TUGAS FISIKA ZAT PADAT DINAMIKA KISI KRISTAL OLEH :KOMANG SUARDIKA(0913021034) JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA TAHUN AJARAN 2011Dinamika Kisi KristalPage 2 DINAMIKA KISI KRISTAL PENDAHULUANStuditentangdinamikakisiKristalsecarakhususmenelahgetaranatom-atomdidalam Kristal.Halinipentingmengingatbahwagetaranatom-atomdidalamKristalitumenentukan sifattermalKristaldanpulamemainkanperansangatpentingdidalamberbagaigejalafisik seperti : hamburan netron, relaksasi spin kisi, transmisi sinar infra merah, perambatan gelombang ultrasonic dan lain sebagainya. Teori kinetikgasyang dianggap bahwa energy dalam untuk suatu gas tersimpan sebagai energy kinetic dari pada atom-atom gas itu. Teori kinetic menghubungkan besaran-besaran fisik makro dari gas dengan besaran-besaran fisik mikronya. Salah satu hukum dalam teori kinetic gas adalahhukumekuipartisi,menyatakanbahwa:Energykinetikrata-ratauntuksetiapderajad kebebasan adalah sama yaitu k0T. Dalamungkapanituk0adalahtetapanBoltzmann,k0 =1,38x10-23J/K,sedangkanT adalah suhu dalam Kelvin. Untuk suatu gas monoatomik ( yang memiliki 3 derajad kebebasan), jumlah gas sebanyak 1 kilomol serta suhu T. energi dalamnya adalah : ( ) ) 1 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........23.2323.0 0 0 0RT T k N T k N U = = =Sehingga panas jenis molar pada volume adalah :) 2 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........23RTudTdQCVV= =|.|

\|=oo Dalam pernyataan diatas N0 dan R masing-masing adalah bilangan Avogadro (N0 = 6,026 x1026)dantetapangasumum(R=8,314x103Joule.K-1,dua-duanyauntuksatukilomolgas. Menurut teori kinetik gas untuk gas monoatomik :1. 47 , 1223= = K joule R CV per kilomol. Hargainisangat sesuai dengan harga Cv untuk gas Helium dan gas argon pada suhu ruang. Dinamika Kisi KristalPage 3 SecaraemperikDulongdanPetitmenemukanbahwapanasjenisperkilomoluntuk Kristaldarielemen-elemenadalah3R,denganRtetapangas.HukumDulongdanPetitini berlaku umum untuk hampir semua elemen, pada suhu ruang atau suhu yang lebih tinggi.Apabilahukumukuipartisienergiditerapkandisini,makatiapatomdidalamKristal memiliki 3 derajad kebebasan untuk geraknya disekitar kedudukan keseimbangan. Disamping itu masih ada energy potensial atom dalam gerak harmoniknya. Telahdiketahuibahwauntukgerakselarassederhanaenergykineticrata-ratasama denganenergypotensialrata-rata,sehinggaenergytotalsystematomdalamKristalmenurut huku ekuipartisi adalah ( per kilomol) :) 3 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 32132130 0 0RT T k x T k x N U = |.|

\|+ =Persamaan ini menunjukkan bahwa panas jenis per kilomol adalah 3R. SudahsejaklamadiketahuibahwauntuksuhurendahhukumDulongdanpetittentangpanas jeniszatpadattelahberlaku.Untuksuhu-suhudemikianitupanasjenisjauhlebihrendahdari pada 3R.Akan tetapi hukum Dulong-Petit gagal menjelaskan panas jenis untuk unsur-unsur ringan seperti Boron, Beryllium dan Carbon seperti diamond yang masing-masing memiliki panas jenis secaraberurutan3,34;3,85dan1,46kkal/kmole.Kpasasuhukamar.BahkanhukumDulong-Petit juga gagal menjelaskan panas jenis semua zat padat yang turun secara tajam sebagai fungsi T3padasuhurendahmendekatinolpadasuhumendekati0K.Gambar1menunjukkan bagimanapanasjenisberubahterhadapTuntukbeberapajenispadatan.Keduakegagalandari hukum Dulong-Petit merupakan kegagalan yang sangat serius terhadap hasil eksperimen. Dinamika Kisi KristalPage 4 Sesudahorangmenemukancarauntukmencapaisuhuyangsangatrendah,disekitar beberapaderajadKelvinmakabanyakdilakukanpenelitiantentangpanasjeniszatpadatini.Ditemukanantaralainindicatoryangsangatkuatbahwapadasuhusangatrendah(mendekati titik mutlak nol Kelvin) bahwa panas jenis Cv bergantung dari suhu sebagai berikut. ) 4 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........3T CV Dan mendekati nol apabila T 0 Untuk dapat menerangkan hal ini perlu dikembangkan landasan baru untuk menerangkan perilakupanasjeniszatpadatsedemikianitudantentunyalandasanbaruitujugamemberikan landasan baru teori dari gerak atom-atom dalam Kristal. Kemudian masuklah teori kuantum yang menelah tentang dinamika kisiKristal. Apabila sebelumnyadianggapbahwaenergyatom-atomyangmelakukangerakselarasdisekitar kedudukankeseimbangannyadapatmempunyaihargayangcontinue,makateorikuantum diandaikanbahwaenergytermaksudterkuantisasi,artinnyaterbataspadaharga-hargatertentu.EinstinadalahyangpertamakalinyateorikuantumuntukpanasjenisKristal(1907). Diandaikannyabahwaatom-atomdalamKristalberperilakusebagaiosilatorkuantum,masing-masingdenganfrekwensitertentu.Diandaikannyapulabahwabahwaosilator-osilatortersebut tidak saling mempengaruhi. CV (kkal/kmole.K) Suhu Absolut ( K ) Timah Aluminium Silikon Karbon (diamond) 020040060080010001200 1 2 3 4 5 6 7 Gb. 1 Perubahan panas jenis terhadap suhu dari beberapa padatan Dinamika Kisi KristalPage 5 TeoriyangdikembangkanolehEinsteindapatmenerangkanturunnyahargaCvdengan suhupadasuhurendah,tetapiramalantentangperubahanhargaCvdengansuhuTjauhlebih cepat turun dari pada apa yang diamati melalui eksperimen. Debye dan Max born- von karrean pada tahun 1912 juga mengembangkan teori kuantum tentangpanasjenisKristalyangmeramalkanhubunganCvdenganTyanglebihsesuaidengan kenyataan.Dalamandalannya,Debyememasukanunsursalingmempengaruhiantaraberbagai osilatordalamKristal,sesuaidenganadanyaikatanyangsangatkuatantaraatom-atomdalam suatu Kristal. Data eksperimental mengenai Cv = Cv (T) pada suhu sangat rendah memberikan petunjuk bahwaenergygetaranatom-atomdalamKristalterkuantisasidanpulapenyebarannyadalam berbagaihargaenergyyangmungkin.Lebihdariinformasiitu,tentangkeadaanmikronyatak dapatdiperoleh,terutamapengukurandalampercobaanituadalahpengukuranbesaranfisik makro dan tidak berkaitan dengan proses fisik individual pada tingkat mikro. PetunjukyanglebihdalamlagidiperolehpercobaanhamburannetrondalamKristal. Ternyata bahwa kecuali quantum energy getaranatom-atomKristal, quantumitujugamemiliki sifatdanberperilakusebagaizarah.Sifatterakhirinidilukiskandenganmemberikansebutan baru pada quantum getaran tersebut yaitu Phonon.DalamhamburannetrontakelasticdengankisiKristal,kitaharusmengandaikan terciptanya ataupun terserapnya phonon di dalam Kristal. Jadi boleh dikatakan bahwa phonon itu adalahgetarankisiKristalyangterkuantisasi.Dalambabiniphononmerupakansuatukonsep yang harus menjadi perhatian utama pada pembahasan. 1.GETARAN DALAM ZAT PADAT 1.1 Getaran Elastik dan Rapat Mode getar Pembahasanmengenaigetarandalamzatpadatinidimulaidenganmenganggap bahwapanjanggelombangdarigelombangyangmerambatdalamzatpadatitujauhlebih panjangdaripadajarakantaratomzatpadatitu.Dengandemikianpersoalnnyafisiknya meyangkutlingkupmikrodanzatperantaradlihatsebagaibahanzarah.Untukmudahnya Dinamika Kisi KristalPage 6 kita anggap sajabahwa zat padat tersebutmempunyaisifat-sifatfisikyangserbasama dan isotropic disetiap titik dalam zat padat itu. Andaikanlahbahwasituasiyangdihadapiadalahperambatangelombangelastic dalamsuatubatangsilindrikandaikanpulabahwabatangitumempunyaipenampangA sedangkan bahannya mempunyai massa jenisdan tetapang elastik modulus young Y.Seperti pada gambar berikut ini. Gb. 2 Gelombang elastik dalam batang maka persamaan gelombang elastic untuk bagian batang antara x dan x +x Aadalah :( ) ( ) | | ) 5 ....( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ) (22x x S x x Sdtux A A A + = AoDengan :u : simpangan terhadap kedudukan setimbang S : tegangan (stress)( ) x x S A +: tegangan pada kedudukan( ) x x A +S(x) : tegangan pada kedudukan x Dimanaregangan dxdue = berkaitandenganteganganSyangsesuaidenganhokum Hooke yaitu :Dinamika Kisi KristalPage 7 S = Ye , (e = regangan/strain)) 6 ........( .......... .......... .......... ..........Dalamungkapanpersamaangerakterdapatpernyataan:( ) ) (x S x x S A + yang sesungguhnya sama denganS A:( ) ) 7 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ) ( xdxdSx S x x S S A = A + = A Atau ) 8 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........22xdxu dY xdxdeY S A = A = ASubstutiskan ke dalam persamaan gerak sehingga menghasilkan :) 9 .....( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 02222= dtuY xu o oo Yang mempunyai solusi persamaan berbentuk :( )) 10 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........0t kx ie A ue ==Dengan k = vektor gelombang dane = frekwensi radial gelombang. Substitusikan bentuk solusi persamaan diatas maka akan menghasilkan persamaan :) 11 .( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........22e Yk= Dari teori gelombang diketahui bahwa kecevatan phase gelombang adalah ; kve=maka) 12 ( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........Yv = Hubungan antara dan k dapat dilihat pada grafik sebagai berikut. k =v.k Gb. 4.2 Hubungan dispersi gelombang elastik Dinamika Kisi KristalPage 8 Hubungan( ) k e untukperambatangelombangdalamsuatuzatperantaradinamakan hubngandispersinya.Untuksebagianbesarproses-prosesfisikyangmenyangkutbahancurah dengan panjang gelombangyangjauhlebihbesar darijarak antar atomik, kita akanmenjumpai hubungan disperse yang bersifat linier. Sesudahmemperolehhubungandispersiuntuksuatugelombangelasticyangmerambat dalamsuatudimensi,kitaakanmenelaahrapatmodegetaruntukhaltersebut.Perhatikanlah fungsi gelombang berikut. ( )( )) 13 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ,0 0t i ikx t kx ie e A e A t x ue e = =Dalammembahastentangmodegetar, t iee tidakberperan,olehkarenaitutidakperlu disertakan. Yang diperhatikan adalah fungsi dalam ruang yaitu :( ) ) 14 ......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........0ikxe A x u =Solusigelombangtersebutsangatbergantungdarisyaratbatasnya,dianggapsyarat batasnya adalah :( ) ( ) ) 15 .........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 0 L u u =Dengan L adalah panjang batang. ( )00 A u =dan( )ikLe A L u0=Sehingga syarat batasnya adalah1 =ikLeSyaratdiatasmembatasihargayangdapatdimilikiolehk,yaitubahwakyang diperbolehkan adalah :nLknt 2=, dengan n = 0 , ....... 3 , 2 , 1 Setiap harga n diatas memberikan satu cara bergetar oleh satu mode getar. Bagaimanakah rapat mode getar tersebut? Dinamika Kisi KristalPage 9 Apabila L besar sekali, maka kn hampir kontinu, sehingga jumlah mode getar antara k dan k k A +adalah : ) 16 ......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........2kLn A = At Karena vke=makae A = Avk1 oleh sebab itu :) 17 .( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........12etA = AvLnRapatmodegetardibataskansebagaijumlahmodegetarpersatuandaerahfrekwensi ( ) | | e gmaka :( ) ) 18 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........12 vL ngt ee =AAInihanyauntukgerakandalamsatuarah,apabiladiperhatikangerakdalamduaarah, maka: ( ) ) 19 .........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........1 122vLvLgt te = =Sehinggarapatmodegetaruntukperambatangelombangbaikdalamsatuarahpositif maupun negative adalah : ( ) ) 20 ...( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........1vLgte =Halinikitalukiskanuntuktigadimensi,khususnyaapabilabendatersebutberbentuk kubusdenganrusuksepanjangL.makahargakx,kydankzyangmemenuhisyaratbatas diperoleh dari syarat bahwa :( )1 =+ + L k L k L k iz y xe, atau apabila :( )|.|

\|=L LmLn k k kz y xt t t 2,2,2, , Dinamika Kisi KristalPage 10 Dengan n, m danmemenuhi harga 0 , ....... 3 , 2 , 1 Apabilahalinidigambarsecaragrafisdalamruangkx,kydankzsepertipadagambar berikut. Maka akan diperoleh titik titik dalam ruang itu yang masing-masing membatasi volume sebesar 32|.|

\|Lt. Setiap elemen volume tersebut mempersentasikan satu mode getar. Semua mode getar yang mempunyai harga vektor gelombang adalah :| | ) 21 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........212 2 2z y xk k k k + + =Direpresentasikanolehsatutitikyangterletakpadapermukaanboladalamruangk, denganjari-jari kyangberpusat di kx =0 , ky = 0, kz = 0. Semuamode getaryangmempunyai hargavectorgelombangantarakdan( ) k k A + terletakdalamelemenvolumyangdibatasioleh bola berjari-jari k dan bola berjasi-jari( ) k k A + . Elemen volume itu besarnya :( ) ) 22 ( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 42k k A tKarena setiap satu mode getar dipersentasikan oleh elemen volume sebesar 32|.|

\|Lt, maka jumlah mode getar dengan vektor gelombang antara k dan( ) k k A +adalah :kz ky kx Lt 2 Dinamika Kisi KristalPage 11 ( )22332224ttt k kLLk k A=|.|

\|A Ataujumlahmodegetarpersatuanvolumedenganhargavectorgelombangantarakdan ( ) k k A +adalah : ) 23 ( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........222t k kNA= AKita ketahui bahwa vke=makae A = Avk1

Sehingga: ) 24 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........23 22vNt e e A= ARapatmode getar persatuan volumbahan adalahjumlahmode getaryangada untuk setiap satuan frekwensi. ()() ) 25 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........23 22vgNgteeee=AA= Jadirapatmodegetarpersatuanvolumuntukgetarandalamtigadimensidapatdinyatakan dengan grafik seperti gambar berikut. g( ) eV Dinamika Kisi KristalPage 12 Lingkupan diatas perlu diperbaiki karena sesungguhnya untuk setiap gelombang elastic ada duagelombangyaitugelombangtransversaldansatugelombanglongitudinal.Ternyatabahwa meskipunzatnyaisotropikkecevatanfasegelombangtransversaltaksamadengangelombang longitudinal,katakanlah;vTkecevatanfaseuntukgelomnagtransversaldanvLkecevatanfase untuk gelombang longitudinal. Sehingga rapat mode getarnya adalah : () ) 26 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........1 123 3 22((

+ =T Lv vgtee Apabila dianggap vT = vL maka : ()3 222 vgtee = Jadimenyangkutmodegetaruntukperambatangelombangelastikdalamzatpadatdapat disimpulkan hal hal sebagai berikut. a.Hubungan disperse = (k) adalah linier b.Rapat mode getar per satuan volum dinyatakan dengan : ()((

+ =3 3 221 12T Lv vgtee Dalamhalinipanjanggelombanggetaranadalahsangatbesarterhadapjarakantaratom. Apabila tidak demikian halnya maka hasil diatas tidak berlaku. 1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat (Kristal) Pembahasan mengenai panas jenis zat padat pada volume tetap Cv ternyata membuka pengertianmengenaisifatgetarandalamsuatuzatpadat.Ternyatabahwamodel-model tentang getaran kisi yang dibuat untuk menerangkan perilaku harga Cv dengan suhu mutlak Tmember pentunjukbahwaenergy getaran kisiKristal terkuantisasi, artinyabahwaharga-harga energy itu tidaklah continue , tetapi terbatas pada harga-harga diskrit tertentu. Dinamika Kisi KristalPage 13 Dalambutir-butirberikutiniakandiuraikanmengenaiberbagaiteoritentangpanas jeniszatpadat(Kristal)yangmemberlandasantentangkonsepterkuantisasienergygetar Kristal. Teori Einstin tentang Cv zat padat DiilhamiolehkeberhasilanPlanckdalammenerangkanpemancarantermaloleh suatubendahitamsempurna,makakonsepkuantisasienergyitujugaditerapkanoleh EinstiendalamteorinyatentangCvzatpadat.Modeltentanggetarandalamkisiyang dipergunakanolehEinstienuntukmenerangkanketergantunganCvterhadapTadalah sebagai berikut. a.Atom-atomKristalmerupakanosilator-osilatoryangindependenyangmasing-masing dapat memiliki energy diskrit sebesar :) 27 ..( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........E nn e c =Dengan :n = 0 , 1, 2 , 3, . Ee = frekwensi osilator Einstien. b.Bahwasebaranenergyosilatorpadahargaenergyyangdiperkenankanmengikuti distribusi Boltzman :( ) ) 28 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........../ T k nnBe fcc=Dengan kB = 1,3805 x 10-23 Joule/K yang merupakan tetapan Bolztman. Dengan dua andalan tersebut kita mencoba mencari suatu pernyataan untuk enegri totalosilatorU.Apabilajumlahzatnyaadalahkilomol,makajumlahatomnyaadalahNA (bilangan Avogadro). Bila setiap atom mempunyai 3 derajad kebebasan untuk osilasi, maka :E N UA3 =DimanaE adalahenergyrata-ratauntuksaatuosilatoryangmempunyaisatu derajad kebebasan.Bagaimana menentukanE?Dinamika Kisi KristalPage 14 ( )( )===== =0//000nT k nT k nnEnnnnnBBee nffeeecc cc Tetapi :T k nnBT k nnEB BeT ke n/0/0 1e eooe == ||.|

\| =Oleh karena itu :((

||.|

\|=||.|

\| ====T k nnBnT k nT k nnBBBBe InT keeT k/00//011eeeoocooc Tetapi :| |((

= + + + =((

=T k nT k T k T k nnBB B BeIn In e e In e In// 2 / /011..... 1ee e e Karena itu :( ) 1 111/ /=((

||.|

\| T kET k nBB E Be eIn InT ke eeoo , maka :) 29 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........1 =T kEBEee ec

oleh karena itu maka U adalah :Dinamika Kisi KristalPage 15 ) 30 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........13=T kEABEeN Ue e Melalui diferensiasi : VVTUC|.|

\|=oodiperoleh bahwa :) 31 ...( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........1322||.|

\||.|

\|=T kT kBEVBEBEeeT kR Ceee Adapun grafik Cv = Cv(T) seperti gambar berikut ini khususnya untuk intan. Dinamika Kisi KristalPage 16 Berbagai kesimpulan dapat ditarik yaitu sebagai berikut. a.Energy rata-rata osilator dengan satu derajad kebebasan adalah1 =T kEBEeEe e Jika0 T kBEe artinya suhu sangat tinggi dan energy rata-rata menuju harga klasik kBT yang akan memberika Cv = 3R sesuai dengan hokum Dulong dan Petit. b.Jika T0, maka CV0. PenelaahanyanglebihtelititentanghasilmenunjukkanbahwapadasuhuT0, perubahan Cv dinyatakan sebagai :3T Cv Jadi perlu adamodelyang diperbaiki untuk dapat menerangkanhubungan 3T Cv untuksuhuT0.HalinitelahdilakukanolehDebye,denganmodelnyayang dipergunakan dalam teori debye tentang Cv suatu Kristal. PerludiperhatikandisinibahwadiumpamakanbahwakontribusiterhadapCvhanya datangdarigetarankisisaja.SesungguhnyaapabilaKristalyangbersangkutasuatu logam,makadapatditerapkanadanyakontribusipadaCvyangberasaldarienergy electron bebas. Meskipun teori EinstienmenerangkanbahwaCvmendekatinol apabila Tmendekati nol sesuai dengan pengamatan, namun teori ini tidak menerangkan bahwa :3T Cv Pada suhu suhu sangat rendah. Dimanakah letak kekurangan teori Einstien? Einstienmengandaikanbahwaosilatormasing-masingbergetarsecaraindependent, jadisalingtakmempengaruhi.Haliniagakbertentangandengankenyataanbahwagaya antar atom dalam zat padat adalah tinggi. GrafikCvvsTyangtelahdigambarkansebelumnyasangatmenarikkarenadengan menggambarkan Cvvs (T/DE)dapat diperoleh suatu ungkapanyangsama (secara teori) Dinamika Kisi KristalPage 17 untukberbagaimacamKristal.SehinggadaridataCvvsTdenganmencarikesesuaian yang terbaik dapat diperoleh harga DE untuk suatu macam Kristal. DibawahinidisertakanDEuntukbeberapaKristalyangdiperolehmelalui mencocokkangrafikCvvs(T/DE)dansekaligusdihitungbesarnyafrekwensiEinstien E. KristalDE (0K)E (radial/sekon) Intan13201,73 x 1014 Tembaga2402,5 x 1013 TeoriEinstienmengenaipanasjenisCvuntukKristalmemberikanhal-halsebagai berikut. a.Kesesuaian dengan hokum Dulong dan Petit Cv = 3R untuk suhu tinggi, T>> DE. b.Kesesuaian dengan hasil pengamatan bahwa Cv mendekati nol apabila T0 c.KurangcocoknyafungsiCvvsTuntuksuhurendahyangsecaraeksperimental adalah 3T Cv . Sedangkan teori Einstien untuk T