Eleminasi Gauss Jordan

Disusun oleh:

Kelompok 3

A

1. Cries Avian (121910201033) 2. Rahmanu Fajarianto (121910201018) 3. Rizaldi Rohimawan Santoso (121910201027) 4. Nurul Latif (121910201014) 5. Irwan Purnomo (121920101013) 6. Sapta Aji Noupal (121910201023) 7. Linda Atmawati Wulandari (121910201017)

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO STARA 1

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS JEMBER

2014

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat , karunia

dan hidayah-Nya kepada kita semua sehingga tugas makalah ini dapat

terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurah pada Nabi Muhammad

SAW beserta para pengikutnya yang setia menemani hingga akhir zaman.

Makalah yang diberi judul Eleminasi Gauss Jordan ini ialah suatu

karya tulis yang terbentuk dari hasil kerja saya dimana tugas ini merupakan salah

satu aspek penilaian mata kuliah Sistem Linear.

Penyusun karya tulis ini tak lepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai

pihak, oleh karena itu pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Dosen mata kuliah sistem linear

2. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak

membantu,baik selama penyusunan tugas ini maupun di luar itu.

Penyusun menyadari bahwa tugas karya tulis ini masih banyak memiliki

kekurangan. Oleh karena itu segala saran dan kritik yang membangun, penyusun

harapkan untuk kemajuan masa-masa mendatang. Harapan penyusun semoga

tugas karya tulis ini dapat diambil manfaatnya oleh pembaca.

Jember, 12 Maret 2014

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................... i

DAFTAR ISI ............................................................................................. ii

BAB 1: PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ......................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................... 1

1.3 Tujuan ....................................................................................... 1

1.3 Manfaat .................................................................................... 1

BAB 2: PEMBAHASAN

2.1 Pengertian eleminasi Gauss Jordan ...................................... 2

2.2 Langkah Operasi Gauss Jordan ........................................... 2

BAB 3: PENUTUP

3.1 Kesimpulan ............................................................................. 13

Daftar Pustaka .......................................................................................... 14

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Makalah ini dibuat untuk membantu para mahasiswa untuk memahami

penyelesaian persamaan linear dalam mata kuliah Sistem Liniear.

Tujuannya yang ingin didapat mata kuliah ini adalah untuk memahami konsep

penyelesaian persamaan linear di mana masalah matematika diformulasikan

sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika.

Terdapat banyak jenis penyelesaian dari persamaan linear yang dapat kita

gunakan, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki

karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika dan

akan menghasilkan hasil yang sama. Berdasarkan latar belakang di atas

penulis tertarik untuk melakuka dengan metode penyelesaian yaitu dengan

metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan eliminasi Gauss Jordan?

2. Bagaimana cara mengerjakan soal eliminasi Gauss Jordan ?

1.3 Tujuan

Pembuatan makalah ini sebagai tugas mata kuliah Metode Numerik untuk

lebih memahami metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan dan membantu

pembaca lainnya yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.

1.4 Manfaat

a) Membantu memahami apa yang dimaksud metode eliminasi Gauss dan

Gauss-Jordan.

b) Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk

menyelesaikan soal sistem persamaan linier dengan metode eliminasi

Gauss dan Gauss Jordan.

2

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian eleminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss

yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi

baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris

tereduksi.Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan

mengisi selama eliminasi dengan beberapa tahap.

2.2 Langkah Operasi Gauss Jordan:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama

pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini

akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan

dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Penulisan Persamaan :

Misalkan diketahui suatu persamaan matematik sebagai berikut

3333232131

2323222121

1313212111

b x a x a xa

b x a x a xa

b x a x a xa

3

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:

=

Contoh :

Diketahui persamaan linear sebagai berikut :

Maka dapat ditulis :

Langkah Operasi Gauss Jordan :

Maka dengan menggunakan perkalian matrix, kita dapatkan:

x = b1

y = b2

z = b3

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

xxx

3

2

1

bbb

3

2

1

522

3232

332

z y x

z y x

z y x

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

100

010

001

4

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi

Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen

di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah

matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada

diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.

[ 11 12 1321 22 2331 1

32 2

33 3

1 1 2 2

3

3 ]

[ 1 0 00 1 00 0

0 0

1 0

0 1,

0 2,

0 1

3,

, ]

Solusinya: 1 = 1,

2 = 2,

= ,

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan

disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,

sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama

pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini

akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan

dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

1. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A

3. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n

5

a) Perhatikan apakah nilai , sama dengan nol:

Bila ya:

Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+kn, dimana +, tidak sama

dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan

dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

Bila tidak: Lanjutkan

b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap

kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung , =,

,

4. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n

Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n

Hitung = ,

Hitung , = , . ,

5. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris

pertama)

= ,+1

Contoh:

+ + 2 = 9

2 + 4 3 = 1

3 + 6 5 = 0

Penyelesaian:

[1 1 22 4 33 6 5

910]

(i) (ii) (iii)

[1 1 20 2 73 6 5

9

170

] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 70 3 11

9

1727

] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

6

[

1 1 2

0 1 7

2

0 3 11

9

17

2

27

] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

[

1 1 2

0 1 7

2

0 0 1

2

9

17

2

3

2

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[

1 1 2

0 1 7

2

0 0 1

9

17

2

3

] kalikan baris (iii) dengan (-2)

[

1 011

2

0 1 7

2

0 0 1

9

17

2

3

] kalikan baris (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (i)

[1 0 00 1 00 0 1

123]

kalikan baris (iii)dengan (1

12) , lalu tambahkan ke baris (i),

dan kalikan baris (iii)dengan (7

2) , lalu tambahkan ke baris (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Dari cara diatas, maka didapatkan beberapa pola yang dapat kita buat rumus

Rumus untuk membuat kolom baru:

7

Contoh Soal :

Tentukan nilai x,y,z dari persamaan linear sebagai berikut :

Jawab :

Untuk dapat menentukan nilai x,y,z dari persamaan di atas dapat dilakukan

dengan mengikuti langkah langkah di bawah ini :

522

3232

332

z y x

z y x

z y x

8

1 2 3 3

2 3 2 3

2 1 2 5522

3232

332

z y x

z y x

z y x

Langkah Awal :

Merubah dari bentuk persamaan ke dalam matrix :

1 2 3 3

2 3 2 3

2 1 2 5

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

Langkah 1

Buatlah matrik persamaan yang akan kita cari, menjadi matrik identitas

9

Langkah 2

2 3 2 31 2 3 3

1 2 3 3

0 -1 -4 -3

2 1 2 52 3 2 32 4 6 6

-

0 -1 -4 -3

1 2 3 3

2 3 2 3

2 1 2 5

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

1 2 3 3

0 1 4 3

2 1 2 5

x (-1)

Langkah 3

2 1 2 51 2 3 3

1 2 3 3

0 1 4 3

0 -3 -4 -12 1 2 52 4 6 6

-

0 -3 -4 -1

1 2 3 3

0 1 4 3

2 1 2 5

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

10

Langkah 4

1 2 3 30 1 4 3

1 0 -5 -3

0 1 4 3

0 -3 -4 -11 2 3 30 2 8 6

-

1 0 -5 -3

1 2 3 3

0 1 4 3

0 -3 -4 -1

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

Langkah 5

0 -3 -4 -10 1 4 3

1 0 -5 -3

0 1 4 3

0 0 8 80 -3 -4 -10 -3 -12 -9

-

0 0 8 8

1 0 -5 -3

0 1 4 3

0 -3 -4 -1

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

: 8

1 0 -5 -3

0 1 4 3

0 0 1 1

11

Langkah 6

1 0 -5 -30 0 1 1

1 0 0 2

0 1 4 3

0 0 1 11 0 -5 -30 0 -5 -5

-

1 0 0 2

1 0 -5 -3

0 1 4 3

0 0 1 1

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

Langkah 7

0 1 4 30 0 1 1

1 0 0 2

0 1 0 -1

0 0 1 10 1 4 30 0 4 4

-

0 1 0 -1

1 0 0 2

0 1 4 3

0 0 1 1

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

12

Langkah 8

1 0 0 2

0 1 0 -1

0 0 1 1

522

3232

332

z y x

z y x

z y x

Hasil dari persamaan linear dibawah ini adalah :

Dengan perkalian matrik, maka didapatkan :

x = 2

y = -1

z = 1

Setelah mengikuti langkah langkah di di atas untuk menentukan nilai x,y,z

langkah-langkah di atas di peroleh nilai x=2,y= -1 dan z = 1.

Langkah terakhir yaitu mengecek apakah nilai x,y dan z yang di dapat sudah

benar atau tidak

Dengan cara memasukan nilai x,y dan z yang di dapat ke dalam persamaan awal.

13

BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Sistem persamaan linier adalah kumpulan persaman-persamaan linier yang

memiliki variabel-variabel yang sama. Sistem persamaan linier memiliki

penyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi persamaan-persamaan

tersebut jika disubstitusi. Ada 3 macam kemungkinan penyelesaian dari sistem

persamaan linier, yaitu ada solusi yang unik, tidak ada solusi, atau memiliki solusi

yang tak terhingga. Ada berbagai macam cara untuk menyelesaikan sistem

persamaan linier. Salah satunya adalah dengan metode eliminasi Gauss dan

Gauss-Jordan.

14

DAFTAR PUSTAKA

http://singampus.wordpress.com/2013/09/17/eliminasi-gauss-gauss-jordan// .

Diakses 12 Maret 2014.

http://anrusmath.wordpress.com/2009/06/06/eliminasi-gauss-jordan/ . Diakses 12

Maret 2014.

25

DAFTAR PUSTAKA

http://singampus.wordpress.com/2013/09/17/eliminasi-gauss-gauss-jordan//.

Diakses 12 Maret 2014.

http://anrusmath.wordpress.com/2009/06/06/eliminasi-gauss-jordan/. Diakses 12

Maret 2014.