96404575 modul statistika

STATISTIKA

Penyusun:

Amalia Izzati

NPM 11310158

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS IKIP PGRI SEMARANG

2012

S t a t i s t i k a

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselesaikannya

penyusunan modul `STATISTIKA` ini. Modul ini penulis buat untuk media

pembelajaran yang praktis agar siswa mampu memahaminya. Secara keseluruhan,

modul ini berdasarkan kompetensi dasar Matematika sesuai standart yang ada.

Setiap bab dalam modul ini dimulai dengan memberi gambaran mengenai

materi yang akan dipelajari. Setelah itu, materi ini disajikan dengan contoh – contoh

soal yang ditujukan untuk semua pembaca agar mampu memahami materi yang

akan dipelajari. Pendekatan pemecahan dalam masalah ini menjadi bagian

terpenting dalam materi yang dipelajari sehingga dapat meningkatkan kemampuan

dan ketrampilan peserta didik dalam memahami masalah, membuat model

matematika, dan menyelesaikan masalah. Selain itu, diberikan pula latihan ulangan

yang dapat membantu peserta didik dalam menguasai materi ini.

Pada akhirnya, penulis menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh

dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang ada relevansinya dengan

penyempurnaan modul ini sangat penulis harapkan. Kritik dan saran sekecil apapun

akan penulis perhatikan dan pertimbangkan guna penyempurnaan modul lainnya.

Semoga modul tentang STATISTIKA ini mampu memberikan manfaat dan

mampu memberikan segi positif bagi pembaca.

Semarang, Juni 2012

Penulis

S t a t i s t i k a

3

Daftar Isi

Kata Pengantar.............................................................................................. 2

Daftar Isi......................................................................................................... 3

BAB 1 STATISTIKA

A. Pengertian Dasar Statistika.......................................................................... 5

1. Statistik dan Statistika............................................................................. 7

2. Jenis-jenis Data...................................................................................... 8

B. Pengumpulan Data....................................................................................... 9

C. Penyajian Data Tunggal............................................................................... 10

1. Diagram Batang...................................................................................... 10

2. Diagram Garis......................................................................................... 12

3. Diagram Batang Daun............................................................................. 13

4. Diagram Lingkaran.................................................................................. 13

D. Penyajian Data Berkelompok........................................................................ 15

1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi.................................................... 15

2. Jenis-jenis Tabel Distribusi Frekuensi..................................................... 19

a. Tabel Frekuensi Relatif...................................................................... 19

b. Tabel Frekuensi Kumulatif................................................................. 20

3. Menggambar Tabel Distribusi................................................................. 21

a. Histogram dan Poligon Frekuensi..................................................... 21

b. Ogive................................................................................................. 22

E. Ukuran Statistik Data.................................................................................... 23

1. Ukuran Pemusatan Data........................................................................ 23

a. Rata-rata.......................................................................................... 23

b. Median.............................................................................................. 29

c. Modus............................................................................................... 31

d. Hubungan Antara Rata-rata, Median, dan Modus ........................... 32

2. Ukuran Letak........................................................................................... 33

a. Kuartil................................................................................................ 34

b. Statistik Lima Serangkai.................................................................... 38

c. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga........................................................ 38

d. Desil................................................................................................... 39

S t a t i s t i k a

4

e. Persentil............................................................................................. 41

3. Ukuran Penyebaran Data........................................................................ 43

a. Jangkauan......................................................................................... 43

b. Simpangan Rata-rata......................................................................... 44

c. Simpangan Baku............................................................................... 46

d. Simpangan Kuartil............................................................................. 48

RANGKUMAN ............................................................................................... 51

LATIHAN ULANGAN...................................................................................... 54

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 57

S t a t i s t i k a

5

put mer mer kun bi hi bi hi kun tam cok bi ung bi hi cok pu mer kun hi bi kun hi bi bi mer cok bi bi tam put ung kun mer hi bi ung mer tam bi Ket: bi = biru, hi = hijau,

kun = kuning, mer = merah, cok = coklat, tam = hitam, put = putih, ung = ungu

A. Pengertian Dasar Statistika

Perhatikan situasi sederhana berikut!

David diminta Bu Guru mencatat tinggi badan semua siswa dikelasnya. Dia lalu

mengedarkan secarik kertas dan meminta teman-temannya menuliskan warna favorit

mereka di kertas tersebut.

a. David mengumpulkan semua informasi yang diperoleh ke dalam sebuah daftar.

b. David mengelompokkan informasi dan membuat sebuah tabel.

Warna favorit Banyak siswa Putih 3 Merah 6 Kuning 5 Biru 10 Hijau 6 Ungu 4 Hitam 3 Coklat 3 Total 40

S t a t i s t i k a

6

c. David menyajikan informasi yang diperolehnya dengan menggunakan diagram.

d. David membuat tafsiran atas hasil yang diperoleh dan membuat kesimpulan

sebagai berikut

Warna-warna yang menunjukkan informasi yang diperoleh disebut data statistik,

atau secara singkat disebut data.

Kita dapat melihat bahwa statistika berhubungan dengan empat hal, yaitu:

a. Pengumpulan data

b. Pengorganisasian data

c. Penyajian data

d. Penafsiran data

0

2

4

6

8

10

12

Putih Merah Kuning Biru hijau ungu hitam coklat

Ada 40 siswa di kelas. Kebanyakan siswa menyukai warna biru. Secara umu selera warna siswa cukup

beragam

S t a t i s t i k a

7

1. Statistik dan statistika

1. Statistik Perhatikan contoh data berikut ini!

a. Produksi beras suatu desa pada tahun 2005-2007

1) Tahun 2005 : 162 kuintal



b. Suhu badan pasien setiap 6 jam

1) Jam 06.00 : 380 C

2) Jam 12.00 : 390 C

3) Jam 18.00 : 37,50 C

4) Jam 24.00 : 400 C

c. Data siswa suatu SMA adalah

1) Rata-rata nilai ulangan matematika siswa kelas X A adalah 8,0.

2) Siswa kelas XII yang lulus dan diterima di perguruan tinggi negri favorit

adalah 40%.

Dari contoh di atas maka statistik dapat diartikan sebagai berikut.

a. Kumpulan angka-angka dari suatu permasalahan, sehingga dapat

memberikan gambaran mengenai masalah tersebut.

b. Ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari

kumpulan data tersebut.

Berdasarkan kebutuhan terhadap pengolahan data, statistik dibagi dua, yaitu:

a. Statistik Deskriptif adalah statistik yang tingkat pekerjaannya mencakup

cara-cara menghimpun, menyusun atau mengatur,mengolah,menyajikan,dan

menganalisa data angka agar dapat memberikan gambaran yang teratur,

ringkas, dan jelas,mengesuatu gejala, peristiwa,atau keadaan.

b. Statistik Inferensial adalah statistik yang dapat dipergunakan sebagai

alat dalam rangka mencoba menarik kesimpulan yang bersifat umum,dari

sekumpulan data yang telah disusun dan diolah.

2. Statistika Statistika adalah cara ilmiah yang mempelajari pengumpulan, pengaturan,

perhitungan, penggambaran, dan penganalisaan data, serta penarikan

kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan, dan

pembuatan kesimpulan yang rasional.

Contoh:

Nilai rata-rata matematika siswa kelas XI IPA SMA angkasa adalah 41%.

SMA Angkasa disebut populasi.

Kelas XI IPA disebut sampel.

Nilai matematika disebut variabel.

S t a t i s t i k a

8

Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut.

Taksiran yang salah terhadap populasi disebut sampel bias.

Ada beberapa sebab sempel bias, yaitu :

1. Pertanyaan yang diajukan membingungkan, menyesatkan, atau kurang jelas.

2. Sampel tidak representatif. Misalnya : menyimpulkan tinggi anak SMA di

Indonesia rata-rata 160 cm, dengan mengambil sampel hanya dari satu SMA.

3. Pertanyaan diajukan kepada orang yang salah.

Variabel digolongkan ke dalam salah satu dari 2 jenis berikut.

a. Variabel diskrit, yaitu variabel yang dapat dihitung atau pada variabel

tersebut terdapat sekumpulan nilai yang pasti.

Contoh: banyaknya siswa yang ada di tiap kelas di suatu SMA.

b. Variabel kontinu, yaitu variabel yang dapat diukur dengan menggunakan

suatu skala yang kontinu. Hasilnya tergantung pada ketelitian alat ukur dan

keakuratan pengamat.

Contoh: suhu udara dalam sehari berubah-ubah.

2. Jenis-jenis data Menurut jenisnya, data dibagi menjadi dua, yaitu

a. Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau

menghitung.

Contoh: data tinggi badan, umur dan sebagainya.

b. Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik

yang dimiliki objek yang diteliti. Biasanya data kualitatif tidak dapat dituliskan

dalam bentuk bilangan.

Contoh: data jenis kelamin, status perkawinan, warna dan sebagainya.

Variabel adalah suatu yang akan diselidiki dan memiliki sejumlah

nilai.

Sampel adalah kelompok kecil yang memiliki keseluruhan subyek

yang diselidiki.

Populasi adalah keseluruhan obyek yang akan diteliti.

S t a t i s t i k a

9

B. Pengumpulan Data

Berbagai keterangan (informasi) mengenai suatu hal yang mungkin berbentuk

angka, lambang atau sifat disebut datum. Kumpulan datum disebut data. Data

yang baru dikumpulkan disebut data mentah, yaitu data yang belum mengalami

pengolahan apapun.

Berdasarkan cara pengumpulannya, pengumpulan data dibagi atas emapt cara,

yaitu:

1. Pengamatan (observasi), yaitu cara pengumpulan data dengan mengamati

secara langsung subjek yang diteliti.

2. Penelusuran literatur, yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan

sebagian atau seluruh data yang telah ada dari peneliti sebelumnya.

Penelusuran literatur disebut juga pengamatan tak langsung.

3. Survey, yaitu cara pengumpulan data dengan daftar pertanyaan dengan pilihan

jawaban yang telah ditentukan atau terbuka yang diberikan kepada responden

(objek yang diteliti). Survey dapat dilakukan secra tertulis (dinamakan

kuesioner).

4. Wawancara (interviu), yaitu cara pengumpulan data dengan langsung

mengadakan tanya jawab kepada subyek yang diteliti.

Berdasarkan banyaknya data yang diambil, cara pengumpulan data dibagi atas dua

cara, yaitu:

1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data, dimana data diperoleh dari setiap anggota

populasi.

2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data, dimana hanya sebagian anggota

populasi (sampel) saja yang diteliti. Akan tetapi, dari sebagian anggota populasi

ini diharapkan dapat menggambarkan keadaan sebenarnya.

Agar data kuantitatif dapat disajikan dalam bentuk yang paling sederhana maka

digunakan aturan pembulatan berikut ini.

1. Aturan umum (pembulatan ke satuan terdekat)

Apabila angka di belakang koma kurang dari 0,5 dihilangkan dan apabila lebih

atau sama dengan 0,5 dibulatkan menjadi 1.

3,49 dibulatkan menjadi 3

4,5 dibulatkan menjadi 5

16,24539 dibulatkan menjadi 16,25 (sampai dua tempat desimal)

S t a t i s t i k a

10

2. Aturan genap terdekat

Apabila angka di belakang koma kurang dari 0,5 dihilangkan, lebih dari 0,5

dibulatkan sama dengan 1, dan sama dengan 0,5 dihilangkan asal angaka yang

mendahului merupakan bilangan genap atau dibulatkan menjadi 1 asalkan angka

yang mendahului merupakan bilangan ganjil.

8,738 dibulatkan menjadi 8,7 (sampai satu tempat desimal)

23,52 dibulatkan menjadi 24,00



C. Penyajian Data Tunggal

Sebelum membuat diagram data, data terlebih dahulu ditampilkan dalam bentuk

tabel. Dari data tabel dapat dibuat diagram data dan grafik, di antaranya adalah

diagram batang, diagram garis, diagram batang daun, dan diagram

lingkaran.

1. Diagram Batang

Diagram batang merupakan bentuk penyajian data dengan menggunakan batang-

batang berbentuk persegi panjang dan dilengkapi dengan skala tertentu untuk

menyatakan banyaknya tiap jenis data. Jenis datanya ditempatkan pada sumbu

mendatar, sedangkan pada sumbu tegak disajikan angka untuk menyatakan

kuantitas atau jumlah data yang bersangkutan.

Contoh Soal :

Produksi baja yang dihasilkan negara-negara penghasil baja pada tahun 2003 dan

2005 (dalam jutaan ton) sebagai berikut:

Negara

Banyak Baja (dalam jutaan ton)

2003 2004

Amerika Serikat 28 89

Rusia 17 76

Jerman 22 36

Inggris 10 21

Prancis 6 17

Belgia 2 7

S t a t i s t i k a

11

Penyelesaian:

Langkah-langkah penyajian data ke dalam bentuk diagram batang adalah sebagai

berikut.

1. Membuat sumbu datar dan tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar

dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian juga dengan sumbu

tegaknya.

2. Menampilkan nama variabel data pada sumbu datar dan menuliskan angka-

angka dengan skala tertentu pada sumbu tegak. Sumbu datar digunakan untuk

menyatakan nama variabel data. Untuk contoh ini variabel datanya adalah

negara yang terdiri dari Amerika Serikat, Jerman, Inggris, Prancis, Belgia.

3. Menuliskan angka-angka yang menunjukkan produksi baja yang dihasilkan

denagn skala 10 pada sumbu tegak, dimulai dengan angka nol pada

perpotongan sumbu tegak dan sumbu datar. Jadi, diperoleh sumbu datar dan

sumbu tegak dengan tampilan jenis data dan kuantitasnya.

4. Membuat grafik data berbentuk persegi panjang dengan lebar skala sama.dalam

contoh ini dibuat dua persegi panjang yang berdekatan untuk masing-masing

negara sebagai representasi dari banyaknya baja yang dihasilkan pada tahun

2003 dan 2007, dan diarsir agar berbeda.

Data pada tabel dapat disajikan dalam bentuk diagram batang seperti berikut.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

AmerikaSerikat

Rusia Jerman Inggris Prancis Belgia

2003

2004

S t a t i s t i k a

12

2. Diagram Garis

Diagram garis merupakan bentuk penyajian data pada bidang Cartesius dengan

menghubungkan titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x dan sumbu y),

sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis. Diagram garis biasanya digunakan

untuk melihat perkembangan data yang berkesinambungan, seperti suhu badan

pasien rumah sakit, curah hujan, tinggi permukaan air laut, dan populasi penduduk.

Contoh soal:

Berat badan seorang bayi dicatat setiap 3 minggu selama 21 minggu semenjak

dilahirkan dan hasilnya sebagai berikut.

Umur (Minggu) 0 3 6 9 12 15 18 21

Berat (Kg) 2,8 3 3,5 3,6 4 4,2 3,9 4,3

Penyelesaian:

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram garis seperti gambar di bawah

ini.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 3 6 9 12 15 18 21

Berat (Kg)

S t a t i s t i k a

13

3. Diagram Batang Daun

Diagram batang daun (stem and leaf plot) adalah suatu metode penyajian

daat statistik dalam kelompok batang dan kelompok daun dari suatu data.

Contoh Soal :

Sajikan data berikut ini dalam diagram batang daun.

1, 1, 2, 2, 3, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 12, 14, 15, 15, 21, 22, 28.

Penyelesaian :

Batang Daun

0 1 1 2 2 3 6 6 7 8 9

1 0 2 2 4 5 5

2 1 2 8

Keterangan :

Lajur Batang menyatakan angka puluhan, lajur Daun menyatakan angka satuan.

Diagram batang daun di atas merupakan contoh pengelompokkan data dalam

interval (skala) 10, yaitu; 0 – 9; 10 – 19; dan seterusnya.

Berikut ini, contoh pengelompokkan data dalam skala 5.

Batang Daun

0(0) 1 1 2 2 3

0(5) 6 6 7 8 9

1(0) 0 2 2 4

1(5) 5 5

2(0) 1 2

2(5) 8

Keterangan :

0(0) ≡ 0 – 4

0(5) ≡ 5 – 9

1(0) ≡ 10 – 14 dan seterusnya

4. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran merupakan bentuk penyajian data berupa daerah lingkaran

yang telah dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan data yang bersangkutan.

Diagram lingkaran sangat baik untuk menunjukkan perbandinagn antara dua objek

yang satu dengan yang lain serta terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.

S t a t i s t i k a

14

Contoh soal :

Data berikut menunjukkan jumlah atlet beberapa cabang olahraga di SMA Sukajaya.

Jenis Olahraga Jumlah Atlet (orang)

Sepak bola 60

Basket 45

Voli 50

Bulu tangkis 25

Tenis meja 20

Penyelesaian:

Data ini akan disajikan dalam diagram lingkaran. Untuk membuat diagram lingkaran

ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Menentukan besarnya presentase tiap-tiap objek terhadap keseluruhan

data. Dalam contoh ini misalnya jumlah untuk jenis olahraga sepak bola:

Dengan cara yang sama dapat ditentukan presentase untuk jenis olahraga yang

lain.

2. Menentukan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Besarnya sudut

pusat sektor lingkaran pada contoh soal ini ditentukan dengan membagi besar

presentase tiap jenis olahraga dengan 100%, lalu mengalikannya dengan

besarnya sudut satu putaran lingkaran (3600).

Misalnya jenis olahraga sepak bola:

Dengan cara yang sama dapat ditentukan besar sudut pusat sektor lingkaran

untuk jenis olahraga yang lain.

3. Mempresentasikan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 1 dan 2

kedalam daerah lingkaran.

Gambarkan sebuah lingkaran, kemudian daerahnya dibagi-bagi menjadi

beberapa sektor dengan besar sudut pusat sesuai dengan yang telah diperoleh

pada langkah 2. Tiap sektor melukiskan kategori data untuk rubik-rubik yang ada.

Dari langkah-langkah di atas diperoleh data, jumlah data, presentase data, dan besar

sudut pusat untuk masing-masing objek sebagai berikut

Jenis Olahraga Jumlah Atlet (orang) Persen Sudut Pusat

Sepak bola 60 30% 1080

Basket 45 22,5% 810

Voli 50 25% 900

Bulu tangkis 25 12,5% 450

Tenis meja 20 10% 360

Total 200

S t a t i s t i k a

15

Diagram lingkaran jumlah atlet beberapa cabang olahraga

D. Penyajian Data Berkelompok

1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi

Apabila data cukup banyak maka data dikelompokkan dalam beberapa kelompok.

Kelompok-kelompok data disebut dengan kelas dan banyaknya data pada setiap

kelas disebut frekuensi kelas. Selang yang memisahkan kelas yang satu dengan

yang lain disebut interval kelas. Besarnya interval kelas untuk semua kelas harus

sama. Jika datanya sedikit maka tidak perlu dikelompokkan dalam kelas-kelas. Suatu

tabel yang menyajikan data yang telah dikelompokkan pada kelas-kelas beserta

frekuensi kelasnya disebut tabel distribusi frekuensi.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan agar suatu tabel distribusi frekuensi

dapat memberikan informasi yang baik, antara lain sebagai berikut.

1. Jumlah kelas pada suatu tabel distribusi frekuensi jangan terlalu banyak atau

jangan terlalu sedikit.

2. Hindari adanya suatu kelas yang tidak dapat menampung data (frekuensi kelas

nol).

3. Semua data harus dapat ditampungke dalam tabel distribusi frekuensi tersebut,

dan tiap kelas frekuensinya tidak boleh memuat data yang ada pada kelas

frekuensi lain.

30%

22%

25%

13%

10%

Sepak bola

Basket

Voli

Bulu tangkis

Tenis meja

S t a t i s t i k a

16

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi

adalah sebagai berikut.

1. Urutkan data dari data terkecil ke data yang terbesar.

2. Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi frekuensi. Dapat digunakan metode

Sturges:

keterangan :

k : banyak kelas

n : banyak data

3. Tentukan interval kelas dengan rumus :

keterangan :

I : interval kelas

R : range : jangkauan

: data terbesar – data terkecil

k : banyak kelas

4. Tentukan batas atas dan batas bawah kelas.

Contoh soal

Nilai ujian nasional bidang studi matematika pada suatu sekolah sebanyak 40 orang

peserta tercatat sebagai berikut.

60 62 59 62 58 59 59 58 40 62

59 58 40 60 40 44 54 59 60 58

48 60 59 54 62 48 63 54 44 59

58 63 59 50 35 48 60 60 59 48

Penyelesaian :

a. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

1) Urutkan data dari data-data terkecil ke data terbesar.

35 40 40 40 44 44 48 48 48 48

50 54 54 54 58 58 58 58 58 59

59 59 59 59 59 59 59 59 60 60

60 60 60 60 62 62 62 62 63 63

2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi frekuensi.

Kita gunakan metode Sturges :

k = 1 + 3,3 log n

= 1 + 3,3 log 40

= 1 + 5,29

= 6,29

3) Tentukann interval kelas (I) dengan rumus :

(dibulatkan menjadi 5)

k = 1 + 3,3 log n

S t a t i s t i k a

17

4) Tetapkan batas bawah kelas pertama (diambil angka 35 untuk memudahkan

menghitung interval kelas dan data terdekat dengan data terkecil).

Jadi, tabel distribusi frekuensinya adalah sebagai berikut.

Nilai Frekuensi

35 – 39 1

40– 44 5

45– 49 4

50 – 54 4

55 – 59 14

60 – 64 12

b. Dari tabel distribusi frekuensi diperoleh informasi tentang jumlah anak yang

memperoleh nilai antara 55 sampai dengan 59 sebanyak 14 anak.

c. Dari tabel diperoleh informasi nilai tertinggi adalah antara 60 sampai dengan 65,

yaitu sebanyak 14 anak.

Pada suatu tabel distribusi frekuensi terdapat beberapa istilah atau beberapa nilai

yang perlu diketahui, antara lain sebagai berikut.

1) Kelas (k)

Setiap kelompok data disebut kelas.

Kelas ke-1 : 35 – 39

Kelas ke-2 : 40 – 44, dan seterusnya

2) Batas Kelas (Class Limit)

Batas kelas adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan yang

lainnya.

Batas kelas ada dua macam, yaitu

a. Batas bawah kelas (Bb) adalah nilai ujung bawah (nilai terkecil dari kelas)

pada suatu kelas. Pada tabel, batas bawah kelasnya : 35, 40, 45, 50, 55, dan

60. Batas bawah kelas adalah kelipatan dari interval kelas (I). Pada contoh

soal di atas, 35, 40 adalah kelipatan 5 (interval kelas).

b. Batas atas kelas (Ba) adalah nilai ujung atas (nilai terbesar dari kelas) pada

suatu kelas. Pada tabel, batas atas kelasnya : 39, 44, 49, 54, 59, 64.

3) Tepi Kelas (Class Boundary)

Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak

mempunyai lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas

yang lain.

Tepi kelas ada dua macam, yaitu

S t a t i s t i k a

18

a. Tepi bawah kelas (Tb) adalah batas bawah kelas dikurangi

satuan

ukuran.

Contoh : untuk kelas ke-1 :

b. Tepi atas kelas (Ta) adalah batas atas kelas ditambah

satuan ukuran.

Contoh : untuk kelas ke-1 :

4) Interval Kelas = Lebar Kelas = Panjang Kelas (I)

Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas

yang lainnya.

Lebar kelas yang dilambangkan dengan I dirumuskan dengan :

Perlu diingat bahwa lebar kelas pada distribusi frekuensi untuk semua kelas

adalah sama. Pada contoh tabel, lebar kelasnya adalah

(

) (

) (

)

5) Tititk Tengah Kelas (Mid Point atau Class Mark)

Titik tengah kelas adalah nilai yang mewakili kelas tersebut dan merupakan

nilai tengah kelas atau rataan kelas, dirumuskan dengan :

Titik tengah kelas ke-1 adalah

(

)

I = tepi atas kelas – tepi bawah kelas

(tepi bawah kelas + tepi atas kelas)

S t a t i s t i k a

19

2. Jenis-jenis Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tabel distribusi frekuensi

relatif dan tabel distribusi frekuensi kumulatif.

a. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Dari suatu tabel distribusi frekuensi dapat dibuat tabel baru yang disebut tabel

distribusi frekuensi relatif. Tabel distribusi frekuensi relatif mempunyai

frekuensi relatif dalam bentuk presentase (%). Besarnya frekuensi relatif dapat

ditentukan dengan rumus :

Keterangan :

: frekuensi relatif

: banyaknya frekuensi

∑ : jumlah seluruh frekuensi

Dari rumus tersebut, dapat dilihat bahwa tabel distribusi relatif merupakan tabel

distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan

jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi

tertentu.

Contoh Soal :

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi relatif (fr)

persen rasio

20 – 29 1 2% 1/50

30 – 39 2 4% 1/25

40 – 49 4 8% 2/25

50 – 59 18 36% 9/25

60 – 69 14 28% 7/25

70 – 79 8 16% 4/25

80 – 89 3 6% 3/50

jumlah ∑ = 50

Dari tabel tersebut dapat dibuat suatu tabel distribusi frekuensi yang

mencantumkan frekuensi relatif masing-masing kelasnya.

Frekuensi relatif kelas ke-1 :

Frekuensi relatif kelas ke-2 :

dan seterusnya

∑

S t a t i s t i k a

20

b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu

kelas dijumlahkan dengan frekuensi kelas sebelumnya.

Frekuensi kumulatif ada dua macam, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari

dan frekuensi kumulatif lebih dari.

a. Tabel Distribusi Kumulatif Kurang Dari Tabel ini dibuat dengan cara menjumlahkan frekuensi secara berurutan dari

frekuensi pada kelas yang memuat data terkecil ke kelas yang memuat data

terbesar.

kelas ke-1 = 1

kelas ke-2 = 1 + 2 = 3

kelas ke-7 = 47 + 3 = 50

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi kumulatif (fk)

20 – 29 1 1

30 – 39 2 3

40 – 49 4 7

50 – 59 18 25

60 – 69 14 39

70 – 79 8 47

80 – 89 3 50

Jumlah ∑ = 50

b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Tabel ini dibuat dengan cara mengurangkan frekuensi secara berurutan,

mulai dengan mengurangkan total frekuensi dengan kelas yang memuat

data terkecil dan seretusnya.

kelas ke-1 = 50

kelas ke-2 = 50 + 1 = 49

kelas ke-7 = 11 + 8 = 3

Frekuensi kumulatif kurang dari untuk suatu kelas adalah jumlah

frekuensi kelas itu dengan frekuensi kumulatif kelas sebelumnya.

Frekuensi kumulatif lebih dari untuk suatu kelas adalah jumlah

frekuensi kelas itu dengan frekuensi kumulatif kelas sesudahnya.

S t a t i s t i k a

21

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi kumulatif (fk)

20 – 29 1 50

30 – 39 2 49

40 – 49 4 47

50 – 59 18 43

60 – 69 14 25

70 – 79 8 11

80 – 89 3 3

Jumlah ∑ = 50

3. Menggambar Tabel Distribusi Frekuensi Data pada tabel distribusi frekuensi dapat digambarkan dalam bentuk grafik, yaitu

histogram dan poligon. Sedangkan untuk tabel distribusi frekuensi kumulatif

digambarkan dengan grafik dinamakan ogive.

a. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram merupakan diagram kotak yang lebarnya menunjukkan interval

kelas, sedangkan batas-batas tepi kotak merupakan tepi bawah dan tepi atas

kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut. Denagn kata

lain, histogram adalah penyajian data yang dikelompokkan menurut distribusi

frekuensi dapat dinyatakan dengan grafik.

Apabila titik-titik tengah dari tiap kotak bagian atas pada histogram saling

dihubungkan satu sama lain oleh ruas-ruas garis menyerupai poligon (segi

banyak), sehingga diagram yang dihasilkan dinamakan poligon frekuensi.

Contoh Soal:

Dari tabel sebelumnya dapat dibuat histogram dan poligon frekuensi seperti pada

gambar. Langkah-langkah dalam membuat histogram dan poligon frekuensi

adalah sebagai berikut.

1) Membuat sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.

Sumbu datar digunakan untuk menyatakan interval kelas, sedangkan sumbu

tegak menyatakan frekuensi.

2) Menyajikan frekuensi pada tabel ke dalam bentuk diagram.

Bentuk diagramnya seperti kotrak (digram batang) dengan sisi-sisi dengan

batang-batang yang berdekatan harus berhimpitan. Pada tepi masing-masing

kotak atau batang ditulis nilai tepi kelas yang diurutkan dari tepi bawah ke tepi

atas kelas. (perhatikan bahwa tepi kelas terbawah adalah 19,5 dan 29,5).

3) Membuat poligon frekuensi

S t a t i s t i k a

22

Titik tengah setiap sisi atas yang berdekatan dihubungkan dengan suatu

garis. Untuk batang pertama dan terakhir, titik tengah dihubungkan dengan

setengah jarak interval kelas pada sumbu datar. Bentuk yang diperoleh

dinamakan poligon frekuensi (poligon tertutup).

b. Ogive

Ogive adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah disusun

dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif. Ogive terbagi atas dua macam.

1) Ogive positif untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi

frekuensi kumulatif kurang dari.

2) Ogive negatif untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi

frekuensi kumulatif lebih dari.

9,5 19,5 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

S t a t i s t i k a

23

E. Ukuran Statistik Data

Untuk memperoleh gambaran atau informasi yang lebih lengkap dari sekumpulan

data yang kita miliki, diantaranya ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukura

penyebaran data (dispersi).

1. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi Sentral)

Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) adalah suatu ukuran atau

nilai yang diperoleh dari sekumpulan data dan mempunyai kecendurungan

berada di tengah-tengah dari sekumpulan data tersebut. Oleh karena itu, nilai

rataan (average) sering disebut ukuran kecenderungan memusat. Ukuran

pemusatan data disebut juga ukuran gejala pusat atau ukuran tendensi sentral.

Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu rata-rata (mean), median,

dan modus.

a. Rata- Rata (Mean) Rata-rata merupakan salah satu dari ukuran gejala pusat yang sering dan

banyak dipakai. Rata-rata merupakan wakil dari kumpulan data yang dapat

memberikan gambaran yang jelas dan singkat.

Secara umum,

0

10

20

30

40

50

60

19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

ogive positif ogive negatif

S t a t i s t i k a

24

1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak berkelompok) Misal adalah data dari nilai rataan hitung.

Rata-ratanya ditentukan dengan rumus :

keterangan :

(eksbar) : rataan hitung (mean)

: nilai data ke-i, i = 1, 2, 3, ..., n

n : jumlah data

2) Rata-rata untuk data yang diboboti Misal adalah n buah data, dengan masing-masing

data diberi bobot . Rata-ratanya ditentukan dengan rumus :

Keterangan :

(eksbar) : rata-rata data

: nilai data ke-i, i = 1, 2, 3, ..., n

: bobot untuk nilai-nilai

∑ : jumlah semua bobot data

Contoh Soal :

a. Dalam suatu pekan olahraga nasional, tim suatu provinsi memperoleh

9 medali emas, 7 medali perak, dan 20 medali perunggu. Jika tiap

medali emas bernilai 3, medali perak bernilai 2 dan medali perunggu

bernilai 1, tentukan nilai rata-rata dan tim provinsi itu.

Penyelesaian :

Misal : medali emas

medali perak

medali perunggu

Jadi, nilai rata-rata provinsi tersebut adalah 10,17.

Rata-rata dari sekumpulan data adalah

jumlah seluruh nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data.

∑

∑

∑

S t a t i s t i k a

25

b. Tentukan rata-rata dari data pada tabel berikut

Nilai Frekuensi

4 3

5 8

6 12

7 15

8 7

9 3

10 2

Penyelesaian :

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut

a. Nyatakan nilai-nilai data ke dalam notasi dan untuk i = 1, 2,

..., n.

b. Tabel ditambahkan dengan sebuah kolom yang menyatakan hasil

kali antara frekuensi ( ) dan nilai data ( ).

c. Tentukan jumlah frekuensi dan jumlah hasil kali antara dan .

Nilai ( ) frekuensi ( )

4 3 12

5 8 40

6 12 72

7 15 105

8 7 56

9 3 27

10 2 20

∑ = 50 ∑ = 332

d. Tentukan rata-rata ( )

∑

∑

Jadi, rata-ratanya adalah 6,4.

3) Rata-rata untuk data berkelompok Untuk data yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval, rata-

ratanya dapat ditentukan dengan rumus :

keterangan : : titik tengah kelas ke-i

∑

∑

S t a t i s t i k a

26

Contoh Soal :

Tentukan rata-rata dari data berikut.

Nilai Frekuensi

20 – 29 1

30 – 39 2

40 – 49 4

50 – 59 18

60 – 69 14

70 – 79 8

80 – 89 3

Jumlah ∑ = 50

Penyelesaian :

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

a. Tentukan titik tengah kelas untuk i = 1, 2, ..., n

Dari soal banyaknya kelas interval adalah 7

Titik tengah kelas adalah

(batas bawah kelas – batas atas kelas) pada kelas ke-i

Jadi,

b. Hasil kali antara frekuensi ( ) dan titik tengah ( ), dimasukkan ke

dalam tabel. Tentukan juga hasil kali antara dan .

Nilai Frekuensi (fi) Titik tengah (xi) (fixi)

20 – 29 1 24,5 24,5

30 – 39 2 34,5 69

40 – 49 4 44,5 178

50 – 59 18 54,5 981

60 – 69 14 64,5 903

70 – 79 8 74,5 596

80 – 89 3 84,5 253,5

Jumlah ∑ = 50 ∑ = 3005

S t a t i s t i k a

27

c. Tentukan rata-rata ( )

∑

∑


4) Menghitung rata-rata dengan menggunakan rata-rata

sementara Kesulitan dalam menghitung rata-rata adalah apabila dijumpai bilangan

yang besar atau tidak bulat. Untuk mengatasi hal ini, kita

menyederhanakan data, yaitu dengan cara memperkirakan nilai rata-rata

yang disebut rata-rata sementara. Caranya adalah sebagai berikut.

(1) Tetapkan rata- rata sementara ( ), dipilih pada kelas yang

mempunyai frekuensi tertinggi dan letaknya ditengah.

(2) Tentukan simpangan (deviasi) terhadap rata-rata sementara, dengan

rumus:

(3) Tentukan rata-rata sesungguhnya, dengan rumus :

= rata-rata sementara

d : simpangan ke-i

(4) Atau jika dengan memfaktorkan interval kelasnya maka rumusnya

menjadi :

Keterangan :

u :

: faktor interval

p : panjang interval (intreval kelas)

Contoh Soal

Tentukan rata-rata dari data berikut

Tinggi Frekuensi

150 – 154 3

155 – 159 5

160 – 164 10

165 – 169 13

170 – 174 7

175 – 179 2

∑

∑

(∑

∑

)

S t a t i s t i k a

28

Penyelesaian :

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut

a) Tabel di atas harus dilengkapi dahulu dengan nilai yang diperlukan

sehingga menjadi tabel seperti berikut.

Tinggi Frekuensi (fi)

Titik Tengah (xi)

Simpangan

( )

150 – 154 3 152 -15 -45 -3 -9

155 – 159 5 157 -10 -50 -2 -10

160 – 164 10 162 -5 -50 -1 -10

165 – 169 13 167 0 0 0 0

170 – 174 7 172 5 35 1 7

175 – 179 2 177 10 20 2 4

∑ = 40 ∑ = -90 ∑ = -18

b) Tentukan rata-rata ( )

∑

∑

(

)

Atau (∑

∑

)

(

)


Sifat rataan sebagai tingkat kecenderungan memusat

Kelebihan Kekurangan

Mudah dihitung Perhitungannya melibatkan

seluruh data

Sangat peka terhadap nilai data yang ekstrim (terlalu besar atau terlalu kecil)

S t a t i s t i k a

29

b. Median (Me) Median dari sekelompok data adalah nilai yang terletak di tengah deretan

data setelah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar. Median

merupakan wakil dari kumpulan data apabila ditinjau dari segi kedudukannya

dalam urutan data.

Contoh soal :

Tentukan median dari data :

4, 7, 4, 8, 10, 12, 4, 5

Penyelesaian :

Data diurutkan lebih dahulu, yaitu : 4, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12

Jadi mediannya adalah 6.

Apabila banyaknya data besar, setelah data-data itu diurutkan maka untuk

menentukan mediannya digunakan formula :

Jika setelah menentukan urutan tempat median, ternyata nomor urut tersebut

bukan bilangan cacah maka harus digunakan interpolasi.

Contoh soal :

Tentukan median dari data berikut.

Nilai Frekuensi

4 3

5 8

6 12

7 15

8 7

9 3

10 2

Letak median (Md) adalah pada data urutan ke

(n + 1)

S t a t i s t i k a

30

Penyelesaian :

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.

a. Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi

tabel berikut.

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk)

4 3 3

5 8 11

6 12 23

7 15 38

8 7 45

9 3 48

10 2 50

∑ = 50

b. Tentukan letak median, yaitu pada data urutan ke

(kerena 25,5 bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi).

Jadi, mediannya

(Md) = Y25 + 0,5 (Y26 - Y25)

= 7 + 0,5 (7 – 7)

= 7

Y25 adalah data ke-25 dan Y26 adalah data ke-26, yaitu 7.

Untuk data yang disajikan dalam tabel berkelompok distribusi frekuensi,

median dapat dicari dengan rumus:

Keterangan :

Tb : tepi bawah kelas yang memuat median

p : panjang kelas

n : jumlah seluruh frekuensi

fk : frekuensi kumulatif kurang dari bawah kelas yang memuat median

f : frekuensi kelas median

Contoh soal :

Tentukanlah median berikut

Tinggi Frekuensi (f)

150 – 154 3

155 – 159 5

160 – 164 10

165 – 169 13

170 – 174 7

175 – 179 2

(

)

Beberapa cara untuk

menentukan median dari data

berkelpmpok

1) Menggunakan ogive

2) Menggunakan

histogram

3) Menggunakan rumus

S t a t i s t i k a

31

Penyelesaian :

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.

a) Tabel tersebut dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga

menjadi seperti tabel berikut.

Tinggi Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)

150 – 154 3 3

155 – 159 5 8

160 – 164 10 18

165 – 169 13 31

170 – 174 7 38

175 – 179 2 40

∑ = 40

b) Tentukan kelas yang memuat median, yaitu dngan menghitung nilai

.

Berarti, kelas median terletak pada kelas 165-169

Tb = 164,5 (

)

p = 5 (

)

fk = 18

f = 13

c. Modus (Mo) Modus sekumpulan data adalah data yang paling sering muncul atau

yang mempunyai frekuensi terbanyak. Kemungkinan adanya modus dari

sekumpulan data tunggal adalah tidak ada, data yang mempunyai satu

modus (unimodal), yang mempunyai dua modus (bimodal), dan yang

mempunyai lebih dari dua modus (multimodal). Menyusun data menurut

urutannya, memang baik dan sangat membantu dalam menentukan

modusnya.

Menentukan modus pada tunggal dapat dilakukan secara langsung,

menyusun data menurut urutannya. Namaun, untuk menentukan modus

data berkelompok digunakan rumus :

Keterangan :

Tb : tepi bawah kelas yang memuat modus.

Kelas yang memuat modus adalah kelas

yang mempunyai frekuensi terbanyak.

p : panjang kelas (interval kelas)

(

)

S t a t i s t i k a

32

d1 : selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sebelumnya.

d2 : selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sesudahnya.

Contoh Soal :

Tentukan modus (Mo) data berikut.

Tinggi Frekuensi (f)

150 – 154 3

155 – 159 5

160 – 164 10

165 – 169 13

170 – 174 7

175 – 179 2

Penyelesaian :

Kelas yang memuat modus adalah kelas 165-169 (karena mempunyai

frekuensi yang terbanyak).

Tb = 164,5 (

)

p = 5 (

)

d1 = 13 – 10 = 3

d2 = 13 – 7 = 6

Jadi, modusnya adalah 166,2

Kelebihan dan kelemahan sifat modus sebagai suatu ukuran kecenderungan

memusat adalah sebagai berikut

Kelebihan Kekurangan

Dapat memberi nilai data yang paling sering berulang atau muncul

Mudah diketahui dari data tanpa membuat perhitungan

Kadang kala mempunyai lebih dari satu modus

d. Hubungan Antara Rata-Rata ( ), Median (Md), dan Modus (Mo)

Terdapat hubungan empiris antara , Md, dan Mo, yaitu

atau

S t a t i s t i k a

33

Contoh Soal:

Dari beberapa kali ujian pelajaran Matematika, Bahasa Inggris, dan

Kimia, seorang siswa mendapat nilai dalam bentuk distribusi seperti tabel

berikut. Pada mata pelajaran apa siswa itu mendapatkan hasil yang

terbaik?

Pelajaran Median Modus

Matematika 7,5 6,0

Bahasa Inggris 7,5 7,0

Kimia 6,5 7,5

Penyelesaian :

Hasil terbaik dilihat dari rata-rata hasil ujian.

Pelajaran Matematika

6,0 = 3 (7,5) - 2

6,0 = 22,5 - 2

2 = 22,5 – 6,0 = 16,5

= 8,25

Pelajaran Bahasa Inggris

7,0 = 3 (7,5) - 2

7,0 = 22,5 - 2

2 = 22,5 – 7,0 = 15,5

= 7,75

Pelajaran Kimia

7,5 = 3 (6,5) - 2

7,5 = 19,5 – 2

2 = 19,5 – 7,5 = 12

= 6

Rata-rata teringgi terdapat mata pelajaran Matematika.

Jadi, nilai terbaik terdapat pada pelajaran Matematika.

2. Ukuran Letak Sekumpulan data akan berarti apabila mengenal juga sifat-sifat dari data itu.

Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam bentuk fraktil. Fraktil adalah

nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah berurutan menjadi

beberapa bagian yang sama, yaitu kuartil, statistik lima serangkai, rataan

kuartil dan rataan tiga, desil, dan persentil.

Setelah data dikumpulkan, maka langkah awal yang harus dilakukan adalah

menyusun data itu dari datum terkecil ke datum terbesar. Data yang telah

S t a t i s t i k a

34

tersusun dari yang terkecil ke yang terbesar disebut statistik peringkat.

Banyak datum pada pengamatan disebut ukuran data atau banyak data (n).

Datum terkecil dan datum terbesar dalam statistik peringkat disebut statistik

ekstrim.

Contoh Soal :

Tentukan statistik peringkat dan statistik ekstrim dari data berikut ini:

10, 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 9, 6, 5, 5, 8, 4, 3, 9, 12.

Penyelesaian :

Statistik peringkat dari data di atas adalah :

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 12.

Statistik minimum (datum terkecil) = 1

Statistik maksimum (datum terbesar) = 12

Banyak data (n) = 19

a. Kuartil Ukuran letak yang membagi sekumpulan data tersebut menjadi 4 bagian

yang sama dinamakan kuartil. Oleh karena itu, masing-masing bagian

mengandung 25% data.

Pada sekumpulan data mempunyai 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah atau

kuartil ke-1 (Q1), kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2), dan kuartil atas atau

kuartil ke3 (Q3).

Untuk menentukan nilai kuartil dari sekumpulan data yang tidak

dikelompokkan, ditempuh langkah-langkah sebagai berikut.

Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax

S t a t i s t i k a

35

1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.

2) Tentukan letak kuartil-kuartilnya dengan rumus berikut.

a) Q1 pada data urutan ke

b) Q2 pada data urutan ke

c) Q3 pada data urutan ke

Jika nomor urutan tersebut bukan bilangan cacah maka harus digunakan

interpolasi.

Contoh Soal :

1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari

sekumpulan data berikut:

70, 50, 50, 70, 40, 80, 50, 90, 60, 50, 40.

Penyelesaian :

Data diurutkan dari data terkecil ke data yang terbesar.

Tampak bahwa :

Kuartil bawah (Q1) = 50, kuarti tengah (Q2) = 50, dan kuartil atas (Q3) =

70 membagi kelompok data ini atas 4 bagian yang sama. Amatilah bahwa

Q2 membagi data atas 2 bagian, masing-masing memuat 5 data.

Begitupun Q1 membagi lima data yang pertama atas dua bagian yang

lain, masing-masing memuat dua data, demikian juga Q3.

2. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data berikut.

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk)

4 3 3

5 8 11

6 12 23

7 15 38

8 7 45

9 3 48

10 2 50

∑ = 50

40 40 50 50 50 50 60 70 70 80 90

Q1 Q3 Q2

S t a t i s t i k a

36

Penyelesaian:

Letakkan kuartil bawah (Q1) pada data urutan

ke

ke

ke

Karena nomor urutan bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi.

Sehingga diperoleh:

Q1 = Y12 + 0,75(Y13 – Y12) = 5 + 0,75(6 – 5) = 5,75

Q2 = Y25 + 0,50(Y26 – Y25) = 6 + 0,50(7 – 6) = 6,5

Q3 = Y38 + 0,25(Y37 – Y38) = 7 + 0,25(8 – 7) = 7,25

Selanjutnya, untuk menentukan nilai kuartil data yang sudah

dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi diunakan rumus :

Keterangan :

Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)

TbQj = tepi bawah kelas yang memuat Qj

p = panjang kelas

n = jumlah seluruh frekuensi

fkQj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Qj

fQj = frekuensi kelas yang memuat Qj

Contoh Soal :

Nilai pelajaran Matematika dari 40 orang siswa dikelompokkan seperti

berikut.

Nilai Frekuensi (fi)

42 – 46 1

47 – 51 5

52 – 56 5

57 – 61 15

62 – 66 8

67 – 71 4

72 – 76 2

∑ = 40

Tentukan :

a) Kuartil bawah

b) Kuartil tengah

c) Kuartil atas

Y12 adalah data pada

urutan ke-12 setelah data

disusun dari terkecil ke

terbesar

(

)

S t a t i s t i k a

37

Penyelesaian :

Tabel diatas dilengkapi ddengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi

seperti berikut.

Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)

42 – 46 1 1

47 – 51 5 6

52 – 56 5 11

57 – 61 15 26

62 – 66 8 34

67 – 71 4 38

72 – 76 2 40

∑ = 40

a) Kuartil bawah atau kuartil ke-1 (Q1)

Untuk menentukan Q1 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q1,

yaitu dengan menghitung nilai dari

Berarti, kelas yang memuat Q1, adalah 52 – 56, (fk = 11)

maka diperoleh = 51,5;

=6; = 5; p = 5

Sehingga kuartil bawahnya :

(

) (

)

= 51,5 + 4 = 55,5

Jadi, kuartil bawahnya adalah 55,5

b) Kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2)





=11; = 15; p = 5


(

) (

)

= 56,5 + 3 = 59,5

Jadi, kuartil tengahnya adalah 59,5

S t a t i s t i k a

38

c) Kuartil atas atau kuartil ke-3 (Q3)





=26; = 8; p = 5


(

) (

)

= 61,5 + 2,5 = 64

Jadi, kuartil atasnya adalah 64

b. Statistik Lima Serangkai Dari suatu data terurut x1, x2, x3, ..., xn dapat ditentukan: a. Data yang nilainya terkecil = xmin = x1, disebut juga statistik minimum.

b. Data yang nilainya terbesar = xmax = xn, disebut juga statistik

maximum.

c. Median = Q2

d. Kuartil pertama = Q1

e. Kuartil ketiga = Q3

Gabungan dari kelima statistik diatas disebut statistik lima serangkai, yang

biasa ditampilkan dalam tabel seperti berikut.

c. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga Apabila kuartil bawah (Q1), kuartil tengah atau median (Q2), dan kuartil atas

(Q3) dari statistik peringkat telah ditentukan, maka rataan kuartil dan rataan

tiga dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Contoh Soal :

Sebuah perusahaan mengadakan tes terhadap 14 orang yang melamar

sebagai sekretaris perusahaan. Penilaian tes ini dilakukan dalam kemahiran

mengetik. Kecepatan mengetik dihitung dari banyaknya kata per menit sebgai

berikut :

36, 41, 58, 45, 47, 51, 42, 43, 41, 40, 43, 42, 48, 45.

Q2

Q1 Q3

xmin xmax

Rataan kuartil (RK) = ½ (Q1 + Q3)

Rataan tiga (RT) = ¼ (Q1 + 2 Q2 + Q3)

S t a t i s t i k a

39

Hitunglah :

a. Statistik lima serangkai

b. Rataan kuartil (RK)

c. Rataan tiga (RT)

Penyelesaian :

Statistik peringkat : 36, 40, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 45, 45, 47, 48, 51, 58

Statistik minimum = 36 dan statistik maksimum = 58.

a. Jadi statistik 5 serangkai :

b. Rataan kuartil (RK) = ½ (41 + 47) = 44

c. Rataan tiga (RT) = ¼ (41 + 2 . 43 + 47) = 43,5

d. Desil Sekumpulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar

dapat dibagi menjadi sepuluh bagian. Ukuran letak yang membagi

sekumpulan data tersebut dinamakan desil. Masing-masing data

mengandung 10% data. Dengan demikian suatu kumpulan data mempunyai

9 buah desil, yaitu D1, D2, D3, ... D9.

Untuk menentukan desil dari data yang berkelompok, dilakukan langkah-

langkah berikut.

1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. 2) Tentukan letak D1, D2, D3, ... D9 dengan rumus sebagai berikut.

Q2 =43

Q1 = 41 Q3 = 47

xmin = 36 xmax = 58

D1 letaknya pada data urutan ke




S t a t i s t i k a

40

Jika nomor urutan suatu desil bukan bilangan cacah maka gunakan interpolasi.

Untuk menentukan nilai desil data yang sudah dikelompokkan ke dalam

distribusi frekuensi, digunakan rumus :

Keterangan :

Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3)

TbDj = tepi bawah kelas yang memuat Dj

p = panjang kelas


fkDj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Dj

fDj = frekuensi kelas yang memuat Dj

Contoh Soal :

Skor test 1000 siswa dari suatu uji coba tercatat seperti pada tabel berikut.

Skor (x) Frekuensi (fi)

0 – 9 3

10 – 19 67

20 – 29 205

30 – 39 245

40 – 49 213

50 – 59 147

60 – 69 77

70 – 79 34

80 – 89 8

90 – 99 1

Tentukan:

a) Desil ke-3 (D3)

b) Desil ke-6 (D6)

Penyelesaian :

Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi tabel

berikut.

Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)

0 – 9 3 3

10 – 19 67 70

20 – 29 205 275

30 – 39 245 520

40 – 49 213 733

50 – 59 147 880

60 – 69 77 957

70 – 79 34 991

80 – 89 8 999

90 – 99 1 1000

∑ = 1.000

(

)

S t a t i s t i k a

41

a) Desil ke-3 (D3)

Kita cari dulu kelas yang memuat D3, yaitu dengan menghitung nilai dari

Berarti, kelas yang memuat D3 terletak pada kelas 30 – 39 maka diperoleh

= 29,5;

=275; = 245; p = 10

Sehingga desil ke-3 adalah

(

) (

)

= 29,5 + 1 = 30,5

Jadi, desil ke-3 adalah 30,5.

b) Desil ke-6 (D6)

Kita cari dulu kelas yang memuat D6, yaitu dengan menghitung nilai dari

Berarti, kelas yang memuat D6 terletak pada kelas 40 – 49 maka diperoleh

= 39,5;

=520; = 213; p = 10

Sehingga desil ke-6 adalah

(

) (

)

= 39,5 + 3,7 = 43,2

Jadi, desil ke-6 adalah 43,2.

e. Persentil Sekumpulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar

dapat dibagi menjadi seartus bagian. Ukuran letak yang membagi

sekumpulan data tersebut dinamakan persentil. Masing-masing data

mengandung 1% data. Pada suatu kumpulan data mempunyai 99 buah

persentil, yaitu P1, P2, P3, ... P99.

Untuk menentukan persentil dari data yang tidak berkelompok adalah berikut.

1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. 2) Tentukan letak P1, P2, P3, ... P99 dengan rumus sebagai berikut.

P1 letaknya pada data urutan ke




S t a t i s t i k a

42

Gunakan interpolasi jika urutan desil bukan bilangan cacah. Untuk

menentukan nilai persentil data berkelompok yang sudah dikelompokkan

ke dalam distribusi frekuensi, digunakan rumus :

Keterangan :

Pj = persentil ke-j (j = 1, 2, 3)

TbPj = tepi bawah kelas yang memuat Pj

p = panjang kelas


fkPj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Pj

fPj = frekuensi kelas yang memuat Pj

Contoh Soal :

Tentukan persentil ke-10 dan persentil ke-84 dari distribusi frekuensi

berikut.

Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)

0 – 9 3 3

10 – 19 67 70

20 – 29 205 275

30 – 39 245 520

40 – 49 213 733

50 – 59 147 880

60 – 69 77 957

70 – 79 34 991

80 – 89 8 999

90 – 99 1 1000

∑ = 1.000

Penyelesaian :

Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi tabel

berikut.

a. Persentil ke-10 (P10), j = 10

Kita cari dulu kelas yang memuat P10, yaitu dengan menghitung nilai dari

Berarti, kelas yang memuat P10 terletak pada kelas 20 – 29 maka diperoleh

= 19,5;

= 70; = 205; p = 10

Sehingga persentil ke-10 adalah

(

) (

)

= 19,5 + 1,5 = 21,0

Jadi, persentil ke-10 adalah 21,0

(

),

S t a t i s t i k a

43

b. Persentil ke-84 (P84)

Kita cari dulu kelas yang memuat P84, yaitu dengan menghitung nilai dari

Berarti, kelas yang memuat P84 terletak pada kelas 50 – 59 maka diperoleh

= 49,5;

= 733; = 147; p = 10

Sehingga persentil ke-84 adalah

(

) (

)

= 49,5 + 7,3 = 56,8

Jadi, persentil ke-84 adalah 56,8

3. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)

Ukuran penyebaran data (dispersi) adalah suatu ukuran yang menyatakan

seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran

yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan

pusatnya.

Ada empat macam ukuran penyebaran data, yaitu

a. Jangakauan (range)

b. Simpangan rata-rata (deviasi rata-rata)

c. Simpangan baku (standar deviasi atau deviasi standar)

d. Simpangan kuartil (jangakauan semi interkuartil)

Pengembangan dari jangkauan dan jangkauan antarkuartil dapat berupa

pengertian tentang jangkauan semi interkuartil, langkah, pagar dalam, dan pagar

luar.

a. Jangakauan (range) Range merupakan ukuran penyebaran data yang paling sederhana. Range

adalah selisih antara data yang terbesar dan data yang terkecil dan dirumuskan

dengan :

Untuk menentukan jangakauan (range) dari data berkelompok, dapat dilakukan

dengan dua cara berikut.

1. Selisih titik tengah kelas tertinggi dengan tititk tengah kelas terendah.

2. Selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi atas kelas terendah.

R = Xmax - Xmin

S t a t i s t i k a

44

Sifat jangkauan :

Mudah ditentukan

Hanya melibatkan nilai data terbesar dan terkecil

Peka terhadap satu nilai data ekstrim

Contoh Soal :

1. Tentukanlah range dari data berikut.

2, 4, 3, 1, 5, 1, 9, 8, 5

Penyelesaian :

Xmax = 9

Xmin = 1

Jadi, range (R) = 9 – 1 = 8

2. Tentukanlah range (jangkauan) dari data distribusi berikut.


40 – 49 4

50 – 59 6

60 – 69 10

70 – 79 4

80 – 89 4

90 – 99 2

Penyelesaian :

Titik tengah kelas terendah = ½ (40 + 49)

= 44,5

Titik tengah kelas tertinggi = ½ (90 + 99)

= 94,5

R – I = 94,5 – 44,5 = 50

Jadi, range dari data tersebut adalah 50.

b. Simpangan Rata-Rata (SR) Simpangan rata-rata atau disebut juga deviasi rata-rata adalah suatu

ukuran yang menunjukkan rata-rata dari harga mutlak deviasi tiap data terhadap

nilai rata-ratanya yang merupakan harga mutlak simpangan-simpangannya.

Untuk data yang tidak berkelompok simpangan rata-rata dapat dihitung dengan

rumus :

∑ | |

S t a t i s t i k a

45

Simpangan rata-rata untuk data yang berkelompok, dapat dihitung dengan

rumus:

Keterangan :

SR : simpangan rata-rata (deviasi rata-rata)

xi : nilai pengamatan ke-i

: nilai rata-rata pengamatan

n : banyaknya seluruh data pengamatan

fi : frekuensi kelas ke-i

Contoh Soal :

1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : 2, 1, 4, 2, 6.

Penyelesaian :

x | |

1 -2 2

2 -1 1

2 -1 1

4 1 1

6 3 3

∑| | = 8

∑ | |

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,6.

2. Tentukan simpangan rata-rata dari distribusi frekuensi berikut.


40 – 49 4

50 – 59 6

60 – 69 10

70 – 79 4

80 – 89 4

90 – 99 2

Penyelesaian :

Tabel diatas dilengkapi dahulu dengan nilai yang diperlukan sehingga

menjadi seperti berikut.

Rata-rata data ini telah dihitung, yaitu = 65,67.

∑ | |

∑

Deviasi dari tiap nilai terhadap rata-

ratanya dijumlahkan maka hasilnya

0 (nol). Oleh karena itu, simpangan

rata-rata dihitung dengan

menggunakan nilai mutlak terhadap

deviasi

S t a t i s t i k a

46

Nilai Frekuensi (fi) Titik Tengah (xi) | | f| |

40 – 49 4 44,5 21,17 84,68

50 – 59 6 54,5 11,17 67,02

60 – 69 10 64,5 1,17 11,70

70 – 79 4 74,5 8,83 35,32

80 – 89 4 84,5 18,83 75,32

90 – 99 2 94,5 28,83 57,66

∑ = 30 = n ∑ | | = 331,70

∑ | |

∑

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 11,06.

c. Simpangan Baku (SD) Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar adalah suatu ukuran yang

menunjukkan deviasi standar data pengamatan terhadap rata-ratanya.

Dibandingkan dengan simpangan rata-rata maka deviasi standar merupakan

ukuran penyebaran yang lebih baik karena ukuran ini tidak menggunakan asumsi

nilai mutlak terhadap deviasi, melainkan dengan asumsi kuadrat dari deviasi.

Deviasi standar untuk data yang tidak berkelompok dapat dihitung dengan

menggunakan rumus :

1) Sampel yang berukuran besar (n > 30)

√∑

2) Sampel yang berukuran kecil (n ≤ 30)

√∑

Deviasi standar untuk data yang berkelompok dihitung dengan menggunakan

rumus berikut :


√∑


√∑

Keterangan :

k : banyak kelas interval

n : banyaknya data

xi : nilai data pengamatan ke-i

: nilai rata-rata pengamatan

S t a t i s t i k a

47

Apabila nilai standar deviasi dikuadratkan, akan didapatkan suatu nilai yang

disebut ragam atau varians. Jadi, ragam dapat dirumuskan sebagai berikut.

Contoh Soal :

1. Tentukanlah besarnya standar deviasi dari data : 2, 1, 4, 2, 6.

Penyelesaian :

x

1 -2 4

2 -1 1

2 -1 1

4 1 1

6 3 9

∑ = 16

√∑

√

√

Jadi, standar deviasinya adalah 2.

2. Tentukanlah besarnya standar deviasi dari distribusi frekuensi berikut.

Berat Frekuensi (fi)

35 – 39 1

40 – 44 5

45 – 49 4

50 – 54 7

55 – 59 19

60 – 64 14

∑ = 50

Ragam = (SD)2

S t a t i s t i k a

48

Penyelesaian :

Tabel dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi seperti

berikut.

Berat Frekuensi (fi)

Titik Tengah

(xi)

fixi fi

35 – 39 1 37 37 -18 324 324

40 – 44 5 42 210 -13 169 845

45 – 49 4 47 188 -8 64 256

50 – 54 7 52 364 -3 9 63

55 – 59 19 57 1083 2 4 76

60 – 64 14 62 868 7 49 686

∑ = n = 50

∑ = 2750

∑ = 2.250

∑

∑

Sampel yang berukuran besar (n > 30)

√∑

√

√

Jadi, standar deviasi adalah 6,71.

d. Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Interkuartil) Seperti halnya dengan range (jangkauan), simpangan kuartil merupakan ukuran

penyebaran dan ditentukan sebagai jarak antara nilai tertinggi dan nilai terendah

dari sekumpulan data. Bedanya kalau range hanya dapat digunakan untuk

mengukur jarak antara nilai tertinggi dan nilai terendah dari sekumpulan data

saja, sedangkan simpangan kuartil dapat digunakan unutk mengukur jarak antara

nilai tertinggi dengan nilai terendah dari setengah (50%) data.

Simpangan kuartil adalah setengah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil

bawah (Q1) yang dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

Qd : simpangan kuartil

Q3 : simpanagn atas

Q1 : simpangan bawah

Selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1) disebut jangkauan

antar-kuartil atau hamparan (H), dan dirumuskan sebagai berikut.

Sifat jangakauan antar-kuartil :

Tidak peka terhadap nilai data yang ekstrim

Hanya melibatkan dua kuartil saja

H = Q3 – Q1

S t a t i s t i k a

49

Contoh Soal :

Tentukan simpangan kuartil dari data berikut.

Data Frekuensi (fi)

1 – 5 4

6 – 10 15

11 – 15 7

16 – 20 3

21 – 25 1

∑ = 30

Penyelesaian :

Tabel diatas dilengkapi dahulu dengan nilai-nilai yang diperlukan sehingga

menjadi seperti tabel berikut.

Data Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif

(fk)

1 – 5 4 4

6 – 10 15 19

11 – 15 7 26

16 – 20 3 29

21 – 25 1 30

∑ = 30

Kita tentukan besarnya kuartil pertama (Q1), yaitu

¼ n = ¼ (30) = 7,5

(

)

(

)

Kita tentukan besarnya kuartil pertama (Q3), yaitu

¾ n = ¾ (30) = 22,5

(

)

(

)

Satu langkah (step) didefinisikan sebagai satu setengah kali panjang satu

hamparan dan ditulis sebagai :

L = 1½ H = 1½ (Q3 – Q1) atau L = 3Qd

S t a t i s t i k a

50

Nilai satu langkah di bawah kuartil bawah disebut pagar dalam (PD) atau

terkadang disebut batas pencilan bawah (BPB) dasn nilai satu langkah diatas

kuartil atas disebut pagar luar (PL) atau terkadang disebut batas pencilan

atas (BPA). Hal ini dapat ditulis sebagai berikut :

Semua nilai data yang terletak di antara batas pencilan bawah (BPB) dan batas

pencilan atas (BPA) merupakan data normal, yaitu nilai data yang mempunyai

median sebagai ukuran pemusatannya. Sedangkan semua nilai yang kurang dari

BPB atau lebih dari BPA merupakan nilai data tak normal dan sering disebut

pencilan. Dengan adanya pencilan ini merupakan petunjuk bagi pengamat

bahwa data itu patut diamati lebih lanjut.

Contoh Soal :

Data ujian Matematika dari 25 siswa adalah sebagai berikut :

4,23 4,95 6,23 7,27 8,87

4,50 5,30 6,40 7,50 8,95

4,65 5,40 6,67 8,23 9,23

4,72 5,57 6,95 8,27 9,40

4,90 6,00 7,04 8,55 9,65

Hitunglah :

a. Jangkauan semi antar kuartil

b. Langkah

c. Pagar dalam

d. Pagar luar

Penyelesaian :

a. Jangkauan semi antar-kuartil

dan

Jadi, Qd = ½ (8,41 – 5,125) = 1,6425

b. Langkah (L) = 3Qd = 3.1,6425 = 4,9275

Pagar dalam (PD) = Q1 – L

= 5,125 – 4,9275 = 0,1975

c. Pagar luar (PL) = Q3 + L

= 8,41 + 4,9275 = 13,3375

PD = BPB = Q1 – L dan PL = BPA = Q3 + L

S t a t i s t i k a

51

Rangkuman

1. Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari metode pengumpulan,

pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data yang berupa angka-

angka.

Statistik adalah hasil analisis dari pengolahan suatu data.

2. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalas sebagai berikut.

a. Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.

b. Tentukan jumlah kelas yang akan digunakan, ddengan rumus : k = 1 + 3,3 log n

c. Tetapkan interval kelas, dengan rumus :

dengan R = range

d. Tetapkan batas bawah kelas pertama

3. Frekuensi relatif

∑

4. Ukuran pemusatan data

a. Rata-rata (Mean)

1) Rumus rata-rata data tunggal adalah ∑

2) Rumus rata-rata untuk data yang diboboti adalah ∑

∑

3) Rumus rata-rata dengan rata-rata sementara adalah ∑

∑

4) Rumus rata-rata dengan rata-rata semenstep-deviasi adalah

(∑

∑

)

b. Median (Md)

Median adalah data yang letaknya di tengah-tengah setelah data itu diurutkan.

Rumus median data kelompok adalah (

)

c. Modus (Mo)

Modus adalah data yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi

terbanyak.

Rumus modus data kelompok adalah (

)

5. Hubungan empiris antara mean, median, modus.

atau

6. Statistik peringkat adalah data yang telah tersusun dari yang terkecil ke yang

terbesar. Ukuran data atau banyak data (n) adalah banyak datum pada pengamatan.

Datum terkecil dan datum terbesar dalam statistika peringkat disebut statistik

ekstrim.

7. Ukuran letak

a. Kuartil

Kuartil adalah letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan

menjadi empat bagian yang sama.

Terdapat tiga buah kuartil, yaitu

1) kuartil bawah (Q1).

S t a t i s t i k a

52

2) kuartil tengah/median (Q2).

3) dan kuartil atas (Q3).

Rumus umum kuartil data kelompok : (

), untuk j = 1, 2, 3

b. Statistik lima serangkai

Merupakan lima buah nilai datum yang memberikan gambaran tentang

kecenderungan pemusatan data (tredensi sentral).

c. Rataan kuartil (RK) = ½ (Q1 + Q3)

Rataan tiga (RT) = ¼ (Q1 + 2 Q2 + Q3)

d. Desil

Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan

menjadi 10 bagian yang sama. Ada 9 buah desil, yaitu D1, D2, D3, ..., D9.

Rumus umum desil untuk data kelompok adalah

(

), untuk j = 1, 2, 3, ..., 9

e. Persentil

Persentil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah

diurutkan menjadi 100 bagian yang sama. Ada 99 buah persentil, yaitu P1, P2, P3,

..., P99.

Rumus umum persentil untuk data kelompok adalah

(

), untuk j = 1, 2, 3

8. Ukuran penyebaran (dispersi)

Ada empat macam dispersi, yaitu

1) Jangkauan.

2) simpangan rata-rata.

3) simpangan baku (standar deviasi).

4) simpangan kuartil.

Rumus-rumus ukuran penyebaran.

a. Jangkauan (R)

R = Xmax - Xmin

b. Simpangan rata-rata (SR)

∑ | |

atau

∑ | |

∑

c. Simpangan baku (SD)


√∑


√∑

d. Simpangan kuartil (Qd)

Q2

Q1 Q3

xmin xmax

S t a t i s t i k a

53

Hamparan (H)

H = Q3 – Q1

Langkah (L)

L = 1½ H = 1½ (Q3 – Q1) atau L = 3Qd

Pagar Dalam (PD)

PD = BPB = Q1 – L

Pagar Luar (PL)

PL = BPA = Q3 + L

9. Ragam (varians) ditentukan dengan rumus:

Ragam = (SD)2

S t a t i s t i k a

54

Latihan Soal

1. Kelompokkan kedua set data berikut ini dengan menggunakan diagram batang daun.

a. 22, 17, 18, 35, 50 dan 56

b. 32, 35, 8, 24, 49, dan 41

2. Diberikan data dari hasil pengukuran tinggi badan 50 siswa SMA. Pengukuran

dicatat dalam satuan centimeter.

155 162 147 170 154 155 160 159 149 173

165 157 156 161 168 150 147 154 167 165

153 151 153 162 158 167 158 164 153 159

156 160 163 166 150 154 160 155 151 163

146 143 155 163 158 174 144 157 162 157

3. Hitunglah rataan hitung pada masing-masing data berikut ini.

a. 11, 13, 16, 19, 15, 10

b. 8, 3, 5, 12, 10

4. Rata-rata nilai matematika dari 19 siswa adalah 6,5. Kemudian ditambahkan nilai

seorang siswa sehingga rata-rata menjadi 6,6. Berapa nilai matematika siswa yang

ditambahkan.

5. Perhatikan tabel berikut ini.

Tinggi (cm) Frekuensi

140 – 144 2

145 – 149 4

150 – 154 10

155 – 159 14

160 – 164 12

165 – 169 5

170 – 174 3

Tentukan:

a. Rataan

b. Rataan sementara

c. Rataan step-deviasi

S t a t i s t i k a

55

6. Hitunglah modus dari tabel distribusi frekuensi berikut ini.

Nilai Banyak siswa

1 – 20 66

21 – 40 130

41 – 60 33

61 – 80 15

81 – 100 4

7. Diberikan data dalam tabel frekuensi di bawah ini.

Hitunglah:

a. Kuartil bawah

b. Kuartil tengah

c. Kuartil atas

Kelas Frekuensi

20 – 29 3

30 – 39 7

40 – 49 8

50 – 59 12

60 – 69 9

70 – 79 6

80 – 89 3

8. Nilai ulangan matematika dari lima belas orang siswa adalah sebagai berikut:

9, 7, 6, 8, 9, 7, 4, 6, 5, 6, 8, 7, 7, 8, 5.

Tentukan:

a. Satistik lima serangkai

b. Rataan kuartil (RK)

c. Rataan tiga (RT)

9. Hitunglah nilai D2 dan D4 dari kelompok data berikut ini

a. 3, 1, 2, 8, 6, 6, 2, 3, 7, 10, 1

b. 10, 11, 18, 19, 11, 17, 15, 14, 10, 11, 18, 19, 14, 18

10. Sekelompok data diberikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini.

Hitunglah desil keenam.

S t a t i s t i k a

56

Nilai Frekuensi

31 – 40 3

41 – 50 5

51 – 60 5

61 – 70 7

71 – 80 8

81 – 90 9

91 – 100 3

11. Tentukan simpangan rata-rata untuk data 3, 2, 1, 2, 2, 1, 4, 5.

12. Hitunglah nilai rataan simpangan dari tabel berikut

xi fi

61 5

64 18

67 42

70 27

73 8

∑ = 100

13. Tentukan ragam dari data 4, 5, 6, 7, 8, 6.

14. Hitunglah simpangan baku dari tabel berikut.

xi fi

51 5

54 42

57 18

60 27

63 8

∑ = 100

15. Tentukan nilai jangkauan, jangkauan antar kuartil, dan simpangan kuartil dari data

dibawah ini.

27 28 31 31 36 37 37 39 39

40 41 41 43 44 46 46 51 68

S t a t i s t i k a

57

DAFTAR PUSTAKA

Sulistiyono dkk. 2005. Matematika: untuk SMA dan MA Kelas XI. Jakarta: Gelora

Aksara Pratama

Sabandar, Jozua. 2009. Matematika SMA/MA. Jakarta: Bailmu

Sukino. 2007. Matematika: untuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit Erlangga

Noormandiri, B.K. 2007. Matematika: untuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit Erlangga

96404575 modul statistika

Documents