Pertemuan 9

DERET TAYLOR

Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh persamaan:

Dengan jari-jari kekonvergenan R > 0, maka dapat diturunkan berkali-kali di

Fungsi yang demikian, kita sebut sebagai “differensiabel tak hingga kali” di Penurunan berkali-kali pada fungsi (1), akan menghasilkan:

Dan seterusnya.

Kemudian kita substitusikan pada fungsi (1), (2), (3), (4), dan seterusnya

sehingga diperoleh:

Dan seterusnya, sehingga diperoleh:

Secara umum diperoleh:

37

Rumus di atas berlaku juga untuk dengan dan .

Jadi, dengan menggunakan persamaan (1) dan persamaan (6), deret kuasa untuk dapat dituliskan sebagai:

Lebih umum lagi, misalkan didefinisikan oleh deret kuasa dalam maka:

Apabila jari-jari konvergensi dari deret ini adalah R, maka akan “differensiabel tak

hingga kali” dalam selang dengan menurunkan berkali-kali, didapat:

Dan seterusnya.

Dengan mensubstitusikan pada deret kuasa untuk dan turunan-turunannya,

maka diperoleh:

Dan secara umum diperoleh,

38

Berdasarkan persamaan (8) dan persamaan (9), maka deret kuasa untuk dapat

dituliskan sebagai berikut:

Deret (10) disebut sebagai Deret Taylor di . Apabila maka deret (10) akan

berbentuk seperti pada persamaan (7) yang disebut sebagai Deret Mac Laurin.

Contoh 1.

Tentukan Deret Taylor untuk di

Jawab:

Apabila maka

, dan seterusnya.

Dengan memakai rumus (9) diperoleh

, dan seterusnya.

Dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh Deret Taylor dari yakni:

Contoh 2.

Tentukan deret Mac Laurin dari fungsi

Jawab:

39

Apabila maka untuk semua . Karenanya untuk semua

. Dengan menggunakan persamaan (7), didapat deret Mac Laurin dari

Deret kuasa mendefinisikan suatu fungsi adalah tunggal. Jadi, apabila dua fungsi

mempunyai nilai yang sama pada suatu selang yang memuat dan apabila keduanya

mempunyai deret kuasa dalam yang mendefinisikan fungsi, maka kedua deret

tersebut harus sama. Sebab koefisien-koefisien pada deret dapat ditentukan nilainya

dengan memakai fungsi dan turunan-turunannya yang di hitung di . Oleh karena

itu, jika suatu fungsi merupakan Deret Taylor di . Akibatnya, Deret Taylor dari suatu

fungsi yang diketahui tidak dapat ditentukan dengan menggunakan rumus (10). Suatu

cara untuk jmenentukan deret kuasa dalam yang mendefinisikan fungsi adalah mencari Deret Taylor dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk mendapatkan Deret Taylor dari di kita dapat

menuliskan dan menggunakan deret (12) dengan mengganti dengan

. Sehingga diperoleh:

Contoh 3.

Diketahui fungsi yang didefinisikan oleh persamaan:

40

Tentukan Deret Mac Laurin untuk dan tunjukkan bahwa deret tersebut konvergen

untuk semua , tetapi deret tersebut hanya mendefinisikan hanya di .

Jawab:

Untuk memperoleh kita menggunakan definisi turunan, sehingga diperoleh:

Karena dan maka kita dapat menggunakan Dalil

L’Hospital, dan diperoleh:

Dengan cara serupa, akan diperoleh bahwa semua turunan di akan sama

dengan 0. Jadi, untuk semua . Karenanya, Deret Mac Laurin untuk

adalah: 0 + 0 + 0 + …. + 0 + …. Deret ini konvergen ke 0 untuk semua . Akan tetapi,

apabila Teorema berikut menunjukkan cara menguji apakah

suatu deret dapat didefinisikan oleh Deret Taylor.

Teorema 1.

Misalkan adalah fungsi yang sama turunannya ada di semua pada selang

. Maka fungsi tersebut dapat didefinisikan oleh Deret Taylor:

41

Jika dan hanya jika

Bukti:

Pada selang memenuhi:

Dengan adalah Polinom Taylor berderajat dari di , dan adalah sukur

sisanya yang berbentuk:

Perhatikan bahwa merupakan jumlah suku dari Deret Taylor di . Jadi, apabila

dapat ditunjuukkan bahwa ada dan sama dengan maka teorema

telah terbukti, yakni:

Berdasarkan persamaan (13) diperoleh

Jika maka menurut persamaan (5) diperoleh:

Selanjutnya, dengan asumsi bahwa , akan ditunjukkan bahwa

. Dengan menggunakan persamaan (13), diperoleh:

42

Sehingga,

Dengan demikian, teorema telah terbukti.

Teorema 1 juga berlaku untuk bentuk-bentuk lainnya dari selain bentuk

Lagrange. Dalam prakteknya, Teorema 1 tersebut sukar digunakan, sebab nilai

sembarang. Tetapi, seringkali batas atas dari dapat ditentukan dan dengan

sembarang menggunakan itu kita dapat tunjukkan bahwa limit batas atas sama dengan

nol apabil

Limit berikut seringkali membantu untuk menyelesaikan beberapa kasus:

Telah ditunjukkan pada subbab sebelumnya, bahwa deret kuasa tersebut konvergen

untuk semua nilai , karenanya limit suku ke nya harus sama dengan nol. Dengan

cara yang sama, karena konvergen untuk semua , maka diperoleh,

Contoh 4.

Tunjukkan bahwa Deret Taylor untuk di seperti deret di contoh (2),

mendefinisikan fungsi tersebut untuk semua .

Jawab:

Kita akan menggunakan Teorema 1, untuk itu harus ditunjukkan bahwa:

43

Karena , maka akan sama dengan salah satu dari bilangan-

bilangan:

Untuk semua bilangan, berlaku . Oleh karena itu,

Dengan menggunakan persamaan (17), diperoleh:

Sehingga, berdasarkan peramaan (20) dan Teorema Apit, diperoleh:

Contoh 5.

Hitunglah nilai sin 470 teliti sampai 4 desimal!

Jawab:

Dari contoh (2) dan (4) diperoleh bahwa Deret Taylor untuk di mendefinisikan

fungsi untuk semua . Jadi,

Agar kecil, pilih yang cukup dekat ke , yaitu nilai dimana fungsi akan dicari.

Juga diperlukan nilai sinus dan cosines di . Pilihlah , sehingga

diperoleh:

44

Karena 470 ekivalen dengan radian radian, maka dengan

menggunakan persamaan (21) diperoleh:

Dengan memakai dan suku pertama dari deret di atas, diperoleh:

Dengan mengambil empat decimal diperoleh sin 470 = 0,7314.

Kesalahan yang terjadi dengan hanya memakai 3 suku deret adalah

Dengan demikian, jelas bahwa hasil yang didapat teliti sampai 4 desimal. Deret-deret

Mac Laurin berikut mendefinisikan fungsi-fungsi yang diberikan untuk semua nilai .

Contoh 6.

45

Jawab:

Anti turunan dari integral pada integral di atas, sukar didapat karena bukan berupa fungsi yang elementer. Akan tetapi, dengan menggunakan deret (22) diperoleh:

Yang berlaku untuk semua

Dengan memakai integrasi suku demi suku, diperoleh:

Pada kedua tanda kurung di atas, termuat dua bentuk deret berayun dengan

sehingga kedua deret tersebut konvergen. Pada kurung pertama kita pakai

empat suku pertama, karena kesalahan yang terjadi kecil dari 0,0000003. Pada kurung kedua kita gunakan 3 suku pertama dengan kesalahan yang terjadi kecil dari 0,0000002. Dengan pembulatan menjadi 6 desimal, diperoleh:

46

Latihan 1.

1. Tentukan deret Taylor untuk di dengan menggunakan deret Mac Laurin

untuk

2. Dengan menggunakan deret Mac Laurin untuk tentukan deret Taylor

untuk di

3. Tentukan deret kuasa di yang mendefinisikan fungsi:

4. Tentukan deret Mac Laurin untuk (Gunakan hubungan

Pada soal , gunakan deret kuasa yang sesuai untuk menghitung besaran yang

diberikan dengan ketelitian yang ditentukan.

5. , teliti sampai 4 desimal !

6. teliti sampai 5 desimal !

7. , teliti sampai 4 desimal !

Pada soal , hitunglah nilai integral tentu yang diberikan, teliti sampai 4 desimal.

47

48