MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

24 Februari 2017

Kuliah yang Lalu

9.6 Deret Pangkat

Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat

9.7 Operasi pada Deret Pangkat

Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)

2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.8 Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Menentukan deret Taylor dan deretMaclaurin dari suatu fungsi di sekitar titikyang ditentukan

9.9 Hampiran Taylor terhadap Fungsi

Menentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertataksiran kesalahannya

2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan

9.8 DERET TAYLOR DAN DERETMACLAURIN

MA1201 MATEMATIKA 2A

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurindari suatu fungsi di sekitar titik yang ditentukan

Ingat: Untuk Apa Kita MembahasDeret Tak Terhingga

Dengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran

Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitaakan dapatkan hampiran yang lebih baik

Kelak kita dapat menunjukkan bahwa

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5

.0,sin xuntukxx

.0,sin6

3

xuntukxx x

.,......sin!5!3

53

xuntukxx xx

Pada Kuliah yang Lalu…

Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:

Catatan. Deret ini konvergen pada R.

Jawab: Penurunan terhadap x menghasilkan

Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) = Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6

...!3!2

1)(32

xx

xxS

).(...!3!2

10)('32

xSxx

xxS

Serupa Dengan Itu…

Tinjau deret pangkat

Deret ini konvergen untuk seluruh bilangan real x, dan memenuhi persamaan diferensial orde 2:

S’’(x) = –S(x),

dengan S(0) = 0 dan S’(0) = 1. Solusi persamaandiferensial ini adalah S(x) = sin x.

Nanti ada cara lain utk mendapatkan hasil yg sama.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7

...!5!3

)(53

xx

xxS

Sejauh Ini…

Diberikan suatu deret pangkat, kita dapatmenentukan selang kekonvergenannya.

Untuk deret geometri, serta turunan danintegralnya, kita bisa mendapatkan jumlahnya.

Demikian juga utk beberapa deret pangkat yang jumlahnya sama dengan ex, cos x, dan sin x.

Lalu, dengan operasi pada deret pangkat, kitadapat memperoleh uraian deret pangkat darifungsi seperti f(x) = xex dan g(x) = ex/(1 – x).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Pertanyaan Baru

Diberikan suatu fungsi f(x), dapatkah kita meng-uraikannya sebagai sebuah deret pangkat

untuk x di sekitar a?

Dengan perkataan lain, apakah kita dapatmencari c0, c1, c2, … sehingga deret pangkat diatas konvergen ke f(x) untuk x di sekitar a?

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9

...)()()( 2

210 axcaxccxf

Misalkan f dapat diuraikan sebagaideret pangkat untuk x ≈ a

Maka, c0 mestilah sama dengan nilai f(a). Selanjutnya, jika kita turunkan f terhadap x

maka c1 mestilah sama dengan nilai f’(a).

Turunkan lagi terhadap x:

maka c2 mestilah sama dengan ½ f’’(a).

Dan seterusnya… 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10

...)(3)(2)(' 2

321 axcaxccxf

...)(34)(!3!2)('' 2

32 axaxccxf

Jadi…

Jika f dapat diuraikan sebagai deret pangkat

(1)

maka f mempunyai turunan setiap orde dan

(2)

dengan f (0)(a) = f(a) dan 0! = 1.

Tetapi… bagaimana sebaliknya? Jika f (n)(a) adauntuk tiap n, dan cn kita hitung dgn rumus (2), apakah jumlah deret pangkat (1) sama dgn f(x)? 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

...)()()( 2

210 axcaxccxf

,...2,1,0,!

)()(

nn

afc

n

n

Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Uraian deret pangkat dari f untuk x ≈ a disebutderet Taylor untuk f di a, yakni:

Jika a = 0, maka deret pangkat tsb disebutderet Maclaurin untuk f, yakni:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12

...)(!2

)(''))((')( 2 ax

afaxafaf

...!3

)0('''

!2

)0('')0(')0( 32 x

fx

fxff

Polinom dan Suku Sisa Taylor

Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat a. Maka, untuksetiap x ϵ I, berlaku f(x) = Pn(x) + Rn(x) dengan

dan suku sisa

untuk suatu c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13

nn

n

axn

af

axaf

axafafxP

)(!

)(....

...)(!2

)(''))((')()(

)(

2

,)()!1(

)()( 1

)1(

nn

n axn

cfxR

Teorema Taylor

Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan tiaporde pada selang I = (a – r, a + r). Maka, untuksetiap x ϵ I, berlaku

Jika dan hanya jika

dengan c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

...)(!2

)(''))((')()( 2 ax

afaxafafxf

,0)()!1(

)(lim)(lim 1

)1(

nn

nn

nax

n

cfxR

Contoh 1

Tentukan deret Maclaurin untuk sin x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansin x untuk setiap x ϵ R.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Contoh 2

Tentukan deret Maclaurin untuk sinh x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansinh x untuk setiap x ϵ R.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

Beberapa Deret Maclaurin Penting

1.

2.

3.

4.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

211 ...

1x x

x

ln(1 )x

xe

1tan x

Beberapa Deret Maclaurin Penting

5.

6.

7.

8.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

cos x

sin x

sinh x

cosh x

Latihan

Tentukan deret Maclaurin (setidaknya tiga sukutak nol pertama) untuk

1. f(x) = (1 + x)1/2, untuk -1 < x < 1.

2. g(x) = tan x, untuk –π/2 < x < π/2.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

9.9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPFUNGSI

MA1201 MATEMATIKA 2A

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

Menentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertataksiran kesalahannya

Diferensial & Aproksimasi Berlanjut

Dengan turunan pertama, kita dapat meng-hampiri fungsi f(x) untuk x ≈ a :

Polinom di ruas kanan tidak lain merupakanpolinom Taylor orde 1 dari f di sekitar a.

Bila f mempunyai turunan kedua untuk x ≈ a, maka kesalahan penghampiran di atas adalah

dgn c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

).())((')()( 1 xPaxafafxf

,)(!2

)('')( 2

1 axcf

xR

Hampiran Taylor Orde n

Jika f mempunyai turunan ke-(n+1), maka kitadapat menghampiri fungsi f(x) untuk x ≈ adengan polinom Taylor orde n:

dengan kesalahan penghampiran

dgn c di antara x dan a.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

).()(!

)(...))((')()(

)(

xPaxn

afaxafafxf n

nn

,)()!1(

)()( 1

)1(

nn

n axn

cfxR

Contoh 2

Taksirlah nilai e0.1 dengan kesalahan tak lebihdaripada 0.01.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23

Bahan Diskusi

Diketahui f(x) = x4. Tentukan polinom Taylor orde 4 dari f di sekitar 1. Jelaskan mengapapolinom ini menyatakan f secara eksak.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 24

Contoh 1

Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari f(x) = cos x. Gunakan polinom ini untuk menghampirinilai cos 0.1. Taksirlah kesalahan maksimumnya.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 25