BAB 3

RESPON SISTEM BERDERAJAT –KEBEBASAN- SATU

TERHADAP PEMBEBANAN HARMONIS

Pada bab ini akan dibahas gerak dari struktur yang dimodalisasi sebagai sistem derajat –

kebebasan- satu (one-degree-off-freedom) yang dipengaruhi secara harmonis yaitu, struktur yang

dibebani gaya atau perpindahan yang besarnya diyatakan oleh fungsi sinus dan cosinus dari

waktu. Dari bentuk pengaruh ini mengakibatkan suatu gerak yang paling penting dalam

mempelajai dinamika vibrasi, demikian juga penggunaan dalam dinamika sruktur. Sruktur paling

sering dibebani oleh aksi dinamika dari mesin-mesin rotasi, yang menghasilkan pengaruh

harmonis akibat adanya eksentrisitas dari massa yang berotasi, yang dapat diabaikan dari mesin

itu. Selanjutnya, walaupun pengaruh itu bukan fungsi harmonis, respns dri sruktur dapat dicari

dengan menggunakan Metoda Fourier yang merupakan superposisi dari respns diri (individual

respons) dengan komponen harmonis dari pegaruh luar. Pendekatan ini akan dibahas pada Bab 5.

3.1. PENGARUH HARMONIS TAK TEREDAM (UNDAMPED

HARMONIS EXCITATION)

Gaya F(t) yang berkerja pada osilator sederhana (simple oscillator) pada gambar 3.1 dianggap

harmonis dengan besar , dimana adalah amplitude puncak dan model struktur

sebagai system derajat-kebebasan-tunggal

adalah frekwensi dari gaya dalam radial per detik. Persamaan defferensial diperoleh dari

penjumlahan semua gaya dalam diagram free body Gambar 3.1 (b), yaitu :

mÿ + ky = (3.1)

Solusi dari pers. (3.1) dapat diyatakan sebagai,

(3.2)

Dimana adalah solusi komplementer (complementary solition) yang memenuhi persamaan

homogen, yaitu pers. (3.1) di mana bagian kiri sama dengan nol dan adalah solusi partikulir

(particular solition) yang di dasarkan pada solusi yang memenuhi persamaan differensial tak

homogen, pers. (3.1). Solusi komplementer (complementary solusition) adalah

(3.3)

Di mana

Melihat bentuk dari fungsi gaya pers. (3.1) disarankan uuk melihat solusi partikulir (particular

solition) seperti

(3.4)

Dimana Y adalah harga puncak (peak value) dari solusi partikulir (particular solition) subtitusi

pers. (3.4) kedalam pers. (3.1) dan hilangkan faktor yang sama, didapatkan

Atau

(3.5)

Di mana r menyatakan ratio (ratio frekuensi) dari frekuensi gaya yang berkerja pada frekuensi

natural getaran dari sistem (natural frequency of system) yaitu,

(3.6)

Kombinasi pers. (3.3) dan pers. (3.5) menghasilkan

(3.7)

Jika kondisi awal (initial conditions) pada waktu t = 0 diambil nol ( ), maka

kosatanta integrasi yang didapat dari pers. (3.7) adalah

Jika disubsitusikan pada pers. (3.7) memberikan

(3.8)

Seperti terlihat pada pers. (3.8) bahwa respons diberikan oleh superposisi dari dua bagian

harmonis dengan frekuensi yang berdeda. Hasil geraknya tidak harmonis,namun dalam praktek,

gaya redaman selalu mincul dan mengakibatkan adanya bagian terakhir itu, yaitu hilangnya

bagian getaran bebasdari pers. (3.8). oleh sebab itu bagian ini dikatakan adanya respons

transien/respons sementara (transient response). Bagian fekuensi paksa (forcing frequency)

pada pers. (3.8) adalah

(3.9)

Dan dinamakan respons keadaan tetap (steady state response). Jelas dari pers. (3.8) bahwa

dalam keadaaan tak terredam, pengaruh transien (sementara) tidak hilang dan repons akan

diberikan pers. (3.8). juga terlihat dari pers. (3.8) atau pers. (3.9) bahwa bila fekuensi paksa

(forcing frequency) sama dengan frekuensi natural (r = 1,0), amplitude dari gerak menjadi besar

tak terhingga. Suatu sistem diberi pengaruh luar dengan frekuensi yang selaras dengan frekuensi

natural disebut ber-resonansi. Pada kondisi ini amplitude akan bertambah bertahap menjadi tak

hhingga besarnya. Namun bahan yang biasanya dipakai dalam praktek mempunyai limit

kekakuan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh sebelum tercapainya amplitudo

maxsimum.

3.2. PENGARUH HARMONIS TEREDAM (DAMPED HARMONIC

EXCITATION)

Perhatikan keadaan system derajad-kebebasan- satu (one-degree-of freedom) pada Gambar 3.2.

yang yang bergetar dibawah pengaruh redaman liat (viscous damping). Persamaan differensial

didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya dari diagram free body Gambar 3.2 (b) dengan 0,

jadi

(3.10)

Solusi lengkap dari persamaan itu terdiri dari dari solusi komplementer dan solusi

partikuler solusi komplementer yang diberikan untuk keadaan redaman subkritis

(underdamped) oleh pers. (2.15) sebagaiξ

Solusi partikuler didapat dengan mengsubsitusikan yang pada keadaan ini dianggap

mempunyai bentuk

(3.11)

Keadaaan pers. (3.10) dan samakan koefisien dari fungsi sinus dan cosines.

Kita mengikuti cara Euler, yaitu

(3.12)

Untuk saran ini, pembaca harus menyadari bahwa pers. (3.10) dapat ditulis sebagai,

(3.13)

Dengan pengertian bahwa hanya komponen imajener dari yaitu komponen gaya

yang berkerja dan tentu saja respons akan hanya terdiri dari bagian imajiner dari

seluruh jawaban persamaan (3.13) yang mempunyai komponen riel dan komponen imajiner, dan

melupakan komponen riel.

Adalah beralasan untuk mengharapkan solusi partikuler dari pers. (3.13) berbentuk subtitusi pers.

(3.14) kedalam pers. (3.13) memberikan

(3.14)

Atau

Dan

(3.15)

Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, bilangan kompleks penyebut dar pers. (3.15)

dapat ditulis sebagai

Atau

(3.16)

Dimana

(3.17)

Respons untuk gaya (komponen imajiner dari ) adalah komponen imajiner dari

pers. (3.16) yaitu,

(3.18)

Atau

(3.19)

Dimana

Adalah amplotudo dari gerak keadaan tetap (steady-state motion). Persamaan (3.18) dan (3.17)

dapat ditulis dengan baik sekali dalam bentuk rasio tampa dimensi seperti

(3.20)

Dan

Dimana rumus terlihat sebagai lendutan statis dari pegas diatas mana bekerja gaya rumus rasio

redaman rumus dan rasio frekuensi rumus

Respons total didapat dari penjumlahan solusi komplementer (respons transien) dari pers. (2.15)

dan solusi partikuler (respons keadaaan tetap/steady-state) dari per. (3.20) adalah

Pembaca harus memperhatikan bahwa kostanta integrasi A dan B harus di evaluasi dari kondisi

awal dengan menggunakan respons total yang diberikan pers. (3.22) dan tidak dari hanya

komponen transien dari respons yang diberikan pers. (2.15).

Dengan mempelajari komponen transier dari respons, terlihat bahwa munculnya faktor

exponensial rumus menyebabkan komponen ini hilang dan tertingggal hanya gerak keadaan tetap

(steady state motion) yang diberikan oleh pers. (3.20).

Ratio dari amplitude keadaan tetap (stady state amplitude) rumus dan lendutan statis rumus

seperti yang didefinisikan sebelumnya, dikenal sebagai faktor pembesaran dinamis (dynamic

magnification factor) bervariasi dengan ratio frekuensi r dan ratio redaman ξ. Plot parameteris

(parametric plots) dari faktor pembesaran dinamis terlihat pada Gambar 3.3. sudut Fasa (phasa

angel) θ juga bervariasi dengan besaran yang sama seperti Gambar 3.4. perlu diperhatikan pada

Gambar 3.3. bahwa untuk sistem dengan redaman kecil, amplitudo puncak mencapai nilai ratio

frekuensi yang sangat dekat dengan satu yaitu, faktor pembesaran dinamis yang besarnya

mencapai nilai maxsimum pada kondisi resonansi (r = 1).

Gambar

Juga dapt dilihat dri pers. (3.23) bahwa pada saat resonansi, faktor pembesaran dinamis

berbanding terbalik dengan rasio redaman, yaitu

Meskipun faktor pembesaran dinamis yang dievaluasikan pada saat resonansi mendekati harga

maksimumnya, tapi tidak merupakan respon maksimum untuk system terredam. Namun untuk

besaran redaman, perbedaan antara haraga pendekatan dari pers. (3.24) dan harga maksimum

sebenarnya, dapat diabaikan.

Contoh 3.1. sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W =

16.000 lb. balok ini terbuat dari dua profil standar S8 X 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan

dengan momen inersia penampang total I = 2 X 64,2 = 128,4 in4. Motor berotasi pada 300 rpm

(putaran per detik). Dengan ketidak seimbangan rotornya sebesar W’ =40 lb pada jari-jari e0 =

10 in. Berapa besar amplitude dari respons keadaan tetap (steady state response) jika redaman

liat ( viscous damping) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis?

System dinamis ini dapat dimodelisasikan sebagai osilator terrendam. Distribusi massa balok

diabaikan, dibandingkan dengan massa yang besar dari mesin,Gambar 3.5 dan Gambar 3.6,

secara bersama merupakan diagram skematis dari sistem mesin balok dan model yang

digunakan. Gaya pada tengah bentang balok, dilendutkan sebesar satu unit besaran (yaitu,

koefisien kekakuan) yang bentuknya adalah,

Frekuensi natural dari sistem (mengabaikan massa dari balok) adalah

Frekuensi gaya

Dan ratio frekuensi

Sesuai dengan Gambar 3.6. ambil m sebagai massa total dari m’ massa yang berotasi tak

seimbang dan, bila y adalah perpindahan vertical dari massa yang berotari (m - m’ ) dari posisi

keseimbangan, perpindahan Y1 dari massa m’ seperti yang ditunjukan pada Gambar 3.6. adalah

Persamaan gerak didapat dari penjumlah gaya-gaya sepanjang arah vertikal dari diagram free

body. Gambar 3.6 (b) dimana gaya-gaya inersia dari masa tak berotasi dan massa tak seimbang

juga terlihat dengan jelas. Penjumlahan ini menjadi.

Subtitusikan y1 dari pers. (a) memberikan

Dan dengan penyesuaiyan kembali didapat

Persamaan ini sama dengan bentuk persamaan gerak untuk osilator teredam yang dipengaruhi

secara harmonis oleh gaya yang beramplitudo.

Dengan mengsubtusikan angka-angka yang sesuai dengan contoh ini didapat

Amplitude dari gerak keadaan tetap didapat dari pers. (3.20) yaitu.

Contoh 3.2. Sebuah kerangka baja pada Gambar 3.7 memikil sebuah merin rotasi yang

mengakibat gaya horizontal pada bidang balaok sebesar F(t) = 200 sin 5,3t, lb. dianggap

redaman sebesar 5% redaman kritis. Tertentu,

(a) Amplitude keadaan tetap dari getaran dan

(b) Tegangan dinamis maxsimum pada kolom dengan anggapan balok sangat kaku.

Struktur ini dapat di modeli sebagai osilator teredam untuk analisa dinamis, seperti pada Gambar

3.7(b). parameter-parameter pada model ini dihitung sebagai berikut.

Kemudian amplitudo keadaan tetap dari pers. (3.20) adalah

Dan gaya geser maxsimum pada kolom

Momen lentur maximum pada kolom adalah

Dan tegangan maximum

Dimana I/c adalah modulus penampang.

EVALUASI REDAMAN PADA SAAT RESONNSI (AVALUATION OF

DAMPING AT RESONANCE)

3.1METODA “BAND WIDTH” ( HALF POWER) UNRUK

EVALUASI REDAMAN (BANDWIDTH/HALFPOWER METHOD

TO EVALUATE DAMPING)

3.2RESPON DARI GERAKAN PENYOKONG (RESPONSE TO

SUPROT MOTION)

3.3PENYALURAN GAYA KE PONDASI (FORCE TRANSMITTED

TO THE FOUNDDATION)

Kita telah melihat pada Bab II bahwa lengkung pengungrangan (decay curve) dari getaran bebas

memungkinkan evaluasi redaman dari system berdrajad-kebebasan-satu dengan menghitung

pengurangan logaritmis (logarithmic decrement) seperti pada pers. (2.28). cara lain untuk

menentukan redaman, didasarkan pada oservasi respons keadaan tetap harmonis (steady state

harmonic response).

Yang memerlukan pengaruh harmonis suatu sruktur dalam daerah getaran yang dekat dengan

kondisi resonansi. Dengan menggunakan gaya harmonis rumus yang berharga dekat dengan

frekuensi, lengkungan dari resonansi dari struktur dapat di-plot dan menghasilkan amplitudo

perpindahan sebagai fungsi dari frekuensi yang digunakan. Bentuk spesifik dari lengkung

respons struktur terrendam ini terlihat pada Gambar 3.8.

Terlihat dari pers. (3.24) bahwa pada saat resonansi, ratio redaman diberikan oleh

Dimana rumus adalah faktor pembesaran dinamis yang dievaluasi pada saat resonansi. Dalam

praktek, ratio redaman ξ ditentukan dari evaluasi faktor pembesaran dinamis pada amplitudo

maxsimum, yaitu.

Dimana

Dan rumus adalah amplitudo maxsimum. Kesalahan yang didapat dalam evaluasi ratio redaman

ξ dengan menggunakan pendekatan pers. (3.26), tidak terlalu penting pada struktur biasa. Metoda

menentukan ratio redaman ini hanya memerlukan alat yang sederhana untuk menggetarkan

struktur mendekati frekuensi resonansi dan mengubah (transducer) untuk pengukuran amplitudo,

namun dalam evaluasi perpindahan satatis akan timbul rumus masalah biasanya sulit untuk

memberikan beban statis untuk struktur.

Pengujian sutu lengkung respons pada Gambar 3.3. menunjukkan bahwa bentuk dari lengkung

ini dikonrol oleh besarnya redaman yang terjadi dalam sistem; khususnya, “bandwidth” adalah

perbedaan antara dua frekuensi sehubungan dengan respons amplitudo yang sama, yang

dihubungkankan dengan redaman dalam suatu sistem. Sutu bentuk lengkung amplitudo dari sutu

frekuensi didapat dari exsperimen untuk struktur teredam biasa, seperti pada Gambar 3.6. Dalam

evaluasi adalah tepat bila mengukur bandwith pada rumus kali amplitudo resonansi yang

diberikan pers. (3.24) yaitu,

Yang diselesaikan dengan mengkuadrankan kedua sisi yang menghasilkan ratio frekuensi.

Atau dengan menghasilkan rumus pada bagian akar

Akhirnya ratio redaman diberikan hampir mendekati setengah perbedaan antara ratio frekuensi

dari kedua “halfpower”, yaitu

Atau

Sabab

Contoh 3.3. data espelimental untuk respons frekuensi dari sistem derajad-kebebasan-satu di-

plot pada Gambar 3.9. amplitudo puncak adalah 0,1134 in, sebab itu amplitudo pada “halfpower”

sama dengan

Frekuensi pada amplitudo ini didapat dari Gambar 3.6. adalah.

Ratio redaman dihitung dari pers. (3.27) adalah

Banyak keadaan aktual dimana pondasi atau penyokong struktur bergerak bervariasi menurut

waktu. Struktur dipengaruhi oleh gerakkan tanah akibat gempa bumi atau pengaruh lain seperti

ledakan atau aksi dinamis dari mesin merupakan contoh dimana penyokong (support) harus ikut

dipertimbangkan dalam analisa respons dinamis. Perhatikan Gambar 3.10, keadaan dimana

penyokong dari sebuah model sederhana dipengaruhi gerak harmonis yang diberikankan oleh

peryataan

Dimana adalah rumus amplitudo maxsimum dan adlah rumus frekuensi dari gerak penyokong.

Persamaan differensial dari gerak didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya (termasuk

gaya inersia) dengan 0 sehubungan dengan diagram free body pada Gambar 3.10(b). jumlah

gaya-gaya pada arah horizontal memberikan

Subtusikan pers. (3.28) kedalam pers. (3.29) dan sesuikan, didapat,

Dua bagian harmonis dari frekuensi rumus disebelah kanan persamaan dapat dikombinasikan

dan pers. (3.30) dapat ditulis sebagai

Dimana

Dan

Terlihat bahwa pers.(3.31) adalah persamaan differensial untuk osilator yang dipengaruhi gaya

harmonis rumus dan mempunyai bentuk yang sama dengan pers. (3.10). akibatnya, solusi

keadaan tetap (steady state) dari pers. (3.31) daprat seperti per. (3.20) kecuali keduanya

penambahan sudut β pada fungsi sinus, yaitu

Atau subtitusi rumus dari pers. (3.23)

Persamaan(3.35) adalah peryataan gambaran relative dari gerakan penyokong terhadap osilator.

Ini adalah masalah penting dalam osilator getaran dimana peralatan harus dilindungi terhadap

getaran keras dari struktur penyokong. Derajad dari isolator relative dikenal sebagai

transmisibilitas (transmissibility) dan didefinisikan sebagai ratio amplitudo dari gerak isolator Y

dan amplitude rumus dari gerak penyokong. Dari pers. (3.35), transmissibilitas (transmissibility)

Tr diberikan oleh

Rumus

Gambar

Suatu plot dari transmisibilitas sebagai fungsi dari ratio frekuensi dan ratio terendam, terlihat

pada Gambar 3.11. Lengkungan pada gambar ini mirip dengan lengkungan pada Gambar 3.3.

yang menyatakan respons frekuensi dari isolator terendam. Perbedaan utama adalah bahwa

semua lengkungan pada Gambar 3.11 melewati suatu titik yang sama pada ratio frekuensi rumus.

Dapat dilihat pada Gambar 3.11 bahwa redaman cenderung untuk mengurangi efektifitas isolator

getaran untuk frekuensi yang lebih besar dari ratio, yaitu untuk r lebih besar dari rumus

Persamaan (3.34) memberikan respons absolute dari isolator terendam pada gerak harmonis dari

dasar (base). Alternatif lain adalah, menyelesaikan persamaan diferensial pers. (3.29) dalam

besaran dari gerak relatif antara massa m dan penyokong (support), yang diberikan oleh

Kemudian disubtitusikan kedalam pers. (3.29) memberikan

Dimanan rumus dapatdapat diartikan sebagai gaya efektif yang bekerja pada massa osilator, dan

perpindahannya dinyatakan oleh koordinat u.

Dengan menggunakan pers. (3.28)untuk mendapatkan rumus dan disubtitusikan kedalam pers.

(3.38) memberikan,

Kemudian pers. (3.39) adalah sama bentuknya dengan pers. (3.10) dengan rumus selanjutnya,

dari pers. (3.20)respon keadaan tetap (steady state) dalam besaran gerak relative, diberikan oleh

Atau subtitusi

Didapat

Dimana diberikan dalam pers. (3.21)

Contoh 3.4. Jika kerangka pada contoh 3.2 Gambar 3.7 dipengaruhi gerakan tanag sinusoidal

rumus tentukan: (a)transmisibilitas dari gerak balok, (b) gaya geser maximum pada kolom

penyokong, dan (c) tegangan maximum pada kolom parameter-parameter dari sistem ini

Transmisibilitas dari pers. (3.36) adalah

Perpindahan relative maxsimum U dari pers. (3.41) adalah

Kemudian gaya geser maksimum U dari pers. (3.41) adalah

Momen lentur maxsimum

Dan tegangannya

Dimana rumus adalah modulus penampang.

Pada bagian sebelumnya telah kita bicarakan respons struktur terhadap gerakan harmonis pada

pondasinya. Sedangkan pada bagian ini akan dibicarakan masalah yang serupa dari isolator

getaran. Misalnya adalah mencari gaya yang disalurkan kepondasi. Tinjau isolator teredam

dengan gaya harmonis rumus yang berkerja pada massanya seperti pada Gambar 3.2. persamaan

diferensil dari gerak ini adalah

Dengan solusi keadaan tetap (steady state)

Dimana

Dan

Gaya tersalaur kepenyokong melalui pegas rumus dan elemen redaman rumus . Sekarang gaya

total yang tersalur adalah

Diferensial pers. (3.19) dan subtitusi kedalam pers. (3.34) memberikan

Atau

Di mana

Dan

Kemudian dari pers. (3.42) dan (3.45), gaya maximum rumus yang tersalur kepondasi adalah

Transmisibilitas Tr didefinisikan sebagai ratio dari amplitudo gaya yang disalurkan kepondasi

dan amplitudo gaya yang berkerja. Jadi dari pers. (3.48)

Sangat menarik untuk dicatat bahwa baik transmisibilitas dari gerak pondasi kestruktur pers.

(3.36) ataupun transmisibilitas dari gaya pada struktur ke pondasi pers. (3.49) memberikan

fungsi yang sama. Jadi lengkungan transmisibilitas pada Gambar 3.11 menyatakan kedua bentuk

transmisibilitas itu. Suatu peryataaan untuk fasa sudut total (total phase angel) φ pada pers.

(3.45) dapat ditentukan dengan mengambil fungsi tangen dari kdua anggota pers. (3.47), jadi

Kemudian subtitusi dan secara bersamaan dari pers. (3.21) dan (3.46), didapat