ALIRAN GAS SATU DIMENSI PADA KECEPATAN TINGGI

Sub-chapters8.1. The speed of sound8.2. Steady, frictionless, adiabatic, one-

dimensional flow of a perfect gas8.3. Nozzle choking8.4. High-velocity gas flow with friction,

heating, or both

Aplikasi

1. Aliran siklon

2. Pembakaran

Perbedaan prinsip antara aliran gas kecepatantinggi dengan aliran fluida yang telah dipelajari sebelumnya mencakup hal berikut: Pada ekspansi aliran gas kecepatan tinggi, ada

perubahan dari energi dalam ke energi kinetik. Akibatnya ada penurunan temp yang besar dan kenaikan velocity.

Kecepatan dari aliran gas sering = atau > kecepatan suara, yang dapat menimbulkan fenomena choking (tak ada kenaikan laju alir massa dengan penurunan tekanan di downstream) dan shock waves (ledakan fluida pada satu lokasi sementara fluida bergerak dengan kecepatan supersonic (> kec suara)

Kecepatan Suara Dengan neraca massa dan momentum suatu

volume kecil dalam aliran gas dengan tekanan sebagai satu-satunya gaya yang bekerja, maka:

. (8.6)Pada Persamaan (8.6) P tidak hanya fungsi dari , tetapi juga fungsi dari temperatur. Pers (8.6) berlaku untuk setiap perubahan tekanan termasuk gelombang suara.

2/1

d

dPV

Suara adalah gangguan kecil tekanan udara yang berosilasi dengan frekwensi antara 20–20000 Hz. Magnitude dari gangguan tekanan ini biasanya kurang dari 10-3 psi absolut atau 7 Pa.

Ketika suara melalui fluida gas, aliran gas mengalami proses reversible adiabatic compression-expansion. Temperature gas tidak konstan (temp, ketika kompresi, temp, ketika ekspansi) tetapi entropi konstan. Dengan gelombang suara yang kecepatannya tinggi, gas tidak sempat mengalirkan panas ke bagian gas yang dingin di sekitarnya

Pada kecepatan suara, Pers 8.6 memenuhi kondisi reversible adiabatic (entropi konstan) sehingga (8.7a)

Sebagai suatu kuantitas yang berbeda dengan kecepatan gas, Pers 8.7a berubah menjadi

. (8.7b)

di mana c = kecepatan suara

1/ 2

s

dPV

d

1/ 2

s

dPc

d

Untuk suara yang melalui media gas ideal: (D.26)

(8.11)

dimana (lihat Tabel 8.1) dan M = berat molekul

Dalam perhitungan engineering k dianggap konstan, meskipun berkurang sedikit dengan pertambahan temperature.

kP

d

dP

s

vp C/Ck

1 2 1 2 1 2

/ / /

s

dP kPc

d MTkR

Table 1. Values of the ratio of specific heats

Gas k Comment

Monatomic gases: He, Ar, Ne, Kr etc

1.666 Exactly

Diatomic gases: N2, O2, H2, CO, NO, air etc

1.40 Not quite exact and temperature dependent

Triatomic gases: H2O, CO2, etc

1.30-1.33

More complex gases

1.3 or less

Contoh 8.2:Berapakah kecepatan suara pada udara dengan

temperatur 68oF=528oR ?

Jawab:2/1

2/12/1

M

kTR

M

kRTc

2/12/1

o

2/1

22

2

o

3

22/1

K.mol

g

s

m2.91

R.lbmol

lbm.

s

ft223

s.lbf

ft.lbm2.32

ft

in144

Rlbmol

ft

in

lbf73.10R

.

Kecepatan suara adalah fungsi dari temperature dan bukan fungsi dari velocity.

Kecepatan suara adalah sifat dari materi, bukan sifat dari aliran. Kalau temperatur berubah, maka kecepatan suara juga berubah apakah fluida mengalir atau tidak

s/m344s/ft1126

lbmol/lbm29

R528x4.1.

R.lbmol

lbm.

s

ft223

M

kTRc

2/1o2/1

o

2/12/1

Steady, Frictionless, Adiabatic, One-Dimensional Flow of Perfect Gas

.

Gambar 1. Sistem untuk steady, frictionless, adiabatic, one dimensional flow

Fluida mengalir dari reservoir R ke titik 1. Aliran dianggap bekerja satu dimensi pada arah aliran. Neraca energi:

. (8.13)

R 1

1

2

R

2

2

Vgzh

2

Vgzh

Perubahan energi potensial gz diabaikan untuk kebanyakan aliran gas kecepatan tinggi. Diasumsikan R adalah reservoir pada upstream, di mana luas penampang sangat besar dibanding luas penampang pipa VR 0.

.

(8.14)

1RR zz;0V

R 1

2

1 1 1p RR

2Rk2 h h 2C T T

M(k 1V T T

)

. (lihat Appendix D deNevers)

. (8.15)

.

. (8.16)

)1k(M

RkCp

1

T

T

1k

2

RkT

MV

1

R

1

21

2

1 1 1 1

1

Mc ; V / c ;

RkT M

2

1

R

1

T 11

T

k

2

M

V/c = M = Mach number = rasio kecepatan fluida lokal terhadap kecepatan suara lokal.

Untuk aliran supersonic, M >1; aliran sonic, M =1; aliran subsonic, M <1. Dengan menggunakan rasio tekanan dan densitas pada gas ideal

. (8.17)

. (8.18)

k /(k 1) k /(k 1)

11

R 2R

1

P

P

T k 11

T 2

M

1/(k 1) 1/(k 1)

1

2R1

R

1

T k 11

T 2

M

Contoh 8.3:

Udara mengalir dari reservoir dimana kecepatannya

dapat diabaikan pada temp 68oF. Berapakah temperatur gas pada titik di mana

Mach number = 2? Berapa kecepatan udara pada kondisi tsb. ? Jika tekanan udara di reservoir 2 bar dengan

density sebesar 2.39 kg/m3, berapa tekanan dan density pada titik tersebut ?

Jawab: . (8.16)

.

.

Temperatur gas turun ke -110oC menunjukkan adanya konversi energi dari energi dalam ke energi kinetik.

2R

1

T 1.4 11 02

T 281 .

K15.293R528F68T ooR

C110K163F167R2938.1

R528

80.1

TT ooo

oR

1

.

. . .

(8.17)

.

(8.18)

s/ft839

lbmol/lbm29

R293x4.1.

R.lbmol

lbm.

s

ft223

M

kTRc

2/1o2/1

o

2/12/1

1 1 1V c 839ft / s . 2.0 1678ft / s 511m / s M

1.4 /(1.4 1)R

1

1

P 2bar1.8 ; P 07.82 .256bar 3.71psia

P 7.82

3

1/(1.4 1) 3R

1

1

2.39kg / m1.8 ; 0.549kg / m4.3

4. 55

3

Jika A* dan V* adalah luas penampang dan kecepatan kondisi kritis di mana Mach number = 1 sebagai referensi:. (8.20)

Substitusi rasio = f(T), V* = c dan V = c M, maka.

(8.21)

. Gambar 8.3. Efek M terhadap A dari M<1 hingga M >1

11

1

V

*V*

*A

A

(k 1) / 2(k 1)21

1

1 M (k 1) / 2 11

(k 1) / 1

A

A* 2

M

*A

A1

Gambar 8.3 menunjukkan, pada daerah M <1, jika V ingin lebih besar, A diperbesar.

Sebaliknya pada daerah M >1, jika ingin V lebih besar, A diperbesar.

Gambar 8.4. menunjukkan argumen di atas.

Gambar 8.4. Relasi antara jarak dengan , A dan V pada sistem steady, frictionless, adiabatic, one dimesional flow

Misalkan V mempunyai nilai kecil saat masuk pipa dan bertambah secara linear dengan jarak. Karena aliran ini mengembang dengan naiknya A, berkurang dengan jarak.

Di daerah M <1, V naik lebih cepat dibanding turunnya atau -(d/dx) < (dV/dx). Untuk menjaga VA konstan, A harus diturunkan. Tetapi ketika V makin besar, turun makin besar, hingga pada M = 1, turun secepat V naik atau -(d/dx) = (dV/dx).

Ketika M >1, turun jauh lebih cepat dibanding naiknya V atau -(d/dx) > (dV/dx). Untuk menjaga VA konstan, A harus dinaikkan.

Juga dapat diturunkan:

. (8.23)

Untuk gas ideal:

. (8.24)

R R

1/ 2

( k 1) / 2 ( k 1)

(kR / M)

[(k 1)

m

1]

T

* / 2A

R

1/ 2

1/ 2

( k 1) / 2 ( k )

R

1

Mk 1

R [(k 1) / 2 1

m P

A * T ]

Contoh 8.6:Udara pada 30 psia dan 200oF mengalir dari suatureservoir ke dalam saluran (duct). Aliran adalahsteady, adiabatic, dan frictionless. Laju alir massaudara adalah 10 lbm/s. Berapa luas penampang, temperatur, tekanan

dan bilangan Mach di suatu titik dimana kecepatan udara tersebut adalah 1400 ft/s ?

Jawab: .(8.14)

.

K276R497

]Rlbmol/lbm[s/ft10x98.4x4.1x2

)lbmol/lbm29)(14.1()s/ft1400(

R660R2

M

k

1kVTT

o

o224

2

o21R1

1/ 2 1/ 2 1/ 2o

1/ 2 1

1 o

kT ft lbm 1.4 . 497 Rc R 223 . .

M s lbmol. R 29lbm / lbmol

1092ft / s 333m /s

.

.(8.17)

.

. (8.24)

1

1400ft / s1.282

1092ft / s M

70.2497

660

T

T

P

P)14.1/(4.1)1k/(k

1

R

1

R

kPa5.76psia1.1170.2

psia30P1

22

)14.1(2/)14.1(

2

2/1o2/1o

2/12

m.s

kg437

in.s

lbm62.0

]12/)14.1[(

)]s.lbf/()ft.lbm(2.32[

)R660(]Rlbmol/lbm[s/ft223

4.1.lbmol/lbm29in/lbf30

*A

m

.

.(8.21)

22

22m0104.0in1.16

)in.s/(lbm62.0

s/lbm10

)in.s/(lbm62.0

m*A

22

)4.0(2/4.22

m011.0in0.17*A059.1A

;059.112/4.0

12/4.0x282.1

282.1

1

*A

A

Nozzle Choking.

Gambar 8.8. Sistem untuk nozzle choking, P1 = konstan, P2 < P1.

Udara mengalir dari reservoir dengan tekanan P1 ke reservoir dengan tekanan P2 melalui nozzle yang konvergen (A berkurang). Dengan menjaga P1 konstan, P2 mulai dikurangi.

Semakin kecil P2 ditetapkan, semakin besar laju alir massa .

P1 P2

Saat P2/P1 mencapai 0,5283, laju alir massa menjadi konstan (tak ada lagi kenaikan laju alir massa). Rasio P2/P1 terjadi pada M =1.

Peristiwa ini disebut choking. Choking terjadi pada nozzle atau pipa konvergen

Gambar 8.9. Efek rasio tekanan terhadap laju alir

Aliran Gas Kecepatan Tinggi dengan Friksi, Pemanasan, atau Keduanya

A. Aliran Adiabatik dengan Friksi .

Gambar 8.11. Sistem untuk aliran adiabatik dengan friksi. P0 > P3.

Momentum balance pada fraksi panjang di pipa: . (8.25)

. (8.26)

Sistem yang ditinjau adalah dari titik 1 ke titik 2 di mana ada friksi. Karena itu sistem tidak isentropik; ada kenaikan entropi dari gas yang mengalir. Dengan penurunan yang rumit didapatkan (Streeter & Wylie):

dxDdPAdVAV0 wall

2

Vf

2

wall

.(8.27)

Dalam system ini, dengan adanya friksi, tekanan ↙ (konversi energi tekanan ke energi panas). Penurunan tekanan membuat densitas fluida ↙, sehingga velocity ↗ (pada luas penampang konstan).

Karena efek friksi ( V2 dan V selalu ↗), maka -dP/dx tak sama untuk setiap titik (dP/dx ↗ ketika x ↗). Pipa dengan friksi memberi efek seperti pipa konvergen.

2212

2 2 2 21 2 1 2

1 k 1 / 24f x 1 1 1 k 1ln 0

D k 2k 1 k 1 / 2

MMM M M M

Pada awalnya P0 = P3. Ketika P0 = konstan dan P3 diturunkan, laju alir akan naik dan Mach number akan naik hingga M = 1.

Penurunan P3 lebih lanjut tak menyebabkan laju alir di outlet naik dan aliran tercekik (flow is choked). Ketika aliran di outlet M ≤ 1, P2 = P3. Ketika aliran di outlet M = 1, aliran tercekik (laju alir konstan) dan P2 = P3.

Ketika P3 diturunkan lagi, M > 1 dan P2 tak berubah walau P3 turun (P2 > P3). P2 tak berubah karena laju alir konstan

Dari titik 0 ke titik 1, dianggap tak ada friksi (gunakan rumus converging, isentropic nozzle).

Dari titik 1 ke 2 ada friksi dan gunakan Pers 8.27. Laju alir massa di titik 1 dihitung dengan Pers 8.24.

Hubungan antara tekanan P3 dengan laju alir ditunjukkan oleh Figure 8.12. di mana N =

D

xf4

Untuk memecahkan laju alir massa untuk nilai Po dan P3 yang diketahui, terka harga M1.

Dari Pers 8.24, hitunglah (ṁ/A)1. Dari Pers 8.16 hitunglah T1, dan dari Pers 8.11.

hitung V1

Dari Pers 8.27 (korelasi titik 1 dan 2) hitunglah M2

dan V2, Sebab (ṁ/A)1 = (ṁ/A)2 atau (ρV)1 = (ρV)2, P2 bisa

dihitung dengan rumus gas ideal. Kalau tekanan P2 sesuai dengan P3, maka terkaan M1 benar. Bila tidak, ganti terkaan M1 dengan harga lain. Iterasi mulai lagi.

Ini tedious job (ribet bangeet). Untuk mengatasinya sebagai alternatif gunakan Gambar 8.12

.

Gambar 8.12. Relasi tekanan-laju alir massa untuk alat di Gambar 8.11.

Contoh 8.10 (penggunaan Gambar 8.12):Po = 30 psia, To = 200oF (kondisi “reservoir”).

Pipa penghubung berdiameter 1 in, schedule 40 dari baja sepanjang 8 ft. Hitung laju alir untuk berbagai kondisi P3.

Jawab:Relative roughness (/D) untuk pipa commercial

steel berdiameter 1 in adalah 0.0018 (Lihat Tabel 6.2). Dari Figure 6.10 untuk bilangan Reynold yang tinggi, friction factor (f) = 0.0055.

.

Dari Contoh 8.6, didapat bahwa untuk kondisi Po dan To ini (frictionless, adiabatic)

.

Untuk P3 = 27psia, maka P3/Po = 0.9, dengan menggunakan Gambar 8.12, didapat:

.

01.2)12/049.1(

8)0055.0(4

D

xf4N

22 m.s

kg437

in.s

lbm62.0

*A

m

36.0*A/m

A/m

Jadi: .Untuk pipa 1 in schedule 40: .Dengan menggunakan cara yang sama dapat

dibuat table sbb:

222 m.s/kg152in.s/lbm22.0in.s/lbm62.0x36.0A/m

s/kg086.0s/lbm19.0in864.0.in.s/lbm22.0m 22

P3 P3 / Po, lbm/s

30 1.0 0.00 0.00

27 0.9 0.36 0.19

24 0.8 0.48 0.30

21 0.7 0.56 0.35

18 0.6 0.61 0.38

15 0.5 0.64 0.397

<10 0.34 0.65 0.403

*A/m

A/m

Pada P3 = 10.2 psia, aliran tercekik, pengurangan tekanan lebih lanjut tidak menaikkan laju alir massa

B. Aliran IsothermalPada pipa pendek, ketika M 1 pada outlet,

dibutuhkan laju transfer panas tak terhingga untuk menjaga kondisi isothermal karena penurunan temperatur yang signifikan. Kondisi yang umum adalah adiabatik.

Aplikasi lebih banyak pada pipa panjang, mis untuk gas alam, yang dikubur di dalam tanah yang memberi panas untuk menjaga kondisi isotermal.

Dari Pers 8.25 dan 8.26, momentum balance menjadi:

. (8.28)D

dx

2

Vf4dPdVV

2

Untuk pipa panjang VdV << suku-suku lain (lihat soal 8.40), maka Pers 8.28 menjadi

. (8.29)

Untuk gas ideal: . sehingga

. atau

. (8.30)

D

dx1

A

m

2

f4dP

2

RT

PM

dxA

m

DM

RT

2

f4PdP

2

1/ 222 2 5

1 2P P D M / 4m

4 Tf x R

Kalau f = 0,0080/(D in)1/3 disubstitusi ke Pers 19, maka akan diperoleh persamaan Weymouth, yang banyak dipakai dalam rancangan awal pipa gas.

Latihan1. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara

isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 100oF, berapa tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ?

2. Udara mengalir dari suatu reservoir melalui suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 40oF, berapa tekanan, temperatur pada suatu titik dimana kecepatan = 1300 ft/s?

3. Suatu saluran udara bertekanan di suatu bengkel berisi udara bertekanan 50 psia pada temperatur 70oF. Ketika kita membuka valve dan udara mengalir menuju atmosfir, berapa temperatur udara keluar ? Seringkali temperatur ini cukup dingin untuk menkondensasikan air yang ada di atmosfir. Pernah lihat gejala ini ?

4. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 100oF, berapa tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ?