DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

U if ( ) M l i i l•Uniform (seragam)•Bernoulli•Binomial•Poisson

•Multinomial•Hipergeometrik•Geometrik•Binomial Negatif•Poisson •Binomial Negatif

MA 2081 Statistika DasarUtriweni Mukhaiyary

27 September 2012

2

Distribusi uniform (seragam)( g )

• Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya(x x x ) memiliki peluang yang sama (x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang sama.

• Distribusi peluang X :1( )P X

• Rataan :

1 2( ) , , ,..., kP X x x x x xk

1 kRataan :

• Variansi :1

1 k

ii

xk

k

22

1

1 k

ii

xk

3

Bukti :mean dan variansi untuk p a distribusi seragammean dan variansi untuk p.a distribusi seragam.

1k k kx

Berdasarkan definisi ekspektasi,

1 1 1

1[ ] ( ) ,

k k k

ii i i

i i i

xE X x P X x xk k

2 2 22

1 1

1( )

k k

i i ii i

E X x P X x xk

C t h 1

4

Contoh 1• Pelantunan sebuah dadu.Pelantunan sebuah dadu.

1( ) , 1, 2,3, 4,5,66

P X x x ( )6

1 2 3 4 5 6 3 5 0.175

0.18

1 2 3 4 5 6 3,56

2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 60.165

0.17

P(X

=x

)

2 2 2 2 2 22 21 2 3 4 5 6 3.5

615 17 12 25 2 92

0.16

1 2 3 4 5 6

x

15.17 12.25 2.92

Percobaan Bernoulli5

• Percobaan terdiri dari 1 usahaPercobaan terdiri dari 1 usaha

UsahaG l

Sukses

• Peluang sukses p

Peluang gagal 1 p

Gagal

Peluang gagal 1-p

• Misalkan

1, jika terjadi sukses0, jika terjadi tidak sukses (gagal)

X

Distribusi Bernoulli6

X b di t ib i B lli• X berdistribusi Bernoulli,

1 1(1 ) , 0,1( ) ( ; )

0 ,

x xp p xP X x ber x p

x lainnya

• Rataan : E[X] = µx = pVariansi : Var(X) 2 p(1 p)• Variansi : Var(X)= x

2 = p(1-p)

7

Percobaan Binomial

• n usaha yang berulang.• Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.P l g k tid k b b h d i h g • Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.

• Tiap usaha saling bebas • Tiap usaha saling bebas.

Di ib i Bi i l

8

Distribusi Binomial Distribusi binomial parameter n dan pDistribusi binomial, parameter n dan p Notasi X ~ B(n,p)

F.m.p: ( ) ( ; , ) (1 )x n xn

P X x b x n p p px

! n n

Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) … 1

x

o Rataan : E[X] = µx = np

!!( )!

n nx x n x

untuk x = 0,1, … , n

o Variansi : var(X)= X2 = np(1-p)

9

Contoh 2Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?

edited 2011 by UM

10

JawabMisalkan peubah acak X menyatakan banyaknyap y y ypenduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’sesungguhnya .Maka X~B(5, 0.7)

Y i i di i d l h P(X 3)Yang ingin dicari adalah P(X 3).P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

3 2 4 1 5 05 5 5 3 2 4 1 5 05 5 50.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3

3 4 55! 5! 5!(0 343)(0 09) (0 240)(0 30) (0 168)(1)

(0,343)(0, 09) (0, 240)(0,30) (0,168)(1)2!3! 1!4! 0!5!0,309 0,360 0,168 0,837

P b P i

11

Percobaan Poisson• Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.• Terdefinisi pada : (yang membedakan dari

percobaan Binomial)▫ Panjang selang waktu▫ Luas daerah/areaC t h Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu

tahun di UStahun di US- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2

meter panjang sungai “A”

12

Proses Poisson Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada g p g g p

selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau

daerah yang sempit dapat diabaikan.

13

Distribusi Poisson Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P(t)

( ) , 0,1, 2,...!

xte tP X x x

( )

F.m.p :!x

e = tetapan Euler (2.71828…)

o Rataan : E[X] = X = to Variansi : var(X)= X

2 = to Variansi : var(X) X t

14

Contoh 3

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam b l ( i ) di d h d l h 7 satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 p pbulan.

Alur Analisis Kasus15

Jawab16

Jenis kasus

• Kasus Diskrit• Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1• Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4p g gg

Parameter

distribus

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4• Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 • Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7distribus

iJika t 4 (dalam minggu) maka X P (7) , dengan rata rata t (7/4)(4) 7

Pertanyaan

• t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....• t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

an

a.

Pertanyaan

• t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka = ....• t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka = ....

b.

...

( ) , 0,1, 2,...!

xte t

P X x xx

Ingat definisi:

sehingga

( 2) 1 2 P X P Xa.

0 1 23,5 3,5 3,50,5

1 0 1 2

3,5 3,5 3,51

t

P X P X P X

e e e 10! 1! 2!

1 0.030 0,106 0,370 0,494

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14

17rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

Hubungan distribusi Bernoulli Binomial Poisson dan Normal

18

Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal

Di t ib i B lli

Misalkan p.a XDistribusi Bernoulli

X ~ Ber (1, p)

>1

Distribusi Binomial

n >1

Distribusi NormalX ~ N(μ, σ2)

n >>>

X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

X N(μ, σ )μ = np, σ2 = np(1- p)

μ =  , σ2 =

Distribusi PoissonX ~ POI (t)

n >>>DLP X POI (t)

= np = np(1- p)

19

Beberapa distribusi diskrit lainnyap y

• Distribusi MultinomialDi t ib i Hi t ik• Distribusi Hipergeometrik

• Distribusi Binomial NegatifDistribusi Geometri• Distribusi Geometri

Di t ib i M lti i l

20

Distribusi Multinomial• Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil

E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusipeluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyakterjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,

1 21 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p, ,...,

kxx xk k k

k

nP X x X x X x

x x x

dengan, Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

1 1

dan 1k k

i ii i

x n p

j p

percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

C h 4

21

Contoh 4• Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu

kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

• Jawab:Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat bus mobil pribadi dan keretapesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

3 3 1 21 2 3 4

9( 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 0.1

3,3,1, 2P X X X X

59! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0,0387023!3!1!2!

Di ib i Hi ik

22

Distribusi Hipergeometrik• X ~ h(N, n, k) ( , , )• X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n

yang diambil dari N benda yang mengandung kbernama sukses dan N-k bernama gagal.bernama sukses dan N k bernama gagal.

k N kx n x

( ) ( ; , , ) , 0,1, 2,...,

x n xP X x h x N n k x n

Nn

Rataan :

nk

Variansi :

2 1N n k k N

2 11

nN N N

Contoh 5

23

Contoh 5• Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung

mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

• Jawab :Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode

lpelanggaran.X ~ h(50, 10, 12) 12 38

220 126202563 7( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 1027227817010

P X h 10

Kaitannya dengan distribusi Binomial

24

Kaitannya dengan distribusi Binomial

• Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

• Perbedaan mendasar adalah pada binomial • Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.

• Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N maka distribusi semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

Di ib i G ik

25

Distribusi Geometrik

• X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) • X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama

dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluangdari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluangsukses p dan gagal (1-p).

Rataan : Variansi :

1( ) ( ; ) (1 ) , 1, 2,...xP X x g x p p p x

Rataan :

1

Variansi :

22

1 p

p 2p

Contoh 6

26

Contoh 6• Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses

pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan Xadalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan Hitung peluang patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

• Jawab :X ~ Geom(0.2)

2( 3) (3;0 2) 0 2(0 8) 0 128P X g ( 3) (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128P X g

Distribusi Binomial Negatif

27

Distribusi Binomial Negatif X ~ b*(k, p)

b k h b kh d k k k d X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dariusaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

1( ) *( ; , ) (1 ) , , 1, 2...

1k x kx

P X x b x k p p p x k k kk

• Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

X = Y + Y + + YkX = Y1 + Y2 + ... + Yk

dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p).

kp

22

(1 )k pp

Rataan : Variansi :

C t h 7

28

Contoh 7• Perhatikan Contoh 6.• Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan

sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama!J b • Jawab :

3 57( 8) *(8;3 0 2) (0 2) (0 8) 0 05505P X b

( 8) (8;3,0.2) (0.2) (0.8) 0.055052

P X b

29

Referensi Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and

Scientists 2nd Ed New York: McGraw HillScientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond

H Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.