0

Emas Marlina, S.Pd,.M.Pd

i

Puji dan syukur dipanjatkan kepada Allah S.W.T bahwasannya penulis dapat

menyelesaikan buku ini atas rahmat dan karunia-Nya serta diberikan kesempatan untuk

menggamalkan ilmu Kalkulus kepada para Mahasiswa di Universitas Bale Bandung. Sehingga

terinspirasi untuk membuat buku ini dimanfaatkan oleh para pembaca yang membutuhkan.

Pada masa abad 21 manusi dituntut untuk dapat meningkatkan intelektual, melalui

mata kuliah Kalkulus ini menjadi latarbelakang agar mahasiswa diharapkan dapat menguasai

materi yang terdapat pada Kalkulus 1 dan Kalkulus 2 sebagai dasar pengembangan mata

kuliah selanjutnya dan dapat mengajarkan kembali dimasa yang akan datang serta dapat

mengaplikasikan penerapan dan kegunaan Kalkulus tersebut pada kehidupan sehari-hari

sesuai bidang yang diampunya.

Deskripsi mata kuliah Kalkulus secara umum adalah menjelaskan konsep dasar

sistem bilangan real, pertaksamaan, fungsi, limit dan kekontinuan, turunan, aplikasi

turunan, integral, aplikasi integral, fungsi transenden, dan teknik pengintegralan.

Deskripsi mata kuliah Kalkulus 1 ditujukan untuk memberikan pengetahuan terkait

dasar-dasar kalkulus yang diperlukan dalam tingkat sarjana. Materi yang diberikan di

antaranya adalah sistem bilangan real, fungsi, limit dan kekontinuan, turunan dan

aplikasinya, integral dan aplikasinya, fungsi transenden, teknik pengintegralan, dan integral

tak wajar. Dengan perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami konsep turunan

dan integral fungsi satu variabel dan aplikasinya dalam masalah kehidupan sehari-hari.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada para dosen

terdahulu yang membekali ilmu yang kemudian diamalkan pada pengajaran mata kuliah ini.

Semoga dengan adanya buku ini dapat bermanfaat bagi pembaca, namun demikian apabila

ada saran dan kritik yang membangun guna menyempurnakan buku ini penulis tunggu

untuk edisi mendatang.

Demikian semoga bermanfaat.

Bandung, Agustus 2018

Emas Marlina, S.Pd., M.Pd

ii

Kata Pengantar .......................................................................................................... I

Daftar Isi .......................................................................................................... iv

1. PENDAHULUAN .......................................................................................................... 1

1.1 Sistem Bilangan Real ..................................................................................... 1

1.2 Operasi Bilangan ............................................................................................ 3

1.3 Urutan ............................................................................................................ 3

1.4 Pertidaksamaan .............................................................................................. 4

1.5 Nilai Mutlak ................................................................................................... 7

2. FUNGSI dan LIMIT ...................................................................................................... 12

2.1 Fungsi dan Grafik ............................................................................................ 12

2.2 Operasi pada Fungsi ....................................................................................... 15

2.3 Pengertian Limit ............................................................................................. 16

2.4 Teorema Limit ................................................................................................ 23

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan ............................................................................. 31

2.6 Limit Tak Hingga ............................................................................................. 32

2.7 Kekontinuan Fungsi ....................................................................................... 34

3. TURUNAN FUNGSI .................................................................................................... 38

3.1 Pengertian Turunan Fungsi ............................................................................ 38

3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ................................................. 39

3.3 Sifat - Sifat Turunan ........................................................................................ 40

3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) ......................................... 41

3.5 Turunan Fungsi Invers .................................................................................... 42

3.6 Turunan Fungsi Implisit .................................................................................. 42

iii

3.7 Turunan Tingkat Tinggi .................................................................................. 43

3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden ............................................ 44

3.8.1 Turunan Fungsi Rasional .................................................................. 44

3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional ................................................................ 44

3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri ........................................................... 45

3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri ................................................................ 46

3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma ................................................................ 47

3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial ........................................................... 49

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik ............................................................... 50

3.9 Turunan Fungsi Parameter .......................................................................... 50

4. INTEGRAL ........................................................................................................... 53

4.1 Rumus Dasar ............................................................................................... 54

4.2 Integral dengan Subsitusi ........................................................................... 55

4.3 Integral Parsial ............................................................................................. 57

4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma ......................... 59

4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional .................................................................... 62

4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x) ....................................................................... 62

4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x) .............................................. 62

4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) ............................................ 63

4.6 Integral Fungsi Trigonometri ...................................................................... 70

4.6.1 Rumus-rumus Sederhana ................................................................ 70

4.6.2 Bentuk ∫ R(sin x) cos x dx dan ∫ R(cos x) sin x dx .............................. 70

4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus ............................... 71

4.6.4 Substitusi y = tan (x/2) ...................................................................... 71

4.6.5 Integral R(tan x) ................................................................................ 73

iv

4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri ....................... 73

4.7 Integral Fungsi Irrasional ............................................................................. 74

4.7.1 Rumus yang perlu dihafal ................................................................ 74

4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku ............................................................. 75

4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional ........................................................ 75

4.7.4 Subsitusi Trigonometri ..................................................................... 75

5. INTEGRAL TERTENTU ................................................................................................ 77

5.1 Pengertian Integral Tertentu ........................................................................ 77

5.2 Aplikasi Integral ............................................................................................. 83

5.2.1 Luas Daerah ..................................................................................... 83

5.2.2 Volume Benda Putar ....................................................................... 86

5.2.3 Panjang Kurva .................................................................................. 93

5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar .......................................................... 97

5.2.5 Usaha atau Kerja .............................................................................. 101

5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) ......................................... 104

1

Kalkulus berasal dari bahasa latin calculus yang berarti “batu kecil” yang

digunakan untuk menghitung. Kalkulus adalah cabang ilmu Matematika yang

mencakup limit, turunan, integral dan deret tak terhingga serta Ilmu yang

mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan

aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan

persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains,

ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak

dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

1.1 Sistem Bilangan Real

Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system

bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-

sifatnya.

Sistem bilangan yang kita kenal selama ini dapat dijabarkan menjadi:

1. Bilangan bulat yaitu bilangan yang dimulai dari bilangan negatif, nol dan

positif, Z = {....,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,......}

2

2. Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari 0, C = {0, 1, 2, 3, 4,.....}

3. Bilangan asli adalah bilangan real yang dimulai dari bilangan 1,

N = { 1, 2, 3, 4, 5,.....}

4. Bilangan prima adalah bilangan yang dapat dibagi 1 dan bilangan itu sendiri,

P ={ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.....}

5. Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua,

N = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,.....}

6. Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak dapat dibagi dua,

L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11,......}

7. Bilangan komposit adalah bilangan bukan nol, bukan satu dan bukan prima,

K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,.....}

8. Bilangan kosong adalah bilangan yang tidak punya anggota, { }

9. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk

atau

disebut pecahan. P = {

,

, ....}

10. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

. contoh: , √ ,

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3,

... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku

yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada

dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa

dinotasikan dengan N.

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua

negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1,

0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z.

Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat

dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat

tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat

digunakan bilangan-bilangan rasional.

3

Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang

cukup ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya

panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut, dengan menggunakan bilangan

irrasional.

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol

bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real

dinotasikan dengan R.

Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

dan digambarkan dengan diagram venn berikut.

Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real

yaitu bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi,

apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun

dimaksudkan adalah bilangan real.

4

1.2 Operasi Bilangan

Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan

y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y

ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan

perkalian pada R adalah sebagai berikut.

1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.

2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z.

3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz.

4) Elemen-elemen identitas:

Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x.

Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.

5) Invers (balikan):

Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x

yang memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai

invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1

yang memenuhi x. x−1

= 1.

Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan – y = x + (–y) dan

1.3 Urutan

Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan

terpisah yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif.

Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) yang

didefinisikan dengan:

x < y jika dan hanya jika y – x positif.

x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x.

5

Latihan 1.1

Sederhanakan sebanyak mungkin. Pastikan untuk menghilangkan semua tanda

kurung dan memudahkan semua pecahan

a. ( ) j.

b. , ( ) ( )- k.

c. , ( ) - l.

d.

(

) m. (√ √ )(√ √ )

e.

(

) n. (√ √ )

f.

0

.

/

1 o. 3√ (√ √ )

g.

0

(

)1 p. √

[√

√

]

h.

(

) q. .

/

i. .

/

.

/ r..

√

√ /

2. Sederhanakan operasi bentuk aljabar berikut ini!

a. ( )( ) h.

b. ( ) i.

c. ( )( ) j.

d. ( )( ) k.

e. ( )( ) l.

f. ( )

g. ( )

6

3. Carilah nilai masing-masing berikut, jika tak terdefinisi katakan demikian:

a. 0.0 e.

b.

f.

e. g.

4. Bilangan prima adalah bilangan asli(bilangan bulat positif) yang hanya

mempunyai dua bilangan asli pembagi, bilangan itu sendiri dan 1. Beberapa

bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Menurut Teorema

Dasar Hitungan, setiap bilangan asli (selain 1) dapat kita tulis sebagai hasil kali

suatu himpunan unik bilangan prima. Misal, 45 = 3. 3. 5. Tuliskan masing-

masing yang berikut sebagai suatu hasil kali bilangan-bilangan prima. Catatan:

hasil kali tersebut adalah trival jika bilangan itu prima yaitu, ia hanya

mempunyai satu faktor.

a. 240

b. 119

c. 310

d. 5400

5. Mana yang diantara yang berikut rasonal dan mana yang tak rasional?

a. √

b. 1 + √

c. 0,375

d. ( √ )( √ )

e. ( √ )

f. 5√

7

1.4 Pertaksamaan/Ketaksamaan

Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan

bilangan riil yang membuat ketaksamaan berlaku, biasanya terdiri dari suatu

keseluruhan selang bilangan, atau dalam beberapa kasus, suatu gabungan dari

selang-selang demikian. Beberapa jenis selang, istilah dan cara penulisan khusus

akan diperkenalkan dalam kalkulus. Ketaksamaan ganda memberikan

selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara dan , tidak termasuk

titik-titik ujung dan dan dinyatakan dengan lambang ( , ). Sebaliknya,

ketaksamaan memberikan selang tertutup yang berpadanan, yang

mencakup titik-titik ujung dan yang dinyatakan oleh , -. Tabel 1 berikut

menunjukkan sejumlah besar kemungkinan dan memperkenalkan cara penulisan

pada ketaksamaan.

Tabel.1.1 Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan

Penulisan Himpunan Penulisan selang Grafik

* }

* }

* }

* }

* }

* }

* }

* }

( )

, -

, )

( -

(- -

(- )

[a, )

(a, )

(- )

( )

, -

[ )

( ]

]

)

[

(

Contoh: Selesaikan ketaksamaan berikut dan perlihatkan grafiknya.

1. 4. 7.

2. 5.

8. ( )( ) ( )

3. 6.

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

8

Jawab:

1. (tambahkan 7)

(tambahkan 4 )

- (kalikan dengan

)

2. (tambahkan 6)

(kalikan dengan

)

3

(faktorkan)

( )( )

atau x =

4. (faktorkan)

( )( )

atau

0

1

2

0

3

4

2

0

1

3

(

[

)

)

(

)

(

9

5.

,

hanya berubah tanda pada pembilang dan penyebut yaitu 1 dan . Namun

mempunyai hasil tak terdefinisi

sehingga penyelesainnya adalah ( , ) [1, )

6.

( )

Himpunan penyelesainnya adalah (2,3].

7.

( ) (faktorkan)

( )( ) (faktorkan)

atau atau

Himpunan penyelesaiannya adalah ( ,0] [1,4]

( )( ) ( )

atau atau

Titik pemecahannya adalah n yang membuat garis riil menjadi

empat selang. Himpunan penyelesaiannya adalah [-1, 1] [1,3].

2 0

1

3

2 3

0 1

4

1 3

)

[

]

(

]

]

[

10

1). Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis riil

a. ( ) c.. , ) c. , - e. , )

b. ( - d. ( -

Dalam tiap soal 2-31, nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan

yang diberikan dalam cara penulisan selang dan sketsa grafiknya.

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

14).

15).

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25). ( )( )( )

26). ( )( )( )

27). ( )( ) ( )

28). ( )( ) ( )

29).

30).

11

1.5 Ketaksamaan Nilai Mutlak

Definisi:

Misalnya , | | dan | | ( ) . Dengan demikian | | tidak

pernah negatif.

Sifat-sifat nilai mutlak:

Ketaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-

sifat berikut:

Contoh :

1. Selesaikan ketaksamaan berikut dan perlihatkan himpunan

penyelesaiannya pada garis riil.

| | c. | |

| | d. | | | |

2. Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Buktikan bahwa:

| |

| |

3. Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilangan positif

(delta) sedemikian sehingga | | | |

|𝑥| 𝑥 jik 𝑥

|𝑥| 𝑥 jik 𝑥

|𝑎𝑏| |𝑎| |𝑏|

|𝑎|

|𝑏|

|𝑎|

|𝑏|

|𝑎 𝑏| |𝑎| |𝑏| (ketaksamaan segitiga)

4. |𝑎 𝑏| |𝑎| |𝑏|

|𝑥| 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎

2. |𝑥| 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 𝑎

3. |𝑥| √𝑥

4. |𝑥| = 𝑥

5. |𝑥| |𝑦| 𝑥 𝑦

12

Jawab:

1. | |

| |

c. | |

atau

atau 6

atau 2

Himpunan penyelesainnya adalah ( ,

] [2, )

d. | | | |

| | | |

( ) ( )

( )( )

Himpunan penyelesainnya adalah ( )(

) dan (

)

2. Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Buktikan bahwa:

| |

| |

Jawab: | |

5 | | (kalikan dengan 5)

|𝑥| 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎

3

)

(

|𝑥| 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 𝑎

3

) (

|𝑥| 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 𝑎

0

0

2

1

|𝑥| |𝑦| 𝑥 𝑦

[

]

13

| || | (| | )

| ( )| ( | | | | | | )

| |

3. Andaikan (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilangan positif (delta)

sedemikian sehingga | | | |

Jawab: | | | ( )|

| | ( | | | | | | )

| |

( kalikan

)

Karenanya, kita pilih =

secara mundur, terlihat bahwa:

| | | |

Latihan 1.3

Bagian A

1-12 carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan:

1. | | 7. | |

2. | | 8. | |

3. | | 9. | |

4. | | 10. ⟨

⟨

5. ⟨

⟨ 11. ⟨

⟨

6. ⟨

⟨ 12. ⟨

⟨

Bagian B:

Dalam soal-soal 13-16, selesaikan ketaksamaan kuadrat yang diberikan dengan

menggunakan rumus kuadrat.

13. 15.

14. 16.

14

Bagian C:

Dalam soal-soal 17-20 carilah (tergantung pada ) sedemikian sehingga

implikasinya yang diberikan adalah benar.

17. | | | |

18. | | | |

19. | | | |

20. | | | |

Bagian D:

Dalam soal-soal 21-24, selesaikanlah ketaksamaan-ketaksamaan tersebut.

21. | | | | 23. | | | |

22. | | | | 24. | | | |

15

2.1 Fungsi dan Grafik

Fungi f dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan tiap-tiap anggota

A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A selajutnya disebut sebagai daerah

asal dan himpunan B disebut daerah kawan. Himpunan semua anggota B yang

merupakan peta atau bayangan dari unsur A disebut himpunan nilai fungsi f dan

disebut jelajah fungsi f. Jika fungsi f memetakan sebagian saja anggota A ke

himpunan B maka daerah asal dari f dikatakan daerah asal alamiah. Pada notasi y

= f(x), x dikatakan peubah bebas dan y dikatakan peubah terikat.

Notasi Fungsi

Untuk memberi nama fungsi dipakai huruf ( ) ( ) ( ). Maka ( )

dibaca dari atau pada .

Contoh: ( ) =

( ) = ( )

( ) = ( )

( ) =

( ) = ( )

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah asal (domain) adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan

aturan fungsi berlaku/terdefinisi, dimana himpunan elemen-elemen fungsi itu

mendapat nilai. Sedangkan daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang

16

diperoleh secara demikian yang berisi semua pasangan dari daerah asal. Untuk

menyebutkan suatu fungsi secara lengkap, selain korespondensinya maka harus

menyebutkan daerah asal fungsi tersebut.

Contoh: ( ) dengan daerah asal * +

Sehingga daerah hasilnya adalah * +

Daerah Asal Alami ( Natural Domain)

Jika sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan, maka daerah asalnya adalah

himpunan bilangan real terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya dan

memberikan nilai bilangan riil.

Contoh: Cari daerah asal mula (natural) untuk,

a) ( )

( ) c) ( )

e) ( ) √

b) ( ) √ d) ( )

f) ( )

√

jawab :

a). Daerah asal mula untuk adalah { + Ini dibaca “himpunan

dalam (bilangan riil) sedemikian sehingga tidak sama dengan 3”. Kita

kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

b). Di sini kita harus membatasi sedemikian sehingga dengan tujuan

menghindari nilai-nilai tak riil untuk √ . Ini dicapai dengan mensyaratkan

bahwa | | Sehingga, daerah asal mula adalah { | | + Dalam

cara penulisan selang, kita dapat menulis daerah asal sebagai [ -

c). ( )

, pada fungsi rasional penyebut tidak boleh nol agar terdefinisi,

sehingga atau . Jadi derah asal alami fungsi adalah * I

dan }

𝐹(𝑥) 𝑥

Domain

R nge

17

d). ( )

, pada fungsi rasional penyebut tidak boleh nol agar

terdefinisi, maka sehingga ( )( )

.

Jadi, derah asal alami fungsi adalah * I , +

e). ( ) √ , fungsi irasional terdefinisi jika bagian di bawah tanda akar positif

atau nol, maka 0 atau difaktorkan ( )( ) atau

. Jadi, derah asal alami fungsi adalah * I , +

f) ( )

√ , fungsi pecahan irasional jika bagian penyebut

atau ( )( ) maka atau . Jadi,

derah asal alami fungsi adalah * I , atau +.

Variabel Bebas dan Variabel Terikat

Jika aturan fungsi diberikan oleh persamaan:

( )

i el e (independent variable)

i el e ik (dependent variable)

Grafik Fungsi

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi disebut fungsi genap bila memenuhi ( ) ( ) ( )

( ) Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu

18

Contoh:

Fungsi yang merinci ( )sebagai jumlah dari pangkat-pangkat genap adalah

genap. ( ) ( ) ( )

( ) dan

( ) ( )

Fungsi disebut fungsi ganjil bila memenuhi ( ) ( ) ( )

( ) Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).

Contoh: Fungsi yang merinci ( )sebagai jumlah dari pangkat-pangkat ganjil

adalah ganjil.

1. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. Apakah ( )

genap, ganjil atau bukan keduanya?

Jawab: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

= ( )

Latihan 2.1:

1. Untuk ( ) dan ( ) hitunglah

a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) f. .

/ g. .

/

2. Untuk ( ) dan ( ) cari dan sederhanakan:

a. ( )

b. ( )

c. ( ) ( )

d. ( ) ( )

3. Cari daerah asal mula (domain natural) untuk masing-masing berikut.

a. ( )

( ) b. ( ) √

c. ( )

d. ( )

√

19

4. Dalam soal-soal berikut, nyatakanlah apakah fungsi yang diberikan genap atau

ganjil atau tidak satu pun, kemudian sketsakan grafiknya

a. ( ) k. ( ) | |

b. ( ) l. ( ) ⟦

⟧

c. ( ) m. ( ) ⟦ ⟧

d. ( ) √ n. ( ) 1 jika t

e. ( ) jika

f. ( ) =

jika

g. ( )

o. ( ) jika

h. ( )

jika

i. f(w) = √

j. ( ) √

2.2 Operasi Pada Fungsi

Jika dan dua fungsi maka jumlah , selisih , hasil kali hasil

bagi

dan perpangkatan adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa

irisan dari daerah asal dan daerah asal dirumuskan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.

/ ( )

( )

( ) , asalkan ( )

Contoh :

Jika ( ) dan ( ) tentukan:

a. c.

d.

20

Jawab:

a. ( ) ( ) ( )

b ( ) ( ) ( )

c.

=

( )

( )

( )

( )

d. = ( )

2.2.1 Komposisi Fungsi

Jika dan dua fungsi maka dengan daerah asal merupakan daerah hasil

maka komposisi memenuhi ( ) ( ( ))

Contoh: Jika ( ) dan ( ) tentukan dan

( )( ) ( ( )) ( )

( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

2.2.2 Fungsi Trigonometri

21

22

Kesamaan trigonometri Kesamaan ganjil genap:

in( ) in

o ( ) o

n( ) n

Kesamaan penambahan:

in( ) in o

o ( ) o in

n( ) n n

n n

Kesamaan jumlah:

in o in (

) o .

/

o o o .

/ o .

/

Kesamaan hasil kali:

in in

( o ( ) o (

))

o o

( o ( ) o (

))

in o

( in( ) (

))

Kesamaan ko fungsi:

in(

) o

o (

) in

n (

) o

Kesamaan sudut ganda:

in in

o

Kesamaan pythagoras:

1 = 1 =

Contoh: periksa kebenaran kesamaan-kesamaan berikut.

a. 1 =

b. 1 =

jawab:

a. 1 =

1 = 1

=

=

b. 1 =

1 = 1

=

=

=

tan t = sin 𝑡

cos 𝑡 cot t =

cos 𝑡

𝑠𝑖𝑛 𝑡

sec t =

cos 𝑡 csc t =

𝑠𝑖𝑛 𝑡

tan t = sin 𝑡

cos 𝑡 cot t =

cos 𝑡

𝑠𝑖𝑛 𝑡

sec t =

cos 𝑡 csc t =

𝑠𝑖𝑛 𝑡

23

Latihan 2.2:

1. jika ( ) dan ( ) tentukanlah,

a. c.

e. ( )( ) g. ( )( )

d. f. ( )( ) h. ( )( )

2. Diketahui fungsi komposisi ( )( ) dan fungsi ( )

tentukan fungsi ( )

3. Diketahui fungsi komposisi ( )( ) dan fungsi ( ) .

Tentukan fungsi ( )

4. Gambarlah sketsa grafik berikut,

a. Y = Sec

b. Y = Csc

c. Y = Cot

5. Periksa kebenaran kesamaan berikut:

a. ( in )( in )

b. ( e )( e )

c. e in n o

d.

e. o ( n o )

f. ( )( )

g. ( )( )

h. in ( in )

i.

24

2.3 Pengertian Limit

Perkataan limit berarti mendekati, untuk memahami pengertian limit kita

awali denagn pemahaman secara intuisi.

( )

Fungsi tersebut tidak terdefinisi di sebab di titik ini ( )berbentuk

.

Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai ( ) di titik-titik yang dekat dengan 1 (

mendekati 1). Perhatikan nilai ( ) untuk beberapa seperti terlihat pada daftar

dan grafik ( ) dapat dilihat pada gambar berikut.

Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa

( )mendekati 3 apabila mendekati 1. Secara matematis hal tersebut

dituliskan dengan:

lim

Dan ini dibaca”limit ( )

( ) untuk mendekati 1 adalah 3”. Dalam contoh ini kita

menghubungkan limit dengan fungsi dekat dengan 1. Bukan di 1.

Secara bentuk aljabar:

lim

lim

lim

( )( )

lim

( )

25

2.3.1. Definisi Limit

Misalkan ( ) suatu interval buka di dan fungsi ( ) dikatakan

terdefinisi di kecuali mungkin di artinya ( ) terdefinisi di semua titik pada

* + dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.

Berapakah nilai limit ( ) ketika mendekati nilai c?

(Pengertian limit secara intuisi) untuk menyatakan bahwa lim ( )

berarti

bahwa bilangan dekat tetapi berlainan dari c maka ( ) dekat ke .

Definisi: suatu fungsi ( ) didefinisikan untuk disekitar c,

maka lim ( ) jik dan hanya jika lim ( ) lim ( )

Contoh:

1. fungsi ( ) dengan daerah asal * I +, akan ditentukan

dengan nilai fungsi ( ) jika mendekati 2.

1,8 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,2

2,8 2,9 2,99 2,999 ... 3,001 3,01 3,1 3,2

Dari tabel tampak bahwa fungsi ( ) mendekati nilai jika

mendekati 2, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Dengan demikian dapat

ditulis bahwa: lim ( ) lim

( )

2. fungsi ( )

dengan daerah asal * I n +, hitunglah

nilai lim ( )

1,8 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,2

3,8 3,9 3,99 3,999 ... 4,001 4,01 4,1 4,2

26

Berdasarkan tabel di atas bahwa ( )

mendekati nilai ketika

mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Dengan demikian lim

( )

lim

Latihan 2.3.1:

1. ( ) , jika mendekati 3

2. ( )

, jika mendekati 3

3. ( ) , jika mendekati 2

4. ( )

, jika mendekati 1

5. ( ) , jika mendekati 3

6. ( ) , jika mendekati 1

7. ( )

, jika mendekati 3

2.3.2 Pengkajian Mendalam Tentang Limit

Ingat kembali mengenai nilai mutlak, jika adalah sembarang bilangan positif.

Maka jarak ( ) ke bilangan kurang dari dafat dinyatakan dalam bentuk:

| ( ) )|

dan ini ekuivalen dengan

L – ε < f(x) < L + ε

yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε)

selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c

sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka 0 < I x – c I < δ dan ini

ekuivalen dengan c – δ < x < c + δ yang berarti x terletak dalam interval terbuka

(c – δ, c + δ).

Contoh:

1. Buktikan bahwa lim

(3x − 7) = 5

27

Jawab:

Analisis pendahuluan:

Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0

sedemikian

Sehingga apabila 0 < I x – 4 I < δ berlaku I (3x − 7) – 5 I < ε

Perhatikan I (3x − 7) – 5 I < ε I 3x −12 I < ε

I3(x − 4) I < ε

I3I I x − 4 I < ε

I x − 4 I <

Oleh karena itu dapat dipilih δ=

. Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang

dari

.

Bukti:

Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ =

. Apabila 0 < x − 4 < δ

maka berlaku (3x − 7) − 5 = 3x −12

=3(x − 4)

= 3 x – 4

= 3 x – 4

3δ = 3.

Jadi, terbukti bahwa lim

(3x − 7) = 5

2. Buktikan bahwa lim

Analisis pendahuluan:

Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan

sedemikian sehingga 0 I I berlaku I

I ε

Perhatikan I

I ε I

( )( )

I ε

I ( ) I ε

I ( ) I ε

28

I I( ) I ε

I I

Oleh karena itu dapat dipilih

atau yang lebih kecil dari

Bukti:

Ambil sembarang ε > 0 dipilih

sehingga 0 I I berlaku:

I

I = I

( )( )

I

I ( ) I

I ( ) I

I I( ) I

I I

ε

Berarti terbukti bahwa lim

2.4 Teorema Limit

Teorema 2.4.1

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi

yang mempunyai limit di c, maka:

1. lim

k = k ( konstanta)

2. lim

(identitas)

3. lim

( ) lim

( ) (kelipatan)

4. lim

, ( ) ( )- lim

( ) lim

( ) (tambah)

5. lim

, ( ) ( )- lim

( ) lim

( ) (kurang )

6. lim

, ( ) ( )- lim

( ) lim

( ) (kali)

7. lim

( )

( )

i

( )

i

( ) , dengan syarat lim

( ) (bagi)

8. lim

, ( )- 0lim

( )1

(pangkat)

9. lim

√ ( ) = √lim

( ) , dengan syarat lim

( ) untuk n bilangan

genap. (akar pangkat)

29

Contoh:

1. Carilah lim

Jawab:

lim

lim

( Teorema 3 )

5 0lim

1

( Teorema 8 )

( ) (Teorema 2 )

2. Carilah lim

( )

Jawab :

lim

( ) lim

lim

20 ( Teorema 5 )

lim

lim

20 ( Teorema 3 )

= 5 (3) – 20 ( Teorema 2 )

3. Carilah lim

√

Jawab:

lim

√

i

√

lim

( Teorema 7 )

√ i

( Teorema 9 dan 2 )

√lim

lim

( Teorema 5 )

√ (lim

) ( Teorema 3, 8, 1 )

√ ( ) =

( Teorema 2 )

30

Latihan 2.4.1:

Carilah penyelesaian berikut dengan menggunakan teorema limit!

1. lim

6. lim

,( )( )-

2. lim

( ) 7. lim

3. lim

√

8. lim

4. lim

.

/

9. lim

√

5. lim

,( )( )- 10. lim

( )

2.4.2. Menghitung Limit dengan Pemeriksaan (substitusi)

Catatan:

jika dibagi hasilnya bersisa (tidak nol)

tidak dapat diselesaikan dengan aljabar ( pemfaktoran dan kali sekawan)

contoh :

1. lim

( ) ( )

2. lim

( ) (( ) ( ) )

3. lim

√

√ ( )

( )

√

√

4. lim

( ) ( )

( ) ( )

5. lim

lim

( ) ( )

( )

𝑥

𝑥 𝑥

7𝑥

7𝑥

31

2.4.3. Menghitung Limit dengan Perhitungan Aljabar

Catatan:

Digunakan apabila dibagi bersisa 0 atau apabila nilainya

Dapat difaktorkan

Pembilang Aljabar lebih besar dari penyebut

Contoh: lim

Apabila penyebutnya lebih besar maka pembagian dihentikan(memakai

pemeriksaan)

Contoh: lim

Karena tidak dapat dibagi koefisien penyebut lebih besar.

Contoh :

1. lim

( )

, maka harus dikerjakan dengan memfaktorkan:

lim

lim

( )( )

( ) lim

( )

2. lim

lim

( )( )

lim

( )

3. lim

lim

( )( )

lim

( ) ( )

4. lim

lim

( )

( ) lim

( )

( ) lim

( )( )

lim

( )

5. lim

lim

( )( )

lim

( ) ( ) ( )

2.4.4. Menghitung Limit dengan Mengalikan Sekawan

Contoh :

1. lim

√

lim

√

(√ )(√ ) lim

(√ )

(√ )

2. lim

√ lim

(√ )(√ )

√ lim

(√ ) (√ )

3. lim

√ lim

(√ )(√ )

√ lim

(√ ) √

32

4. lim

√ lim

√

√

√ lim

( ) ( √ )

( )

lim

( ) ( √ )

lim

. √ /

Latihan 2.4.2 sampai dengan 2.4.4 :

1. Hitunglah nilai limit fungsi berikut.

a. lim

( ) g. lim

( )

b. lim

√

h. lim

√

c. lim

( ) i. lim

.

/

d. lim

j. lim

e. lim

( ) k. lim

√

f. lim √

√

l. lim

2. Hitunglah nilai tiap limit fungsi berikut.

a. lim

k. lim

( )

b. lim

√ l. lim

c. lim

m. lim

d. lim

√ n. . lim

e. lim

0. lim

f. lim

√ p. lim

g. lim

q. lim

h. lim

√ r. lim

i. lim

s. lim

( )( )

j. lim

√ t. lim

( )( )

33

2.4.5. Limit Fungsi Trigonometri

Contoh : Dengan menggunakan beberapa pendekatan tentukan lim

Teorema 1: untuk fungsi sinus berlaku lim

n lim

Teorema 2 : untuk fungsi tangen berlaku lim

n lim

Bukti: dengan menggunakan teorema 1 diperoleh,

lim

lim

lim

sin

cos

lim

sin

lim

cos

cos

lim

lim

lim

cos

sin lim

lim

o o

Contoh:

Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut:

a. lim

sin

b. lim

cos

c. lim

cos

jawab:

a. lim

sin

lim

sin

lim

sin

lim

b. lim

cos

lim

cos

cos

cos

lim

( o ) lim

( o ) lim

in

lim

in

o

34

c. lim

cos

lim

( )

lim

lim

in

lim

in

Latihan 2.4.5:

1. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.

a. lim

e. lim

in( ) i. lim

(

)

b. lim

f. lim

n(

) j. lim

in ( )

c. lim

tan g. lim

( ) k. lim

sin

d. lim

o (

) h. lim

(

) l. lim

n

2. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.

a. lim

sin

d. lim

cos

g. lim

n

b. lim

sin

e. lim

cos

sin h. lim

cos

c. lim

sin

f. lim

n

2.4.6 Limit-Limit Sepihak

Keterangan:

Fungsi ( ) (bulatan penuh)

lim

( ) bulatan menyambung atau tidak loncat

Untuk fungsi dan limit, jika tidak ada tidak boleh pakai tanda “=”(sama

dengan) dan jika ada memakai “=” (sama dengan).

Contoh: ( ) tidak ada

( )

3. lim

( ) tidak ada

4. lim

( )

35

Contoh soal : untuk fungsi f yang digambarkan grafiknya dalam Gambar berikut,

cari limit yang ditunjukkan atau fungsi, atau nyatakan bahwa limit tersebut tidak

ada.

a. lim

( ) e. ( ) = 2

b. ( ) f. lim

( ) tidak ada

c. ( ) tidak ada g. lim

( )

d. lim

( ) h. lim

( )

Bilangan Bulat Terbesar Kurang Dari atau Sama Dengan

Dinotasikan dengan ( ) ⟦ ⟧

Contoh:

1. lim

( ) ⟦ ⟧

Jawab:

lim

( ) ⟦ ⟧

lim

( ) ⟦ ⟧

Jadi, lim

⟦ ⟧ lim

⟦ ⟧ maka lim

⟦ ⟧ tidak ada

2. lim

⟦ ⟧ 5. ⟦ ⟧

lim

⟦ ⟧ = 1 6. ⟦ ⟧

lim

⟦ ⟧ = 1,5 7. ⟦ ⟧

Jadi, lim

⟦ ⟧ 8. ⟦ ⟧

3. ( ) 9. ⟦ ⟧

4. ( ) 10. ⟦ ⟧

1

2

3

1-

2-

3-

36

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan

Definisi

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis:

lim

( )

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < δ , maka berlaku I f (x) − L I< ε. Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis:

lim

( )

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < δ , maka berlaku I f (x) − L I< ε. Teorema 2.5.1

lim

( ) jika dan hanya jika lim

( ) lim

( )

Contoh 1:

,

f(x) =

, Tentukan lim

( ) lim

( ) dan lim

( ) selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f.

Penyelesaian:

lim

( ) lim

lim

( ) lim

Karena lim

( ) lim

( ) m k lim

( )

Contoh 2:

,

, Tentukan lim

( ) lim

( ) dan lim

( )

selanjutnya gambarkan grafik fungsi f.

g(x)=

37

Penyelesaian:

lim

( ) lim

lim

( ) lim

Karena lim

( ) lim

( ) m k lim

( )

2.6 Limit Tak Hingga

Contoh 1:

38

Contoh 2:

2.7 Kekontinuan Fungsi

Contoh 1:

39

40

Bab.3 Turunan

41

3.2 Sifat-sifat turunan

42

Bab. 4 Integral

1. Pengertian Integral

Jika F(x) adalah fungsi umum yang mempunyai fungsi turunan F(x) =

f(x), F(x) disebut integral (antiturunan) dari f(x). Integral adalah invers dari

operasi pendiferensial, dilambangkan dengan ∫ ( ) (dibaca: integral f(x)

terhadap x).

Contoh:

Turunan dari ( ) adalah F’(x) = 2x sedangkan ∫ dx adalah

+ C

2. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan antiturunan yang

umum dari suatu fungsi yang diberikan. Apabila terdapat fungsi F(x) yang

diferensial pada interval [a,b] sedemikian sehingga ( )

= F’(x) = f(x) maka

anti turunan dari f(x) adalah F(x) + C dan dinotasikan dengan ∫ ( ) = F(x)

+ C .

Keterangan: F(x) adalah anti tururnan dari f(x) dengan F’(x) = f(x)

C adalah konstanta real pengintegralan

a. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Integral fungsi aljabar adalah antiturunan dari fungsi aljabar.

Rumus :

1. ∫ dx =

+ C , n ≠ -1

2. ∫ dx =

+ C , n ≠ -1

3. ∫

4. ∫

5. ∫

dx = ln x + C , x

6. ∫ ( ) ∫ ( )

43

7. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

8. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Contoh :

1. ∫ = 3x + C

2. ∫ =

+ C = + C

3. ∫( )

+

5x + C

=

+ 5x + C

4. ∫( ) dx = ∫( + 4) dx =

+ 4x + C = +

4x + C

5. ∫ .

√ √ /dx =∫ .

/dx =

+ C =

+

+ C = 2√ +

x

√ + C

6. ∫( )

dx = ∫

dx = ∫ .

/dx = ∫( ) dx

=

+ 6x + 9 ln x + C

7. Diketahui F’ (x) = + 2x – 5, untuk x = 1, fungsi F bernilai 7. Tentukan

fungsi F(x).

Jawab:

F(x) = ∫ ( )

= ∫( ) = +

F(1) = 2 ( ) + ( ) 5(1) + C = 7

2 + 1 + C = 7

C = 9

Jadi, F(x) = +

8. Gradien garis singgung di titik P(x,y) pada grafik fungsi y = F (x) ditentukan

oleh m = F’(x) = 4x – . Jika grafik itu melalui titik (3,2), tentukan

persamaan grafik itu

44

Jawab: y = ∫ ( )

= ∫( ) =

y melalui titik (3,2),

maka: 2 = 2 ( ) ( )

C = 13 Jadi, persamaan grafiknya adalah 13

Latihan

1. ∫ 11. ∫( )

2. ∫( ) 12. ∫( ) ( )

3. ∫( ) 13. ∫ ( ) ( )

4. ∫( ) 14. ∫( ) ( )

5. ∫( ) 15. ∫( )

6. ∫( ) 16. ∫( )

7. ∫( ) ( ) 17. ∫( )

8. ∫( ) 18. ∫ ( )

9. ∫( ) 19. ∫( )

10. ∫( ) . 20. ∫( 60 + 30

)

21. ∫( )( )

26. ∫

( )

√

22. ∫( )

27. ∫

(5x + 3) dx

23. ∫( )

28. ∫

(1 +

) dx

24. ∫( )

29. ∫ (2x + )

25. ∫( )

√ 30. ∫

√ ( 1 + √ )

31. Tentukan fungsi F(x) jika diketahui sebagai berikut.

a. F’(x) = 2x 9 dan F(1) = 5

45

b. F’(x) = dan F(-1) = 3

32. Tentukan grafik fungsi y= F(x) dengan gradien m dan melalui titik P(x,y)

berikut ini.

a. m = F’(x) = 2x , melalui titik P (1,5)

b. m = F’(x) = , melalui titik P (-1,-2).

Penerapan Integral Tak Tentu pada Beberapa Integral Khusus

1). ∫( )

0

( )

1 + C

Contoh:

∫( )

( )

+ C =

( )

Latihan :

1. ∫( ) 6. ∫( )

2. ∫( ) 7. ∫( )

3. ∫( ) 8. ∫

( )

4. ∫( ) 9. ∫

( )

5. ∫( ) 10. ∫

√( )

2). Integral Substitusi

`Contoh :

1. ∫( )

Jawab: misal u = ( )

du = dx

dx =

∫( ) = ∫ 6

du =

∫ du =

+ C =

( ) + C

46

2.∫( ) ( )

Jawab: misalkan u = ( )

du = (4 2x )

2du = ( )

∫( ) ( ) = ∫ . 2 du = 2 ∫ du =

+ C =

( ) +

C

Latihan:

1. ∫( )

2. ∫( )

3. ∫( )

4. ∫( )

5. ∫( )

6. ∫ √( ) dx

7. ∫

( ) dx

b. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri adalah antiturunan dari fungsi

trigonometri. Berikut ini adalah rumus dasar integral tak tentu dari fungsi

trigonometri.

1. ∫ o in

2. ∫ in o

3. ∫ n

4. ∫ o

5. ∫ n e

6. ∫

7. ∫ o ( )

in ( )

47

8. ∫ in ( )

o ( )

9. ∫ ( )

n ( )

10. ∫ ( )

o ( )

11. ∫ ( ) e ( )

e ( )

12. ∫ ( ) ( )

( )

Contoh:

1. ∫( in o ) o in

2. ∫( in ( ) ) =

cos ( )

tan 3x + C

= cos ( )

tan 3x + C

Latihan:

1. ∫( in o )

2. ∫* in( ) o ( )+

3. ∫

4. ∫ n e

3. Integral Tentu

Integral tentu adalah nilai dari luasan di bawah kurva dalam interval a

, dengan a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas integral.

1. Menghitung Integral Tentu dengan Jumlah Riemann

Definisi: misalkan f terdefinisi pada selang tertutup [a,b] dan P suatu partisis

yang membagi selang [a,b] menjadi n subselang dengan lebar setiap

subselang

. Pada setiap subselang tersebut diambil sebuah titik

sembarang xi (biasanya diambil pada titik ujung tiap subselang, bisa titik

ujung kanan atau titik ujung kiri) yang kemudian disebut titik sampel.

48

Jumlah Riemann :

n = ∑ ( ) (jika xi diambil dari titik ujung kanan) atau

lim n lim

∑ ( )

n = ∑ ( ) (jika xi diambil dari titik ujung kiri) atau

lim

n = lim

∑ ( )

Contoh: Menghitung luas daerah bawah grafik y = 4x dalam selang [0,1]

menggunakan jumlah Riemann dengan memilih titik ujung kanan tiap sub

selang.

Jawab:

=

=

Karena y = f(x) = 4x maka tinggi tiap persegi panjang berturut-turut adalah

sebagai berikut.

Untuk x1 =

f(x1)=f(

)= 4(

n)

Untuk x2 =

f(x2)=f(

)= 4(

n)

Untuk x3 =

f(x3)=f(

)= 4(

n)

Untuk xn = 1 f(xn)=f( )= 4(1)

lim

n lim

∑ ( )

= lim

, ( ) ( ) ( ) ( ) -

= lim

0 .

n/ .

n/ .

n/ ( )1

= lim

, -.

= lim

0

* ( ) +

1

= lim

0

* ( ) ( ) +

1

= lim

, -

= lim

0

1+ lim

0

1 = 2 + 0 = 2

Dengan demikian, luas daerah y = 4x selan[0,1] adalah 2 satuan luas.

49

2. Menghitung Integral Tentu dengan Teorema Fundamental Integral Kalkulus

Untuk menghitung nilai integral tentu dapat menggunakan teorema

dasar kalkulus sebagai berikut.

∫ ( ) ( )- ( ) ( )

Contoh:

Hitunglah integral tentu berikut ini.

1. ∫ ( )

-

= {( ) + (2)} {( ) + (1)}= 4 + 2

2. ∫ ( )

3. ∫ ( )

4. ∫ √

5. ∫

dx

6. ∫ ( )

7.∫ ( )

8. ∫ ( )

9. ∫ ( )

10. ∫ ( )( )

11. ∫ (

)

12. ∫ .√

√ /

13.∫ ( in o )

14. ∫ o

50

DAFTAR PUSTAKA

Purcell,E.J.&Varberg,D. 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis,jilid 1, terjemahan

edisi 5, Erlangga.

Stewart,J. 1998. Kalkulus, jilid 1,terjemahan edisi 4, Erlangga

Martono,K. 1999. Kalkulus , Erlangga

Leithold. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik.jilid 1&2. terjemahan, edisi 5,

Erlangga