determin an
DESCRIPTION
freeTRANSCRIPT
DETERMINAN
Bentuk determinan :
Orde determinan tergantung dari jumlah baris dan kolom, misalnya determinan orde kedua berarti ada dua baris dan dua kolom. (m=n=2)
Determinan diperkenalkan dan digunakan dalam kaitannya dengan sistem persamaan linier, misalnya determinan orde kedua dapat diperkenalkan dan digunakan dalam kaitannya dengan sistem dari dua persamaan linier.
Tinjau sistem persamaan linier sebagai berikut :a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
dalam dua peubah x1, x2 yang tak diketahui. Biasanya persoalan demikian dipecahkan dengan cara sebagai berikut : Kalikan persamaan pertama dengan a22, persamaan kedua dengan –a12 dan dijumlahkan.
Hasil yang diperoleh adalah : (a11a22 – a21a12)x1 = b1a22 – b2a12
Kemudian kalikan persamaan pertama dengan - a21, persamaan kedua dengan a11 dan dijumlahkan. Hasil yang diperoleh adalah :
(a11a22 – a21a12)x2 = b2a11 – b1a21
Bila (a11a22 – a21a12) tidak nol, maka kita boleh membagi dan mendapatkan hasil yang diminta, yaitu :
Pernyataan dalam penyebut ditulis dalam bentuk :
Dan disebut determinan orde kedua, jadi :Keempat bilangan a11, a12, a21, a22 disebut unsur atau elemen dari determinan. Unsur-unsur
di garis horizontal membentuk baris dan unsur-unsur di garis vertikal membentuk kolom dari determinan.
Penulisan penyelesaian x1 dan x2 dapat dituliskan lebih mudah dalam bentuk :
Dengan,
Rumus ini disebut aturan Cramer. Perhatikan bahwa D1 diperoleh dengan mengganti kolom pertama dari D oleh kolom dengan unsur-unsur b1, b2 dan D2 diperoleh dengan mengganti kolom kedua dari D dengan kolom tadi.Jika b1 dan b2 keduanya nol, sistem dikatakan homogen. Dalam hal ini, sistem itu paling sedikit mempunyai penyelesaian x1 = 0 dan x2 = 0. Sistem itu mempunyai penyelesaian lain jika dan hanya jika D 0.Jika paling sedikit satu dari b1 dan b2 tidak nol, maka sistem itu dikatakan tak homogen. Jadi jika D 0, maka sistem itu mempunyai tepat satu penyelesaian.
Latihan :Carilah nilai x dan y dengan cara determinan :
4x – 3y + 20 = 03x + 2y - 2 = 0
Determinan Orde KetigaSebuah determinan orde ketiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom, yaitu :
Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan MINORnya, yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut.Misalnya, minor dari a11 adalah
Yang diperoleh dari
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
dan seterusnya. Dengan cara yang sama untuk mendapatkan minor dari a22, kita tinggal membuang baris dan kolom yang memuat a22, sehingga minornya adalah :
Menghitung determinan orde ketiga Untuk menghitung determinan orde ketiga, kita tuliskan elemen-elemen dari baris yang atas, kemudian masing-masing kita kalikan dengan minornya dan kita berikan tanda plus dan minus bergantian pada suku-sukunya.
Selanjutnya kita sudah tahu bagaimana menyelesaikan determinan orde kedua, yaitu dengan mengalikannya secara diagonal.
Latihan :Hitunglah :
Sebetulnya, jika kita mau, kita boleh menguraikan determinan atau sembarang baris atau kolom dengan cara yang serupa, yaitu kita kalikan masing-masing elemen dengan minornya, asal saja pada masing-masing perkalian kita berikan tanda + atau – yang sesuai. Tanda tempat yang sesuai diberikan oleh :
+ - + - + … …- + - + - … …+ - + - + … …- + - + - … …dst…, dst.
Elemen kunci (pada sudut kiri atas) selalu +. Yang lainnya bergantian + atau – bila kita bergerak sepanjang baris atau turun sepanjang kolom.
Determinan orde ketiga muncul dalam kaitannya dengan sistem dari tiga persamaan linear, yaitu :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Dengan cara yang sama untuk menghitung dua persamaan linear, diperoleh :
Dengan :
Kesejalanan suatu sistem persamaanTinjaulah suatu sistem tiga persamaan dengan dua variabel.
3 x - y – 4 = 0 (i)2 x + 3 y – 8 = 0 (ii) x – 2 y + 3 = 0 (iii)
Jika persamaan (ii) dan (iii) kita pecahkan dengan cara biasa, maka kita peroleh x = 1 dan y = 2. Seandainya sekarang hasil ini kita masukkan ke dalam ruas kiri persamaan (i), kita dapatkan bahwa 3 x – y – 4 = 3 – 2 – 4 = -3 (dan bukan 0 seperti yang diminta oleh persamaan tersebut). Jadi jawab persamaan (ii) dan (iii) tidak memenuhi persamaan (i). Ketiga persamaan itu tidak mempunyai pemecahan bersama. Jadi ketiga persamaan tidak sejalan (tidak konsisten). Tidak ada harga x dan y yang memenuhi ketiga persamaan itu secara serempak.Jika suatu sistem persamaan sejalan, mereka tentu mempunyai pemecahan bersama.Sekarang tinjaulah ketiga persamaan berikut :
3 x + y – 5 = 0 (i)2 x + 3 y – 8 = 0 (ii) x – 2 y + 3 = 0 (iii)
Seperti tadi, pemecahan persamaan (ii) dan (iii) adalah x = 1 dan y = 2. Substitusi hasil ini ke dalam persamaan (i) memberikan :
3x + y –5 = 3 + 2 – 5 = 0yang berarti bahwa ketiga persamaan itu memiliki pemecahan bersama, yaitu x = 1 dan y = 2. Ketiga persamaan itu dikatakan sejalan.Untuk kasus yang umum yaitu :
a11 x + a12 y + b1 = 0 (i)a21 x + a22 y + b2 = 0 (ii)a31 x + a32 y + b3 = 0 (iii)
akan sejalan jika determinan yang dibentuk dari semua koefisiennya sama dengan nol.Contoh : Tentukanlah harga k agar persamaan berikut sejalan (konsisten)
3 x + y + 2 = 0 4 x + 2 y – k = 0 2 x – y + 3k = 0
agar sejalan maka determinan dari semua koefisiennya harus nol, yaitu :
3(6k – k) – 1 (12k + 2k) + 2(-4-4) = 0 15k – 14k – 16 = 0 k – 16 = 0 k = 16Latihan soal :
Tentukanlah nilai k agar persamaan berikut sejalan 1. x + (k+1)y + 1 = 0 2. x + y - k = 0
2kx + 5 y – 3 = 0 kx – 3 y + 11 = 0 3x + 7 y + 1 = 0 2x + 4 y – 8 = 0
Determinan berorde n Suatu determinan orde n mempunyai bentuk :
Dan didefinisikan untuk n = 1 oleh D = a11 dan untuk n 2 olehD = aj1Cj1 + aj2Cj2 + …………..+ajnCjn (j = 1,2, ……, atau n)
atau D = a1kC1k + a2kC2k + …………..+ankCk (k=1,2, ……, atau n)
denganCjk = (-1)j+k Mjk
Mjk merupakan determinan berorde n-1, yaitu minor dari elemen ajk. Cjk merupakan kofaktor (minor bersama tanda tempatnya) ajk di dalam D.
Sifat Umum DeterminanMenjabarkan determinan yang elemen-elemennya sangat banyak akan sangat menjemukan, tetapi bila kita mengetahui sifat-sifat determinan, kita dapat menyederhanakan perhitungannya. Berikut ini diberikan beberapa sifat pokok determinan.
Teorema 1 (tranposisi)Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris-barisnya ditulis sebagai kolom-kolomnya dalam urutan yang sama.
Teorema 2 (Perkalian oleh suatu konstanta)Jika semua unsur dari satu baris (atau satu kolom) dari suatu determinan dikalikan oleh faktor k yang sama, maka nilai dari determinan yang baru, sama dengan k kali nilai determinan yang diketahui.
Teorema 3 Jika semua unsur dalam suatu baris (atau suatu kolom) dari suatu determinan adalah nol, maka nilai determinan itu sama dengan nol.
Teorema 4Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau suatu kolom) dari suatu determinan dinyatakan sebagai suatu binomial, maka determinan itu dapat ditulis sebagai jumlah dari dua determinan.
Teorema 5 (Penukaran baris atau kolom)Jika sebarang dua baris (atau dua kolom) determinan dipertukarkan, maka nilai determinan itu dikalikan dengan –1.
Teorema 6 (Baris-baris atau kolom-kolom yang sebanding)Jika unsur-unsur yang berkaitan dari dua baris (atau dua kolom) suatu determinan adalah sebanding, maka nilai determinan itu sama dengan nol.
Teorema 7 (Penambahan baris atau kolom)Nilai suatu determinan tidak berubah jika unsur-unsur dari suatu baris (atau kolom) diubah dengan menambahkan pada unsur-unsur tadi sebarang konstanta kali unsur-unsur yang berpadanan dari sebarang baris (atau kolom secara berturut-turut) lainnya.
Contoh penggunaan teorema 7
Contoh penggunaan teorema 2 dan teorema 7
Contoh :
Carilah nilai x dari determinan orde 3 berikut :
Jawab :
Untuk jenis pertanyaan ini, kita coba mendapatkan faktor yang sama, jika mungkin. Sebagai contoh, jika baris 2 dan 3 kita tambahkan pada baris 1, kita peroleh :
Keluarkan faktor yang sama (x + 2)Jika kolom 2 dan kolom 3 kita kurangi dengan kolom 1, maka :
Penjabaran sepanjang baris atas mengubahnya menjadi determinan orde kedua :
Jika determinannya kita buka, maka diperoleh :(x+2)[(x-4)(x+1)-4] = 0(x+2) (x2 – 3 x – 8) = 0
x+2 = 0 atau x2 – 3x – 8 = 0yang akhirnya memberikan x = -2 atau x = 0,5 (3 41)
Latihan Ujian :
1. Hitunglah :
2. Carilah harga x dengan cara determinan jika diberikan :2 x + 3 y - z – 13 = 0 x – 2 y + 2 z + 3 = 03 x + y + z – 10 = 0
3. Gunakanlah determinan untuk memecahkan secara lengkap : x - 3 y + 4 z – 5 = 02 x + y + z - 3 = 0
4 x + 3y + 5z – 1 = 0
4. Carilah harga k agar persamaan-persamaan berikut sejalan3 x + 5 y + k = 02 x + y - 5 = 0
(k+1) x + 2y – 10 = 0
5. Pecahkanlah persamaan :
Soal-soal lanjutan (tugas mandiri)
1. Hitunglah :
2. Hitunglah :
3. Pecahkan dengan cara determinan4 x – 5 y + 7 z = -149 x + 2 y + 3 z = 47 x - y - 5 z = 11
4. Gunakanlah determinan untuk memecahkan sistem persamaan4 x – 3 y + 2 z = -76 x + 2 y - 3 z = 33
2 x - 4 y - z = -3
5. Pecahkan dengan cara determinan3 x + 2 y - 2 z = 164 x + 3 y + 3 z = 2
2 x - y + z = -16. Carilah harga agar persamaan-persamaan berikut sejalan
5 x + (+1) y - 5 = 0 (-1) x + 7 y + 5 = 0 3 x + 5 y + 1 = 07. Tentukanlah harga k agar persamaan-persamaan berikut memiliki pemecahan
4 x - (k-2) y - 5 = 0 2 x + y - 10 = 0 (k+1) x - 4 y – 9 = 0
8. (a) Carilah harga-harga k yang memenuhi persamaan
(b) Faktorkanlah
9. Pecahkanlah persamaan
10. Carilah harga-harga x yang memenuhi persamaan11. Nyatakanlah12. Suatu jaringan resistif menghasilkan persamaan
2(i3 – i2) + 5(i3 – i1) = 24(i2 – i3) + 2 i2 + (i2 – i1) = 05 (i1 – i3) + 2 (i1 – i2) + i1 = 6
Sederhanakanlah persamaan tersebut dan kemudian gunakanlah determinan untuk memperoleh harga i2 teliti sampai dengan dua angka berarti.
13. Tunjukkanlah bahwa (a + b + c) adalah faktor dari determinan
14. Carilah harga k agar persamaan-persamaan berikut sejalan x + (1+k) y + 1 = 0(2 + k)x + 5 y – 10 = 0 x + 7 y + 9 = 0
15. Nyatakanlah
16. Pecahkanlah persamaan
17. Jika x, y, z memenuhi persamaan(0,5 M1 + M2) x – M2 y = W-M2 x + 2 M2 y + (M1 – M2) z = 0 -M2 y + (0,5M1 + M2) z = 0
Hitunglah x dinyatakan dalam W, M1 dan M2
18. Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan2 i1 + 3 i2 + 8 i3 = 306 i1 - i2 + 2 i3 = 43 i1 – 12 i2 + 8 i3 = 0
Dengan menggunakan determinan, carilah harga i1 dan dari sini carilah pemecahan lengkap ketiga persamaan tersebut.
19. Jika k(x-a) + 2x – z = 0 k(y-a) + 2y – z = 0 k(z-a) – x – y + 2 z = 0
tunjukkanlah bahwa x = [ak(k+3)]/[k2 +4k+2]
20. Carilah suatu sudut di antara = 0 dan = yang memenuhi persamaan