MODUL 3

UKURAN PENYIMPANGAN

Tutor : Derist Touriano

Ukuran Penyebaran (Dispersi) atau Ukuran Variansi atau Ukuran Penyimpangan adalah ukuran yang

menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya

Ukuran Penyimpangan menunjukkan suatu variasi dari suatu distribusi data. Dengan mengetahui variasi

suatu data maka kita bisa mengambil kesimpulan secara lebih tepat tentang distribusi suatu data. Pada

ukuran nilai tengah, beberapa distribusi angka dengan mean (rerata) yang sama bisa memiliki ukuran

variasi yang berbeda. Lihat ilustrasi berikut ini:

Rerata nilai mahasiswa untuk setiap matakuliah (A, B, dan C) tersebut diatas adalah sama. Namun

demikian kita akan memberikan interpretasi yang berbeda bila mencermati lebih jauh tentang variasi dari

masing-masing matakuliah. Penghitungan ukuran penyebaran atau ukuran dispersi ini penting karena:

Akan diperoleh informasi tambahan tentang penyebaran yang terjadi pada suatu distribusi.

Dapat menilai ketepatan ukuran nilai tengah dalam mewakili distribusinya. Bila suatu distribusi data

memiliki dispersi yang besar maka ukuran nilai tengah kurang mewakili distribusinya, sebaliknya bila

nilai dispersi semakin kecil maka semakin tepat nilai tengah mewakili distribusi datanya.

Ukuran penyebaran yang akan dijelaskan adalah rentang (range), rerata deviasi (mean deviation).

simpangan baku (standard deviation), variansi (variance) dan koefisien variasi (Coefficient of variation).

RENTANG (RANGE) Nilai rentang ini menunjukkan selisih antara data yang paling tinggi dengan data yang paling rendah.

Dengan melihat ukuran ini maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang variasi suatu distribusi

data. Nilai range ini sangat kasar, karena tidak mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai

ekstrimnya. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:

Contoh:

Pada data Tabel satu diperoleh range pada masing masing mata kuliah adalah:

Maka secara kasar dapat disimpulkan bahwa sebaran nilai pada matakuliah C paling bervariasi

dibandingkan dengan nilai mata kuliah A dan B. Nilai range sama dengan 0 pada matakuliah A

menunjukkan bahwa distribusi nilai A adalah homogen. Semakin besar nilai rentang maka distribusi data

semakin bervariasi.

RERATA DEVIASI (MEAN DEVIATION). Untuk menutup kekurangan dari nilai range maka bisa dihitung nilai rerata deviasi (Mean Deviation).

Simpangan rata-rata (SR) memperhitungan nilai-nilai lain selain nilai ekstrim distribusi data. Sedangkan

definisi Rerata Deviasi adalah rata-rata penyimpangan tiap angka pada suatu data terhadap meannya.

Makin kecil harga deviasi ini, berarti makin kecil.

Rerata Deviasi Data Tunggal

Rerata Deviasi pada data tunggal dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan : Dr = Rerata Deviasi xi = nilai k

= nilai rata-rata sampel / nilai rerata distribusi data n = jumlah data

Contoh 1

Kelompok I : 35, 45, 36, 42, 38, 36, 48, 38, 40, 34, 34

Kelompok II : 36, 34, 50, 32, 46, 34, 38, 44, 48, 44, 56

No. Kelompok I Kelompok II

X1 | X1 - | X2 | X2 - | 1 35 | 35 – 38,73 | = 3,73 36 | 36 – 42 | = 6

2 45 6,27 34 8

3 36 2,73 50 8

4 42 3,27 32 10

5 38 0,73 46 4

6 36 2,73 36 6

7 48 9,27 38 4

8 38 0,73 44 2

9 40 1,27 48 6

10 34 4,73 44 2

11 34 4,73 56 14

Jumlah ( ∑ ) 426 40,19 464 70

Mean 38,73 3,65 42,18 6,36

Dr Kelompok I : 40,19

11= 3,65

Dr Kelompok II : 75,27

11= 6,55

Berdasarkan keadaan rerata deviasi data tersebut di atas dapat dilakukan analisis, bahwa data kelompok

I lebih mengumpul ke arah Mean-nya daripada data kelompok kedua yang menyebar terhadap Mean-nya.

Rerata Deviasi Data Berkelompok

Rerata Deviasi pada data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan : Dr = Rerata Deviasi fi = Frekuensi

= nilai rata-rata sampel / nilai rerata distribusi data Xi = titik tengah interval kelas

(batas bawah tidak nyata kelas + ½ lebar interval kelas) N = banyaknya angka pada data / total frekuensi

Contoh :

Jawab :

1. Hitung Xi – Xn

Xi = ((Batas Atas – Batas Bawah)/2)) + Batas Bawah

Xi = ((149 – 140) / 2) + 140 = ((9)/2) + 140

Xi = 4,5 + 140 = 144,5

2. Hitung fi Xi

fi Xi = fi . Xi

fi Xi = fi . Xi = 6 x 144,5

= 867,0

3. Buat Tabel Data Frekuensi (TDF)

4. Hitung rata-rata (Mean)

Mean = 16530,0

100 = 165,30

5. Buat kembali TDF dan hitung Rerata Deviasi (Dr)seperti di bawah ini

VARIANSI (VARIANCE) Variansi adalah harga deviasi yang juga memperhitungkan deviasi tiap data terhadap meannya. Variansi

untuk populasi biasanya dilambangkan Ƭ, sedangkan vraiansi untuk sampel dilambangkan S2.

Variansi Data Tunggal

Variansi data yang tidak berkelompok menggunakan rumus :

atau

atau

Keterangan:

V = Variansi

= rata-rata

Xi = angka anggota data

N = banyaknya angka pada data

Contoh :

35, 45, 36, 42, 38, 36, 48, 38, 40, 34, 34

atau menggunakan rumus

atau menggunakan rumus

Variansi Data Berkelompok Perhitungan variansi untuk data yang berkelompok dapat menggunakan rumus

or

or

Keterangan:

V = variansi

= rata-rata

fi = frekuensi

Xi = titik tengah interval kelas

(batas bawah tidak nyata kelas + ½ lebar interval kelas)

N = banyaknya angka pada data (total frekuensi)

Contoh :

Diketahui bahwa Mean : 165,30

atau menggunakan rumus

atau menggunakan rumus

SIMPANGAN BAKU (STANDARD DEVIATION) Standar deviasi atau simpangan baku merupakan akar dari variansi. Standar deviasi dapat dipergunakan

sebagai angka yang mewakili seluruh aggregate untuk ukuran variability, dipengaruhi oleh perubahan nilai

observasi. Standar deviasi biasa disingkat SD untuk ukuran sampel, sedangkan standar deviasi untuk

populasi biasa dilambangkan σ (sigma) dan standar deviasi untuk sampel biasa dilambangkan S.

Simpangan baku ini merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Ukuran ini dikenalkan

oleh Karl Pearson (1984).

Simpangan Baku Data Tunggal

Jika kita mempunyai sekumpulan data kuatitatif tunggal (tidak berkelompok) yang dinyatakan oleh x1, x2,

x3,….,xn maka dapat dicari simpangan bakunya dengan menggunakan rumus :

Sample :

Populasi :

contoh :

Selama 10 kali ulangan semester ini Ayesha mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88.

Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Ayesha ?

Jawab :

Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku

untuk populasi.

1. Hitung rata ratanya :

Rerata (Mean) = 91+79+86+80+75+100+87+93+90+88

10= 85,9

2. Hitung dan lalu buat tabel seperti di bawah ini :

3. Hitung Simpangan Baku

Rumus Simpangan Baku Data Kelompok Misalkan kita memiliki data berkelompok yang dinyatakan dengan x1, x2, x3,…, xn dan masing-masing mempunyai frekuensi fi, f2, f3,…,fn maka simpangan bakunya dapat dicari dengan menggunakan rumus :

Sample :

Populasi :

Jika data kelompok tersebut terdiri dari kelas-kelas maka harus mencari nilai tengah dari masing-masing

kelas lalu kemudian dicari rata-ratanya dengan cara mecari rata-rata data berkelompok.

Contoh :

Diketahui data tinggi badan 50 siswa kelas C

adalah sebagai berikut :

Hitunglah berapa simpangan bakunya ?

Jawab :

1. Mencari Nilai Tengah

Hitung Xi – Xn

Xi = ((Batas Atas – Batas Bawah)/2)) + Batas Bawah

Xi = ((140 – 131) / 2) + 140 = ((9)/2) + 131

Xi = 4,5 + 131 = 135,5

Hitung fi Xi

fi Xi = fi . Xi

fi Xi = fi . Xi = 2 x 135,5

= 271

2. Buat dan isi tabel seperti di bawah ini :

Tinggi Badan fi Xi fi . Xi

131 - 140 2 135,5 271

141 - 150 8 145,5 1164

151 - 160 13 155,5 2021,5

161 - 170 12 165,5 1986

171 - 180 9 175,5 1579,5

181 - 190 6 185,5 1113

50 8135

3. Hitung Rerata (Mean)

Rerata (Mean) = ∑ 𝑓𝑖.𝑋𝑖

∑𝑓𝑖=

8135

50 = 162,7

4. Hitung , dan lalu buat tabel seperti di bawah ini :

Tinggi Badan fi xi fi . Xi (xi – ) (xi – )2 f(xi – )2

131 - 140 2 135,5 271 -27,2 739,84 100248,3

141 - 150 8 145,5 1164 -17,2 295,84 43044,72

151 - 160 13 155,5 2021,5 -7,2 51,84 8061,12

161 - 170 12 165,5 1986 2,8 7,84 1297,52

171 - 180 9 175,5 1579,5 12,8 163,84 28753,92

181 - 190 6 185,5 1113 22,8 519,84 96430,32

50 8135 277835,9

5. Hitung simpangan baku

σ = √277835,9

50= 74,5