dwraksi pada kristalrepository.unp.ac.id/876/1/ibnu suud_1197_98.pdf · 2017-03-16 · zjntuk...
TRANSCRIPT
DWRAKSI PADA KRISTAL
. . - .-.- . .- .
Oleh: Drs. Ibnu Su'ud, 3I.Pd.
Drs. Hamdi, M.Si.
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA l?r-\KUI,TAS PENDIDIKAN MATEMArI'IL\ IIAN ILhIU
PENGETAIIUAN ALAIM IKIP PADANG
1998
Berkat rahmat ,411ah Subhanahu LITata'ala jualah kami dapat menyelesaikan
buku ini yang diberi judul : "D,$raksi Puda Kristur'. B d u ini dapat diynakan
sebagai penunjang dalam mah kuliah Fisika Zat Padat.
Secara garis bssar buku i r ~ i berisi tentang bakas-berkas yang bisa dihamburkan
oleh kristal, syarat-syarat terjadinj-a hamburan yang dapat dideteksi dan
memperkenakan secara rirlgkas beberapa metoda dalam menganalisis kristal.
Bab I berisi cara mernbangkitkan sinar-x clan difraksi sinar-x, neutron dan
elektron dan huhum Bragg. Bnb I1 mernbahas kisi balik antara lain: kisi bnlik kubus
sederhana, hwbus beryusat muka dan hubus bzrpusat badan. Disarnping itu dibahas
juga daerah Brilliouin I r~ntuk kubus sederhanq kubus berpusat muka dan kubus
berpusat badan. Bab bzrisi hamburan oleh kristal yang secara garis besarnya tahap
hamburan oleh satu atom, hamburan oleh unit sel dan hamburan oleh hs ta l .
Hamburan oleh zat cair diperkenalkan juga sedikit pnda akhir bab III ini. Bab n'
mzmperkenalkan prinsip kerja beberapa mstoda dalam dalarn rnenganalisis kristal.
Pada akhir bab ini dibcrikan prinsip cara menentukan struktur dari sistem dari
kristal sistem hubus.
Dalam penqusunan briku ini kami sangat bmyak menerima bantuan dari
berbagai pihak, terutnma ntas pcngetikan dan pcngetlitannya. Atas bantuan ini penulis
mengucnpkm terima kasih banyak. semoga amnlnya mendapat balasm yang setimpnl
clari Allah Subhanahu Virata'ala.
Kami menyadari akan keterbatasan kami sebagai manusia biasa. Oleh sebab itu
bila masih terdapat terdapat kekurangan-kekurangan pada buku ini, maka karni
mengharapkan adanya kritik clan saran yang berguna dari pembaca sekalian, demi
kesempurnaan buku ini. Insya Ailah karni akan meterimanya dengan lapang dada dan
hati terbuka.
P a w November 1998
Penulis
Hal
KATA PENG.4tVA.R ................................................................ 1
... ........................................................................... DAFT- IS1
B I . B E K A S - B E m S Y .A NG DIDIFRAKSKAI .........................
....................................................................... 1.1 Sinar-x
........................................................... 1.2 Difraksi Neutron
.......................................................... 1.3 Difraksi Elehaon
.............................................................. 1.4 Hukum Bragg
................................................................ 1.5 Kesimpulan
BAB 11 . KISI BALK ..................................................................
................................................................... 2.1 Kisi balik
........................................................... 2.2 Daerah Brillioun
2.3 Hubungan dalam Ruang Kisi Balik dengan Bidang &lam Ruing
.................................................................... Kisi Biasa
................................................................. 2.4 Kesimpulan
............................................................... B r\B 111 . H h l B URAN
..................................................... 3.1 Hamburan Oleh Atom
........................................... 3.2 Hamburan dari Sebuah f i s t a l
....................................... 3.3 Syarat Difraksi dan Hukum Brag 48
3.4 FahTor Struktur Geometris ................................................ 51
................................................... 3.5 Hamburan dari Zat Cair 58
3.6Kesimpulan .................................................................. 60
B AB N. TEKNIK-TE- P E R C O B W ....................................... 65
.................................................... 4.1 Metoda Memutar Kristal 65
4.2 Metoda Laue .................................................................. 67
4.3 Metoda serbuk ................................................................ 68
4.4 Penentun Indeks Bidang I;ristal Kubus dari Data Eksperimen ....... 70
..................................................................... 4.5 Rin@asan 73
Salah satu cara untuk menentukan struktur kristal adalah dengan mempelajari pola-
pola difraksi pang ditimbukan oleh bzrkas sinar yang didatcingkan pada kristal. Berkas
difraksi hanya ada pada arah-arah tertentu, seperti cahaya didifraksikan oleh kisi-kisi. Untuk
mendapatkan informasi menzenai struktur kristal tersebut dilahukan penekuran arah-arah
difraksi clan intensitasnya, dimana struktur kristal inilah yang menyebabkan terjadinya drfraksi
pada irah yang diarnati.
Zjntuk menentukan suatu struktur kristal, ada tiga ienis radiasi yang digunakan yaitu:
sinar-g neutron, dan elektron. Proses yang dilaui oleh ketiga tipe ini hampir serupa. Curna
saja masing-masing jenis radiasi itu ada kelebihan dan kekurqannya.
1.1 Sinar-x
Sinar-x ditemukan oleh Rontgen pada tahun 1895 dengan ciri-ciri yang sangat
menarik perhatian adalah d q a tembusnya yang Iuirr biasa. Sirtar-x merupakan gelombang
0
elektromagnetik yang panjang gelombangnya mendckati 1 .A . Dalam kenyataannya bahwa
a h sinar-x yang panjang gelombangnya terlalu pcnclek, namun sinar-x tetap memiliki sifat-
sifat fisika yang sarna dengan gelombang elekrom'.lprretik yang lain seperti gelombang optik.
Panjang gelombang sinar-x dapat diatur sedemikian rupa sehingga ordonya sama dengan
ordo jarak kekisi *si-kisi) kristal, d m i d a h yang menyebabkan sinar-x sering digunakan
untuk mcnganalisa struh-tur kristal berupn proses difraksi. Energi sinar-s diberikan oleh
persamaan encrgi Einstein E = h r: dimana h a d a h konstnnta P h c k d m L. adalah frekuensi.
0
Dengan mengganti harga h = 6,626 x 10'" erg-dt clan R = 1 A, maka didapathn energi E = &
lo4 ev , yang mana energi ini merupakan harga khusus.
Cara Menghasilkan dan Penyerapan Sinar-x
Sinar-x terjadi apabila satu berkas elektron bebas berenergi (Kmetik) tin& mengenai
permukaan suatu logam. Biasanya permukaan logam dengan nomor atom Z yang tin@.
Ternpat dimana berkas elekron tersebut menumbuk logam akan merupakan sumber sinar-x,
dengan daya tembus yang besar itu. Sket susunan utama dari percobaan untuk menghasilkan
sinar-x, dapat dilihat pada gambar 1.1 di bawah ini.
Garnbar 1.1. Susunan utama alat percobaan penghasil sinar-s
Gambar di ata3 terdiri dari tabung yang dinamakan dengan tabung simr-.rc. Di dal'un tabung
terdapat elektroda katocia dan anoda. Katoda K yang dihubungkrm d e n p hwtub negatif
suatu sumber listrik tegangan yang tine. Katoda ini dipanaskan dengan suatu filamen agar
lebih mudah dapat memmcarkan elektron. Kemudian a n o h A yang terbut d a i logim berat
clihubungkan dengan kutub positif suatu sumbcr listrik tegangan tinggi. B d katoda maupun
dmoda ditcmpatkan didalam tabung h m p a ud.un, agar perjalam eIzh?ron dari katoda ke
anoda tikik tergmw. Anoda A didin&an dengan ,air untuk menyalurkm kelebihan kalor
yang timbul karma benturan berkas elekron dengan permulaan an&. Apabila pendinginan
itu tidak dilakukan, maka suhu anoda 3kan terus meningkat sampai tcjadinya peleburan.
2.3. Hubungan Bidang dalarn Ruang Kisi Balik dengan Bidang dalam Ruang Kisi I
Biasa
Seakarang akan dibuktikan lcaitan-kaitan vektor-vektor kisi balik dengan bidang-
bidang kristal dalam kisi asalnya. Cara ini sedikit agak abstrak karma veldor-vektor kisi batik
diperoleh dari pengertian kongkrit. Sebagai ilustrasinya diambil suatu kumpulan bidang
kristal yang memiliki indeks Miller(hkt), d m vektor-vektor kisi yang terkait dengannya adidah
I G ~ K = ha* + kb* + ic* , h,k dan I adalah suatu kumpulan bilangan 1,2,3,.. . dan seterusnya.
I - Sekarang kita akan menetapkan sifat-sifat sebagai berikut ;
i) Vektor G ~ B tegak lurus pada bidang (hkl) kristal.
ii) Jarak antara bidang (dhK), dihubungkan dengan besaran Ghu oleh persamaan ;
Garnbar 2.9 : Vektor kisi balik GhH tegak lurus pada bidang (hkl).
(Om'ar 1975: 50)
Untuk membuktikan sifat-sifat di atas kita peratikan garnbar 2.9, disini kita sudah I I menggambar salah satu dari bidang-bidang (hkt). Perpotongan-perpotongan bidang ini I
dengan sumbu-sumbu adalah x,y clan z, dan hubungannya dinyatakan dengan (hk2) ;
I (MO * [(1/')9(W,(1/z)] (2-5)
1 Pemuatan persarnaan di atas berdasarkan defenisi indeks Miller pada bagian 1.6. Vektor- I
vektor u dan v yang berada pada sepanjang garis perpetongan bidang dengan bidang-bidang
j x-y clan y-z. Menurut garnbar 2.9, ptrsamaan vektor-~ktor ini adalah : u = xa - yb , dan v = I 8 .
I yb - zc. Dalam usaha untuk membuktikan sifat (i) di atas, kita hanya perlu mernbuktikan
bahwa Ghld hams tegak lurus pada kedua vektor u dan v.
~ Bukti :
u.GM = ( x a - yb)(ha*+k6*clc*)= 2n(xl1 - y k ) = ~
1 . . kila sudah menggunakan persamaan. (2-3) untuk untuk menentukan persamaan kedua ;
I persamaan terakhirnya ditentukan dari persamaan(2-5). Dengan cara yang sama dapat I
dibuktikan bahwa Ghu tegak lurus pacia vektor v, dan ~embuktian ini akan menguatkan sifat
1 (i). Untuk mebuktikan persamaan (2-4), salah satu yang perlu diamati d h ~ , yang merupakan
~ jar& antara bidang, yang b e s w a sama dengan proyeksi xa sepanjang arah yang tegak lurus I
I pada bidang hkl. Kemudian didapatkan :
Sekarang kita perhatikan bahwa xn. G , = 27r hr = 27r, sebab menurut penamaan (2-5) xh
. = 1. Jadi persamaan (2-6) menjadi penmaan (2-4), dan inilah bukti sifat (ii).
Hubungan ant'ua vektor-\.eCrtor balik dengan bidang-bidang kristal sekarang benar-
benar jelas. Vektor Ghld jelas tegak Im pada bidang hkl, dan jar& bidang-bidang ini 2n kali
kebalikm panjang GhH dalarn m g balrk.
2.4 Kesimpulan I
Berdasarkan vektor-vektor dasar kisi biasa dapat dibuat sekurnpulan vektor-vektor
dasar kisi balik yang hubungannya adalah :
Vektor translasi kisi balik dapat ditulis :
I Kisi balik dari kubus sederhana bentuknya kubw sederhana juga, sedangkan panjang sisinya
I I /$I dan volumenya Kubus berpusat badan kisi b a h y a berbmtuk kubus berpusat I
muka, dan volume kisi baliknya 2 (7)1 - Kisi balik h b u s berpusat muka, berbentuk
1 berbentuk kubus berpusat badan dan volume kisi baliknya 4 I
1 Daerah Brillioun I didefenisikan sebagai sel Wigner Seitz dalam kisi balik.
Pembentukan daerah Brillioun untuk tiga dimensi sama caranya dengan pembentukan unit
I sel menurut Wigner Seitz dalam kisi biasa. Daerah Brillioun I adalah daerah yang dibentuk
oleh bidang-bidang ang ditarilc melalui pertengahan vektor translasi terpendek dan tegak lurus
padanya. Untuk kubus sederhana daerah Brillioun I dibatasi oleh 6 bidang, kisi balik dari
kubus bqusa t badm daerah Brilliounnva dibatasi 12 bidang dan kisi balik dari kubus
berpusat muka daerah BriIliounnya dibatasi oleh 8 bidang.
Suatu bidang Yberindeks miller (hkt) dalam h i biasa dan vektor translasi Ghu = ha*
+ kh* + Ic* dalm kisi balik dari kisi yang bers'mghutan serta jarak bidmg d h ~ , maka
hubungannya adalah :
Ghk, tll bidang v
Pertanyaan
1. Apakah dimensi dari vektor ki balik ?
2. Vektor apa lagi dalam gelombang yang dimensinya sama dengan dimensi vehqor kisi
balik?
3. Coba jelaskan dimensi dari kisi balik ?
4. Apakah vektor kisi nyata mempunyai hubungan dengan vektor kisi baliknya ?
Soal-Soal
1. BuL-tikanlah volume kisi balik berbanding terbalik dengan volume kisi biasanya !
2. Buatlah kisi balik untuk suatu kisi dua dimensi yang besar a* = , b* = 3A serta
5 / = 120°
3. Suatu unit sel mempunyai dirnensi a * = 4A , b * = 6 4 , c* = 6d
a. Carilah volume unit selnya I
b. Carilah vektor-vektor kisi baliknya !
c. Carrlah volume sel kisi b a h y a !
3. Dalarn kisi dua dimensi buktik.axllah dacrah Brillioun II sarna luasnya dengan daerah
Brillioun I !
5. Buktikan pula dalarn kubus sederhana daerah Brillioun II sama volumaya dengan
daerah Brillioun I !
Bila berkas sinar masuk ke &lam kisi kristal, maka berkas sinar tersebut akan
dihamburkan. Begitu juga bila suatu berkas sinar-x, neutron, clan elektron yang didatangkan
pada suatu kisi kristal tetap akan menglami pemantulan ataupun dihamburkan. Proses
hamburan yang terjadi bila suatu sinar-x, neutron, dan elektron terscbut pada suatu kisi ktistal
adalah sama saja, maka pada kesempatan ini cukup satu macam sinar saja yang akan dibahas
dalam menyelidiki sifat harnburan yang terjadi. Oleh sebab itu kita pilih saja sinar-x. Dan
ternyata hukum Bragg juga dapat diturunkan dari teori hamburan ini.
3.1 Haniburan Oleh Atom
Proses dfiaksi secara alarniahnya dapat dibagi atas dua tingkat, yaitu: 1) Harnburan
I oleh individu-indikidu atom; 2) Saling berintederensinya antara sinar-sinar yang
1 dihamburkan. Selagi kedua tinpkat ini jelas pzrbedaan antara satu dengan yang lainnya, maka
boleh ditetapkan bahwa mercka tidak saling terkait. Namun secara pendekatan dilakukan I
I penelaahan dalam tiga tahap bedcut:
a) Hmburan yang terjadi disebabkan oleh satu elektron dari atom kristal tersebut. Hamburan
I ini biasanya disebut sebagai hamburan t inght elektron.
b) Hambwan oleh semua elektron dai atom. Jadi harnburan oleh atom-atom secara
individual dan biasa jug3 disebut sebagai hnmbttran tingkot atom. I I c) Interf'erensi dari semua berkas hamburan yang berasal dari atom-atom kristal. Oleh sebab
I i tu hamburan ini dinama kan / I ~ I buran t inght kristal.
I
I Sebclum kitcr lmjutkm pcmbahasan kita tentang h'unburan oleh atom ini, a1angka.h
I lebih baiknya kita munculkan suatu pertanyaan "Kenapa sebuah aton1 rnenghamburkan berkas I
sinar-x ? Sebagai jawnban dari pertanyam tzrsebuf ikutilah uraian berikut ini. Suatu atom
dikelilingi oleh elektron-elektron akan mengalami gaya yang disebabkan medan listrik pang
dihasilkan berkas sinar yang datang padanya. Menurut teori elektromagnetA, suatu muatan
yang dipercepat akan memancarl;an radiasi, ha1 ini akan berlaku juga bagi elektron-elektron
pada atom. Elek~ron akan menyerap enzrgi dari berkas sinar yang datang padanya, sehinaa
menyebabkan dia tereksitasi. Wakm kembali ke kedudukan semula elehtron tadi akan
memancarkan msrgi kesegala a&. Iiarena elek-tron-clektron membentuk awan muatan
disekeliling atom, maka kita havu memperlutungLan hamburan atom secara keszluruhan, oleh
sebab itu kita memperhitungkan perbtdaan fase antara sinar yang dihamburkan awan muatan
I dari daerah yang bsrbsda dalam atom. Prosesnj-a adalah sebagai berikut. Perhatikan gambar
3.la, yang mengnmbil sebuah eleX?t-on sebagai model untuk pembahasan selanjutnya.
Persamaan gelombang bidang yang datang pada eiektron tadi adalah: I
Dirnan.a A adalal~ amplitude, k, vsktor gelombang dahng yang besamya (Zx'i) , dan ~v adalah
frekuensi sudut. Sedangkan mcdan elombang yang dihamburkan keluar merupakan
I 1 gelombang bola (sferik)? dan bentuk pcrsamaannya ahlah:
I I Y ' (0, t ) = h(.4 1 ~ ) c ~ ~ ' ~ ~ - " ~ ' '
~ I fi addah parameter yang clikcnal dengan panjang hamburan elektron
C' - dengan --7 = addah jari-jari hlasik elektron yang hsrsanya 1 2 . 8 ~ x l 0 ~ ~ ~ m. Sudut 28
nlc
! aclalah sudut antara arah rambat Y' dan arah rambat '(! D jali-jari Cjarak elektron dari titik
.'LiI-I FEEI'CC;T/,!(RAN llfiP PADANG
yang ditinjau). Ku,mtitas k adalah bilangan gzlombang yang dihamburlian, dan bzsaramya
sarna dengan &. (veh-tor gelombbang datang). Pzrlu diperhatikan disini bahwa amplituclo
gelombang yang dihamburkan berAur,mg bsrbanding terbalik dengan jarak (ID). Sifat ini
merupakan sifat y'mg dimiliki oleh semua gelombang permukaan bola.
Pandang juga sekarang gelombang datang pada dua buah eleh-on masing-masing di P1
dsn Pz seperti dalam 3 . l b . Dalam ha1 ini kedua elchtron jugn akan menghnmburkan
gelombang bola (sferis). kemudian diamati pada daerah hamburan (di suatc tempat dimana
gelombang tadi berinterferensi).
Garnbx 3.1 IIamburan d&ari: a) Sebuah elcktron. b) Dm elek1ron c) Vzktor hamburan .s. Pcrhntiksn bahwa veketor-vzktor k,. k. dnn s mcmbcntuk scSu3h segitig sama haki (Omar1975: 38).
mcnlpunyai harga 121-tcntu. Sctlingga didapatkm :
Dimnna 6 adalah keterlambatan fhse muka ge!ombang yan,o berasal dari elektron 2. Perlu
dicatat bahwa fah?or waktu mnsih ac.12 ~ a l n u p u n tidnk kita berikan secara eksplisit. Sesuai
de~lgan gymbar -3.1 h ciapat kita metlulic: hubungnn:
r adalah vektor jejari elektron ke-2 :elatif terhndap elekrtron-1, d m S, sert2 5' ndnloh xrehcr
4 -b -4 * 4
sntunn sinar da tang k , daa sinar ynn; dipnhr!k?n k . .\yal?i!n k, S o ( k , ) = S . k, 1 ~ .
I D~inrn msnurunknn pcrsam?sn ini ssbngzi titik nv:.:nl koorciin?t~!~n ndnlnh tlektren-1 . Sekmang
diambil sebagai titik zwal F t o e r d h ~ t titik qembarang. karena itu kedua elzkrron mzmiliki
I
I ;.! atialnh posisi dari elzktrori L-6.-i. dnn surnasi mzncaliup jumlah semua elektron. . h a l o g
is. r : $ = f c C ~
Inilah yang mcrupakan "p;lnjang Iurnburan kzszlunhan.' y3ng rnesupakan jumlail dari panjmg
hamburan masing-masingnya clzngan mempzrhitungh~in -frisznq.~. Lntznsitas T? berkas sinar
Ilalnburan bzrbnnding Iums dengan liurlclrat bcsaran mzdnn: dnr~ i-ilenssir:ij passil tersebut
dnpnt ditulis:
Pers~mnnn (3-141 dnn (3-15) mxup~kcln persam?zn d ~ z i dnlnm mrn~.ntakan proses hnmburan
<Ian difraksi. dnn kit3 akan scrins mxt_runnl;a~mj.a kembali pncl.2 h h a c n n betlkutnyn.
Sekarans kira agak nlenyinlpnng keluar dari ~ s p e k ?an? pentkg tentang proses
hamburan, !.ziru ynng mzncnkup sifat-sir'ar >.an$ bzrrniian dznynn hnmhur.an. Sitat-sifar in1
bzrarti bahnii llamburiin p W i ~n~mpzrtahankan hubuncgn f a s i SIIU iicngan y;L.ng ;1lim1> J.
Konszkuznsinyr: cklpat dil;;l~k;ln ifitcr-fcrznsi tsrjadi J ~ T L ~ S L k;lgini~-'L.ngi~n j inx. h i
bertcntnngan d=r,g;;n ji!;;i h.iml~il!.m [::r-jndi szcara acnk, nrnu ti:l:!l. n j n rli!hrin~~n: tiap-tiap
.sinni. t i chk mznsgnnau ?..ln~ Ir?inn!.3. ~ ~ : ~ ~ ~ ~ G L T . I -- intcnsitns pad3 nlnt ptncatnt ~!;an tn2njndi
s c d c r h m ~ yaitr; mc-nipnknn jumlnh clclri masins-rn~sir,: in!cnsitnsny:~. Uleh karena itu dnpat
ditulis:
I x -\:f<? (3- 16)
.\- aJa1aii .ju1t1lc1li I ) C I ~ ~ I I ; I I I ~ ~ U ~ . P ~ r l u clipcrhntil,;ln bah~vn pcrsamaan (3-16) ini bcrbecla dzngan
pcr.sa1naan y n g bcrtnlinn ;i,.ngnn!.r? !,.nitu pcrsnrtlclnn (3-1 5).
f'anjnng h~mbumn clcktron suilnh ililliturl~ !':Ins rnnnn 1)cs.rm.n ;~tlnlnh:
. - I:. tliscbut jugn dcng~r:;.;:.:--,;;;ri k!'trs:k clckrron, >..in; ilaig:~:l~.a I.2l.liil 1,ar;lng .'G ' r n .
usaha meng3phL3jikannya pada persamaan (3-l-t), jumlalmya mznzclkup sernua 11sl;ri.on
munzuL ssrta pcrlu diperhatikan bnhna s:i.h!ron tc.rs:bar ~idakirth s s c ~ r n tcr.,-ztcis-r::;t:is r .
Z aLiiidl naris; ~311: cnruh 3;0!i-i \-.i:lg di;Liiix. E;i.nic:iinn paijang hnmburan atom dapat
;iiisijj; J$nm b;.fir;;I.;:
d r ) adalnh rapat awnn elektron atau jumlah elektron persatuan volume, d m integral
mzncakup s e l ~ ~ u h volume atom. Faktor hamburan atomf, didefrnisikan menurut integral yang
ada dalam pernyataan di atas, yang &pat dituliskan dalarn bentuk:
Dari persmaan di atas dapat diperhatikan bahmaf, merupakan suatu kuantitis yang
tidak memiliki dimmsi. Lntegalnya dapat disederhanakan bila rapat muat'm F(r) memiliki
sirnetri bola disekeliling intinya, dan oleh karena integral mencahxp semua bagian volume,
mnka dapnt dtmgnn mudah dilakukan. 1 Insilnya ndalah:
R n -, .... T -+ - fa = !; tir j r do' J r sin B' d8' p ( r ) r is. r
0 0 0
--+ * -+
ambil S dalam arah Z, maka S . r = sr cos 8' ( 8' bukan sudut hamburan:)
R adalah jejari atom dengan inti sebagai pusat. Persamaan di atas memperlihatkan bahwa
faktor hamburanf, tergantung kepada sudut hamburan d h n a s = 2k sine, ini disebabkan
bebcrapa faktor osilasi (sin sr/sr) dalam integral. Panjang gelombang dari getaran berbanding
terbalik dengan s seperti yang terlihnt pada gambar 3.23, clan bertambah cepat getaran, maka
bertambah pendek panjang gelombangya. Paling pendek adalah f, , ini dihasilkan oleh
interfcrensi bagian-bngian berkas sinar yang dihamburkan yang bernsla dari daerah yang
berbeda pad3 awan elektron. Ingat kembnli pcrsamaan (3-9) dimnna s = .?A- s ine kelihntan
ballrva dzngan bertambalmya besar sudut l~amburnn 30, maka s jugn nknn bzl-tnmbnh, tlnn ini
nknn mengakibatknn f ~ k t o r linmburnnji bertambah kccil.
Proses selanjutnya adalah mcncari hnrga -( . ynng mnn3 Rita perlu mcng~tnhui r a p t
c!elTron ,@r) dn!nm ,?tom !:2ng kcrsnngl.:u:nn. !.;ntl~!: m ~ g e f 7 h u i informnsi ini kita hnrus
rnelih2t kmbnli bckt fisi!c2 ?tom. (3nmhnr 3.2 1. mcmpcrlihatkan faktor hnmburan karbon.
c a:) (b)
G i~nbas 3.2 Sliztsa mzngznaiji (a) Faktor osilasi (sin srisr), (b) Faktor hamburan
atom untuk szbuah atom karbon sebagai hngs i h r i sudut hamburan
(Omar 1975: 41).
.Ada satu arah yang lihusus (ttrtentu) dimana hasgal', dapat dinilai, rnisalkan arah ke
depan. Dnlam hnl ini 6 = 0, s = 0, sehingga fnh-tor osilnsi ( s i ~ sr/sr) mendekati 1? dan kit3
hams ingat bahwa sin 0:'O = 1. Persarnaan (3-22) kemudian menjadi:
dan integral ini mcrupakan suatu persnmnan yang scderhana, jumlah semua elcktron dal,m
atom sama dengan nomor atom 2. Kemudinn dapat ditulis:
Sellingy untul, atom karbon fa($ = 0) = 6 . dm, ini cocok dsngan gan~bar 3.21,. 1n:cpl-cl:lsi
fisika pcrsamaan (3-24) sunggull jclas: jika kit3 lih.lt daln!;~ ~r;i!l ~li.l)an nl;lka ?;cruun tuginn-
3.3 Hamburan dar i sebuilh Kristai
Disini aknn dijclaskan ~rosts hnmburan dali suntu kristal dan kemudian digunakan
pzrsnrnnan (3-14) pada hnmburan ini. .Analog dengan atom, kita definisikan f M o r hamburan
kristalfi, sebagai berikut:
Jurnlah dalam persamaan (3-25) menzakup seinun elektron dalam kristal. Untuk dapat
menggunakan faktor hamburan ;itom !.ang sudah dibicarakan tzrdahulu kita dapat memecall
jumlah ini (3-25) ke clalam dun bagian. Psrtama kita jumlahhan szmuanya yang meliputi
seluruh elek-tron dalam sebuah atom, kemudinn jumlah ini mencakup semua atom dalam kisi.
Kzdua dihitung penjumlahan yang mencakup semua atom dalarn kristal sebagaimana
I dipersyaratkan oleh persamaan (3-25). Selama bagian pzrtama dari jumlah di atas menuntun
I kita untuk mendapatkan fah-or hnmburan atom, pcrsamaan (3-25) dapat j q a ditulis &lam
bentuk:
I R, adalah posisi atom ke-1 dan-f~ nddA faktor atom yang bzrsangkutan.
Sekarang dilihat lag persamaan (3-26) szbaga.i hasil dari fahqor, yang salah satunya
meliputi jumlah dalam unit sel, dan yang lainnya mencakup jumlah pada semua unit sel dalam
, kristal. S e h i n ~ a dapat didefinisikan faktor strukmr geometrik F szbagai berikut:
Penjumlahm meliputi semua faktor dalam unit szl d m 4 adalah posisi relatif atom ke-j.
Dengan ha1 yang sama didefinisikan faktor struktur sebagai b e d u t :
Junlah meliputi semua satuan sel pad3 dalam kristal, d m R?) adalah posisi atom ke-l.
Untuk menyntakanf,, dalam bentuk F dan S maka kembali dilihat pzrsamaan (3-26), dih~lis
sebagai R, = R:'' + 8, dan Lsmudian digunakm penamaan (3-27) dan (3-28). Hasilnya
adalah:
.tir = FS (3-29)
Perlu sekali diperhatikan b d w a faktor kisi S tergantung hanya pada sistem kristal, sedangkan
F tergantung pada bentuk gzometriknya, seperti muatan unit selnya. Dalam ha1 yang khusuq
sebuah kisi sederhana, unit sel berisi satu atom, maka faktor s truh-r F adalah sama denganf, .
1 Faktorf,, seperti diperlihatkan &lam persamann (3-39) mzmpunyai beberapa kebaikan. G t a
1 sudah memisahkan secara murni sifat-sifat s t ruh-r kisi yang dlhitung &lam S, dari sifat-sifat
atornik yang dihitung dalam F. Suatu penyederhnnaan yang sangat baik didapatkan dengan
cara demikian, karena kedua faktor sekarang dirlyatakan tidak saling takait. S e l m a faktor F
hanya mencakup beberapa faker atom, dengan mudah dapat dihitung faktor atomnya,
sebagairnana sudah dibicarakan pnda bagan terdahulu. Untuk sementrlra pembicaraan lebih
tlitekankan padn penghitungan faktor kisi S.
3.2.1 Faktor Struktur Kisi
Faktor struktur kisi S, didefiiisikan dalam pzrsamam (3-28), merupakan suatu faktor
yang sangat penting dalam membicarakan hmburan s i w - s . Selmjutnya akan dijelaskan
ketergantungan hamburan sinar-x pada vektor hamburan "s", dan &an diperlihatkan bahwa s
yang mana S tidaklah merupakan suatu bentuk yang berkurang atau melznyap yang dibentuk
dari suatu hvmpulan yang terpisah-pisah, dan didapatkan hubungamya dalarn hukum Bragg.
Terlebih dahulu dimulai dengan kemungkman yang paling sederhana, suatu berkas
sin=-x dihamburkan dari kisi satu dimensi kristal beratom tunggal seperti dalam gambar 3.3a.
Jika kita nyatakan vektor dasar kisi dengan a, maka fah3or strukturnya menjadi:
= eish (3-30) 1
Disini telah ditukar R?) dengan la, dan N adalah jumlah semua atom. Derct dalarn persarnaan
(3-30) merupakan deret ukur, bilangan pembandingya adalah el"", dan dapat dengan mudah
dihitung. Hasilnya adalah:
S = sin [(1 I 2) N S . ~ ]
sin [(I/ 2) s.a]
Dalarn pengertim fisisnya akan lebih berarti dicari 9 h i pada 5, karena huntitas 9 inilah
yang langsung dimasukkan ke dalarn perhitungan intensitas I. Persamaannya adalah:
s2 = sin [(1 1 2) NS.~]
sin * [(I 1 2) s.a]
f i t a sekarang ingin melihat bagairnana fungsi ini tergantung pada vektor harnburan s. Dari
persamaan (3-32) dapat dilihat $ mcrupakan pernbandingan dari dua fungsi getaran yang
perioda yang sama s.a = 2 q tetapi dalam praktisnya h c n a N sangnt bcsar dibnntlingknri
dengan satu, maka pembilang bergctar j n u l ~ Icbih ;cpnt dnri pcnycbutnya. Perlu jugn
diperhatikan b3hn.n untuk suntu hnrga tcr-tcntu nilni s .~ ; - 9, kcdna p~mbilnns d'm penyebut
szrzr,tnk mzndckati nol, tetapi batas harya S = ij< yang merupakan suatu bilangan yang sangat
besar.
Pada waktu s.0 = 2 q maka hxga dari S' = i?, menurut keperiodikan 9 disebutkan di
atas. Fungi 9 versus s.t7 digamharkan dalam gambar 3.3b, untuk harga s.a mulai dari
besarnya sama dengan no1 samapai harganya sama dengan Zrr Harga 9 merniliki dua harga
maksimum utama, yaitu pada waktu s.a = 0 clan s.a = 2q dan disehgi oleh beberapa kali
harga mahimum tambahan, dan yang tmakhir ini dibentuk oleh hasil yang disebabkan oleh
cepatnya getaran pembilang dalam persamaan (3-32).
Pcrhitungannya memperlihatkan bahwa jurnlah sel sangat besar sekali, seperti pada
kenyataannyii, harga maksimum yang terletak diantara harga maksimum utama ini diabaikan
bila dibandingkan dengan harga maksimum utruna pada s.a = 0 dan s.a = 2n. Sebagai
contohnya adalah puncak tertinggi harga maksimum penyelang ini hanya 0.04 h u g
maksimum utama. Karena itulah pendekatan yang paling baik dengan mengabaikan semua
harga maksimum penyelang d m pzngambilan fungsi L? tidak berkurang dari harga maksimum
utama oleh harga maksimurn penyelang yang terdekat dengannya.
Selanjutnya &pat juga diperlihatkan bahwa lebar dari masing-masing maksimurn
utama berhurang dengan cepat dengan bertambah besamya harga N, clan lebarnya ini akan
hilang pad3 saat N =tak berhingga. Oleh h e n a itu harga s pasti ada pada waktu harga s.a= 0
dan 27~. Disebabkan harga 9 periodik dengm perioda 2 7 m d a harga .f pasti ada untuk
szmua harga.
s.a - 2x.k dimma h bilangan 0, 1, 3, 3 ,... (3-33)
Pada harga-haraga s.a di atas, mnka hxga S? = h' atau S = A!
Persarnaan (3-32) menentukan semua arah pada waktu harga S tidak Nol, sehingga
terjadi dlfiaksi dalam arah tersebut. Interpretasi fisis persamaan ini sangat jelas. Perhatikan
lagi persamaan (3-9) mengenai definisi s, dan dihubungkan dengan gambar 3.3, maka akan
didapatkan:
inilah perbedaan fase antara dua berkas sinar harnburan yang berurutan, sehingga persamaan
(3-33) merupakan keadaan pada waktu interferensi saling memperkuat, d ~ a n kata lain fabor
hamburan kisi hanya a& dalam arah-arah ini, dan ini cukup mudah untuk pahami.
Gambar 3.3. a) Hamburan oleh kisi satu dimensi. b) Difraksi maksimum. c). Kerucut Difraksi maksimum untuk ordo pertama (h=O), dan ordo kedua (Omar 1975: 43).
Un tuk harga-harga h, pa& kenyataannya keadaan persamaan (3-33) tidaklah
ditentukan oleh suatu arah tertentu, tetapi dalam jumlah tidak berhingga dalam arah
membentuk kerucut yang sumbunya berada pada sepanjang garis kisi. Untuk melihat ini. kita
dapat tuliskan persamaan (3-33) daIam bentuk:
(:) (cos a - car a. = zx 11
adalah sudut antara berkas sinar &tang dengan garis kisi dan a adalah sudut yang berkaitan
dengan berkas sinar yang didifiaksikan, sehingga untuk suatu harga h dan a.., yang tertentu,
maka berkas sinar yang didifraksikan semua arahnya akan membentuk sudut a, yang besamya
ditentukan oleh persamaan (3-35). Senma berkas sinar ini membentuk kerucut yang sumbunya
berada pada garis kisi, dan setegnah sudut puncak kerucut sama dengan pola difraksi untuk
beberapa harga h yang tertentu dWtat &-tlam gambar 3.3 c.
Dalam membicarakan faktor struktur kisi, kita sudah begitu jauh membatasi diri pada
kasus kisi satu dimensi. Sekarang marilah kita perluas pembicaraan kita pada keadaan yang
sebenarnya yaitu kisi tiga dimensi. Bcrhaitan dengn persamaan (3-28), kita gmti harga vebor
kekisi dengan:
a, b, dan c adalah vehqor-vektor dasar (parameter kisi), kemudian kita chpatkan persam'm
faktor struktur S ahk3h:
ketiga penjumlahan disini meliputi sernua unit sel &lam kristal. Kita dapat mernisahkan
jumlah ini dalam tiga bagian yaitu:
dan dengan menggunakan persamaan (3-36) ini, berarti kita mernbawa faktor S ke dalam
bentuk suatu hasil perkalian dari fak-tor-faktor satu dimensi, yang dikembangkan pada
mulanya, kemudian dapat digunakan disini. Untuk keadaan interferensi saling memperkuat
ketiga, fahqor ini harus mempunyai harga tertentu, ini bahwa s hams memenuhi ketiga
persamaan secara serentak sebagai berikut:
s.a = h 2n,
s. b = k 2rr,
s. a = 271
h, k, clan I merupakan suatu bilangan 0, I , 2, 3, .... Dengan mernperhatikan persamaan (3-33),
maka persarnaan (3-37) dapat ditulis sebagai berikut :
a (cos a - cos a, ) = hA
b(cosp-cosP, )=kA
c(c0sy -cosy,)=1;1.
G, p,; dan yo adalah sudut-sudut yang dibnuat ol;zh bzrkas sinar yang datang dengan vektor-
vektor dnsx, sedanghan y p, (Inn -! adallah sudut-sudut difraski berkas sinnr ynng berkaitan.
Pcrsmasn (3-37) dan (3-38) dikennl dcnsnn persamam "Laue". ymg diarnbil dari n,ma ahli
fisika yang pertama kali mcnzmukannyn.
Permasalahannya sekarang adalah bagnimana menentukan harga-harga vekor
hamburan s yang memenuhi kondisi difiaksi pzrsarnnan (3-37). Santi akan diperlihatkan
dalam bagian kisi balik dm difraksi sinar-x, yang mana harga-harga ini merupakan suatu
h-umpulan yang terpisah-pisah ?an2 berhubungan dengan persamaan Bragg.
3.2.2 Difrnki sinale-s pada Kisi Balik
Pada bagian ini diperlukm daerah Brillouin tingknt lebih t i n e yang berkaitan
dengan vektor-\.eL?or yang menghubungkan titik ax21 dzngan posisi ymg lebih jauh pada kisi
balik. Tetapi kitn tidak akan mernbicarakan. karena belum diperlukan. Selanjutnya akan
dijumpai bahwa konsep dasrah Brillouin sansat erat kaitnnnjea dengan getaran kisi clan tingAat
elchQon dalam kristal. Sesudah rnengctahui kisi balik dan beberapa sifat-sifatnya dapat
diberikan ccntoh pengynaanqya pada pcnghitungan jumlah kisi dengan persnmann
rnatematikn sebagai berkut:
dirnana A sunhl vektor szbarang Rl vektor translasi dnlam kisi biasa
* -+ -* ( R I = 12, a+ n, b + r l , c ), G, = ~cli tor translasi dalarn kisi halib dan = suatu fungsi
dclta yang mempunyni sifat sebagai berikut :
Pznjurnlahan mcliputi vekror-vcktor kisi asal dnn S ac!~lah jumlnl~ scrnun s ~ l . Jurnlall kisi
-P -P
(scbelnh kiri d r i pcrsanlnnn s3ma dcngm no1 bila vcktor. .-1 + G,, . Kru-cnn sinibol clzlh
berasal dari persamaan di atas, ini berarti bnhwn biiangn kisi sebelah kiri hilang saat vzh?\tor A
tidak sama dengnn veL?,tor kisi balik G,:. Jika .4 sama dmgan vektor G, jumlah kisi akan sama
dengan jumlah 11'. Untuk membuktikan persamaan (3-39), per-hma kita ambil pada keadaan
A = G,.
AR, =G,J?, =(n,a*+~z,b*+rt,c*).(l,n+l,b+I,c)
subsitusikan persamaan (3-30) kedalam persamaan (3-39). harga eksponzn (4.RI) adalah
e2mm dimana nj = 0. 1, 2, 3. ..., n atau bzrharga 1. Jadi
- p S ,y (3-4 1 j
Pada waktu .4 tidak sama dengan G, kita bisa mmcari dzngan menggnakan persamaan (3-
30) yang hasilnya sama dengan hasil sebelurnnya yaitu: untuk .V jurnlah ini saling
menghapuskan atau sama dengan nol.
3.3. Syarat Difraksi dan Hukum Rragg
Untuli pembahasan selanjutnya dignakan kisi balik untuk mmjelaskan fah?or
struktur kisi S yang beryna dalnm proses hamburan sinar-s, digunakan persamaan (3-30).
G t a lihat bahna hxga S= 0 untuk semua hargs s kecuali
s = G;->r. (3-42)
Jatli syarnt difinksi ial,=th vcktor I~amburm s sama dzngan s u t u vektor kisi balik. Persamaan
(3-42) menyatnkan secnra tidak Imssung bahwa s tcgak lurus pnda bidmg-bid~ng ilk1 sepzrti
tcrlihat pada gambar berikut.
Sinar datang dipantukan
. . .. . ..* . .. . - . .- . .. . .. .*.. . .. . . - . . . . .- . .*. . . . . . . . . . . .. . .. *
Gambar 3.4 Vektor hamburan s adalah sama dengan suatu vektor kisi balik.
Telah kits ketahui bahwa s = k Sin B dan k = 27~/3\, serta Gm= 2mrdhlrl, maka persamaan (3-42)
menjadi:
2 c?;ljj Sin 0 = d, (3-43)
Persamaan (3-43) benar-benar sama bentuknya dengan huhum Brag , tetapi persamaan ini
diturunkan dari teori umum hambnran, knrena pengertian fisis sepenuhnya men=ngakan
model B r a &n membicruakan pemantulan dari bidnng-bidang atom. Dari proses difiaksi car3
ini merupakan konsep yang lebih sederhana dari teori hamburan.
Jika pzrsyaratan persamaan (3-40) dipenuhi maka fahrtor struhmr tidaklah nol
melainkan hnrganya sama dengan i t r , seperti dilihat pada persmaan (3-39), sehingga :
SeT2 = :v (3-44)
Gantilah harga Shz da1.m pessamaan (3-29) dcngan .li, maka ak,m didapatkm faktor hamburan
bs ta l Lr , menjadi :
= N Fh,:
NllLlK PERPUSTAKAAN IIiIP PADANG
Dan Intznsitas I adalah
Intensitas hamburan saling menghapush dalam semua arak kecuali kalau faktor struktur S
tidak nol. Inilah yang kemudian merupakan arah difraksi, karena dialah yang memenuh
persyaratan dimana interferemi s a h g mzmpzrkuat. Jika persyaratan persamaan B r a g dipenuhi,
kemudian berkas sinar xang didifralisikan berbentuk berkas tunggal yang dicatat oleh detehqor
sebagai bintk hitam di film. Bintik ini mervaldi seluruh kumpulan yang dipantulkan oleh biclang-
bidang hkl. Jika kristal diputar, s e l ~ o o j l pada suatu posisi tcl-tentu suatu kumpulan biclnng-
bidang akan memenuhi pzrs>-aratan persamaan B r , ~ z . clan pada posisi ini akan muncul bintik
hitam pad3 film di dstzh3or. Karzna iru sstiap bintik hitam pad;! film mewakiti setiap satu
kumpulan bidang kristal, dan dari susunan bintik-bintik hitam ini clapat ditentukan struktur
kristal.
Telah diketahui b a h w setiap berkas difrzftsi berkaitan dzngan suatu h-umpulan bidang
laistal dari indeks Lliller tertenty ini sudah jelas dari persamnan (3-46). hi juga merupakan hasil
pengnmatan &dam percobun namun dtrnhrln bahwn difraksi dari suatu kumpulan bidang-
bidang tertentu m u n m saja tidak muncul (kelihatan). I4al ini disebabkan oleh faktor struh-tur
geometrik kristal FhE = 0 untuk indeks tertentu, kernudian intensitas &an akan menjadi no1
menurut pasamaan (3-16). walaupun bidang-bidang, bersmgk-utan memenuhi persyarat'm
pcrsamaan B r a s . Untuk men&tung FnEr kcmbali kita kepers,un;lan (3-27). G t a anBap atom-
atom idzntik dam ambillah :
d j adalah posisi atom ke-j. Selanjutnya kits ambil :
S = Ghil = ha* +B* + lc*
f ! + -+
n i(ha' + kb* - fc*).i U , o t 1,; b i II; -ti c
= C faj e L I j=l
Oleh karena itu :
3.4 Faktor Struhqur Geometris
Untuk men&tung fAtor struktur denpn hngsi pangkat dari eksponen, beberapa rumusan yang
enxi - Sccara umum en" = (-1)" dimana n adalah bi1,mgrtn bulat, - e-" , ciimana
hlcncari faldor struhlur F,,,
a. Kasus yang sederhana adalah unit sel primitif yang mempunyai satu aturan, dan wakilnya
terletak pada (0,0,0). Faktor struktur geometrisnya adalah :
F = f e?.m!hu,-k~,+l~,) i-1 1
= f3e2~(l )
= f,
F" = f,=
~ & ~ a F' tidak tsrgantung pada h.k,dan ldan sama untuk ssmua bo*.
b. Beril\utnya unit sel berpusat alas: yang memihki atau tiap unit sehya 2 pada arah 1 (0,0,0)
dan 2 (+.+,o).
Faktor struhwr geometrisnya adalah :
e~nl<h~,+k~s-k,) F,, = C fa,
- (e2,=(O' 2,ri(!+l) - + e " )
= f(l + emChtk))
Hxga dari (1 + e "(h'k' ) dapat dihitung tmpa menga Wannya dsngan complex conjugetnya
dan h w g F adalah real d m tidak complex. Jika h dan k kedwnya genap atau keduanya
ganjil rnaka
F, = 2f , -F2 = 4f2
Bila h d m k campuran makn : FhK = 0 3 F: = 0
Perlu diperh3tik.m bnhwa h a r p irldzk 1 tidak mempunyai pengaruh padn faktor struktur
geometrisnya. Untuk contohnya pemantulan bihng (l,l, I), (1,1,3), (1,1,3), (0,2, l), (0,2,3,),
(0,2,3) besarnya s m a , F,, = 2 f , clan ha1 serupa untuk bidang-bidang (0,1,1),(0,1,2),
(0,1,3)semumya besamya F,..., = 0.
c. Fah-tor struh-tur geomzhis sel berpusat badan dapat juga dihitung. unit sel mernpunyai dua
atom yang sama jenisnya dan pada arah 1 (0,0,0) ,Z (f , + , f ) . Faktor struktur seomeeisnya :
Harga F, = 2 f , jika (h+1;+1) = gsnap , F2 = 4f' , F = 0 , jika (h+k+l) = ganjil , F' = 0 .
Pada struhtur berpusat alas dan sederhana (c) bidmg (001) akan menghamburkan berkas
(sinar), sedangkan pada struktur berpusat badan bidang terscbut t i h k ada hamburannya.
Hasil ini cocok dengan hasil persamaanfaktor struh-tur geometris untuk ketiga struktur
tersebut.
d. Fahor struhdur geometris hubus berpusat muka (fcc).
A n z a p jumlah atom tiap unit selnya 4 dan semua sejenis berada pada arah : 1(000),
2(+, + ,0),3(+ ,0, +),4(0, f , +)
Harga F, = 4 f , jika h,k dan 1 gmap s m u atau ganjil semua (tidak campur) dan harga
F' = 16f'
Untuk h, k clan 1 campuran harga F,,, = 0 , F' = 0
Bidang-bidang (200) dan (220) ; (222) genap semua atau (111) : (131) ganjil semua akan
tcjadi hamburannya, tetapi bidang-hidang (100) , (210), (112) campuran tidak tejadi
hamburan.
Pembaca dnpat mempsrhatikan dalarn contoh terdahulu, ada bebernpa ha1 yang tidak
diperlukan dalam perhitungan. Dalam contoh (a) sel primitif dkatakan berisi satu atorqtetapi
bentuk unit sel tidak dijzlaskan d m dalarn contoh (b) d m (c) digambarkan sistm
orthorombik dnn (d) scbagai labus, tztapi infbrmasi ini ti& digunakan &lam perhitungm
faktor struktur geometris. Dari ilustrasi ini yang penting diingat b'ahwa "fak-tor struktur
geometris tidak ter~antung pada bentuk d m ukuran unit sel", sebagai contoh : apa saja unit
sel berpusat badan tidak akan ada harnburamya untuk bidnng-bidang ymg jumlah (h+k+l)
sarna deng,m g'anjil wnlaupun unit berbentuk h-ubus,tetragonal atnu orthorombik.
e. Faktor strukw NaC1.
Kristal NaCl berbentuk hubus, tiap unit sel memiliki atom Na empat buah dan C1 ernpat
buah. Jika atom Na berbentuk kubus berpusat muka,
arah Na : 1 (0,0,0) 2 (&, - L O ) 3 ( f '0, i) ~ ( ~ , i , f )
nrah CI : 1 ( L 2 ' 2 ' 2 I 1) ?(o,o, 4) 3 (0, f '0) 4 (i ,0,0)
Pada hal ini faktor hamburan masih atau hams dirnasukknn :
- - f . e ~ . + ' h . i h k . i h ~ . ~ ) + fNs . e ~m(hf+k . ;+~ .o ) z.+ jh:+k.o+l.$) ~m(h.c-k.:-l.;) + fNa .e - - ; fNa.e Na
~ l l i ( h . + + k . l + ~ i) r 4 (~.o+~L+I.:) ~ . f i ( h . c ~ k . - + . : '" +fc l .e 2zi(hf +k.ihl.!l) ifC1.e - ': + fCI.': - +f,.e
= fNp (I t e n ( h + k ; + er.:h+I) + c:n(!~+l) ) + fc; (1 + C.?C+%+I) + e .3h + e . z k + eiT:l )
= f,,= (1 + e A ( h + k ) + e'.:h+!) + em(k*l)) + fcl e . z ( h t L + l ) ll + e+(-h-k) + 2 . ~ ( - h - l ) + C . ~ ~ ( - k - l ) I
Tancla pangkat esponen pacla kasus kedua &pat diubah dengan e"" = e-"" sehingga
did~patkan :
F = f- (1 A + . n<h t l ) + em<k+l! e m ( b i k + : ) + emc+k: m(h+l ) + em;k+l! k 5 3 i Z - f,;. i- e I
-l.h-+'i> + e m i 5 + i > FM1 = (1 + e.' ' + e"ifk+" )(fx, + f,:!. e m j k + k + I > 1
Pada Axrung yang pel-tama se,mpa dengan faldor struktur geometris untuk hubus
berpusat muka. Harga dalam Aurun.~ pertama akan no1 untuk h,k dan 1 bilangan campuran dan 4
untuk bilangan tidak campuran. Jika hsrga dalnm kurung pertruna no1 maka :
F>r,ci = 0 F;,a = 0
Untuk h,k dm 1 tidak campuran (genap semua)maka f'aktor geometris NaCl adalah:
c . ( L . + i ( + I )
F5kl = 4(fNI + fzl .e )
F l = ( f r i - f ) jika(h+k+l)=genap
(Rkl ): = 16(f;<> l.:, ) ?
f;;,, = -I(fNJ .- f,,, ) jika (h-+ k t I ) = ganjil
(Fk.:,)' = 16(f,;, - f,,,) '
Dnlam ha1 ini lzbih dari 4 atom tinp unit szl tctapi Lisi mnsih bentuk berpusat muka.
f. Satu contoh lag diberikan di sini yaitu strukar hexagonal close packed (hcp), me& 2
atom tiap unit sel, tsrletak di : 1. (000) 2. (+ 5 4) 1
3 > 2
karena g merupskim fungsi dari i, +. d ? - maka bentuknya masih komplit. hludahnyn dikalilian
I dengan complex conjugetnya, sehingga didapatkan huadrat nilai absolut dari hngsi amplitude
gelombang,
1 ' = fc2 (1 + e:"" )(l + e-'"" ) I h.U
I ri"'~ + e-'n's = 2 cos 2ng
, 7
I IF, 1 - = 3: (2 + 2 cos '7%)
IF,, 1' = fJi [2(2 cos ' rrg - 1)
I I = f;(4c0s2 xg)
Contoh : bidang-bidang ( I l l ) , (123), (221) dan (223) dirnana (h -i 2k) = kelipatan 3 dan 1
r 0, jika h + 2k kelipatan tiga dan 1 bilangan ganjil.
bilangan ganjil, maka tidak ads h a m b u r a ~ ~ a .
H a r p IF, I =
Harga (l-t + 2k) kelipatan tiga dan 1 bilangan genaprnaka dipakdan [? + 7 - n , dimana n n + k ' I -
4 fa2, jika h + 2k kelipatan tiga dan 1 bilangan genap.
adalah bilansan bulat.
3 ff , jika h + 2k kelipatan tig? + ldan 1 bilangan ganjil. 1 if, jika h + Zk kelipatan tiga i ldan l bilangan gemp.
cos 7tn = il
Dzngan mempertimbmgkan semua harga h,k dan 1 yang m u n m hasitnya dapat disarikan
1 3 n 1 ganjil I 0 I I 3 n
j genap I I 4f2 1
131121 I 1
1 genap I I I
3.5 Hamburan dari Zat Cair
Hamburan sinar-s dapat juga digunakan untuk menjelaskan struh-tur zat cair. Dengan
mengganti pola-pola berkas sinar yang dihamburkan, salah satu yang dapat ditentukan adalah
pasangan sebaran sebaran zat cair. Lihat la@ persamaan (3-36), yang dapat ditulis untuk faktor
hamburan zat cair :
f, adalah fah~or atom& dan penjurnlah,m yang mencakup semua atom di dalam zat cak, Yag
mana sudah dianggap zat cair beratom tunggal yang mana sudah dianggap zat cair beratom
tungal. Tetapi di dalam zat cairatom-atom terus menerus bergerak drrri suatu tempat ke tempat
lainnya, tidak seperti zat padat yang berada dalam kedudukan tertentu, k e n a itu jurnlah dalam
persamaan (3-50) sulit untuk dihitung. Ini dapat dipermudah berdasxkan perjanjian dengan
hubungan penganti intensitas hamburan, yang merupakan kuantits yang dicatat dalam
percobaan. Intensitas berbanding langsung denzan (&)' dan dengan mcn%gd=n Persamaan
(3-50)maka dapat ditulis sebagai berikut :
Faktor struktur zat cair S:, didzfsnisikan dcngan menjumI3hl;an dun knli dn lm
persamaan ini, yaitu :
Ini analog dengan faktor struktur kisi S dnlam pcrsamann (3-28). Penjumlahm dapat kita pecah
tlsliirn dua bcntuk pcrsyaratamya; p m m a untuli harga j = 1, indeks yang berkeman dengm
atom yang sama; dan k e d u untuk j F: 1. Bentuk yang pertama kelihatan dzngmjelas bahw3
sarnpai yang ke-lV, di sini N merupakanbatas keseluruhan, clan bentuk yang kedua dapat
dinyatakan dalam hubungan "pasangan hngsi sebaran". Hasilnya adalah :
% addah rapat jenis atom rata-rata dan g(R) a d a l a h j ~ n ~ s i pasangan. Integral meliputi semun
volume zat cair, sedangkan sumbangan pen~impangan g(R) hanya dissbabkan olch hamburan
sisnnya. g(R) = 1 berhubungan suatu szbaran yang sejenis yang mmbolehkan berkas sinar
mzlaluinya tanpa hamburan snma sekali. Kemudian persamaan (3-53) dapat ditulis kembali
dalam bentuk :
Sekarang integral diperluas mencakup semua tcmpat (ruang), karena Cg(R)-11 berhurang dengan
cepat untuk R sangat besar, dan kesalahan yang ditimbulkan &bat pengambilan batas integral
mencakup seluruh ruang (tempat) tidaklah terlalu besar sehingg dan kesdahan yang
ditirnbulkan sehingga dapat dinbaika~. Persmaan (3-53) dapat digunakan untuk mencari harga
S4 jika g(R) diketahui, tetapi masalah yang biasa dihadapi adalah kebakmnya, y a h i S4 &?pat
diukur sedangkan hxgn g(R) disimpulkan dari ha i l pengukuran. Untuk itu kita hams
membalikkan persamaan (3-54). Hal ini ciapat dilakukan dengan men~ounakan teori
transformasi Fourier. D a l m pzrneri1;snan persamaan (3-54) perlu diketahui bahwa transformasi
S, - 1 F'ouricr clari - Iebih sederhann dari patln transfo~mnsi Fourier g(R) - 1. Cntuk itu dcngnrl
mznggunakan transCormasi Fourier tndi sillah sntunya dnpnt ditulis :
Intcgral mencahup ssmua ruang hamburan vektor s.Gambar 3.5 mmprlihatkan faktor struhar
cairan air raksa yang ditentukan dengan men~mnakan tekhnik hamburan sinas-s. T e W
hamburan yang lain yang lzbih tin^^ tinkatannva yang dnpat digunakan untuk menyeliclilii
s t d t u r zat cair adalah harnburan neutron.
G ~ m b a r 3.5. Faktos StruLtur 'Clntuk Cairan .& Raksa (Omar 1975: 54)
3.6 Kcsimpulnn
Secara dnminh proses difrnksi ciapat dibagi aats dua tingkat, -ma hamburan oleh
indkidu-indhidu atom, dnn kedua; saling bzrintederenui nntarn sinar-sin= yang dihamburkan.
Dalam penelaahan dilnL-uknn pendckntnn dalnm tiga ti~hap; a) Hamburan disebabknn oleh satu
clektl-on dischut juga hmlburan tingkat clcktron. b) hnrnburnn semua ~Isktron dnlam satu atom
cliscbut jugn dengan hnmburan tinghnt atom, dnn c) Inte~fermsi s z m u hamburan dnn mnsing-
masing atom disebut dengan hamburan t lnsa t kristal.
Faldor hamburan kristal dapat juga ditulis sebagai has2 perkalian dari falitor struL-tur
geometris F clan faktor struh3ur kisi S :
f,= FS
Harga faktor stmktur geometris ditentuk'ul oleh persamaan:
dan harga F ditentukan oleh letak dim jurnlah atom dalam tiap unit sel.
Fakqor struktur kisi S ditentukan oleh persammn:
Harga faktor struktur kisi (S) pada umumnya saling memperlemah, kecuali pada saat S = G
dengan arti kata vektor hamburan sama dengan vektor kisi balik. ~enggantian harga S = k sin 8
27t dan G = - akm didapatkan hukum B r a g : 2 (IhH sin 19 = n /Z
dM
Hamburan dapat diarr~ati jika : a) memenuhi persamaan Bragg, b) harga faktor struktur
geometris ahu FhH # 0. Untuk kubus sederhana harga FhH ada bila jurnlah (h + k +Z) adalah
genap, sedangkan untuk kubus berpusat muka FhH a& jika (WJ) semua genap atau semua
ganjil.
Pertanyaan
1. Apa alasannya dapat digambarkan sinar-sinar yang diharnburka dari atom-atom A clan B pada
gambar (3.1) dibuat sejajar ?
2. Arnplitudo suatu gelombang merambat akan berkurang dengan bertambahnya jarak (r) dari
pusat hamburan, berikanlah alasannya berdasarkan hukum kekekalan energi.
3. Intan dan silikon merniliki tipe struktur kisi yang sama, yaitu fcc sebagai dasarnya tetapi
berbeda panjang sisinya. Apakah faktor struktur kisi s sama untuk kedua zat ini ?
Soal-soal
1. Rapat elektron pada atom hidrogen dalam keadaan tmg,kat dasar d i b d a n oleh persamaan:
a) Carilah faktor hamburan ato hidrogen (fa)
3. faktor struktur geometris (FhH) untuk kisi bcc sudah dihitung ciatam buku ini dengm
anggapm bahwa wakil atom satu di posisi (000) dart yang satu lagi di tengah-tengah unit sel
(!A%%). Bd-tikm bahwa hasil yang sama &an didapatkan pula jika seperdelapan atom pada
masing-masing sudutnya d m ditcimbatl satu atom di tengah-tengah unit scl.
4. Carilah persamaan struktur geometris untuk struk-tur intan dimana dasarnya struh3t.u fcc
ditambah 4 atom, masing-mingnya terletak di tiap diagonal ruang dan berJ'arak ?4 diagonal
ruang dari titik-titik sudutnya. 4 4 4 4 4 4
5. Cesium Chlorida (CsCI) merniliki struktur bcc, salah satu atomnya berada pada sudutnya
clan yang lain berada di tengah-tengahunit sel. Jika fac, = 3 facr carilah faktor struktur
geometris Fhu , bidang (100) , (110) , (111) , jelaskan kenapa perurnusan untuk faktor
struktur geometris untuk bcc tidak berlaku ?
IV. TEKNIK-TEKNIK PERCOBAAN
Dalam bagian ini akan dibicarakan tentang teknik-teknik percobaan dalarn
mengumpulkan data dengan menggunakan difraksi sinar-x. .Pembicar& akan
dibatasi hanya pada prinsip-prinsip fsika yang mendasari metoda yang digunakan
dan masing-masing metoda tidak dibahas secara terperinci, begitu juga untuk
kesulitan-kesulitan praktis ataupun perbaikan yang menyertai masing-masing metoda.
Ada 3 metoda utama yaitu; a) bletoda dengan memutar kristal; b) lMetoda
Laue; dan c) Metoda serbuk. Pada umumnya kuantitas-kuantitas yang diukur adalah
sama, yaitu;
1) sudat hamburan 28, yaitu sudut antara berkas sinar yang dihamburkan dengan
berkas sinar yang datang dengan memasukkan harga sine ke dalam perssarnaan
Bragg, salah satu bilangan yang tidak diketahui adalah jarak antara bidang (dhkl)
yang menyebabkan diffaksi, sehingga harga ini dapat dicari.
2). Intensitas I berkas sinar yang didifkaksikan. Kuantitas ini yang menentukan
'Yaktor struktur sel", Fhkl, dan ini mcmberi.kan informasi mengenai susunan atom-
atom dalam unit sel.
4. 1 Metoda Mernutar Kristal.
Metoda ini digunakan untuk mcngmalisis kristal beratom tunggal. Susunan
alat-alat percobaan sepcrti terlillat pacia gambar 4.1 di bawah ini.
r o tar: 2.
4.1. Susunan alat-alat percobaan untuk metoda memutar kristal (Ornar 1975: 56).
Biasanya diameter kristal yang digunakan 1 mm, ditempelkan pada gelondongan
O<umparan) yang dapat diputar. Plat fotogrfis ditempelkan pada sisi bagian &lam
sebuah silinder yang sumbu putarnya berimpit dengan sumbu putar gelondongan.
Seberkas sinar monokromatis yang sejajar dan panjang gelombang h didatangkan
pada kristal. Kristal kemudian diputar, jika perlu sarnapi terbentuk pola difraksi, A
clan 8 inilah yang memenuhi persamavl Brag . Jika ini sudah tejadi., berkas sinar
ymg didifraksikan keluar ini a h dicatat sebagai suatu titik hitam pada fh.
Dari hasil pencatatan pola-pola difraksi (sinar dan intensitasnya) dalam
berbagai macam posisi kristal, maka ini merupakan salah satu yang dapat
menentukan bentuk dan ukuran unit sel serta susunan ataom di dalarnnya.
4.2. Metode Laue
Metode ini dapat digunakan untuk menentukan secara cepat kesimetrisan dan
orientasi sebuah kristal beratom tunggal. Alat-alat disusun seperti pada gambar 4.2.
Gambar 4.2. Metode Laue. a) Suslinan alat-alat percobaan, b) pola- pola difiaksi kristal hfg dengan berkas sinar-x yang datang sejajar dengan sumbu simetris kelipatan 6. (Omar 1975: 57)
Seberkas s i w - x yang b m a r n a putih (suatu spektrum yang memiliki panjang
gelombang yang kontiniu) didatan&an pada kristal, yang orientasinya (knstal) relatif
tetap terhadap be rhs sinar-x yang datang. Plat film diletakkan dibelakang alat.
Kasrena panajng gelkombang yang datang kontiniu, kristal akan memilih suatu
panjang gelombang tertentu yimg memenuhi persamaan B r a g pada posisi ini, clan
bzrkas sinar yang didifraksikan dzngan sudut tertentu (memenuhi persamaan Bragg).
Berkas sinar yang keluar ak'm dicata oleh plat film sebagai suatu titik hitam. Tetapi
selama panjang gelombang yang terkait dengan yang menimbukan titik hitam tidak
diketahui, maka tidak clapat dihitung jarak antara bidang, secara aktualnya hanya
perbandingannya. Karena itu yang dapat ditmtukan hanya bentuk dan tidaklah ukuran
unit sel ykg sebenmya. Dasar kerja metode Laue dapat dilihat &lam gambar 4.2b.
Perlu dicatat bahwa jika arah berkas sinar datang searah dengan salah satu sumbu
simeteris kristal maka pola-pola difraksi juga akan simetris. Garnbar 4.2b
memperlihatkan kesimetrisan keiipatan 6 dari sumbu simetris pada atom Mg yang
m d k i struktur He ksagonal.
4.3. Metode Serbuk
Metode ini digunakan untuk menentukan s t r u h r kristal, baik beratom
tunggal rnaupun tidak. Kristal dijadikan serbuk yang berjaringan halus kemudian
dimasukkan ke dalam silinder kaca, atau kristal boleh juga berbentuk poli kristalin,
&lam ha1 ini kristal terdiri dari sejumlah besar kristal yang terdiri dari kristalid-
kristalid kecil-kecil yang tersebar secara acak. Suatu berkas sinar-x monokromatis
didatangkan pa& kristal hi, dan berkas sinar yang didfiaksikannya akan dicatat oleh
lapisan film yang ditempelkan pa& bagian dalam silinder, yang sumbu putarnya
melalui kristal.
Karena sangat besarnya junllah kristal kecil-kecil ini yang terscbnr sccarn
acak, tentu saja cuh-p banyak tersedia kristal yang berkcduduknn rclatif tcrhndap
sinar datang memmuhi persam3an Rmgg. schinzga poln diliaksi akrln kelihatnn
keluar dari kristal dzngan sudut tcslcnhr sepcrti pnda gmbar 4.3
Gambar 4.3. Pola difiaksi sinar-x oleh serbulc atom Cu, 28 adalah sudut hamburan. (Omar 1975: 57)
Selama A diketahui dan 8 dapat diukur, maka jarak antara bidang-bidang dapat dicari.
Kumpulan bidang yang lainnya ditunjukkan oleh adanya berkas sinar difiaksi yang
lain, yang didapat kan jarak antara bidangny a, berbeda dengan menggunakan panjang
gelombang datang yang sma . Sehingga dapat ditentukan secara nyata parameter kisi
a, b, dan c dengan tepat, khususnya jika strukau kristal sebelumnya sudah diketahui.
Perlu diperhatikan bahwa selama kristal simetris pada perputarannya dan berkas sinar
datang sebagai suatu sumbunya, maka berkas sinar yang didifiaksikan akan
membentuk kerucut dengan besar sudut puncak sama dengan 2 8 dan sumbu kerucut
berada sepanjang arah berkas sinar datang.
4.4. Penentuan Indeks Bidang Kristal Kubus Dari Data Eksperimen
Pada urnumnya kuantitas-kuantitas yang diukur dalam petcobaan untuk
menentukan struktur kristal adalah : pertama besar sudut harnbwan p = 2 8 dan
kedua intensifm sinar yang dihambwkan. Hubungan jarak antara bidang dengan
besar sudut yang dibentuk sinar datang dengan bidang penghambur ditentukan oleh
persamaan Bragg :
2dMsin8=nlZ
Jarak antara bidang-bidang yang sejajar (dm) dan mernpunyai indeks miller (Wd)
dalam struktur kubus panjang sisi a adalah :
Substitusikan persamaan (b) ke dalam persamaan (a), didapatkan :
Harga h clan a tetap selama percobaan, sehingga harga sin2 0 sebanding dengan
jurnlah kuadrat indeks miller bidang yang menghamburkan (h2+p+ P). Sebutlah
si.n2e - 2 (d+kz+? = s), dengan demikian -- - , karena h dan a bilangan tetap maka s 4 a2
sinz e W a - sama untuk semua harga B selama percobaan. Hal ini memungkinkan
S
kits untuk mencari harga h,k dan I. Pmlu diingat bahwa bidang-bidang yang
menghamburkan sinar adalah bidang-bidimg yang ada harga faktor struktur
geometrisnya (F*). Bidang-bidang yang harga FM, sama dengan ha1 tidak
menghamburkan sinar seperti dipersyaratkan dalam bagian 3.4 a,b,c,d Pada struktur
kubus intensitas sinar yang muncul untuk bidang-bidang terkait dapat ditabelkan
sebagai berikut :
Tabel Harga s yang a& intensitasnya untuk kubw.
Dari tabel dapat dieimpulkan bahwa :
a) unhk kubus sederhana (sc), harga s yang ada adalah : 1, 2,3, 4, 5,6, 8,9, 10, 11,
12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 .....
h W + ? = s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
hkl
11001
11 101
11111
12001
12101
12111
- 12201
[221]/[300]
13101
13111
[2221
13201
[321 1 -
14001
[4101
[330]/[411]
13311
14201
FCC
- -
v
v
- - -
v
-
- v
v
-
-
v
- - v
v
sc
v v v v v V
-
v
v
v
v
v
v
v
- v
v
v
v
v
bcc
-
v
-
v
- v
v
- v
- v
- v
- v
- v
- v
b) Untuk Lwbus berpusat badan (bcc), harga s yang ada : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,
18, 20, ....
c) Untuk kubus berpusat muka (fcc), harga s yang ada : 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20.. .
Struktur kubus yang diselidiki berdasarkan data hasil eksperirnen dapat
ditentukan berdasarkan harga-harga s yang ada berkaitan dmgan harga-harga sin2 8
nya. Caranya dengan membagi harga-harga sin2 8 yang ada dengan harga sin2 8 yang
terkecil, clan kemudian dikalikan dengan kelipatan bilangan yang terkecil sehingga
didapatkan sederetan bilangan bulat. Deretan bilangan ini kemudian dibandingkan
dengan deretan bilangan harga s yang ada, untuk kubus sederhana, kubus berpusat
badan, dan kubus berpusat muka. Jika cocok dengan salah satu deretan s yang ada
maka itulah struktur kubusnya.
4.5 Ringkasan
Pada dasamya ada tiga metoda utama menggunakan berkas sinar-x dalam
menyelidiki kristal yaitu : metoda dengan mcmutar kristal, metoda Laue dan metoda
serbuk. Kuantitas yang diukur pada dasamya adalah sudut hamburan p = 28 dan
intensitas berkas sinar yang dihambwkan.
Metoda memutar liristal mengpnakan sinar-x monokromatis, sudut-sudut
hamburan dari bidang-bidang terkait dapat diuhu clan dari data dapat ditentukan
struktur dan panjang kisi kristal. Metoda ini bisa digunakan untuk kristal tunggal.
Metoda Laue menwnakan sinar-x yang spektrum lengkap didatangkan pada
kristal beratom tunggal. Dengan metoda ini dapat ditentukan harga kesimetrisan dan
orientasi kristal beratom tunggal secara cepat, dan tidak dapat menentukan ukuran
unit sel sebenamya.
lMetoda serbuk menggunakan sinar-x monokromatis didatangkan pada kristal
yang berbentuk serbuk, baik yang beratom tunggal maupun tidak. Selama A diketahui
sudut 9 dapat diukur, maka jarak antara bidang dapat dicari, dan strukturnya
didapatkan.
Analisis menwnakan sinar untuk menentukan struktur sistem Lubus dapat
dilakukan dengan menggunakan persamaan Bragg dan faktor struktur geometris F M ~
sin2 e (satu intensitas sarna yang diketahui) untuk satu kristal tertentu harga - = tetap.
S
Selarna percobaan didapatkan harga 8 yang berbeda-beda sehingga menghasilkan
sederetan harga s. Berdasarkan harga-harga s yang ada dapat ditentukan struktur dan
panjang sisi dari kristd berstrulitur kubus tersebut.
MlLlK PERPUSTAKAAN \KIP PADANG
1. Adrianus. J. Dekker (1937) Solid State Physics. Prentice-Hall, INC 70 Fifth.
Avenue, New York
2. Darmawan dkk (1 987). Fisih Zat Padat . Jakarta . Universitas Terbuka.
3. Omar bL4 (1 978), Elernentan. to Solid State Physics. Principles and A-pplication.
Tokyo, Addision Wesley Publishing. Co
4. Kittel. C (1976), Intrdztction to Solid State Physics. Fifth Edition. New Delhi.
Wiley.
5. Nyoman Suwitra (1989) Penpantar Fisika Zat Padat. Jakarta. PPLPTK-DIKTI
Depdikbud.
6. SudirmqR (1994), Fisikn Zat Padat Pendahuluan, Yogyakarta UGM.