ESTIMASI PARAMETER PADA REGRESI SEMIPARAMETRIK UNTUK DATA LONGITUDINAL

Lilis Laome1

1Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kendari 93232

e-mail : lhi2s@yahoo.com

Abstrak Misal

iy merupakan variabel respon,

iX adalah variabel prediktor yang berhubungan linier dengan

iy

dan i

t adalah variabel prediktor lain yang berhubungan secara tidak linier dengan i

y , model tersebut dikatakan model semiparametrik dan dapat ditulis dengan :

( ) , 1, 2, ...,Ti i i i

y X f t i n

dimana, ( )i

f t adalah fungsi yang tidak diketahui. Suatu model semiparametrik untuk data longitudinal dapat ditulis dengan :

( ) , 1, 2, ..., ; 1, 2, ...,Tij ij ij ij i

y X f t i n j n Dengan menggunakan metode Penalized Likelihood diperoleh estimator komponen parametrik

T T

-1

= X PX X Py dan estimator komponen nonparametrik

1 1 1 ( )T T T -1f V K V I - X X PX X P y , dimana 1 1 1 1 1( )T P = V V V K V Kata kunci : regresi semiparametrik, data longitudinal, dan penalized likelihood. Abstract Let

iy is response variable,

iX is predictor variable which linear relation with

iy and

it is another

predictor which nonlinear relation with i

y , the model is semiparametric,

( ) , 1, 2, ...,Ti i i i

y X f t i n

where, ( )if t is unknown function. The semiparametriic model for longitudinal data is : ( ) , 1, 2, ..., ; 1, 2, ...,T

ij ij ij ij iy X f t i n j n

With using Penalized Likelihood method are obtained parametric component estimator

T T

-1

= X PX X Py And nonparametric component estimator

1 1 1 ( )T T T -1f V K V I - X X PX X P y , where 1 1 1 1 1( )T P = V V V K V Keywords: semiparametric regression, longitudinal data, and penalized likelihood

I. LATAR BELAKANG

Analisis regresi adalah salah satu alat statistik yang banyak digunakan untuk mengetahui

hubungan antara dua atau lebih variabel. Misalkan y adalah variabel respon dan t adalah variabel

prediktor, maka untuk n pengamatan hubungan variabel tersebut dapat dinyatakan dengan :

( ) , 1, 2, ...,i i i

y f t i n

JIMT, Vol 5 No. 2, Nopember 2008 : 60-64:

2

dengan ( )i

f t adalah fungsi regresi dan i

adalah error random yang diasumsikan independen dan

identik dengan mean 0 dan variansi 2 .

Ada dua pendekatan yang dapat digunakan untuk mengestimasi ( )i

f t yaitu pendekatan

parametrik dan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan bila bentuk fungsi ( )i

f t diketahui

berdasarkan pada teori dan pengalaman masa lalu. Sedangkan pendekatan nonparametrik digunakan

bila tidak adanya informasi tentang bentuk hubungan variabel respon dan variabel prediktor. Namun

dalam perkembangan analisis regresi, untuk mengatasi permasalahan bila variabel prediktornya tidak

dapat diestimasi dengan pendekatan parametrik maupun nonparametrik, maka diperkenalkan regresi

yang merupakan gabungan dari regresi parametrik dan regresi nonparametrik, yaitu regresi

semiparametrik [1].

Penelitian tentang regresi semiparametrik telah banyak dilakukan. [2] tentang estimator

spline pada model semiparametrik. [3] tentang pendekatan kernel dalam regresi semiparametrik dan

pemilihan bandwidth optimal. Dan [4] tentang model linier parsial pada hilangnya data komponen

parametrik. Namun penelitian-penelitian tersebut hanya pada data cross section atau data yang

diamati pada suatu waktu tertentu. Untuk kasus khusus, regresi semiparametrik dapat digunakan pada

data longitudinal.

II. TINJAUAN PUSTAKA

II.1 Data Longitudinal

Studi longitudinal didefinisikan sebagai suatu studi terhadap unit eksperimen dengan respon

yang diamati dalam dua atau lebih interval. Data longitudinal adalah pengamatan berulang pada unit

eksperimen, berbeda dengan data cross section yaitu data dari masing-masing individu diamati

dalam sekali waktu [5]. Ada beberapa keuntungan dari studi mengenai data longitudinal

dibandingkan dengan data cross section. Pertama, studi longitudinal lebih powerful dari studi cross

section untuk sejumlah subjek yang tetap. Dengan kata lain, untuk memperoleh kekuatan uji statistik

yang sama, studi longitudinal membutuhkan subjek yang lebih sedikit. Kedua, dengan jumlah subjek

yang sama, hasil pengukuran error menghasilkan penaksir efek perlakuan yang lebih efisien dari data

cross section. Ketiga, data longitudinal mampu menyediakan informasi tentang perubahan individu,

sedangkan data cross section tidak [5].

Estimasi Parameter pada Regresi Semiparametrik untuk Data Longitudinal

3

II.2 Model Semiparametrik Untuk Data Longitudinal

Regresi semiparametrik adalah gabungan antara regresi parametrik dan regresi

nonparametrik. Model regresi semiparametrik dapat ditulis sebagai berikut :

( ) , 1, 2, ...,Ti i i i

y X f t i n (1)

dimana i

y adalah variabel respon ke -i , iX adalah komponen parametrik, ( )if t adalah fungsi regresi

dan i

adalah error random, dimana 2(0, )i

N . Regresi semiparametrik untuk data longitudinal

dapat ditulis dengan :

( ) , 1, 2,..., ; 1, 2,...,Tij ij ij ij i

y X f t i n j n (2)

dimana terdapat n subjek dengan subjek ke-i mempunyai ni observasi menurut waktu. yij , i = 1,...,n,

j = 1,...,ni merupakan respon untuk subjek ke-i pada waktu ke-j. 1 2( , , ..., )T

p adalah vektor

1p pada koefisien regresi parametrik i

X , dengan Tij

X diasumsikan tidak mempunyai intersep,

( )ij

f t adalah fungsi yang terdeferensiabel dua kali dengan panjang periode sama dengan P dan ij

adalah eror random yang saling bebas dengan mean 0 dan variansi 2 R .

III. PEMBAHASAN

Asumsi data mengikuti model pada persamaan (2) dengan 2m

Wf dan 20N ( , R) .

Estimasi parameter pada model regresi semiparametrik untuk data longitudinal, diperoleh dengan

cara memaksimumkan Penalized Log Likelihood (PLL). Misalkan 1

n

i

i

N n

dan 2V R maka

fungsi distribusi dari adalah

12

1 1( ) exp

2(2 )

T

Nf

V

V

(3)

selanjutnya akan dicari distribusi dari y = X + f + dengan metode Moment Generate Function

(MGF) diperoleh :

JIMT, Vol 5 No. 2, Nopember 2008 : 60-64:

4

2

( ) [exp( )]

[exp{ ( )}]

exp( ( )) [exp( )]1

exp( ( )) exp( )2

1exp( ( ) )

2

T

y

T

T T

T T

T T

M E

E

E

2

t t y

t X + f +

t X + f t

t X + f t Rt

t X + f t Rt

sehingga dari metode MGF diatas diperoleh 2( , )N y X + f R . Berikut diberikan fungsi likelihood

dari y adalah:

12 1( , , ) (2 ) exp 2N

T

f y V V (4)

dengan y X f . Selanjutnya, untuk estimasi parameter dan fungsi f didapat dari

memaksimumkan PLL. Diketahui fungsi log likelihood ( , , ) f y dari model semiparametrik tersebut

adalah :

11

log ( ) log(2 ) log ( ) ( )2 2 2

TN N , f, y ( V ) y X f V y X f (5)

Selanjutnya, fungsi PLL untuk model (2) dapat ditulis dengan :

2( , ) [ ]2

b

a

PLL dt

'' f, y f (t) (6)

dimana ( , ) f, y merupakan fungsi likelihood, 0 merupakan parameter smoothing dan 2[ ]b

a

dt ''f (t)

merupakan fungsi penalti. Persamaan (6) dapat disederhanakan dengan :

1 1 1

1 1 1

1log(2 ) log( ) ( 2 2

2 2 2

2 )2

T T T

T T T T T T

N NPLL

V y V y y V X y V f

X V X X V f + f V f f Kf

(7)

Dengan membuat 0PLL

akan diperoleh :

Estimasi Parameter pada Regresi Semiparametrik untuk Data Longitudinal

5

1 1 1

1 1 1

12 2 2 0

2

0 (8)

T T T

T T T

y V X X V X X V f

X V y X V X X V f

Selanjutnya dengan membuat 0PLL

f

akan diperoleh :

1 1 11 1 1

1 1

1 1 1

12 2 2 0

20

( ) ( )

( ) ( ) (9)

T T T T T

T T T T

T

T

y V X V f V f K

y V X V V f K f

V K f V y X

f V K V y X

Untuk memperoleh estimator , substitusi (9) ke (8) :

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(10)

T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T

-1

-1

X V y X V X-X V K V y X = 0

X V X X V K V X = X V X V K V y

= X V X X V K V X XV X V K V y

= X PX X Py

dimana 1 1 1 1( )T P = V V K V

Substitusi (10) ke (9), diperoleh :

1 1 1

1 1 1

( )

( ) (11)

T T T

T T T

-1

-1

f = V K V y - X X PX X Py

f V K V I - X X PX X P y

Untuk mendapatkan matrik ( )A , substitusi (10) dan (11) ke :

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

( )

( )

( ) ( )

( )

T T T T T

T T T T T

T T T T

-1 -1

-1 -1

-1

y X f

X X PX XPy V K V I-X X PX X P y

X XPX X P V K V I-X X PX XP y

I V K V X XPX X P V K V y

A y

dimana 1 1 1( ) ( )T T T -1A I V K V X X PX X P

JIMT, Vol 5 No. 2, Nopember 2008 : 60-64:

6

IV. KESIMPULAN

Diberikan model ( )ij i ij ij

y f t X dimana 1, 2, ..., , 1, 2, ...,i

i n j n . Error random

berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi V . Berdasarkan analisis yang dilakukan dapat

disimpulkan dalam estimasi model semiparametrik yaitu estimasi parameter untuk komponen

parametrik diperoleh :

1 T T

X PX X Py

dan estimasi komponen nonparametrik diperoleh :

1 1 1 ( )T T T -1f V K V I - X X PX X P y dimana 1 1 1 1 1( )T P = V V V K V

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] Engle, R. F., Granger, C. W. J., Rice, J., dan Weiss, A. 1986. Semiparametric Estimates of The

Relation Between Weather and Electricity Sales, Journal of the American Statistical

Association. Vol. 81, hal 310-320.

[2] Srinadi, I.A.M. 2002. Estimator Spline pada Model Semiparametrik. Tesis. Surabaya: Institut

Teknologi Sepuluh Nopember.

[3] Mulianah. 2006. Pendekatan Kernel dalam Regresi Semiparametrik dan Pemilihan Bandwith

Optimal. Tesis. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[4] Ampa, A. T. 2006. Model Linier Parsial Pada Hilangnya Data Komponen Parametri. Tesis.

Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[5] Kuswanto, H. 2005. Model Gamma-Frailty Untuk Data Longitudinal dan Pendugaan Korelasi

Serial dengan Metode Composite Likelihood, Tesis. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh

Nopember.