DINAMIKA

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2011

Analisis respon gempa pada bangunan:

Analisis statik ekivalen

Beban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masing-

masing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja

secara statis.

Hanya meninjau respon maksimum gempa.

Digunakan untuk sistem struktur sederhana

Analisis dinamis

Didasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan

faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan

sebagai fungsi waktu.

Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman

berubah dari waktu ke waktu

P(t)P

STATIS DINAMIS

MODEL BANDUL SEDERHANA

K

m

m

K

x

EI

P(t)P(t)

KK1 K2

m

P(t)m

K

Model Struktur Model SDOF Model Matematis

Digunakan untuk memodelkan getaran pada struktur sederhanadan bangunan tidak bertingkat.

m

y

K2K1

P

y

K1 K2

21 kkke

21

111

kkke

Pegas Paralel Pegas Seri

Gerakan Harmonis

Bentuk kurva gerak harmonis

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN

Gaya yang bekerja dan berada pada keseimbangan dinamis yaitu:

k = kekakuan pegas

x = perpindahan

Gaya pegas akibat deformasi (P)

Gaya inersia akibat perubahan kecepatan (F)

xkP .

2

2

..dt

xdmamF

m = massa

a = percepatan

K

m

m

K

EI

x

K.x

m.a

0..2

2

xkdt

xdm

……(1)

……(2)

……(3)

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK

tCosBtSinAx

Solusi Umum:

m

k

ω = frekuensi natural (radian/detik)t = waktu (detik)

tAx

tAx

sin

cos ……(4)

……(5)

……(6)

tAxdt

xd

tAxdt

dx

tAx

cos

sin

cos

2..

2

2

.

Mencari besarnya frekuensi natural (ω)

0

0.

0..

2

2

..

tCosAkm

tCosAktCosAm

xkxm

Substitusikan ke pers. (3)

……(7)

Mencari besarnya konstanta A dan B

00xtx

Vxtx 0..

Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:

:

Perpindahan:

Kecepatan:

……(8)

……(9)

tCosBtSinAx

Maka:

0B)0()0(0 CosBSinA

VA

SinSinBCosAV

ttSinBtCosAVdt

dx

00)0()0(

0

……(10)

……(11)

KEKAKUAN KOLOM

Kolom bermassa seragam dengan kedua ujung terjepit/tak berotasi, kekakuan pegasnya adalah:

EI

PL

kPL

EIk

12

12

3

3

L

Δ

P

Kolom bermassa seragam dengan satu ujung terjepitdan ujung lain berengsel/bebas, kekakuan pegasnyaadalah:

EI

PL

kPL

EIk

3

3

3

3

……(12)

……(13)

……(14)

……(15)

Δ

P

3

2112

L

IIEk

Deformasilentur

Deformasigeser

L

GA

L

EIP

3

3

CONTOH KASUS

Contoh 1

EI=400 KN/cm2 m = 1000 kg

K = 2 N/cm

L=100 cm

Kekakuan balok:

Jawab

N/cm 2,1100

10004003333

cmN

L

EIk

Kekakuan balok dan pegas:

2320kg/dt N/cm 2,3 1,22

pegasbalokparalel kkK

Frekuensi natural:detik

rad 56,01000

320

m

k

Tentukan besarnya frekuensinatural struktur pada gambardi samping.

Contoh 2

Jawab

Persamaan gerak:

Frekuensi natural:

Tentukan persamaan-persamaan gerak (perpindahan, kecepatan dan

percepatan) struktur pada gambar contoh 1.

Gunakan syarat awal getaran pada t=0, perpindahan (x) = 0 dan

kecepatan (dx/dt) = 5 cm/detik.

detikrad 56,0

ttVtAxdt

xd

ttVtAxdt

dx

tx

VAtAx

56,0sin8,2sinsin

56,0cos5coscos

56,0sin56,0

5

sin

2..

2

2

.

Kecepatan awal (V) = 5 cm/dtk

Contoh 3

F(t)F(t)

W8x24

m

200 lb/ft

15 ft

SDOF

Data yang diketahui:

E = 30.106 psi

I = 82,5 in4

W = 200 x 25 = 5000 lb

g = 386 ft/dt2

• Tentukan persamaan kesetimbangan struktur pada gambar diatas.

• Tentukan besarnya frekuensi natural struktur tersebut

Jawab

F(t)m

K

fsm F(t)

I

(Model matematis) (Freebody Diagram)

Persamaan kesetimbangan:

tFxkxmtFfsI ....

Frekuensi natural:

spsfdtradm

k

g

Wminlb

L

IEK

46.45000

386.10185

2

1

2 atau /041,28

5000

386.10185

386

5000 /10185

12.15

5,82.210.30.122123

6

3

EI=108 lb/in

2

k = 2000 lb/in

L=100 in

k = 2000 lb/in

W = 3000 lb/in

Contoh 4

Jika berat W mempunyai perpindahan awal x0 = 1 inci dan kecepatan

awal V0 = 20 inci/detik, tentukan perpindahan dan kecepatan pada 1

detik kemudian.

Kekakuan balok: lb/in 300100

10333

8

3L

EIkbalok

Jawab

Kekakuan pegas:lb/in 4000200022kkpegas

Kekakuan total:

lb/in 4300 0004003

pegasbaloktotal kkK

Frekuensi natural:

detikrad 52,23

3000

3864300

m

k

in 89,0

)52,23()52,23(085

)52,23()1()52,23(52,23

20

V

det ik) 1(

0

tx

tCostSin

tCostSin

tCosxtSintCosBtSinAx

x0 = 1 inchi dan V0 = 20 in/dtk

in/detik 66,22

)52,23(52,23)52,23(992,19

detik) 1(

.

.

tx

tSintCosx

REDAMAN

• Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadisatu siklus gerak bolak balik

• Redaman timbul karena ada gesekan internal dalam bahan ketikamengalami gerakan.

• Redaman bisa juga berasal dari bantalan eksternal yang sengaja dipasangseperti pada rel kereta api

• Redaman internal dapat berasal dari gesekan mikro bahan, dapat pula darigesekan dalam sambungan tidak rigid.

• Model redaman yang paling sering dipakai adalah model dashpot.

• Selain model dashpot, dapat juga dipakai model Coulomb, yaitu redamanyang berasal dari friksi dan berbanding lurus dengan simpangan dan arahgerakan

MODEL REDAMAN DASHPOT

Model redaman dashpot menghasilkan penurunan simpanganmengikuti fungsi eksponen

Getaran bebas redaman viscous

MODEL REDAMAN COULOUMBStruktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakandiferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasusrespon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar

Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnyasambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yangsemuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier.

mgNf

kxf

ffdt

xdm

kkD

s

Ds 02

2

Model persamaan kesetimbangan:

……(39)

……(40)

MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN• Redaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu

struktur.

• Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan

kecepatan gerak (V)

mP(t)

K2K1 K,c

mP(t)

P(t)m

x

K

Ic

P(t)I

fs

fd

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN

Persamaan kesetimbangan dapat ditulis:

)(

)(0

...

...

tPkxxcxm

kxfxcfxmI

tPffIH

sd

sd

Solusi persamaan difensial:

pt

pt

pt

Aepdt

xd

pAedt

dx

Aex

2

2

2

……(16)

……(17)

……(18)

……(19)

Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)

0

0

2

2

pt

ptptpt

Aekcpmp

AekpAecAepm

02 ptAekcpmp

Solusi nontrivial:

Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:

……(20)

……(21)

m

k

m

c

m

cp

2

2,122

Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:

tptpBeAex 21

Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktordibawah akar apakah positif atau negatif.p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponenp imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang

(22)

……(23)

FAKTOR REDAMAN

0222

22

2,1m

k

m

c

m

k

m

c

m

cp

Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0

Maka,

crcmkm

kmc

m

k

m

c

m

k

m

c

222

02

2

2

Ccr disebut dengan faktor redaman kritis

Keadaan redaman kritis adalah batas antara redaman berlebih (over damped) dan redaman kurang (under damped)

Kasus Redaman Kritis……

Pada kondisi redaman kritis,

m

cp

m

k

m

c

m

k

m

c

m

cp

2

0222

22

2,1

Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

tm

c

pt eex 2

……(24)

……(25)

Kasus Redaman Kurang (Under-damped)……Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisienredaman kritis (c < ccr)

2

2,1

22

2,1

22

222

m

c

m

ki

m

cp

m

k

m

c

m

k

m

c

m

cp

……(26)

Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, makadigunakan persamaan Euler:

tSinitCose

tSinitCose

it

it

Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:

2

2

2m

c

m

k

tSinBtCosAex

D

DD

tm

c

……(27)

……(28)

……(29)

……(30)

Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:

cr

cr

D

D

c

c

c

c

mk

c

11

41

2

2

2

2

……(31)

……(32)

……(33)

Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)……

Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari

koefisien redaman kritis yaitu:

cr

cr

ccc

c1 ……(34)

tptpBeAex 21

Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran

bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)…..

Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yang berbeda

MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN

Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:

Metode setengah amplitudo

Metode pengurangan logaritmik

D

D

T

Q

P

T

ex

xD

2

METODE SETENGAH AMPLITUDO

……(35)

……(36)

Dimana:xP = perpindahan awalxQ = perpindahan setelah 1 siklusξ = faktor rasio redamanω = frekuensi naturalTD = periode teredam

METODE PENGURANGAN LOGARITMIK

D

Q

P Tx

xln

21

22

D

DT

21

2DT

……(37)

……(38)

Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasioredaman:

Dimana:xP = perpindahan awalxQ = perpindahan setelah 1 siklusξ = faktor rasio redamanω = frekuensi naturalTD = periode teredamδ = pengurangan logaritmikωD = frekuensi teredam

Contoh 5

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak

dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan.

Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan

bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik

a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.

Jawab

Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Hz125.34.0

putaran25.1

sfn

rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f

sf

Tn

n 32.0125.3

11

Contoh 6Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan

K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak

1,0 dan 0,85.

Tentukan:

• Frekuensi natural

• Pengurangan logaritmik

• Faktor rasio redaman

• Faktor redaman

• Frekuensi teredam

Jawab

detikrad 78,27

386/10

20

m

k

SPSf 42,42

78,27

2

Frekuensi natural:

165,085,0

1lnln

2

1

x

x

0256,0165,014,32

165,0

21

2

2

Pengurangan logaritmik:

Faktor rasio redaman:

Faktor redaman:

in

dtklbcc cr 037,0

38610202256,0

Frekuensi teredam:

dtkrad

D 422,270256,0178,271 2

Contoh 7

Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang samadan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimentaltelah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal padalantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakanredaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:• Frekuensi natural tak teredam• Koefisien redaman absolut dan redaman kritis• Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan

berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.

Jawab

inlbkxkP / 100001,0

1000.

detikrad 06,31

386/4000

10000

m

k

Frekuensi natural:

in

dtlbmkccr

. 8,643386/4000.1000022

314,005,01

05,014,32

1

2

22

in

dtklbcc cr 19,328,64305,0

Faktor redaman kritis:

Pengurangan logaritmik:

Faktor redaman absolut:

37,1314,0lnQ

P

Q

P

x

x

x

x

Frekuensi teredam:

dtkrad

D 02,3105,0106,311 22

siklus 833,70,314

10 ln314,0

01,0

1,0ln

...ln

....1

2

1

1

kk

kx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Q

P

Q

QP

Q

P

Periode teredam:

det 2025,002,31

14,322

D

DT

Waktu untuk 8 siklus:

det 62,1det 2025,088siklus 8 DTt

Contoh 8

EI=400 KN/cm2

K = 2 N/cm

L=100 cm

c = 200 kg/dtk

m = 1000 kgTentukan solusi persamaan gerakdari struktur pada gambardisamping.

Jawab

Kekakuan balok: N/cm 1,2KN/cm 0012,0100

4003333

cmKN

L

EIk

Kekakuan balok dan pegas:

2kg/dt 320 N/cm 2,3 22,1

pegasbalokparalel kkK

Frekuensi natural: detikrad 56,0

1000

320

m

k

i

m

k

m

c

m

cp

55,01,032,001,01,0

22

2

2,1

Keadaan redaman kurang (under-damped)

55,032010004

200156,0

41

22

mk

cD

Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redamankurang (under-damped) adalah:

tSinBtCosAe

tSinBtCosAex

t

DD

tm

c

55,0 55,0 1,0

2

Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0

tCosex t 55,0 3,01,0

Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.

GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMANGetaran paksa adalah getaran yang disebabkan beban luar yang bergetar

Getaran bebas adalah getaran yang diakibatkan beban luar pada keadaanawal saja. Selanjutnya struktur bergetar bebas tanpa beban.

m

K

x

PP

K1 K2

m

Model persamaan kesetimbangan:

tSinPxkdt

xdm ..

2

2

……(41)

Persamaan (34) merupakan persamaan diferensial non-homogin. Sehinggasolusi persamaan geraknya terdiri dari:• Solusi homogin (solusi umum) yaitu solusi yang menghasilkan persamaan

gerak getaran bebas• Solusi khusus (disesuaikan dengan bentuk beban)

Bentuk solusi umum:

tm

kCosBt

m

kSinAx

tCosBtSinAx

Bentuk solusi khusus:

tSinXdt

xd

tCXdt

dx

tSinXx

2

2

2

os

……(42)

……(43)

……(44)

……(45)

Substitusi persamaan solusi khusus ke dalam persamaankesetimbangan, menghasilkan persamaan:

r

rk

P

k

PX

11

2

2

2……(46)

……(47)

Dimana X adalah amplitudo getaran dan r adalah rasio antara frekuensi bebanluar dan frekuensi alami

Sehingga, solusi persamaan gerak secara lengkap yang terdiri dari solusi umumdan solusi khus adalah

tSinrk

PtCosBtSinAx

21……(48)

RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMIS

Persamaan (41) menunjukkan bahwa bentuk solusi persamaan

gerak adalah superposisi dari getaran bebas dan getaran akibat

beban luar.

tSinrk

PtCosBtSinAx

21

Getaran bebas Getaran beban luar

Pada suku ketiga (akibat getaran beban luar), bila frekuensi

getaran luar mendekati frekuensi alami struktur, (r mendekati

1) maka nilai suku ketiga tersebut akan mendekati tak hingga.

Keadaan ini disebut resonansi.

1...00,0....9999,011 2 k

P

k

PtSin

rk

Px

22max1

1

1 rk

P

rk

Px

Nilai x maksimum akan terjadi bila:

1tSin

……(47)

Simpangan statis (xst)

Faktor pembesar dinamis 21

1

rD ……(48)

Kurva hubungan antara rasiofrekuensi dan faktor pembesardinamis

Contoh 9Suatu sistem mempunyai k = 40 lb/in dan berat benda 38,6 lb. Jika x0 = dx0/dt = 0dan gaya luar P(t) = 10 cos (10)t, tentukan persamaan geraknya dan sketsa hasilnya.

Jawab

tBtAtr

kP

x cossincos1 2

Dari persamaan (41)

tBtAtr

kPx sincossin

1

/2

.

rad/s20)6.38(

)386(4021

21

W

kg

m

knFrekuensi natural:

in.25.040

10

k

PX stSimpangan statis:

5.020

10rRasio frekuensi:

in33.025.01

25.0

)5.0(1

25.0

1

/22max

r

kPx

in 33,01

/

1

/0)0(

22 r

kPBB

r

kPx

Gunakan kondisi awal untuk menentukan A dan B

000)0(.

AAx

ttx

ttx

tBtAtr

kP

x

20cos10cos33,0

20cos33,010cos33,0

cossincos1 2

GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN

Model persamaan kesetimbangan:

tSinPkxdt

dxc

dt

xdm .

2

2

……(49)

Solusi dari persamaan kesetimbangan tersebut terdiri dari solusi

umum dan solusi khusus.

Solusi umum (solusi persamaan getaran bebas teredam)

tSinBtCosAex DD

tm

c

2

Solusi khusus (tergantung pada bentuk beban luar) bisa berbentuk fungsitrigonometri atau fungsi eksponen.

tCosCtSinCx 21

……(50)

……(51)

Atau…

ti

ti

ti

Cedt

xd

Ceidt

dx

Cex

2

2

2

……(52)

……(53)

……(54)

Substitusi pers. (51) ke pers. (49)……

cimk

PC

PkCcCiCm

2

2

.

.

……(55)

Sehingga, solusi khusus dapat ditulis:

ti

ti

ecimk

Px

Cex

2. ……(56)

Untuk menghilangkan bilangan imaginer pada ruas penyebut,maka digunakan bantuan persamaan trigonometri danEuler.Didapatkan hasil akhir:

222. cmk

Pex

i

……(57)

icr

e

rrk

Px

m

k

mkc

2222

21

2

Persamaan (57) dapat juga ditulis dalam bentuk:

……(57)

statisx

RESONANSI PADA GETARAN PAKSA

1 maksimum Nilai

xstatisSimpangan

21

st

222 i

i

ek

P

rrk

Pex

222 21

1

rr

D

Dari persamaan (57)…

Sehingga didapatkan:

Pada keadaan resonansi (r = 1)

2

1D

……(58)

……(59)

Tipe Bangunan Rasio Redaman

Rangka baja terbuka, sambungan las, dinding lenturRangka baja, sambungan las, memakai lantai dandinding sekatRangka baja, sambungan baut, memakai lantai dandinding sekatRangka beton dengan dinding lenturRangka beton dengan dinding sekatRangka beton dengan dinding bataDinding geser betonRangka kayu dan dinding geser

0,020,05

0,1

0,050,070,10,1

0,15

Tabel Nilai Rasio Redaman pada berbagai jenis strukturberdasarkan SNI-1726-2002

Contoh 10Sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W =1000 lb. Balok ini terbuat dari 2 profil standard S8 x 23 dengan bentang bersih L =12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 x 64,2 = 128,4 in4. Motorberotasi pada 300 rpm (putaran per menit), dengan ketidakseimbangan rotornyasebesar W’=40 lb pada jari-jari e0 = 10 in. Berapa besar perpindahan statis jikaredaman liat (redaman viskous) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis.

Jawab

lb/in 61920144

4,128103048483

6

3L

EIk

rad/s65,83)16000(

)386(6192021

21

W

kg

m

knFrekuensi natural:

Frekuensi beban = 300 rotasi per menit, maka

rad/s 41,3160

2300

Rasio frekuensi: 813,065,38

41,31r

Gaya luar: lb 1022386/41,3110402

P

Perpindahan statis:

in 044,0

1,0813,02813,01

61920/1022

21

222

222 rrk

Px

9

GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULS

Beban dinamik tidak selalu bergetar periodik seperti fungsi

sinus atau cosinus, tetapi dapat juga berubah secara tak tentu.

Salah satu bentuk beban dinamis adalah beban impuls, yaitu

beban yang bekerja sesaat tetapi dapat menimbulkan getaran

setelah beban tesebut dihilangkan.

P(t)

Po

tr t

Contoh bentuk-bentuk beban impuls:

Percepatan yang timbul akibat beban impuls:

m

Fdt

dt

xd2

2

Getaran yang dihasilkan akibat beban impuls adalah getaran bebas teredam.Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

tSinBtCosAem

c

dt

xd

tCosBtSinAem

c

dt

dx

tSinBtCosAex

DDDD

tm

c

DDDD

tm

c

DD

tm

c

222

2

2

2

2

2

2

4

2

……(60)

……(61)

……(62)

……(63)

2

2m

c

m

kDdengan

Masukkan syarat batas:

m

Fdt

dt

xd

dt

dxx

2

2

0 0)0(

Didapatkan:

Dm

FdtBA 0

Sehingga, solusi pers. Gerak akibat beban impuls untuksistem dengan redaman adalah:

tSinm

Fdtex D

D

tm

c

2

Dan solusi persamaan gerak untuk sistem tanpa redaman:

tSinm

Fdtx

……(64)

……(65)

F

t

x

t

GETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKS

Beban dinamis kompleks adalah jumlah dari beban impuls,sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejumlah besarbeban impuls.

Digunakan variabel waktu beban (τ) dan waktu getaran (t)untuk menjabarkan pembebanan dinamis kompleks.

Solusi persamaan gerak akibat beban impuls satuan adalah:

tSinm

Fdx ……(66)

Sehingga superposisi/gabungan dari sejumlah beban impuls

satuan menghasilkan solusi persamaan gerak:

t

dtFSinm

x0

1……(67)

Bentuk persamaan integral diatas disebut dengan integral

duhamel/integral konvolusi

BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI t = O

k

Fx

tCosk

FtCos

m

F

dtSinFm

x

st

t

0

00

0

0

0

1

1

(68)

P(t)

Po

t

Nilai maksimum dari (1-cos ωt) = 2.Sehingga nilai pembesaran simpangan adalah 2 kali simpanganstatis (xst)

Grafik hubungan pembesaransimpangan dan waktu untuksistem SDOF teredam………

BEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS

Misal:Daerah pada saat impuls masih bekerja (0 < t < td),maka td = 5/4 Tn

Daerah pada saat impuls masih bekerja (t > td),maka td = 1/8 Tn

Getaran paksa terjadi sampai interval waktu td . Setelah waktu td, terjadigetaran bebas dengan syarat awal posisi pada td.

Solusi persamaan gerak pada waktu sebelum td (0 < t < td),

tCosk

FttCos

m

F

dtttSinFm

x

dt

d

t

dd

1

1

0

0

0

0

0

Solusi persamaan gerak pada saat td (t = td),

d

d

tSink

F

dt

dx

tCosk

Fx

1

0

0

…(69)

…(70)

…(71)

Solusi persamaan gerak setelah waktu t1 (t > t1) mempunyai bentuk getaranbebas:

110

110 1

ttSintSink

FttCostCos

k

Fx

tBSintACosx

…(72)

Faktor Pembesaran Dinamis:

stx

xFBD …(73)

Untuk (0 < t < t1),

T

tCostCosFBD 211

Untuk (t > t1),

T

tCos

T

t

T

tCosFBD 22 1

…(74)

…(75)

Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator takteredam yang dibebani dengan beban merata segi empat untuk waktu terbatas:

BEBAN IMPULS SEGITIGA

untuk t 0

0untuk 1

1

1

1

1

0

0

tF

ttt

tFF

dtFSinm

x

t

Solusi persamaan geraknya menggunakanpersamaan (66)

…(76)Sehingga, untuk interval waktu 10 tt

tSint

tCost

t

k

Fx

11

11 .…(78)

.…(76)

.…(77)

Untuk interval waktu 1 tt

111

1

11

tSinttCostCostSintk

Fx .…(79)

Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator takteredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga:

Contoh 11Sebuah kerangka baja dipengaruhi gaya horizontal pada balok. Gaya brkurangsecara linier dari 5 kip pada saat t = 0 menjadi nol pada saat t = 0,6detik.Tentukan lendutan horizontal pada saat t = 0,5 detik dan lendutanhorizontal maksimum (dengan anggapan bahwa kolom tidak bermassa, baloksangat kaku dan redaman diabaikan.

Jawab

rad/s44,0120000

3862,565021

m

k

Data beban:

inlb

L

EI

L

EIkkk

2,56501220

8,8210303

1215

8,82103012

312

3

6

3

6

2

2

2

1

21

F

tt1=0,6 s

F=5 kips

Dari pers. (78) untuk t = 0,5 detik:

tSint

tCost

t

k

Fx

11

11

in 0,4072-

5,044,106,044,10

15,044,10

6,0

5,01

2,5650

5000SinCosx

Perpindahan maksimum:

Dari kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator takteredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga,

in 37,12,5650

500055,1

k

F55,155,155,1

1,55(FBD)max didapatkan kurvadr 9972,0602,0

6,0

s602,044,10

22

maxmax

1

st

st

xxx

x

T

t

T

Contoh 12Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat modeldengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bilaperpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) t1 = 0.4 s, (2) t1 = 0.04 s

Jawab

s 21,02

T

rad/s30106

1096

921

m

kFrekuensi natural:

Berdasar kurva Faktor Pembesaran Dinamis (FBD) untuk beban segitiga:

Untuk t1 = 0,4 s dan x = 5 mm = 0,005 m

NPP

k

Px

xxx

xFBD

FBDT

t

st

st

stst

6

9

max1

107,2510.9

00286,0

00286,0005,0

75,1

75,1905,1

Untuk t1 = 0,04 s dan x = 5 mm = 0,005 m

NPP

k

Px

xxx

xFBD

FBDT

t

st

st

stst

6

9

max1

106,7710.9

0263,0

0263,0005,0

19,0

58,019,0

10

SISTEM BANYAK DERAJAT KEBEBASAN

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN

Persamaan Kesetimbangan Massa 1:

021121

12

1

2

1 xxkdt

xxdc

dt

xdm .…(85)

Persamaan Kesetimbangan Massa 2:

021121

1222

22

2

2

2 xxkdt

xxdcxk

dt

dxc

dt

xdm (86)

Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:

0

0

0

0

2

1

211

11

2

1

211

11

2

2

2

2

1

2

2

1

dt

dxdt

dx

ccc

cc

x

x

kkk

kk

dt

xddt

xd

m

m

(87)

02

2

dt

dxCxK

dt

xdM (88)

Untuk redaman = 0

02

2

xKdt

xdM (89)

Solusi persamaan homogen tersebut adalah: xdt

xd 2

2

2

Dengan ω adalah frekuensi alami getaran.Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):

(90)

02 xKxM (91)

Atau:0

12 xIxMK (92)

2

1 1dan DMK

Maka diperoleh persamaan homogen: 0xID

Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melaluipersamaan penentu:

0IDDet

(93)

(94)

[D] adalahmatriks dinamis

Contoh 15

Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disamping

Jawab

Matriks kekakuan:

kk

kkKkk

kkK

3

1

3

13

1

3

4

4

1

Matriks massa:m

mM

0

0

Matriks dinamik:

k

m

k

mk

m

k

m

MKD

33

33

4

1

k

m

k

mk

m

k

m

ID

33

33

4

0333

40

2

k

m

k

m

k

mIDDet

k

m

k

m

mkmkm

mkmkm

kk

m

k

m

k

m

51,0833,0

09154

0334

30333

4

2,1

2222

2

2

m

k

k

m

m

k

k

m

,0903 323,0

,7440 343,1

2

2

2

1

Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalampersamaan gerak:

012 xIxMK

k

m

k

mk

m

k

m

MKD

33

33

4

1

Ragam 1m

k,7440 2

0

0

10

01

33

33

4

744,02

1

2

1

x

x

x

x

k

m

k

mk

m

k

m

m

k

00,1

07,3

0

0

10

01

248,0248,0

248,0992,0

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Ragam 2m

k,0903 2

0

0

10

01

33

33

4

090,32

1

2

1

x

x

x

x

k

m

k

mk

m

k

m

m

k

00,1

33,0

0

0

10

01

03,103,1

03,112,4

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Contoh 16Model bangunan penahan geser digunakan untuk kerangka seperti gambar .Tenukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.

Jawab

m1 m2

K1 K2

inkips

L

IEK

inkips

L

EI

L

EI

L

IEK

889,13in 1210

10212)2(12

028,6in 1212

10181812)2(3

3

6

3

2

1

3

6

3

1

3

1

3

1

1

indtK

g

Wm

indtK

g

Wm

2

2

22

2

2

11

1554,0

dtin386

ft 203

2073,0

dtin386

ft 402

1554,00

02073,0

0

0

2

1

m

mM

889,13889,13

889,1397,19

22

221

kk

kkkK

Dengan cara yang sama seperti contoh 15, didapatkan hasil:

2

1 1dan MKD

2) (ragam 21,170

1) (ragam 27,15

0

2

2

2

1

IDDet

012 xIxMK

206,1

00,11 Ragam

2

1

x

x

107,1

00,11 Ragam

2

1

x

x

11

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGA DERAJAT KEBEBASAN

Gaya inersia:

3

2

33

2

2

22

1

2

11

xmF

xmF

xmF

i

i

i

Gaya elastis:

333

3222

2111

XkF

XXkF

XXkF

i

E

E(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

02

0

0

32132

2333

32

3

2

3

21121

132232

22

2

2

1

21121

12

1

2

1

xxkdt

xxdcxk

dt

dxc

dt

xdm

xxkdt

xxdcxxk

dt

xxdc

dt

xdm

xxkdt

xxdc

dt

xdm

Persamaan kesetimbangan untuk masing-masing tingkat:

Dalam bentuk matriks:

0

0

0

0

0

0

0

00

00

00

3

2

1

322

2211

11

3

2

1

322

2211

11

2

3

2

2

2

2

2

1

2

3

2

1

dt

dxdt

dxdt

dx

ccc

cccc

cc

x

x

x

kkk

kkkk

kk

dt

xddt

xddt

xd

m

m

m

02

2

dt

dxCxK

dt

xdM

(104)

(102)

(103)

(101)

(105)

Untuk redaman nol:

02

2

xKdt

xdM (106)

xdt

xd 2

2

2

(107)

Dengan cara yang sama dengan sistem 2 derajat kebebasan,didapatkan nilai eigen dan vektor eigen (λ):

0IDDet (108)

Perhitungan ragam struktur dengan mencari matriks D atauinvers matriks K untuk struktur dengan banyak derajatkebebasan, sangat susah untuk dilakukan.Oleh karena itu, digunakan metode iterasi untuk mempermudahperhitungan. Metode iterasi yang biasa dipakai adalahmetode STODOLA dan HOLZER.

METODE ALTERNATIF:

02

2

xKdt

xdM

xdt

xd 2

2

2

0

0

2

2

xMK

xKxM

Nilai eigen: 02 MK

Bentuk ragam perpindahan struktur dapat diperoleh

menggunakan persamaan (109)

(109)

(110)

Contoh 17Suatu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat kebebasan tigadengan data-data seperti pada gambar. Tentukan frekuensi natural dan bentukragamnya.

Jawab

lb/in 30000

lb/in 40000

lb/in 50000

3

2

1

K

K

K

in/lb.dt 36,10kips 4

in/lb.dt 54,15kips 6

in/lb.dt 91,25kips 10

2

33

2

22

2

11

mW

mW

mW

Dalam bentuk matriks:

30000300000

300007000040000

04000090000

0

0

33

3322

221

kk

kkkk

kkk

36,1000

054,150

0091,25

00

00

00

3

2

1

m

m

m

02 MKDet

0

36,1030000300000

3000054,157000040000

04000091,2590000

2

2

2

Det

0106102173,145346360641,4169

0)]36,1030000(40000(40000)30000)(30000(

)36,1030000)(54,1570000)[(81,2590000(

1321146

2

222

rad/dtk 64,836996

rad/dtk 96,563244

rad/dtk 17,2578,633

3

2

3

2

2

2

1

2

1

0 2 xMK

Ragam 1:

0

0

0

36,1030000300000

3000054,157000040000

04000091,2590000

31

21

11

2

1

2

1

2

1

x

x

x

Ragam 2:

0

0

0

36,1030000300000

3000054,157000040000

04000091,2590000

32

22

12

2

2

2

2

2

2

x

x

x

Ragam 3:

0

0

0

36,1030000300000

3000054,157000040000

04000091,2590000

33

23

13

2

2

2

2

2

2

x

x

x

6102,12362,13551,2

2804,21490,08396,1

111

333231

232221

131211

xxx

xxx

xxx

12

METODE STODOLA

Digunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman.Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadikeseimbangan antara gaya inersia dan gaya elastis.

02

2

xKdt

xdM

xMKx

xKxM

xKxM

1

2

2

2

1

0

(111)

(112)

(113)

(114)

D Matriks dinamis

Analisa mode-mode batas:

Mode terendah: xDx2

1

Mode tertinggi: KMExEx12

Mode antara

DSD nn 1

0SISn

0S Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah.Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat daribentuk ragam mode 1

0000

0000

0000

.... 11223344

0

xmxmxmxm

S

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)Misal, untukgedung 4 lantai:

METODE HOLZER

Perbedaan pokok metode Stodola dan Holzer:•Cara Holzer memakai perumpamaan pada naturalfrequency•Cara Holzer dapat menentukan mode ke-n yangdikehendaki tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1)terlebih dahulu.

Persamaan dasar cara Holzer: xKxM2(120)

Contoh 18

Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k sepertipada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam strukturtersebut.

Menyusun matriks kekakuan:

520

231

011

0

0

122

2233

33

kkk

kkkk

kk

kK

222

255

2511

6

11

KKF

Matriks Fleksibilitas:

Matriks massa:

300

040

006

6

1

200

05,10

001

00

00

001

3

2

1

mM

m

m

m

mM

Matriks dnamis: MFD

432

45,75

45,711

6200

05,10

001

222

255

2511

6 k

m

k

mD

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:

xDx2

1

Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:

3,0

5,0

1

x

Iterasi-1:

2947,0

6238,0

1

6

95,15

7,4

95,9

95,15

63,0

5,0

1

432

45,75

45,711

6 k

m

k

m

k

m

Iterasi-2:

konvergen. x nilaidengan sampai

.....!

2996,0

6441,0

1

6

8573,16

0502,5

8573,10

8573,16

62947,0

6238,0

1

432

45,75

45,711

6

dst

k

m

k

m

k

m

Pada iterasi ke-7 didapatkan:

3019,0

6485,0

1

6

0714,17

1531,5

0714,11

0714,17

63019,0

6485,0

1

432

45,75

45,711

6 k

m

k

m

k

m

2

1 Bentukragam

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3:

KMExEx12

1560

8124

066

6520

231

011

300

040

006

6 m

k

m

kE

Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:

1

1

1

x

Iterasi-1:

75,1

2

12

21

24

12

61

1

1

1560

8124

066

6 m

k

m

k

m

k

Iterasi-2:

konvergen. x nilaidengan sampai

.....!

13,2

33,2

13

25,38

42

18

675,1

2

1

1560

8124

066

6

dst

m

k

m

k

m

k

Iterasi-1:

Pada iterasi ke-10 didapatkan:

2Bentuk

ragam

44,2

54,2

1

6

25,21

82,51

54

25,21

644,2

54,2

1

1560

8124

066

6 m

k

m

k

m

k

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode

antara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):

000

000

5,087,01

000

000

1

000

00033

11

33

22

33

11

33

22

33

33

0

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

S

100

010

5,087,00

000

000

5,087,01

100

010

001

01 SIS

326,10

5,115,30

5,107,20

6

100

010

5,087,00

432

45,75

45,711

612

k

m

k

mSDD

xxD22

1Persamaan iterasi:

19,1

3,1

1

6

57,3

26,4

65,4

57,3

61

1

1

326,10

5,115,30

5,107,20

6 k

m

k

m

k

m

Iterasi 1:

Iterasi 2:

16,1

31,1

1

6

48,4

26,4

65,4

57,3

619,1

3,1

1

326,10

5,115,30

5,107,20

6 k

m

k

m

k

m

Dst…Sampai nilai (x) konvergen.

m

k

m

k

k

m3453,1

48,4

6

6

48,41 2

22

2 15,1

32,1

1

2x

Note:Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai

(gunakan nilai (x) dari mode 2)

xxD

DSD

SSS

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

xm

S

23

223

112

44

11

44

22

44

33

44

11

44

22

44

33

44

44

1

1

'

0

00

0

0

0

0

0

0000

1

0

00

0

0

0

0

0

0000'

METODE HOLZER

Mode 1

Mode 2

Mode 3

13

PERSAMAAN GERAK DENGAN METODE ENERGI

Selain dengan persamaan keseimbangan, persamaan

gerak getaran juga dapat diturunkan dengan metode

energi.

Berdasarkan hukum kekekalan energi maka energi

gerak timbul akibat perubahan dari energi regangan,

energi kinetik dan energi redaman.

Untuk kasus getaran bebas tanpa redaman, energi

yang terlibat adalah energi regangan dan energi

kinetik dari massa yang mendapat percepatan.

Energi regangan pada pegas yang berdeformasi dari

posisi seimbang adalah:

2

2

1kxE (121)

2

2

1kxE

P = kx

x

Energi kinetik dari massa yang

mendapat percepatan : dtdv2

2

22

2

1

2

1

dt

xdm

dt

dvmV

Energi total:2

2

22

2

1

2

1

dt

xdmkx

(122)

(123)

karena variasi energi sama dengan nol, maka didapatpersamaan

0 02

2

dt

xdmkx (123)

Energi regangan pada balok atau tiang kantilever denganperpindahan ujung tempat massa terpusat X adalah:

y

X x = X

22//

0

2

2

2

02

1)(

2

1

2

1KXdyXEIdy

dy

xdEIE

lL

dyEIK

L 2

0

//

K = konstanta pegas balok dinyatakan dalam fungsiragam

x

(124)

(125)

Besar energi kinetik jika massa terpusat diujung adalah:

2

2

22

2

1

2

1

dt

Xdm

dt

dvmV

dengan prinsip kekekalan energi, didapat persamaankeseimbangan:

02

2

dt

XdmKX

(126)

(127)

MODEL GERAK BENDA KAKU DAN TUMPUAN ELASTIS

y

x X(t)

L

Gerakan struktur, selaindisebabkan sifat elastis struktur,juga disebabkan sifat elastistumpuannya.Bila struktur dianggap kaku,maka simpangan salah satu titikdapat digunakan untukmenghitung simpangan di titiklain.X

L

yx (128)

Jika pusat massa pada posisi y, maka percepatan massa adalah:

2

2

2

2

2

2

dt

Xd

L

yX

L

y

dt

d

dt

xd(129)

Sehingga, persamaan kesetimbangan menjadi:

0

0

2

22

2

2

KXdt

Xd

L

ym

KXLydt

Xd

L

ym

m

k

y

L

tBtAX cossin

(130)

(131)

(132)

Contoh 19

Scan Teknik gempa hal 77

Sebuah balok kaku terdiri dari tumpuan sendi dan pegas, duamassa dan satu redaman.Jika koordinat umum diwakili oleh simpangan X, maka simpangandari massa 1 adalah (-0,25X), simpangan massa 2 adalah (0,25X)dan simpangan redaman sebesar (0,5X), maka didapat persamaangerak:

0425,025,025,02

2

22

2

1 kXadt

dXca

dt

Xdma

dt

Xdma

……(133)

Atau:

0425,02

2

21 Xakdt

dXac

dt

Xdmma ……(134)

Atau:0**

2

2* XK

dt

dXC

dt

XdM ……(135)

Dimana M* adalah massa umum, C* adalah redaman umum danK* adalah kekakuan bersama.

SISTEM MASSA TERDISTRIBUSITidak semua bangunan dapat dimodelkan dengan sistemmassa terpusat pada beberapa titik.Beberapa bangunan (seperti menara), memiliki masa yangterdistribusi pada seluruh bangunan. Namun sistem ini tetapdapat bergetar dengan beberapa ragam getar

Pada sistem massa terdistribusi ini, fungsi ragam getardinyatakan dalam rasio terhadap salah satu titik patokan yaitu:

X(y,t) = f(y).X0(t)

f(y) adalah fungsi ragam,X(y,t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik y,X0(t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titikpatokan yang mewakili getaran bersama

(136)

Simpangan pada titik patokanX0, kemudian dinyatakandalam persamaan gerakharmonis yaitu:

tBtAX cossin0

……(137)

jika fungsi ragam diketahui dan ini tidak dipengaruhi olehvariabel-t, maka persamaan gerak dapat dinyatakan dalamkoordinat umum yaitu X0.Untuk mencari massa umum, redaman umum dan kekakuanumum, digunakan metode emergi

contoh 20sebuah kolom kantilever prismatis dengan massa danredaman terdistribusi

Gerakan selama getaran adalah:

X(y,t) = f(y)X0(t)

Energi regangan akibat simpanganelastis adalah:

2

0

2

2

22

2

2

02

1

2

1Xdy

dy

fdEIdy

dy

xdEIV

H

Energi ini harus sama dengan energi regangan kekakuan umumK* yaitu:

2

0

*

2

1XKV

……(138)

……(139)

……(140)

Dari persamaan energi ini dapat diperoleh nilai kekakuanumum:

dydy

fdEIK

H 2

0

2

2*

Dengan cara yang sama didapat nilai redaman umum C* danmassa umum M*

dydy

dfcC

H 2

0

* dymfM

H

0

2*

……(141)

……(142) ……(143)

Persamaan getaran bebas sistim massa dan redaman terdistribusisekarang dapat dinyatakan dalam persamaan gerak satu derajatkebebasan yaitu

00

*0*

2

0

2* XK

dt

dXC

dt

XdM

Berdasarkan fungsi ragam yang dipilih, persamaan ini berlakuuntuk ragam pertama atau ragam yang lebih tinggi.

……(144)

dipilih fungsi ragam pertama……

H

yyf

2cos1

H

y

Hdy

df

2sin

2

H

y

Hdy

fd

2cos

2

2

2

2

8322

cos1

2

0

* mHdy

H

ymM

H

Massa umum:

3

42

4

0

*

322cos

2 H

EIdy

H

y

HEIK

H

Kekakuan umum:

Hcdy

H

y

HcC

H

82sin

2

22

2

0

*Redaman umum:

Selanjutnya persamaan gerak akan memiliki model samadengan model bandul satu derajat kebebasan denganredaman. M*, K*, dan C* adalah massa umum, kekakuan-umumdan redaman umum dari sistem

Besaran umum: Massa umum ini nilainya bergantung pada fungsi ragam

dan fungsi massa. Jadi ada perbedaan antara massaumum pada ragam pertama dan ragam kedua.

Dengan memakai hasil dari sistem bandul sederhanauntuk getaran bebas, maka akan diperoleh nilai frekuensialami sistim terdistribusi

*

*

M

K2

*

*

*

*

2M

C

M

KD

Tanpa redaman Dengan redaman

……(145) ……(146)

Ragam pertama tanpa redaman

8322

cos1

2

0

* mHdy

H

ymM

H

3

42

4

0

*

322cos

2 H

EIdy

H

y

HEIK

H

14

KOMBINASI RAGAM

Getaran aktual struktur merupakan kombinasi beberaparagam getaran

Salah satu cara mengkombinasikan melalui analisis ragam

Analisis ragam didasarkan pada sifat ortogonal ragam yangmerupakan eigen-vektor dari persamaan gerak simultansistim dengan banyak derajat kebebasan. Sifat ortogonalantara dua ragam dinyatakan dalam bentuk:

sifat ortogonal ragam-i danragam-j dengan massa

sifat ortogonal ragam-i danragam-j dengan kekakuan

(147)

(148)

Persamaan kesetimbangan sistem dengan banyakderajat kebebasan:

02

2

dt

dxCxK

dt

xdM

Dimana:

……(149)

……(150) ……(151)

……(152)

……(153) ……(154) ……(155)

Gaya inersia =

12

2

XXdt

dm g

Merupakan variabelyang dipengaruhi olehpercepatan pondasi

……(156)

Percepatan Akibat Beban Gempa

Gaya elastis = K(X1 + Xg) – (X2 + Xg) = K(X1 - X2)(Merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh simpanganpondasi)

Simpangan relatif dan simpangan absolutJika percepatan terjadi akibat gempa ataupergerakan horizontal tanah maka (x)adalah nilai perpindahan relatif, dan (X)adalah nilai perpindahan absolut.Hubungan keduanya adalah:

gxxX

X

x

xg

X

xg

X

Perpindahan absolut mempengaruhi gayainersia, dan perpindahan relatifmempengaruhi gaya elastis dan gayaredaman antar tingkat.

……(157)

Matriks Persamaan Kesetimbangan:

02

2

2

2

dt

dxCxK

dt

xd

dt

xdM

g

2

2

2

2

dt

xdM

dt

dxCxK

dt

xdM

g

……(158)

……(159)

2

2

211

21

12

1

2

1

)(

dt

xdmxxk

dt

xxdc

dt

xdm

g

Persamaan kesetimbangan massa 1:

Dst……Sehingga persamaan kesetimbangan massa total:

2

2

2

2

2

2

3

2

1

322

2211

11

3

2

1

322

2211

11

2

3

2

2

2

2

2

1

2

3

2

1

0

0

0

0

00

00

00

dt

xddt

xddt

xd

m

dt

dxdt

dxdt

dx

ccc

cccc

cc

x

x

x

kkk

kkkk

kk

dt

xddt

xddt

xd

m

m

m

g

g

g

……(160)

……(161)

PERCEPATAN GEMPA PADA SDOF……Gaya gempa pada bangunan berasal dari gaya inersia karena massa bagunanmendapat persepatan tanah. Jika percepatan tanah yang dirambatkan olehgempa berubah menurut fungsi waktu, maka gaya gempa juga berubah.

xg

x

x

FD

FE

Fi

gxxX

kxF

dt

dxcF

dt

xdm

dt

xdm

dt

XdmF

E

D

g

i 2

2

2

2

2

2

.…(80)

.…(81)

.…(82)

.…(83)Persamaan kesetimbangan:

2

2

2

2

2

2

2

2

0

dt

xdmkx

dt

dxc

dt

xdm

kxdt

dxc

dt

xdm

dt

xdm

g

g

.…(84)

Salah satu metode untuk mencari besarnya nilai xg adalah memakai kurvaspektrum respon sistem elastis untuk gempa El Centro 1940…..

Besarnya peerpindahan tanah juga dapat dicari dengan menggunakanspektrum dasar rencana yang dinormalisasi untuk 1,0 g

Contoh 21Sebuah struktur dengan model sistem massa-pegas seperti gambar, dianggapdipengaruhi pada penyokongnya oleh gempa bumi El Centro 1940. Anggaplahstruktur ini bersifat elastis dan gunakan grafik spektrum respon yang tepat untukmendapatkan perpindahan relatif maksimum antara massa dan penyokong. Jugahitung gaya maksimum yang bekerja pada pegas. Abaikan redaman.

Jawab

spd 0,442 2

778,2

2f

rad/s778,2400

386821

m

kFrekuensi natural:

Dari gambar respon spektrum, didapatkan SD = 11 in

kips 88118max Ds SKF

Contoh 22Sebuah struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyaifrekuensi natural T = 0,5 s. Gunakan metode spektrum respon untuk menentukanpercepatan absolut maksimum , perpindahan relatif maksimum dan kecepatanpalsu maksimum pada daerah elastis untuk:a) Gerakan pondasi yang sama dengan gempa bumi El Centro 1940b) Spektrum rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0,3g (abaikan

redaman).

Jawab

a) Dari kurva respon spektrumgempa El Centro dengan f = 1/T= 1/0,5 = 2 spd

g 63,1S

in/det 3,50S

4S

0

rad/s566,122

f

a

V

D in

b) Dari kurva respon spektrumrencana dengan f = 2 spd, ξ = 0dan percepatan tanah maksimum0,3g

g 96,13,063,1S

in/det 603,0200S

8,43,016S

a

V

D in

PERCEPATAN GEMPA PADA MDOF……

W2 = 50 lb/ft

W1 = 100 lb/ft10'

15'

W 10 x 21

W 10 x 45

30'

Contoh 23

Bangunan kerangka baja sederhana kaku.Berat lantai dan dinding dianggap termasukberat struktur lainnya. Bangunandimodelkan sebagai bangunan penahangeser dengan spesifikasi struktur terterapada gambar. Bila kerangka tersebutdipengaruhi secara tiba-tiba olehpercepattan konstan sebesar 0,28g padadasar pondasi. Hitung besarnyaperpindahan maksimum yang terjadi padamasing-masing lantai.

Jawab

Dengan cara yang sama seperti pada contoh 15 atau 16, didapatkanharga frekuensi natural dan bentuk ragam:

629,1

1

263,1

1

/ 9,321082

/ 8,11140

22

12

1

21

11

1

1

2

2

1

2

1

dtkrad

dtkrad

Kekakuan kolom :

lb/in 4430012.10

2.3,106.10.30.12

lb/in 3070012.15

2.6,248.10.30.12

212

3

6

2

3

6

1

3

K

K

L

IEK

Pola normal dari bentuk ragam:

0924,008,311

6287,1 06437,0

08,311

1

0813,031,241

263,1 06437,0

31,241

1

08,311)629,1(66)1(136.2 mode

31,241)263,1(66)1(136.1 mode

.

1112

2111

22

1

22

1

1

1

aa

aa

m

m

m

a

n

k

kjk

n

k

kjk

n

k

kjk

ij

Mendapat percepatan konstan sebesar 0,28 g paa dasar pondasi:

det2

2

47,108386.28,0 ing

dt

xd

Faktor partisipasi:

613,1

12,14

2

222

2

121

2221212

2

212

2

111

2121111

amam

amam

amam

amam

Persamaan kesetimbangan:

tygg

tygg

dt

xdmxkxk

dt

xdm

dt

xdmxkxkk

dt

xdm

s

s

g

g

..

2

2

2

..

2

..

1

2

1

..

1

2

2

222122

2

2

2

2

2

1221212

1

2

1

Sehingga,

47,1081082

47,108140

2

..

2

1

..

1

gg

gg

Masukkan kondisi batas dengan memisalkan perpindahan dan kecepatan padaawal gerakan = 0. Karena gaya impuls bersifat konstan, maka persamaan responperpindahan adalah:

P(t)

Po

t

tyty st cos1

ttg

ttg

89,32cos11082

47,108

83,11cos1140

47,108

2

1

tttutu

tgatgatu

tttu

tgatgatu

89,32cos015,083,11cos9,0874,0

89,32cos009,083,11cos704,07135,0

12

222212112

1

212211111

Perpindahan maksimum yang terjadi:

in 800,1max

in 409,1max

1cosmax

maxmaxmax

maxmaxmax

2

1

2

2222

2

12112

2

2122

2

11111

u

u

tg

gagau

gagau

15