DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

1

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKTujuan Instruktusional :

Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas

Daftar Materi Pembahasan :

1. Diferensiasi parsial

2. Derivatif dari derifatif parsial

3. Nilai ekstrim : maksimum dan minimum

4. Optimalisasi bersifat : pengganda lagrange

I. Diferensiasi parsial

Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f(x) maka y( = dy / dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan. Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y( yaitu y( = dy/dx dan y( = dy/dz. Untuk membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z.

Contoh :

Y = 3 x2 8xz 5 z2 maka Fx = dy/dx = 6x 8z

dan

Fz = dy/dz = -8x 10 z

II. Derivatif dari derivatif parsial

Seperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebaspun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut.

Contoh :

Y = x3 + 5 z2 4 x2z 6 xz2 + 8z 7

Turunan 1

Turunan 2

Turunan 3

Fx = dy / dx = 3 x2 8xz 6 z2 Fxx = d2y /dx2 = 6x 8z

Fxxx = d3y / dx3 = 6

Fxxz = d3y / dx2dz = -8

Fxz = d2y / dxdz = - 8x 12z

Fxzx = d3y / dx2dz = -8

Fxzz = d3y / dxdz2 = -12

Fz = dy / dz = 10 z 4 x2 ( 12 xz Fzx = d2y / dzdx = -8x 12 z

Fzxx = d3y/ dzdx2 = -8

Fzxz = d3y/ dz2dx = -12

Fzz = d2y / dz2 = 10 12x

Fzzx = d3y/ dz2dx = -12

Fzzz = d3y/ dz3 = 0

Sekarang turunan turunan parsial ketiga ini tidak dapat diturunkan lagi karena masing masing hanya mengandung konstanta.

III. Nilai ekstrim : maksimum dan minimum

Nilai ekstrim dari (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan penguian sampai derivatif keduanya :

Untuk y = f (x,z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

Fx = dy / dx = 0 dan Fz = dy / dz = 0

Syarat diatas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut titik maksimum atau minimum, digunakan syarat yang harus dipenuhi yaitu :

Maksimum bila Fxx = d2y / dx2 < 0 dan Fzz = d2y / dz2 < 0

Minimum bila Fxx = d2y / dx2 > 0 dan Fzz = d2y / dz2 > 0

Contoh :

Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : y = -x2 + 12x z2 + 10z 45

Jawab :

Fx = -2x +12 = 0

y = - 62 + 12 . 6 52 + 10 . 5 45 = 16

2x + 12 = 0

Fxx = -2 < 0 dan Fzz = -2 < 0

2x = 12 maka x = 6

karena Fxx dan Fzz < 0 maka titik

Fz = -2z + 10 = 0

ekstrimnya adalah titik maksimum

2 z + 10 = 0

dengan y maks = 16

2z = 10 maka z = 5

Latihan :

Selidikilah titik maksimum ataukah titik minimum, dan berapa nilai titik maks atau min tersebut dari persamaan berikut :

1. y = 3x2 18 x + z2 8 z + 50

2. p = 4 q2 6 q2r + 3 qr2 + 3 r2 + 5

3. y = 2x2 20 x + z2 8 z + 78

IV. Optimasi bersyarat : Pengganda Lagrange

Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi mengahadapi kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya hendak mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas, atau ingin memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk yang dapat dihasilkan.

Pengganda Lagrange

Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala).

Contoh :

Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala x2 + y2 = 8

Jelaskan pula nilai ekstrimnya.

Jawab :

Fungsi Lagrange = F = 2x + 2y + (( x2 + y2 8 ) = 2x + 2y + x2 (+ y2( 8(Agar ekstrim F( = 0

Fx = 2 + 2x( = 0 diperoleh ( = -2/2x = -1/x(1)

Fy = 2 + 2y( = 0 diperoleh ( = -2/2y = -1/y(2)

Berdasarkan (1) dan (2) : -1/x = -1/y atau x = y

Menurut fungsi kendala x2 + y2 = 8 jika x = y maka x2 + x2 = 8

2x2 = 8

x2 = 4

x = ( 2 berarti y = ( 2

Karena x = y = ( 2 maka z = ( 22 + ( 22 = 8

Penyidikan nilai ekstrim :

Untuk x = y = 2 maka ( = -1/x = -1/y = -1/2

Fxx = 2( = 2. 1/2 = -1 < 0

karena Fxx dan Fyy < 0 maka nilai

Fyy = 2( = 2. 1/2 = -1 < 0

ekstrimnya adalah maksimum

Untuk x = y = -2 maka ( = -1/x = -1/y = 1/2

Fxx = 2( = 2. 1/2 = 1 > 0

karena Fxx dan Fyy > 0 maka nilai

Fyy = 2( = 2. 1/2 = 1 > 0

ekstrimnya adalah minimum

Latihan :

1. Maksimumkan f (r,s ) = r2 10 s2 terhadap r s = 18

2. Optimumkan z = 4x 2y dengan syarat x2 - y2 = 20

3. Minimumkan f (x,y) = 4x2 + 5y2 6y jika x + 2y = 18

Matematika BisnisTri Wahyono, SE. MM..Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

111