MASALAH NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS

TUGAS

Oleh

I Putu Edy Sumardika (1113011034)

VII A

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

SINGARAJA

2014

1

1. a. Tentukan periode dari fungsi f ( x )=sin( 2 πxk ) ,

Solusi :

Dalam trigonometri untuk menentukan periode fungsi trigonometri diperoleh dari

membagi 2 π dengan koefisien dari x

Misal :

f ( x )=sin (x ) → p=2 π

f ( x )=sin(ax )→ p=2 πa

jadi

f ( x )=sin( 2 πxk )→ p= 2 π

2 πk

⟺ p=2 kπ2 π

⟺ p=k

Periode untuk f ( x )=sin( 2 πxk ) adalah p=k

b. Fungsi di bawah ini diasumsikan periodic dengan periode 2 π , tentukan aturanya :

Solusi :

Dari grafik diatas diperoleh aturan fungsinya yaitu:

1 ,−π<x<−π2

f ( x )=¿ −1 ,− π2<x<0

0 ,0<x<π

1

2. Pada saat kuliah, harga a0 dan an dari Deret Fourier f (x). Tentukanlah rumus untuk bn

nya!

Solusi :

Fungsi f ( x ) yang terdefinisi pada (– π , π ) memiliki Deret Fourier yang dinyatakan dalam

f ( x )=a0+∑n=1

∞

[ an cos (nx )+bn sin(nx)]

Pada saat perkuliahan nilai dari a0dan an sudah diturunkan dan diperoleh nilainya sebagai

berikut

a0=1

2 π∫−π

π

f ( x ) dx

an=1π∫−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx

bn=. . .?

bndapat diperoleh dengan cara mengalikan kedua ruas dari persamaan DFdengan

sin(mx), dan integralkan dengan batas dari (– π , π ) sehingga diperoleh:

f ( x ) sin(mx)=a0 sin(mx)+∑n=1

∞

[an cos (nx ) sin(mx)+bn sin(nx )sin(mx)]

∫−π

π

f ( x ) sin (mx ) dx=∫−π

π

a0 sin (mx )dx

+∫−π

π

∑n=1

∞

[an cos (nx ) sin(mx)+bn sin(nx )sin(mx)] dx

untuk

∫−π

π

a0sin (mx ) dx=a0∫−π

π

sin ( mx ) dx

¿a0[−1m

cos (mx )]−π

π

¿−a0

m[cos (mx)]−π

π

¿−a0

mcos (πm )+

a0

mcos (−πm)

¿−a0

m(cos ( πm )+

a0

mcos (πm))

¿0

Untuk

3

∫−π

π

∑n=1

∞

[ancos (nx )sin (mx ) ] dx=∑n=1

∞

∫−π

π

an cos (nx ) sin (mx ) dx

¿∑n=1

∞

an∫−π

π

cos (nx ) sin (mx ) dx

¿∑n=1

∞12

an∫−π

π

(sin (m+n ) x+sin (m−n ) x ) dx

¿∑n=1

∞12

an([ −1m+n

cos (m+n)x ]−π

π

+[ −1m−n

cos (m−n) x ]−π

π ) ¿∑

n=1

∞12

an¿¿

¿∑n=1

∞12

an¿¿

¿∑n=1

∞12

an (0 )

¿0

untuk

∫−π

π

∑n=1

∞

[bnsin (nx)sin(mx)]dx=∑n=1

∞

∫−π

π

bnsin (nx ) sin (mx )dx

¿∑n=1

∞

bn∫−π

π

sin (nx )sin (mx ) dx

¿∑n=1

∞12

bn∫−π

π

( cos (n−m ) x−cos (n+m ) x) dx

¿∑n=1

∞12

bn([ 1n−m

sin(n−m) x ]−π

π

−[ 1n+m

sin(n+m) x]−π

π ) ¿∑

n=1

∞12

bn¿

¿∑n=1

∞12

bn¿

¿∑n=1

∞12

bn( 2n−m

sin (n−m ) π− 2n+m

sin (n+m ) π ) ¿∑

n=1

∞ ( bn

n−msin (n−m ) π−

bn

n+msin (n+m ) π )

Untuk m ≠n maka

4

∫−π

π

∑n=1

∞

[bnsin (nx ) sin (mx ) ]dx=∑n=1

∞

( bn

n−msin (n−m ) π−

bn

n+msin ( n+m ) π )

¿∑n=1

∞12

bn (0−0 )=0

Jika m=n maka

∫−π

π

bn s¿2 (nx ) dx=bn∫−π

π

(1−cos (2 nx)2 )dx

¿bn

2∫−π

π

(1−cos2 nx ) dx

¿bn

2¿

¿bn

2 (( π+π )−( 12 n

sin (2n π )+ 12n

sin (2n π )))¿

bn

2 (2 π− 22n

sin (2 nπ )) ¿

bn

2 (2 π− 22n

.0) ¿bn π

Karena m=n, maka ∫−π

π

f ( x ) sin (mx ) dx=bn π

Sehingga diperoleh koefisien bn dalam bentuk

∫−π

π

f ( x ) sin (mx ) dx=∫−π

π

a0 sin (mx )dx

+∫−π

π

∑n=1

∞

[an cos (nx ) sin(mx)+bn sin(nx )sin(mx)] dx

¿0+0+bn π

¿bn π

bn=1π∫−π

π

f ( x ) sin (mx ) dx

3. Tentukan Deret Fourier dari fungsi-fungsi di bawah ini dan tunjukkan bahwa Deret

Fourier anda benar dengan membuat grafik fungsi asli dan grafik deretnya.

−k ,−π2

<x< π2

a. f ( x )=¿

5

k ,π2<x< 3 π

2

b. g ( x )=x ,−1<x<1 dan g ( x ) periodik dengan periode p=2 L=2

Solusi :

−k ,−π2

<x< π2

a. f ( x )=¿ , p=2 L=2 π⟺ L=π

k ,π2<x< 3 π

2

Grafik fungsi f ( x ) yaitu:

Karena grafik fungsi f ( x ) simetrik terhadap sumbu-y , maka f ( x ) adalah fungsi genap, ini

berarti bn=0.

a0=1

2 L∫−L

L

f ( x ) dx

¿ 12 π

∫−π

π

f ( x ) dx

¿2

2 π (∫0π2

(−k )dx+∫π2

π

k dx)¿ 1

π¿

6

¿ 1π (−kπ

2+kπ− kπ

2 )¿0

an=1L∫−L

L

f ( x ) cos( nπxL )dx

¿ 1π∫−π

π

f ( x ) cos ( nπxπ )dx

¿ 2π∫

0

π

f ( x )cos (nx )dx

¿2π (∫0

π2

(−k ) cos(nx)dx+∫π2

π

k cos (nx)dx )¿ 2

π¿

¿2 knπ (−sin( nπ

2 )+sin (nπ )−sin ( nπ2 ))¿−4k

nπ (sin ( nπ2 ))

−4 knπ

,n=4 m+1

an=¿ 0, n=2 m

4 knπ

, n=4m+3

Jadi, Deret Cosinus Fourier dari fungsi f ( x ) adalah

f ( x )=∑n=1

∞

[an cos (nx ) ]

¿−4kπ

cos x+ 4 k3 π

cos 3 x−¿ 4 k5 π

cos5 x+ 4 k7 π

cos7 x−. . .¿

¿4 k (−cos xπ

+ cos3 x3 π

− cos5 x5 π

+cos7 x7 π

−. ..)Grafik deret untuk fungsi f ( x )

7

Untuk :

n = 1 grafik berwarna merah

n = 3 grafik berw1arna kuning

n = 5 grafik berwarna hijau

n = 7 grafik berwarna biru

n = 9 grafik berwarna hitam

b. g ( x )=x ,−1<x<1 dan g ( x ) periodik dengan periode p=2 L=2

Grafik fungsi g ( x ) adalah

p=2 L=2⟺ L=1

Karena grafik fungsi g ( x ) simetrik terhadap titik asal , maka g ( x ) adalah fungsi ganjil,

ini berarti a0=0 , an=0. Sehingga

bn=2L∫

0

L

f ( x )sin ( nπxL )dx

8

¿2∫0

1

x sin(nπx)dx

dengan integral parsial, diperoleh :

∫ x sin(nπx )dx=¿

Misalkan:

u=x dv=sin(nπx )dx

du=dx v=−1nπ

cos (nπx)

maka: ∫ x sin(nπx )dx=uv−∫ v du

¿− xnπ

cos (nπx )−∫−1nπ

cos(nπ x)dx

¿− xnπ

cos (nπx )+ 1

(nπ )2sin(nπx )+c

Sehingga,

bn=2∫0

1

x sin(nπx)dx

¿2[−xn π

cos (nπx )+ 1

(n π )2sin(nπx )]

0

1

¿2[−1n π

cos (nπ )+ 1

(n π )2 sin (nπ )−(0 )]¿− 2

n πcos (nπ )

bn={ −2n π

,n=2m

2n π

, n=2 m+1

Jadi, Deret Sinus Fourier dari fungsi g( x ) adalah

g( x )=∑n=1

∞ [bn sin( nπx1 )]

¿ 2π

sin (πx )− 22 π

sin (2πx )+¿ 23 π

sin (3 πx )− 24 π

sin (4 πx )+. ..¿

¿ 2π

sin (πx )−sin (2 πx )π

+2sin (3 πx )

3 π−sin (4 πx )

2π+…

9

Grafik deret dari fungsi g ( x )

Untuk :

n = 1 grafik berwarna merah

n = 2 grafik berwarna kuning

n = 3 grafik berwarna hijau

n = 4 grafik berwarna biru=

4. Diketahui MNASB sebagai berikut

ut=c2uxx−v ux

u (0 , t )=u ( L, t )=0

u ( x , 0 )=f (x)

Jadikan MNASB di atas homogen dengan transformasi

u ( x , t )=v ( x , t ) w (x , t)

Solusi :u ( x , t )=v ( x , t ) w (x , t)

ut=v t w+v wt

ux=v x w+v w x

uxx=vxx w+2 vx w x+v w xx

ut=c2uxx−v ux

v t w+v wt=c2 ( v xxw+2 v x w x+v w xx )−v (vx w+v w x)

v wt=c2 v w xx

w t=c2w xx

v t=c2 ( v xxw+2 v x w x )−v (vx w+v w x)

w

Syarat batas

u (0 , t )=v (0 , t ) w (0 ,t )=0

10

u ( L ,t )=v ( L , t )w (L , t )=0

Nilai awal

u ( x , o )=f (x )=v ( x , 0 ) w ( x , 0 )

w (x , 0 )= f (x )v (x , 0)

11