chap 2: postulate mekanika statistik dan teori ensembel

Chap 2: Postulate Mekanika Statistik dan

Teori Ensembel

Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7

Beberapa Pengertian Dasar Mekanika Statistik

• Macrostate : keadaan system keseluruhan yang dikarakterisasi oleh besaran variable makro (nilai rata-ratanya, seperti tekanan P, volume V dan temperature T, untuk system fluid)

• Microstate: konfigurasi tertentu system yang dinyatakan oleh keadaan individualatom atau molekul penyusun system, misal dinyatakan oleh kecepatan {𝑣𝑘} dan atau posisinya {𝒓𝑘}.

• Untuk satu keadaan microstate terdapat banyak keadaan microstate yang bersesuaian.

• Thermodinamika : mendeskripsikan hubungan microstate (variable makro) secara empiris.

• Mekanika Statistik : menjelaskan hubungan antara macrostate dengan microstate. Hubungan tsb bisa dilakukan melalui konsep entropi S dengan banyaknya keadaan mikro Ω

• Besaran makroskopik akan diperoleh sebagai rata-rata keadaan microstate dengan bobot tertentu (rapat probabilitas).

Pendekatan Pemodelan Mekanika Statistik

Non Interacting

Interacting

Distinguishable 1 2

Identical/Non Dist.

3 4

Hal yg dipertimbangkan:1.Apakah partikel bisa dibedakan →

klasik /kuantum2.Apakah ada interaksi antar partikel →menentukan kompleksitasnya

Pendekatan klasik: volume Ruang fasa sistemPendekatan kuantum : jumlah status keadaan diskrit sistem

Ruang Fasa Klasik (Classical Phase Space)

• Model : Gas dalam volum V sejumlah N partikel klasikyang terbedakan.

• Satu keadaan dari sistem ini dikarakterisasi oleh 1 buahkoordinat di ruang fasa yang berdimensi 6N yaitu : (q1,..,qN, p1,…,pN) dengan qk adalah posisi partikel ke-k dan pk: momentum partikel ke-k. Titik ini disebut juga titikfasa (phase point)

• Ruang fasa terdiri dari 6 koordinat (x,y,z, Px,Py,Pz), setiap keadaan 1 partikel diwakili oleh 1 titik.

• Ruang yg berdimensi 6N, dengan koordinat di atas disebutruang fasa (Γ). Sketsa gambar berikut ini menunjukkanhubungan ruang fasa dan Γ dalam menggambarkan 1 sistem N partikel yang sama:

Ruang Fasa dan

r(x,y,z)

(Px, py, pz)

r1,…,rN

P1,…,pN

1 partikel

1 sistem N partikel

1 sistem N partikelsaat t tertentu

1 sistem N partikel

Simbolik Ruang Fasa Simbolik Ruang Fasa Γ

Dinamika sistem N partikel dinyatakan oleh koordinat posisisebanyak 3N q={q1,…,qN} dan momentum p={p1,p2,…pN},dengan qk, pk : koordinat vektor posisi dan momentum partikel ke –k.

Misal hamiltonian sistem diberikan oleh : H= H(p1,p2,…pN, q1,q2,…qN,), maka persamaan gerak sistem diberikan oleh(perkomponen):

Njq

Hq

q

Hp

j

j

j

j 3,..,1=

−=

−=

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)

• Spefisikasi keadaan 1 sistem N partikel ini akan diberikanoleh 3N+3N koordinat posisi dan momentum {q,p}.

• Tiap titik di ruang fasa Γ mewakili satu keadaan system pada suatu saat t.

• Evolusi sistem N-partikel ini akan berupa trayektori di ruang fasa Γ.

Jika sistem bersifat konservatif (kekekalan energi), makaberlaku

H(q,p)= E= konstan.

• Misal gas dengan keadaan makroskopik tertentu (misalP,V,T tertentu) akan terkait dengan sejumlah sangat besarkeadaan mikroskopik {q,p} yang semuanya terkait dengankeadaan makroskopik yang sama tsb.

• Kumpulan dari sistem-sistem dengan keadaanmakroskopik yang sama ini disebut sebagai ENSEMBEL.

• Dalam limit thermodinamika(N--> , N/V : berhingga},

maka kumpulan titik-titik di ruang fasa tsb dapat didekatisebagai kontinuum.

Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan

• Sehingga jumlah total keadaan mikroskopik di ruang fasatsb, akan diberikan oleh volume sbb:

: jumlah seluruh keadaan mikroskopiksistem yang berada di dalam volumd3Np d3Nq.

• Dengan fungsi ρ= ρ(q,p,t) disebut fungsi rapat keadaan ygmenyatakan jumlah keadaan mikroskopik per satuanvolum di ruang fasa.

• Sehingga deskripsi lengkap evolusi sistem diberikan olehevolusi fungsi ρ(p,q,t).

pqddt NN 33),,( pq

Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan

Kecepatan Evolusi Titik-titik Fasa

Di ruang fasa, titik-titik fasa {q,p} akan bergerak dengankecepatan yang diberikan oleh vektor kecepatan:

},{ pqv =

• Gerak titik ini di Γ akan terbatas dalam volume di Γsebab TOTAL ENERGI dan momentum sistem sudahtertentu dan terbatas.

• Tinjau sekumpulan (ensembel) titik-titik representasisistem yang terkait dengan makroskopik yang sama di ruang Γ.

• Sejalan dengan t, titik-titik tsb akan bergerak(mengalir), pergerakan ini digambarkan oleh evolusidari fungsi kerapatan ρ(q,p,t).

Rata-rata Ensembel

=

pqpq

pqpqpq

NN

NN

ddt

ddtff

33

33

),,(

),,(),(

• Dengan mengetahui ρ ini dapat dihitung rata-rata dari suatubesaran f tertentu (rata-rata ensembel):

• Integral tsb prinsipnya dilakukan di seluruh ruang fasa 6N-D, akan tetapi secara efektif, hanya perlu dilakukan dimana ρ≠0 saja.

• Suatu ensembel disebut stasioner kalau nilai ρ bukan fungsiwaktu (t) secara eksplisit, yaitu jika

•

• Untuk ensembel stasioner, maka nilai rata-rata ensembelnya juga tidak bergantung waktu, jadi <f> independent dari waktu.

0=

t

Tinjau suatu elemen volume dωdengan luas permukaan σdi ruang fasa Γ.

Adalah Laju (rate) penambahan jumlah titik dalam elemenvolum ω

Sedangkan laju netto arus titik-titik yang menembus keluarpermuakaan batas σ:

Teorema Liouville:Pergerakan Titik Representasi

σ

ω

n

v

dσ

pqqpNN ddddt

t

33),,( =

• dt nvqp ˆ),,(

Menurut teorema Divergensi Gauss maka :

Dengan divergensi ruas kanan adalah:

Karena titik-titik representasi dlm ruang fasa kekal (tidak adasumber atau sumur), maka berlaku hukum kekekalan jumlahtitik representasi, sehingga:

Atau:

Pers. Ini harus berlaku tak peduli berapapun ukuran ω, sehingga mestilah:Pers. Kontinutas/Liouville:

Persamaan Kontinuitas/Liouville

=

+

•

N

k k

k

k

k3

1

)(p

p

q

qv

•=• dd )(ˆ vnv

•−=

dd

t)( v

0)( =

+•

dt

v

0)( =

+•

t

v

Jadi mestilah:

Tetapi suku terakhir =0, sebab berlaku :

Sehingga: atauSedang suku kedua dapat dituliskan sbg:

Teorema Liouville

03

1

=

+

+

=

N

k k

k

k

k

t p

p

q

q

03

1

3

1

=

+

+

+

+

==

N

k k

k

k

kN

k

k

k

k

kt p

p

q

qp

pq

q

kkk

k

k

k

HH

pqq

q

pq

=

→

=

2

kkk

k

k

k

HH

qpp

p

qp

−=

→

−=

2

0=

+

k

k

k

k

p

p

q

q 0

3

1

22

=

−

=

N

k kkkkk

HH

ppqpq

kkkk

k

k

k

k q

H

pp

H

qp

pq

q

−

=

+

Berarti pers kontinutas menjadi:

Atau dapat dituliskan sbg:

Telah dipakai definisi Poisson Bracket :

Berarti secara umum karena dρ/dt=0, maka jumlah titikkekal dan aliran titik tsb seperti fluida incompressible.

Jikalau ensembel stasioneratau dalam Kesetimbanganmaka akibatnya:

atau {ρ,H}=0

Teorema Liouville

03

1

==

+

+

= dt

d

t

N

k

k

k

k

k

p

pq

q

03

1

=

+

=

N

k

k

k

k

k

pp

qq

0=

t

0},{ =+

= H

tdt

d

=

−

=

N

k kkkk q

H

pp

H

qH

3

1

},{

Solusi dari kondisi stasioner ini adalah(1) jika: ρ independent dari q dan p!

Dengan ω adalah daerah dimana titik-titik fasa (microstate) memenuhi syarat batas persoalannya (macrostate yg sama)

Nilai fungsi rapat keadaan ρ = konstan, artinya sembarangnilai (q,p) punya peluang nilai sama untuk muncul! Asal di dalam volume ω yg memenuhi syarat batas!

Postulate : Equal Apriori Probability

=lainnya

kons

0

),(tan),(

pqpq

Ergodisitas

• Nilai rata-rata besaran 𝑓{𝑞, 𝑝} mestinya dihitung menurut nilai 𝑓 𝑡 sepanjang trayektori di ruang fasa ketika system berevolusi :

ҧ𝑓 = lim𝑇→∞

1

𝑇න 𝑑𝑡 𝑓{𝑞 𝑡 , 𝑝 𝑡 }

• Rata –rata ensemble < 𝑓 > dan rata-rata thd waktu ( ҧ𝑓) ini akan sama jikalau dalam evolusinya setiap keadaan di permukaan energi konstan dikunjungi sekali (atau sejumlah yg sama)! (Postulate Ergodicitas –Boltzmannn)

• Secara teoritis, hal ini tidak mungkin sebab trayektori tidak boleh memotong dirinya sendiri! Why?

• Maka kondisi diperlunak : tidak perlu lewat tiap titik di ruang fasa, asal lewat cukup dekat saja (quasi ergodic)

• Jika system memenuhi ergodisitas (atau secara kuasi) maka :𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒕𝒉𝒅 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 = 𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒕𝒉𝒅 𝒆𝒏𝒔𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍

Prinsip Equal Apriori Probability:Setiap keadaan mikroskopik (microstate) yg berkenaandengan keadaan makroskopik (macrostate) yang sama(syarat batas), memiliki peluang yang sama untuk munculatau terpilih.

Akibatnya nilai rata-rata besaran f(q,p) diberikan oleh:

Postulate : Equal Apriori Probability

=

pqddtff

NN 33),,(),( pqpq Ensembelmikrokanonik

Ensembel Mikrokanonik1. = Hypersurface

2. = Hypershell

3. = Hypervolumel

f rata-rata ensembel f = rata-rata thd waktu f

= rata-rata thd waktu f 2 perata2an ini independen

= rata-rata waktu f dari 1 anggota ensembel untuk t

lama sekali = f terukur

=lainnya

C

0

),(),(

pqpq

==−− 2/

33

2/

33),,(EH

NN

EH

NN pqddCpqddtpq = volume Hypershell

EH

EH

EH

−

=

),(

2/),(

),(

pq

pq

pq

contoh:

Ensembel Mikrokanonik

Jika 0 = volume (fundamental) yg berisi 1 keadaan

microstate, maka banyak keadaan untuk “volume” ω

adalah:

Kaitan mekanika statistik dengan thermodinamika

diberikan oleh definisi entropi :

0

=

= lnkS

Mengapa S=k ln Ω

• Secara termodinamika, kesetimbangan termal terjadi jika temperatur sistem sama (T1=T2).

• Bagaimana hal ini dipahami di Mekanika Statistik?

• Definisikan Ω (N,V,E)= banyak microstate terkait denganmacrostate dengan nilai besaran (N,V,E) tertentu.

• Tinjau 2 buah sistem makroskopik 1 dan 2 yg dipisah dindingdiathermal. Gabungan sistem 1+2 terisolasi.

• Asumsi

• N1, N2 : masing-masing konstan

• V1, V2 : masing-masing konstan

• E0= E1+E2= konstan

N1,

E1

V1

N2,

E2

V2

Kesetimbangan Thermal DalamMekanika Statistik

• Banyak keadaan sistem-1 : Ω1 (N1 ,V1 ,E1)

• Banyak keadaan sistem-2 : Ω2 (N2 ,V2 ,E2)

• Banyak keadaan sistem 1+2, dimana energi sistem 1: E1 dansistem 2: E2 adalah:

Ω (E1,E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E0-E1)

• Kesetimbangan tercapai jika nilai E1 memaksimalkan Ω (E1,E2)

• Saat kesetimbangan berarti : dΩ/dE1 =0

0)()(

)()(

11

*1

2222

*1

11

*1221111

=

+

=

===

EE

EE

E

E

EEEEEEE

Syarat Kesetimbangan Thermal

• Karena E0=E1+E2, maka saat kesetimbangan thermal :

)()(

)()(

11

*2

2222

*1

11

2211

EE

EE

E

E

EEEE

=

==

2211 *2

22

12*1

11

11

)(

)(

1)(

)(

1

EEEEE

E

EE

E

E==

=

2211 *2

22

*1

11 )(ln)(ln

EEEEE

E

E

E

==

=

0)()(

)()(

11

1

2

*2

2222

*1

11

*1221111

=

+

=

===

EE

E

E

EE

E

E

EEEEEEE


• Bandingkan dengan kesetimbangan thermal menurutthermodinamika, yaitu T1= T2, dan

• Maka ln Ω sebanding dengan S (entropi thermodinamika). Planck mengusulkan :

• Dengan k: konstanta Boltzmann.

)(ln EkS =

TE

S

VN

1

,

=


• Dalam limit thermodinamika, formulasi yang ekivalen daribentuk diatas adalah :

• Γ(E) : banyak keadaan dengan H < E

• ρ(E) : density of states (dΩ/dE) atau rapat keadaan

)(ln EkS =

)(ln EkS =

Berapa Besar Fundamental Volume ω0?

Tinjau kasus Osilator harmonis 1D.

Hamiltonian sistem 1 partikel :

Persamaan geraknya :

Dengan solusi umum :

Energi total osilator E :

Persamaan trayektori di ruang fasa (q,p) untuk H=E=konstan→Permukaan

0=+ qm

kq

m

pkqpqH

22

1),(

22 +=

)cos()( 0 += tAtq

222

2

1

2

1AmkAE ==

Em

p

k

qEH =+=

2/2

22

12/2

22

=+mE

p

kE

q

Persamaan Ellips

2mk =

12/2

2

2

2

=+mE

p

mE

q

• “Volume” (Luas) ellips di ruang fasa

• Luas kulit ellips dengan energi antara

E-1/2 dan E-1/2:

Berapa Besar Fundamental Volume ω0?

q

pmE2

2/2 mE

EmEmEA

2/22 2 ==

=−−+==

−−

2)2/1()2/1(

2

2/12/1

EEdqdpAEHE

• Menurut Mekanika Kuantum, energy 1 Osilator Harmonis :

En= (n+1/2)ћω

Menghitung Banyak Keadaan (semi klasik)

hA ==

2

Nh3

=

• Jadi jarak antara 2 energi berdekatan E= ћω

• Berarti nilai terkecil : = ћω

• Luas terkecil di ruang fasa yang berisi 1 status keadaan:

• “Volume” fundamental di ruang fasa yg berisi 1 status keadaan:ω0=h

• Hal ini berlaku umum, (px)terkecil berisi 1 status keadaan = h

• Sehingga secara umum: untuk N partikel dalam V banyakstatus keadaan Ω:

Banyak Keadaan Ensembel Mikrokanonik

==−− 2/

33

32/

33 1),,(

EH

NN

NEH

NN pqddh

pqddtpq

• Jadi banyak status keadaan untuk ensembel mikrokanonik :

• Batasan Volume di ruang fasa di atas dapat diganti menjadi: hypersurface atau hypervolume

Strategi Menerapkan EnsembelMikrokanonik

1. Dapatkan Hamiltonian sistem yang terisolasi

2. Tentukan “volume” di ruang fasa yg dipakai (alternative):

H= E= konstan = hypersurface

E-/2 < H < E+/2 : hypershell

H < E = konstan : hypervolume

3. Hitung banyak keadaan microstate terkait:

Ω, atau ρ atau Γ

4. Pakai definisi entropi S = k ln Ω, atau k ln ρ atau k ln Γ


5. Pecahkan persamaan U = fungs (S,V) dengan U=E= energisystem

6. Pakai hubungan-hubungan Thermodinamika, misalnya:

7. Pergunakan berbagai hubungan thermodinamika yg lain untuk mendapatkan berbagai besaran thermodinamika ygdikehendaki, misalnya

USV V

ST

S

UP

S

UT

−=

−=

=


A = U – TS

G = U+PV – TS

V

VT

UC

=

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V

++++

===

mEppp

zyx

mEpppVEHzyxzyx

dpdpdph

Vpdqd

hpqddt

2)(

3

2)(

33

3

33

1222222

1),,( pq

m

pppH

zyx

2

222 ++=

3

3

4pVp =

3

3

13

4)(

h

pVp

=

mEp 22 =

3

2/3

13

)2(4)(

h

mEVE

=

Hamiltonian Partikel tunggal bebas :Banyak keadaan dalam hypervolumedengan H =<E:

Integralnya = volume bola dalam ruangmomentum dengan jari-jari, p2=2mE

Sehingga banyak keadaannya :

Atau dalam variabel energi :

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V

Density of state (rapat keadaan, thd energi:

Dengan cara serupa akan kita turunkan untuk N partikel bebas dalam ruang volume V.

dEh

EmV

dE

EddEEg

3

2/12/3

1 )2(2)()(

=

=

Gas Ideal dalam Volume V

=

== ++

mEpppV

N

NEH

NN

N

iziyix

pdqdh

pqddt

2

33

3

33

222

1),,( pq

=

++=N

i

iziyix pppm

H1

222

2

1

Hamiltonian N partikel bebas dalam volume V :

Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:

++

=

mEppp

NzNyNxzyx

N

N

iziyix

dpdpdpdpdpdph

V

2

1113222

Gas Ideal dalam Volume V

)12

3(

)2()(

)12

3(

)(2/32/3

3

32/3

3

+

=

+

=N

mEEV

N

RRV

NN

N

NN

N

Integralnya = volume hypersphere dalam ruang momentum dengan jari-jari, R2=2mE, sehingga volum hypersphere-nyaadalah :

Dengan Γ(x) : fungsi gamma!Jadi banyak keadaan dalam hypervolume dengan H <=E:

)12

3(

)2()(

2/32/3

33

+

=

N

mE

h

VE

NNN

N

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal

Definisi entropi diberikan oleh

Entropi S : S= k ln ΩUntuk N besar dapat dipakai aproksimasi Stirling :

ln x! xlnx - x

+

+

+

== )2ln(2

3ln

)12

3(

ln)(ln),(3

2/3

3 mEN

h

VN

NkEkVES

N

N

2

3)

2

3ln(

2

3ln

2

3)!

2

3ln(ln

2

3

)12

3(

ln2/3 NNNNNN

N

N

+−−=

+

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal

Sehingga entropi dapat diaproksimasi sbb:

Untuk menurunkan berbagai perilaku thermodinamika, tuliskan E sebagai fungsi E:

Temperature T: atauPersamaan keadaan diperoleh dari :

2

3

3

4ln),(

2/3

2

Nk

Nh

mEVNkVES +

=

Nk

U

S

UT

V 3

2=

=

−

= 1

3

2exp

4

3),(

3/2

2

Nk

S

V

N

m

hVSEU

NkTU2

3=

V

NkT

V

U

V

UP

S

==

−=

3

2

Paradox Gibbs

Telah diturunkan entropi Gas Ideal is:

Untuk gas ideal monoatomik telah diperoleh bahwa:

Sehingga S dapat ditulis ulang sbb:

2

3

3

4ln),(

2/3

2

Nk

Nh

mEVNkVES +

=

NkTUE2

3==

+==

+=

20

0

2/3

3

4ln1

2

3

2

3)(

)ln(),(

h

mkskTTu

NsVuNkVES

Paradox Gibbs

• Sekarang, tinjau sebuah volume V yang disekat 2, masing V1 berisi N1 dan V2 berisi N2, sehinggaV=V1+V2, N=N1+N2.

• Misal kedua gas memiliki massa dan temperature ygsama.

• Kemudian kedua gas tersebut diperbolehkanbercampur! Tentu suku u(T) tetap sama setelahpencampuran.

Pertanyaan : berapa perubahan entropi yang terjadiakibat pencampuran ini ?

Paradox Gibbs

Entropi sistem mula-mula Si = S1+S2

Entropi sistem setelah pencampuran: Sf

Perubahan entropinya : S

Karena V>V1 V>V2, maka S>0

02

2/3

2201

2/3

11 )ln()ln( sNuVkNsNuVkNSi +++=

021

2/3

21210

2/3 )())ln(()()ln( sNNuVVkNNNsVuNkS f ++++=+=

if SSS −=

)ln()ln(

)ln()ln()ln(

2

2

1

1

2211

V

VkN

V

VkNS

VkNVkNVNkS

+=

−−=

Paradox Gibbs

• Padahal kedua volum mengandung gas dengantemperatur sama dan massa sama (sejenis),

• maka ketika dicampur tak ada alasan entropinyabertambah!

• Bayangkan berapa entropinya jika partisi ruang V, banyak?

• Entropi jadi tak terdefinisikan! (Kenapa?)

Solusi Gibbs:Menghitung jumlah status keadaan salah, mestinyadibagi N! (tanpa ada penjelasan alasannya!)Buktikan hal ini tidak mempengaruhi fungsi-fungsithermodinamika yang diperoleh dan mampumenjelaskan perubahan entropinya!

chap 2: postulate mekanika statistik dan teori ensembel

Documents