dntteajdy30c (1)

Grasindo

C_/tot SAKTI

GRAMF DIA WIDIA5AR,4.NA IMDONf SUltILEsedmr.h rirsinlr-g P11.-.IrgPrig

T=Sight Nugroholhil

iimmimmosiIr"

41=1.1104mmimobimsm=

STAT STINA

,-NI

awlamIMImmmi.

.M

DAFTAR ISI

ICATA PENGANTARix

BAB 1 KONSER-ICONSEP DASAR11.1Pendahilluan11.2Data Deterministik dan Probabilistik31.3KejadianL4Peluang1.5Populasi dan Cont oh

+O1.6 Peubah ...1.7 Statistika dan Statistik

BAB 2 PENYAJIAN DMA2,1 Pengelompokan Data2.2 Diagram Tangkai IJaun2.3 Sebaran Frekuensi2.4 Penyajian Data

W II + N

IFIF

1 01415

1717192122

2.5Sebaran Frekuensi Data yang Dikelompokkan242.6Sebaran Frekuensi Kumulatif2517 Frekuensiomtif din Frekuensi Retard Kw-nulatif262.8Fraktil282.9Diagram Lingkaran dan Diagram Donat302.10 Format Penyajian Data Lainnya30

BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DAN PEIslYEBARAN323.1Ukuran Pemusatan Datayang Belum Dikelompokkan323.2Ukuran Pemusatan Data an Dikelompokkan --35

hak cipla

33 Ukuran Penyebaran Datayang Beim Dikelompokkan393.4Ukuran Penyebara_n Data yang Dikelompokkan42

BAB 4 UKURAN JAIN DARI DATA454.1Ukuran Kemiringan (Skewness)++++ 1.+Ar+1++++.brIf a+++++11.454.2Ukuran Keiancipan (Kurtosir)474.3Bela Mutlak terhadap Rataan484.4Rata-Rata Harmonik484.5Rata-Rata Geometrik494.6Koeffisien Keragaman494.7Transforma.si Linier49

BAB 5 PELUANG515.1Konsep Dasar Himpunani515.2Diagram Venn clan Operasi Himpunan525.3Ruang Contoh dan Kcjadian535.4Aksioma Peluang53.5Aturan Peluang545.6Peluang Bersyarat clan Keiadian Betas555.7Formula Bayer555.8Peubali Ar,ik I l4 4 4 N W ,565.9Fungsi Kepekatan Peluang Diskrit575.10 Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu595.11 Nilai Harapan605.12 Fungsi Sebaran Peubah 'kcal(61

BAB 6 FUNGSI SEBARAN DISKRIT636.1Aturan Dasar Flitting Peluang636.2Sebaran Hipergeomettik656.3Sebaran Bernoulli dan Binomial686.4Sebaran Poisson726.5Sebaran Geometrik dan Negatif Binomial756.6Sebaran Seragarn78

Bahan dengari hak cipla

You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached your viewing limit for this book.

Metode Statistiket

10.6 Regresi Melalui Titik Pusat13110.7 Pengukuran Kesalahan dalarn Periciugaan13210.8 Pengujian Parameter Regresi13310.9 Arkaiisis Keragaman Regresi Linier Sederhana13510.10 Koeffisien Determinasi1310.11 Analisis Korelasi+.F l.fr+++..F+f,.a+..+ff.f++.+.*+.+ffia++rF13610.12 Penguj ian Hipotesis Koeffisien Korelasi1370.13 Aigoritma Analisis Rcgresi Berganda1401 OA 4 Pro sed u r Doo-Little14110_15 Prosedur Akar Kuadrat144

DAFTAR PUSTAKA146LAM PI RAN147INDEKS162BIOGRAFI SINGKATP .... *165

V[11

Kahan ciengan haft cipta




Konsep-Konsep Delia!

1. Statistika merupakan cabang dari rnetode ilmiah yang menggu-nalcan data didapatkan dengan menghitung atau mengukur bagian populasi [Kendall & Smartt2. Statistika membahas metode penarikan kesimpulan dari hasil per-cobaan atau proses [Fraser].3. Statistika sebagai reknologi metode ilmiah yang membahas ranca-ngan percobaan dan investigasi serta inferensia statistilca (Mood]. 4. Statistika membahas rancangan percobaan atau survai sampling untuk mendapatkan sejumlah informasi tertentu dan penggunaan informasi secara optimal dalam pembuatan inferensia tenrang populasi.Bila kita perhatikani terlepas dari perbedaan yang diurarakan terda-pat unsur yang sama akan statistika, yaitu adanya kumpulan data untuk tujuan inferensia dan petnilihan anak gugus dari data yang lebih besar.Statistika berkenaan dengan metode ilmiah untuk mengumpulkan, mengorganisasi, meringkas, menyajikan, menganalisa data terrnasukpenarikan kesimpulan yang sah, dan membuat keputusan beralasan berdasarkan analisis tertentu. Dalam artian seep it} statisrik berarti data itu sendiri atau angka yang diturunkan dari data, seperti rata-rata.Untuk mendalami statistika secara komprehensif, renrunya se-seorang harus menguasai atau seticiaknya mengetahui beberapa bagian cLari matematika, seperti di antara_nya kalkulus, teori pduang, aljabar matriks, daniatau analisis riii.

1.2 Data Deterministik dan ProhabilistikSecara urnurn, data (bentuk rnajernuk dari datum) adalah sekum-pulan fakta yang dapat berbentuk angka, huruf, karakter khusus, lam-bangitand_as gambaricitra, clan suara. Suara hasil rekaman kotak hitam di pesawat (bLiekbox) dapat diolah men jadi informasi yang berguna bagi penyelidikan penerbangan. Dengan satelir, kita dapat memperoleh garnbar atau citra akan vegetasi atau perkampungan di suatu tempat. Goresan pada jempol tangan seseorang dapat merupakan data yang unik

3

Kahan1 haft cipta




ICDnsep-Konsep Dasar

Berbagai pertanyaan yang berhubungan dengan peluang seperti berikut.1. Berapa peluang kartu akan terarnbil dari serumpuk kartu BankBridge standar2.Berapa peluang munculnya mata dada paling ked clad sebuahpelemparan dada standar?3.Berapa petuang memenangkan tender suatu proyek?4.Berapa peluang bi]a Anda masuk ke kawasan hutan di Sumaterabertemu dengan seekor harimau?5. Berapa peluang Anda bertemu rekan bisnis dalam interval 15 menitdari waktu yang te1a_h clisepakati bersama?6. Berapa peluang Anda diterima sebagai pegawai di sebuah instirusibergengsi?7 . Berapa peluang naskah Anda akan diterbitkan di sebuah journalbertaraf intemasional?Berapa peluang terjualnya separuh dari barang yang diproduksi terjuai dalarn walitu satu minggu?Terdapat beberapa cara untuk menyatakan peluang, yakni me trade idasik atau apriori; metode frekuensi atau aposteriori; metude subjektif.

Moo& Kiasik atau AprioriMetode klasik atau apriori jika diketahui bah, a keja_dian A dapat muncui dalam m cara dan total seluruh kemungkinan ke-jadian adalah n maka peluang munculnya kejadian A. 1. Tanpa percobaan melempar rnata uang logam (misalican nisi yang dapat muncul diberi nama: gambar dan angka) maka peluang munculnya gambar karena m = 1 sama dengan banyaknya cara gambar muncul dari total munculnya semua cara =2.2.Dan setumpuk kartu Bridge standar, Ella diambil sebanyaksatu kartu secara acak maka peluang muncuknya kartuda-pat dihitung sebagai berikut: karena banyaknya cara kartu

7

haft cipEa




,Konsep-Kunsep Dasar

Ietis maka yang menjadi anggotanya adalah sehrull keluarga yang berada di wilayah kecamatan Jetis tersebut, sedangkan jika kita hicara sesuatu yang berhubungan dengan penduduk Indonesia maka setiap penduduk merupakan anggota dari populasi. jadi, s dEala jell s bahwa ukuran populasi juga dapat terhingga ataupun tak terhin #a (terlalu besar dalam hitungan).Nilai yang sebenarnya dari sifat populasi disebut dengan parameter populasi yang bia_sanya dilambangkan dengan huruiYunani, seperti p, p, dan sebagainya. Notasi pi (mu) biasanya digunakan untuk rnenya-takan parameter nilai tengah populasi; istilah lain nilai tengah populasi adalah rata-rata populasi atau n2evin populasi, (sigma) digunakan untuk menyatakan simpa_ngan Baku populasi atau standar deviasi populasi, it (pi) diguna_kan untuk menyatak.an proporsi populasi dan p (rho) cligunalcanismcnvatakan korelasipopulasi. Tiap-tiap terminologi ini akandibahas nanti. Ukuran populasi umumnya dinyatakan dengan notasi N. Bila kita in in mengetahui rata-rata pendapatan petani di sebuah kahupaten maka populasinya adalah seluruh petani di kabupaten terse hut, Nilai rata-rata pendapatan petani an sebenarnya kita dapatkan hanya apabila kita dapat memperoleh nilai pendapatan untuk setiap petani yang ada di kabupaten tersebut. Bila jumlah seluruh petani di ka-bu_paten tersebut adal rhN (ukuran populasi) dan xi adalah notasi untuk rnenyatakan besarnya pendapatan petani ke-i di kabupaten tersebut

1(x , X2, ...,XN) maka ifrt

+X

2

+ ,..-f- X

N =

I(dibaca: jumlah x. N

atau pendapatan petani ke-i, i ciari 1 sampai dengan N, kernudian hasil-nya dibagi dengan N) adalah rata-rata populasi atau rata-rata pendapatan

petani di kabupaten tersebut dan

N0 = + '1\1 'V

adalah

simpangan baku populasi atau simpant-,Yan Baku 1.-entiapatan petani di kabupaten tersebut. Tanda positirhanya unruk rnenyatakan bahwa nilaiIl

:)ark.1 haft cipta




_Kansep-Konsep Dasar

Beberapa telacian peubah diskrit.a.Banyaknya api iantan yang dimiliki petemak.b.Banyaknya nasabah yang menunggu (antre) pelayanan todisebuah hank.Jumiah hama helopehis theobromae di sebuah kebun percobaan.d. jumlah keluarga yang memiliki televisi ukuran 24" atau Iebih di sebuah desa.lieberapa telacian peuball kontinuia.Paniang daun padi berumur 3 bulan.b.Waktu tunggu alam melayani nasabah.c.Bera[ buall mangga "goick".Tinggi murid laki-laki kolas 1 D.

Seal LatihanTentukan -apakah peubah berikut diskrit atau kontinu clan tentukan nilai-nilai yang mungkin clari setiap peubahnya!1.jurniah kcsalahan ketik dalam buku pelanggan telepon.2.Waktu yang digunakan untuk menyelesaikan ujian den an waktumaksimum 50 menit.3.jumlah paku payung dalarn sebtlah gengganian tan an.4.Berat seekor kambing.5,Besarnya permohonan kredit yang dilakukan olch para pegawaiberpenghasilan temp.6.Banyaknya durian an dipanen pada suatu musim panen.7.Waktu yang cliperlukan seorang nasabah menunggu layanan disebuah konter bank.

1.7 Statistika dan StatistikPengettian statistika telah banyak disinggungdi awai bah ini yang hams dibeclakan den an pengertian statistik walaupun banyak orang salah menyebut atau tnensgunahn istilah statistik untuk statistika. Mau rnungkin hanya unit-Elk rnernperpendek i tila i dalarn suatu pernbicaraan.

L.

hak cipta




a-

Penyajign Dat4

Data tersebut di atas adalah teladan data dari variabel kontinu yang

masih beluni dikelompokkan. Kisaran data tersebut tidak terlalu lugs, mulai dari yang paling kecil 3,9 juta rupiah sampai ke yang paling besar 9,3 juta rupiah.

TeladanBerikut ini adalah data (yang belurri dikelompokkan) tentangbanyaknya orang dalam sate mobil dari 50 mobil yang lewat:

4

245 2.

3 4 314,. 3 52 24 2 2)2 5 3

6 52 23 4234 .3

3 44 4.-)32 63 2

25423

sedangkan data di atas juga merupakan teladan data dari variabel diskrit.

2.2 Diagram Tangkai DaunApabila jangkauan data tidak terlalu besar, artinya selisih atau jarak data terbesar clan data terkecilnya tidak tcrlalu besar, sera ukuran data moderat maka diagram tangkai daun menpakan suatu cara penyajian data yang dapat dipakai. Orang lain akan dapat membaca informasi lebih mudab den an era pembuatan diagram tangkai daun (stem and leafdiagram)Pada prinsipnya, item data hanya dibed.a_kan menjadi tangkai an daun. Format data perlu era am, misalnya menggunakan tin at kete-litia.n yang sama (sate angka atau dna angka dibelakang koma) atau bila semuanya bulat akan lebih muda_h. Angka terakhit atau angka pada satuan pengukuran terkecil akan dijadikan sebagai dam, yang lain tangkainya.Teladan data lapangan terhadap laporan pinjaman 42 nasabah Krerun di Bank Kurt Unit Panorama (dalam jutaan rupiah) adalah sebagai berikut:

Bahahaft cipta




Penyajiain Data

jumfah Kelas (k)Jumlah kelas (k), sebetulnya tidak ada hal khusus atau aturan khusus yang hams diikuti, namun berikut ini adalah salad sate aturan atau anjuran yang clapat dipakai: gunakan jurnlah kelas 10 hingga 20 bila banyaknya data Iebih dari 50, atau gunakan hingga 10 kelas bila jumlah data kurang dari 50.Ada juga yang menggunakan aturan 21( n, di mana k adalah banyaknya kelas dan k yang dipilih adalah nilai minimum yang memenuhi 2k n, dan n adalah ukuran contoh atau banyaknya data contoh, Sturges memberikan formula sederhana yang digunakan unruk menentukan jumlah kelas, di mania k -1 + 3,222 log n.

Lebar !Cclas (1k)Lebar kelas merupakan jarak antara dua batas kelas. Batas tersebut disebut sebagai batas bawah dan batas atas kelas. Untuk kelas-kelas yang lebar yang sarna rnaka lebar kelas cliturnuskan sebagainilai terbesar nilai terkeed XmLit1katau 1k =

Batas-Batas KeiasBatas-batas kelas merupakan nilai-nilai yang rnernbatasi kelas tersebut dengan satuan pengukuran yang l h ih akurat dari satuan pengukuran data pengamaun. Misalnya, data pengamatan menggunahn sate digit atau satu desitnal di Bela an koma maka batas kolas menggunakan nilai dua digit atau d.ua desimal d i belakang koma. Hal ini tentunya iuga cligunakan untuk menjamin bahwa sate nilai peng-arnatan tidak akan bcrada pada ti us kelas yang herbeda, kliususnya pada nilai batas kelas itu sendiri.Terdapat dua Batas kelas, Arai to batas bawab kelas dan hams atas kelas. Batas bawah kelas merupakan batas nilai terendah dari kelas yang dimaksud.Kan, sedangkan batas at kelas merupakan batas nilai tertinggi dan kelas an dimaksudkan. Batas atas suatu kelas menjadi batas hawab kelas berikutnya.

Bahan hak cipta




Penyajian Data

F( 1) E POO sedangkan fraksi data an melebihi X1 dapat dituJiskanY =

xisebagai 1- F(ri ) = E P(y) r=xe,iBatas Titik

FrekuensiFrekuensi Frektiensi

IntervalBatasBawab Atas1 1115 12752 1175 13,353 13,35 13.95 14 13,95 14,55 '5 1465 15,1515,15 15,757 15,75 16,35j 8 1635 16,95

TerigahFrekuensi

12,45 1113,05 81165 714,25 614!85 515,45 316,05 216,65 143

RelatifMatif KumudatifKumulatif0,2558 11 0,25580,1860 : 19 0,44190,1628 26 , 0,60470,1395 32 0J44203163 37 0.86050,0698 40 0,93020,0465 42 0,97670..0233 43 1,0000 140000

Dengan data 42 nasabah Kresun, seperti pada bagian sad= ini maka tabel sebaran frekuensi kumulatif, frekuensi relatif, serta frekuensi relatif kumulatifnya dapat disajikan, seperri di hawah ini:

Batas iNlInttrval FrekurrisiJ3awah Aras1 13,55 14,55 72 14,55 15,55 63 15,55 16,55 44 1655 l7,5. N5 17,55 18,55 126 18,55 19,55 5

F !.ekuensi FrekuensiKu mulatif Maid

7 0,16713 0,14317 0,09525 0,19037 0,28642 0,119

FrekUensiRelarifKum ulatif 0,1670,3100,4010,5950,8811,000

Pada kolom frekuensi kumulatii, angka menunjuickan bahwa dari42 nasabah Krerun, terdapat nasabah den an pinjaman paling besar 14,55 juts rupiah., angka 13 rnenunjukkan bahwa terdapat 13 nasabah

haft cipta




Penyajian Data

Den an Systat, misainya, kits daparkan fasilitas untuk grafik dan variasinya, seperti berikut:3D: 3D dan SpinBar: Bar, Percent, dan RangeCplot: Cplot, Hi-Low, Line, dan StarIcons: Arrow, Blobs, Faces, Hist, Profile, Rea, Star, dan Vane.Plot: Plot, Travel, Contour, Parallel, Hi-Low, influence, Fourier, dan Voronoi,SPLOM SPLOM an Density.Density Hist, Cumulative, Dirt, Dot, Fuzzy, Jitter, Poiigon, dan StripeBox-Plot Pie

LatihanSuatu campuran BBM Baru diuji cobakan pada 80 mobil berukuran sedan g, Rata-rata kilometer per liter dicatat, seperti di bawab ini :8,510,16,87,58,410,06 38,39,66,98,67,410,39A877,98,79,49,18,87,48,49 09,67,15,78,59,76,89,710,49,87,99,29,010,46,98,18 47,86,98,09,89,17,66 48,38,55,66,410,49,38,48 39,29,78,67,16,46,96,16 49,38,87,49,68,68,17,9927,46,98,97#9,27,98,06 48,5100a.Buatiah diagram tangkai daun dari data di atas!b.BIuatlah distribusi frekuensi dari data di atas menjadi k kelas yangisa.ma lebarnya. Guna_kan kriteria k> n

n haft cipta




. .Likuran Pernusatan dan Penyebaran

2. Dari sebuah contoh berukuran 21 diperoleh rata-rata 16. Apabilasebuah data darinya yang bernilai 17 dihilangkan dari perhitungan. Dapatkan nilai rata-rata barunya!3. Dengan mengguna_kan data pada latihan di akhir bab sthelum ini,rentukan rata-rata, modus, dan median. Gunakan data sebelum dilakukan pengelompokan!

3.2 Ukuran Pemusatan Data yang DikelompolikanTidak jarang pula kita hares menghitung rata-rata, modus, dan median dan data yang sudah ditabulasikan atau dengan kata lain sudah dikelompokkan menurut interval-interval tertentu untuk data dari peubab kontinu dan sesuai dengan nilai sejenis untuk data dari peubah diskrit. rub it raja teladan, seperti dibawah ini:s

x; czi 162 73 54 25 1

Total 31

xiii16141585

58

Misalkan, X. a.d alah banyaknya buah yang rusak ke-i dalam sebuah kanteng yang main -main berisi 20 buah. Dari seiumlah 31 kantong yang diperiksa diperoleh data, seperti di atas. Rata-rata Bari data di atas se

cara um um dapat dicari dengan menggunakan formula: x

=1dengan dernikian rata-ratanya adalah 58/31 1,87! .

Bahan i haft cipta




Ukuran Pemsuatan elan Penyebaran

Karena jumlah data, n = 72 maka kelas yang mengandung data ke-36 dapat dicari dengan memperhatikan nilai frekuensi kumulatifnya. Sampai dengan internal ke-4 atau kelas ke-4 frekuensi kumulatifnya 29, namun pada kelas ke-5 nilai frekuensi kumulatifnya 41, sudah melam-paui separuli Mari jumlah data. Oleh karena itu, kelas median dari data di atas adalah kelas ke-5. Batas bawah kelas median ini adalah 53,00 dengan frekuensi kelas rnediannya 12. Dengan demikian, kelas median dati data yang dikelompokkan ini adalah

M, BBk, -F

Latihan

II2

= 53 +10,50[

72 /59,125,12

Dengan menggunakan data34,641,241,445,749,138,630,859,040,226,135647,044,439,444,643,931,526,454,542,626,541,741,235,531,026.746,032,132,628,542,542,240,9kelompokkan terlebih dahulu ke dalam lima interval dengan lebar yang sama, tentukan rata-rata, modus, are median.

3.3 Ukuran Penyeharan Data yang Belum DikelompokkanBen tuk penyebaran data dapat diukur dengan menggunakan suatu alat yang disebut dengan ukuran penyebaran data. Penyebaran data di sini dimaksudkan untuk mengetahui bagaimana sebaran data dari data terkecil ke data terbesar atau bagaimana data tersebut berjarak dari pusat penyebaran data secara keseluruhan.Beberapa ukuran penyebaran data berdimensi sate yang akan dibicarakan di sini adalah jangkauan atau range; ragam atau variant simpangan Baku atau standar deviasi.

haft cipta

Metade Statistika

33.1. Ja_ngkauan atau RangeJangkauan atau range (R) adalah ukuran penyebaran data yang menyatakan selisih antara nilai terhesar dengan nilai rerkecil dari seke-lompok data tersebut. Satuan dari jangkauan ini sama dengan satuan datanya. Sudah ten to apabila data tersebut seragam maka nilai jangkauan tersebut adalah 0. Secara norasi, jarigka.uan dapat dituliskan sehagai

berikut: R X maks

mi

3.3.2. Ragain atau VarianRam atau varian adalah ukuran penyebaran dengan menggunakan rataan berbobot Bari kua_drat jarak setiap nilai data terhadap pusat data tersebut. Satuan dari ragam ini adalah kuadrat dari satuan datanya. Sama halnya dengan jangkauan apabila kita memiliki data an seragam atau sama semua maka nilai ragam dari data tersebut adalah 0} artinya ticiak ad_a keragaman; semua seragam. Formula untuk menghitung ragam dapat dituliskan sebagai berikut:

2

=n 1

n

apabila data yang kita analisa dianggap sebagai

sampel atau contoh yang diambil dari populasi. Cara lain untuk me-nyatakan ragam contoh adalah sebagai berikut:

=7

1.,.1n 1

atau 5

2

=

-1

-Ragam populasi sendiri n 1

memiliki formula yang sedikit agak berbecla dad formula di atas,I

yang dapat dituliskan sebagai berikut: cr2 =N

Kahan dengan hak cipta

Ukuran Pernwatan dan Penyebaran

33.3. Simpangan Baku atau Sta.ndar DeviasiSimpangan baku atau standar deviasi merupakan pilihan dari ukuran penyebaran dengan menggunakan satuan yang sama dengan ukuran datanya. Simpangan baku merupakan positif dari akar pangkat dua ragam. Bila data yang kita hitung adalah data contoh atau sampel dari suatu populasi maka formula simpangan

!I

nbakunya adalah sn

sedangkan untuk simpangan

baku populasi formulanya dapat ciituliskan sebagai berikut:

Tel danGila data yang kita mad adalah 4, 6, 5, 4, 7, 8, 3, 4, 5, 7 in aka dapat kita can bahwa nilai jangicauan tersebut adalah karma nilai terbesar data tersebut adalah 8 dan nilai terkecilnya adalah 3, sedangkan ragam dari data di atas dapat dicari sebagai berikut: [0-53)2 + (6-5,3)2

(7-513)21/9 24,119(6_5,3)2

2,678. Simpangan baku dari data di atas + (7_53)201112

t[-53)21,636.Catatan: nilai 53 adalah rata-rata dari data di atas.

IAA=Dengan menggunakan data3z1,641,241,445,749,138,630,859,040,226,135,647,044,439,444,643,931,526,454,542,626,541,741,235531,026,746032,132,628542,542,240,9Tentukan range, ragam dan simpangan halm dari data di atas.

Metode Statistika

3.4 Ukuran Penyeharan Data yang DikelornpokkanModifikasi formula diperlukan untuk menghitung ukuran pe-nyebaran Mari data yang sudah dikelompokkan. Apabila data tersebut adalah data diskrit dart hanya mengarnbil beberapa nilai saja atau hanya memiliki beberapa macam nilai pengamatan maka pengelompokannya_ lebih sederhana.Apabila data hanya terdiri dari k macam atau kategori saja, di mana x_ a dalah data kategori ke-i en an frekuensi munculnya se-baniyak 1 maka formula untuk menghitung ragam dapat di tuliskan

k

or

1A 1

1=1sebagai berikUt:apabila data yang kita analisa

dianggap sebagai sampel atau contoh yang diambil dari populasi.Apabila populasi dapat dikategorikan menjadi k macam den an data ke-i adalah xi yang muticui sebanyak I maka ragam populasi sendiri memiliki formula yang sedikit agak berbeda dari formula di atas, yang

f

dapat dituliskan sebagai berikut: icy2

k

impart an baku tncrupakan Filihan dari ukuran penyebaran den an menggunakan satuan yang sama den an ukuran datanya. Sim-pangan baku rnerupakan posit& dari akar pangkaz dua ragam. Gila data yang kita hitung adalah data contoh atau sampel dari suatu populasi maka

Kahan clengan hak cipta

Ikuran Pem.usatan dan Penyebaran

2

formula simpangan bakunya adalah s = \

kEfii=1

se-

dan an untuk simpangan Baku populasi formu!anya dapat dituliskan

vkLi

f x2=1

i.1

fxr )

Jr

sebagai berikut: a =

\i=1k

1=1

Ambil saja teladan seperti di bawa.h ini:

i fi1 162 73 54 25 1Total 31

VI Xji1 1614 2815 458 325 2558 146

jangkauan dan data tersebut adalah 5-1 = 4, dengan ragam = (146-5031)/301,249 dan simpangan bakunya adalah 1,118.Untuk pengelompokkan data kontinu, dapatteladanberikut:

Bahn haft cipta

Affetode Swastika

IntervalBBBATTFTT x F TT2 x F111,0021,5016,25465,001056,25221,5032,0026,754107,002862,25332,0042,5037,256223,508325,38442,5053,0047,7515716,2534200,94553,0063,5058,2512699,0040716,75663,5074,0068,75221512,50103984,38774,0084,5079,255396,2531402,818'84,5095,0089,754359,0032220,25Jurnlah724078,50254769,00Ragam data di atas dapat dicari dengan cara sebagai berikut:(254769-4078,501/72)/71=3343517 dengan simpangan bakunya18,285.

Latih anDengan rnenggunakan data di bawah ini:34,641,241,445,749,138,630,859,040,226,135,647,044,439,444,643,931,526,454,542,626,541,235,531,026,746,032,132,628,542,542,2a.kelompokkan data terlebih dahulu ke dalam lima interval yangmemiliki lebar sarna, danb. kemudian tentukan range, ragam, clan simpangan Baku dari data di atas.

44


BAB 4UKURAN LAIN DART DATA

Selain ukuran pemusatan dan penyebaran data, terdapat be-berapa ukuran lain yang masih berhubungan dengan data itu sendiri, seperti ukuran kemiringan (skewness), ukuran kelancipan (kurtosis), beds mutlak terhadap rataan, rata-rata terboboti, rata-rata geometrik, rata-rata harmonik, dan koeffisien keragaman. Dalam bab ini juga akan diberikan bagian dari sifat-sifat data apabila dilakukan trans-formasi linier.

4.1 Ukuran Kemiringan (SifewaessiTidak jarang pub. kita in in mengetahui bagaimana bentuk sebaran data tersebut apabila clibandingkan dengan sebaran normal, dalarn hal ini ukuran yang ingin kita bandingkan ada!ah ukuran kerniringan dari data tersebut terhadap kerniringan sebaran normal.Apabila kita lihat plot dari data yang kita miliki maka kita akan mendapatkan sate dari tiga bcntuk hcrikut: simetris, miring ke kanan, dan miring ke kiri. Apabila data sirnetris maka rata-rata, median dan modus akan berirnpit letaknya, atau sarna nilainya. Untuk data yang miring maim nilai median akan selalu di antara modus dan rata-rata data tersebut. Apabila data miring ke kanan maka modus < median < rata-rata, sedangican untuk data yang miring ke kiri maka rata-rata < median < modus.

Bahan haft cipta

Aletode Statistika4

Ukuran kemiringan tidak memiliki &IR t dan formula ukuran

1=1

kemiringan tersebut adalah y =

/S3

/

0=1

f di niLtri-.1 s adalah

simpangan bake dari data yang bersangkutan. Apabila nilai = 0 maka data tersebut adalah simetris, sedangkan apabila y Umaka data tersebut miring ke kanan apabila y 10} F = dapar hidup .anrara hingga 50jarn=10 501

5.4Aksioma PeluangAksioma merupakan bukti diri yang secara urnum telah diterima kehenarannya. Terdapat tiga aksioma dasar dalam semua penghitungan peluang yang akan disarikan di sini yang berhubungan dengan ruang contoh S dan kejadian dan B. Notasi untuk menyatakan peluang digunakan P( U.1.KetidaknegatiFanSetiap kejadian memiliki peluang yang tidak negatif P(A) > O.

n haft ciptai

MINA- Statistika

2. KepastianPeluang ruang contoh adalah 1. P(S) = 3. Gabungan

-*

1.

Peluang gabungan dari dua kejadian yang satin g lepas adalah jurnlah peluang dari setiap kejadian. MLA) = P(A)+P(B) jika AnB=0. Aksioma ke-3 yang dapat dikembangkan untuk beberapa kejadian disebut juga sebagai hukum penambahan peluang.

5.5 Aturan PeluangDalam bagian ini akin clibicarakan hal-hal penting yang het-hubungan dengan aturan peluang untuk kejadian-kejadian A, B, dan O.1.6"13(A)Peluang suatu kejadian nilainya terletak di antara 0 dan2.P(09Peluang himpunan kosong adalah O.3.P(A) P(B) jika A adalah himpunan bagian dari B.4.P(A)Peluang komplemen suatu kejadian adalah 1 peluang kejadiantern but.5. P(AuB)=P(A)-FP(B)-P(AnB)Anda harus meng-ingat semua aturan peluang ini, terutama bagian terakhir.

TeladanDari sebuah tamban diperoleh keterangan bahwa peluang untuk mendapatkan logam berharga adalah 0,4 clan d_i peroieh keterangan pula bahwa peluang memperoleh logarn berharga tersebut beztampur dengan tembaga adalah 0,3. Apabila peluang mendapatkan tern baga adalah 0,8 mak.a hitunglah peluang memperoleh tembaga atau logam berharga! 1. Misaikan A adalah kejadian memperoleh logam berharga, B kejadianmemperoleh temba.ga maim(AQB)=P(A)+P(B)-P(AnB) = 0,4 4- 0,8 - 0 = 0,9.

54

Kahan dengan haft cipta

Peluang

2. Peluang tidak memperoleh Eogam berharga ataupun tembagaMALAY) = 1 P(AuB) = 1 0,9 = 0,1.3.Peluang memperoleh tembaga rajaP(13 saja) = P(B) P(AnB) = 0.8 - 0,= 015.

5.6 Peluang Bersyarat dan Kejadiari BebasKarena, munculnya suatu kejadian kadang tergantung pada kejadian lain maka dikembangkanlah konsep ten tang kejadian bersyarat. Jika kejadian muncul setelah kejadian B muncul, notasi tersebut dituliskan den an A113, Ruang contohnya tentu berkurang hingga tergantung dari nilai-nilai yang muncul dad kejadianFormula untuk menyatakan bahwa peluang muncuinya setelah B muncul adalah sebagai berikut:PG4 n B)Peluang muncui A clan BP( Al B) ==asalkan P(B) > O.P(B)Feinting muncul BTeladanMisalkan, S={1,2,3,4,5,61 an={1,3,5} serta={3,4,5,61,Misalkan, B diketahui terlebth dahulu sehingga ruang contohnya men-jai:1i (3,4,5,61. Anggota dari kejadian bersyarat munculnya setelah B atau AlB = 13,51. P(A) = 3/6 dan P(B) = 4/6, serta P(AnB) = 2/6 karena A B= (3,5}. Karenanya, P(AIB) = (2/6)/0/6) =12.Kejadiandan B dikatakan sating bebas apabila munculnya ke-jadiantidak ctipengaruhi oleh munculnya kejadian B, demikian pubmunculnya kejadian B tidak dipengaruhi oleh at au tidak tergantung oleh munculnya kejadian A.Apabila kejadian dan B saling bebas maim P(AIB) = P(A) dart P(BIA) = P03) serta NAnB) = P(A)P(B).

53 Formula BayerMisalkan, himpunan semesta kits. dapat dibagi menjadi k kejadianyang saling lepas, ebut saja Al, A2,Ak maka S = A, uu...0dan n A =untuk setiap pasang i dan j. Misalkan pula, B adalah

Bahaman hak cipta

Metude Swastika

sembarang kejadian dan B telah diamati dan kita dapatkan juga peluangbersyarat muriculnya B (taliatau A, atauatau.A, Tidal jarang Puladitanyakan munculnya tiap-dap kejadian Ai et la munculnya B atauP(Ailli) yang juga disebut sebagai peluang posterior kejadian Ai; yang berbeda derigan peluang prior kejadian A. Gila untuk semua peluang prior A 0, demikian juga semua peluang posteriorinya maka ha esP(B I A, )13(4)memberikan formula sebagai berikut: P(A, B) =

).Teladan

Ai )P(Ai)

Dart sebuah populasi tanaman diketahui baliwa persentase tana-man yang sakit karma penyakit X adalah 30%. Biia sebuah pengujian lanjut di laboratorium dilakukan terhadap sampel tanaman secara acak,balk dari tanaman se at maupun tanaman yang terkena penyakit X, diperoleh keterangan bahwa persentase tanaman yang dinyatakan sakitsecara laboratoris dari scketompok tanaman saki t ada sebanyak 98%, sedangkan dari kelompok tanaman sehat juga diperoleh bahwa tan a mandinyatakan sakit secara laboratoris sebesar 4%. Apabila diketahui bahwa satu tanaman sakit secara Eaboratoris, berapak.ab peluang bahwa is dari kelompok tanaman yang =mar% sakirMisalkan, a = kelornpok tanaman sakit, A., = kelompok tanaman sehat, serta B = pengujian laboratoris yang menyatakan sakit rnaka

1)

( a

) 0,30 P(A2) = 0,70, P(BIA,) = 0,98 dan

(BI .j= 0,04. Inilaki

informasi sementara yang dapat kita peroleh. Oleh karma itu, denganmenggunakan fornittla Bayes diperoleh P(AilB) = [(0,98)(0,30)1/1(0.98)(0130)+(O,04)(0,70)]0,913.

5.8Peuhah AcakPeubah Acak atau variabd random adalah setiap properti yang dipeta-jari dan memiliki kemampuan un tax k mengambil beberapa nilai numerik. Biasanya pcubah acak diberi notasi dengan huruf-huruf kapita1.

56

Kahan clengan hak cipta

Peluang

Misalkan, X ad_alah peubah acalc banyak.nya harm helopeithis theobro-mae di sebuah lokasi perkebunan coldat, adalah peubah acak hasil panen raya. kopi di desa penghasil kopi tertentu, jumlah mata yang muncul dari pelemparan dua buah dadu standar, dan lain lain a. Nilai peubah acak UM11111172. dilambangkan dengan hunikecilnya, jadi bila peubah acaknya menggunakan maka nilai peubah acaknya dilambangkan dengan x.Peubah acak dapat bersifat diskritt karena mengambil nilai-nilai tertentu, konti nu yang mengambil nilai dalam bentuk selang, atau inter-val. Untuk mengetahui secara cepat apakah sebuah peubah acak ad_alah bersifat diskrit atau kontinu, dapat dilihat bagaitnana cara mendapatkan d.atanya. Apabila data tersebut didapatkan dengan cars menghitung maka peubah acaknya bersifat diskrit; sedangkan apabila datanya didapatkan dengan cam mengukur maka peubah. acaknya bersifat kontinu.

5.9 Fungsi Kepekalan Peluang DiskritSeperti telah dijelaskan pads bagian sebelumnya hahwa peubah acak diskrit hanya mengambil beberapa nilai tertentu. Istilah "beberapa" inidapat raja terbatas atau terhingga (x = 0,1 ,2,n misalnya), tojugadapat tak terhingga (x = 0,1,2,misalnya).Fungsi kepeka.tan peluang diskrit harw memenuhi aksiorna peluang:1.P(X=x) >0 untuk sernua x dimana P(Ix) terdefinisi.2.b)EP(X = x) .

3.P(X = x) =1 ,yaitu jumlah_ peluang semua kemungkinan xadalah 1. Notasi sigma yang diberi tanda x dibawahnya dibaca: dijumlahkan untuk semua nilai x yang mungkin.

TeladanRani sebuah tindakan melempar dadu standar yang seimbang, rnisalkan X adalah peubah acak muncuinya mata dadu tersebut. Dengan demikian kita tabu bahwa X a alab rermasuk peubah acak diskrit,

Kahani haft cipta

Metode Stati5tika

mana X hanya dapat mengarnbil nilai-nilai 1,2,3,45, clan 6. Adanya kata "seimbang" rnenandakan bahwa peluang munculnya tiap-tiap angka tali sarna besarnya. Oleh karma itu, secara umum dapat dituliskan bahwa{1/6 x1,2,3,4,5,6P(X = x)x selainnya.Cuba, perhatikan bahwa fungsi kepekatan ini memenuhi ketiga persyaratan di alas!Berikut irii adaiah tabel dari beberapa peubah acak disk it yang memiliki nama.

Bahan dengan hak cipta

o

5.10 Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu

Petuang

Untuk membedakan fungsi kepekatan peluang peubah acak kontinu dari fungsi kepekatan peluang peubah acak diskrit, digunak_an notasi fi(x) sebagai penman ti Bari P(X=x).Fungsi kepekatan peluang kontinu juga harus memenuhi aksioma peluang yang secara notasi dapat dituliskan sebagai herikut:1.fx(x) >0 untuk semua x di mana c(x) terdefinisi;2.Na X b) = f(x) dx ;

3.f(x) dx = t yaitu total peluang semua kernungkinan x adalah 1.-

Tel anMisalkan lama antrian di scbuah lips pangkas rambut menyebar menurut sebaran eksponensial yang memiliki fungsi kepekatan sebagai i(x) = e-x. Kita rahu bahwa lama tunggu (X) dapat bernilai sembarang bilangan nyata yang positif, )adi x > 0 adalah daerate fungsi, i mana f(x) terdefinisi. Cuba periksa bahwa fungsi kepekatan kontinu ini juga merncnuhi kctiga aksioma peluang d atas.Berikut ini adalah tabel Bari beberapa peubah acak konrinu yangmemiliki nama.

Names

PeubahKontin.0Seragarn

Normal

Notasi clan Parameter

X - Si(a,b) 0

f(x) dan i i manorfungi terdcfinisi

1/(b-a)a 2

bila tak dituliskan x terdefinisi untuk seluruh bilangan nyataPeubah acak kontinu Kai-kuadrat, Student-t, dan F akan dibahastersendiri.

5,11 Nilai HarapanNilai harapan atau nilai ekspektasi Bari sebuah fiingsi peubah acak X, g(X) dilarnbangkan den an E[g(X)] dapat didefinisikan sebagai berikut:

g(x).P(X = x) iika X peubah (waft diskritE[gOCI)=

fg(x) ffx f(x)dx f jika X peubah acak kontinu

Eahan dengan haft cipta

Peittangasaikan nilai-nilai tem:but ada. Ada di sini berarti bahwa integralnya ada Riau terhingga atau terdefinisi,Beberapa fungsi g(X) tertentu, ndai harapannya memiliki arti khusus atau istilah kliusus, yaiturataan, 1.1, bila g(X) =2,ragam, cr, bila g(X) = (X-gx)2 ;3.rnomen ke-r disekitar nilai rengall, bila g(X) = (X-Rx)r.4.momen ke-r disekitar titik pusat, bila g(X) =;5,iiingsi pernbangkir rumen, mx(t), bila g(X) ex'6.fungsi pernbangith peluag, 1),(0, bila g(X) = rx:7.inornenke-r, bila g(X) = I(I- 1)(X-2) a.. (X-r+ 1)Pemba hasan lebih lan)ut ten tang hal-hal tersebut dibicarakan data bab tersendiri di buku lain.

5.12 Fungsi Saharan Peubah AcakFungsi sebaran kumulatif peuhab acak dilarnbangkan dengan Fi(x) merupakan akurnulasi peluang peubali acakX tersebut dar'n nilai terkecil hingga nilai x tersebut. Secara notasi Fx(i) P(X_x) di mana x merupakari nilai yang rnungkin dia.mbil oleh peubah nal< X. lika X misalnya, mengambil niLai a 5. x b (-co < a b < 00) maka hal herikut selalu benar

a. Fx(x) =0 jika x < a;b. 0 < Fx(x) < 1 jika a 5_ xc. Fx(x) = 1 jika x b.

Untuk peubah acak di kris F(x) = >7:.;

= y) untuk nilai-nilai

x = a, a+1, a+2, F(x)

b, sedangkan untuk peubah acak kontinu unruk a < x < b.

j; (y).1

fi 1

Kahanhak cipta

Merode Statistika:Warn peubah acak kontinu, hubungan berikut adalah benar P(x, I 5 x,) = F(x) F(xi); fx (x) =tx Fx (x) ; sedangkan dalam peubahacak di kris, hubungan berikut adalah benar P(x,K,) = F(x)

F(x1-1)P(X = x)x=x.

162


BAB 6FUN= SEBARAN DISKRIT

Dalam bab sebelurn ini, bagian terakhir telah disebutkan secara singkat beberapa fungsi sebaran peluang diskrit yang dikenal atau yang rnempunyai narna. Dalam bab ini akan dibahas satu per satu kapan tiap-tiap peluang tersebut digunakan. Namun, sebelumnya akan dibahasmengenai teknik penghitungan an banyak digunakan dalam hitung peluang.

6.1 Aturan Dasar Hitung PeluangJika pengaturan pertama dapat dilakukan dengan m cam dan setelah pengaturan pertama selesai, pengaturan kedua dapat dilakukan dengan n cara maka dua pengaturan tersebut dapat dilakukan dengan m kali nmn) cam.

TeladanBila Anda memiliki baju sebanyak buah dan celana paniang seban-yak 7 buah ina.ka banyak kombinasi pasangan baju dan celana panjang

an dapat Anda kenakan ada sthanyak 8 kati

= 56 pasangark.

Misalkan, n adalah bilangan bulat yang tidak negatif Terminologi n faktorial dituliskan dengan n! dan didefinisikan sebagai hasil kali sernua bilangan bulat Mari n hingga ke 1. Den an demikian, 5! = 5x4i3x2x1 = 120 dan 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 = 6x5! Untuk n = 0 maka didefinisikanbahwa!= 1.

Bahan hak cipla















































































Mara=METO E STATISTIMI

. i -

-

dr--J.-

Ada orang beranggapan bahwa mempelajari statistika itu sulit dan membosankan. Anggapan itu barangkali betul jika kita tak menernukan buku panduan yang balk dan benar. OIeh karena itu, diperiukan buku mengenai metode statistika sederhana dan mudah dicerna.Baku DasarDasar Metode Statistika karya Sigit Nugroho, Ph.D. (Lektor Kepala Universitas Bengkulu) it l diawali dengan memberikan penjelasan tentang konsepdasar dan berbagai terminofogi yang 'I!sesuai dengan tahapan belajar metodrflulai Burl kombinatorik, teknik menghitung peluang, peubah acak diskrit d kontinu, pendugaan parameter populasi, pengujian hipotetisr clan ditutup denga anaiisis regresi dan korelasi_Deegan mempelajari buku ini, para mahasis FI RP 1 FL'14 matematika dan ilmu pengetahuan alarm diha

clasar statistika dengan rnudah, baik, clan benar. Mereka an tanstika pun d.ipat menggunakan buku

GrasindoGROLMIna VII &SARANA NINDNE SIA

berminat

15014 M107910253223

it

N CP P rC1414k101 CIIS21113

dntteajdy30c (1)

Documents