deret taylor

MODUL 5

DERET TAYLOR, MACLAURIN DAN BINOMIAL

5.1. Deret Taylor

Suatu fungsi dan turunannya,

kontinyu dalam interval dan ,

maka untuk disekitar ,yaitu , dapat diekspansikan sebagai

sebuah deret Taylor (berbentuk polinom), yaitu :

5.2 Deret Maclaurin

Untuk , maka pers.(5.1) menjadi

.

Pers.(5.2) disebut deret Maclaurin, dgn .

Contoh 1.

Uraikan fungsi kedalam deret Maclaurin.

Jawab :

Masukkan x = 0, maka f(0) = a + 0 + 0 + 0 + ........... a = f(0)Um

Diferensialkan: f '(x) = b + c.2x + d.3x2 + e.4x3 + f.5x4 + ..........

Masukkan x = 0, maka f' (0) = b + 0 + 0 + ...........+....b = f' (0)

Diferensialkan: f ''(x) = c.2.1 + d.3.2x + e.4.3x2 + f.5.4x3 + .........

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Zakaria S.Fis. KALKULUS II

Masukkan x = 0, maka f(0) = c.2! + 0 + 0 + ...............c =

Diferensialkan: f '''(x) = d.3.2.1 + e.4.3.2.x + f.5.4.3.x2 + .........

Masukkan x = 0, maka f'''(0) = d.3! + 0 + 0 + ...........d =

Dan seterusnya .....sehingga diperoleh

Deret Maclaurin :

f(x) = f(0) + f'(0) x + x2 + x3 + .....+ xn + ......

Contoh:

1. Perderetkan f(x) = ex dalam deret Maclaurin.

Jawab:

f(x) = f'(x) = f''(x) = f'''(x) = ....... = f(n)(x) = ex

f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = ...... = f(n)(0) = 1

........................................................................

Maka ex = 1 + x + + + .....

2. Perderetkan f(x) = sin x dalam deret Maclaurin.

Jawab:

f(0) = 0

f'(x) = cos x f'(0) = 1

f''(x) = -sin x f''(0) = 0

f'''(x) = -cos x f'''(0) = -1

f'(iv)(x) = sin x f'(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x f(v)(0) = 1

..................................................

Maka sin x = x - + .....

3. Perderetkan f(x) = cos x dalam deret Maclaurin.

Jawab:


f(0) = 1

f'(x) = - sin x f'(0) = 0

f''(x) = -cos x f''(0) = -1

f'''(x) = sin x f'''(0) = 0

f'(iv)(x) = cos x f'(iv)(0) = 1

f(v)(x) = - sin x f(v)(0) = 0

..................................................

Maka cos x = 1 - + - .....

4. Perderetkan f(x) = ln (1 + x) dalam deret Maclaurin.

Jawab:

f(0) = ln 1 = 0

f'(x) = (1+x)-1 f'(0) = 1

f''(x) = -(1+x)-2 f''(0) = -1 = 1 !

f'''(x) = 2(1+x)-3 f'''(0) = 2 = 2 !

f'(iv)(x) =-6(1+x)-4 f'(iv)(0) = - 3 = - 3!

f(v)(x) = 24(1+x)-5 f(v)(0) = 24 = 4!

..................................................

Maka ln (1 + x) = x - + - + - ...............

Rangkuman

1. ex = 1 + x + + + ............... - ∞ < x < ∞

2. sin x = x - + - + .......... - ∞ < x < ∞

3. cos x = 1 - + - + .......... - ∞ < x < ∞

4. ln (1+x) = x - + - + ........... - 1 < x ≤ 1


Dengan cara yang sama akan diperoleh deret:

5. tan x = x + + + ...................... | x | < π/2

6. cot x = 1/x - - - + ....................... 0 < | x | < π

7. sinh x = x + + + ………….. ........ - ∞ < x < ∞

8. cosh x = 1+ + + + .................... - ∞ < x < ∞

7.2. Deret Binomial

Jika f(x) = ( 1 + x )n, n = bilangan bulat dan - 1 < x < 1,

maka

f(0) = 1

f'(x) = n(1+x)n-1 f'(0) = n

f''(x) = n(n-1)(1+x)n-2 f''(0) = n(n-1)

f'''(x) = n(n-1)(n-2)(1+x)n-3 f'''(0) = n(n-1)(n-2)

f'(iv)(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)(1+x)n-4 f'(iv)(0)=n(n-1)(n-2)(n-3)

.........................................................................................

Diperoleh Deret Binomial

(1+x)n = 1 + nx + x2 + x3 + .... - 1 < x < 1

(1-x)n = 1 - nx + x2 - x3 + .... - 1 < x < 1

Dengan cara yang sama, dengan menerapkan harga n, diperoleh

deret Binomial:


9. = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ................. - 1 < x < 1

10. = 1 - x + x2 - x3 + x4 - ................... - 1 < x < 1

11. = 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + 5x4 - ........... - 1 < x < 1

12. = 1 - 3x + 6x2 - 10x3 + 15x4 - ....... - 1 < x < 1

13. = 1 - x + x2 - x3 + ....... - 1 < x < 1

14. = 1 - x + x2 - x3 + ....... - 1 < x < 1

15. (1 + x)1/2 = 1 + x - x2 - x3 + ...... - 1 < x < 1

16. (1 + x)1/3 = 1 + x - x2 - x3 + ....... - 1 < x < 1

7.3. Deret yang lain:

17. arcsin x = x - x3 - x5 + .......... | x | < 1

18. arccos x=π/2-arcsin x = π/2–(x - x3- x5 + ..).. |x|<1

19. arctan x = x - + - ...............

20. e - x = ? (dengan mengganti x dengan –x pada deret ex)

= 1 - x + - + ............... - ∞ < x < ∞

21. a x = e xlna = 1 + x ln a + + + ..... -∞<x<∞

22. e sin x = 1 + x + - - ........... - ∞ < x < ∞

23. ex ln(1+x) = (1 x+ + + ..)(x- + - +..)

dengan perkalian biasa akan diperoleh:

= x + + + + ......


7.4. Harga Pendekatan

1. Gunakan teorema binomial untu menghitung (1, 01)5 dalam

bentuk desimal!

Jawab :

(1,01)5 = (1+0,01)5 koefisien : (1 5 10 10 5 1)

= 1+5 (0,01) + 10 (0,01)2+10(0,01)3+5(0,01)4+(0,01)5

= 1+0,05+0,001+0,00001 + 0,00000005+0,0000000001

= 1,0510100501

2. Manakah yang lebih besar (1,01)1000 atau 101 ?

Jawab :

(1,01)10000 = ( 1 + 0,01 )10000

= 1 + (10000) 19999 (0,01) + Suku-suku positif

= 1 + (10000)(1)(0,01)+ Suku-suku Positif

= 1 + 100 + Suku-suku positif

= 101 + Suku-suku positif

Jadi (1,01)10000 > 101

Rumus Deret Taylor diturunkan dari Deret Maclaurin:

Deret Maclaurin f(x) = f(0) + f'(0) x + x2 + x3 + .....

menyatakan sebuah fungsi dalam koefisien diferensialnya di titik x = 0, yakni

di titik K (gambar di bawah).

y y=f(x)

P

K f(h)

f(a) x


h

Di titik P: f(h) = f(0) + f'(0) h + h2 + h3 + .....

Jika sekarang kita geserkan sumbu y sejauh a ke kiri,

y=f(x) maka persamaan kurvanya

y terhadap sumbu yang baru

P

K menjadi y = F(x+a)

f(a) f(a+h)

o x dan harganya di titik K

h

sekarang menjadi f(a).

Di titik P: F(a+h) = F(a) + F '(a) h + h2 + h3 + .....

Jika a = x, maka menjadi deret yang umum

Deret Taylor: f(x+h) = f(x) + f '(x) h + h2 + h3 + .....

Untuk x = 0 & h = x menjadi Deret Maclaurin.

7.6. Soal-Soal Latihan

1. Dengan binomial buktikan √(1,02) = 1,009951

2. Dengan menggunakan deret ex, buktikan e = 2,71828

3. Dengan menggunakan deret arctan x, buktikan

arctan (0,1) = 0,0997

4. Dengan menggunakan deret Maclaurin / Binomial,

perderetkan

a). ecosx b). ln(2 + 5x) c). cos (2x+3)

d). e). f). e2x cos 3x

g). √sin x h). √cos x i). √tan x


5. Buktikan jabaran

= 1 – x + - + - ........

6. Tunjukkan

= + (sebagai pendekatan)

7. Buktikanlah bahwa:

a). = 1 – + - + ....

b). = - + + ....


deret taylor

Documents