buku ajar statistika industri
DESCRIPTION
Berisi tentang materi2 statistika industriTRANSCRIPT
Tahun Pembuatan : 2011
Dibuat oleh team dosen Statistika Industri:
Ir. Wiyono MT
Judi Alhilman Drs. MSIE
Ir. Hermita dyah MT.
FAKULTAS REKAYASA INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
KATA PENGANTARBismillaahirrohmaanirrohiim,
Assalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh
Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata
kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya
yang harus diperbaiki di masa yang akan datang.
Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan
digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di
mana penyusun mengajar.
Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih
dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga
mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang
disampaikan oleh dosen di kelas.
Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang
telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan
tinggi.
Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan
memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih
kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini.
Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi
perbaikan Buku Ajar ini ke depannya.
Wassalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh.
Bandung, Agustus 2011,
Penulis
(team dosen Statistika Industri )
| RISET OPERASI II I-2
SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)
Mata Kuliah : Statistika Industri (3 SKS)
Kode Mata Kuliah : IE2333
Buku Acuan :
1. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 20072. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 20063. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlanggan (Terjemahan), 19884. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.19785. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 19816. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 19787. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.
| RISET OPERASI II I-3
Minggu
ke
Pokok Bahasan
Materi Tujuan Instruksional
Umum (TIU)
Tujuan Instruksional
Khusus (TIK)
Kegiatan Evaluasi
Acuan
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
1. Pendahuluan
Teori Sampling Mahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling
Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:
1. sampling2. populasi dan sample3. statistik dan parameter
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 8)
2. Distribusi sampling rataan
Distribusi sampling rataan dari satu populasi dan dua populasi ( Z dan t)
Mahasiswa memahami distribusi sampling rataan dari satu populasi dan dua populasi
Mahasiswa mampu:
1. menjelaskan teorema “central limit”
2. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling satu rataan dan dua rataan
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 8]
3. Distribusi sampling variansi
Distribusi sampling variansi ( Chi Square dan F)
Mahasiswa memahami distribusi sampling Chi Square
Mahasiswa mampu:
1. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 8]
| RISET OPERASI II I-4
dan F satu populasi2. menghitung nilai
probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi
4. Distribusi sampling proporsi
Distribusi sampling proporsi dari satu populasi dan dua populasi
Mahasiswa memahami distribusi sampling proporsi dari satu populasi dan dua populasi
Mahasiswa mampu:
1. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari satu populasi
2. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 9]
5. Estimasi rataan populasi
1. Pengertian dan sifat-sifat estimator
2. Estimasi rataan satu populasi
3. Estimasi rataan dua populasi
4. Estimasi Bayes
Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang rataan baik satu populasi maupun dua populasi
Mahasiswa mampu :
1. menjelaskan pegertian dan sifat-sifat umum estimator
2. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator rataan populasi
3. menghitung nilai estimasi selang rataan suatu populasi (satu dan dua populasi).
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 9, 18]
[2, Bab 6]
[3, Bab 9]
| RISET OPERASI II I-5
4. menghitung nilai estimasi selang rataan menggunakan metoda Bayes
6. Estimasi proporsi populasi
1. Estimator proporsi
2. Estimasi selang proporsi baik satu dan dua populasi
Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang proporsi baik satu populasi maupun dua populasi
Mahasiswa mampu :
1. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi
2. menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi (satu dan dua populasi).
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 9]
[2, Bab 6]
7. Estimasi variansi
3. Estimator variansi
4. Estimasi selang varisni baik satu dan dua populasi
Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang variansi baik satu populasi maupun dua populasi
Mahasiswa mampu :
3. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator variansi populasi
4. menghitung nilai estimasi selang variasni suatu populasi (satu dan dua populasi).
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 9]
[2, Bab 6]
8. UTS
9. Uji 1. Jenis kesalahan dalam uji
Mahasiswa memahami pengertian
Mahasiswa mampu : Tatap Tanya [1, Bab
| RISET OPERASI II I-6
Hipotesis hipotesis2. Uji hipotesis
rataan, proporsi dan variansi baik dari satu maupun dua populasi
kesalahan dalam uji hipotesis dan uji hipotesis rataan, proporsi dan variansi baik satu populasi maupun dua populasi
3. menjelaskan kesalahan dalam uji hipotesis
4. melakukan uji hipotesis rataan, proporsi dan variansi suatu populasi (satu dan dua populasi).
muka
Diskusi
Jawab 10]
[2, Bab 8]
10. Uji Hipotesis
1. Goodness of fit2. Uji independesi
Mahasiswa memahami metoda uji goodness of fit dan uji independensi
Mahasiswa mampu :
5. melakukan uji goodness of fit
6. melakukan uji independesi
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 10]
[2, Bab 8]
11. Regresi sederhana
3. Regresi sederhana
Mahasiswa memahami metoda regresi sederhana
Mahasiswa mampu :
1. melakukan perhitungan regresi sederhana
7.
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 11]
12. Korelasi 1. Korelasi2. Korelasi parsial
Mahasiswa memahami konsep korelsi dan korelasi parsial
Mahasiswa mampu :
1. Menghitung nilai korelasi dan korelasi parsial
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 11]
[3, Bab 14, 15]
13. Uji 1. Uji tanda Mahasiswa Mahasiswa mampu : Tatap Tanya [1, Bab
| RISET OPERASI II I-7
Hipotesis non parametrik
2. Run test memahami metoda uji tanda dan run test
3. melakukan uji tanda4. melakukan run test
muka
Diskusi
Jawab 16]
[2, Bab 8]
14. Uji Hipotesis non parametrik
1. Uji Wilcoxon2. Uji Kruskal
Wallis
Mahasiswa memahami metoda uji Wilcoxon dan Uji Kruskal Wallis
Mahasiswa mampu :
3. melakukan uji Wilcoxon4. melakukan uji Kruskal
Wallis
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 16]
[2, Bab 8]
15. Uji variansi satu arah
1. Metoda analisis varian
2. CRD (complety randomize design)
Mahasiswa memahami metoda uji variansi satu arah
Mahasiswa mampu :
1. Menjelaskan metoda uji variansi
2. melakukan uji variansi satu arah
Tatap muka
Diskusi
Tanya Jawab
[1, Bab 13]
[2, Bab 10]
16. UAS
| RISET OPERASI II I-8
Penilaian :
UTS : 35%
UAS : 35%
QUIS : 10%
TUGAS : 20%
| RISET OPERASI II I-9
Buku Ajar Statistika Industri FRI
DAFTAR ISI
BAB I TEORI SAMPLING....................................................................................................1
I.1 PENGERTIAN DASAR....................................................................................1
I.1.1 Sampling................................................................................................1
I.1.2 Sample (n) :............................................................................................1
I.1.3 Elemen / unsur........................................................................................2
I.1.4 Populasi (N)...........................................................................................2
I.1.5 Kerangka sampel....................................................................................2
I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK....................................................................2
I.3 UKURAN SAMPEL..........................................................................................5
I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL..............................................7
I.4.1 Sampling dengan Pengembalian............................................................7
I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian :.............................................................8
I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya.....................................8
I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL.......................................................14
I.5.1 Penyajian Data.....................................................................................14
I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi....................................................................14
I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif :...............................................................18
I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik...........................................................19
BAB II DISTRIBUSI SAMPLING.......................................................................................24
II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z.........................................................24
II.2 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T.........................................................28
II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI..........................................................31
II.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI...................................32
II.5 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI..........................................................34
BAB III TEORI ESTIMASI....................................................................................................36
III.1 ESTIMASI RATAAN......................................................................................36
III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel........................................................36
III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; σ diketahui............................................36
III.1.3 Kesalahan estimasi...............................................................................37
III.1.4 Sampel sedikit......................................................................................38
x IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui...................................39
III.2 ESTIMASI PROPORSI...................................................................................40
III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi..............................................................45
III.3 ESTIMASI VARIANSI...................................................................................48
III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi.............................................................50
BAB IV UJI HIPOTESIS........................................................................................................54
IV.1 HIPOTESIS STATISTIK.................................................................................54
IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS..................................................................55
IV.2.1 Uji Ekasisi............................................................................................55
IV.2.2 Uji Dwisisi...........................................................................................57
IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS......................................57
IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS...............................................60
IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN.....................................................................60
IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI..................................................................63
IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI..................................................................66
BAB V UJI CHI-SQUARE....................................................................................................72
V.1 GOODNESS OF FIT TEST.............................................................................72
V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)..........................................................76
BAB VI REGRESI DAN KORELASI....................................................................................81
VI.1 REGRESI.........................................................................................................81
VI.1.1 Regresi Linier Sederhana.....................................................................81
VI.1.2 Regresi Linier Berganda......................................................................87
VI.2 KORELASI......................................................................................................89
VI.2.1 Definisi Korelasi..................................................................................89
VI.2.2 Koefisien Korelasi................................................................................89
VI.2.3 Teknik Korelasi....................................................................................90
VI.2.4 Uji Hipotesis Korelasi..........................................................................95
BAB VIIANOVA....................................................................................................................99
VII.1ONE WAY ANOVA...........................................................................................99
VII.2 TWO WAY ANOVA........................................................................................102
VII.2.1Two Way Anova dengan n replikasi..................................................103
xi IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
xii IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB I. TEORI SAMPLING
Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:
a) Pengertian dasar teori sampling
b) Syarat sampel yang baik
c) Ukuran sampel
d) Teknik-teknik pengambilan sampel
e) Teknik penyajian data sampel
1 IT TELKOM
PENDAHULUAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat
menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat
menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling
2. Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik
3. Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik.
4. Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample
5. Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
2 IT TELKOM
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.1 PENGERTIAN DASAR
I.1.1 Sampling
Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang
berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah
penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang
tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung.
I.1.2 Sample (n) :
Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota
populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya
elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi
adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas
seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya,
seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak
meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari
keseluruhan elemen atau unsur tadi.
Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara
lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin
seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia,
3 IT TELKOM
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan
kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap
populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan
kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (Uma
Sekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh
elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari
satu pohon jeruk
Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya
dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya
harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik
sampling atau teknik pengambilan sampel .
I.1.3 Elemen / unsur
Elemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan
keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian.
Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah
pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500
elemen penelitian.
I.1.4 Populasi (N)
Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan
berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan
variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK
dengan karektaristik indeks antara 0-4.
Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan
obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk
tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti
adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka populasinya adalah keseluruhan laporan
keuangan perusahaan “X” tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen
“A” maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen “A”.
4 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.1.5 Kerangka sampel
Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi,
sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan
bagian dari populasi.
I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK
Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin
karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa
mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat
Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel
tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda).
Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.
Pertama : Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam
sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin
akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi.
Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa “there is no systematic variance”
yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh
yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu
titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan,
lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau
skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil
secara sistematis
Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian
adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang
terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976).
Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang
akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk
dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya
salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan
Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata
Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.
5 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam
menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang
memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon
dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih oleh
masyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh :
(1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya
jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus
mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976).
Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi.
Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik
populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur
ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun
berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata-rata 58
unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil
penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat
perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat
presisi sampel tersebut.
Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh
karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang
dikenal dengan nama “sampling error” Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error).
Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan
simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak
selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah
sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah
( Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara
populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah. Katakanlah
dari 50 menjadi 75.
Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti
yang diutarakan oleh Kerlinger
6 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.3 UKURAN SAMPEL
Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah
”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar hasil (berupa data
perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan
(statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95
disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90.
Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting
manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis
kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan
menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnya
sedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat.
Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor
lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana
analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989).
Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang
harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun
harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan
perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat
pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang
pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang
dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa
apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable).
Misalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 400 buah.
Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya
mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika
7 IT TELKOM
besar
kesalahan
kecil
kecil besarBesarnya sampel
Buku Ajar Statistika Industri FRI
ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran
populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30,
maka sampelnya harus 100%.
Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi,
penelitian korelasional, paling sedikit 30 elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, 30
elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan
Diehl, 1992).
Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah
sampel sebagai berikut :
1. Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen
2. Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb),
jumlah minimum subsampel harus 30
3. Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel
harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis.
4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran
sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen.
Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa
dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)
Tabel I.1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel
Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n)10 10 220 140 1200 29115 14 230 144 1300 29720 19 240 148 1400 30225 24 250 152 1500 30630 28 260 155 1600 31035 32 270 159 1700 31340 36 280 162 1800 31745 40 290 165 1900 32050 44 300 169 2000 32255 48 320 175 2200 32760 52 340 181 2400 33165 56 360 186 2600 33570 59 380 191 2800 33875 63 400 196 3000 34180 66 420 201 3500 34685 70 440 205 4000 35190 73 460 210 4500 35495 76 480 214 5000 357
8 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
100 80 500 217 6000 361110 86 550 226 7000 364120 92 600 234 8000 367130 97 650 242 9000 368140 103 700 248 10000 370150 108 750 254 15000 375160 113 800 260 20000 377170 118 850 265 30000 379180 123 900 269 40000 380190 127 950 274 50000 381200 132 1000 278 75000 382210 136 1100 285 1000000 384
Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji
statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik
yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau
dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk
menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic
Statistics for Social Research, Second Edition)
I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL
Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.
9 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
Gambar I.1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih
I.4.1 Sampling dengan Pengembalian Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelum
dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih
dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang
mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa
dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang
berkatian dengan pengambilan sampel.
I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian :Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam populasi.
Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi
berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang
mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk
menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa
pengembalian adalah: nCr = n!/(r!(n-r)!)
10 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya
I.4.3.1 Random sampling Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan
yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya
ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai
kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel.
Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah
memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame”.
Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen
populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang
orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi
penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi “A”, maka peneliti harus bisa memiliki daftar
semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi “A “ tersebut selengkap mungkin.
Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya..
Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika
populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar
seluruh rumah tangga kota tersebut. Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka
penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan,
Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda
satu sama lainnya.
Di samping sampling frame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan
penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi
sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau
undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen
populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu
konsep “acak” atau “random” itu sendiri.
1. Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana
Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif
dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen
populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam
populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan
11 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Selama perbedaan gender, status
kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut
bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana.
Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa
dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :
o Susun “sampling frame”
o Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil
o Tentukan alat pemilihan sampel
o Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi
2. Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan
Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut
mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat
mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap
manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas
cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji
dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat
atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random
12 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu
stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum
tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya :
o Siapkan “sampling frame”
o Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki
o Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum
o Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.
Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan
secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional
adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi
dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15
manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada
100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang
akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 =
9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer.
Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau
elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam
stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambil
semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II)
ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.
3. Cluster Sampling atau Sampel Gugus
Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan
gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana
setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-
laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus
boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen. Misalnya,
dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat
banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis kelaminnya, beda tingkat
pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan-
perbedaan lainnya. Jika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai
terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat
13 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau
dua departemen saja. Prosedur :
a. Susun sampling frame berdasarkan gugus
b. Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel
c. Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak
d. Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample
4. Systematic Sampling atau Sampel Sistematis
Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat
pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan.
Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu
unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang “keberapa”. Misalnya, setiap
unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa”-nya satu
unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran
sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil
adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan
seterusnya adalah 25. Prosedurnya :
Susun sampling frame
Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil
Tentukan K (kelas interval)
Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau
random – biasanya melalui cara undian saja.
Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.
Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya
5. Area Sampling atau Sampel Wilayah
Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi
penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer
sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas
sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat.
Prosedurnya :
o Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) –
Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.
14 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
o Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?,
Kecamatan?, Desa?)
o Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.
o Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.
o Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya,
bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah.
I.4.3.2 Non random sampling atau nonprobability samplingSeperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak
semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi
sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau
karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.
1. Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan.
Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali
berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang
tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa
penulis menggunakan istilah accidental sampling – tidak disengaja – atau juga captive
sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk
penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya
diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis
sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.
2. Purposive Sampling
Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu.
Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa
seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya.
Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.
Judgment Sampling
Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang
paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data
tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka
manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi.
15 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel
karena mereka mempunyai “information rich”.
Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya yang
dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau
karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan
terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory,
1992).
Quota Sampling
Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara
proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja.
Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika
seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi
maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan
pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel
tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.
3. Snowball Sampling – Sampel Bola Salju
Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi
penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa
dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada
sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel.
Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga
perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan
wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa
mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil
diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian
lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-
kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).
4. Haphazard Sampling
Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun
tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian
mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada
16 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang
pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.
I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL
I.5.1 Penyajian Data
Penyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Data-
data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh
dengan berbagai cara, antara lain:
Wawancara
Pengamatan
Surat menyurat
Kuisioner
Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data)
dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lain-
lain.
I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi
Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat
dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah
dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data
berkelompok.
Tabel I.2 Contoh tabel distribusi frekuensi
Kelas interval Frekuensi3 – 5 26 – 8 59 – 11 712 – 14 115 – 17 1
Langkah-langkah distribusi frekuensi: 1. Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya.
2. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu
17 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
N : banyaknya pengamatan
Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15
3. Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :
KI=Xmaks−X min
k= jangkauan
k
KI sebaiknya kelipatan 5.
4. Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval
kelas.
5. Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas
atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas).
6. Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau
poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah
dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x
satuan pengukuran terkecil dari data).
Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi
frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :
Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval
kelas
Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval
kelas
Contoh Batas Kelas :
Kelas Jumlah Frekuensi (F)1 215 2122 142 2123 4030 43 4031 5938 14 5939 7846 15 7847 9754 1
Interval
18 IT TELKOM
k = 1 + 3,3 log N
Nilai tengah Kelas ke 1= [ 215 + 2122] / 2= 1168.5
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu
angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di
tengah-tengah pada setiap interval kelas.
Contoh nilai tengah:
Kelas Nilai tengah1 215 2122 1168.52 2123 4030 3076.53 4031 5938 4984.54 5939 7846 6892.55 7847 9754 8800.5
Interval
Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan
nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan
penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua.
Contoh nilai tepi
kelas :
19 IT TELKOM
Batas kelas bawah
Batas kelas atas
Kelas IntervalJumlah Frekuensi (F)
Nilai Tepi Kelas
1 215 2122 14 214.5
2 2123 4030 3 2122.5
3 4031 5938 1 4030.5
4 5939 7846 1 5938.5
5 7847 9754 1 7846.5
9754.5
Nilai tepi kelas ke 2 = [ 2122 +2123 ] / 2= 2122,5
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 1 :
1.
2. N = 20
k = 1 + 3,322 Log 20
k = 1 + 3,322 (1,301)
k = 1 + 4,322
k = 5,322
3. Nilai tertinggi = 9750
Nilai terendah = 215
Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907
Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas
atau kategori
20 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754
Interval
4. Lakukan penturusan atau tabulasi data
Kelas Interval Frekuensi Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 IIIII IIIII IIII 14
2 2123 4030 III 3
3 4031 5938 I 1
4 5939 7846 I 1
5 7847 9754 I 1
21 IT TELKOM
Nilai terendahKelas ke 2= 2122 + 1= 2123
Nilai tertinggi := 215 + 1907= 2122
2122
2123
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif :
Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan
frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca data
secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.
22 IT TELKOM
Frekuensi relatif (%)= [ 14 / 20 ] x 100 %= 70 %
Contoh Distribusi Frekuensi Relatif :
Kelas IntervalJumlah Frekuensi (F)
Frekuensi relatif (%)
1 215 2122 14 70
2 2123 4030 3 15
3 4031 5938 1 5
4 5939 7846 1 5
5 7847 9754 1 5
Buku Ajar Statistika Industri FRI
I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik
Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam
bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu
grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik
kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya.
1. Grafik Histogram
Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk
tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau
selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam
mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang
berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu
horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y).
Contoh Histogram:
Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 14
2 2123 4030 3
3 4031 5938 1
4 5939 7846 1
5 7847 9754 1
Gambar I.2 Contoh Histogram
2. Grafik Polygon
23 IT TELKOM
Tepi Kelas0
5
10
15
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik–titik yang merupakan
koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut.
Contoh Grafik Polygon:
Kelas Nilai Jumlah
Tengah Frekuensi (F)
1 1168.5 14
2 3076.5 3
3 4984.5 1
4 6892.5 1
5 8800.5 1
Gambar I.3 Contoh Grafik Polygon
3. Kurva Ogif
Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval
kelas dengan frekuensi kumulatif.
Contoh kurva ogif:
KelasInterval
Nilai Tepi KelasFrekuensi kumulatif
Bawah Atas Kurang dari Lebih dari
1 215 2122 214.5 0 20
2 2123 4030 2122.5 14 6
24 IT TELKOM
Jumlah Frekuensi (F)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5
Jumlah Frekuensi (F)
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3 4031 5938 4030.5 17 3
4 5939 7846 5938.5 18 2
5 7847 9754 7846.5 19 1
9754.5 20 0
Gambar I.4 Contoh kurva ogif
4. Box plot
Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi
kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian
tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3,
dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :
25% 25% 25% 25%
Xmin K1 K2 K3
Xmax
Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai.
Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan :
Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median
Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak
antara K1 dan K3
Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak
median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif
25 IT TELKOM
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6
Interval kelas
Frek
uans
i Kum
ulat
if
Kurang dari
Lebih dari
Buku Ajar Statistika Industri FRI
(menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke
K3.
Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau
tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilai-
nilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung
menggunakan rumus :
Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat
(∗), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο).
Gambar I.5 contoh boxplot
5. Diagram dahan daun
Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini
sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk
sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahan-
daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi
visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi
antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada
histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data.
Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua
bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun. Angka yang menjadi
daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir.
Gambar I.6 contoh diagram batang daun
26 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
27 IT TELKOM
Stem-and-leaf of C1 N = 30Leaf Unit = 1.03 0 3335 0 457 0 6611 0 8899(6) 1 00001113 1 22239 1 557 1 66 1 884 2 012 22 2 44
Buku Ajar Statistika Industri FRI
SOAL – SOAL SAMPLING
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan:a) Sampling seadanyab) Sampling purposifc) Sampling pertimbangand) Sampling kuotae) Sampling nonpeluangf) Sampling peluangg) Sampling acakh) Sampling proporsionali) Sampling petalaj) Sampling areak) Sampling sistematikl) Sampling gandam) Sampling tunggaln) Sampling multipleo) Sampling sekuensialp) Sampling klaster
2. Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsampling!
3. Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara:a) Pengembalianb) Tanpa pengembalianc) Ada berapa buah sampel yang mungkin?
4. Diberikan sebuah populasi dengan data:23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24Diambil sampel berukuran dua.a) Ada berapa buah sampel semuanya?b) Berikan semua sampel yang mungkin!c) Tentukan rata-rata tiap sampel!d) Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya!e) Hitunglah rata-rata populasi!f) Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak?
5. PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yang relatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. Apabila PT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor
28 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke-1.
6. PT Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya. Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaan masing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.
Kelompok/Strata Jumlah Perusahaan
Tenaga kerja 1-5 5
Tenaga kerja 6-10 15
Tenaga kerja 11-15 20
Tenaga kerja 16-20 5
Tenaga kerja 21-25 10
Tenaga kerja >25 5
7. Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7.
Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian,
Carilah:
a) Rata2 dan simpangan baku populasib) Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya.c) Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?
8. Diketahui data sbb:
Umur: 29 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59
Frek.: 1 1 3 4 2 3 2 2 3 1 1 1
Buatlah diagram kotak garisnya /box plot
29 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB II DISTRIBUSI SAMPLING
Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi
yaitu:
a) Distribusi sampling rataan Z
b) Distribusi sampling rataan T
c) Distribusi sampling proporsi
d) Distribusi sampling proporsi 2 populasi
e) Distribusi sampling variansi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan
macam-macam distribusi sampling.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
30 IT TELKOM
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan
prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi
Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan
kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering
menggunakan sampel dari populasi tersebut.
Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan
250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas
minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh x = 246 ml, dan berdasarkan
hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-
rata isi μ = 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang
tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan
ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel
seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai x yang didapat nantinya
berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin
tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada
sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu
statistik disebut dengan distribusi sampel.
II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z
Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan μ dan
variansi σ2. Tiap pengamatan X i, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi
normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat
merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa
31 IT TELKOMX=
X1+X2+…+X3
n
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Berdistribusi normal dengan rataan
Dan variansi
32 IT TELKOM
μX=μ+μ+…+μ
n=μ
Buku Ajar Statistika Industri FRI
33 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
34 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
35 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
36 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak,
maka distribusi sampel X masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan μ dan
variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema
Limit Pusat, yaitu bila X rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan
rataan μ dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi
bila n ∞, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)
Hampiran normal untuk X umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran
besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n <
30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila
populasinya normal, maka distribusi sampel X akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran
sampelnya tidak menjadi masalah.
37 IT TELKOM
Z= X−μ
σ /√n
Contoh :
Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan μ1 dan variansi σ21,
dan yang kedua dengan rataanμ2 dan variansi σ22. Misalkanlah statistik X 1 menyatakan rataan
sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik X 2 menyatakan
rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu
sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, X1−X2, berdistribusi hampir normal
dengan rataan dan variansi :
38 IT TELKOM
Z= X−μ
σ /√n
Jawab :
Secara hampiran, distribusi sampel X akan normal dengan μX = 800 dan σ X = 40 / √16 = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar 1.1. Nilai z yang berpadanan dengan x = 775 adalah
z=775−80010
=−2,5
Sehingga
P(X < 775) = P(Z < -2,5)
= 0,0062
σ X=10
μX 1−X 2=μ1−μ2
σ 2X 1−X2
=σ 2
1
n1
+σ2
2
n2
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Sehingga
Secara hampiran merupakan peubah normal baku.
Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi X1−X2 sangat baik tidak
tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal
lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua
populasi normal, maka X1−X2 berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.
39 IT TELKOM
Z=( X1−X 2)−(μ1−μ2)
√(σ12/n1 )+(σ2
2/n2 )
Contoh :
Suatu sampel berukuran n1 = 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi normal dengan rataan μ1 = 50 dan variansi σ2
1 = 9, dan rataan sampel x1 dihitung. Sambel acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal, dengan rataanμ2 = 40 dan variansi σ2
1 = 4, dan rataan sampel x2
dihitung. Cari nilai P(X1−X2 < 8,2)!
Buku Ajar Statistika Industri FRI
40 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T
Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan
menghitung nilai S2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S2 akan berubah cukup besar
dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak (X−μσ /√n
) menyimpang cukup jauh
dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang
dinamakan distribusi t, dengan
Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat
kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
41 IT TELKOM
Jawab :
Dari distribusi sampel X1−X2 kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :
Rataan : μX 1−X 2=μ1−μ2=50−40=10
Variansi : σ 2X 1−X2
=σ 2
1
n1
+σ2
2
n2
=95+ 4
4=2,8
Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai x1−x2 = 8,2, diperoleh
z=8,2−10
√2,8=−1,08
Sehingga
P(X1−X2 < 8,2) = P(Z < −1,08)
= 0,1401
σ X 1−X2=1,673
T= X−μS/√n
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Diberikan oleh
Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.
Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal
dari populasi normal. Selanjutnya :
Dengan
Berdistribusi normal baku, dan
Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari
populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa X dan S2 bebas, oleh karena itu Z dan V juga
bebas. Sekarang akan kita turunkan distribusi T.
Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya
berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung
pada dua besaran yang berubah-ubah, X dan S2, sedangkan nilai Z hanya tergantung pada
perubahan X dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T
bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran
42 IT TELKOM
V = ∞
T= Z
√V /v
h( t)=Г [ (v+1 ) /2]Г (v+2 )√π v (1+ t 2
v )−(v+1)/2
, −∞<t<∞
T=(X−μ)/(σ /√n)
√S2/σ 2= Z
√V /(n−1),
Z= X−μσ /√n
V=(n−1)S2
σ 2
Buku Ajar Statistika Industri FRI
sampel, n ∞, kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan
hubungan antara distribusi normal baku (v = ∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2
dan 5.
Gambar 1.3 Kurva distribusi t
Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t 1−∝=−t∝, yaitu nilai t yang luas sebelah
kanannya 1−∝, atau luas sebelah kirinya ∝, sama dengan minus nilai t yang luas bagian
kanannya ∝
43 IT TELKOM
V = 2
V = 5
V = ∞
t 1−∝=−t∝ t∝0
Buku Ajar Statistika Industri FRI
II.2
DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N.
Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n
dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :
44 IT TELKOM
Contoh :
Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500
jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t
yang dihitung terletak antara -t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik tadi
akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari
sampel dengan rataan X= 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi
waktu menyala ,secara hampiran,normal.
Jawab :
Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat
kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan
puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu
memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila
memang μ = 500, maka :
t=518−500
40 /√25=2,25
Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang
mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v =
24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara
hampiran adalah 0,02. Bila μ > 500, nilai t hasil
perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar.
Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan
menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada
yang didudaganya semula.
Buku Ajar Statistika Industri FRI
1. Rata-rata
μ p=μ p=XN
2. Simpangan baku
σ p=√ p (1−p )n
.√ N−nN−1
3. Variabel random
Z= p−pσ p
Contoh :
Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk
mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :
a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang
memakai detergen A!
b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang
memakai detergen A, tentuka probabilitasnya!
Jawab:
a. Rata-rata = 0,1
σ p=√ p (1−p )n
=√ 0,1.0,9100
=0,03
b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15
Z= p−pσ p
=0,15−0,10,03
=1,67
P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475
II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI
Terdiri dari 2 populasi.
Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsi X1/N1
Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2/N2
Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akan mengandung
jenis x1 dengan proposi x1/¿ n1. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak
berukuran n2 maka sampel ini juga akan mengandung jenis x2 dengan proporsi x2/n2
45 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.
Distribusinya mempunyai :
a) Rata-rata
μ p1− p2=p1−p2
b) Simpangan baku
σ p1−p 2=√ p1 (1−p1 )
n1
+p2 (1−p2 )
n2
.√ (N1+N2 )−(n1+n2 )(N 1−N2 )−1
c) Variabel random
Z=( p¿¿1− p2)−(p1−p2)
σ p1− p2
¿
Contoh :
5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak
10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari
gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2%
lebih banyak disbanding gudang timur!
Jawab :
Gudang barat : n1=300 , p1=0,1
Gudang timur: n2=200 , p2=0,05
p1 = proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel
p2 = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel
σ p1−p 2=√ p1 (1−p1 )
n1
+p2 (1−p2 )
n2
=√ 0,1 (0,9 )300
+0,05 (0,95 )
200=0,023
Z=( p¿¿1− p2)−(p1−p2)
σ p1− p2
¿ = ( p¿¿1− p2)−(0,1−0,05)
0,023¿
Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka
( p¿¿1− p2)¿ > 0,02 sehingga diperoleh :
z=0,02−0,050,023
=−1,3
46 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Jadi probabilitasnya adalah P ( p¿¿1− p2>0,02)¿ = P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 =
90,32 %.
II.4 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI
Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2, dan variansi
sampel s2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil
perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ 2. Karena itu statistic S2 disebut
penaksir σ 2.
Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.
X2=(n−1)S2
σ2
Contoh
Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan
simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah
pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?
Jawab
Mula-mula dihitung variansi sampel :
s2=(5 ) (48,26 )−(15)2
(5 )(4) = 0,815
Kemudian
X2=(4 )(0,815)
1=3,26
Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai
X2 dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan
menggunakan σ 2 = 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk
mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun
47 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
SOAL – SOAL
1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengambilan diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk :
a) rata-rata ke 1000 rata-rata?b) varians ke 1000 rata-rata?c) rata-rata ke 1000 varians?
2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm.
a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel?Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa :
a) Paling sedikit 155 cmb) Paling besar 175 cmc) Antara 158 cm dan 172 cmd) Kurang dari 160 cm
3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata :
a) antara 62 dan 72b) paling sedikit 72,5c) kurang dari 67
4. Diberikan dua buah populasi dengan: data populasi I: 3,2,3,5,4,8. data populasi II: 10,12,15,10.
a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu :
b) Hitung rata-rata kedua populasi.c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini
µx dan µy.d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan
populasi II. Apa yang nampak?e) Bagaimana untuk µx + µy ?
5. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B.
48 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?
7. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004.
Perusahaan Harga persaham
PT Rajawali 275
PT Bukaka Plantindo 280
PT London 500
PT Inti Boga 350
PT Surya Pangan Nusantara
575
Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?
8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003
Perusahaan Hasil Investasi (%/tahun)
Nikko 17
Investa 15
GTF Tunai 10
Dana Investa 11
Phinis Dana Kas 14
49 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.
9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya?
10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan rata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai?
11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2 = 6, akan mempunyai variansi s2
a) Lebih besar dari 9,1;b) Antara 3,462 dan 10,745c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.
12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai.
13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai – t berada antara −t 0,025 dan t 0,025 maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai x = 27,5 jam dengan simpangan baku s = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.
50 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg?
15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka:
a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000?
b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000?c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling
besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak?
16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baik:
a) Antara 90% dan 98%?b) Paling sedikit 97,5%?
17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan:
a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A?b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A?
18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ.
19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :
f ( x )=( 3x)(2/5)x(3 /5 )3−x
x=0,1,2,3
= 0 untuk lainnya
Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X2
51 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
20. Misalkan x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ x ≤ 2/3)
21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y≤ 1,5¿
22. Diketahui x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ x ≤ 4)
23. Hitunglah P(39,75 ≤ x≤ 41,25) dimana x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. σ 2=8
24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf
f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2
; 0 untuk yang lainnya
a) Hitung µ dan σ 2
b) Hitung P(2/3 ≤ x≤ 5/6)
8.
52 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB III TEORI ESTIMASI
Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan besaran-besaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample.
Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi:
a) Teori estimasi berdasarkan rataan
b) Teori estimasi berdasarkan proporsi
c) Terori estimasi berdasarkan variansi
Pokok bahasan pada materi “teori estimasi” dititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi.
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan,
proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi.
2. Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.
53 IT TELKOM
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
54 IT TELKOM
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
55 IT TELKOM
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
56 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
III.1 ESTIMASI RATAAN
III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel
Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik X . Sebaran statistik ini berpusat
pada µ dan variansinya lebih kecil daripada estimator lain.
σ x2=σ2
n , sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang
semakin kecil.
Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya
cukup besar, dapat diturunkan sbb :
Dari gambar di atas
P (−zα /2<Z<zα /2 ) = 1 - α, dimana Z=x−µ
σ /√n
57 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Jadi P(−zα /2<X−μσ /√n
<zα /2) atau P(X−zα /2σ
√n<μ<X+ zα /2
σ
√n)
Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui dan mean x
yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.
X−zα /2σ
√n<μ<X+zα /2
σ
√n
III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; σ diketahuiBila x rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ 2 yang
diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah
x−zα /2σ
√n<μ<x+zα /2
σ
√n
zα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan
0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya.
Jawab : titik estimasi adalah x = 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat
didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di
sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu
selang kepercayaan 95% adalah
2.6 – (1.96) (0.3)/√36) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/√36) atau
2.50 < µ < 2.70
Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang
kepercayaan ini adalah :
2.6 – (2.575) (0.3/√36) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/√36) atau
2.47 < µ < 2.73
Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya.
58 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
III.1.3 Kesalahan estimasi
Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat
selang, x mengestimasi µ tanpa kesalahan.
Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara x dengan µ, dan kita
percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari zα/2(σ/√n).
Teorema : jika x digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa
nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/√n).
Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel x = 2.6 berbeda sebesar
0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13.
Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa
kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian
hingga zα/2(σ/√n) = e.
Teorema : jika x digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa
kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah
59 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
n=(z∝/2σ /e)2
Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk
melakukan estimasi variansi tersebut.
Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita
ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05?
Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk
menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh zα/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas
n = (z∝/2σ /e)2 = [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3
dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan
hasil estimasi x yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.
III.1.4 Sampel sedikitBagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat
dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini
T = x−μS /√n
Prosedur lain sama dengan yang sebelumnya.
60 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir
P(-tα/2<T< tα/2) = 1 – α
Di mana tα/2 adalah nilai t untuk derajat bebas n-1. Luas sebelah kanan nilai ini adalah α/2,
dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari -tα/2 juga α/2. Substitusi untuk T menghasilkan
P(-tα/2<( X−μS/√n
)< tα/2) = 1 – α
Maka diperoleh P( X−t∝ /2S
√n<μ<X+t∝/2
S
√n) = 1 – α
Dengan demikian, untuk n sampel, mean x dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 –
α)100% diberikan oleh X−t∝ /2S
√n<μ<X+t∝/2
S
√n
III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% untuk µ adalah:
x−t∝/2S
√n<μ<x+t∝/2
S
√n
Dimana x dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu
populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan t∝/2 adalah nilai distribusi-t dengan derajat
bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,
10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainer-
kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.
61 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel x=10.0 dan simpangan baku sampel
s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu,
selang kepercayaan 95% dari μ adalah
10.0 – (2.447) (0.283 / √7)<μ < 10.0 + (2.447) (0.283 / √7), atau
9.74< μ <10.26
Tambahan soal latihan estimasi rataan
1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang
dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter.
Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan
mesin tersebut bila sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.
2. Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk
membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia
perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan
sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.
III.2 ESTIMASI PROPORSI
Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic
P= Xn
dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi sampel
p= xn
akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.
Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau
1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel P.
Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan
keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai
jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka p hanyalah rataan sampel dari n
nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi P hampir
normal dengan rataan
μ p=E ( P )=E( Xn )=np
n=p
62 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Dan variansi
σ p=σ 2x/n=
σ2x
n2 =npqn2 =
pqn
Dengan demikian dapat dituliskan
P(−zα /2<Z< zα /2)=1−α
Dengan
Z= P−p√ pq /n
dan zα /2 menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah
seluas α2
. Gantikan Z dalam ketidaksamaan
P(−zα /2<P−p√ pq /n
< zα /2)=1−α
Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan √ pq /n, kemudian kurangi dengan P dan kalikan
dengan -1, diperoleh
P(P−zα /2√ pqn< p< P+zα /2√ pq
n )=1−α
Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang
kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar,
galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik p=x /n. Dalam hal
demukian, maka dapat ditulis
P(P−zα /2√ p qn< p< P+z α /2√ p q
n )=1−α
Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel p=x /n, maka
hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p dapat diperoleh.
Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara
mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak
digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu n p dan n q
63 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter
binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi
hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1
Selang kepercayaan sampel-besar untuk p
Bila P menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan
q=1− p, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk parameter binomial p adalah
P−z α2 √ p q
n < p < P+z α
2 √ p qn
dengan z α2menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.
Contoh 1
Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton,
Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95%
untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut.
Jawab
Taksiran titik untuk p ialah p=340500
=0,68. Dari table diperoleh z0,025=1,96. Jadi, selang
kepercayaan 95% untuk p adalah
0,68−1,96√ (0,68 )(0,32)500
< p<0,68+1,96 √ (0,68 )(0,32)500
Yang, bila disederhanakan akan menjadi
0,64 < p < 0,72
Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1-α) 100% maka p menaksir p
tanpa galat. Tapi, biasanya, p tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset
64 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara p dan p, dan
dengan selang kepercayaan (1-α ) 100% selisih ini akan lebih kecil dari zα /2√ p q /n.
Teorema 1
Bila p dipakai sebagai taksiran p, galatnya akan lebih kecil daripada zα /2√ p q /n
dengan kepercayaan (1-α) 100%.
Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel p=0,68 berbeda dengan proporsi p yang
sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan
berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p tidak
melebihi suatu besaran g. Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar
zα /2√ p q /n=g
Teorema 2
Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan (1-α) 100% galat
akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar n=z2
α /2 p q
g2
Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n
digunakan p, padahal p dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa
mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak
tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan
menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar
derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan
ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.
65 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 2
Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02
dengan kepercayaan 95%?
Jawab :
Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran p=0,68
. Maka menurut teorema 3
n=(1,96 )2 (0,68 )(0,32)
(0,02)2=2090
Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak
akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%.
Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan
ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n
dapat diperoleh dengan menyadari bahwa p q= p (1− p )≤1/ 4, karena p terletak antara 0 dan
1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi
p (1− p )=−( p2− p )=14−( p2− p+ 1
4 )= 14−( p2−1
2 )2
,
yang selalu lebih kecil dari 1/4 kecuali bila p = 1/2 yang mengakibatkan p q=1/4. Jadi, bila
dimasukkan p=1 /2 pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup berbeda
dengan 1/2, maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf kepercayaan
yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan meningkat.
Teorema 3
Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan paling sedikit (1-α) 100%
galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel n=z2
α /2
4 g2
66 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 3
Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan
kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02?
Jawab
Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk
menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita
peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih
ukuran sampel n=(1,96)2
4 (0,02 )2=2401
Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran)
mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman
masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap
mempertahankan taraf ketelitian semula.
III.2.1 Estimasi Selisih Dua ProporsiPandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai
contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsi
yang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua
proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2
dari dua populasi binomial dengan rataan n1p1 dan n2p2 serta variansi n1p1q1 dan n2p2q2,
kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap
sampel, dan tentukanlah proporsi p1=x1/n1 dan p2=x2/n2 . Penaksir titik untuk selisih dua
proporsi p1- p2 adalah statistik P1−P2. Jadi, selisih kedua proporsi sampel, p1− p2, akan
digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .
Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel
P1−P2. Dari materi menaksir proporsi diketahui P1dan P2masing-masing berdistribusi
hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan
mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah P1 dan P2 akan
67 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat
disimpulkan bahwa
P1−P2berdistribusi hampir normal dengan rataan
μ p1− p2 = p1 – p2
dan variansi
σ 2p1− p2
=p1 q1
n1
+p2 q2
n2
Dengan demikian dapat ditulis
P (−zα /2<Z<zα /2 )=1−α
Dengan
z=( P1−P2 )−( p1−p2)
√( p1q1
n1)+( p2 q2
n2)
Dan zα /2 nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α /2. Ganti Z pada rumus
di atas, maka dapat ditulis
P[−zα /2<( P1−P2 )−( p1−p2 )
√( p1q1
n1)+( p2 q2
n2)< zα /2]=1−α
Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah
tanda akar dengan taksirannya p1=x1/n1 , p2=x2/n2, q1=1− p1dan q2=1− p2, asal saja
n1 p1 ,n1 q1 , n2 p2dan n2 q2 semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh
hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p1−p2.
68 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Selang kepercayaan sampel-besar untuk p1−p2
Bila p1 dan p2 menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran
n1 dan n2 , q1=1− p1 dan q2=1− p2, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk
selisih kedua parameter binomial, p1−p2, adalah
( p1− p2)−zα /2√ p1 q1
n1
+p2 q2
n2
< p1−p2<( p1− p2)+zα /2√ p1 q1
n1
+p2 q2
n2
Bila zα /2 nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya α /2
Contoh 4
Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil
dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan
perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80
dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk
selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat
dalam cara lama dan baru. Jadi p1=75 /1500=0,05 dan p2=80 /200=0,04, dan taksiran titik
untuk p1−p2 ialah p1− p2=0,05−0,04=0,01
Dari table diperoleh z0,05=1,645. Jadi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas, maka
diperoleh kepercayaan 90%,
0,01−1,645√ (0,05 ) (0,95 )1500
+(0,04 )(0,96)
2000< p1−p2<0,01+1,645√ (0,05 ) (0,95 )
1500+(0,04 )(0,96)
2000,
Yang disederhanakan, menjadi
-0,0017 < p1 – p2 < 0,0217
Karena selang ini mengandung nilai 0, tak ada alasan mempercayai bahwa cara baru tersebut
memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding
dengan cara lama.
69 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
70 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Latihan soal
1. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas
Elpiji. Cari selang kepercayaan 99% untuk proporsi rumah di kota tadi yang
menggunakan gas Elpiji.
2. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai
meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunyai peluang
berhasil meluncurkan sebuah roket p =0,8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan
sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.
a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p
b) Apakah kenyataannya cukup besar untuk mendukung
3. Berapakah sampel yang diperlukan di soal 1 bila diinginkan yakin 99% bahwa
proporsi sampel paling banyak berjarak 0,05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah
di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji.
4. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota
yang memilih arinya diberi flour. Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila
seseorang berharap yakin paling sedikit 95% taksirannya paling banyak sejauh 1%
dari presentasi sesungguhnya?
5. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih
banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai
merk A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang
kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan
apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
71 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6. Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang ahli
psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya 0,08 detik. Untuk menentukan
berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil rata-rata waktu reaksi dengan
kepercayaan 95%, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik, asumsi
apakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi? Tentukan berapa orang
yang perlu diukur! Bagaimana jika dikehendaki kepercayaan 99%? Apa yang tampak?
7. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152,
149, 148, 200, 182, 164.
Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan, 95% untuk rata-rata berat tomat.
8. Sampel acak yang terdiri atas 400 petani, ternyata 65% tidak memiliki tanah sendiri. Tentukan interval kepercayaan 95% persentase sebenarnya untuk para petani yang memiliki tanah sendiri. Bagaimana jika koefisien kepercayaannya diambil 0,99? Jelaskan apa yang tampak?
9. Diberikan dua buah sampel dengan data:Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63yang diambil dari dua buah populasi.Untuk menentukan batas-batas interval kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil? Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih tersebut jika:
a) Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5.b) Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya.c) Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar.
10. Hasil dua jenis semacam tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah sebagai berikut:Jenis I : 39,3 – 45,5 – 41,2 – 53 – 44,2 – 42,5 – 63,9Jenis II: 51,5 – 39,4 – 41,2 – 56,7 – 35,7Tentukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnya!
11. Metode latihan pertama telah digunakan terhadap 250 orang dan 160 dinyatakan berhasil. Metode latihan kedua dilakukan terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan interval kepercayaan 0,95 untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang berhasil, juga untuk interval kepercayaan 0,99! Apa yang tampak?
72 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
III.3 ESTIMASI VARIANSI
Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2 dan variansi
sampel S2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil
perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ 2. Karena itu statistik S2 disebut
penaksir σ 2.
Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic
χ2=(n−1 )S2
σ2
Statistik χ2 berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n – 1 bila sampel berasal dari
populasi normal.
Jadi, dapat ditulis
P ( χ21−α /2< χ2< χ2
α /2 )=1−α
Bila χ21−α /2 dan χ2
α /2 masing- masing menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat
kebebasan n -1 , sehingga luas di sebelah kanannya 1- α /2 dan α /2. Ganti χ2 dalam rumus di
atas, peroleh
P[ χ21−α /2<
(n−1 )S2
σ2< χ 2
α /2]=1−α
Bagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan (n-1) S2 , dan kemudian balikkan tiap suku
(jadi ubah arah ketidaksamaan), maka diperoleh
P[ (n−1 )S2
χ2α /2
<σ2<(n−1 )S2
χ21−α /2
]=1−α
Untuk ukuran sampel n, hitunglah variansi sampel S2 , maka diperoleh selang kepercayaan (1-
α) 100% untuk σ 2.
Selang kepercayaan (1-α)100% untuk σ diperoleh dengan menarik akar setiap ujung selang
untuk σ 2.
73 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Selang kepercayaan untuk σ 2
Bila S2 variansi sampel acak ukuran n dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α)
100% untuk variansi σ 2 diberikan oleh
(n−1 ) S2
χ 2α /2
<σ2<(n−1 ) S2
χ21−α /2
Bila χ2α /2 dan χ2
1−α /2 menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
υ=n−1 sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar α /2 dan 1 - α /2.
Contoh 5
Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang
dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1 , 45,8 , 47,0 , 46,1 , 45,9 , 45,8 , 46,9 , 45,2 dan
46, 0 . Carilah selang kepercayaan 95 % untuk variansi semua bungkusan bibit yang
dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal.
Jawab
Mula-mula hitunglah
s2=n∑
i=1
n
χ i
2−(∑
i=1
n
χ i)2
n (n−1 )=
(10 ) (21273,12 )−(461,2 )2
(10 ) (9 )=0,286
Untuk memperoleh selang kepercayaan 95%, ambil α = 0,05. Dari table chi-kuadrat untuk
derajat kebebasan ν=9 diperoleh χ0,0252 =19,023 dan χ0,975
2 =2,700
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk σ 2
(9 )(0,286)19,023
<σ2<(9 )(0,286)
2,700
atau
0,135 < σ 2 < 0,953
74 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi
Taksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi σ 12/σ 2
2 diberikan oleh nisbah
variansi sampel s12/s2
2. Karena itu statistik S12/S2
2 disebut penaksir σ 12/σ 2
2.
Bila σ 12 dan σ 2
2 variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk σ 12/σ 2
2 dapat
diperoleh dengan memakai statistic
F=σ2
2 S12
σ12 S2
2
Menurut teorema 6.20, peubah acak F mempunyai distribusi-F dengan derajat kekebasan
ν1=n1−1 dan ν2=n2−1. Jadi, dapat ditulis (lihat gambar 7.8)
P [f 1−α /2 (ν1 , ν2 )<F< f α /2 (ν1, ν2) ]=1−α, bila f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) dan f α /2 (ν1 , ν2) menyatakan nilai
distribusi F dengan derajat kebebasan ν1 dan ν2 sehingga di sebelah kanannya, masing-
masing, luasnya 1- α /2 dan α /2. Ganti F dalam rumus di atas, diperoleh
P[ f 1−α /2 (ν1 , ν2 )<σ 2
2 S12
σ 12 S2
2< f α /2 (ν1 , ν2 )]=1−α
Gambar 7.8
Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan S22/S1
2 dan balikkan tiap suku (ubah arah
ketidaksamaan) diperoleh
P[ S12
S22
1f α /2 (ν1 , ν2 )
<σ 2
2
σ 12<
S12
S22
1f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) ]=1−α
Hasil teorema 6.19 memungkinkan kita mengganti f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) dengan 1/ f α /2 (ν2 , ν1). Jadi
P[ S12
S22
1f α /2 (ν1 , ν2 )
<σ 2
2
σ 12<
S12
S22
f α /2 (ν2 , ν1 )]=1−α
75 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Untuk dua sampel acak bebas ukuran n1 dan n2, yang diambil dari dua populasi normal,
hitunglah nisbah variansi sampel s12/s2
2, maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100%
untuk σ 12/σ 2
2.
Seperti pada pasal 7.10, selang kepercayaan (1- α) 100% untuk σ 1/σ2, dapat diperoleh dengan
mengambil akar setiap ujung selang untuk σ 12/σ 2
2.
Selang kepercayaan untuk σ 12/σ 2
2
Bila s12 dan s2
2 variansi dari sampel bebas masing-masing ukuran n1 dan n2 dari populasi
normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk nisbah σ 12/σ 2
2 adalah
s12
s22
1f α /2 (ν1 , ν2 )
<σ 1
2
σ 22 <
s12
s22 f α /2 (ν2 , ν1 )
Bila f α /2 (ν2 , ν1) menyatakan f1 dengan derajat kebebasan ν1=n1−1 dan ν2=n2−1, sehingga
luas di sebelah kanannya α /2 , dan f α /2 (ν2 , ν1) menyatakan nilai f yang sama dengan derajat
kebebasan ν2=n2−1 dan ν1=n1−1
Contoh 6
Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter,
pada dua stasion di sungai James telah dihitung di contoh 7.8 dengan menganggap kedua
variansi populasi normal tidak sama. Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat
selang kepercayaan 98% untuk σ 12/σ2
2 dan untuk σ 1/σ2, bila σ 12 dan σ 2
2 variansi populasi kadar
ortofosfor masing-masing di stasion 1 dan 2.
Jawab
Dari contoh 7.8 diperoleh n1 = 15, n2 = 12, s1 = 3,07 dan s2 = 0,80 . Untuk selang kepercayaan
98%, α = 0,02. Dengan menggunakan interpolasi dari tabel, kita peroleh
f 0,01 (14,11 )≈ 4,3 dan f 0,01 (11,14 )≈ 3,87
Jadi, selang kepercayaan 98 % untuk σ 12/σ2
2 adalah
76 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3,072
0,802 ( 14,30 )< σ1
2
σ22 <
3,072
0,802 (3,87)
Yang, bila disederhanakan, menjadi
3,425<σ1
2
σ22 <56,991
Ambil akar batas kepercayaan selang ini maka diperoleh selang kepercayaan 98% untuk
σ 12/σ2
2 adalah
1,851<σ1
2
σ22<7,549
Karena selang ini tidak mencakup kemungkinan σ 1/σ2 sama dengan 1, maka anggapan bahwa
σ 1≠ σ2 atau σ 12 ≠ σ2
2 di contoh 7.8 mendapat dukungan dari data
Sampai tahap ini semua selang kepercayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik ± K g.b
(taksiran titik), K disini suatu tetapan (ataukah r ataupun titik perseratus normal). Hal ini
benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi.
Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk variansi dan nisbah dua variansi.
77 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Latihan soal
1. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3
tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9 , 2,4 , 3,0 , 3,5
dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ 2 dan jelaskan apakah
pernyataan perusahaan tadi bahwa σ 2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi
baterai berdistribusi hampiran normal.
2. Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi,
sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr.W.H.
Bowen dari Institut Kesehatan Nasional dab Dr. J. Yudhen, Profesor Nutrisi dan Diet
di Universitas London. Dalam suatu sampel acak 20 porsi yang sama Alpha-Bits
(sejenis sereal) rata-rata kadar gulanya 11,3 gr dengan simpangan baku 2,45 gr. Bila
dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang kepercayaan 95%
untuk σ !
3. Suatu percobaan yang dipopulerkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan
pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama.
Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalam uji coba pada kecepatan
tetap 90 km per jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempuh 16 km per liter dengan
simpangan baku 1,0 liter per km dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km per liter dengan
simpangan baku 0,8 km per liter, buatlah selang kepercayaan 98% untuk σ 1/σ2, bila
σ 1 dan σ 2 masing-masing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan
bakar oleh truk VW dan Toyota.
4. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B
untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu
percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek
A : x1=36.300 km , s1 = 5000 km ; merek B : x2=38.100 km , s2 = 6100 km. Hitunglah
selang kepercayaan 90% untuk σ 12/σ 2
2. Apakah anggapan bahwa σ 12=σ2
2 mendapat
dukungan dalam membuat selang kepercayaan untuk μ1−μ2?
78 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
5. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji.
a) Cari selang kepercayaan 99% bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji.
b) Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0.05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji
6. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunya peluang berhasil meluncurka sebuah roket p=0.8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk pb) Apakah kenyataannya cukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih
baik? Jelaskan.
7. A. Menurut suatu laporan di koran Roanoke times & world news, 20 agustus 1981, sekitar 2/3 dari 1600 orang dewasa yang disigi lewat tilpon mengatakan bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara (AS). Cari selang kepercayaan 95% untuk proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara.
B. Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga kepercayaan95% bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik invesatasi yang baik sebesar 2/3
8. Washington University school of Dental Medicine di St. Louis, dua cangkir teh hijau atau teh hitam Cina tiap hari sudah akan cukup memberi fluor untuk menjaga gigi anda dari kerusakan. Mereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yang airnya tidak diberi fluor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi fluor pada airnya. Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi fluor bila diinginkan paling sedikit 99% yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh 1% dari
presentasi sesungguhnya.
9. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan pinggirannya yang mendukung pendirian PLTN. Berapakah sampel yang
diperlukan agar yakin paling sedikit 95% bahwa taksirannya paling banyak
79 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
berjarak 0.04 dari proporsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan pinggirannya uang mendukung pendirian PLTN?
10. Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan rata-rata gaji bulanan karyawan diperusahan A dan perusahan B. Untuk itu diambil sampel acak masung-masing 9 orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka diwawancara satu persatu. Hasil wawancara menunjukan bahwa gaji perbulan (dalam dolar) karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb.:
Kywn 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gaji perusahaan A
40 46 50 36 38 34 42 44 30
Gaji perusahaan B
30 24 16 25 35 40 46 38 34
Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama.
Buatlah interval taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan rata-rata gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut.
11. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merek A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
12. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9, 2,4, 3,0, 3,5, dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi baterai berdistribusi hampiran normal.
80 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
13. Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam cairan tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku 1,1 mm. sampel kedua dengan 200 potong logam yang sma direndam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku 0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98 % untuk selisih kedua rataan populasi. Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?
14. Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan cendawan yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam sejenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai control dan setengah lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3. Berat batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sbb:
Tanpa Nitrogen Nitrogen
0,32
0,53
0,28
0,37
0,47
0,43
0,36
0,42
0,38
0,43
0,26
0,43
0,47
0,49
0,52
0,75
0,79
0,86
0,62
0,46
Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
81 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
15. Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing;
Obat 1 Obat 2
N1= 14
ẋ1=17
s12=1,5
N2= 116
ẋ2= 19
s22= 1,8
Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat µ1- µ2, anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
16. Suatu percobaan yang dilaporkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalm uji coba pada kecepatan 90 km/jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempukh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 km per liter dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km dengan simpangan baku 0,8 per liter. Buat lah selang kepercayaan 90% untuk selisih antara rataan km per liter kedua jenis truk mini. Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
17. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek A: x1= 36.300 km, s1= 5000 km; merek B x2= 38.100 km, s2=6100 km. hitunglah selang kepercayaan 95% untuk µ1- µ2, anggap kedua populasi berdistribusi hamper normal.
18. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film gambar hidup.
perusahaan
Waktu (menit)
A103
94
11087
98
88 118B
9782
12392
175
82 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi normal.
19. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk µ1- µ2 bila suatu ban dari tiap merek dipasang secara acak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam km, adalah ;
Taksi
Merek A
Merek B
1
34,400
36,700
2
45,500
46,800
3
36,700
37,700
4
32,000
31,100
5
48,400
47,800
6
32,800
36,400
7
38,100
38,900
830,
31,
83 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
100
500
Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal.
20. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas gandum yang baru. Tiap varietas di tanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dalam kilogram per petak, adalah sebagai berikut;
varietasUniversitas
1 2 3 4 5 6 7 8 9Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43
HItunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini.
21. Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-rata dari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalaya dan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 juta dengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah interval rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat!
22. Pemerintah DKI Jakarta mengadakan program peningkatan usaha kecil dan menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah. Untuk mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang yang mengikuti proyek dan tidak. Pendapatan 13 orang dari 67 peserta yang ikut proyek sebesar 1,2 juta perbulan dengan standar deviasi sebesar 0,2 juta. Sedang pendapatan 5 orang dari 34 orang nonpeserta rata-rata sebesar 0,8 juta dengan standar deviasi 0,4. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%, buatlah interval keyakinan tentang selisih dari kedua kelompok tersebut.
23. PT Lipo Karawaci yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akan membangun perumahan di Sentul, Bogor. Untuk keperluan tersebut diadakan survey tentang daya beli masyarakat. Berdasarkan data di Kecamatan diketahui standar deviasi
84 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
pendapatan masyarakat sebesar 0,8 juta. Apabila diasumsikan bahwa kesalahan penarikan sampel sebesar 0,1 juta, dengan tingkat kepercayaan 99%, berapa sampel yang harus diambil oleh PT Lipo Karawaci?
24. PT. Islamic Net ingin mengetahui jumlah rata-rata nilai penjualan per hari dari tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya. Hasil sementara menunjukkan rata-rata perjalanan 150 ribu dengan standar deviasi 14 ribu. Berapa sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler adalah 2 ribu dan tingkat keyakinan 99%?
25. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder.Sampel beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99 , 0.98,0.99,1.01, dan 1.03.Hitunglah selang kepercayaan 0.99% untuk rataan potongan diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal.
26. Pengukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis cat lateks merek tertentu.
3 ,4 2,5 4,8 2,9 3,6
2,8 3,3 5,6 3,7 2,8
4,4 4,0 5,2 3,0 4,8
Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel acak yang diambil dari populasi normal, hitunglah batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% waktu mengering.
27. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya :
1,01 0,97 1,03 1,04 0,99 0,98 0,99 1,01 dan 1,03 cm.
Hitunglah selang kepercayaan 99 % untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.
28. Diketahui x1 + x2 +......+ x7, diambil ample acak dari populasi yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ 2. Perhatikan estimator µ sbagai berikut:
Ø 1 = (x1+x2+....+x7)/7
Ø 2 = (2x1 – x6 + x4)/2
85 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Apakah kedua estimator unbiased?
Yang mana estimator terbaik?
29. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengann ukuran n dari populasi yang dinotasikan sebagaii x, dan E(x) = μ dan var x =σ 2.
Diketahui x1 = 1
2n ∑
i=1
2 n
xi dan x2 = 1n
∑i=1
n
xi
Adalah dua estimator μ . Yang mana estimator μ yang lebih baik? Jelaskan pilihan anda.
30. Misalkan θ 1 ,θ 2∧θ 3 adalah estimator estimator θ . Kita tahu bahwa E(θ 1¿= E(θ 2¿ dan = θ, E(θ 3¿≠θ, var θ 1 =12, var θ 2 =10 and E[θ 3 – θ]❑2 =6. Bandingkan ke tiga estimator. Yang mana yang lebih baik? Kenapa?
31. In a binomial experiment exactly x successes are observed in n independent trials. The following two statistics are proposed as estimators of the proportion parameter p: T1 = x/n and T2 = (x+1)/(n+2)
Determine and compare the MSE for T1 and T2.
32. X1, X2, X3 and X4 adalah sample random dengan ukuran n= 4 dari suatu populasi yang berdistribusi exponensial dengan parameter θ yang tidak diketahui.
Diantara:
T1= 1/6(x1+x2) + (1/3(x3+x4)
T2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5
T3=(x1+x2+x3+x4)/4
Tentukan Statistik mana yang unbiased estimator dari θ?
Diantara estimator θ yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik
33. Diketahui populasi 1 dengan rata-rata = 80 dan simpangan baku=5, dan populasi 2 dengan rata-rata = 75 dan simpangan baku = 3, diambil sampel masing-masing n1= 25 dan n2=36.
86 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Ditanya: berapa probabilitas (3,4≤x1-x2≤5,9)
87 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB IV UJI HIPOTESIS
Dalam bab ini akan dibahas bagaimana cara menguji suatu statemen dimana statemen tersebut belum tentu kebenarannya. Uji hipotesis yang akan dibahas antara lain :
a) Uji menyangkut rataan
b) Uji menyangkut proporsi
c) Uji menyangkut variansi
Baik untuk satu ataupun dua populasi.
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan dapat digunakan dalam situasi nyata.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian
masalah menggunakan uji hipotesis
3. Mahasiswa diharapakan dapat mengidentifikasi terhadap masalah yang dihadapi
perusahaan
88 IT TELKOM
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PENDAHULUAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
89 IT TELKOM
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
IV.1 HIPOTESIS STATISTIK
Pengujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar inferensi statistik. Hipotesis
statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak,
mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau
penolakan suatu hipotesis. Kebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan
pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Namun, karena tidak memungkinkan
memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel acak dan menggunakan
informasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.
Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK
hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan penolakan suatu
hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan
BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.
90 IT TELKOM
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
91 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Prosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan Hipotesis Awal yang diharap
akan ditolak dan biasanya disebut dengan Hipotesis Nol (H0). Hipotesis Nol ini juga sering
menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti
nilai parameter. Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1).
H0 → ditulis dalam bentuk persamaan (=)
H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠)
Contoh 1
Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian
formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem
pendaftaran "ONLINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata-rata
waktu pendaftaran dengan sistem ONLINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang
lama”. Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit. Perumusan
hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)
H1 : µ < 50 menit (sistem baru lebih cepat dibanding sistem lama)
IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :
1. Uji Satu Arah (uji ekasisi)
92 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
2. Uji Dua Arah (uji dwisisi)
Hipotesis nol (H0), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda
kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal. Untuk penggunaan uji ekasisi
dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika H0 ditolak. Letak daerah
kritis (daerah penolakan H0) baru dapat ditentukan hanya setelah H1 ditentukan.
IV.2.1 Uji Ekasisi
Uji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah
kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam
uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) tidak dibagi dua,
karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang.
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung
pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
93 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Gambar IV.7 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kiri
Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung pada
ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
94 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Gambar IV.8 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kanan
Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis
IV.2.2 Uji Dwisisi
Uji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah
kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam
uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) dibagi dua, karena α
diletakkan di kedua sisi selang.
95 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -zα2
atau t < -t(db;α2 ) (pengunaan z atau t tergantung
pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
Gambar IV.9 Wilayah Kritis untuk Uji Dwisisi
IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS
Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan
kesalahan (kesalahan = error = galat), yaitu:
Galat jenis 1 (α) : menolak H0 padahal H0 benar
Galat jenis 2 (β) : menerima H0 padahal H0 salah
Tabel IV.3 Kemungkinan Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Statistik
KesimpulanKeadaan SebenarnyaH0 benar H0 salah
Terima H0 Keputusan benar Galat jenis 2Tolah H0 Galat jenis 1 Keputusan benar
Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β. Dalam
perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis
alternatif sangat spesifik.
Contoh 2
Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25% setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk
menentukan apakah vaksin baru leih unggul daripada vaksin lama, dipilih 100 orang secara
acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari 2 tahun, 36 orang
96 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
atau lebih tidak terserang virus, maka vaksin baru dianggap lebih unggul daripada vaksin
lama. Hitung galat jenis I (α) dan galat jenis II (β) dengan p = 12
!
Jawab :
H0 : p = 14
H1 : p > 14
Daerah kritis : x > 36 daerah penerimaan : x ≤ 36
(gunakan pendekatan distribusi normal baku)
a. µ = n . p = 100 . 14
= 25 = √n . p . q = √100 .14
.34
= 4,33
Z =
x−µ❑
=
36,5−254,33
= 2,66
Gambar IV.10 Peluang Suatu Galat Jenis I
α = P (galat jenis I)
= P (H0 tolak H0 benar)
= P (x > 36 p = 14
)
= P (Z > 2,66)
= 1 - P (Z < 2,66)
= 1 – 0,9961
= 0,0039
b. µ = n . p = 100 . 12
= 50 = √n . p . q = √100 .12
.12
= 5
97 IT TELKOM
36,5
α
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Gambar IV. Peluang Suatu Galat Jenis II
c. Z = x−µ❑ =
36,5−505
= -2,7
α = P (galat jenis II)
= P (H0 terima H0 salah)
= P (x ≤ 36 p = 12
)
= P (Z < - 2,7)
= 0,0035
Sifat-sifat galat :
Galat jenis I dan galat jenis II berkaitan. Memperkecil peluang yang satu dapat
biasanya memperbesar peluang yang lainnya.
Ukuran daerah kritis, jadi juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat
diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.
Menaikkan ukuran sampel nakan memperkecil α dan β secara serentak.
Bila H0 salah, β akan mencapai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekat
dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya
dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin kecil pula β.
98 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Suatu pengertian yang amat penting yang berkaitan dengan kedua peluang galat ialah
perngertian kuasa uji. Kuasa suatu uji adalah peluang menolak H0 bila suatu tandingan
tertentu benar. Kuasa suatu uji dapat dinotasikan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan 1 – β.
IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS
Untuk melakukan suatu uji hipotesis, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah
sebagai berikut :
1. Tentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis tandingan (H1).
2. Pilih taraf keberartian α
3. Tentukan arah pengujian (ekasisi atau dwisisi)
4. Tentukan daerah kritisnya
5. Pilih uji statistik yang sesuai
6. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
7. Tentukan kesimpulan (tolak H0 bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah
kritis dan terima H0 bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis)
Beberapa nilai Z yang sering digunakan:
z5% = z0.05 =1.645 z2.5% = z0.025 =1.96
z1% = z0.01 = 2.33 z0.5% = z0.005 = 2.575
IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN
Pengujian hipotesis yang menyangkut rataan terdiri dari berbagai macam cara,
diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui, uji menangkut satu
rataan dengan variansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi diketahui,
uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui tapi 1=2 atau 1 ≠ 2, dan uji
menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan.
Tabel IV.4 Uji Menyangkut RataanNO
H0 Statistik H1 Daerah Kritis
1. =0
z= x−μσ /√n
; diketahui
<0
>0
0
Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;Z > Z /2
2. =0
t=x−μ0
S /√n ;
<0
>0
t <- tt > t
99 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
tidak diketahuiv= n-1
0 t <- t /2 ;t > t /2
3. 1-2=d0 z =
(x1−x2 )−d0
√(σ12/n1 )+ (σ 2
2/n2) ;
1 dan 2 diketahui
1-2<d0
1-2>d0
1-2 d0
Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;Z > Z /2
4.1-2=d0
t=(x1−x2)−d0
S p√(1 /n1)+ (1/n1 ); v = n1+ n2
1=2 tetapi tidak diketahui
Sp2=
(n1−1 ) s12+(n2−1)s2
2
n1+n2−2
1-2<d0
1-2>d0
1-2 d0
t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2
5.1-2=d0
t=(x1−x2)−d0
√(s12/n1 )+(s2
2/n2 )1 ≠ 2 dan tidak diketahui
υ=(s1
2/n1+s22/n2 )
2
(s12/n1 )
2
n1−1+(s2
2/n2 )2
n2−1
1-2<d0
1-2>d0
1-2 d0
t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2
6. D=d0t=
d−d0
sd/√nv = n-1pengamatan berpasangan
D<d0
D>d0
1D d0
t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2
Contoh 3. Uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui
Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukan rata-rata usia mereka
71,8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8,9 tahun, apakah ini menunjukan bahwa rata-rata
usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf keberartian (α) 0,05.
Jawab :
1. H0 : µ = 70 tahun
2. H1 : µ > 70 tahun
3. α = 0,05
daerah kritis z > 1,645 Gambar IV.11 Daerah Kritis contoh 3.
4. perhitungan : x = 71,8 tahun ; = 8,9 tahun
Z = x−µ
¿√n =
71,8−70
8,9/√100 = 2,02
5. Keputusan : Tolak H0
6. Kesimpulan : rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun.
Contoh 4. Uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui
100 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang
dilapisi. Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin
pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan 1
memberikan rata-rata keausan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku 4 sedangkan
sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel
5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada taraf kepercayaan 0,05 keausan bahan 1 melampaui
keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggaplah populasi hampir normal dengan
variansi yang sama.
Jawab :
Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan populasi keausan bahan 1 dan bahan 2.
1. H0 : µ1 - µ2 = 2
2. H1 : µ1 - µ2 > 2
3. α = 0,05
4. daerah kritis t > 1,725
5. perhitungan : x1 = 85 ; s1 = 4 ; n1 = 12 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ; n2 = 10
sp = √ (12−1 )16+(10−1)2512+10−2
= 4,478
t = (85−81)−2
4,478/√ 112+ 1
10 = 1,04
6. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui bahan 2
lebih dari 2 satuan.
Contoh 5. Uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan
Dalam makalah ‘Influence of Physical Restraint and Restraint-Facilitating Drugs on Blood
Measuraments of White-Tailed Deer and Other Selected Mammals’, Virginia Polythechnic
Institue and State University (1976), J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine
terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup
bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan succinylcholine pada otot
menggunakan panah dan senapan penangkap. Risa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira
30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap
dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sebagai
berikut: (anggap populasi androgen berdistribusi normal)
101 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Rusa Androgen (ng/ml) di
Waktu suntikan
30 menit setelah suntikan
1 2,76 7,02 4,262 5,18 3,10 -2,083 2,68 5,44 2,764 3,05 3,99 0,945 4,10 5,21 1,116 7,05 10,26 3,217 6,60 13,91 7,318 4,79 18,53 13,749 7,39 7,91 0,5210 7,30 4,85 -2,4511 11,78 11,10 -0,6812 3,90 3,74 -0,1613 26,00 94,03 68,0314 67,48 94,03 26,5515 17,04 41,70 24,66
Dengan menggunakan taraf keberartian 0,05, apakah konsentrasi androgen berubah setelah
ditunggu 30 menit?
Jawab :
Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu
suntikan dan 30 menit setelah suntikan.
1. H0 : µ1 = µ2 atau HD : µ1 - µ2 = 0
2. H1 : µ1 ≠ µ2 atau HD : µ1 - µ2 ≠ 0
3. α = 0,05
4. daerah kritis t < -2,145 dan t > 2,145 v = 14
5. perhitungan : rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai d i adalah d = 9,848 dan
sd = 18,474
t = 9,848−0
18,474/√15 = 2,06
6. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran
androgen.
102 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI
Uji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang.
Sebagai contoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang
akan mendukungnya dalam pemilihan. Uji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut rataan dan
uji menyangkut selisih rataan.
Tabel IV.5 Uji Menyangkut Proporsi
Ho Statistik H1 Daerah Kritis
p=p0z=
p−p0
√ p0q0/n
p<p0
p>p0
p p0
Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;Z > Z /2
p1=p2z=
p1−p2
√ pq / (1/n1+1/n2 )
p1<p2
p1>p2
p1 p2
Z <- Z
Z > Z
Z <- Z /2 ;Z > Z /2
p1=p2=.....=pk
χ2=∑ (oi−ei )2
ei
Tidak semuanya sama
2 >2
Contoh 6. Menguji proporsi dengan sampel kecil
103 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Suatu perusahaan tv menyatakan bahwa 70% tv di kota B berasal dari perusahaan tersebut.
Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel acak di kota B menunjukan
bahwa 8 dari 15 tv berasal dari perusahaan tadi? Gunakan taraf keberartian 0,01.
Jawab :
1. H0 : p = 0,7
2. H1 : p ≠ 0,7
3. α = 0,10
4. uji statistik: peubah binomial X dengan p = 0,7 dan n = 15
5. perhitungan : x = 8 dan npo = (15)(0.7) = 10,5
P = 2P(X ≤ 8 bila p = 0,7)
= 2∑x=10
8
b (x ;15 ;0,7)
= 0,2622 > 0,10
6. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : tidak cukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut.
Contoh 7. Menguji proporsi
Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syaraf diyakini manjur hanya
60%. Hasil percobaan dengan obat baru yang dicobakan pada sampel acak 100 orang dewasa
yang menderita ketegangan syaraf menunjukan bahwa 70 merasa tertolong. Apakah
kenyataan ini cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasa/
gunakan taraf keberertian 0,05.
Jawab :
1. H0 : p = 0,6
2. H1 : p > 0,6
3. α = 0,05
4. daerah kritis z > 1,645
5. perhitungan : x = 70 ; n = 100 ; npo = (100)(0,6) = 60
Z =70,5−60
√100.0,6 .0,4 = 2,14
6. Keputusan : Tolak H0
7. Kesimpulan : obat baru lebih unggul.
Contoh 8. Menguji selisih dua proporsi
104 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Pemungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk
menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah
industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten
merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui
pembangunan pabrik tersebut. Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara
proporsi penduduk kota dan kabupaten yang mendukung rencana tersebut, suatu pol
diadakan. Bila 240 dari 500 penduduk kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda
sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari proporsi penduduk
kabupaten yang tidak setuju? Gunakan taraf keberartian 0,025.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yang
menyetujui rencana tersebut.
1. H0 : p1 = p2
2. H1 : p1 > p2
3. α = 0,025
4. daerah kritis z > 1,96
5. perhitungan :
p1 = x1n 1
= 120200
= 0,6
p2 = x2n 2
= 240500
= 0,48
p = x1+x2n 1+n 2
= 120+240200+500
= 0,51
Z =
0,6−0,48
√0,51.0,49{( 1200 )+( 1
500) = 2,9
6. Keputusan : Tolak H0
7. Kesimpulan : penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi
penduduk kabupaten yang tidak menyetujui.
IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI
Pengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin
menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan
keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya. Statistik yang cocok sebagai dasar
keputusan adalah statistik chi-square dan statistik F.
105 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tabel IV.6 Uji Menyangkut Variansi
Ho Statistik H1 Daerah Kritis
=0χ2=
(n−1 )n2
σ 02
= n-1
<0
>0
0
2 <2
2 >2
2<2/2
2>2/2
1=2 f=
s12
s22
1 = n1-1
1 = n1-1
1<2
1<2
1 2
f < f1- (1,2)f > f (1,2)f < f1-/2(1,2)f > f/2 (1,2)
Contoh 9. Menguji variansi
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir
normal dengan simpangan baku 0,9 tahun/ Bila sampel acak 10 beterai tersebut menghasilkan
simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa > 0,9 tahun? Gunakan taraf
keberartian 0,05.
Jawab :
1. H0 : ❑2= 0,81.
2. H1 : ❑2 > 0,81.
3. α = 0,05.
4. Daerah kritis 2 > 16,919 dengan derajat kebebasan v = 9
5. Perhitungan s2 = 1,44, n = 10
2 = (9 )(1,44)
0,81 = 16,0
6. Keputusan : Statistik x2 tidaklah berarti pada taraf 0,05. Akan tetapi, ada sedikit
kenyataan bahwa > 0,9.
Contoh 10. Menguji selisih dua variansi
Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di contoh V.2, dianggap bahwa kedua variansi
populasi yang tidak diketahui sama besarnya. Apakah anggapan seperti ini beralasan ?
Jawab :
1. H0 : σ 12= σ 2
2
106 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
2. H1 : σ 12≠ σ 2
2
3. α = 0,10
4. Daerah kritis :
f0,05 (11,9) = 3,11
f0,95 (11,9) = 1
f 0,05(9,11) = 0,34
Jadi, hipotesis nol ditolak bila f < 0,43 atau f > 3,11, untuk f = s12/ s2
2 dengan derajat
kebebasan v1 = 9 dan v2 = 9
5. Perhitungan s12 = 16, s1
2= 25, jadi
f = 1625
= 0,64
6. Keputusan : terima H0.
7. Kesimpulan : tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.
Latihan Soal
1. Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar p =
0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli
susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p < 0,6
didukung.
a. Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6.
b. Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.
2. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir
sebanyak p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 200 orang dewasa dipilih. Bila
banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 48 dan 72, maka
hipotesis nol bahwa p = 0,3 diterima. Jika tidak, maka disimpulkan bahwa p ≠ 0,3.
a. Carilah α kalau p = 0,3.
b. Carilah β untuk tandingan p =0,2 dan p = 0,4.
3. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir
normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa µ =
800 jam lawan tandingan µ ≠ 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-
rata umur 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.
107 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4. Suatu pernyataan menyatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km
setahun di suatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini sampel acak sebanyak 100
pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda
setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan
simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,05.
5. Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang rata-rata benang A melebihi daya rentang
rata-rata benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang
dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya
rentang 86,7 dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata-
rata daya rentang 77,8 dengan simpanagn baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi
dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
6. Untuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, 9 tikus dipilih
yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut. Lima tikus mendapat
serum tadi dan empat lainnya tidak. Umur, dalam tahun, sejak permulaan percobaan
sebagai berikut:
perlakuan 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9Tanpa perlakuan 1,9 0,5 2,8 3,1
Pada taraf keberartian 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong? Anggap
kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
7. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film
gambar hidup:
Perusahaan Waktu (menit)A 102 86 98 109 92B 81 165 97 134 92 87 114
Ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari
rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya
melebihi 10 menit. Gunakan taraf keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut
hampir normal dengan variansi tidak sama.
108 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
8. Dari penelitian ‘Comparison of Sorbic Acid in Countri Ham Before and After Storage’
yang dilakukan di Virginia Polythecnic Institute and State University pada tahun 1983,
diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam
bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan
setelah disimpan 60 hari dicatat:
Potongan Sisa asam sorbat dalam hamSebelum disimpan Setelah disimpan
1 224 1162 270 963 400 2394 444 3295 590 4376 660 5977 1400 6898 680 576
Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang
cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan
mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
9. Misalkan bahwa dulu 40% dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati. Apakah
cukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang
menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel acak 15 orang dewasa, 8
yang menyetujui hukuman mati? Gunakan taraf keberartian 0,05.
10. Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi.
Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga
yang memiliki televisi? Gunakan taraf keberartian 0,04.
11. Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok. Bila diketahui bahwa 56 dari 200
perokok lebih menyenangi merek A dan 19 dari 150 perokok lebih menyenangi merek B,
dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,06 bahwa merek A lebih laris daripada B?
12. Pengalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas 3 SMA untuk
menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan
baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa = 6 lawan tandingan bahwa < 6 bila sampel
109 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
acak 20 murid SMA kelas 3 mempunyai simpangan baku s = 4,51. Gunakan taraf
keberartian 0,05.
13. Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu
kota pada PMI berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,40 ribu rupiah. Ada
dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada PMI mempunyai simpangan baku
1,75 ribu rupiah. Dapatkan disimpulkan, pada taraf keberartian 0,01, bahwa simpangan
baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota
tersebut?
14. Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila variansi isi minuman yang
dikeluarkannya melebihi 1,15 desiliter. Bila sampel acak 25 cangkir minuman dari
mesin ini mempunyai variansi 2,03 desiliter, apakah ini menunjukan, pada taraf
keberartian 0,05, bahwa mesin diluar kendali? Anggap bahwa isi cangkir berdistribusi
hampir normal.
15. Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan-perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-rata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang.
Perubahan-perubahan akan memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara menyeluruh dalam proses produksi. Percobaan terhadap 6 unit proses produksi (dalam persen), sebagai berikut:8,2 – 7,9 – 8 – 8,4 – 8,3 – 7,8Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi rata-rata kerusakan paling banyak 8%. Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan!
16. Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 40% mahasiswa tingkat pertama lulus mata kuliah A. jika tahun ini 496 dari 1.078 lulus mata kuliah A, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku?
Ambil Taraf nyata 0,05 dan 0,01 lalu bandingkan!
17. Suhu udara di kota B selama 60 bulan terakhir mencapai simpangan baku 0,8° Celsius. Pengamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun mencapai rata-rata suhu (dalam ° Celsius): 28,4 – 30,7 – 30,2 – 29,4 – 29,9 – 31,2 – 27,9 – 29,8 – 30,9 – 29,2 – 28 – 30,2.
Tentukanlah apakah variabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan dengan selama 60 bulan terakhir tersebut. Ambil taraf nyata 0,05.
110 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
18. Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya (dalam kg) sebagai berikut:
Pasien Berat Sebelum Diet Berat Sesudah Diet
12345678910
78,384,777,495,682,069,479,785,692,899,2
77,483,275,792,480,268,176,983,990,495,2
Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan?Ujilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet sama besar!Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil?
19. Sampel-sampel acak yang masing-masing berukuran 100 mengenai pendapatan bulanan pegawai (dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij), telah diambil dari tiga kota. Hasilnya sebagai berikut:
Kota Ukuran Sampel Σj Yij Σj Yij2
IIIIII
100100100
475,0526,5507,5
5.001,255.948,505.678,25
Misalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal. Dengan taraf nyata 0,05 ujilah apakah varians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidak!
111 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB V UJI CHI-SQUARE
Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujian:
a) Goodest of fit test
b) Indepedent (uji kebebasan)
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik kecocokan ataupun kebebasan dengan menggunakan uji Chi- Square.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji chi-square
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian
masalah
3. Mahasiswa diharapkan dapat mengimplementasikan terhadap masalah yang dihadapi
perusahaan
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
112 IT TELKOM
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
113 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Uji Chi Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi
observasi atau frekuensi aktual dengan frekuensi harapan atau frekuensi ekspektasi.
Frekuensi obserfasi diperoleh dari nilai pada hasil percobaan, sedangkan frekuensi harapan
diperoleh dari perhitungan secara teoritis. Bentuk distribusi Chi Square dinotasikan dengan
X2 oleh karena itu nilainya selalu positif.
V.1 GOODNESS OF FIT TEST
Goodness of fit test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap kecocokan
atau baiknya kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan
frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan. Uji goodness of fit
antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan didasarkan pada besaran:
X2=∑i=1
k
¿¿¿¿
X2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat
dengan derajat kebebasan v=k-1
k : jumlah sel atau kelas
oi : frekuensi amatan
ei : frekuensi harapan
Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan, maka nilai X2 akan kecil. Hal
ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara frekuensi amatan dengan frekuensi
harapan. Tetapi jika frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai X2
akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek. Kesesuaian yang baik akan
mendukung penerimaan terhadap H0, sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung
penolakan terhadap H0.
Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi Chi-Kuadrat. Untuk taraf keberartian
α, ditemukan nilai kritis X α2 dari tabel, maka daerah kritisnya adalah X2 > X α
2 . Uji goodness
of fit sebaiknya digunakan jika setiap frekuensi harapan paling sedikit 5. Jika kurang dari 5,
maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan
besarnya derajat kebebasan.
114 IT TELKOM
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 1
Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak 120 kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut
setangkup. Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu
tersebut adalah distribusi seragam (uniform) diskret. Maka :
H0 = Hasil pelemparan dadu setangkup
H1 = Hasil pelemparan dadu tidak setangkup
f(x) = 16
x = 1,2,…,6
Secara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemunculan setiap
muka sebanyak 20 kali. Hasilnya diberikan pada tabel berikut :
Tabel V.7 Frekuensi Amatan dan Harapan dari Lantunan Dadu 120 Kali
MUKA1 2 3 4 5 6
Amatan 20 22 17 18 19 24Harapan 20 20 20 20 20 20
Dari tabel tersebut diperoleh nilai X2 adalah:
X2 = (20−20)2
20+(22−20)2
20+(17−20)2
20+(18−20)2
20+(19−20)2
20+(24−20)2
20 = 1,7
Apabila ditetapkan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh
:
X α2=11.070 dengan derajat kebebasan v = 5
Gambar V.12 Daerah Kritis Distribusi Chi-Square X α2
Karena nilai X2<Xα2, maka H0 diterima.
Jadi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup.
Contoh 2
115 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Akan diuji hipotesis bahwa distribusi frekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan
distribusi normal dengan rataan µ = 3,5 dan simpangan baku σ = 0,7. Distribusi frekuensi
umur baterai disajikan dalam tabel berikut :
Tabel V.8 Frekuensi Umur Baterai
Selang KelasTitik Tengah Kelas
Frekuensi
1,5 – 1,9 1,7 22,0 – 2,4 2,2 12,5 – 2,9 2,7 43 – 3,4 3,2 153,5 – 3,9 3,7 104,0 – 4,4 4,2 54,5 – 4,9 4,7 3
Frekuensi harapan untuk 7 kelas (sel) diperoleh dengan menghitung luas di bawah
kurva normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas.
Sebagai contoh, nilai z pada kedua batas kelas keempat adalah
Z1 = x1−μ
σ=2.95−3,5
0,7 = -0,79 Z2 =
x2−μσ
=3.45−3,50,7
= -0,07
Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara z1 = -0,79 dengan z2 = -0,07.
Luas = P(-0,79 < Z < -0,07)
= P(Z<-0,07) – P(Z<-0,79)
= 0,4721 – 0,2148
= 0,2573
Frekuensi harapan untuk kelas keempat adalah
e4 = luas x total frekuensi
= 0,2573 x 40
= 10,3
Frekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan.
Frekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah
kurva normal di sebelah kiri batas 1,95. Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah
kurva normal di sebelah kanan batas 4,45. Semua frekuensi harapan kelas lainnya dapat
dihitung dengan cara yang sama pada kelas keempat.
116 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tabel V.9 Frekuensi Amatan dan Harapan Umur Baterai Bila Distribusinya Normal
Batas Kelas oi ei
1,45 – 1,95 2 0,51,95 – 2,45 1 2,12,45 – 2,95 4 5,92,95 – 3,45 15 10,33,45 – 3,95 10 10,73,95 – 4,45 5 7,04,45 – 4,95 3 3,5
Pada kelas pertama, frekuensi harapan yang diperoleh kurang dari 5, maka dilakukan
penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga. Begitu juga
dengan kelas keenam dan ketujuh. Karena penggabungan tersebut, jumlah kelas (sel)
berkurang dari 7 kelas menjadi 4 kelas.
X2 = (7−8,5)2
8,5+(15−10,3)2
10,3+(1−10,7)2
10,7+(8−10,5)2
10,5 = 3,05
Dengan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh :
X α2=7,815 dengan derajat kebebasan v = 3. Artinya tidak ada alas an untuk menolak hipotesis
nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan µ = 3,5 dan simpangan baku σ =
0,7 mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai.
LATIHAN SOAL
1. Suatu mesin seharusnya mencampur kacang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam
perbandingan 5 : 2 : 2 : 1. Suatu kaleng yang berisi 500 keempat jenis kacang ini
ditemukan mengandung 269 kacang tanah, 112 kemiri, 74 mete, dan 45 kenari. Pada taraf
keberartian 0,05, uji hipotesis bahwa mesin tersebut mencampur kacang dalam
perbandingan 5 : 2 : 2 : 1.
2. Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian. Y adalah banyaknya
kartu spade yang terambil. Setelah percobaan sebanyak 64 kali diperoleh hasilnya sebagai
berikut :
Y 0 1 2 3F 21 31 12 0
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa data yang diperoleh sesuai dengan
distribusi binomial b(y; 3, ¼), y = 0, 1, 2, 3
117 IT TELKOM
8
8,57
10,5
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3. Tiga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng
hijau. X adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian
dikembalikan lagi dan percobaan diulangi sebanyak 112 kali. Hasil yang diperoleh adalah
sebagai berikut :
X 0 1 2 3F 1 31 55 25
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 5% bahwa data di atas sesuai dengan distribusi
hipergeometrik h(x,N,n,k)dimana N = 8, n = 3, k = 5.
4. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika.
23 60 79 32 57 74 52 70 82 3680 77 81 95 41 65 92 85 55 7652 10 64 75 78 25 80 98 81 7641 71 83 54 64 72 88 62 74 4360 78 89 76 84 48 84 90 15 7934 67 17 82 69 74 63 80 85 61
a. Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok
Ujilah kebaikan suai kelompok amatan dengan frekuensi harapan padanannya dari distribusi normal dengan µ = 65 dan σ = 21 dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
5. Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi Poisson. Pengamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini.
Mesin Banyak barang rusak tiap hari
123
4, 3, 4, 6, 3, 53, 2, 3, 6, 5, 25, 5, 3, 4, 4, 6
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh ketiga mesin itu sama besar?
6. Hasil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai (laki-laki dan perempuan) mengenai pendapat tentang peraturan baru adalah sebagai berikut.
PegawaiLaki- Laki Perempuan
118 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
PendapatSetuju 102 88
Tak Setuju 78 136
Tak Peduli 20 76
Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut?
7. Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari. Percobaan terhadap 158 orang yang pilek telah dilakukan. Setengahnya diberi obat A dan sisanya diberi obat gula. Pada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai, hasilnya dicatat dan diberikan dalam daftar berikut.
Sembuh Bertambahpayah
Tidakberubah
Obat A 54 10 15Obat gula 48 12 19
Ujilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama.
119 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)
Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua
variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat menyimpulkan
apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling
bertalian (berpengaruh).
Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk Tabel
Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k kolom.
Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan Hipotesis Awal
(H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu:
H0 : variabel-variabel saling bebas
H1 : variabel-variabel tidak saling bebas
Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang diperoleh
dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi terlebih dahulu
sebelum melakukan pengujian.
Frekuensi ekspektasi = ( totalkolom ) x (total baris)
total observasi
Uji kebebasan dirumuskan dalam:
X2=∑i , j=1
r , k
¿¿¿¿
X2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat
dengan derajat kebebasan v=(r-1)(k-1)
k : jumlah kolom
r : jumlah baris
oij : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j
eij : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j
120 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 1
Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu
pabrik. Data yang diperoleh disajikan dalam tabel berikut:
Pria Wanita Total Baris< 25 jam/minggu 2 3 525-50 jam/minggu 7 6 13> 50 jam/minggu 5 7 12Total Kolom 14 16 Total Observasi=30
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Gunakan taraf uji 0,05.
Jawab :
1. H0 : gender dan jam kerja saling bebas
2. H1 : gender dan jam kerja tidak saling bebas
3. α = 0,05
4. Daerah kritis 2 > 5,99147 dengan derajat kebebasan v =(3-1)(2-1)= 2
5. Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
- Pria, < 25 jam = 14 x5
30 = 2,33 - Wanita, < 25 jam =
16 x530
= 2,67
- Pria, 25-50 jam = 14 x13
30 = 6,07 - Wanita, 25-50 jam =
16 x1330
= 6,93
- Pria, > 50 jam = 14 x12
30 = 5,60 - Wanita, >50 jam =
16 x1230
= 6,40
kategori oij eij (oij - eij) (o ij−e ij)2 (o ij−e ij)2/ eij
P, < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467
P, 25-50 7 6,07 0,93 0,8649 0,1425
P, > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643
W, < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408
W, 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249
W, > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563
∑ 2 hitung = 0,4755
6. Keputusan : 2 hitung < 2 tabel, H0 diterima
7. Kesimpulan : gender dan jam kerja saling bebas
121 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh 2
Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara
bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat
penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di Illinois dikelompokan
menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju
atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji
0,05)
Perubahan Pajak
Tingkat Pendapatan TotalR (Rendah) M (Menengah) B (Berada)
Setuju 182 213 203 598Tidak Setuju 154 138 110 402Total 336 351 313 1000
Jawab :
1. H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak
baru dan tingkat penghasilannya saling bebas
2. H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak
baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas
3. α = 0,05
4. Daerah kritis 2 > 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2
5. Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
- Setuju, R = 336 x598
1000 = 200,9 - Tidak Setuju, R =
336 x4021000
= 135,1
- Setuju, M = 351 x 598
1000 = 209,9 - Tidak Setuju, M =
351 x 4021000
= 141,1
- Setuju, B = 313 x 598
1000 = 187,2 - Tidak Setuju, B =
313 x 4021000
= 125,8
Kategori oij eij (oij - eij) (o ij−e ij)2 (o ij−e ij)2/ eij
Setuju, R 182 200,9 -18,9 357,21 1,78
Setuju, M 213 209,9 3,1 9,61 0,05
Setuju, B 203 187,2 15,8 249,64 1,33
Tidak Setuju, R 154 135,1 18,9 357,21 2,64
122 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tidak Setuju, M 138 141,1 -3,1 9,61 0,07
Tidak Setuju, B 110 125,8 -15,8 249,64 1,98
∑ 2 hitung = 7,85
6. Keputusan : 2 hitung > 2 tabel, H0 ditolak
7. Kesimpulan : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai
perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas.
Latihan Soal
1. Dalam percobaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh
data berikut yang menyangkut 180 orang:
Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok BeratHipertensi 21 36 30Tidak hipertensi 48 26 19
Ujilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan
merokok. Gunakan taraf keberartian 0,05.
2. Suatu sampel acak 200 pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi
menurut pendidikan dan jumlah anak:
Pendidikan Ayah Jumlah Anak0-1 2-3 Lebih dari 3
Sekolah Dasar 14 37 32Sekolah Menengah 19 42 17Perguruan Tinggi 12 17 10
Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa banyaknya anak tidak tergantung
pada tinggi pendidikan yang dicapai oleh ayah.
3. Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai
kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar. Kejahatan
yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pencurian, dan pembunuhan.
Tabel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 4 bagian kota tahun lalu.
Daerah Jenis KejahatanPenodongan Pembongkaran Pencurian Pembunuhan
1 162 118 451 182 310 196 996 25
123 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3 258 193 458 104 280 175 390 19
Dapatkah disimpulkan dari data ini pada taraf keberartian 0,01 bahwa terjadinya
kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu?
124 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB VI
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA
6.0. Tujuan Pembelajaran:
Mahasiswa Mampu:
1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel
2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier
3. Menentukan korelasi dan mengujinya
4. Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana
5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi
6. Menentukan Model Regresi yang Layak
7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien
Regresi
8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi
9. Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan
analisis regresi secara benar
125 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6.1. Scatter Plot
Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau
sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat
apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak
dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:
Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)
Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif
Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel
dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier
Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah
pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak
memilki hubungan.
126 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6.2. Analisis Korelasi
Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara
dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan
hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien
korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur
kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut
Koefisien Korelasi Pearson (Product Momernt).
6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)
Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau
korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik.
Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua
variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya
bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin
pengujian terhadapnya sah.
Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua
variabel menurut Walpole :
Tabel 1.
Interval Koefisien Tingkat Hubungan
0.00 – 0.199
0.20 – 0.399
0.40 – 0.599
0.60 – 0.799
0.80 – 1.000
Sangat rendah
Rendah
Cukup
Kuat
Sangat Kuat
Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan
sebagai berikut:
127 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tabel 2.
Interval Hubungan Tingkat Hubungan
0 Tidak ada korelasi antara dua
variabel
>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah
>0,25 – 0,5 Korelasi cukup
>0,5 – 0,75 Korelasi kuat
>0,75 – 0,99 Korelasi sangat kuat
1 Korelasi sempurna
Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu
hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai
dengan +1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang
terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam
pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan
penurunan suatu variabel yang lain, sedangkan penurunan suatu variabel akan
menyebabkan kenaikan variabel yang lain.
Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua
variabel, dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan
variabel yang lain dan sebaliknya penurunan suatu variabel akan
menyebabkan penurunan variabel yang lain.
Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara
dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak
mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu
variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang
tetap.
Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk
mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan
128 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi
berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data
Tipe / Tingkat DataTeknik Korelasi yang
Digunakan
Nominal Koefisien Kontingensi
OrdinalSpearman Rank
Kendal Tau
Interval dan rasio
Pearson / Produk Momen
Korelasi Ganda
Korelasi Parsial.
Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:
Atau:
Atau: r=b√ Sxx
Syy
=Sxy
√S xx Syy
dimana:
r = Koefisien Korelasi Sampel
n = Ukuran Sampel
x = Nilai dari Variabel Independen
y = Nilai Variabel dependen
Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya
hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara
129 IT TELKOM
r=∑ (x− x )( y− y )
√ [∑ (x− x )2 ][∑ ( y− y )2 ]
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√ [n(∑ x2 )−(∑ x )2 ][ n(∑ y2 )−(∑ y )2 ]
Buku Ajar Statistika Industri FRI
x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap
unit x.
Dalam kasus dimanai r1 = 0,3 dan r2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat
korelasi positif dimana r2 lebih kuat daripada r1. Adalah salah jika
menyimpulkan bahwa r2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik
dibandingkan dengan r1.
6.2.2.Koefisien Determinansi
Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan
untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi
disimbolkan dalam R2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam
nilai variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan
variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai
variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai
variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :0 ≤ R2≤ 1
R2 juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika
R2 suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik,
tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang
terbaik.
Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan
penafsirannya jika 0.994 sehingga R2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh
variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan
sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X.
Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk
hasil perhitungan koefisien regresi.
6.2.3. Korelasi Ganda
Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan
antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel
yang lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan
pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas
kerja.
130 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara
serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas,
dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear
maka besarnya korelasi bergandanya adalah :
r y, x1 ,… , xn=
a1∑ x1 y+a2∑ x2 y+…+ak∑ xk y
∑ y2
dengan
∑ x1 y=∑ X 1Y−∑ X 1∑Y
n
∑ xk y=∑ Xk Y−∑ Xk∑Y
n
∑ y2=∑ Y 2−(∑Y )2
n
6.2.4. Korelasi Parsial
Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya
hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan
terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan
variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.
Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau
korelasi antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :
r y, x1 , x2=r y x1
−(r¿¿ y x2× rx1 x2
)
√ (1−rx1 x2
2 )(1−r y x2
2 )¿
Dimana :
r y, x1 , x2= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y
r y x1= korelasi product moment antara x1 dengan y
r y x2 = korelasi product moment antara x2 dengan y
r x1 x2 = korelasi product moment antara x1 dengan x2
131 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6.3. Uji Hipotesis Korelasi
Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat
hubungan antara dua variabel tertentu.
Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:
H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
Atau H0 : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
Statistik uji:
Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai
berikut:
t hitung=r √n−2
√1−r2 atau
t tabel= t( α
2;df )
dimana df=n−2
Kriteria uji
Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel
Kesimpulan
Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan
koefisien korelasi taksiran (ρ0 ¿, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:
H 0 : ρ=ρ0 dimana ρ0 ≠ 0
H 1: ρ≠ ρ0
Statistik uji:
zhitung=√n−3
2ln [ (1+r )
(1−r )(1− ρ0 )(1+ρ0 ) ]
z tabel=zα (uji satu sisi) atau z tabel=z α2 (uji dua sisi)
132 IT TELKOM
t hitung=b
S
S xx
=√SSRS
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Kriteria uji:
Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel
Kesimpulan
6.4.Analisis Regresi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan
dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau
hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan
tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara
kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.
Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu :
Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan
sebab-akibat)
Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi
6.4.1. Sejarah Regresi
Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang
membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton
menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa
generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain,
anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari
ayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek
cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua
peramalan.
6.4.2. Definisi Regresi
Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk
menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel
atau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak
bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel
133 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor
Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada
variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.
Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan
satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained
variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory).
Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua
disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis
regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa
variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi
banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan
menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara
aplikatif lebih bersifat eksploratif.
6.4.3. Asumsi
Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
Error (ε) independen secara statistik
Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal
Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan
Ada hubungan linier antara kedua variabel
Catatan (*):
Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai
pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.
Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan
yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.
Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value)
dengan pengamatan sebenarnya.
Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.
134 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua
variabel yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel
terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana
dari populasi adalah:
Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai
berikut:
Keterangan :
y i = nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat (dependen
variable)
a = konstanta yang merupan nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
b = koefisien regresi/gradient garis regresi (slope)
x = variabel bebas (independent variable)
6.4.5.1. Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)
Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan
antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:
SSE=L=∑i=1
n
e i2=∑
i=1
❑
¿¿¿¿
Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model
regresi dari nilai yang sebenaranya.
Gambar VI.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε
135 IT TELKOM
y=α+βx+ε
y i=a+bx
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian
terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:
∂ L∂ a=−2∑
i=1
n
(Y i−a−b (x i−x¿))=0¿
∂ L∂b=−2∑
i=1
n
(Y i−a−b (x i−x¿))(x i−x )=0¿
Penyederhanaan dua persamaan tersebut di atas menghasilkan persamaan normal
kuadrat terkecil sebagai berikut:
na+b∑i=1
n
xi=∑i=1
n
y i
dan
∑i=1
n
x i y i=a∑i=1
n
x i+b∑i=1
n
x i2
Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:
atau atau ataub=Sxy
Sxx
atau
136 IT TELKOM
b=∑ ( x− x )( y− y )
∑ ( x− x )2
b=n∑ xy−∑ x∑ y
n∑ x2−(∑ x )2
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan
nilai a: a = ∑i=1
n
y i
n−b∑i=1
n
x i
n
atau:
a = y – bx
Dimana:
y = rata – rata yi
x = rata – rata xi
6.4.5.2. Partisi dari Varians Total
Estimasi parameter σ 2 menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan
model dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi
varians dapat dijabarkan sebagai berikut:
SST = SSR + SSE
Keterangan:
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =Syy
SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = bSxy
SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror = Syy−¿ bSxy
Dimana : Sxx=∑ x i2−n x2
137 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Syy=∑ y i2−n y2
Sxy=∑ x i y i−n x y
6.4.5.3. Estimasi dari σ 2
Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan
penyimpangan dari nilai–nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE (
Se) atau yang biasa disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari σ 2 dan
diestimasi dengan persamaan berikut:
Se = S = √∑ ( y− y )2
n−2 =√ SSE
n−2 =√ S yy−b Sxy
n−2
Standar Error Koefisien Regresi
Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing–masing sampel tersebut
memiliki gradien/slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar
nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi
tersebut dengan persamaan berikut:
6.4.5.3. Standar Error untuk y bila nilai x diketahui
Jika nilai x dimasukkan berulang–ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata–rata
yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai y bervariasi. Sehingga nilai
standar error y dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):
Sy = Se (√( 1n + (x0−x )2
S xx))
6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi
Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
138 IT TELKOM
sb=s
√Sxx
=sε
√∑ ( x− x )2=
sε
√∑ x2−(∑ x )2
n
Buku Ajar Statistika Industri FRI
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Statistik Uji:
t=b−β0
s /√Sxx
=b−β0
Sb
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.7. Uji Intersep Model Regresi
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : α = 0
H1 : α ≠ 0
Statistik Uji:
t= a−α
s √∑ x i
nS xx
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.8. Selang Kepercayaan
Selang Kepercayaan untuk α:
Selang Kepercayaan untuk β:
139 IT TELKOM
a±tα /2
S√∑ x 2i
√nSxx
b±tα /2 sb
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6.4.9.Prediksi
Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat xp
Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat xp
6.5. Pemilihan Model Regresi
Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya
dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya.
Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias
dalam estimasinya.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa
digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Tabel VI.10 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error SSE n – S2 = SSE/n-2
Total SST n –
140 IT TELKOM
y±tα /2 sε√ 1n+(x p− x )2
∑( x− x )2
y±tα /2 sε√1+ 1n+( x p− x )2
∑( x− x )2
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of significance)
α
Kesimpulan
6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)
Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis
varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel
dependen menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi
error.
6.6. Analisis Residual
Analisis residual dapat dilakukan dengan:
a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik,
yaitudengan melakukan plot e i dengan y, apabila terdapat pola-pola tertentu
berarti varians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.
b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan:
Stem and leaf
Histogram
Dot diagram
Plot normal (Normal Probability Plot)
141 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak
berdistribusi normal.
d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot e i dengan
time order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana
penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam
pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.
e. Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas
pengujian ±3σ ( plot ei dengan y).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau
nilainya lebih besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.
6.7. Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang
Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan
pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian
apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan
kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan
Lack Of Fit.
6.7.1. Pengujian Lack Of Fit
Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang
muncul antar nilai y untuk setiap nilai x (pure experimental error) dan komponen
yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.
Prosedur Pengujian:
Hipotesis
H0 : Tidak ada LoF
H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung Pure Error sum of square (SSpe)
SSpe=∑i=1
k
∑i=1
n
¿¿¿¿ dengan df = n – k
142 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tabel VI.2 Analysis of Variance
Sumber
variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error: SSE n –
2
S2 = SSE(/n-2)
Lof
Pure error
SSE - SSpe k - 2 (SSE – SSpe¿/(k−2) SSE−SSpe
S2(k−2)SSpe n - k S2= SSpe /(n-k)
Total SST n
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Contoh 1
nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir
semester (y) sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi 7 50 7 72 81 9 96 9 67
yi 8 66 7 34 47 8 99 9 68
a. Tentukan persamaan garis regresi linear.
b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian
tengah semester.
Jawab :
persamaan regresi linear
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σxi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707
143 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658xiyi 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258xi
2 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557
Sehingga b = (9 ) (53.258 )−(707 )(658)
(9 ) (57.557 )−(707)2 = 0,777142
dan
a = 658−(0,777142 )(707)
9 = 12,06232
jadi, persamaan regresi linear adalah
y = 12,06232 + 0,777142x
x = 85
y = 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936
Contoh 2
Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :
x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17
Jawab :
Σx = 31,9 Σy = 230 Σ xiyi = 675,5
Σ xi2 = 94,49 Σ yi
2 = 4866
x = 2,9 y = 20,9091
b = 0,777142
a = 12,06232
Sxx = Σ xi2 – n(x)2 = 1,98
Sxy = Σ xiyi – n(x y)= 8,4997
Syy = Σ yi2 – n(y)2 = 56,9049
SSR = b2 Sxx = 36,4894
SSE = Syy – SSR = 20,4155
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
144 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
α = 0.05
Tabel Anaysis of Variance
KomponenRe
gresi
SS d M Fhitung
Regresi 36,4
9
1 36, 16,08
2
7
6
Error 20,4
2
9 2,2
Total 56,9
0
4
9
1
Pengambilan Keputusan
F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12
Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak
Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai
Contoh 3
Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan
ABC.
Tahu
nJumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)
2005 22 30
2006 36 38
2007 31 35
145 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
2008 32 37
2009 31 34
2010 32 38
Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan
menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!
Jawab:
Tahun
Jumlah
Biaya
Promos
i (x)
Jumlah
Penjuala
n (y)
Range
x
Range
yd i=R ( x )−R ( y) d i
2
2005 22 30 1 1 0 0
2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25
2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25
2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25
2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25
2010 32 38 4.5 5.5 -1 1
∑ 2
r s=1−6 (2)
6(62−1)=1− 12
210=1−0 ,057=0 ,943
Uji Hipotesis:
H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan
H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan.
146 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Statistika uji:
t hitung=r √n−21−r 2 =
(0 ,943 )√6−2
1−(0 , 943 )2= 1 , 886
0 ,11075=17 , 03
t tabel= t( 0 ,01
2;4)=4 ,604
Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0
Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara
variabel biaya promosi dengan variabel penjualan
LATIHAN SOAL:
1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian
prestasi pengetahuan umum (Y).
Xi Yi Xi Yi Yi Yi
114
110
113
137
116
132
90
121
107
120
125
92
29
41
48
73
55
80
40
75
43
64
53
31
13
14
13
14
12
13
10
12
71
68
69
66
39
78
49
59
66
67
46
47
96
89
105
125
107
97
134
106
99
98
117
100
45
32
50
57
59
48
55
45
47
59
47
49
147 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
11
12
95
10
a. Gambar diagram pencarnya.
b. Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.
c. Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.
d. Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?
e. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120.
Jelaskan artinya!
f. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan
artinya!
g. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ
berubah dengan satu unit.
h. Perlukah diambil model berbentuk lain?
i. Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan
diatas?
2. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 28
60 44 39 42
75 48 51 44
Carilah persamaan garis regresi
Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
148 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.
4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang
diperoleh
(dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.
Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194
Keuntungan
(y)
10 15 13 17 19 14 13 11 13 15
a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan
ujiah!
b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan
keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!
5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta
apakah
ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi
pearson!
nKondisi temperatur
(x)
KepuasanKerja
(y)
1 8 20
2 12 20
3 10 17
149 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4 7 18
5 8 19
6 7 20
7 12 18
8 10 19
9 12 16
19 17
110 16
112 17
112 18
112 12
112 17
6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel
dua (X dan Y).
X Y X Y X Y
15 10 8 56 17 153
150 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
13
10
11
16
12
9
12
4
8
8
10
99
11
13
97
74
98
20.
69
11
17
20
12
18
16
13
18
11
75
137
163
84
149
140
137
170
109
6
8
5
3
6
14
5
15
16
73
95
26
24
50
96
35
132
141
151 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
V.2.1 Regresi Linier BergandaAnalisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara
variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel
bebas (x) yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi
linier berganda:
y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn
Keterangan:
y = nilai dari variabel terikat
a = konstata nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
b i = koefisien regresi gradient garis regresi (slope)
xn = variabel bebas
V.2.1.1 Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)
Untuk setiap pengamatan {( x1 i , x2 i ; y i) ; i=1 , 2 , …,n¿} akan memenuhi persamaan:
y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn+ei
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan:
e i= y- a - b1 x1−b2 x2−……−bn xn
Dengan syarat meminimasikan nilai a, b1, dan b2 penurunannya, maka diperoleh persamaan:
∑ yi = an + b1∑i=1
n
x i 1 + b1∑i=1
n
x i 2
∑i=1
n
x1 i yi = a∑i=1
n
x1 i + b1∑i=1
n
x i 12 + b2∑
i=1
n
x i 1 x i 2
∑i=1
n
x2 i y i = a∑i=1
n
x2 i + b2∑i=1
n
x i 22 + b1∑
i=1
n
x i 1 x2 i
Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:
a. Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata–rata 0 dan dan varians σ2
b. Bersifat homoskedastisitas
c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi
152 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna
diantara variabel–variabel bebas.
Latihan soal
1. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 815 12 10 1430 25 21 2445 31 33 2860 44 39 4275 48 51 44
a. Carilah persamaan garis regresi
b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
2. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.
153 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB VI ANOVA (ANALISA VARIANS)
Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one way ANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor.
Mahasiswa mampu:
1. Mengetahui konsep desain eksperimen
2. Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova)
3. Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari
beberapa populasi
4. Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova
5. Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi
didunia nyata.
6.
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
154 IT TELKOM
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
1………….2………….3………….4………….
SKENARIO PEMBELAJARAN
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu percobaan dengan membandingkan rata-rata dari lebih dua sampel.
Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang
diuji lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif
karena memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan
dilakukan secara berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan
dilakukan pengujian terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan
uji t sebanyak sepuluh kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu
untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam
perhitungan, pembandingan ataupun pengulangan menjadi semakin besar.
Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika
parametrik.. Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel
independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan
bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan.
Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan
untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat
mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.
Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan
distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor
(tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).
7.1.2. Asumsi
Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
1. Data berdistribusi normal
2. Skala pengukuran minimal interval
155 IT TELKOM
RINGKASAN MATERI
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3. Varians homogen
4. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data
setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansi
dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas (independen) menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya
pada setiap kelompok bersifat saling bebas.
7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)
Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak
lengkap adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh
perlakuan dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang
menggunakan satu faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level.
Disebut juga Desain Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel
yang sama. Dalam analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n
diambil masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini
diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda.
Model perbandingan k teratment (perlakuan):
y ij=μ+∝ j+eij
Dimana:
µ = Mean
∝ j= efek perlakuan ke-j
e ij IIDN(0,σ)
Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 : µ1=µ2=…=µk,
H 1 : paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.
156 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-1 , k(n-1)) pada selang kepercayaan (level of
significance) α
Kesimpulan
Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu:
1. Dengan cara Matriks
2. Dengan Cara rumus
Tabel VIII.11 k sampel acak
Perlakuan
1 2 … j … k
y11 y12 … y1 j … y1k
y21 y22 … y2 j … y2k
… … …
yn1 yn2 … ynj … ynk
Jumlah T .1 … T . j … T .k T..
Rataan y .1 y .2 … y . j … y . k y
Keterangan:
y ij : menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j.
T . j : menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i.
y . j : menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.
T.. : jumlah semua nk pengamatan.
y.. : rataan semua nk pengamatan
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Residual
157 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
y ij = y .. + ( y . j− y ..) + (y ij-y . j ¿
(y ij-y ..¿ = ¿ + (y ij-y . j ¿
(y ij-y ..¿ ² = ( y . j− y ..) ² + (y ij-y . j ¿ ² + 2( y . j− y ..) (y ij-y . j ¿
= 0
∑j=1
k
∑i=1
n
¿¿¿ + ∑j=1
k
∑i=1
n
( y ij− y . j) ²
SST SSA
SSE
Keterangan: SST = Sum Square Total SSA = Sum Square of Treatment SSE = Sum Square of Error
Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah:
SST = ∑i=1
k
∑j=1
n
y ij2−¿ T ..2
nk¿
SSA = ∑i=1
k
T . j2
n−T ..2
nk
SSE = SST – SSA
Tabel VII.12 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah
Sumber
variansi SS df MS F hitung
Perlakua
n
SSA k-1 MSA= SSAk−1
MSAMSE
Error SSE k(n-1) MSE= SSEk (n−1)
158 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Total SST nk-1
Contoh 1:
Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4
macam operator:
Mesin
1 2 3 4 Total
12 22 19 11
10 13 14 13
14 16 20 16
13 15 19 12
11 14 18 18
Total 60 80 90 70 300
Rataan 12 16 18 14 15
Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang
dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda!
Jawab:
H 0 : µ1= µ2=…= µ4,
H 1 : paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.
Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=16
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Residual
y ij = y .. + ( y . j− y) + (y ij-y . j ¿
¿
(dikuadratkan)=100 (dikuadratkan)=116
SSA SSE
SST = SSA +SSE = 216
159 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Dengan cara rumus:
SST= 122+222+…+182−3002
20=216
SSA= 602+802+902+702
5−3002
20=¿100
SSE= 216-100=116
Tabel Anova
Sumber
variansi SS df MS Fhitung
Perlakuan 100 3 33,3333 4,5977
Error 116 16 7,25
Total 216 19
Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil
yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu
cara tersebut.
Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24
Keputusan: tolak H 0 dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan
yang sama (Mesin memang berpengaruh)
Latihan soal:
1. Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk
keempat konsentrasi.
Konsentrasi NaCl
A B C D
11,0
1
11,38 11,02 6,04
12,0
9
10,67 10,67 8,65
10,5
5
12,33 11,50 7,76
160 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
11,2
6
10,08 10,31 10,13
2. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup.
Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan.
Sampel acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah
rataan daya rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang
dalam kg per cm2 x 10−1.
Mesin
1 2 3 4 5 6
17,5 16,4 20,3 14,6 17,5 18,3
16,9 19,2 15,7 16,7 19,2 16,2
15,8 17,7 17,8 20,8 16,5 17,5
18,6 15,4 18,9 18,9 205 20,1
Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan
daya rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!
3. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas
V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran
dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.
Cara I Cara II Cara III
89
93
75
69
83
99
69
57
85
67
90
79
75
86
94
64
69
78
92
81
70
84
161 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar
masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah
untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar
matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu
menggunakan data yang diberikan.
7.1.4 TWO WAY ANOVA
Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block
Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah
Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat
satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok.
Uji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata.
Uji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan.
Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):
y ij=μ+∝i+β j+e ij
Dimana:µ = Mean ∝i= efek blok ke-iβ j= efek perlakuan ke-j
e ij IIDN(0,σ)
Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah:
Pengujian hipotesis untuk treatment:
H 0 : Tidak ada pengaruhtreatment / perlakuan
H 1 : Ada pengaruh treatment
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung = MSAMSE
> Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level
of significance) α
162 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Kesimpulan
Pengujian hipotesis untuk blok:
H 0 : Tidak ada pengaruhblok
H 1 : Ada pengaruh blok
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung = MSBMSE
> Ftabel(b-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level of
significance) α
Kesimpulan
Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana
ada dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu:
1. Dengan cara Matriks
2. Dengan Cara rumus
Tabel VII.13 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA)
Block
(B)
Treatment (A)Jml
Mean1 2 … A
1 y11 y12 … y1a T1. y1.
2 y21 y22 … Y2a T2. y2.
: : : :
B Yb1 Yb2 … yba Tb.. yb .
Jml T.1 T.2 … T.a T..
Mean y .1 y .2 y . a y ..
163 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Dengan cara matriks:
Observasi = Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
y ij = y .. + ( y . j− y ..) + ( y i .− y ..) + (y ij− y i .− y . j+ y ..¿
(y ij-y ..¿ = ¿) + ( y i .− y ..)+ (y ij− y i .- y . j+ y ..¿
∑i=1
a
∑j=1
b
¿¿¿ + a∑j=1
b
( y . j− y ..) ²+∑i=1
a
∑j=1
b
( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²
SST=∑i=1
a
∑j=1
b
¿¿¿
SSA = b∑i=1
a
( y i .− y ..) ²
SSB = a∑j=1
b
( y . j− y ..) ²
SSE = ∑i=1
a
∑j=1
b
( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²
Dengan cara rumus:
SST=∑i=1
a
∑j=1
b
y ij2 T ..
2
ab
SSA=∑i=1
a
T i ..2
b−T . .2
ab
SSB=∑j=1
b
T . j2
a−T . .2
ab
SSE=SST−SSA−SSB
Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel VIII.14 Two Way Anova
Sumber VariasiSS df MS f hitung
A (Treatment) SSA a-1 MSA= SSAa−1
f A=MSAMSE
164 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
B (Block) SSB b-1 MSB= SSBb−1
f B=MSBMSE
Error SSE (a-1) (b-1) MSE= SSE(a−1 ) (b−1 )
Total SST (ab-1)
Contoh 2:
Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga
sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan
statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :
Sistem Rudal
Jenis bahan bakar
1 2 3 4
1 12 20 13 11
2 2 14 7 5
3 8 17 13 10
4 1 12 8 3
5 7 17 14 6
Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
a. Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar?
b. Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal?
Jawab :
165 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Sistem RudalJenis bahan bakar
Jml Mean 1 2 3 4
1 12 20 13 11 56 14
2 2 14 7 5 28 7
3 8 17 13 10 48 12
4 1 12 8 3 24 6
5 7 17 14 6 44 11
Jumlah 30 80 55 35 200
Mean 6 16 11 7 10
Hipotesis
a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar)
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)
b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal)
H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
y ij = y .. + ( y . j− y) + (y ij-y . j ¿
¿ [ 44 4 4−3−3−3−3
2 222−4−4−4−4
1 111]
(dikuadratkan)=310 (dikuadratkan)=184
SSA SSB
166 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
+ [ 0 6 1−3−2 −3 −4−1
2 0 2 21 −1 1−2−1 −2 04
] (dikuadratkan)= SSE= 24
SST = SSA +SSB+SSE = 518
Dengan cara rumus:
SST=∑i=1
a
∑j=1
b
y ij2 T ..
2
ab = 2518 -2002
20 = 518
SSA=∑i=1
a
T i ..2
b−T ..2
ab
= [ 302
5+ 802
5+ 552
5+ 352
5 ] - 2002
20 = 2310 – 2000 = 310
SSB=∑j=1
b
T . j2
a−T . .2
ab
= [ 562
4+ 282
4+ 482
4+ 242
4+ 442
4 ] - 2002
20 =2184 – 2000 = 184
SSE=SST−SSA−SSB= 518 – 310 -184 = 24
Tabel analisis variansi
Sumber Variasi SS Df MS F Hitung
Jenis bahan
bakar310 3 103,3 51,7
Sistem rudal 184 4 46 23
Error 24 12 2
Jumlah 518 19
Keputusan-1:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12)
51,1 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan-1:
Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar
167 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Keputusan-2:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)
23 > 3,26 Tolak H0
Kesimpulan-2:
Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda
Latihan soal
1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap
umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu
dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada
tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu (0C)
Tungku
T1 T2 T3 T4
500 227 214 223 240
550 187 181 232 246
600 202 194 213 219
Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah :
a. Ada pengaruh suhu?
b. Ada pengaruh tungku?
2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk
meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An
Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan
oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di
tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial
mayor,Posterior deltoid,Deltoid tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu
servis, adalah sebagai berikut :
168 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Orang Otot1 2 3 4 5
1 59 1.5 61 10 20
260 9 78 61
61
3 47 42 23 55 95
Dengan α= 0,01 ujilah apakah:
a. Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang
sama)?
b. Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada
pengukuran elektromygraf)?
VI.1.1 Two Way Anova dengan n replikasi
Tabel VII.15 Two Way Anova dengan n replikasi
Sumber Variasi Jumlah KuadratDerajat Kebebasan
Rataan Kuadrat f hitungan
Pengaruh Utama
A JKA a-1 S12= JKA
a−1f 1=
S12
S2
B JKB b-1 S22= JKB
b−1f 2=
S22
S2
Interaksi dwifaktor
AB JK(AB) (a-1) (b-1) S32=
JK (AB)(a−1 ) (b−1 )
f 3=S3
2
S2
Galat JKG ab(n-1) S2= JKGab (n−1 )
JKT abn-1
Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel VII.16 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA
169 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
AB
Jumlah1 2 … b
1 T11. T12. … T1b. T1…
2 T21. T22. … T2b. T2…
: :
A Ta1. Ta2. … Tab. Ta…
Jumlah T.1. T.2. … T.b. T…
Keterangan:
JKT=∑i=1
a
∑j=1
b
∑k=1
n
y ijk2 −¿ T 2
abn¿
JKA=∑i=1
a
T i..2
bn− T .2
abn
JKB=∑j=1
b
T j .2
an− T .2
abn
JK (AB )=∑i=1
a
∑j=1
b
T ij2
n−∑i=1
a
T i ..2
bn−∑j=1
b
T . j .2
an+
T…2
abn
JKG=JKT−JKA−JKB−JK (AB)
Contoh 2:
Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari
tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan
statis. Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi
pengamatan laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah datanya :
Sistem Rudal
Jenis Bahan Bakar
b1 b2 b3 b4
a1
34,0 30,1 29,8 29,0
32,7 32,8 26,7 28,9
a2
32,0 30,2 28,7 27,6
33,2 29,8 28,1 27,8
a3
28,4 27,3 29,7 28,8
29,3 28,9 27,3 29,1
Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
170 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
a. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem
rudal yang berlainan.
b. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar
c. H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang
berlainan.
Jawab :
1. Hipotesis
a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol
b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol
c. H0 = (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu (αβ)ij tidak sama dengan nol
2. Taraf keberartian = 5%
3. Daerah kritis (penentuan f tabel)
a. f1 = f9.05 (a-1,ab(n-1)) = f9.05 (2,12) = 3,89
b. f2 = f9.05 (b-1,ab(n-1)) = f9.05 (3,12) = 3,49
c. f3 = f9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f9.05 (6,12) = 3,00
4. Tabel jumlah
b1 b2 b3 b4 Jumlah
a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0
a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4
a3 57,7 56,2 57,0 57,9 228,8
Jumlah 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2
5. Tabel analisis variansi
Sumber VariasiJumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rataan Kuadrat
f Hitungan
Sistem rudal 14,52 2 7,26 5,85Jenis bahan bakar
40,08 3 13,36 10,77
Interaksi 22,17 6 3,70 2,98
Galat 14,91 12 1,24
Jumlah 91,68 23
171 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6. Statistik Uji
Tolak H0 jika f hitung > f tabel
7. Kesimpulan
a. 5,85 > 3,89 Tolak H0
Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran
yang berbeda.
b. 10,77 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat
jenis bahan bakar.
c. 2,98 < 3,00 Terima H0
Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan
bakar yang berlainan.
Latihan soal
1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur
sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai
dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap
kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu (0C)Tungku
T1 T2 T3 T4
500227 214 225 260
221 159 236 229
550187 181 232 246
208 179 198 273
600174 198 178 206
202 194 213 219
Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa :
a. Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
b. Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
c. Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi
2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan
kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An Electromoygraphic-
172 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan
di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang
berbeda tersebut adalah :
a. Anterior deltoid,
b. Pectorial mayor,
c. Posterior deltoid,
d. Deltoid tengah,
e. Trisep
Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap
kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai
berikut :
OrangOtot1 2 3 4 5
132 5 58 10 1959 1.5 61 10 2038 2 66 14 23
263 10 64 45 4360 9 78 61 6150 7 78 71 42
343 41 26 63 6154 43 29 46 8547 42 23 55 95
Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa:
a. Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama
b. Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf
c. Orang dan jenis otot tidak berinteraksi
173 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BAB VIIISTATISTIKA NON-PARAMETRIK
8.0 Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu :
1. Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik2. Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik3. Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji
nonparametrik4. Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik5. Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman
8.1 Statistika Nonparametrik
Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan
penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada
asumsi-asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya :
mengasumsikan bahwa sampel h
arus diambil dari populasi-populasi yang berdistribusi normal dan mempunyai
varians yang sama.
Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-
uji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut
dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum.
Ringkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data
yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang “cepat dan mudah”
ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi,
karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga
karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka
beruntunglah telah disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang bermanfaat.
Kelebihan prosedur nonparametrik:
1. Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga
kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai
174 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji
parametrik padanannya)
2. Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah
3. Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi
peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang
4. Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak
harus merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)
Kelemahan prosedur nonparamtrik:
1. Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)
2. Tidak seteliti pengujian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya
kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar
8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)
Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti “cacat” atau “tidak”, atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut.
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
1. Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui
2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu
Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 : ~μ=~μ0
H 1 : ~μ ≠~μ0
Tentukan Level of Significance (α)
175 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tentukan daerah kritis:
1. Satu arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α
2. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α
Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil
Perhitungan Statistik Uji:
3. Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel
dengan median hipotesis
4. Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
5. Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
6. Hitung P(X≤ xn∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan
dengan α untuk n ≤ 20
7. Jika n ¿20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati
dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi
kontinuitas yaitu:
. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n
0,5√n
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
176 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh-1
Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:
1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7.
Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H 0 : ~μ=1,8
H 1 : ~μ ≠ 1,8
Dengan Level of Significance (α)=0,05, maka daerah kritis:
8. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ 0,05
9. Dua arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ 0,025
Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil
Perhitungan Statistik Uji:
Data 1.5 2.2 2,1 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
Tanda - + + - + - + - + - -
*Median = 1,7
P(X≤ 5 11∗0,5¿ = dengan distribusi binomial (lihat tabel) = 0,5
Ternyata lebih besar dari ∝2=0,025
Keputusan:
Tolak H0
Kesimpulan:
Rata-rata bekerja/berfungsi alat pencukur listrik tsb bukan 1.8 jam
177 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh-2
Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat sebagai berikut:
Mobil Ban radial Ban biasa1 4.2 4.12 4.7 4.93 4.6 6.24 7.0 6.95 6.7 6.86 4.5 4.47 5.7 5.78 6.0 5.89 7.4 6.910 4.9 4.911 6.1 6.012 5.2 4.9
Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa? Gunakan hampiran normal terhadap sebaran binom.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H 0 :~μR−~μB = 0
H 1 :~μR−~μB>0
Ban
Radial4.2 4.
74.6 7.0
6.7 4.5 5.
76.0 7.4 4.
96.1 5.2 5,
76,9
Ban
Biasa4.1 4.
96.2 6.9 6.
84.4 5.
75.8 6.9 4.
96.0 4.9 5,
36,5
Tanda + - - + - + 0 + + 0 + + + +
Perhitungan: Dengan sedikit perhitungan kita memperoleh 9 tanda plus, 2 tanda nol.
178 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Setelah tanda nol dibuang, n = 12 dan x = 3
Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan
faktor koreksi kontinuitas yaitu:
ZHitung=(12−0,5 )−0,5∗12
√(12 ) (0,5 )(0,5) = 3,1754
Daerah Kritis: z > 1.645
Keputusan: Karena ZHitung>ZTabel , maka tolak Ho Kesimpulan :Rata-rata ban radial memang meningkatkan penghematan bahan
bakar.
8.3. Uji Tanda Untuk Dua Sampel Berhubungan
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
1. Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama
2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Ke-n pasangan hasil pengukuran independen
Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 :~μ1−~μ2=d i = 0
H 1 :~μ1−~μ2≠ 0
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Satu arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α
b. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α
Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil
Perhitungan Statistik Uji:
179 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing
nilai dari dua sampel berpasangan.
Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2P(X
≤ xn∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α
Jika n >20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan
distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:
. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n
0,5√n
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
Contoh-3
Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit):
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437*X=Ketika tikus sendiri
Y= Ketika tikus berkumpul
Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikus?
Jawab:
Pengujian hipotesis:
H 0 :~μx−~μy ≥ d i≥ 0
180 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
H 1 :~μx−~μy<¿ 0
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437d i -60 -32 +1 -79 -26 -28 -30 +7 -61 -35Tanda - - + - - - - + - -
Dua arah : 2 P(X≤ 210∗0,5¿=0,0547
P(X≤ 210∗0,5¿=0,02735 ≤ α=0,05
Keputusan:
Tolak H0
Kesimpulan:
Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.
8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Rank Sum Test)
Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode non parametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah:
1. Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn
2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Kedua sampel independen
Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 :~μ1=~μ2
181 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
H 1 :~μ1 ≠~μ2
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai U yang memenuhi P(U≤ u´H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan
ujinya satu arah
b. Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U≤ u´H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan
ujinya dua arah
c. Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 18 (buku Walpole),
jika 9 ≤ n2 ≤ 20
Perhitungan Statistik Uji:
Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2
Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar
dan beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat
pengamatan yang besarnya sama, maka pengamatan tsb diganti dengan
rata-rata ranking
Hitung W1= Jumlah ranking pada n1
W2= Jumlah ranking pada n2
W 1+W 2=(n1+n2 )(n1+n2+1)
2
U1 = W1 -n1(n1+1)
2
U2 = W2 -n2(n2+1)
2
Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan
distribusi normal dengan:
. μU 1=n1 n2
2 dan σ 2
U 1=n1 n2(n1+n2+1)
12
Pengambilan Keputusan:
182 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah
kritis
Kesimpulan:
Contoh-4
Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja :
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda?
Jawab: H 0 :~μx=~μy
H 1 :~μx ≠~μy
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Ranking 20 8 14,5 5,5 16 1,5 18 13 3 19Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60Ranking 11,5 4 5,5 9 1,5 10 11,5 7 14,5 17
W1 = 1,5+3+5,5+8+13+14,5+16+18+19+20=118,5
W 2=(n1+n2 )(n1+n2+1)
2– W1 =
(20 )(21)2
−118,5=91,5
U1 = W1 -n1(n1+1)
2 = 118,5 –
(10 )(11)2
=63,5
U2 = W2 -n2(n2+1)
2 = 91,5 –
(10 )(11)2
=36,5
Keputusan:
U2 < U1 Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23
183 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Karena U hitung > U tabel terima H0
Kesimpulan:
Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain
kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y
8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan
Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel-berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. Sebuah uji yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda wilcoxon, atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan berpasangan.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah:
1. Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak
2. Data minimal mempunyai skala pengukuran interval 3. Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu4. Selisih-selisih tsb independen5. Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik
Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 :~μ1−~μ2=d0
H 1 :~μ1−~μ2≠ d0
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai W yang memenuhi P(W≤ w´H 0 benar ¿<α , jika n < 5 dan
ujinya satu arah
184 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
b. Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W≤ w´H 0 benar ¿<α , jika n < 5 dan
ujinya dua arah
c. Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 17 (buku Walpole),
jika 5 ≤ n ≤ 30
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan
tandanya : di = Yi - Xi
Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n
akan berkurang
Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan
tandanya
Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat
yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil
Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)
Jika n > 30, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:
μw=n (n+1)
4 dan σ 2
w=n (n+1 )(2n+1)
24
Dan Statitik Ujinya adalah:
Z=(w−μw )
σ w
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan:
Contoh-5
Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti-peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase
185 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9
Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 %
Jawab:
H 0 :~μ yi−~μxi=di ≥ 0
H 1 :~μ yi−~μxi ≠ d i<0
TerapiTekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9d i = Y i – X i -12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 -9Peringkat/ranking 7 4 7 1 2 7 3 5
Buang
Keputusan:
Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H0
Kesimpulan:
Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru
8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal (One Sample Run Test)
Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak.
Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n = n1 + n2.
186 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah:
Pengujian hipotesis:
H 0 : Sampel berasal dari proses acak
H 1 : Sampel tidak berasal dari proses acak
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai V yang memenuhi P(V≤ v H 0 benar ¿<α , jika n1 dan n2 ≤ 10
dan ujinya satu arah
b. Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V≤ v ´H 0benar ¿<α , jika jika n1 dan
n2 ≤ 10 dan ujinya dua arah
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung runtun dari barisan sampel
Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan
kasus
Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal
dengan:
μv=1+[ 2 n1 n2
n1+n2] dan σ 2
v=2n1 n2(2 n1 n2−n1−n2)
¿¿
Dan Statitik Ujinya adalah:
Z=(V−μv)
σ v
Pengambilan Keputusan:
Jika P (Z ) < α maka tolak H0, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan
Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P,
L L P P P L L P P L L L
187 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga dua L dan demikian seterusnya.
Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20 runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb.
Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5 dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:
P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah
2 P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 > α
Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H0)...
Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.....
Contoh-6
Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1.
Jawab.:
H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi
H1: Data tidak diambil secara acak
Langkah untuk mendapatkan statistik uji :
1. Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutan terjadinya
2. Tentukan besarnya median sampel
188 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3. Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya beri tanda negatif
4. Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif5. Hitung banyaknya runtun (V)6. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel7. Jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah
Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α
Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda “-“ bila lebih kecil dari 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan :
+ - - - - + + + + - + +
dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.
Keputusan: P(V ≤ α bila H0 benar) =0.296 > α Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6)
Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang bervariasi secara acak.
Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:
Tentukan hipotesis :
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
Langkah :1. Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2 2. Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya3. Nyatakan data dari sampel ke-1 dengan A dan data dari sampel ke-2 dengan B4. Hitung banyaknya runtun (v)5. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel6. Daerah kritis (Daerah penolakan):
Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji satu arah Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji dua arah
189 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :
μV=[ 2n1n2
n1+n2]+1 dan σ
2V=
2n1n2(2 n1 n2−n1−n2)
(n1+n2 )2(n1+n2−1)
Z=(V−μV )
σ V
Contoh-7
Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan April 2010:
Bandung
Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 7 6 5 -2 -1 3 2 -6 -5 8 -4Tanda + + + - - + + - - + -
JakartaHari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 5 8 -3 -7 -9 8 -1 -2 -3 2 3Tanda + + - - - + - - - + +
Jawab:
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan:
μV=[ 2 (11 )(11)11+11 ]+1 = 12
σ2V=
2 (11 )(11)(2(11)(11)−11−11)(11+11)2(11+11−1)
= 5.238 σ V =2.2887
Z=(V−μV )
σ V
= (11−12)2,2887
= -0.4369 ≈ -0.44
P(Z< -0.44) = 0.33 > α Terima H0
Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak
8.7. Uji Kruskal-Wallis
190 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah:
1. Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk
2. Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel3. Variabel yang diukur kontinyu4. Skala pengukuran minimal ordinal5. Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang-
kurangnya satu populasi
Struktur data dalam uji Kruskal Wallis:
Sampel
1 2 … … k
y11 y12 … … y1k
y21 y22 … … y2k
… … …
yn1 yn2 … … ynk
Prosedur untuk memperoleh Statistik Uji:
1. Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk
2. Urutkan dari kecil ke besar dn beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rank/peringkatnya
3. Jumlah peringkat/rank semua pengamatan n1 dan nyatakan dengan Ri
4. Hitung :
H= 12n(n+1)∑i=1
k R i2
n i
−3 (n+1)
5. Jika H jatuh dalam daerah kritis H > χα2 dengan v=k-1 tolak H0, dan jika
sebaliknya terima H0
191 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Contoh- 8
Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.
Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan BakarSistem Peluru Kendali1 2 324.016.722.819.818.9
23.219.818.117.620.217.8
18.419.117.317.319.718.918.819.3
Jawab
H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama)H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama
Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar
Sistem Peluru kendali
1 2 3
1911714.59.5
R1 = 61.0
1814.564165
R2 = 63.5
17112.52.5139.5812
R3 = 65.5
192 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r1 = 63.0, r2 = 63.5, dan r3 = 65.6, maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :
H= 12n(n+1)∑i=1
k R i2
n i
−3 (n+1)
H= 1219(19+1) [ 612
5+ 63.52
6+ 65.52
8 ]−3(19+1)
H = 1.6586
Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti
tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama
untuk ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H0. Jadi ketiga sistem
peluru kendali mempunyai median yang sama.
8.8 Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman
Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada
pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutan-urutan nilai
tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan
data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini
masuk dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak
lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan
variabel yang lain harus linier.
Koefisien korelasi Sperman rank (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
r s=1−6∑i=1
n
(d¿¿ i)2
n(n2−1)¿
Dengan:
d i=disparitas/ selisihtiap pasangrank
n=banyaknya pasangandata
Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama
diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini
193 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan
merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama.
Nilai rs biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik
dan ditafsirkan secara sama pula. Nilai rs dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau
-1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat
diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa
pemberian peringkat itu bertolak belakang. Bila rs dekat dengan nol, dapat disimpulkan
bahwa kedua peubah tidak berkorelasi.
Ada beberapa keuntungan penggunaan rs dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai
contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan
Y harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear,
maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa.
Keuntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y
adalah normal.
Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran
bagi nilai-nilai rs dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01,
dan 0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai
tabel nilai kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya
pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai rs setangkup
terhadap rs = 0, maka nilai rs yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah
kanannya. Bila hipotesis alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama
besar di kedua ekor sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah
kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif,
daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.
Contoh 9
Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B
menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!
Sample Ke-
Hasil Produksi (ton)Departemen A (x) Departemen B (y)
1 141.8 89.72 140.2 74.43 131.8 83.5
194 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4 132.5 77.85 135.7 85.86 141.2 86.57 143.2 89.48 140.2 89.39 140.8 8810 131.7 82.211 130.8 84.612 135.6 84.413 143.6 86.314 133.2 85.9
Jawab:
Sampel ke-
X YRank (x)
Rank (y)
d i=R ( x )−R ( y) d i2
1 141.8 89.7 12 14 -2 42 140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.253 131.8 83.5 3 4 -1 14 132.5 77.8 4 2 2 45 135.7 85.8 7 7 0 06 141.2 86.5 11 10 1 17 143.2 89.4 13 13 0 08 140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.259 140.8 88 10 11 -1 110 131.7 82.2 2 3 -1 111 130.8 84.6 1 6 -5 2512 135.6 84.4 6 5 1 113 143.6 86.3 14 9 5 2514 133.2 85.9 5 8 -3 9∑ 140.5
r s=1−6 (140,5)
14(142−1)=1− 700
2730=1−0,256=0,744
Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B.
195 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20,
12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk
menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih
dari 20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.
2. Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot
dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12,
10, 11, 18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α
=0.02 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot
bimbingannya berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.
3. Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase
bahan campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3,
1.2, 1.1, 3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal
bagi sebaran binom, lakukan uji tanda pada taraf nyata 0.01 untuk menguji hipotesis nol
bahwa presentase bahan campurannya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa presentase
bahan campuran rata-rata bukan 2.5%.
4. Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk
memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf
eksekutifsenior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di
Hawaii atau seminggu di Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai
pilihannya. Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji
tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama
196 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
disukai lawan alternatifnya bahwa preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara
18 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol.
5. Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya
telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat
ini, 12 papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya
mengering, dalam jam, tercatat sebagai berikut:
Papan Lamanya mengering (jam)Cat baru Cat lama
1 6.4 6.62 5.8 5.83 7.4 7.84 5.5 5.75 6.3 6.06 7.8 8.47 8.6 8.88 8.2 8.49 7.0 7.310 4.9 5.811 5.9 5.812 6.5 6.5
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.
6. Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5
kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini
dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya :
Wanita Bobot sebelum Bobot sesudah1 58.5 60.02 60.3 54.93 61.7 58.14 69.0 62.15 64.0 58.56 62.6 59.97 56.7 54.58 63.6 60.29 68.2 62.310 59.2 58.7
197 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat
mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa
pengurangan bobot itu kurang dari 4,5 kilogram.
7. Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan.
Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:
Hari Sulfur monoksidaAlat A Alat B
1 26.46 25.412 17.46 22.533 16.32 16.324 20.19 27.485 19.84 24.976 20.65 21.777 28.21 28.178 33.94 32.029 29.32 28.9610 19.85 20.4511 28.35 23.6712 22.78 18.9613 21.64 19.8814 18.93 23.44
Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah
kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.
8. Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon
9. Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
10. Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok
tercatat sebagai berikut:
BB sebelum 58 60 62 69 70 64 76 72 66 75
198 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
BB setelah 60 55 58 65 69 64 70 67 61 70
Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata
0.05, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang,
lawan alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti
merokok.
11. Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
12. Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
13. Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :
Nilai
Dengan pelajaran tambahan
Tanpa pelajaran tambahan
87 69 78 91 80 85 7875 88 64 82 93 79 67
Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai.
14. Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Kalkulator
A B C4.96.14.34.65.3
5.55.46.25.85.55.24.8
6.46.85.66.56.36.6
199 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.
15. Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba:
Cap A Cap B Cap C Cap D
14101113
16181415
16151412
17201921
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut.
16. Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata.
17. Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama.
18. Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini :T T T T Y Y T Y Y T Y T T T TGunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak.
19. Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku 0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022, 0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05
20. Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445.
200 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
21. Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut:C C T T T C T T C C T T T TT C C C T T C T T T T C T CDengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak
22. Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.
23. Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10 mahasiswa :
Mahasiswa UTS UAS
L.S.A 84 73W.P.B 98 63R.W.K 91 87J.R.L 72 66J.K.L 86 78D.L.P 93 78B.L.P 80 91D.W.M 0 0M.N.M 92 88R.H.S 87 77
a. Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan
alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025.
24. Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya
sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.
25. Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346.Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini:
201 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Pabrik Peringkat Harga (dlm $)
A 6 480B 9 395C 2 575D 8 550E 5 510F 1 545G 7 400H 4 465I 3 420
Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro?
26. Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:
Mobil Berhias1 2 3 4 5 6 7 8
Juri AJuri B
57
85
44
32
68
21
76
13
a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya.b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan
nol lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.05
c. Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatan diperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05.
27. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalah sebagai berikut :
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 3,6 3,7 3,5
Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda.
28. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini.
202 IT TELKOM
Buku Ajar Statistika Industri FRI
Suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1
Istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3
Apakah nampak sifat “independen” penilaian yang dilakukan oleh suami istri?
29. Diberikan data berikut :
A 1,32 1,28 1,22 1,23 1,16 1,31 1,06 1,23
B 0,99 1,08 0,98 0,96 0,97 0,98 0,89 1,01
Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median.
30. Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan :
26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23?
REFERENSI
1. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.1978
2. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 1981
3. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 1978
4. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006
5. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.
6. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007
7. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlangga (Terjemahan), 1988
203 IT TELKOM