasi dari kekisi Bravais,

bidang tersebut akan mengandung banyak titik

kekisi, yang mem

bentuk kekisi Bravais 2-D

pada bidang tersebut

!K

eluarga bidang kekisi didefinisikan sebagai kum

pulan bidang-bidang kekisi yang sejajar dan terpisah pada jarak yang sam

a, yang m

engandung seluruh titik kekisi Bravais 3-D

!U

ntuk sembarang keluarga bidang kekisi yang

jarak pisahnya adalah d, terdapat vektor kekisi balik yang tegak lurus terhadap bidang, paling pendek m

emiliki panjang 2!/d

!S

ebaliknya, untuk sembarang vektor kekisi balik

K, terdapat keluarga bidang kekisi yang tegak

lurus K dan m

emiliki jarak pisah d, dim

ana 2!/d m

erupakan panjang dari vektor kekisi balik terpendek yang sejajar K

Indeks Miller B

idang Kekisi

!Indeks M

iller dari suatu bidang kekisi m

erupakan koordinat vektor kekisi balik terpendek yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yang terkait dengan kum

pulan vektor kekisi balik prim

itif tertentu!

Jadi, bidang dengan indeks Miller h, k, l, berada

tegak lurus terhadap kekisi balik

h"b

1 #k"b

2 #l "b

3

William

Hallow

es Miller

(1801 – 1880)

!Indeks M

iller berupa bilangan bulat, karena sem

barang vektor kekisi balik merupakan

kombinasi linear dari tiga vektor prim

itif dengan koefisien bilangan bulat

!Indeks M

iller bergantung pada pemilihan vektor

primitif

!Indeks M

iller dari suatu bidang mem

iliki interpretasi geom

etris pada kekisi langsung, yang terkadang ditaw

arkan sebagai cara alternatif pendefinisian indeks

!K

arena bidang kekisi dengan indeks Miller h, k,

l, tegak lurus terhadap vektor balik , indeks ini akan terkandung pada bidang kontinyu untuk nilai tetapan A yang sesuai

!B

idang ini akan mem

otong sumbu yang

ditentukan oleh vektor primitif kekisi langsung a

i pada titik: dengan

"K$h"b

1 #k"b

2 #l "b

3"K%" r$

A

x1" a1, x

2" a2, dan x

3 " a3

"K%&xi " ai '$A

!K

arena

maka

!M

aka titik potong bidang kekisi dengan sumbu

kristal berbanding terbalik dengan indeks Miller

dari bidang tersebut

"K#" a1 $

2%h, "K#

" a2 $

2%k, dan "K#" a

3 $2%l

x1 $

A2%h, x

2 $A

2%k, x

3 $A

2%l

!K

ristalografer mendefinisikan indeks M

iller sebagai kum

pulan bilangan bulat tanpa faktor persekutuan, berbanding terbalik dengan titik potong bidang kristal pada sum

bu kristal

h:k:l$1x

1 :1x

2 :1x

3

Konvensi

!B

idang kekisi umum

nya ditunjukkan dengan menyatakan

indeks Miller dalam

tanda kurung (h,k,l)!

Kom

a dihilangkan dengan menggantikan – n

!U

ntuk menunjukkan arah, kurung persegi digunakan untuk

menghindari kerancuan dengan indeks M

iller ! [hkl]

!U

ntuk menunjukkan keluarga lain yang ekivalen dengan

keluarga bidang kekisi tertentu, digunakan {hkl}m

isal: bidang (100), (010) dan (001) ekivalen pada kristal kubus, sehingga dapat dinyatakan sebagai bidang {100}

& n

Fisika Zat Padat

Difraksi S

inar X oleh K

ekisi Kristal

William

L. Bragg

(1890 – 1971)Fisikaw

an Inggris

Max von Laue

(1879 – 1960)Fisikaw

an Jerman

Mengapa H

arus Sinar-X

?

!Jarak antar atom

pada bahan padat umum

nya berada pada orde angstrom

(10-10 m

)!

Maka, probe elektrom

agnetik untuk struktur m

ikroskopis bahan padat harus mem

iliki energi:

yang berada pada orde energi sinar-X

E"#$"hc%

"1.24&

10'

6 eV m

10'

10 m"

12.4 keV

Formulasi B

ragg!

Pada bahan kristal, untuk panjang gelombang dan arah

sinar datang yang ditentukan secara tepat, terdapat puncak-puncak intensitas ham

buran radiasi sinar-X

yang disebut puncak Bragg

!D

itinjau kristal yang tersusun atas bidang-bidang sejajar terisi ion, terpisah pada jarak d !

bidang kekisi!

Syarat diperoleh puncak inttensitas pada radiasi

hamburan:

!S

inar-X harus dipantulkan oleh ion pada satu bidang dengan

sudut pantul sama dengan sudut datang

!Sinar pantulan dari bidang berturutan harus berinterferensi secara konstruktif

!Jika ! m

erupakan sudut datang, agar sinar ham

buran berinterferensi secara konstruktif, beda lintasan harus berupa kelipatan bulat panjang gelom

bang:

yang merupakan hukum

Bragg

!B

ilangan bulat n dikenal sebagai orde pantulan!

Untuk berkas sinar-X

yang nilai panjang gelom

bangnya banyak ('radiasi putih'), akan teram

ati banyak pantulan

n%"

2dsin

(

Formulasi von Laue

!D

itinjau kristal yang tersusun atas objek m

ikroskopis identik (kumpulan ion atau atom

) yang berada di titik R

pada kekisi Bravais

!Tiap objek dapat m

eradiasikan ulang radiasi yang datang ke segala arah

!P

uncak radiasi hamburan hanya akan teram

ati pada arah dan panjang gelom

bang dimana

sinar hamburan dari seluruh titik kekisi

berinterferensi secara konstruktif

!D

itinjau dua penghambur, terpisah oleh vektor

perpindahan d!

Misal sinar-X

datang dari kejauhan, sepanjang arah n, dengan panjang gelom

bang " dan vektor gelom

bang x = 2#n/"!

Sinar ham

buran akan teramati pada arah n'

dengan panjang gelombang " dan vektor

gelombang k' = 2#n'/" selam

a beda lintasan dari kedua sinar yang terham

bur oleh kedua ion berupa kelipatan bulat dari panjang gelom

bang, m

isal m

!B

eda lintasannya adalah:

!S

yarat agar terjadi interferensi konstruktif:

!K

alikan kedua sisi persamaan di atas dengan

2!/" maka dihasilkan syarat untuk nilai vektor

gelombang sinar datang dan sinar ham

buran:

dcos"#

dcos"'$

%d&' (n)(n'*

%d&' (n)(n'*$

m+

%d&' %k)%k'*$

2,m

!S

elanjutnya, ditinjau rangkaian penghambur yang

berada pada kekisi Bravais

!K

arena titik-titik kekisi saling terpisah oleh vektor kekisi B

ravais R, syarat agar seluruh sinar

terhambur berinterferensi konstruktif adalah bahw

a syarat untuk dua pengham

bur juga berlaku untuk seluruh nilai d yang m

erupakan kekisi Bravais:

untuk bilangan bulat m dan vektor B

ravais R!

Dapat dituliskan pula dalam

bentuk ekivalen:

%R&' %k)%k'*$

2,m

ei' %k')

%k*& %R$

1

!D

ibandingkan dengan definisi kekisi balik, diperoleh syarat Laue:interferensi konstruktif akan terjadi selam

a perubahan vektor gelom

bang, K = k' – k m

erupakan vektor kekisi balik

!K

arena kekisi balik juga kekisi Bravais, jika k' – k

merupakan vektor kekisi balik, begitu juga k – k'

!Jika k – k' = K

, maka syarat bahw

a k dan k' mem

iliki besar (m

agnitude) yang sama adalah k = | k – K

|!

Kuadratkan kedua sisi diperoleh syarat:

! kom

ponen vektor gelombang datang k sepanjang

vektor kekisi balik K harus bernilai separo panjang K

%k&(K$

1-2K

!M

aka vektor gelombang datang k akan

mem

enuhi syarat Laue jika dan hanya jika ujung vektor terletak pada bidang yang tegak lurus dan m

embagi dua garis penghubung titik

asal ruang-k ke sebuah titik kekisi balik K!

Bidang ruang-k ini disebut bidang B

ragg

Ekivalensi Form

ulasi Bragg &

Laue

!M

isal vektor gelombang datang dan terham

bur, k dan k', m

emenuhi syarat Laue yaitu bahw

a K = k' – k

adalah vektor kekisi balik!

Karena gelom

bang datang dan terhambur m

emiliki

panjang gelombang yang sam

a (hamburan elastik), k'

dan k mem

iliki besar (magnitude) yang sam

a!

Sehingga, k' dan k m

embentuk sudut yang sam

a yaitu # dengan bidang tegak lurus K

!M

aka hamburan dapat dilihat sebagai pantulan B

ragg dengan sudut B

ragg #, dari keluarga bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik K

!Vektor K

merupakan kelipatan bulat dari vektor

kekisi balik terpendek K0 yang sejajar K

!M

enurut teori keluarga bidang kekisi (lihat bab 5), besarnya K

0 adalah 2!/d, dimana d adalah jarak

antar bidang yang berdekatan dalam keluarga

tersebut yang tegak lurus K0 atau K

!M

aka K = 2!n/d dim

ana n adalah bilangan bulat!

Dari gam

bar: K = 2k sin # , m

aka k sin # = !n/d!

Karena k = 2!/", diperoleh 2d sin # = n"

sehingga panjang gelombang m

emenuhi syarat

Bragg

!Jadi puncak diffraksi Laue yang m

erupakan perubahan vektor gelom

bang sebesar vektor kekisi balik K

, bersesuaian dengan pantulan B

ragg dari bidang kekisi langsung yang tegak lurus K

!O

rde n pada pantulan Bragg m

erupakan panjangnya K

dibagi dengan panjangnya vektor kekisi balik terpendek yang sejajar K

Konstruksi E

wald

!Vektor gelom

bang datang k akan mem

unculkan puncak difraksi jika dan hanya jika ujung vektor gelom

bang berada pada ruang-k bidang Bragg

!U

ntuk mencari puncak B

ragg secara eksperim

en besarnya k harus divariasi (!

divariasi panjang gelombang sinar

datangnya) atau divariasi arahnya (pada prakteknya yang divariasi orientasi kristalnya)

Paul P

eter Ew

ald(1888 – 1985)

Germ

an Physicist

Konstruksi E

wald

!G

ambarkan pada ruang-k sebuah bola yang

berpusat pada ujung vektor gelombang datang

k dengan jejari k (sehingga bola tersebut m

enyentuh titik asal)!

Akan terdapat beberapa vektor gelom

bang k' yang m

emenuhi syarat Laue jika dan hanya jika

beberapa titik kekisi balik (termasuk titik asal)

terletak pada permukaan bola

!A

kan terdapat pantulan Bragg dari keluarga

bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik

Um

umnya, bola pada ruang-k dengan titik asal berada di

permukaan tidak akan m

emiliki titik kekisi balik di

permukaannya. M

aka, untuk sembarang vektor

gelombang datang, tidak akan m

uncul puncak Bragg

Agar dapat dihasilkan puncak B

ragg:!

Metode Laue:

tidak menggunakan sinar-X

monokrom

atik, namun

sinar-X yang m

emiliki panjang gelom

bang dari !1

hingga !0

!M

etode Rotating-C

rystal: m

enggunakan sinar-X m

onokromatik nam

un arah sinar dapat divariasi (pada prakteknya, yang divariasi justru arah kristalnya)

!M

etode bubuk atau Debye-S

cherrer:sam

a dengan eksperimen kristal berputar dim

ana sum

bu rotasi divariasikan pada seluruh arah yang m

ungkin

X-R

ay Diffractom

eter (XR

D)

Pola D

ifraksi untuk BC

C

Pola D

ifraksi untuk FCC

Pola D

ifraksi Sinar-X

Fisika Zat Padat

Teori Logam : M

odel Drude

Paul K

arl Ludwig D

rude(1863 – 1906, Fisikaw

an Jerman)

!Logam

merupakan penghantar listrik dan panas

yang sempurna, m

udah dibentuk dan ditempa

!Lebih dari dua pertiga unsur di alam

berupa logam!

Pada tahun 1900, 3 tahun setelah penem

uan elektron oleh J.J. Thom

son, Drude m

embangun

teori konduksi listrik dan panas untuk logam!

Beliau m

enerapkan teori kinetik gas pada logam

yang dikenal sebagai gas elektron!

Teori kinetik mem

perlakukan molekul gas sebagai

bola pejal identik yang bergerak pada lintasan lurus hingga saling bertum

bukan

!D

iasumsikan antar partikel tidak ada gaya yang

bekerja, kecuali untuk gaya yang muncul

sesaat ketika terjadi tumbukan

!M

uatan positip disematkan pada partikel yang

lebih berat, dan dianggap tidak bergerak!

Maka, ketika atom

-atom unsur logam

m

embentuk bahan logam

, elektron valensi lepas dan m

engembara bebas di dalam

logam

mem

bentuk gas elektron!

Ion logam tetap berada ditem

patnya dan m

enjadi partikel positip yang tidak bergerak

!A

tom dengan bilangan atom

ik Za m

emiliki inti

bermuatan eZ

a (e = 1.6 x 10-19 C

)

!Z

a elektron mengelilingi inti dengan m

uatan total –eZ

a

!Z elektron m

erupakan elektron valensi yang terikat lem

ah ke inti!Z

a – Z merupakan elektron inti yang terikat kuat

ke inti!

Elektron inti tetap terikat kuat ke inti m

embentuk

ion logam, sedangkan elektron valensi

diperbolehkan mengem

bara menjauhi atom

induknya !

elektron konduksi

!M

isal rapat massa unsur logam

adalah !m

!Jum

lah atom per sentim

eter kubik adalah 6.022 x 10

23 (bilangan Avogadro) x !

m /A dengan

A adalah m

assa atom dari unsur tersebut

!K

arena tiap atom m

enyumbang Z elektron

konduksi, banyaknya elektron per sentimeter

kubik adalah:

!{Lihat Tabel}

n"NV"

6.022#10

23#Z$m

A

!rs didefinisikan sebagai jejari suatu bola yang volum

enya sama dengan volum

e tiap elektron konduksi:

!K

erapatan gas elektron umum

nya seribu kali lebih besar dibanding gas klasik pada suhu dan tekanan norm

al

VN"

1n"

43%rs 3 ; r

s "&3

4%n ' 1(3

Asum

si Dasar M

odel Drude

(1) Pada proses tum

bukan, interaksi dari suatu elektron dengan elektron yang lain m

aupun dengan ion cenderung diabaikan!

Pengabaian interaksi elektron-elektron pada

proses tumbukan dikenal sebagai independent

electron approximation

!P

engabaian interaksi elektron-ion pada proses tum

bukan dikenal sebagai free electron approxim

ation

Asum

si Dasar M

odel Drude

(2) Proses tum

bukan bersifat sesaat yang secara langsung m

engubah kecepatan elektron!

Proses tum

bukan berupa elektron yang mem

antul dari inti ion yang tak tertem

bus (bukan tumbukan

antar elektron)

Asum

si Dasar M

odel Drude

(3) Sebuah elektron m

engalami tum

bukan dengan peluang per satuan w

aktu sebesar 1/!!

Maka, peluang sebuah elektron m

engalami tum

bukan pada selang w

aktu dt adalah dt/!!

Besarnya ! dikenal sebagai w

aktu relaksasi, atau w

aktu tumbukan, atau w

aktu bebas rerata!

Sebuah elektron akan berjalan selam

a ! sebelum

mengalam

i tumbukan berikutnya, atau telah berjalan

selama ! sejak tum

bukan sebelumnya

!W

aktu tumbukan tidak bergantung pada posisi dan

kecepatan elektron

Asum

si Dasar M

odel Drude

(4) Elektron dianggap m

encapai kesetimbangan

termal dengan sekitarnya hanya m

elalui proses tum

bukan!

Sem

akin panas daerah di mana tum

bukan terjadi, elektron akan keluar dari tum

bukan dengan kecepatan yang sem

akin besar

Konduktivitas Listrik D

C pada Logam

!B

esarnya arus I yang mengalir pada kaw

at yang terbuat dari logam

akan sebanding dengan beda potensial V

sepanjang kawat: V

= IR (H

ukum O

hm)

dengan R (ham

batan kawat) bergantung pada

ukuran kawat, nam

un tidak bergantung pada besarnya I atau V

!R

esistivitas " didefinisikan sebagai tetapan kesebandingan antara m

edan listrik E di sebuah

titik pada logam dan rapat arus j yang diinduksikan

"E#$"j

!K

etergantungan R pada bentuk atau ukuran

kawat diganti dengan besaran yang m

encirikan logam

yang mem

bentuk kawat

!R

apat arus j merupakan vektor, sejajar aliran

muatan, yang besarnya adalah banyaknya

muatan per satuan w

aktu yang melew

ati satuan luasan yang tegak lurus aliran

!U

ntuk arus seragam I yang m

engalir melalui

kawat dengan panjang L dan luas tam

pang-lintang A

, rapat arusnya adalah j = I/A!

Karena V

= EL, m

aka V = I"L/A

dan R = "L/A

!Jika n elektron per satuan volum

e bergerak dengan kecepatan v, m

aka rapat arus yang m

uncul akan sejajar dengan v!

Dalam

waktu dt elektron akan berpindah

sejauh v dt pada arah v, sehingga elektron sebanyak n (v dt) A akan m

elintasi luasan A

yang tegak lurus v!

Karena setiap elektron m

embaw

a muatan – e,

maka besarya rapat arus adalah

j#IA#dqAdt #

%nev

Adt

Adt

#%nev

!K

etika tidak ada medan listrik, elektron akan

bergerak pada arah sembarang sehingga rerata

v adalah nol, dan tidak ada rapat arus listrik!

Ketika m

uncul medan listrik E

, akan terdapat kecepatan elektron rerata yang berlaw

anan arah dengan arah m

edan:M

isal t adalah waktu yang dicapai setelah terjadi

tumbukan, kecepatan elektron rerata adalah

–eEt/m

R

erata dari t adalah waktu relaksasi !, sehingga

" vavg #

%e"E&

m ; "j#' ne

2&m ( "E

!H

asilnya biasa dinyatakan dalam konduktivitas:

# = 1/"

!U

ntuk mem

peroleh waktu relaksasi, dapat

digunakan nilai resistivitas dari eksperimen untuk

mem

perkirakan besarnya:

!Pada suhu kam

ar, ! biasanya bernilai 10-14 hingga

10-15 detik

"j#)"E

; )#ne

2&m

&#m

$ne

2

!Lintasan bebas rerata l didefinisikan sebagai jarak rerata yang ditem

puh elektron antar 2 tumbukan

!l = v0 t, dengan v0 adalah kelajuan elektron rerata

!D

alam m

odel Drude, v0 diperkirakan dari energi

ekuipartisi klasik:

!D

ari massa elektron, diperoleh nilai v0 pada orde 10

7 cm

/detik pada suhu kamar, sehingga nilai lintasan

bebas rerata berada pada orde 1 hingga 10 Å!

jarak ini sebanding dengan jarak pisah antar atom

, sehingga proses tumbukan m

erupakan proses tum

bukan elektron dengan ion

12mv

0 2"32kB T

! nilai !

dihitung dengan m

odel Drude

Konduktivitas Listrik dalam

Medan

!S

aat t kecepatan elektron rerata v adalah p(t)/m

dengan p merupakan m

omentum

total per elektron!

Maka rapat arusnya adalah

!S

ebuah elektron yang dipilih saat t akan m

engalami tum

bukan sebelum t + dt dengan

peluang dt/!# dan bertahan hingga t + dt tanpa tum

bukan dengan peluang (1 - dt/!)

$j"%ne

$ p&t'm

!Jika tidak m

engalami tum

bukan, elektron akan dipengaruhi gaya f(t) yang m

uncul akibat m

edan listrik atau magnet dan m

emperoleh

mom

entum tam

bahan f(t)dt – O(dt) 2

! O

(dt) 2 bermakna suku dengan orde (dt) 2

!M

aka, kontribusi dari seluruh elektron yang tidak bertum

bukan antara t dan t + dt terhadap m

omentum

, dan mengabaikan kontribusi dari

elektron yang mengalam

i tumbukan, adalah:

$ p&t(dt'

"&1%

dt)'*$ p&t'(

$f&t'dt(

O&dt' 2+

"

$ p&t'%& dt)

'$ p&t'($f&t'dt(

O&dt' 2

! M

aka

dibagi dt dan diambil lim

it pada dt ! 0, diperoleh

yang menyatakan bahw

a efek tumbukan sebuah

elektron adalah menam

bahkan suku redaman

pada persamaan gerak yang m

enggambarkan

besarnya mom

entum per elektron

$ p&t(dt'%

$ p&t'"%& dt)

'$ p&t'($f&t'dt(

O&dt' 2

ddt$p&t'"

%$ p&t')

($f&t'

Efek H

all

!M

edan listrik Ex dikenakan pada kaw

at yang m

embentang pada arah-x dim

ana rapat arus jx m

engalir pada kawat

!M

edan magnet H

dikenakan pada arah-z positip!

Gaya Lorentz

mem

belokkan elektron pada arah-y negatip(kecepatan alir elektron berlaw

anan dengan arah aliran arus)

!M

aka, elektron akan terkumpul pada sisi kaw

at, dan m

edan listrik muncul pada arah-y yang

melaw

an gerakan dan akumulasi elektron lebih

lanjut

%ec$ v,

$H

!P

ada kesetimbangan, m

edan transversal (atau m

edan Hall) E

y akan mengim

bangi gaya Lorentz, sehingga arus hanya m

engalir pada arah-x!

magnetoresistansi, rasio m

edan pada sepanjang kaw

at Ex terhadap rapat arus jx adalah

!M

edan transversal Ey akan sebanding dengan H

dan jx , sehingga dapat didefinisikan koefisien H

all sebagai:

-&H

'"Ex

jx

RH "

Ey

jx H

!K

arena medan H

all berada pada arah-y negatip, R

H harus bernilai negatip!

Jika pembaw

a muatannya positip, m

aka arah kecepatan-x harus dibalik, dan arah m

edan Hall

akan berlawanan dengan arah yang dim

iliki ketika pem

bawa m

uatannya negatip!

Koefisien H

all dan magnetoresistansi dapat

ditentukan dari Drude:

ketika terdapat medan E

dan H, gaya yang

bekerja pada setiap elektron adalah: f = - e(E

+ v x H/c)

!m

omentum

per elektron menjadi:

!P

ada keadaaan tunak, arus tidak bergantung pada w

aktu, sehingga px dan p

y mem

enuhi:

dengan adalah frekuensi cyclotron

ddt" p#

$e% "E

&" pmc '

"H($

" p)

0#$eE

x $*c p

y $px

)

0#$eE

y $*c p

x $py

)

*c #eHmc

!dikalikan -ne!/m

dan karena j = -nev, diperoleh

dengan "0 adalah konduktivitas D

C pada m

odel D

rude ketika medan m

agnet tidak ada = ne2!/m

!M

edan Hall E

y ditentukan dengan mem

ilih nilai jy nol:

!M

aka koefisien Hall adalah:

yang hanya bergantung pada kerapatan pembaw

a

+0 E

x #*c )jy &jx

+0 E

y #$*c )jx &

jy

Ey #

$% *c )+

0 ( jx #

$%Hnec ( j

x

RH #

$1nec

Konduktivitas Listrik A

C P

ada Logam

!D

itinjau medan listrik gayut w

aktu dengan bentuk E

(t) = Re(E

(#)e

-i#t)!

Persam

aan gerak untuk mom

entum per elektron

menjadi

!D

icari solusi keadaan tunak dengan bentukp(t) = R

e (p(#)e

-i#t)!

Substitusikan p dan E

ke persamaan gerak

diperoleh:

ddt" p#

$" p)$e"E

!Karena j = - nep/m

, besarnya rapat arus adalahj(t) = R

e (j(#)e

-i#t)

maka

!D

apat dituliskan sebagai j(#) = "(#

)E(#)

dengan

yang tereduksi ke hasil Drude D

C saat #

= 0

$i*

"p%*(#

$" p%*

()

$e"E%*

(

"j%*(#

$ne

" p%*(

m#%ne

2,m( "E

%*(

%1,)($i*

+%*

(#+

0

1$i*

) , +

0 #ne

2)m

Konduktivitas Term

al Logam!

Hukum

Wiedem

ann-Franz menyatakan bahw

a rasio konduktivitas term

al terhadap konduktivitas listrik ($/") untuk sejum

lah besar logam akan

berbanding lurus dengan suhu, dengan nilai tetapan kesebandingan yang ham

pir sama untuk sem

ua logam

!M

odel Drude m

engasumsikan bahw

a arus termal

pada logam dibaw

a oleh elektron konduksi!

Asum

si ini didasarkan pada pengamatan em

piris bahw

a logam m

enghantarkan panas lebih baik dibanding insulator

!D

itinjau batang logam yang m

emiliki variasi suhu

!Jika tidak ada sum

ber atau pembuangan panas

pada ujung-ujung batang untuk mem

pertahankan gradien suhu, energi term

al akan mengalir

berlawanan terhadap gradien suhu

!D

idefinisikan rapat arus termal j q sebagai vektor

yang sejajar arah aliran panas. Untuk gradien

suhu yang kecil dipenuhi j q = – $ ∇

T (Hukum

Fourier)$ dikenal sebagai konduktivitas term

al dan bernilai positip

!U

ntuk kasus 1-D, dim

ana aliran hanya pada arah-x:j q = – $ dT/dx

!D

i titik x, separo elektron muncul dari salah satu

sisi x yang bersuhu tinggi, dan separonya dari sisi bersuhu rendah

!Jika %(T) adalah energi term

al per elektron dalam

logam pada suhu T, m

aka elektron yang tum

bukan terakhirnya di x' akan mem

iliki energi term

al %(T[x'])

!E

lektron yang tiba di x dari sisi bersuhu tinggi akan m

engalami tum

bukan terakhir di x – v!, sehingga m

embaw

a energi termal per elektron

"(T[x – v!])!

Maka rapat arus term

alnya (n/2)v"(T[x – v!])!

Elektron yang tiba di x dari sisi bersuhu

rendah akan mem

bawa energi term

al sebesar (n/2)(-v)"(T[x + v!])

sehingga j q = (1/2)nv["(T[x – v!] – T[x + v!])

!Jika variasi suhu sepanjang lintasan bebas rerata (l = v!) sangat kecil (perubahan pada l adalah l/L dikalikan perubahan pada L), dapat diperluas untuk sekitar titik x hingga diperoleh:

!U

ntuk 3-D, v diganti v

x dari kecepatan elektron v dan direrata pada seluruh arah

!K

arena <vx 2> = <v

y 2> = <vz 2> = 1/3 v

2 dankarena n d"/dT = (N

/V) d"/dT = (d"/dT )/V

= cv

(kalor jenis elektron), diperoleh

j q"nv

2#d$dT % &

dTdx '

j q = 13( v

2 ! cv ( – ∇

T ) maka # = 1

3( v2 ! c

v = 1/3 lvcv

dengan v2 kelajuan elektron kuadrat rerata

!M

aka,

!D

ari gas ideal klasik, cv = 3/2 nk

B dan ! m

v2 = 3/2k

B T dengan k

B adalah tetapan Boltzm

ann

sehingga

)*"

1+3cv mv

2

ne2

)*"

32 % kBe ' 2T

!D

iperoleh

yang bernilai separo dari nilai yang dinyatakan pada Tabel 1.6

)*T"

32 % kBe ' 2"

1.11,10

&8 w

att-ohm/K

2

Fisika Zat Padat

Teori Logam :

Model D

rude-Som

merfeld

Arnold S

omm

erfeld(1868 – 1951)

Germ

an Physicist

!P

ada model D

rude, diasumsikan bahw

a distribusi kecepatan elektron m

engikuti distribusi Maxw

ell-B

oltzmann

!M

aka jumlah elektron per satuan volum

e n = N

/V dengan kecepatan pada interval dv di

sekitar nilai v adalah f(v)dv dimana

!Tetapan pada persam

aan di atas dipilih sedem

ikian sehingga syarat normalisasi dipenuhi:

fB "v#$

n"m

2%kB T # 3&2e

'mv

2&2kB T

n$(f"v#dv

!25 tahun setelah D

rude mengajukan m

odelnya, diketahui bahw

a distribusi Maxw

ell-Boltzm

ann untuk elektron harus diganti dengan distribusi Ferm

i-Dirac:

!S

omm

erfeld menerapkan distribusi Ferm

i-Dirac

pada gas elektron bebas dalam logam

(sehingga m

emodifikasi m

odel Drude untuk

teori logam), m

odel ini kemudian dikenal

sebagai model D

rude-Som

merfeld

f"v#$"m

&)# 3

4%3

1exp*"1&2

mv

2'kB T

0 #&kB T

+,1

James C

. M

axwell

(1831 – 1879)

Ludwig E

. B

oltzmann

(1844 – 1906)

Enrico Ferm

i(1901 – 1954)

Paul A

.M. D

irac(1902 – 1984)

vs.+

+

whatever..

Sorry, D

rude...

Drude M

odel(1900)

Drude-S

omm

erfeld Model

(1927)

Sifat G

round State G

as Elektron

!D

itinjau N elektron yang terjebak dalam

volume V

!D

alam m

odel Drude, elektron tidak saling

berinteraksi, sehingga ground state dari sistem

dapat ditentukan dengan mencari level energi

untuk elektron tunggal dalam volum

e V, dan m

engisi level-level ini dengan prinsip larangan P

auli (satu level hanya ditempati satu elektron)

!E

lektron tunggal dapat digambarkan dengan

fungsi gelombang !

(r) yang berkaitan dengan level energi "

!Jika elektron tidak berinteraksi, m

aka fungsi gelom

bang dan energinya akan mem

atuhi persam

aan Schrödinger:

maka

dalam koordinat K

artesan:

')

2

2m "

-2

-x

2 ,-

2

-y

2 ,-

2

-z

2# ."r#$

/."r#

')

2

2m0

2."r#$

/."r#

12m

1p2.

"r#$/.

"r# dengan 1p$)i0

Wolfgang E

. Pauli

(1900 – 1958)A

ustrian Physicist

Erw

in Schrödinger

(1887 – 1961)A

ustrian Physicist

!D

itinjau sebuah elektron yang terjebak dalam

suatu kubus dengan panjang rusuk L = V1/3

(logam cukup besar sehingga sifat-sifat elektron

tidak dipengaruhi oleh geometri ruangnya)

!S

elanjutnya, diperlukan syarat batas untuk persam

aan Schrödinger yang m

enggambarkan

terjebaknya elektron di dalam kubus

!P

ada ruang 1-D, tidak dipilih elektron yang

terjebak pada garis dari 0 hingga L, melainkan

ditinjau elektron yang terjebak dalam suatu

lingkaran dengan keliling L sehingga syarat batasnya adalah !

(x + L) = !(x)

!G

eneralisasi untuk kubus 3-D adalah

!(x+L, y, z) = !

(x, y, z) !

(x, y+L, z) = !(x, y, z)

!(x, y, z+L) = !

(x, y, z)persam

aan ini dikenal sebagai syarat batas B

orn-von Karm

an (periodik)!

Untuk m

enyelesaikan persamaan S

chrödinger dan untuk sem

entara mengabaikan syarat

batasnya, dipilih solusi dalam bentuk

dengan energi "k #$ r%&

1' Vei $k($ r

)# $k%&*

2k2

2m

Max B

orn(1882 – 1970)

Germ

an Physicist

Theodore von Karm

an(1881 – 1963)

Hungarian-A

merican

Aerospace E

ngineer

!Tetapan norm

alisasi dipilih sedemikian sehingga

peluang menem

ukan elektron di dalam volum

e V

adalah satu

!Level !

k (r) merupakan eigenstate dari operator

mom

entum p dengan eigenvalue p = ℏk karena

maka, elektron yang berada pada level !

k (r) m

emiliki m

omentum

p = ℏk dan kecepatan v = p/m

yaitu v = ℏk/m dan energi

1&+,"

#r%, 2dr

*i--re$k($ r&

*ke$k($ r

)# $k%&*

2k2

2m

&p

2

2m&

12mv

2

!k dapat ditinjau sebagai vektor gelom

bang!

Gelom

bang bidang bernilai konstan pada sembarang

bidang yang tegak lurus terhadap k (karena k ! r = konstan) dan periodik sepanjang garis yang sejajar terhadap k dengan panjang gelom

bang ! = 2"/k (panjang gelombang de

Broglie)

!D

ari syarat batas Born-von K

arman:

!K

arena eiz = 1 hanya jika z = n2", dengan n adalah bilangan

bulat, komponen vektor gelom

bang k harus berbentuk:

nx , n

y , nz adalah bilangan bulat

ei $k($ r

eik

x L&eik

y L&eik

z L&1

kx &

2.nx

L , k

y &2.ny

L , k

z &2.nz

L

!M

aka, dalam ruang 3-D

dengan sumbu

Kartesan k

x , ky dan k

z (ruang-k) vektor gelom

bang yang diijinkan adalah vektor gelom

bang yang koordinat sepanjang tiga sum

bu tersebut dinyatakan oleh perkalian bulat dari 2"/L

!Jum

lah titik k yang diijinkan adalah: volume

ruang-k yang terkandung dalam ruang 3-D

dibagi dengan volum

e ruang-k setiap titik (untuk titik-titik dengan nilai k yang diijinkan) yang berukuran (2

"/L) 3

!M

aka, suatu daerah ruang-k dengan volume #

akan berisi

nilai k yang diijinkan!

Sehingga, jum

lah nilai-k yang diijinkan per satuan volum

e ruang-k (rapat level ruang-k) adalah

/#2.

0L% 3 &/V

8.3

V8.3

!K

arena elektron tidak berinteraksi, ground state dari N

-elektron dapat dibentuk dengan menyusun

elektron-elektron ke dalam level-level m

ilik elektron tunggal yang diijinkan

!D

ari prinsip larangan Pauli, setiap vektor gelom

bang k yang diijinkan m

emiliki dua level elektron, satu

untuk setiap arah spin elektron (up dan down)

!G

round state N-elektron dibentuk dengan

menem

patkan dua elektron pada level elektron tunggal dengan nilai k = 0 yang m

emiliki energi

terendah " = 0, kemudian secara berturutan m

engisi level elektron tunggal untuk energi terendah berikutnya yang belum

terisi

!K

arena ! ~ k2, ketika N

cukup besar, daerah yang ditem

pati akan berbentuk bola!

Jejari bolanya disebut kF (F untuk Ferm

i, sehingga vektor gelom

bang Fermi) dan

volumenya !

adalah 4"kF 3/3

!Jum

lah nilai k yang diijinkan dalam bola ini

adalah:"V

8#3 $% 4#

kF 3

3 &%V8#

3& $kF 3

6#2 V

!K

arena setiap nilai-k yang diijinkan berisi dua level elektron-tunggal (satu untuk setiap nilai spin), untuk m

enempatkan N

elektron harus dim

iliki

!Jadi jika dim

iliki N elektron dalam

volume V

(rapat elektron n = N

/V), ground state dari sistem

N

-elektron dibentuk dengan menem

pati seluruh level elektron tunggal dengan nilai k < k

F dan m

enyisakan k > kF kosong, dengan k

F dinyatakan oleh

N$

2kF 3

6#2 V

$kF 3

3#2 V

n$kF 3

3#2

!B

ola berjejari kF berisi level-level elektron tunggal

yang telah ditempati disebut bola Ferm

i!

Perm

ukaan bola yang mem

isahkan level yang telah ditem

pati dan yang belum ditem

pati disebut perm

ukaan Fermi

!M

omentum

dari level elektron tunggal yang telah ditem

pati pF = ℏk

F yang mem

ilki energi tertinggi disebut m

omentum

Fermi, dan energinya !F =

ℏ2k

F 2 /2m m

erupakan energi Fermi dan

kecepatannya vF = p

F /m adalah kecepatan Ferm

i

!K

ecepatan Fermi dalam

logam sebanding dengan

kecepatan termal v = (3k

B T/m) 1/2 pada gas klasik

!K

arena

maka

!D

engan menggunakan Tabel 1.1, diperoleh !F ,

TF , k

F dan vF seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1

VN$

1n$

43#rs 3 ; r

s $%3

4#n & 1'3

rs $% 9

#4 & 1'31kF sehingga k

F $%9#

'4& 1'3

rs

!U

ntuk menghitung energi ground-state dari N

elektron dalam

suatu volume V, energi dari seluruh level elektron tunggal

dalam bola Ferm

i dijumlahkan:

perhatikan bahwa jum

lahan dilakukan dalam ruang 3D

! (pada koordinat K

artesan, k mem

iliki komponen k

x , ky dan k

z )

!U

ntuk menjum

lah sembarang fungsi F(k) pada seluruh nilai k

yang diijinkan, dapat dilakukan langkah berikut:

karena volume ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah

#k = 8"3/V, m

aka

E$

2(k)kF

*2

2mk

2

(+k F

% +k&$V8#

3 (+k F

% +k&,

+k

Untuk batas #k !

0 (yaitu V !

") bentuk jum

lahan $F(k)#k akan m

endekati bentuk integral # dk F(k), sehingga

!M

aka rapat energi gas elektron adalah:

limV-.

1V(

+k F% +k

&$/d+k

8#3 F

% +k&

EV$

218#

3 /V%k)

kF & d

+k*

2k2

2m$

14#3 /

k$0

kF

%k2dk

4#& *

2k2

2m

EV$

1#2

*2k

F 5

10m

!U

ntuk menentukan besar energi per elektron E

/N

pada ground state, hasil tersebut dibagi dengan N

/V = k

F 3/3"2 yang m

emberikan

dengan TF (suhu Ferm

i) ditunjukkan pada Tabel 2.1

!N

ilai energi per elektron pada gas klasik adalah 3/2 k

B T yang akan lenyap pada T = 0

EN$

310*

2kF 2

m$

350F $

35kB T

F

Sifat Term

al Gas E

lektron Bebas

!S

elanjutnya akan diterapkan statistik Fermi-D

irac dalam

perhitungan kontribusi elektron pada kalor jenis logam

untuk volume tetap

!P

ada metode independent electron approxim

ation, energi internal U

adalah jumlahan seluruh level

elektron tunggal %(k) dikalikan jumlah rerata

elektron di level tersebut

cv $% 1

u1T &V ; u$

UV

U$

2(+k 0% +k

&f%0% +k&&

dimana dikenalkan fungsi Ferm

i f(!) yang m

enggambarkan peluang terdapatnya elektron

pada level tertentu dari elektron tunggal, atau um

umnya dikenal sebagai fungsi distribusi:

dan banyaknya elektron total N adalah jum

lahan untuk seluruh level:

f!"#$1

e!"%

&#'k

B T(1

N$)

i f!"i #$)

i

1e!"i %

&#'k

B T(1

*Jika kedua sisi pada persam

aan untuk U dibagi

dengan volume V

dan dengan menerapkan m

etode yang telah digunakan untuk m

enghitung energi ground-state, m

aka rapat energi u = U/V

adalah

*Jika kedua sisi pada persam

aan untuk N dibagi

dengan V, diperoleh rapat elektron n = N/V

untuk m

enghilangkan potensial kimia !

u$+d,k

4-3 "! ,k

#f!"! ,k##

n$+d,k

4-

3f!"! ,k

##

*P

ada persamaan untuk u dan n, integrand hanya

bergantung pada k melalui energi elektron ! =

ℏ2k

2/2m*

Dengan m

eng-evaluasi integral pada koordinat bola dan m

engubah variable dari k ke !:

dimana

dikenal sebagai rapat level per satuan volume

atau rapat level (pada prakteknya, lebih umum

dikenal sebagai density of states, D

OS

)

+d,k

4-

3f!"! ,k

##$+0 .k

2dk-

2f!"! ,k##$+

0 .g!"#f!"#d

"

g!"#$

m/2-

202m

"/

2

*K

arena

maka g(!) dapat ditulis sebagai

*M

aka rapat level pada energi Fermi adalah

n$kF 3

3-2 sehingga "

F $/

2kF 2

2m$

/2

2m!3n

-2# 2'3

g!"#$

m/2-

202m

"/

2$!3n-

2# 2'3

2-2"

F ! !3n-

2# 2'3""F # 1'2

g!"#$

32n"F !

""F # 1'2

g!"F #$

32n"F

*D

engan menggunakan rapat level, persam

aan untuk u dan n dapat dituliskan sebagai

*S

ecara umum

, kedua persamaan m

emiliki

bentuk yang kompleks. N

amun, terdapat

metode ekspansi sederhana yang

mem

anfaatkan fakta bahwa T jauh lebih kecil

dari TF untuk seluruh suhu logam

yang diukur

u$+0 ."g!"#f!"#d

" dan n$+0 .g!"#f!"#d

"

*D

ari Gbr. 2.3, dapat dilihat bahw

a f(!) berbeda dengan bentuk pada suhu nol hanya di daerah sem

pit di sekitar µ dengan lebar beberapa kB T

*P

erbedaan integral berbentuk

dengan bentuk nilai nolnya:

ditentukan oleh bentuk H(!) di dekat ! = µ

*Jika H

(!) tidak bervariasi tajam di sekitar µ, H

(!) dapat diganti dengan beberapa suku dari deret Taylor fungsi tersebut di sekitar ! = µ

+%.

.H!"#f!"#d

"

+%.

"F

H!"#f!"#d

"

*M

aka, integral dengan bentuk

dapat diekspansikan dengan deret Som

merfeld

menjadi (lihat A

ppendix C dalam

buku Ashcroft)

*S

elanjutnya dievaluasi persamaan untuk u dan n

yang dapat dituliskan dalam bentuk

+%.

.H!"#f!"#d

"

+%.

.H!"#f

!"#d"$+

%.

&H!"#d

"(-

2

6!k

B T# 2H

'!&#(O!T

4#

u$+0 &"g

!"#d"(

-2

6!k

B T# 21&

g'!&

#(g!&

#2(O!T

4#

n$+0 &g

!"#d"(

-2

6!k

B T# 2g'!&

#(O!T

4#

*P

ersamaan untuk n m

enunjukkan bahwa µ

berbeda dari nilainya pada T = 0, yaitu !F , oleh suku pada orde T

2. Maka dapat dituliskan

*Jadi, persam

aan untuk u dan n dapat dituliskan ulang lagi ke dalam

bentuk

+0 &H

!"#d"$+

0 "FH

!"#d"(

!&%"F #H

!"F #

u$+0 "F"g

!"#d"(

"F 3!&

%"F #g

!"F #(

-2

6!k

B T# 2g'!"

F #4

(-

2

6!k

B T# 2g

!"F #(

O!T

4#

n$+0 "Fg

!"#d"(

3!&%"F #g

!"F #(

-2

6!k

B T# 2g'!"

F #4

!S

uku pertama pada sisi kanan kedua

persamaan tidak lain m

erupakan nilai untuk u dan n pada ground state

!K

arena n tidak bergantung pada suhu, dari persam

aan untuk n diperoleh

yang menentukan deviasi µ dari !F :

0"#$%

&F 'g

#&F '(

)2

6#k

B T' 2g'#&

F '

$"&F %

)2

6#k

B T' 2 g

'#&F '

g#&F '

!K

arena

maka

!D

ari ketakbergantungan n pada suhu, suku di dalam

kurung kurawal pada persam

aan untuk u bernilai nol, sehingga:

dimana u

0 adalah rapat energi pada ground state

g#&'"

32n&F #

&&F ' 1*2

$"&F+ 1%

13 # )kB T

2&F ' 2,

u"u

0 ()

2

6#k

B T' 2g

#&F '

!M

aka, diperoleh kalor jenis gas elektron sebesar

!B

andingkan nilai ini dengan nilai untuk gas ideal klasik c

v = 3/2 n kB , m

aka efek dari statistik Fermi-

Dirac adalah m

engurangi nilai kalor jenis sebesar ("

2/3)(kB T/!F ) yang sebanding dengan suhu

cv "# -

u-T 'n "

)2

3kB 2Tg#&F '"

)2

2 # kB T&F ' nk

B

Konduktivitas Term

al

!S

elanjutnya, dengan menggunakan kalor jenis gas

elektron, konduktivitas termal dapat ditentukan:

!K

arena dan

maka

sesuai dengan data di Tabel 1.6

."/mne

2

0/T")

2

3 # kBe ' 2"

2.44110

%8 w

att-ohm/K

2

vF 2"

2&F

m

0"13v

2.cv

!P

enggunaan statistik Fermi-D

irac hanya m

empengaruhi prediksi dari m

odel Drude yang

mem

butuhkan nilai distribusi kecepatan elektron

!Jika laju 1/# saat elektron m

engalami tum

bukan tidak bergantung pada energi elektron, m

aka hanya prediksi lintasan bebas rerata elektron dan konduktivitas term

al yang terpengaruh oleh perubahan fungsi distribusi

Fisika Zat Padat

Potential P

eriodik (Teorema B

loch)

Felix Bloch

(1905 – 1983)S

wiss P

hysicist

!K

arena ion-ion pada kristal ideal tersusun secara periodik, m

aka selanjutnya ditinjau kasus elektron yang berada dalam

potensial U(r) yang m

emiliki

periodisitas kekisi Bravais

U(r + R

) = U(r)

untuk seluruh vektor kekisi Bravais R

!K

arena skala keperiodikan potensial U (~10

-8 cm)

berada pada orde panjang gelombang de B

roglie m

ilik elektron dalam m

odel elektron bebas, perlu digunakan m

ekanika kuantum untuk m

eninjau efek keperiodikan ini pada gerak elektron

!B

entuk umum

persamaan S

chrodinger untuk elektron tunggal adalah:

dengan potensial U m

emiliki periodisitas U

(r+R) =

U(r)

!P

ersamaan S

chrodinger untuk elektron bebas dalam

model S

omm

erfeld merupakan kasus khusus

dari persamaan di atas

!E

lektron-elektron yang mem

atuhi persamaan

Schrodinger untuk elektron tunggal dengan

potensial periodik dikenal sebagai elektron Bloch

(untuk mem

bedakan dengan “elektron bebas”)

"H#$% &

'2

2m(

2)U%r** #

%r*$+#

%r*

Teorema B

loch

!E

igenstate ! dari H

amiltonan elektron tunggal

dengan potensial periodik dapat dipilih berbentuk gelom

bang bidang dikalikan suatu fungsi yang m

engandung periodisitas kekisi Bravais:

dengan unk (r + R

) = unk (r) untuk seluruh R

pada kekisi B

ravais!

Kedua persam

aan mem

bentuk

#nk %, r*$

ei ,k-, ru

nk %, r*

#nk %, r)

,R*$ei ,k- ,R#

nk %, r*

!Indeks n dikenal sebagai indeks pita dan m

uncul karena untuk satu nilai k akan terdapat banyak eigenstate

!D

engan kata lain, eigenstate dari H dapat

dipilih sedemikian sehingga untuk setiap !

terdapat vektor gelom

bang k yang mem

enuhi

untuk setiap R pada kekisi B

ravais

#%, r)

,R*$ei ,k- ,R#

%, r*

Bukti P

ersamaan B

loch

!U

ntuk setiap vektor kekisi Bravais R

didefinisikan operator translasi T

R yang ketika dioperasikan pada sem

barang fungsi f(r) akan menggeser

masukannya sebesar R

:T

R f(r) = f(r + R)

!K

arena Ham

iltonan bersifat periodik, diperoleh:T

R H!

= H(r + R

)!(r + R

) = H(r)!

(r + R) = H

TR !

maka T

R H = H

TR

!H

asil dari menerapkan dua translasi secara

berturutan tidak bergantung pada urutan penerapan, karena untuk sem

ua !(r)

TR T

R' !(r) = T

R' TR !

(r) = !(r + R

+ R')

sehingga TR T

R' = TR' T

R = TR+R'

!E

igenstate dari H dapat dipilih sebagai

eigenstate simultan untuk sem

ua TR

H!

= !!

TR !

= c(R)!

!K

arena

TR' T

R ! = c(R

)TR' !

= c(R)c(R

')!

dan

TR' T

R ! = c(R

)TR+R' !

= c(R+R

')!

maka c(R

+ R') = c(R

)c(R')

!M

isal ai adalah tiga vektor prim

itif untuk kekisi B

ravais, c(ai ) dapat dituliskan dalam

bentuk

dengan pemilihan x

i yang sesuai

!Jika R

adalah vektor kekisi Bravais um

um yang

dinyatakan sebagai

maka

c"ai #$e

2%ix

i

&R$n

1 & a1 'n

2 & a2 'n

3 & a3

c"R#$c"a

1 # n1c"a

2 # n2c"a

3 # n3

!P

ersamaan tersebut ekivalen dengan

dimana

dan bi adalah vektor kekisi balik yang

mem

enuhi!

Maka:

yang merupakan teorem

a Bloch

c" &R#$ei &k( &R

&k$k

1 &b1 'k

2 &b2 'k

3 &b3

&bi (& aj $

2%)ij

TR *

$*"& r'

&R#$c" &R

#*$ei &k( &R*

"& r#

Syarat B

atas Born-von K

arman

!D

alam m

odel Som

merfeld, nilai k yang diijinkan

dihitung dengan menggunakan syarat batas B

orn-von K

arman yang diterapkan pada sistem

di mana

sebuah elektron terjebak di dalam sebuah kubus

berukuran L!

Nam

un, jika kekisi Bravais bukan kubus dan L bukan

perkalian bulat konstanta kekisi a, tidak akan sesuai jika perhitungan dilakukan pada sistem

volume

kubus bersisi L!

Lebih sesuai jika perhitungan dilakukan untuk volum

e yang bersesuaian dengan sel primitif dari

kekisi Bravais yang sedang ditinjau

!S

yarat batas periodik digeneralisasikan ke

!(r + N

i ai ) = !

(r), i = 1, 2, 3

dengan ai adalah tiga vektor prim

itif dan Ni

adalah bilangan bulat berorde N1/3 di m

ana N =

N1 N

2 N3 m

erupakan cacah total sel primitif

dalam kristal

!S

aat mengadopsi syarat batas ini, digunakan

asumsi bahw

a sifat bahan tidak bergantung pada pem

ilihan syarat batas

!D

engan menerapkan teorem

a Bloch pada syarat

batas diperoleh

yang mensyaratkan

!Jika m

aka

sehingga harus dimiliki x

i = mi /N

i , mi bilangan bulat

!M

aka bentuk umum

vektor gelombang B

loch yang diijinkan

mi bilangan bulat

*nk "r'

Ni ai #$eiN

i &k(& ai*

nk "r#, i$1,2,3

eiN

i &k(& ai$

1, i$1,2,3

&k$k

1 &b1 'k

2 &b2 'k

3 &b3e

2%iN

i xi$

1

&k$+i$

1

3mi

Ni &b

i

Contoh:

!U

ntuk kekisi Bravais sim

ple cubic (sc), vektor prim

itifnya adalah

maka kekisi baliknya adalah

!K

arena N1 = N

2 = N3 = L / a, m

aka

& a1 $a,x, & a

2 $a,y, & a

3 $a,z

&b1 $

2%a,x, &b

2 $2%a

,y, &b

3 $2%a

,z

&k$+i$

1

3mi

Ni &b

i $m

1 2%L

,x'm

2 2%L

,y'm

3 2%L

, z

!D

ari persamaan um

um untuk nilai k, B

loch yang diijinkan, volum

e !k dari ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah volum

e bangun miring dengan

rusuk bi /N

i :

!K

arena adalah volume sel prim

itif kekisi balik, persam

aan di atas menyatakan

bahwa banyaknya k yang diijinkan dalam

sel prim

itif kekisi balik sama dengan banyaknya titik

kekisi dalam kristal

!Volum

e sel primitif kekisi balik adalah (2

") 3/v dengan v = V

/N adalah volum

e sel primitif kekisi

langsung, maka !k = (2") 3/V

-k$

b1

N1 ("b2

N2 .b3

N3 # $

1Nb1 ("b

2 .b3 #

b1 ("b

2 .b3 #

General R

emarks

!M

eskipun vektor gelombang untuk elektron bebas

adalah p/ℏ dengan p adalah mom

entum elektron,

maka dalam

kasus Bloch k tidak sebanding

dengan mom

entum elektron

ℏk akan dikenal sebagai mom

entum kristal dari

elektron (namun sebenarnya bukan m

enyatakan m

omentum

)!

Vektor gelombang k selalu dibatasi pada zona

Brillouin pertam

a, karena jika k' tidak berada pada zona B

rillouin pertama, selalu dapat dituliskan

dalam bentuk

k' = k + K

!U

ntuk satu nilai k, terdapat banyak solusi persam

aan Schrodinger, sehingga indeks n

muncul dalam

teorema B

loch!

Untuk satu nilai n, eigenstate dan eigenvalue

merupakan fungsi periodik dari k dalam

kekisi balik

untuk setiap n, kumpulan level-level elektron

yang ditentukan oleh !n (k) disebut pita energi

!S

uatu eletron dalam suatu level yang ditentukan

oleh indeks pita n dan vektor gelombang k

mem

iliki kecepatan rerata yang tidak nol, yang dinyatakan oleh

yang berarti elektron bergerak selamanya tanpa

pengurangan kecepatan rerata, meskipun

berinteraksi dengan ion positip

Perm

ukaan Fermi

!D

alam m

odel Som

merfeld, ground state N

elektron bebas dibentuk dengan cara m

engisi seluruh level k dari elektron tunggal yang m

emiliki

energi !(k) kurang dari !F!

Ground state N

elektron Bloch diperoleh dengan

cara yang sama, kecuali bahw

a level elektron tunggal diberi label bilangan kuantum

n dan k!

!n (k) tidak mem

iliki bentuk sederhana seperti pada elektron bebas dan k harus dibatasi pada sel prim

itif tunggal dari kekisi balik

Ketika bagian terendah dari level-level ini diisi oleh

sejumlah elektron:

!S

ejumlah pita akan terisi penuh, sem

entara lainnya akan kosong. S

elisih energi antara bagian teratas level terisi dan bagian terbaw

ah level kosong disebut sebagai band gap (celah energi)!

Jika lebar band gap lebih dari kB T (T berada pada

suhu kamar), diperoleh insulator

!Jika lebar band gap sebanding dengan k

B T, diperoleh sem

iconductor intrinsik

!S

ejumlah pita dapat terisi sebagian, m

aka energi dari level terisi paling tinggi, energi Ferm

i !F , terletak pada interval satu pita atau lebih

!U

ntuk setiap pita yang terisi sebagian, terdapat perm

ukaan Fermi yang m

emisahkan level terisi

dengan level kosong yang disebut cabang perm

ukaan Fermi (branch of Ferm

i surface)!

Cabang perm

ukaan Fermi pada pita ke-n adalah

permukaan pada ruang-k yang ditentukan oleh

!n (k) = !F

Fisika Zat Padat

Pita E

nergi

!D

itinjau atom Lithium

sebagai contoh!

Untuk atom

Li bebas, persamaan S

chrodinger untuk sistem

elektron yang berada pada sumur

potensial menghasilkan level-level energi diskret

1s, 2s, 2p, 3s, ... dst!

Atom

Li mengandung 3 elektron, sehingga 2

elektron menem

pati level 1s (terisi penuh) dan sisanya di level 2s

!M

isal 2 atom Li m

embentuk m

olekul Li2 , potensial yang 'dilihat' elektron berbentuk sum

ur ganda

!S

pektrum energi pada m

olekul Li2 akan terdiri atas kum

pulan doublet diskret: level tiap atom Li akan

pecah (split) menjadi 2 level berdekatan

!Tiap doublet juga dilabeli 1s, 2s, 2p, ..dst yang tersusun atas 2 sub-level

!Tiap level dapat m

enampung 2 elektron dengan

spin berlawanan, sehingga doublet 1s terisi 4

elektron dan doublet 2s terisi 2 elektron!

Pem

ecahan level bergantung pada orbital atomnya,

level 2p pecah lebih lebar dibanding 2s yang lebih lebar juga dari 1s

!M

aka semakin besar energi, lebar pem

ecahan sem

akin besar

!U

ntuk molekul poliatom

, jika terdapat 3 atom,

maka level energi pecah m

enjadi triplet, jika 4 atom

pecah menjadi quadruplet, ...dst,

sehingga untuk N atom

, level energi pecah ke dalam

N sub-level

!U

ntuk logam Li, karena N

~ 1023 atom

, maka

antar sub-level sangat berdekatan sehingga tidak bisa dibedakan dan dapat dianggap distribusinya kontinyu m

embentuk pita energi

!M

aka level 1s, 2s, 2p, ...dst mem

bentuk pita 1s, 2s, 2p, ...dst

!Fungsi gelom

bang elektron pada atom tunggal

akan terlokalisasi pada atom itu sendiri dan

berkurang secara eksponensial ketika m

enjauhi atom!

Sem

entara fungsi gelombang elektron pada

kristal akan mem

bentang di seluruh bahan sehingga disebut orbital terdelokalisasi

!D

ari fungsi Bloch: dan

maka dari persam

aan Schrodinger diperoleh:

untuk setiap nilai k, persamaan tersebut m

emiliki

solusi lebih dari satu, yang merupakan kum

pulan energi diskrit: E

1,k , E2,k , E

3,k , ! yang m

enyatakan pita energi, sehingga dapat ditulis sebagai E

n (k) dengan n adalah indeks pita

!B

anyaknya pita dapat mencapai tak hingga, nam

un hanya pita terendah yang ditem

pati elektron!

Antar pita terdapat celah energi yang tidak dapat

ditempati oleh elektron yang biasa disebut energy gap

"k #$ r%&

ei $k'$ ru

k #$ r%(p&

)i*

+ ,)

2

2m#*

-i $k% 2-

U#$ r%. u

k #$ r%&Ek u

k #$ r%

Sim

etri Pita D

alam R

uang-k

Setiap pita energi E

n (k) mem

enuhi sifat simetri:

!E

n (k + K) = E

n (k)

yang menyatakan bahw

a En (k) bersifat periodik

dengan periode sesuai vektor translasi kekisi balik

!E

n (-k) = En (k)

yang menyatakan bahw

a energi pita mem

iliki sim

etri cermin

Banyaknya Level P

ada Suatu P

ita

!Jum

lah level pada suatu pita akan sama

dengan banyaknya sel satuan pada kristal!

Dapat ditunjukkan pada kasus 1-D

di mana

fungsi Bloch berbentuk:

!Jika digunakan syarat batas periodik pada fungsi tersebut, dan sifat periodisitas potensial u

k (x + L) = uk (x), m

aka nilai k yang diijinkan adalah:

"k #x$%

eikxu

k #x$

k%nx 2&L

dengan n%0,'

1,'2,'

3,... dst

!M

aka banyaknya level dalam zona B

rillouin pertam

a yang lebarnya 2!/a adalah:

dengan N m

enyatakan banyaknya atom dalam

kekisi

!K

arena setiap level dapat menam

pung 2 elektron dengan spin berlaw

anan, maka m

aksimum

banyaknya elektron yang dapat ditam

pung suatu pita tunggal adalah 2N

# 2&(a$ (# 2&

(L$ %La%N

Model E

lektron Ham

pir Bebas

!U

ntuk mendapatkan gam

baran rinci dari sistem

elektron yang bergerak dalam kristal, persam

aan S

chrodinger harus diselesaikan dalam potensial

periodik U(r) yang ditentukan

!N

amun proses perhitungan akan sangat rum

it, sehingga lebih disukai kajian di m

ana bentuk potensialnya disederhanakan

!A

kan ditinjau ketika potensialnya sangat lemah

sehingga seolah-olah elektron berperilaku seperti partikel bebas, pendekatan ini disebut sebagai m

odel elektron ham

pir bebas (nearly free electron/NFE

)

!Tahap aw

al dalam kajian m

odel NFE

adalah solusi persam

aan Schrodinger untuk kasus di m

ana potensialnya tepat nol sehingga elektron bergerak bebas

!N

amun juga disyaratkan bahw

a solusinya mem

iliki sifat sim

etris!

Model ini juga disebut sebagai m

odel kekisi kosong!

Untuk kekisi 1-D

, fungsi gelombang dan energi untuk

model ini adalah:

di mana plot energi terhadap k m

enghasilkan kurva parabola

"k #0$%

1L1(2 e

ikx dan Ek #0$%

)2k

2

2m

!G

ambar (a) m

enyatakan relasi antara E dengan k

untuk model kekisi kosong yang m

embentuk kurva

parabola, biasa disebut dengan skema zona

diperluas (extended zone scheme)

!G

ambar (b) m

enyatakan sifat simetri: E

n (k + K) =

En (k) di m

ana segmen parabola ditranslasikan

sebesar K = 2!/a, disebut sebagai skem

a zona periodik (periodic zone schem

e)!

Gam

bar (c) menyatakan spektrum

energi yang dibatasi hanya pada zona Brillouin pertam

a saja, disebut dengan skem

a zona tereduksi (reduced zone schem

e)

Bagaimana jika potensialnya ada, nam

un cukup lemah?

!Pita pertam

a dan kedua yang tadinya bersentuhan akan terpisah sehingga m

emunculkan gap energi pada batas

zona Brillouin!

Pita kedua dengan ketiga yang pada model kekisi kosong

saling mem

otong akan terpisah, begitu juga untuk pita ketiga dan keem

pat!

Secara umum

, gap energi muncul di ruang-k jika pada

model kekisi kosong pita energi saling berpotongan, baik

di pusat maupun di batas zona Brillouin pertam

a!

Pada daerah lainnya, bentuk spektrum tetap berupa

kurva parabola dan elektron tetap berperilaku seperti partikel bebas

Logam, Insulator, S

emikonduktor

!Logam

(konduktor) adalah bahan padat di m

ana ketika dikenai medan listrik akan

mem

unculkan arus listrik, sementara pada

insulator tidak akan muncul arus

!S

uatu pita yang terisi penuh tidak akan m

embaw

a arus listrik meskipun dikenai m

edan listrik

!M

aka suatu bahan bersifat logam jika terdapat

pita energi yang terisi sebagian

Contoh: atom

Na dengan 11e (1s

2 2s2 2p

6 3s1)

!P

ita 1s, 2s dan 2p terisi penuh sehingga tidak berkontribusi pada arus

!P

ita 3s merupakan pita paling atas yang

ditempati (pita valensi) dan dapat m

enampung

2N elektron (N

= banyaknya sel satuan)!

Karena setiap sel satuan m

enyumbang 1

elektron valensi, maka pita 3s terisi separo dan

Na bersifat logam

Contoh: Intan (K

arbon) dengan 6e (1s2 2s

2 2p2)

!P

ita teratas berasal dari penggabungan level 2s dan 2p (sehingga m

emiliki 2 pita, 1s dan 2s+p,

terpisah oleh 1 gap energi)!

Karena pita valensi berasal dari level s+p dan

tiap sel satuan mengandung 2 atom

, maka pita

valensi intan mam

pu menam

pung 8N elektron

!P

ada intan, setiap atom m

enyumbang 4

elektron sehingga diperoleh 8 elektron per sel satuan

!M

aka pita valensi terisi penuh dan intan bersifat insulator

!Terdapat bahan yang m

emiliki sifat di antara logam

(konduktor) dan insulator yang disebut sem

ikonduktor!

Sem

ikonduktor mem

iliki gap energi yang sempit

antara pita valensi terisi penuh dengan pita kosong di atasnya

!E

lektron dapat tereksitasi secara termal ke pita di

atasnya sehingga kedua pita menjadi terisi sebagian

dan berkontribusi pada arus listrik!

Konduktivitas sem

ikonduktor sangat kecil jika dibandingkan dengan logam

, namun lebih besar dari

insulator!

Contoh: S

i (14e) dan Ge (32e) dengan gap energi

hanya 1 eV dan 0,7 eV

Kecepatan E

lektron Bloch

!E

lektron pada level !k bergerak dalam

kristal dengan kecepatan yang tergantung pada energi level tersebut

!U

ntuk partikel bebas, di mana kecepatan

dinyatakan sebagai v = p/m dan karena p = ℏk,

maka v = ℏk/m

(kecepatan sebanding dengan vektor gelom

bang)!

Untuk elektron B

loch, kecepatan juga sebanding dengan k nam

un menggunakan kecepatan grup

paket gelombang: v = ∇

k !(k)

! adalah frekuensi paket gelom

bang yang ditentukan oleh !

= E/ℏ dan k adalah vektor

gelombang paket gelom

bang, sehingga kecepatan elektron B

loch dituliskan sebagai:

yang menyatakan kecepatan elektron pada

level k sebanding dengan gradien energi dalam

ruang-k dan tidak harus sejajar vektor gelom

bang k!

Untuk 1-D

dapat dituliskan

v"1#$k E

%k&v"1#'E'k

!K

arena di sekitar pusat zona elektron berperilaku seperti partikel bebas sehingga E

= ℏ2k

2 / 2m*

dengan m* adalah m

assa efektif, maka v = ℏk/m

*!

Gam

baran yang diperoleh: elektron Bloch

berperilaku mirip dengan elektron bebas, yang

mem

bedakan hanya massanya

!K

etika elektron berada pada level !k , m

aka elektron tersebut akan tetap berada pada level itu selam

a kekisi tetap periodik!

Maka elektron tidak m

engalami perubahan

kecepatan meskipun m

enabrak titik kekisi (kecepatan elektron tetap konstan)

Dinam

ika Massa E

fektif

!K

etika medan listrik dikanakan pada kristal,

elektron Bloch m

engalami percepatan. M

isal pada kasus 1-D

:

!K

arena kecepatan adalah fungsi dari vektor gelom

bang, maka: a"

dvdt

a"dvdkdkdt

!dk/dt m

emberikan F

ext /ℏ dan sehingga

!B

entuk ini sama dengan hukum

kedua New

ton, dengan definisi m

assa efektif m* yang

berbentuk:

a"1#

2d

2Edk

2Fext

v"1#'E'k

m*"

#2

% d2Edk

2&

Massa E

fektif?

!N

ilai mom

entum elektron B

loch ditentukan dari

p = <!k |-iℏ∇

|!k >

dengan!

Karena u

k tidak konstan, maka ℏk bukan

menunjukkan m

omentum

nya, namun disebut

sebagai mom

entum kristal p

c

!K

etika medan listrik dikenakan pada kristal, m

aka vektor gelom

bang akan bervariasi menurut:

(k %) r&"

ei )k*) ru

k %) r&

ddt %#k&"Fext

!Jika p

c adalah mom

entum elektron, m

aka gaya di ruas kanan persam

aan tidak hanya untuk gaya eksternal saja, nam

un gaya total term

asuk gaya dari kekisi (yang ternyata tidak berpengaruh pada p

c )

!Jika m

omentum

elektron Bloch adalah p = m

v, m

aka:

!R

uas kanan dapat diubah ke bentuk massa

efektif:

mdvdt "

Ftot "

Fext #

Fkekisi

mdvdt "

mFext

m*

!M

aka:

sehingga ketika gaya kekisi lenyap (saat potensial periodik tidak m

uncul), elektron Bloch

akan berlaku sebagai elektron bebas

m*"m

Fext

Fext #

Fkekisi

Fisika Zat Padat

Getaran K

ekisi

!A

tom tidak diam

, namun berosilasi di sekitar

titik setimbangnya akibat adanya energi term

al!

Getaran kekisi m

emberikan pengaruh pada

sifat termal, optik dan akustik dari kristal

!P

ada batas panjang gelombang yang panjang

dari gelombang elastik, kristal dapat dilihat

sebagai medium

kontinyu!

Nam

un nantinya juga akan ditinjau sifat diskrit dari kekisi

Gelom

bang Elastik

!K

etika panjang gelombangnya sangat panjang,

struktur atom pada bahan dapat diabaikan dan

bahan dapat ditinjau sebagai medium

kontinyu!

Maka getaran kekisi dapat dilihat sebagai

gelombang elastis

!D

itinjau perambatan gelom

bang elastik pada suatu batang logam

yang panjang!

Misal gelom

bangnya longitudinal dan pergeseran elastik di titik x adalah u(x)

!S

train e (didefinisikan sebagai perubahan panjang per satuan panjang) dinyatakan sebagai e = du/dx

!S

tress S (didefinisikan sebagai gaya per satuan

luas), menurut hukum

Hooke, sebanding

dengan strain: S

= Yedengan Y

adalah tetapan elastik atau modulus

Young

Robert H

ookeB

ritish Physicist

(1635 - 1705)

Thomas Young

British P

hysicist(1773 – 1829)

Isaac New

tonB

ritish Physicist

(1643 – 1727)

Selanjutnya, ditinjau dinam

ika pada batang:!

Dipilih sem

barang segmen dengan panjang dx

!D

ari hukum N

ewton kedua, pergerakan

segmen dinyatakan sebagai:

! adalah rapat massa, A

' adalah luas tampang-

lintang dari batang

"#A'dx$ %

2u%t 2 &

'S"x(

dx$)S"x$*A

'

!U

ntuk segmen yang sem

pit, dapat dituliskan S

(x+dx) – S(x) = !S

/!x dx!

Dari definisi stress dan strain, diperoleh persam

aan dinam

ik:

yang merupakan persam

aan gelombang 1-D

!D

icoba solusi dalam bentuk gelom

bang bidang yang m

erambat:

dengan A adalah am

plitudo, k adalah vektor gelom

bang dan " adalah frekuensi

%2u

%x

2 &#Y%

2u%t 2

u&Aei"kx)

+t$

!M

aka diperoleh " = v

s k dengan adalah kecepatan ram

bat gelombang pada

batang, dan merupakan gelom

bang suara!

Hubungan antara "

dan k dikenal sebagai dispersion relation (hubungan dispersi)

!Jenis hubungan dispersi di m

ana " berbanding

linear dengan k dipenuhi juga oleh gelombang

lainnya (gelombang optik, gelom

bang suara pada gas dan cairan)

!P

enyimpangan dari hubungan linear ini disebut

sebagai dispersi

vs &

, Y-#

!E

fek kediskritan kekisi adalah mem

unculkan dispersi pada kurva dispersi (!

ketika panjang gelom

bangnya lebih pendek dari jarak pisah antar atom

)!

Analisis yang sam

a juga dapat diterapkan pada gelom

bang tranversal (shear) yang m

emunculkan tetapan elastis shear yang

analog dengan modulus Young

!K

edua tetapan elastik (Young's dan shear) dapat digunakan untuk m

enggambarkan

perambatan gelom

bang elastik pada bahan

!K

ajian tersebut berlandaskan pada asumsi

bahwa bahan bersifat isotropik, sem

entara kristal sebenarnya bersifat anisotropik

!E

fek anisotropi pada sifat elastik bahan adalah m

emunculkan tetapan elastik yang lebih dari

dua (seperti yang dimiliki bahan isotropik)

Rapat K

eadaan (Density of S

tates) M

edium K

ontinyu!

Ditinjau gelom

bang elastik pada batang panjang dim

ana gelombang m

erambat dalam

1-D!

Solusinya adalah (bagian w

aktu diabaikan) : u(x) = A

eikx

!Jika jum

lah ion sangat banyak, dapat diterapkan syarat batas periodik pada solusi gelom

bang elastik

(! ujung kanan batang selalu m

emiliki state osilasi

yang sama dengan ujung kiri)

!S

eolah-olah batang diubah ke bentuk lingkaran sehingga ujung kiri dan kanan bergabung

!Jika panjang batang adalah L = N

a (N adalah

banyaknya ion, a adalah jarak antar atom), m

aka u(x = 0) = u(x = L)

!S

ehingga eikL = 1 yang dipenuhi ketika k = n 2!/L

dengan n = 0, ±1, ±2, ±3, "

!Jarak antar dua nilai k yang bersebelahan adalah 2!/L

!K

etika L besar, jarak pisah menjadi kecil dan

titik-titik mem

bentuk garis kuasi-kontinyu!

Tiap nilai-k (tiap titik) mew

akili sebuah mode

getaran!

Misal dk adalah interval pada ruang-k,

banyaknya mode yang nilai k-nya terletak pada

interval ini adalah:

!N

amun k dan "

terkait melalui hubungan

dispersi, sehingga banyaknya mode juga dapat

ditentukan pada interval frekuensi d" yang

terletak antara " dan "

+d"

dq2"

#L$L2"dq

!R

apat keadaan (density of states) g(")

didefinisikan sedemikian sehingga g("

)d"

mem

berikan banyaknya mode

!M

aka g(")d"

= (L/2!) dk atau g("

) = (L/2!) / (d"/dk)

!K

arena daerah k negatif juga harus disertakan (m

ewakili gelom

bang yang berjalan ke kiri), g("

) dikalikan dua, sehingga:

g%&

'$L"

1d&#dk

!K

arena d"/dk = v

s , maka

yang merupakan tetapan tak gayut "

g%&

'$L"

1vs

!P

ada kasus 3-D, solusi gelom

bangnya adalah:

!S

yarat batas periodik mem

berikan batasan (untuk sam

pel kubus yang rusuknya L):

!M

aka

nx , n

y , nz bilangan bulat

u$Aei%k

x x(ky y(

kz z'$

Aei )k*) r

ei%k

x L(ky L(

kz L

'$1

kx $

2"nx

L , k

y $2"ny

L , k

z $2"nz

L

!Jika nilai-nilai ini diplot pada ruang-k, diperoleh jejaring kubus 3-D

di mana volum

e yang ditem

pati setiap titik adalah (2!/L) 3

!S

etiap titik mew

akili satu mode

!M

aka banyaknya mode di dalam

bola yang jejarinya k (sehingga volum

enya 4!k

3 /3):

dengan V = L

3 adalah volume sam

pel

4"3k

3#L2" $ 3%

4"3k

3V

#2"$ 3

!B

anyaknya mode (titik) pada rongga sferis

antara jejari k dan k + dk ditentukan dengan m

endifferensialkan persamaan sebelum

nya terhadap k yang m

emberikan:

!D

ari definisi g(") dan hubungan dispersi

diperoleh

V#2"

$ 3 4"k

2dk

g#&

$d&%

V#2"

$ 3 4"# &vs $ 2d

&vs

!M

aka rapat keadaan untuk kasus 3-D adalah

!P

ada kajian di atas, diasumsikan setiap nilai k

mem

iliki mode tunggal

!N

amun untuk kasus 3-D

, setiap nilai k mem

iliki 3 m

ode yang berbeda, satu longitudinal dan dua transversal

!H

ubungan dispersi untuk gelombang longitudinal

dan transversal berbeda, karena mem

iliki kelajuan yang berbeda

g#&

$%V2"

2 &2

vs 3

!D

engan mengabaikan perbedaan m

ode dan m

enganggap kelajuannya sama, m

aka rapat keadaan (density of state) totalnya adalah

!K

etika panjang gelombang untuk m

ode nilainya cukup kecil dibandingkan dim

ensi sampel,

fungsi rapat keadaan tidak bergantung pada pem

ilihan syarat batas

g#&

$%3V2"

2 &2

vs 3

Kalor Jenis

!Kalor jenis per m

ol didefinisikan sebagaidengan #Q

adalah panas yang dibutuhkan untuk m

enaikkan suhu 1 mol sebesar #T

!Jika proses dilakukan pada volum

e konstan, maka

#Q = #E

dengan #E adalah kenaikan energi internal

sistem:

!M

enurut Hukum

Dulong-P

etit, pada suhu tinggi (term

asuk suhu kamar), c

v = 3R dengan R

adalah tetapan gas = 8314 J/(km

ol K)

c%'Q

'T

cv %# (

E(T $

Pierre Louis Dulong

(1785 – 1838)French P

hysicist & C

hemist

Alexis Therese Petit(1791 – 1820)

French Physicist

!P

ada suhu rendah, ketika T turun, cv juga

berkurang dan lenyap pada suhu mutlak

!D

ari eksperimen, di dekat suhu m

utlak, cv

sebanding dengan T3

Model K

lasik!

Menurut teori klasik, atom

terikat pada titik kekisi oleh adanya gaya harm

onik!

Ketika bahan dipanaskan, atom

bergetar di sekitar titik kekisi seperti osilator harm

onik!

Energi internal rerata untuk osilator 1-D

adalah $ = kB T

!U

ntuk kasus 3-D, m

aka $ = 3kB T

!M

aka untuk 1 mol atom

, $ = 3NA

kB T = 3R

Tdengan N

A adalah bilangan Avogadro

!D

ari definisi untuk cv , diperoleh c

v = 3R!

Model klasik sesuai dengan H

ukum D

ulong-Petit, nam

un tidak cocok dengan hasil eksperim

en pada suhu rendah

Albert E

instein(1879 – 1955)

Germ

an-born Physicist

Peter D

ebye(1884 – 1966)

Dutch P

hysicist

Model E

instein

!D

alam m

odel ini, atom dianggap sebagai

osilator bebas, dan energinya ditentukan lewat

mekanika kuantum

!E

nergi sebuah osilator terisolasi secara kuantum

bernilai ! = nℏ"

dengan n = 0, 1, 2, 3, !

dan " adalah frekuensi osilator

!P

ada bahan, osilator tidak terisolasi, namun

bertukar energi dengan reservoir panas dari bahan, sehingga selalu berubah

!E

nergi rerata dari osilator pada bahan adalah:

!P

ersamaan tersebut m

enghasilkan:

yang menunjukkan pada suhu tinggi ! "

kB T

sesuai kajian klasik, namun saat T berkurang,

nilai ! berkurang hingga lenyap saat T = 0 K

" #$ %n$

0

&#n e

'#n (k

B T

%n$

0

&e'#n (k

B T

" #$)*

e)*(k

B T'1

!D

alam bahan, setiap atom

mew

akili 3 osilator, sehingga total terdapat 3N

A osilator, jadi energi totalnya:

dengan "E adalah frekuensi E

instein

!M

aka kalor jenisnya adalah:

" #$3NA

)*E

e)*E (k

B T'1

cv $+ ,

E,T - $

3R+ )

*E

kB T - 2

e)*E (k

B T

+e)*E (k

B T'1- 2

!P

ersamaan tersebut dapat disederhanakan

melalui substitusi suhu E

instein !E dengan k

B !E

= ℏ"

E :

!suhu E

instein !E m

erupakan parameter yang

dipilih untuk menghasilkan kurva yang

mendekati hasil pengukuran pada interval suhu

yang luas

cv $

3R+ .E

T - 2e.E (T

+e.E (T'

1- 2

Model D

ebye

!A

tom pada m

odel Einstein diasum

sikan berosilasi bebas, sedangkan pada kenyataannya, atom

-atom

saling berinteraksi sehingga osilasi satu atom

akan mem

pengaruhi atom lainnya

!G

erak yang ditinjau adalah gerak kekisi secara keseluruhan, bukan gerak atom

secara individu, sehingga ditinjau m

ode kekisi kolektif!

Contoh um

um dari m

ode kolektif ini adalah gelom

bang suara pada bahan

!D

ebye mengasum

sikan bahwa m

ode kekisi m

enyerupai sifat gelombang suara yang

mem

iliki relasi dispersi: " = v

s k

!N

ilai " pada m

odel Einstein adalah tunggal,

yaitu "E , sedangkan pada m

odel Debye nilai "

bervariasi dari 0 hingga nilai "

maksim

um!

Total energi getaran seluruh kekisi adalah:

dengan g(") adalah rapat keadaan (density of

states)

E$/

" #+*-g

+*-d

*

!E

nergi rerata dinyatakan oleh:

!N

amun bentuk integral tersebut harus m

emiliki

batas integrasi, yaitu ujung bawah dan atas

spektrum frekuensi

!B

atas bawah spektrum

frekuensi adalah " = 0

sedangkan batas atas ditentukan sedemikian

sehingga banyaknya mode harus sam

a dengan banyaknya derajat kebebasan atom

diseluruh bahan, yaitu 3N

A

" #$)*E

e)*E (k

B T'1

!U

ntuk menentukan banyaknya m

ode, digunakan DO

S

medium

kontinyu, karena Debye m

engasumsikan bentuk

relasi dispersi yang sama dengan gelom

bang suara pada bahan

!M

aka frekuensi Debye yang m

erupakan frekuensi batas (cutoff frequency) pada getaran kekisi ini ditentukan m

elalui

sehingga diperoleh: dengan n = NA /V

"0 #Dg

$#%d

#&

3NA

g$#

%&3V2'

2 #2

vs 3

#D &vs $6'

2n% 1(3

!E

nergi total getaran kekisinya adalah:

sehingga kalor jenisnya:

untuk menyederhanakan, substitusikan x =

ℏ!

/kB T dan suhu D

ebye !D = ℏ

!D /k

B sehingga

E&

3V2'

2vs 3 "

0 #D

)#3

e)#(k

B T*1d#

cv &

+E

+T&

3V2'

2vs 3

)2

kB T

2 "0 #D

#4e

)#(k

B T

$e)#(k

B T*1% 2 d

#

cv &

9R$T,D % 3"

0 ,D (T

x4e

x

$ex*

1% 2 dx

!N

ilai !D dipilih sedem

ikian sehingga m

emberikan kurva c

v yang mendekati hasil

pengukuran!

Untuk suhu tinggi, T >> !

D sehingga xD << 1

maka dengan pendekatan e

x = 1 + x diperoleh c

v = 3R yang sam

a dengan hukum D

ulong-Petit

!U

ntuk suhu rendah, T << !D sehingga x

D ! "

m

aka diperoleh cv = 12/5 "

4 R(T/!

D ) 3 yang sesuai eksperim

en bahwa c

v ~ T3

Fisika Zat Padat

Fonon

!D

alam m

odel Debye, energi setiap m

odel terkuantisasi dengan satuan energi kuantum

nya ℏ!

!K

arena modenya adalah gelom

bang elastik, maka

yang terkuantisasi adalah energi gelombang suara,

dan quasi-partikel yang mem

bawa kuantisasi energi

ini disebut sebagai fonon yang berarti mem

bawa

energi sebesar ℏ!

!Fonon juga m

erepresentasikan gelombang berjalan

dengan mom

entum p = ℏk

!M

aka gelombang suara elastik dapat dilihat sebagai

aliran fonon yang bergerak dengan kecepatan suara dalam

bahan

!B

anyaknya fonon pada suatu mode pada suhu

tertentu dinyatakan sebagai:

yang bergantung pada suhu, dengan n = 0 saat T = 0 dan m

embesar ketika suhunya juga naik

!M

aka fonon 'diciptakan' dengan menaikkan

suhu bahan kristal dan cacahnya tidak tetap (berbeda dengan partikel biasa yang cacahnya selalu tetap)

" n#1

e$%&k

B T'1

Gelom

bang Kekisi

!P

ada bahasan sebelumnya, diasum

sikan bahan sebagai m

edium kontinyu dan m

engabaikan kediskritan kekisi sehingga diperoleh relasi dispersi yang bersifat linear !

= vs k !

cocok selama jarak

antar atom lebih kecil dari panjang gelom

bang!

Pada bahasan berikutnya akan ditinjau sifat

kediskritan kekisi (bahwa kekisi bahan terdiri atas

atom-atom

) dimana ketika panjang gelom

bangnya cukup pendek, atom

mulai m

enghamburkan

gelombang dan m

engurangi kelajuan gelombang

Kekisi M

onatomik 1-D

!D

itinjau kekisi monatom

ik 1-D dengan tetapan

kekisi a

ketika kekisi bergetar, setiap atom akan

bergeser, dan karena berinteraksi dengan atom

lainnya, harus ditinjau gerak dari seluruh kekisi

!D

itinjau atom ke-n : gaya yang bekerja pada

atom ini diakibatkan oleh interaksi dengan atom

ke-(n+1) yaitu – "

(un+1 – u

n ) dengan un+1 dan u

n adalah pergeseran atom

ke-n dan ke-(n+1)

" adalah tetapan gaya antar atom

;

selisih (un+1 – u

n ) merupakan perpindahan relatif

! asum

si bahwa gaya yang bekerja sebanding

dengan perpindahan relatif disebut sebagai pendekatan harm

onik!

Gaya akibat atom

ke-(n–1) juga sebesar – "

(un-1 – u

n )

!D

engan hukum N

ewton kedua diperoleh:

dengan M adalah m

assa atom!

Dalam

pendekatan harmonik ini, hanya ditinjau

interaksi atom ke-n dengan atom

tetangga terdekatnya saja dan m

engabaikan interaksi dengan atom

lainnya!

Gerak atom

ke-n akan terkopel dengan atom ke (n +

1) dan ke (n – 1) begitu juga dengan atom lainnya

sehingga diperoleh N persam

aan differensial terkopel yang harus dicari solusinya

Md

2un

dt=

'()un*

1 'un +'

()u

n'1 'un +

=

'()2u

n 'un*

1 'un'

1 +

!D

icoba solusi dalam bentuk u

n = Ae

i(k Xn – !t)

dengan Xn adalah posisi setim

bang atom ke-n,

yaitu Xn = na

!S

olusi tersebut merepresentasikan gelom

bang berjalan di m

ana atom-atom

berosilasi dengan frekuensi yang sam

a yaitu ! dan am

plitudo yang sam

a yaitu A!

Dengan m

ensubstitusikan solusi ke persamaan

gerak, diperoleh:

M)'

%2+e

ikna#'(,2e

ikna'eik)n*

1+a'eik)n'

1+a-

Dihasilkan:

%#%m .sin

)ka&2+. dengan %

m #/ 4(

&M

Kurva dispersi yang diperoleh juga berlaku untuk

kekisi 2D dan 3D

dan mem

iliki sifat:!

Frekuensi yang diperoleh berada pada jangkauan 0 < !

< !m dan hanya frekuensi

dengan nilai ini yang dilewatkan oleh kekisi,

frekuensi lainnya dilemahkan !

low-pass filter

!U

ntuk panjang gelombang yang besar, k !

0 sehingga

yang bersifat linear seperti pada medium

kontinyu

"#$ "

m a2 % k

!K

urva dispersi mem

iliki sifat simetri: periodik

pada ruang-k yaitu pada interval – "/a < k < "/a dan m

emiliki sim

etri cermin pada k = 0

!Interval – "/a < k < "/a tidak lain m

erupakan zona B

rillouin pertama sehingga kajian pada

ruang-k dapat dibatasi hanya pada zona pertam

a saja!

Sim

etri cermin pada k = 0 m

enunjukkan bahwa

!(-k) = !

(k) sehingga gelombang yang

bergerak ke kanan maupun ke kiri akan

mem

iliki sifat yang sama

Banyaknya m

ode pada zona pertama

!D

ari syarat batas periodik, akan diperoleh bahw

a nilai k yang diijinkan adalah k = n 2"/L dengan n = 0, ±1, ±2, dst. dan jarak antar titik adalah 2"/L

!B

anyaknya titik pada zona pertama adalah

(2"/a)/(2"/L) = L/a = N dengan N

adalah cacah total atom

atau sel satuan pada kekisi

Kekisi D

iatomik 1-D

!D

itinjau kekisi diatomik 1-D

dimana setiap sel

satuan terdiri atas 2 atom dengan m

assa M1 dan

M2 serta jarak pisah antar atom

nya adalah a

!K

arena terdapat 2 atom, diperoleh 2 persam

aan gerak yang terkopel

disini atom dengan m

assa M1 diberi indeks ganjil

dan atom berm

assa M2 diberi indeks genap

!D

ari setiap sel, maka diperoleh 2N

persamaan

differensial terkopel yang harus dicari solusinya

M1 d

2u2n&

1

dt#'($2u

2n&1 'u

2n 'u

2n&2 %

M2 d

2u2n&

2

dt#'($2u

2n&2 'u

2n&1 'u

2n&3 %

!D

icoba solusi dalam bentuk:

dengan A1 adalah am

plitudo atom berm

assa M1

dan A2 adalah am

plitudo atom berm

assa M2

!S

ubstitusikan solusi ke persamaan gerak akan

diperoleh: ) u2n&

1

u2n * #) A

1 eikX

2n&1

A2 eikX

2n&2* e

'i"t

)2(

'M

1 "2

'2(

cos$ka%'

2(

cos$ka%2(

'M

2 "2* ) A

1

A2 * #

0

!K

arena persamaan hom

ogen, maka solusi

diperoleh jika determinannya nol:

yang merupakan persam

aan kuadratik dalam

!2 dengan solusi

+2('M

1 "2

'2(

cos$ka%

'2(

cos$ka%2(

'M

2 "2+ #

0

"2#

($1M

1 &1M

2 % ,(- $

1M1 &

1M2 % 2'

4sin

2$ka%M

1 M2

!K

arena terdapat 2 tanda ( + dan - ) maka

terdapat 2 relasi dispersi atau cabang pada kekisi diatom

ik!

Kurva yang di baw

ah, untuk tanda ( - ) m

erupakan cabang akustik sedangkan kurva yang di atas untuk tanda (+) m

enunjukkan cabang optik

!C

abang akustik dimulai dari titik k = 0 yang

mem

berikan nilai ! = 0 sedangkan cabang

optik dimulai dari titik k = 0 yang m

emberikan

nilai ! berhingga:

"#) 2

($1M

1 &1M

2 %* 1.2

!Interval frekuensi antara bagian atas cabang akustik dengan bagian baw

ah cabang optik tidak diijinkan m

emiliki nilai sehingga kekisi

tidak dapat melew

atkan gelombang pada

interval frekuensi ini karena mengalam

i atenuasi

!M

aka kekisi diatomik berlaku sebagai band-

pass filter

Kekisi 3-D

!D

itinjau kekisi Bravais m

onatomik, solusi um

um dari

persamaan getaran berbentuk:

!Vektor A

menentukan am

plitudo dan arah getaran, sehingga m

enentukan polarisasi dari gelombang,

yaitu apakah longitudinal ( A sejajar k) atau

transversal (A tegak lurus k)

!S

ubstitusi un ke persam

aan gerak akan diperoleh tiga persam

aan untuk Ax , A

y dan Az yang juga saling

terkopel dan mem

berikan 3 relasi dispersi yang berbeda

" un #

"Aei$ "k%" r&

't(

Rapat K

eadaan (DO

S) Fonon

!R

apat keadaan didefinisikan sedemikian

sehingga g(!)d!

mem

berikan banyaknya mode

pada jangkauan frekuensi (!, !

+d!)

!P

ada kasus 1-D sebelum

nya, telah diperoleh:

!B

erdasarkan bentuk relasi dispersi pada kekisi diskrit, m

aka diperoleh bentuk rapat keadaan:

g$'

(#L)

1d'*dk

g$'

(#2L

)a'm

1cos$ka

*2(

DO

S K

ekisi 1-D

!A

rea di bawah kurva D

OS

menunjukkan

banyaknya mode yaitu N

!U

ntuk menentukan g(!

) kekisi 3-D digunakan

cara yang sama seperti sebelum

nya: untuk cabang ke-j, plot kontur frekuensi !

j (k) = ! dan

!j (k) = !

+ d! dan hitung banyaknya m

ode yang dibatasi perm

ukaan kontur, nilai ini m

erupakan nilai gj (!

)d! yang m

enentukan gj (!

)!

DO

S total ditentukan dari jum

lahan DO

S untuk

setiap cabangg$'

(#+j g

j $'(

DO

S U

ntuk Suatu C

abang Mode

DO

S Total U

ntuk Cu

Kalor Jenis

!S

etelah mendapatkan nilai g(!

), dapat ditentukan nilai kalor jenis dari suatu kekisi 3D

!B

entuk umum

dari energi kekisi termal:

dan bentuk kalor jenis diperoleh dengan m

endifferensialkan bentuk energi terhadap suhu sehingga diperoleh:

E"#

$ %&'(g

&'(d

'

Cv "kB #&

)'

kB T ( 2

e)'*k

B T

&e)'*k

B T+1( 2 g

&'(d

'

Grafik K

alor Jenis

Fisika Zat Padat

Sem

ikonduktor

!S

emikonduktor m

enjadi bahan yang banyak digunakan dalam

teknologi setelah penemuan

transistor oleh Shockley, B

ardeen dan Brattain

!S

emikonduktor terbagi dalam

beberapa kelas:!

Grup IV

: C, S

i, Ge dan !

-Sn yang sem

uanya m

emiliki kekisi intan dan ikatan kovalen

!G

rup III-V: terdiri atas 2 unsur, dari unsur gol. III dan

gol.V, contoh: GaA

s dan InSb; m

emiliki struktur

zincblende dan ikatan kovalen namun tidak sim

etris sehingga bersifat polar

!G

rup II-IV: C

dS dan ZnS

yang juga mem

iliki struktur zincblende, dan sifat polar yang lebih kuat

Struktur P

ita pada Sem

ikonduktor

!S

emikonduktor m

emiliki pita valensi terisi

penuh pada T = 0 K (bersifat insulator)

!G

ap (celah) energi di atas pita valensi cukup sem

pit!

Pada suhu kam

ar, elektron dapat tereksitasi ke pita di atas pita valensi yang disebut sebagai pita konduksi !

pada logam konduktor, pita

valensi = pita konduksi, namun pada

semikonduktor pita valensi " pita konduksi

!Jika gap energi bernilai kurang dari 2 eV, pada suhu kam

ar elektron yang tereksitasi cukup banyak !

semikonduktor

!Jika gap energi lebih dari 2 eV, pada suhu kam

ar elektron yang tereksitasi sangat sedikit dan dapat diabaikan !

insulator!

Ketika elektron tereksitasi ke pita konduksi,

bagian bawah pita konduksi (P

K) terisi oleh

elektron, bagian atas pita valensi (PV

) terisi hole

!M

aka PV

dan PK

terisi sebagian dan mem

bawa

arus ketika dikenai medan listrik

!K

onduktivitas semikonduktor m

asih lebih kecil jika dibandingkan dengan logam

yang mem

iliki jum

lah elektron sedikit!

Pita lebih rendah dari P

V terisi penuh, begitu

juga pita di atas PK

tidak terisi, sehingga hanya P

V dan P

K yang perlu ditinjau dalam

kajian konduktivitas sem

ikonduktor

!Jika level energi nol dipilih pada bagian atas P

V, maka energi dari P

K dinyatakan sebagai:

!P

ada PV, energinya dinyatakan sebagai:

me * = m

assa efektif elektron; Eg = gap energi;

mh * = m

assa efektif hole

Ev " #k$%

&'

2k2

2mh *

Ec " #k

$%Eg (

'2k

2

2me *

Konsentrasi P

embaw

a (Carrier)

!D

alam kajian sem

ikonduktor, elektron dan hole disebut sebagai carrier, karena partikel inilah yang m

embaw

a arus listrik!

Banyaknya carrier m

enentukan besarnya konduktivitas listrik bahan sem

ikonduktor!

Pada suhu T, peluang level energi E

ditempati

sebuah elektron mem

enuhi distribusi Fermi-

Dirac:

f"E$%

1e"E

&EF $)k

B T(1

!Tingkat keterisian (occupation) untuk level energi tinggi sem

akin meningkat dengan

semakin naiknya suhu

!f(E

) = ! saat E

= EF

!P

ada suhu di atas nol, (E – E

F ) >> kB T

sehingga angka 1 pada penyebut dapat diabaikan sehingga:

yang tidak lain merupakan distribusi klasik

Maxw

ell-Boltzm

ann!

Banyaknya elektron pada interval energi dE

dinyatakan sebagai g

e (E)dE

dengan ge (E

) adalah D

OS

elektron

f"E#$eEF %k

B Te&E%k

B T

!K

arena tiap state mem

iliki peluang ditempati

elektron sebesar f(E), m

aka banyaknya elektron pada interval energi dE

adalah f(E)g

e (E)dE

!Jadi konsentrasi elektron pada P

K adalah

dengan Ec1 dan E

c2 berturut-turut menyatakan

level bawah dan level atas pita

n$'Ec1

Ec2f"E

#ge "E

#dE

!K

arena DO

S untuk elektron konduksi adalah

" lihat m

odel Som

merfeld

!M

aka DO

S untuk P

K dinyatakan sebagai

dimana g

e (E) lenyap pada E

< Eg

ge "E

#$12(

2" 2me

)2# 3%2E

1%2

ge "E

#$12(

2" 2me

)2# 3%2"E

&Eg # 1%2

!M

aka:

!D

engan substitusi x = (E – E

g )/kB T dan nilai

diperoleh:

dengan nilai EF yang belum

diketahui

n$12(

2" 2me

)2# 3%2e

EF %k

B Te&Eg %k

B T'Eg

*"E

&Eg # 1%2e

&"E

&Eg #%k

B TdE

'0 *x

1%2e&xdx$

+ (2

n$2" m

e kB T

2()

2# 3%2eEF %k

B Te&Eg %k

B T

!K

onsentrasi hole juga dapat dihitung dengan cara serupa

!P

eluang suatu hole menem

pati level E di P

V

adalah 1 – f(E) karena f(E

) adalah peluang keterisian elektron sehinggafh = 1 – f(E

)!

Maka

karena (EF – E

) >> kB T

fh $

1&1

e"E

&EF #%k

B T,1 $

1e"E

F &E#%k

B T,1 -e&EF %k

B TeE%k

B T

!D

OS

untuk hole adalah:

!M

aka konsentrasi hole dinyatakan oleh:

yang mem

berikan

gh "E

#$12(

2" 2mh

)2# 3%2"&

E# 1%2

p$'&*

0fh "E

#gh "E

#dE

p$2" m

h kB T

2()

2# 3%2e&EF %k

B T

!K

arena elektron pada PK

berasal dari PV

akibat eksitasi m

elewati celah energi, m

aka banyaknya elektron konduksi sam

a dengan banyaknya hole ( n = p )

!M

aka diperoleh

!S

ubstitusi nilai ini ke persamaan konsentrasi

elektron menghasilkan:

EF $

12Eg ,

34kB T

ln" mh

me #

n$2"kB T

2()

2# 3%2"me m

h # 3%4e&Eg %2kB T

!P

ersamaan tersebut m

enunjukkan bahwa n

meningkat pesat dengan naiknya suhu

(bertambah secara eksponensial) sehingga

dengan meningkatnya suhu, sem

akin banyak elektron yang tereksitasi m

elintasi gap energi!

Untuk nilai E

g = 1 eV, me = m

h = m0 dan T = 300

K diperoleh n = 10

15 elektron/cm3

!Jika dim

iliki konsentrasi elektron sama dengan

konsentrasi hole, maka disebut sem

ikonduktor intrinsik

!Jika bahan m

engandung impuritas yang

menyum

bang cacah carrier, maka disebut

semikonduktor ekstrinsik

Impuritas

!S

emikonduktor m

urni mengandung dua tipe

carrier, elektron dan hole yang banyaknya sam

a!

Dalam

prakteknya, dibutuhkan semikonduktor

yang hanya mengandung 1 jenis carrier saja

(elektron saja atau hole saja) dan diperoleh dengan cara doping im

puritas pada bahan sem

ikonduktor

!C

ontoh: Si yang didoping A

s!

Si dapat m

embuat 4 ikatan kovalen, sedangkan

As dapat m

embuat 5 ikatan kovalen, m

aka tersisa 1 elektron ketika S

i dan As m

embentuk 4

ikatan kovalen!

1 elektron yang tersisa dari As akan m

asuk ke P

K tanpa m

emunculkan hole pada P

V sehingga

pengotor As disebut sebagai donor karena

menyum

bang elektron pada PK

!Level donor berada di dalam

gap energi, tepat di baw

ah PK

, sehingga pada suhu kamar ham

pir seluruh elektron donor akan tereksitasi ke P

K

!C

ontoh: Si yang didoping G

a!

Si dapat m

embuat 4 ikatan kovalen sedangkan

Ga hanya dapat m

embuat 3 ikatan kovalen

menyisakan 1 elektron dari S

i yang tidak berpasangan

!1 elektron S

i yang tidak berpasangan dapat m

embentuk ikatan jika terdapat 1 elektron yang

dipindah dari ikatan yang lain, yang tentunya akan m

emunculkan hole pada ikatan tersebut

maka G

a disebut sebagai aseptor karena m

enerima tam

bahan elektron untuk dapat m

embentuk ikatan

!Level energi hole berada tepat di atas ujung atas P

V yang m

enggambarkan hole yang

ditangkap oleh aseptor!

Ketika aseptor terionisasi (elektron tereksitasi

dari bagian atas PV

mengisi hole di level

aseptor), hole tersebut jatuh ke bagian atas PV

dan m

enjadi carrier bebas

Statistik S

emikonduktor

!S

emikonduktor um

umnya m

engandung donor dan aseptor

!E

lektron pada PK

dapat diciptakan melalui

eksitasi termal antar pita atau ionisasi term

al oleh donor

!H

ole pada PV

dapat diciptakan melalui eksitasi

antar pita atau eksitasi termal elektron dari P

V

ke level aseptor!

Elektron dapat jatuh dari level donor ke level

aseptor

Daerah Intrinsik

!K

onsentrasi carrier pada daerah intrinsik ditentukan oleh transisi term

al antar pita, maka

n = p!

Sehingga konsentrasi carrier dinyatakan oleh:

yang dikenal sebagai konsentrasi intrinsik ni

!D

aerah intrinsik diperoleh ketika doping im

puritas cukup kecil

n"p"ni "

2#kB T

2$%

2& 3'2#me m

h & 3'4e(Eg '2k

B T

Daerah E

kstrinsik

!P

ada daerah ekstrinsik, kontribusi impuritas

melebihi carrier yang disum

bang oleh eksitasi antar pita

!Terdapat 2 kasus: ketika konsentrasi donor m

elebihi konsentrasi aseptor (Nd >> N

a )

!K

arena energi ionisasi donor cukup kecil, seluruh donor terionisasi dan m

asuk ke PK

!M

aka n = Nd

!D

alam kasus ini konsentrasi hole cukup kecil

!P

erkalian antara n dengan p tidak tergantung pada E

F

!S

isi kanan persamaan di atas juga m

enyatakan n

i 2, sehingga np = ni 2

!M

aka jika tidak ada perubahan suhu, perkalian np tidak bergantung pada doping, dan ketika konsentrasi elektron m

eningkat konsentrasi hole berkurang

np"

4#kB T

2$%

2& 3#me m

h & 3'2e(Eg 'k

B T

!K

etika doping mayoritas bertipe donor n ~ N

d , m

aka konsentrasi hole adalah

!K

arena berada pada daerah ekstrinsik, ni << N

d , sehingga p << N

d = n yang menyatakan

konsentrasi elektron jauh lebih besar dari hole!

Maka sem

ikonduktor dengan n >> p disebut sem

ikonduktor tipe-n

p"ni 2

Nd

!Tipe lain daerah ekstrinsik terjadi ketika N

a >> N

d yaitu ketika doping mayoritas adalah

aseptor!

Dengan analisis yang sam

a, maka p ~ N

a

yaitu seluruh aseptor terionisasi!

Konsentrasi elektron yang sangat kecil

diberikan oleh

!B

ahan ini disebut sebagai semikonduktor

tipe-p

n"ni 2

Na

!K

ajian semikonduktor tipe n dan p tersebut

menggunakan asum

si bahwa suhu cukup tinggi

sehingga seluruh donor dan aseptor terionisasi (cocok pada suhu kam

ar)!

Nam

un jika suhunya diturunkan sehingga energi term

alnya terlalu kecil untuk m

engeksitasi elektron, maka elektron akan

jatuh dari PK

ke level donor dan konduktivitas bahan m

enurun cepat ! disebut sebagai

pembekuan (elektron “m

embeku” di tem

pat im

puritas)

Variasi Konsentrasi E

lektron Terhadap Suhu

Pada S

emikonduktor Tipe n