EKSPEKTASI EKSPEKTASI EKSPEKTASI EKSPEKTASI (HARAPAN (HARAPAN MatematikaMatematika))(HARAPAN (HARAPAN MatematikaMatematika))

MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial4 September 2012

Utriweni MukhaiyarUtriweni Mukhaiyar

1

EkspektasiEkspektasiS t P b h A kS t P b h A kSuatu Peubah AcakSuatu Peubah Acak

Misalkan X peubah acak

Ekspektasi dari X

( ), jika peubah acak diskrit[ ]

semua x

xP X x XE X

( ) , jika peubah acak kontinu

xf x dx X

dimana :x : nilai-nilai pada XP(X x) : peluang untuk setiap nilai x

2

P(X=x) : peluang untuk setiap nilai x

EkspektasiEkspektasiSuatu Fungsi dari Peubah AcakSuatu Fungsi dari Peubah Acak

Misalkan peubah acak Y = g(X), yang merupakan fungsi dari peubah acak X.

Ekspektasi g(x) didefinisikan sebagai:

( ) ( ), jika peubah acak diskrit[ ( )]

( ) ( ) jik b h k k ti

semua x

g x P X x XE g x

f d X

( ) ( ) , jika peubah acak kontinug x f x dx X

SifatSifat--sifatsifat EkspektasiEkspektasiSifatSifat sifatsifat EkspektasiEkspektasi

Apabila a konstan, maka E[a]=a

U t k b h k X d Y k Untuk peubah acak X dan Y, maka

E(X+Y) = E(X) + E(Y)( ) ( ) ( )

Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, maka

E(Y) = aE(X)+b

4

Beberapa Ekspektasi KhususBeberapa Ekspektasi KhususBeberapa Ekspektasi KhususBeberapa Ekspektasi Khusus Rataan

( ), jika peubah acak diskrit xP X x X

V i i

( ), j p[ ]

( ) , jika peubah acak kontinu

semua xE X

xf x dx X Variansi

2 2 2( ) [( ) ] [ ] ( [ ]) Var X E X E X E X Fungsi Pembangkit Momen

( ) [ ] tXM t E euntuk suatu bilangan riil t.Kasus khusus :

( ) [ ]M t E e

'(0) [ ]M E XKasus khusus : (0) [ ]M E X2''(0) [ ]M E X

Sifat VariansiSifat VariansiSifat VariansiSifat Variansi

Bila Y = aX + b a dan b tetapan maka Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, makaVar(Y) = 2

Y= a2Var(X) = a2 2X

Bila X suatu peubah acak dan g suatu Bila X suatu peubah acak dan g suatufungsi bernilai riil, maka:

2( ( ) ) ( ), jika peubah acak diskritg x P X x X

Var(g(x)) = 2[( ( ) ) ]E g x

2

( ( ) ) ( ), j p

( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu

semua xg

g x f x dx X

=

6

Variansi disebut juga sebagai momen ke-dua disekitar

Beberapa Sifat LainnyaBeberapa Sifat LainnyaBeberapa Sifat LainnyaBeberapa Sifat Lainnya Misalkan g(X) dan h(X) masing-masing adalah

f i d i b h k X kfungsi dari peubah acak X, makaE[g(X) h(X)] = E[g(X)] E[h(X)]

Jika peubah acak X dan Y dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) maka, E[X Y] = E[X] E[Y] 2

aX+bY = a2 2X + b2 2

Y + 2ab X Y

Jika peubah acak X dan Y saling bebas, maka 2 2 2 + b2 2 2

aX+bY = a2 2X + b2 2

Y

2aXbY = a2 2

X + b2 2Y

Contoh 3Contoh 3Contoh 3Contoh 3Misal X adalah kesalahan dalam pengukuranMisal X adalah kesalahan dalam pengukuranMisal X adalah kesalahan dalam pengukurannilai curah hujan (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sebagai berikut:

Misal X adalah kesalahan dalam pengukurannilai curah hujan (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sebagai berikut:

2 2

, 1 2( ) 30 yang lain

x xf xx

Tentukan:

a. Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran Tentukan:

a. Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran

0, yang lain x

p gdi atas.

b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y ini

p gdi atas.

b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y inivariansi dari Y ini.variansi dari Y ini.

8

Jawab:Jawab:Jawab:Jawab:

a. Rataan dari X Variansi dari X

2 2

E xX x dx 25EV X X

a. Rataan dari X Variansi dari X

1

24

E3

1

X x dx

x

22 2

E4

5

Var X X

1

13 4

1

x

22 2

1

54 3

xx dx

1 16 1125

0.6375

54

9

E E 4 3Y X 2E 4 3 8Var Y X

b.

2 2

4E 3X

x

2E 4 5X

122

4 33

4

xx dx

2 22

1

4 53xx dx

2

1

4 3 83 4

x

1

515

10

Soal LatihanSoal Latihan1. Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang

b i b ik t 1. Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang

b i b ik t sebagai berikut :sebagai berikut :

lainnya untuk , 0

11-untuk ),1()(

243

ttt

tf

Cari E[T2 ], E[T-1], E[T<0.5].Cari E[T2 ], E[T-1], E[T<0.5].

y,

2. Jika2. Jika1/ 3 , 1,2,3

( )0 , yang lain

xP X x

x

maka nilai F(1, 99) = ......maka nilai F(1, 99) = ......0 , y gx

11

3 Banyaknya kejadian hujan beserta angin badai secara3 Banyaknya kejadian hujan beserta angin badai secara3. Banyaknya kejadian hujan beserta angin badai secarabersamaan setiap minggunya pada musim hujan disuatu daerah AA merupakan suatu peubah acak(misal H) dengan distribusi peluang berikut

3. Banyaknya kejadian hujan beserta angin badai secarabersamaan setiap minggunya pada musim hujan disuatu daerah AA merupakan suatu peubah acak(misal H) dengan distribusi peluang berikut(misal H) dengan distribusi peluang berikut.(misal H) dengan distribusi peluang berikut.

h 0 1 2 3 4P(H = h) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

Tentukan:a. Harapan (matematika) dan variansi banyak kejadian

hujan beserta badai setiap minggunya di wilayahtersebut

b F i di t ib i F(h) d b kb. Fungsi distribusi F(h) dan gambarkanc. Jika banyak kejadian serupa di daerah lain, AB adalah

dua kali banyak kejadian di AA ditambah satu,hitung harapan banyak kejadian hujan beserta badai

12

hitung harapan banyak kejadian hujan beserta badaisetiap minggunya di wilayah AB.

KASUS DUA PEUBAH ACAKKASUS DUA PEUBAH ACAKKASUS DUA PEUBAH ACAKKASUS DUA PEUBAH ACAK

IlustrasiIlustrasiIlustrasiIlustrasiSuatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori kategori yang berbedakategori-kategori yang berbeda.

Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan.

•Kekuatan bangunan•Tinggi bangunan

•Banyak lantai•Banyak lift•Tinggi bangunan

•Luas bangunan•Luas taman/daerah hijau bangunan

•Banyak lift•Banyak pintu/tangga darurat•Banyak ruangan•....

•...KONTINU DISKRIT

Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y.

f( <a <b) b k di t ib i l d i k k t b b il i k il d i a t f(x<a, y<b) bermakna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil dari a satuan kekuatan dan tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi.

IlustrasiIlustrasiIlustrasiIlustrasiMisalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2 menyatakan b k l f b h k X k b k banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan.

f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X1, X2, dan g p g p g g g 1 2X3.

f(10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50 ruangan.

Fungsi Peluang GabunganFungsi Peluang GabunganFungsi Peluang GabunganFungsi Peluang Gabungan1. P(X=x, Y=y) 0 untuk semua (x, y)

D

2.

3 U t k b d h A d l d h d fi i i b l k

( , ) 1x y

P X x Y y ISKR 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

[( , ) ] ( , )A

P X Y A f x y RIT

1. f(x, y) 0 untuk semua (x, y)2. ( , ) 1f x y dxdy

KON

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

( , ) 1f x y dxdy

NTIN

[( , ) ] ( , )A

P X Y A f x y dxdy U

Contoh 1Contoh 1Contoh 1Contoh 1

Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung:a Fungsi peluang gabungan f(x y)a. Fungsi peluang gabungan f(x,y)b. P[(X,Y)A] dimana A adalah daerah {(x,y)|x + y 2}

Jawab:a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah;

(0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1).f(3 0) l b l 3 k d 1 f(3,0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang.Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah :

8C4 = 70.Banyak cara yang mungkin terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : Banyak cara yang mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.

Solusi 1Solusi 1Solusi 1Solusi 1

Distribusi fungsi peluangnya:g p g yx

f(x,y) 0 1 2 3 h(y)

0 0 3/70 9/70 3/70 15/70

3 2 3

y0 0 3/70 9/70 3/70 15/70

1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70

2 3/70 9/70 3/70 0 15/70

[( , ) ] ( 2)P X Y A P X Y

3 2 3 4

8 4

3 2 34

( , ) , 0,1,2,3, 0,1,284

x y x yC C C x y x yf x y x y

C

g(x) 5/70 30/70 30/70 5/70 1

b. [( , ) ] ( )

( 0, 1) ( 0, 2)( 1, 0) ( 1, 1) ( 2, 0)

(0 1) (0 2) (1 0) (1 1) (2 0)

P X Y P X YP X Y P X Y P X Y

f f f f f

4

(0,1) (0, 2) (1,0) (1,1) (2,0)2 3 3 18 9 35 1

70 70 70 70 70 70 2

f f f f f

Contoh 2Contoh 2Contoh 2Contoh 2 Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk

dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-masing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak Xdan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah:

2 ( 2 ), 0 1,0 1( , ) 3

0 lainnya

x y x yf x y

x y

0, , lainnyax y

a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang.b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive

in dan walk in masing masing kurang dari setengahin dan walk in masing-masing kurang dari setengah.

Solusi 2Solusi 2Solusi 2Solusi 2

a.1 1 1 11

22 1 1( , ) ( 2 ) ( 4 ) (1 4 )3 3 3

f x y dxdy x y dxdy x yx dy y dy

00 0 0 0

12

0

3 3 3

1 1( 2 ) (1 2) 03 3

y y

f( ) d l h f i l

03 31

f(x,y) adalah fungsi peluang.

b 1/2 1/2 1/2 1/2

22 1( 0 5 0 5) ( 2 ) ( 4 )P X Y x y dxdy x yx dy b. 00 0 0

1/2 1/22

( 0.5, 0.5) ( 2 ) ( 4 )3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 12

P X Y x y dxdy x yx dy

y dy y y

00 3 4 3 4 3 4 2 4 8

y y y y

Fungsi MarjinalFungsi MarjinalFungsi MarjinalFungsi MarjinalMisalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y).

f ( ) f

Untuk X dan Y diskrit

Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y).

Untuk X dan Y diskrit.

( ) ( , ) ( , )y y

g x f x y P X x Y y y y

( ) ( , ) ( , )x x

h y f x y P X x Y y Untuk X dan Y kontinu.

( ) ( , )g x f x y dy

( ) ( , )h y f x y dx

dan

Contoh 3Contoh 3Contoh 3Contoh 3 Perhatikan Contoh 1. Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari

distribusi peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang marjinal dari X dan Y.peluang marjinal dari X dan Y.

Jawab :2 3 5 1(0) (0,0) (0,1) (0, 2) 0g f f f (0) (0,0) (0, ) (0, ) 0

70 70 70 14g f f f

3 18 9 30 3(1) (1,0) (1,1) (1,2)70 70 70 70 7

g f f f ( ) ( ) ( ) ( )70 70 70 70 7

g f f f

9 18 3 30 3(2) (2,0) (2,1) (2, 2)70 70 70 70 7

g f f f 3 2 5 1(3) (3,0) (3,1) (3, 2) 0

70 70 70 14g f f f

Solusi 3Solusi 3Solusi 3Solusi 3

Distribusi peluang peubah acak X adalah :Distribusi peluang peubah acak X adalah :x 0 1 2 3

g(x) = P(X=x) 1/14 6/14 6/14 1/14

Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang b h k Y d l h peubah acak Y adalah :

y 0 1 2

h(y) = P(Y=y) 3/14 8/14 3/14

Contoh 4Contoh 4Contoh 4Contoh 4

Perhatikan Contoh 2. Tentukan,a. fungsi peluang marjinal untuk Xb. fungsi peluang marjinal untuk Yc. peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari

satu setengah satuan waktu pelayanan.

J b Jawab :a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x)

1 12 2 2

1

2

00

2 2 2( ) ( , ) ( 2 ) ( ) ( 1) 03 3 3

2

g x f x y dy x y dy xy y x

2 ( 1), 0 13

x x

Solusi 4Solusi 4Solusi 4Solusi 4b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y)

1 12

00

2 2 1 2 1( ) ( , ) ( 2 ) 2 2 03 3 2 3 2

h y f x y dx x y dx x yx y

c Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in

1 4 , 0 13 3

y y

c. Misalkan peluang bahwa fasilitas drive inmembutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan adalah P(X<1,5).satuan waktu pelayanan adalah P(X 1,5).

1.5 1 12

00

2 1 2 1( 1.5) ( ) ( 1) (1 2) 03 3 3 3

P X g x dx x dx x x

0

1

Peluang BersyaratPeluang BersyaratPeluang BersyaratPeluang Bersyarat

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, pdiskrit atau kontinu.

Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika e ua g be sya at a peuba aca j a diberikan X=x adalah:

( , )( | ) ( ) 0f x yf

P l b t d i b h k X jik

( , )( | ) , ( ) 0( )

f yf y x g xg x

Peluang bersyarat dari peubah acak X jika diberikan Y=y adalah:

( )f ( , )( | ) , ( ) 0( )

f x yf x y h yh y

Bebas StatistikBebas StatistikBebas StatistikBebas Statistik Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai

f i k d t l b f( ) fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi peluang marjinal masing-masingnya adalah g(x) dan h(y). Peubah acak g y g( ) (y)X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika, ( , ) ( ) ( )f x y g x h y

untuk semua (x, y) di dalam daerah untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.

Contoh 5Contoh 5Contoh 5Contoh 5

Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1.

Hitung P(X=0|Y=1)J b Jawab :

( , ) ( ,1)( | ) , ( ) 0 yaitu ( |1)( ) 8 14

f x y f xf x y h y f xh y

(0,1) 2 70 1 (1,1) 18 70 9(0 |1) , (1|1)8 14 8 14 20 8 14 8 14 20(2,1) 18 70 9 (3,1) 2 70 1(2 |1) (3 |1)

f ff f

f ff f

( , ) ( , )(2 |1) , (3 |1)8 14 8 14 20 8 14 8 14 20f ff f

Distribusi peluang bersyarat :x 0 1 2 3

f(x|1) 1/20 9/20 9/20 1/20P(X=0|Y=1)

Contoh 6Contoh 6Contoh 6Contoh 6 Perhatikan Contoh 2. Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena,

2 1 2( ) ( ) ( 1) (1 4 ) (4 4 1)3 3 9

g x h y x y xy y x 2 ( 2 ) ( , )3

x y f x y

Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.statistik.

Kovariansi Dua Peubah AcakKovariansi Dua Peubah AcakKovariansi Dua Peubah AcakKovariansi Dua Peubah Acak

Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi p g gpeluang gabungan f(x,y)

Kovariansi dari X dan Y adalah:( , ) [( )( )]X YCov X Y E X Y

Cov(X, X) = Var(X)Cov(Y, Y) = Var(Y)

[ ] [ ] [ ]E XY E X E Y dengan,

Variansi adalah

[ ] ( , )

[ ] ( ) d [ ] ( )

E XY xyf x y dydx

E X f d d E Y f d d

kovariansi terhadap diri sendiri

[ ] ( , ) dan [ ] ( , )E X xf x y dydx E Y yf x y dxdy

Korelasi Dua Peubah AcakKorelasi Dua Peubah AcakKorelasi Dua Peubah AcakKorelasi Dua Peubah Acak

Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi p g gpeluang gabungan f(x,y)

Korelasi dari X dan Y adalah:

( , )( )

Corr X YCov X Y( , )

( ) ( )

XY

X Y

Cov X YVar X Var Y

Referensi Referensi Referensi Referensi

D J L d P k R St ti ti Th E l ti d Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu p y yPeluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

33