DIKTAT/ MODUL

STATISTIKA ( MKB 2008, 2 SKS )

Peyusun:

A.A.I.A. Sri Komaladewi,ST.,MT

Dr.Ir. I G.N. Priambadi,MT

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS UDAYANA

KATA PENGANTAR

Puji syukur Kehadirat Ida Sang Hyang Widi Wasa yang telah

memberikan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar

STATISTIKA.

Adapun tujuan pembuatan bahan ajar ini adalah untuk pembelajaran bagi

mahasiswa maupun penulis sendiri untuk lebih memahami dalam pembelajaran di

dalam perkuliahan.

Dengan segala kekurangan, penulis mengharapkan kritik dan saran yang

sifatnya membangun. Harapan penulis terhadap bahan ajar ini yaitu semoga

bahan ajar ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan bagi penulis

sebagai penyusun bahan ajar ini pada khususnya.

DAFTAR ISI

1. BAB I PENDAHULUAN

2. BAB II UKURAN PEMUSATAN DATA

3. BAB III UKURAN PENYEBARAN DATA/DISPERSI

4. BAB IV TEORI PELUANG

5. BAB V DISTRIBUSI PROBABILITAS

6. BAB VI REGRESI LINIER DAN KORELASI

7. BAB VII UJI HIPOTESIS

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan,

menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu

yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' berbeda dengan 'statistik'. Statistika merupakan

ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan

algoritma statistika pada suatu data.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam

(misalnya astronomi dan biologi ), ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun

di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk

berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal.

Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak

pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung

cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula

diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif

berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah;

mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca”

dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian

hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi.

Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan (dideskripsikan)

atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar)

atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas

mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.

Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan

keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan

estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan

hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.

1.2 Metode Statistika

Dua jenis penelitian: eksperimen dan survai

Terdapat dua jenis utama penelitian: eksperimen dan survei. Keduanya sama-sama mendalami

pengaruh perubahan pada peubah penjelas dan perilaku peubah respon akibat perubahan itu. Beda

keduanya terletak pada bagaimana kajiannya dilakukan.

Suatu eksperimen melibatkan pengukuran terhadap sistem yang dikaji, memberi perlakuan

terhadap sistem, dan kemudian melakukan pengukuran (lagi) dengan cara yang sama terhadap

sistem yang telah diperlakukan untuk mengetahui apakah perlakuan mengubah nilai pengukuran.

Bisa juga perlakuan diberikan secara simultan dan pengaruhnya diukur dalam waktu yang

bersamaan pula. Metode statistika yang berkaitan dengan pelaksanaan suatu eksperimen dipelajari

dalam rancangan percobaan (desain eksperimen).

Dalam survei, di sisi lain, tidak dilakukan manipulasi terhadap sistem yang dikaji. Data

dikumpulkan dan hubungan (korelasi) antara berbagai peubah diselidiki untuk memberi gambaran

terhadap objek penelitian. Teknik-teknik survai dipelajari dalam metode survei.

Penelitian tipe eksperimen banyak dilakukan pada ilmu-ilmu rekayasa, misalnya teknik, ilmu

pangan, agronomi, farmasi, pemasaran (marketing), dan psikologi eksperimen.

Penelitian tipe observasi paling sering dilakukan di bidang ilmu-ilmu sosial atau berkaitan dengan

perilaku sehari-hari, misalnya ekonomi, psikologi dan pedagogi, kedokteran masyarakat, dan

industri.

1.3 Data Statistik

1.3.1 Pembagian data berdasarkan sifatnya Data KualitatifHasil pengamatan yang outputnya hanya bisa dimasukan dalam suatu kategori.

Contoh : sikap seseorang terhadap hasil pemilihan DPRD

Data Kuantitatif

Hasil observasi atas suatu hal yang bisa dinyatakan dalam angka atau data kualitatif yang

diangkakan.

Contoh : tinggi badan, umur siswa, berat badan dll

1.3.2 Berdasarkan sumber Data

Data PrimerData primer adalah secara langsung diambil dari objek / obyek penelitian oleh peneliti

perorangan maupun organisasi

Contoh: wawancara langsung, praktek lapangan, observasi lapangan

Data Sekunder

Data sekunder adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan dari sumber-sumber yang telah ada.

Data itu biasanya diperoleh dari perpustakaan atau laporan-laporan/dokumen peneliti yang

terdahulu. Data sekunder disebut juga data tersedia.

Contoh : data yang diperoleh dari sumber yang telah ada : buku,surat kabar dll.

1.3.3 Berdasarkan Waktu Pengumpulan Data

Data BerkalaData berkala adalah data yang terkumpul dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran

perkembangan suatu kegiatan/fenomena.

Contoh: Data perkembangan akademik siswa selama 1 semester yang dikumpulkan setiap bulan

Data Cross Section

Data cross section adalah data yang terkumpul pada suatu waktu tertentu untuk memberikan

gambaran perkembangan keadaan atau kegiatan pada waktu itu.

Contoh:

Data sensus penduduk tahun 2000, data hasil UN

siswa SMA tahun 2012, dsb.

1.3.4 Berdasarkan Susunannya

Data Acak/Tunggal

Data acak atau tunggal adalah data yang belum tersusun atau dikelompokkkan ke dalam kelas-

kelas interval

Contoh: data nila Statistik Mahasiswa Jurusan TI89 70 80 78 6050 55 67 86 1066 88 55 65 60

Data Berkelompok

Data berkelompok adalah data yang sudah tersusun atau dikelompokkan kedalam kelas-kelas

interval. Data kelompok disusun dalam bentuk distribusi frekuensi atau tabel frekuensi

contoh :

Data nilai ujian statistik dan jumlah mahasiswa yang mendapatkannya

Nilai Frekuensi

50-55 3

56-60 5

61-65 10

66-70 15

71-80 7

1.3.5 Berdasarkan Skala Pengukuran

Data Nominal

Data nominal adalah data yang diberikan pada objek atau kategori yang tidak menggambarkan

kedudukan objek atau kategori tersebut terhadap objek atau kategori lainnya, tetapi hanya

sekedar label atau kode saja.

Contoh data berskala nominal:

Jenis kelamin (Laki-laki Æ 1, Perempuan Æ 2), etnis/suku, agama dan lain-lain.

Data Ordinal

Data ordinal adalah data yang penomoran objek atau kategorinya disusun menurut besarnya,

yaitu dari tingkat terendah ke tingkat tertinggi atau sebaliknya dengan jarak/rentang yang tidak

harus sama. Data ini memiliki ciri seperti ciri data nominal ditambah satu ciri lagi, yaitu kategori

data dapat disusun/diurutkan berdasarkan urutan logis dan sesuai dengan besarnya karakteristik

yang dimiliki

Contoh :

Mengubah nilai ujian ke nilai prestasi, yaitu :

1. nilai A adalah dari 80-100

2. nilai B adalah dari 65-79

3. nilai C adalah dari 55-64

4. nilai D adalah dari 45-54

5. nilai E adalah dari 0-44

Data Interval

Data interval adalah data di mana objek/kategori dapat diurutkan berdasarkan suatu atribut yang

memberikan informasi tentang interval antara tiap objek/kategori sama. Besarnya interval dapat

ditambah atau dikurangi. Data ini memeiliki ciri sama dengan ciri pada data ordinal ditambah

satu ciri lagi, yaitu urutan kategori data mempunyai jarak yang sama

Contoh :

Penilaian Angket

Jawaban A =1 ; B =2 ; C=3 ; D = 4; E = 5

A B C D E

1 2 3 4 5

Data Rasio

Data rasio adalah data yang memiliki sifat-sifat data nominal, data ordinal, dan data interval,

dilengkapi dengan kepemilikan nilai atau titik nol absolut/mutlak dengan makna empirik. Data

rasio memiliki sifat; dapat dibedakan, diurutkan, punya jarak, dan punya nol mutlak.

Contoh : A dan B adalah dua mahasiswa Universitas “T” yang nilai mata kuliah

statistik masing-masing 45 dan 90. Ukuran rasionya dapat dinyatakan bahwa nilai B adalah nilai

2 kali nilai A.

1.4 PENGUMPULAN DATA

1.4.1 Berdasarkan Jenis dan Cara Pengumpulan

-Observasi

adalah cara pengumpulan data dengan tujuan dan melihat langsung ke lapangan terhadap objek

yang diteliti.

-Literarur

Cara pengumpulan data berdasarkan data yang telah ada dari peneliti sebelumnya atau

berdasarkan sumber lain, misal buku, media elektronik dll

-Angket ( Kuisioner)

adalah cara pengumpulan data dengan menggunakan daftar pertanyaan (angket) terhadap objek

yang diteliti.

-Wawancara

cara pengumpulan data dengan langsung mengadakan tanya jawab kepada objek yang diteliti.

1.4.2 Berdasarkan Banyaknya Data Yang Diambil

-Sensus

pengambilan data secara keseluruhan dari obyek yang akan di teliti

-Sampling

pengambilan data dari sebagian populasi yang akan diteliti

1.5 Penyajian Data

1.5.1 Tabel

Tabel adalah daftar yang berisi ikhtisar sejumlah data-data informasi yang biasanya berupa kata-

kata maupun bilangan yang tersusun dengan garis pembatas

Tabel Data Tunggal

Tabel Nama siswa dan Nilai Statistik Jurusan TI Kampus Teknokrat

Tabel Data Berkelompok

Jarak Tempuh Siswa ke Sekolah(km)

1.5.2 Grafik

Grafik adalah gambaran dinamika data yang ada (bisa naik, turun, atau naik turun). Awal yang

harus kita lakukan dalam membaca data pada grafik adalah dengan melihat judul grafik

kemudian baru melihat data yang ada. Ada banyak macam grafik diantaranya adalah grafik

batang dan grafik garis.

1.5.3 DiagramDiagram adalah gambaran tentang suatu data yang lebih memntingkan hasil penelitian.Biasanya diagram diurutkan dari data sedikit ke banyak atau sebaliknya. Berbeda dengan grafikyang lebih mementingkan dinamika pada data yang disajikan. Diagram ini dapat berupa diagramlingkaran ataupun diagram batang

CONTOH “DIAGRAM LINGKARAN”Banyak siswa di Kecamatan X menurut tingkat sekolah pada tahun 2006 adalah sebagai berikut.

SD sebanyak 10.000 siswa, SMP sebanyak 7.500 siswa, SMA sebanyak 5.000 siswa, dan SMK

sebanyak 2.500 siswa.

Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut.

Jawab:

Perbandingan banyak siswa SD, SMP, SMA, dan SMK adalah

10.000 : 7.500 : 5.000 : 2.500 = 4 : 3 : 2 : 1.

Jumlah perbandingan = 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ukuran sudut pusat juring dari setiap kategori adalah sebagai berikut.

Jika kamu ingin mengetahui persentase dari setiap kategori, caranya sebagai berikut.

Dengan menggunakan ukuran sudut pusat yang diperoleh dan berdasarkan presentase, diagram

lingkaran yang dihasilkan tampak pada Gambar berikut.

BAB II

UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Statistika adalah

pengetahuan yang berhubungan dengan cara mpenyusunan data, penyajian data, dan penarikan

kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan

tadi. Yang termasuk dalam ukuran pemusatan data adalah rataan (Mean), Median, Modus . Untuk

memudahkan anda dalam memahami materi ini, dibawah ini akan kita uraikan penjelasan dibawah

ini.

2.1.Rataan (Mean)

Mean atau rata-rata hitung adalah nilai yang diperoleh dari jumlah sekelompok data dibagi dengan

banyaknya data. Rata-rata disimbolkan dengan x.

Rata-Rata untuk Data Tunggal

Keterangan:ẋ= rata-ratan = banyaknya dataxi = nilai data ke i

Contoh:

Nilai ulangan matematika 15 siswa kelas XIIPAadalah 7,8,6,4,10, 5,9,7, 3,8, 6, 5, 8, 9, dan 7. Tentukan

nilai rata-ratanya.

Jawab : X = 6.8

Rata-Rata untuk Data Bergolong (Berkelompok)

Keterangan:xi = nilai tengah data ke-ifi = frekuesni data ke -ixs = rataan sementara (dipilih pada interval dengan frekuensi terbesar)di = simpangan ke-i (selisih nilai xi dengan nilai xs)

Contoh untuk data berkelompok :

Tentukan rata-rata dari data berikut.

NILAI FREKUENSI

11 - 15 4

16 - 20 5

21 - 25 8

Jawab:

Cara I:

NILAI XI F I FIXI

11 - 15 13 4 52

16 - 20 18 5 90

21 - 25 23 8 161

26 - 30 28 8 224

31 - 35 33 4 132

36 - 40 38 2 76

Jumlah 30 735

Penyelesaian:

Cara II:

26 - 30 8

31 - 35 4

36 - 40 2

NILAI F I XI DI FIDI

11 - 15 4 13 -15 -60

16 - 20 5 18 -10 -50

21 - 25 8 23 -5 -35

26 - 30 8 28 0 0

31 - 35 4 33 5 20

36 - 40 2 38 10 20

Jumlah 30 -105

Penyelesaian:

2.2Median

Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, medianmembagi data menjadi dua bagian yang sama besar. Median (nilai tengah) disimbolkan denganMe.

Median untuk Data Tunggal

1. Jika banyaknya data n ganjil maka median

2. Jika banyaknya n genap maka

Contoh :

Tentukan median dari data berikut.

1. 8,6,4,3,7,5,8,10,8,9,8,5

2.

Nilai 3,4,5,6,7,8,9

Frekuensi 2,5,7,8,10,5,4

Jawab:

1. Data diurutkan : 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 9 10

N= 12 (genap)

Jadi, mediannya adalah 7,5

2. n = 41 (ganjil)

Median untuk data berkelompok

Keterangan:Me = medianTb = tepi bawah kelas medianp = panjang kelasn = banyak dataF = frekuensi kumulatif sebelum kelas medianf = frekuensi kelas median

Contoh median berkelompok :

Tentukan median dari data berikut.

DATA FREKUENSI

11-20 5

21-30 3

31-40 8

41-50 7

51-60 4

61-70 9

Jumlah 36

Jawab:

Karena banyaknya data adalah 36 maka median terletak diantara data ke-18 dan data ke-19

sehingga diperoleh kelas yang mengandung median adalah 4-40. Dengan demikian , Tb = 41-0,5

= 40,5; p=10 (11-20); f =7; F= 16.

DATA F FK

11-20 5 5

21-30 3 8

31-40 8 16

41-50 7 23

51-60 4 27

61-70 9 36

Penyelesaian:

Jadi, mediannya adlah 43,36

2.3 Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Modus

dilambangkan dengan Mo.

Modus untuk data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang paling sering muncul.

Contoh modus data tunggal

Tentukan modus dari data : 7,6,5,8,3,7,9,4,6,4,8,4,10,7,5,7,8

Jawab:

Data diurutkan: 3,4,4,4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,10.Nilai 7 muncul paling banyak, yaitu 4 kali.Jadi, modusnya adalah 7

Modus untuk data bergolong

Keterangan :Mo : modusTb : tepi bawah kelas modusp : panjang kelasd1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh modus berkelompok

Tentukan modus dari data berikut

DATA FREKUENSI

11-20 5

21-30 3

31-40 8

DATA FREKUENSI

41-50 7

51-60 4

61-70 9

Jumlah 36

Jawab:

Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5; p=10(11-20); di=9-4=5; F=16.

Penyelesaian:

Jadi, modusnya adalah 53,36

BAB III

UKURAN PENYEBARAN DATA/ DISPERSI

Ukuran Dispersi

Menurut Hasan (2011 : 101) ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan

adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau

ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

Ukuran dispersi pada dasarnya adalah pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan

sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan

menjadi lebih jelas dan tepat.

Macam-macam ukuran dispersi adalah jangkauan, rerata deviasi, variansi, dan deviasi baku.

A. Jangkauan (Range , R)

Menurut Hasan (2011 : 101), jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data

dengan nilai terkecil data. Menurut Riduwan dan Akdon (2013 : 39) range (rentangan) ialah data tertinggi

dikurangi data terendah. Sedangkan menurut Siregar (2010 : 40), rentang atau daerah jangkauan adalah

selisih antara nilai terbesar sama nilai terkecil dari serangkaian data. Dan menurut Usman dan Akbar

(2008 : 95), rentang ialah ukuran variasi yang paling sederhana yang dihitung dari datum terbesar

dikurang datum data terkecil.

Jadi jangkauan adalah selisih antara nilai tertinggi dengan nilai terendah dari serangkaian data.

Berikut adalah rumus jangkauan (range) untuk data tunggal dan data kelompok menurut Hasan (2011 :

101) adalah sebagai berikut :

1. Data tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛 maka jangkauannya adalah

Jangkauan = 𝑥𝑛−𝑥1

Contoh soal :

Tentukan jangkauan data : 1, 4, 7, 8, 9, 11

Penyelesaian :

𝑋6=11 dan 𝑋1=1

Jangkauan = X6 – X1 = 11 – 1 = 10

2. Data kelompok

Untuk data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara yaitu menggunakan titik atau nilai

tengah dan menggunakan tepi kelas.

a. Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

b. Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.

Contoh soal :

Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut ! Tabel 1

Pengukuran Tinggi Badan 50

Mahasiswa Tinggi Badan (cm)

Frekwensi

140 – 144 2

145 – 149 4

150 – 154 10

155 – 159 14

160 – 164 12

165 – 169 5

170 – 174 3

Jumlah 80

Penyelesaian :

Titik tengah kelas terendah = 142

Titik tengah kelas tertinggi = 172

Tepi bawah kelas terendah = 139,5

Tepi atas kelas tertinggi = 174,5

1) Jangkauan = 172 – 142 = 30

2) Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35

B. Rerata Deviasi (Simpangan Rata-rata)

Menurut Hasan (2011 : 105) deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak

simpangan-simpangannya. Cara mencari deviasi rata-rata, dibedakan antara data tunggal dan data

kelompok.

1. Deviasi rata-rata data tunggal

Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan menggunakan

rumus:

DR = 1𝑛Σ| 𝑋− �̅� |= Σ| 𝑋− 𝑋 |̅̅̅̅𝑛

Contoh soal:

Tentukan deviasi rata-rata dari 2, 3, 6, 8, 11!

Rata-rata hitung = �̅�= 2 + 3+ 6 + 8+ 115=6

Σ| 𝑋𝑖−𝑋 | = |2 - 6| + |3 - 6| + |6 - 6| + |8 - 6| + |11 - 6| = 14

𝐷𝑅= Σ| 𝑋𝑖− 𝑋 ǀ̅̅ ̅�̅�

= 145=2,8

2. Deviasi rata –rata untuk data kelompok

DR = 1𝑛 Σ𝑓 | 𝑋− 𝑋 ̅|= Σ𝑓 | 𝑋− 𝑋 |̅̅̅̅𝑛

Contoh soal:

Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel 1 Pengukuran Tinggi Badan 50 Mahasiswa

Penyelesaian:

C. Variansi

Menurut Riduwan dan Akdon (2013 : 43), variance (varians) adalah kuadrat dari simpangan

baku. Fungsinya untuk mengetahui tingkat penyebaran atau variasi data. Sedangkan menurut Hasan

(2011: 107),variansi adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata

kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s². Untuk populasi, variansnya

(varians populasi) disimbolkan dengan 𝜎² (baca: sigma).

1. Varians data tunggal

Untuk seperangkat data 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛 (data tunggal), variansnya dapat ditentukan dengan dua metode,

yaitu metode biasa dan metode angka kasar.

a. Metode biasa

1) Untuk sampel besar ( n >30 ) :

s² = Σ( 𝑋− 𝑋 )²̅̅̅̅̅𝑛

2) Untuk sampel kecil ( n ≤30 ) :

s² = Σ( 𝑋− 𝑋 )²̅̅̅̅̅𝑛−1

b. Metode angka kasar

1) Untuk sampel besar ( n >30 ) :

s² = Σ𝑋²𝑛− (Σ𝑋𝑛)2

2) Untuk sampel kecil ( n ≤30 )∶

s² = Σ𝑋²𝑛−1 – ( Σ𝑋 )²𝑛(𝑛−1)

Contoh soal:

Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11!

2.Varians data berkelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), variansnya dapat ditentukan menggunakan tiga metode,

yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding.

a. Metode biasa

1) Untuk sampel besar (n > 30)

s²= Σ𝑓(𝑋−𝑋)²̅̅̅̅𝑛

2) Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

s²= Σ𝑓(𝑋−𝑋)²̅̅̅̅𝑛−1

D. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Menurut Ridwan dan Akdon (2013 : 40), standard deviation (simpangan baku) ialah suatu nilai

yang menunjukkan tingkat (derajat) variasi kelompok atau ukuran standar penyimpangan dari reratanya.

Sedangkan menurut Hasan (2011 : 112) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari

nilai tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, simpangan bakunya (simpangan baku

sampel) disimbolkan dengan s. Untuk populasi, simpangan bakunya (simpangan baku populasi)

disimbolkan σ. Untuk menentukan nilai simpangan baku, caranya ialah dengan menarik akar dari varians.

Jadi, 𝑠= √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠

Cara mencari simpangan baku, dibedakan antara data tunggal dan berkelompok.

1. Simpangan baku data tunggal

Untuk seperangkat data 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛 (data tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan dua

metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar.

a. Metode biasa

1) Untuk sampel besar ( n >30 ) :

s = √Σ( 𝑋− 𝑋 ̅)2𝑛

2) Untuk sampel kecil ( n ≤30 ) :

s = √Σ( 𝑋− 𝑋 )²̅̅̅̅̅𝑛−1

b. Metode angka kasar

1) Untuk sampel besar ( n >30 ) :

s = √Σ𝑋²𝑛− (Σ𝑋𝑛)²

2) Untuk sampel kecil ( n ≤30 )∶

s = √Σ𝑋²𝑛−1 – ( Σ𝑋 )²𝑛(𝑛−1)

Contoh soal:

1. Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11!

Penyelesaian:

Dari perhitungan diperoleh varians (s2) = 13,5

Dengan demikian simpangan bakunya adalah 𝑠= √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠

= √13,5

= 3,67

2. Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistik 1 dari sekelompok mahasiswa di sebuah universitas.

30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98

Tentukan simpangan baku dari data di atas!

Penyelesaian :

n= 10

X

𝑋−�̅� (𝑋

BAB IV

Teori Peluang

A. Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan

terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan

seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin

terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

Contoh 1:

Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali,

peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

Contoh 2:

Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena

banyaknya permukaan dadu adalah 6).

Rumus :

P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Suatu

probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa

yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1.Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya

paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2.Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

3.Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

B. Manfaat Probabilitas dalam Peneitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu

keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan

penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:

Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang

karakteristik populasi.

Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.

C. Pendekatan Probabilitas

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai

probabilitas, yaitu : (1). Pendekatan Klasik, (2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan

Subyektif.

1. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama

besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah

kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi

pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing,

maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1,

berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:

P (A) = 15/10+15 = 3/5

2. Pendekatan Relatif

Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu

peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A

untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila

lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang

ikut serta?

Jawab:

P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3. Pendekatan Subjektif

Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.

Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan

keyakinan.

D. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas

Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum

perkalian.

1. Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian

bersama (non mutually exclusive).

Saling meniadakan (mutually exclusive)

Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.

Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi

tidak selalu bersama).

Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

Dua Kejadian

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Tiga Kejadian

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi

karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi

peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di

mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas

A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B

pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.

Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :

P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

2. Hukum Perkalian

Hukum Bebas (independent)

Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa

harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak

menghalangi terjadinya peristiwa B.

P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H

pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa

yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh :

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai

berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

E. Diagram Pohon Probabilitas

Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian

menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas

atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis

keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

Contoh:

F. Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu

percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau

tabel.

Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar

(G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

a. Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:

AA : Muncul sisi angka pada kedua koin

AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2

b. Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)

G. Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua

penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan

subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini

menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika

Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro),

teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan

dinamakan inferens Bayes.

atau

H. Prinsip Menghitung

1. Faktorial

Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil

perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari

definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1

n ! dibaca n faktorial

nb: 0! = 1dan 1! = 1

Contoh:

3! = 3 x 2 x 1 = 6

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2. Permutasi

Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu

kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi

dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :

P = Jumlah permutasi atau cara objek disusun

n = jumlah total objek yang disusun

r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil

! = tanda dari faktorial

Contoh:

Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi

pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur yang sama

Contoh:

Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!

Jawab: pada kata MATEMATIKA terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga

permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!

Contoh:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk

lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang

berbeda?

Jawab :

Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama

dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3. Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa

memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20

pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim

juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).

BAB V

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan

terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa

tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan

probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas

kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Distribusi peluang mempunyai hubungan yang erat dengan distribusi

frekuensi. Frekuensi dalam distribusi frekuensi diperoleh berdasarkan

percobaan atau hasil observasi sedangkan frekuensi dalam distribusi

peluang merupakan has il yang diharapkan jika percobaan atau pengamatan

dilakukan.

Distribusi Peluang Teoritis : Tabel atau Rumus yang men cantumkan semua

kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya.

Distribusi peluang dibagi menjadi dua, yaitu :

a. Distribusi Peluang Diskrit : Binomial, Hipergeometrik, Poisson b.

Distribusi Peluang Kontinyu : Normal, t, F, X²(chi kuadrat)

Distribusi Peluang Binomial

Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal

juga sebagai Distribusi Bernaulli. Distribusi Peluang Binomial menggambarkan

fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan

gagal,sehat dan sakit, dsb.

Misalnya saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil

setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Kita dapat

menentukan salah satu di antara keduanya asebagai ”berhasil”. Begitu

pula bila 5 kartu diambil berturut -turut, kita dapat memberi label ”berhasil”

bila yang terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila yang terambil adalah

kartu hitam. Bila setiap kali kartu dikembalikan sebelum pengembalian

berikutnya, maka kedua percobaan yang disebutkan di atas mempunyai ciri

-ciri yang sama, yaitu bahwa ulangan -ulangan tersebut bersifat bebas

dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetep sama yaitu sebesar ½, sedangkan

pada pengembalian yang kedua peluang itu bersifat bersyarat, bernilai 26/51

atau 25/51, bergantung pada hasil pengambilan pertama. Bila demikian

halnya, percobaan ini bukan lagi percobaan binom.

Syarat Distribusi Binomial

1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat.

Contoh : melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2 ½ kali .

2. Setiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil).

Contoh: sukses atau gagal, laki -laki atau perempuan, sehat atau sakit,

setuju atau tidak setuju.

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam set iap ulangan nilai p tidak

berubah.

Peluang gagal = q = 1- p.

4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial

n x n-xb(x;n,p) Cx p q

untuk x = 0,1,23,...,n

n: banyaknya ulangan

x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X

p: peluang berhasil pada setiap ulangan

q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan

Catatan :

untuk memudahkan membedakan p dengan q, anda terlebih dahulu harus

dapat menetapkan mana kejadian SUKSES mana yang GAGAL. Anda dapat

menetapkan bahwa kejadian yang ditan yakan adalah =

kejadian SUKSES

Contoh :

Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada

pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!

Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1" x =

3

n = 5 pelemparan diulang 5 kali

1

p = 6 q = 1-

1 5

6 = 6

n x n-x

b(x;n,p) Cx p q

b( 3;5, 1

)

C5

( 1

)3

( 5

)2

6 3 6 6

5! 52

= 3!2! 65

= 10 0.003215...= 0.03215...

Contoh:

Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5

mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak m em

bolos?

Kejadian yang ditanyakan Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS Yang

diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60

p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x = 2, n = 5 b(x =

2; n = 5, p = 0.40) = ....................

Tabel Peluang Binomial

Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan

Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal 157 -162, Statistika 2)

Cara membaca Tabel tersebut :

Misal :

n x p = 0.10 p = 0.15 p = 0.20 dst

5 0 0.5905 0.4437 0.3277

1 0.3280 0.3915 0.4096

2 0.0729 0.1382 0.2048

3 0.0081 0.0244 0.0512

4 0.0004 0.0020 0.0064

5 0.0000 0.0001 0.0003

Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan,

nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati 1.0000)

Contoh :

x = 0 n = 5 x =1 n = 5

p = 0.10

p = 0.10

b(0; 5, 0.10) = 0.5905

b(1; 5, 0.10) = 0.3280

Jika 0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)

= 0.5905 + 0.3280 +0.0729

= 0.9914

Contoh :

Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan

paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi.

Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20 Bila terdapat

5 paket, hitunglah probabilitas :

a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak

membayar biaya kompensa si? (x = 0)

b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x 2)

c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x 3)

d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 x 4)

e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x 2)

Jawab

a. x = 0 b(0; 5, 0.20) = 03277 (li hat di tabel atau dihitung dgn

rumus)

b. x 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20) =

0.0512+ 0.0064 + 0.0003 = 0.0579

atau .....

1 - b(x 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20)

= 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)

= 1 - 0.9421 = 0.0579

(hasilnya sama dengan perhitungan sebelumnya, bukan?)

c. x 3 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan

b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) +b(3; 5, 0.20) =

0.3277 + 0.4096 + 0.2048 + 0.0512 = 0.9933

atau ....

1 - b(x 3) = 1 - [ b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20)]

= 1 - [0.0064 + 0.0003] = 1 - 0.0067 = 0.9933

(hasilnya sama dengan perhitungan sebelumnya, bukan?)

d. 2 x 4 Lihat tabel dan lakuka n penjumlahan sebagai berikut:

b( 2; 5, 0.20) + b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) =

0.2048 + 0.0512 +0,0064 = 0.2624 e.

Kerjakan sendiri!!!

Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah

Rata-rata = np

Ragam ² = npq

n = ukuran populasi

p = peluang keberhasilan setiap ulangan q =

1 - p = peluang gagal setiap ulangan

Contoh :

Untuk b(5; 5 0.20), di mana sehingga q = 0.80 maka

x = 5, n = 5 dan p = 0.20

= 5 0.20 = 1.00

² = 5 0.20 0.80 = 0.80

= 0.80 = 0.8944....

Soal Evaluasi :

1. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan bergan da, masing-

masing dengan empat kemungkinan jawaban dan hanya ada satu yang

benar. Berapa peluang seseorang yang menjawab secara menebak -

nebak saja memperoleh 5 samapi

10 jawaban yanag benar ?

2. Peluang seseorang lulus ujian masuk UMJ adalah 0,8. Bila 25 orang

mengikuti ujian masuk UMJ tentukan peluang bahwa ada

8 sampai 16 orang yang lulus ujian ?

3. Misalkan hanya 40 persen penghuni rumah yang membayar iuran

siskamling. Jika dipanggil secara random 10 penghuni rumah, berapakah

probabilitas bahwa sebagian besar membayar iuran siskamling

4. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit adala h 0,7. Bila

30 orang diketahui menderita penyakit ini berapa peluang

bahwa :

a. sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh b.

ada 5 sampai 15 orang yang sembuh

c. tepat 5 orang yang sembuh

5. Persentase mahasiswa yang lulus dalam mengikuti kuliah statistic

adalah 80%. Jika kita memilih dari 20 dari mahasiswa tersebut, rata -rata

dan standar deviasi distribusi binomialnya adalah

Distribusi Peluang Hipergeometrik

Sebaran binomial tidak berlaku untuk, misalnya, pengambilan 3

kartu merah dalam 5 kali pengambilan acak tanpa mengembalikan

dan mengocok lagi.

Tinjau pengambilan 5 kartu secara acak lalu hitung peluang

munculnya 3 kartu merah dari 26 yang ada dan 2 kartu hitam dari 26

sisanya. Ada C(26,3) cara untuk mengambil kartu merah dan C(26,2)

cara untuk kartu hitam. Jadi, total akan ada C(26,3) ⋅C(26,2) untuk

eksperimen ini. Tetapi, ada C(52,5) cara untuk mengambil 5 dari 52

kartu tanpa penggantian sehingga peluang terambil 3 kartu merah

dan 2 hitam adalah.

C(26,3)⋅C(26,2)/C(52,5) = 0.3251

Contoh di atas menggambarkan eksperimen hipergeometrik . Kita

ingin menghitung peluang x buah dari pengambilan k benda yang

dinamakan sukses dann -x gagal dari N-k benda yang dilabeli sebagai

gagal jika n buah cuplikan acak diambil dari N benda.

Peluang Binomial perhatian hanya untuk peluang BERHASIL

Peluang Hipergeometrik untuk kasus di mana peluang

BERHASIL berkaitan dengan Peluang

GAGAL

ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi

obyek

(BERHASIL dan GAGAL)

C N

C 52

Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri -ciri sebagai

berikut:

1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N -k

diklasifikasikan sebagai "GAGAL"

Definisi Distribusi Hipergeometrik:

Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BE RHASIL"

dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi

Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya

keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

C k

C N k

h( x; N , n, k ) x n x

n

untuk x = 0,1,2,3...,k

Contoh :

Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa

pemulihan, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?

Jawab :

N = 52 n = 5 k = 13 x = 3

C13

C39

h(3;52,5,13) 3 2

5

(selesaikan sendiri !)

C x C

C

x x

Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k)

adalah :

nk 2

N n

n k

(1 k

)

Rata-rata = N Ragam = N 1 N N

Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2

kelas

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke

dalam beberapa kelas a1 C

a2

ak

f ( x , x ,..., x ; a , a ,..., a , N , n) 1 2 k

1 2 k 1 2 k N

n

k k

dan perhatikan bahwa

n xi

i 1 dan

N ai

i 1

N : ukuran populasi atau ruang contoh

n : ukuran contoh acak

k : banyaknya penyekatan atau kelas

xi : banyaknya keberhasilan kelas ke -i dalam contoh

ai : banyaknya keberhasilan kelas ke -i dalam populasi

Contoh :

Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4

orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan

motor merk "H". Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1

orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk

"H"?

10

Jawab :

N = 10,

n = 5

a1 = 3,

x1 = 1,

a2 = 4,

x2 = 2,

a3= 3

x3= 2

C 3 C 4 C 3 3 6 3 54 3

f (1,2,2; 3,4,3, 10, 5) 1 2 2

0.2142...

C5 252 252 18

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk

menyelesaikan persoalan binomial :

• Binomial untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan

pengembalian)

• Hipergeometrik untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan

(tanpa pengembalian)

Contoh :

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2

bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang

a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan

secara acak dengan pemulihan?

b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan

secara acak tanpa pemulihan?

Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :

p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2

b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

5

Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik

N = 5 n = 4 k = 2 x = 2

N-k = 3 n-x=2

2 3

C2 C2 1 3

3 0.60

h(2; 5, 4,2) = C4 5 5

Soal Evaluasi :

1. Hitunglah peluang mendapatkan dua bilangan 1, satu bilangan

2, satu bilangan 3, dua bilangan 4, tiga bilangan 5, dan satu

bilangan 6, bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 10 kali.

2. Menurut teori genetika , suatu persilangan kelinci percobaan

akan menghasilkan keturunan warna merah, hitam, dan putih

dalam perbandingan 8:4:4. Hitunglah peluang bahwa di antara

8 keturunan semacam ini ada 5 yang berwarna merah, 2 hitam,

dan 1 putih.

3. Dalam suatu konperensi, pel uang suatu delegasi tiba dengan

menggunakan pesawat terbang, bis, kendaraan pribadi, atau

kereta api, masing-masing adlaah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Berapa

peluang bahwa di antara 9 delegasi yang diambil secara acak,

3 tiba dengan menggunakan pesawat terbang , 3 dengan bis, 1

dengan mobil pribadi, dan 2 dengan kereta api?

4. Dari 12 peluru kendali, 5 diambil secara acak dan ditembakkan,

bila di antara 12 peluru itu terdapat 3 peluru yang rusak

sehingga macet bila ditembakkan, berapa peluang bahwa :

a. Kelima-limanya berhasil ditembakkan

b. Sebanyak-banyaknya 2 yang macet

5. Seorang pramuria memeriksa secara acak 6 kartu identitas dari

9 orang mahasiswa yang 4 di antaranya belum memenuhi

syarat batas umur untuk diperbolehkan minum -minuman

beralkohol. Berapa peluang bahwa ia akan menolak 2

mahasiswa yang ketahuan belum memenuhi syarat umur?

6. Sebuah kantung berisi 3 kelereng hijau, 2 kelereng biru, dan 4

kelereng merah. Bila 5 kelereng diambil secara acak, hitung

peluang terambilhya 2 kelereng biru dan sekurang -kurangnya 1

kelereng merah.

7. Seseorang menanam 5 umbi yang diambil secara acak dari

sebuah kotak yang berisi 5 umbi tulip dan 4 umbi daffodil.

Berapa peluang bahwa yag ditanam itu terdiri atas 2 daffodil

dan 3 tulip?

1 Sejarah Distribusi Poisson

• Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi poisson

(dilafalkan ejaan Per ancis: [pwasɔ ]) adalah distribusi probabilitas

diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi

pada periode waktu tertentu apabila rata -rata kejadian tersebut

diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian

terakhir atau bisa dikatakan sebagai peristiwa yang jarang

terjadi. (distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah

kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau v olume).

• Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis

Poisson (1781–1840), seorang ahli matematika Pra ncis dan

diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838

dalam karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en

matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas

Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan

peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian

diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama

interval waktu tertentu.

• Menurut Walpole (1995), distribusi poisson adalah distribusi

peluang acak poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses

yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.

Definisi Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah

▪ Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskret),

yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu

interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

▪ Distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah

peristiwa yang t erjadi pada periode waktu tertentu apabila rata -

rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling

bebas sejak kejadian terakhir.

Percobaan Poisson memiliki ciri -ciri berikut :

1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak

tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat

yang lain yang terpisah

2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan

panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi.

Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat

dan luas daerah yang sempit

3 Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi

pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama

diabaikan

Selain itu, Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

• Menghitung probabilitas terjadinya per istiwa menurut satuan

waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung

probabilitas dari:

▪ Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya

mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,

▪ Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,

▪ Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan

▪ Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu

pertama bulan Oktober.

Menghitung distribusi binomial apabila n besar dan nilai p yang

sangat kecil. Dengan menggunakan p endekatan Peluang

Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendek atkan

probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial.

Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa

n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dar i

20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.

Definisi Distribusi Peluang Poisson :

poisson( x; )

e x

x!

e : bilangan natural = 2.71828...

x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel

: rata-rata keberhasilan

Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson

hitung dari rata -rata populasi ()

Tabel Peluang Poisson

Seperti halnya peluang binomial, soal -soal peluang Poisson dapat

diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163 -164)

Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda

dengan Tabel Binomial

Misal: x

0

= 4.5

0.0111

= 5.0

0.0067

1 0.0500 0.0337

2 0.1125 0.0842

3 0.1687 0.1404

dst

15

dst

0.0001

dst

0.0002

poisson(2; 4.5) = 0.1125

poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)

= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736

poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)

atau

= 1 - poisson(x 2)

= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]

= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264

Contoh :

Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per

halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:

a. tidak ada kesalahan?(x = 0)

b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x 3)

c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)

d. paling tidak ada 3 kesalahan (x 3)

Jawab:

= 5

a. x = 0 dengan rumus? hitung poisson(0; 5)

atau

dengan Tabel Distribusi Poisson

di bawah x:0 dengan = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067

b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson hitung

poisson(0;5.0) + poisson(1;5.0) + poisson(2;5.0) + poisson(3;5.0)

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650

c. x 3 poisson( x 3; 5.0)

` = poisson(4;5.0) + poisson(5;5.0) + poisson (6;5.0) + poisson(7;5.0)

+ ... + poisson(15; 5.0)

atau

poisson(x >3) = 1 - poisson(x3)

= 1 - [poisson (0; 5.0) + poisson (1; 5.0) +

poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]

= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]

= 1 - 0.2650

= 0.7350

Pendekatan Pois son untuk Distribusi Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial,

dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0.05) dengan

terlebih dahulu menetapkan p dan kemudian meneta pkan:

= n x p

Contoh

Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat

masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000

mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?

Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah

2

p = 1000 = 0.002 n = 5 000 x > 3

jika diselesaikan dengan peluang Binomial b(x > 3; 5 000, 0.002)

tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.

p = 0.002 n = 5 000 x>3

= n p = 0.002 5 000 = 10

diselesaikan dengan peluang Poisson

poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x 3)

= 1 - [poisson (0; 10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)

= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972

Soal Evaluasi :

1. Secara rata-rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu

lintas per bulan. Berapa peluang bahwa pada suatu bulan

tertentu di simpangan ini terjadi :

a. Tepat 5 kecelakaan.

b. Kutang dari tiga kecelakaan

c. Sekurang-kurangnya 2 kecelakaan

2. Seorang sekretaris rata -rata melakukan 2 kesal ahan ketik per

halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikutnya ia

membuat :

a. 4 atau lebih kesalahan

b. Tidak satu pun kesalahan

3. Di suatu daerah di bagian timur Amerika Selatan, secara rata -

rata. Dilanda 6 angin rebut per tahun. Hitunglah peluang

bahwadalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda :

a. Kurang dari 4 angin rebut

b. 6 sampai 8 angin ribut

4. Peluang seseorang meninggal akibat infeksi pernafasan adalah

0.002. Hitunglah peluang bahwa kurang dari 5 di antara 2000

orang yang terinfeksi akan meninggal

5. Misalkan bahwa secara rata -rata 1 di antara 1000 orang

membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak

pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara acak dan

diperiksa, berapa peluang ada 6, 7, atau 8 formulir yang

mengandung kesalahan ?

6. Peluang bahwa seorang siswa berhasil lolos dari tes scoliosis

(membengkoknya tulang belakang) adalah 0.004. Di antara

1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah peluang bahwa

terdapat :

a. Kurang dari 5 siswa tidak berhasil lolos dari tes itu.

b. 8,9, atau 10 siswa tidak berh asil lolos dari tes itu.

Sejarah Distribusi Normal

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de

Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan

distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih

lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema

Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk

analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil

diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss

mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794

dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. Istilah

kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk

distribusi normal bivariat. Sementara i tu istilah distribusi normal

secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton,

dan W ilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak

sengaja memiliki nama sama.

12.2 Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah

distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai

analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal

yang memiliki rata -rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini

juga dijuluki kurva lonce ng(bell curve) karena grafik fungsi kepekatan

probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu

alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan

fenomena fisika seperti jumlah foton dapa t dihitung melalui

pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal

banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya

distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi

populasi yang diambil tidak berdistribus i normal. Distribusi normal

juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika,

dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas

suatu data.

12.3 Kurva Distribusi Normal

Grafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan

deviasi standart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik,

dan deviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketika

standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard

deviasi kecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak

seperti lonceng, Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di

gambar ini. Kurva di sebelah kiri lebih pendek dan lebih lebar dari

kurva di sebelah kanan, karena kurva di sebelah kiri memiliki standar

deviasi yang lebih besar.

12.4 Ciri-ciri Distribusi Normal

Adapun ciri-ciri dari distribusi normal adalah sebagai berikut :

• Nilai Peluang peubah acak dalamDistribusi Peluang Normal

dinyatakan dalam luas dari di bawah kurva berbentuk

genta\lonceng (bell shaped curve).

• Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, dan .

• Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat

peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu

Perhatikan gambar di bawah ini:

x

Gambar 4.1 Kurva Distribusi Normal

Definisi Distribusi Peluang Normal

1

1 x

( ) 2

n(x; , ) =

e 2

2 2

untuk nilai x : - < x < e = 2.71828..... = 3.14159...

: rata-rata populasi

: simpangan baku populasi

² : ragam populasi

• Untuk memudahkan penyelesaian soal -soal peluang Normal, telah

disediakan tabel nilai z (Lampiran table Z -Score)

Perhatikan dalam tabel tersebut nilai yang dicantumkan adalah nilai z

z x

Dalam soal-soal peluang Normal tanda = . dan diabaikan, jadi

hanya ada tanda < dan >

Cara membaca Tabel Nilai z

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

-3.4

:

-1.2

:

-0.1

-0.0

0.0

0.1

:

1.2 0.8944

:

3.4

Nilai 0.8944 adalah untuk luas atau peluang z < 1.25 yang

digambarkan sebagai berikut , untuk daerah yang di arsir :

1.25

Gambar 4.2 Peluang z < 1.25

Dari Gambar 12.2 dapat kita ketahui bahwa P(z >1.25 ) = 1 - 0.8944 = 0.1056

1.25

Gambar 4.3 Peluang (z>1.25)

Luas daerah untuk z negatif dicari dengan cara yang s ama,

perhatikan contoh berikut :

P(z < -1.25 ) = 0.1056

-1.25 0

Gambar 4.4 Peluang ( z < -1.25 )

P(z >-1.25) = 1 – P(z<-1.25) = 1 – 0.1056 = 0.8944

-1.25

Gambar 4.5 Peluang (z>-1.25)

Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z z1 < z < z2 ,

perhatikan contoh berikut :

P(-1.25<z<1.25) = P(z<1.25) – P(z<-1.25)

= 0.8944 - 0.1056 = 0.7888

-1.25 1.25

Gambar 4.6 Peluang (-1.25<z<1.25)

P(-1.30 < z < -1.25) = P(z<-1.25) – P(z<-1.30)

= 0.1056 - 0.0948

= 0.0108

-1.30 -1.25

Gambar 4.7 Peluang(-1.30<x<1.25)

Peluang (1.25 < z < 1.35) = P(z<1.35) – P(z<1.25)

= 0.9115 - 0.8944

= 0.0171

1.25 1.35

Gambar 4.8 Peluang (1.25<z<1.35)

• Untuk memastikan pembacaan peluang normal, gambarkan daerah

yang ditanyakan!

Contoh :

Rata-rata upah seorang buruh = $ 8.00 perjam dengan simpangan

baku = $ 0.60, jika terdapat 1 000 orang buruh, hitunglah :

a. banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80

b. banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30

c. .banyak buruh yang menerima upah/jam antara $ 7.80 sampai 8.30

= 8.00 = 0.60

a. x < 7.80

z x

7.80 8.00

0.33 0.60

P(x < 7.80) = P(z < -0.33) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707

(Gambarkan!)

banyak buruh yang menerima upah /jam kurang dari $ 7.80

= 0.3707 x 1 000

= 370.7 = 371 orang

b. x > 8.30

z x

8.30 8.00

0.50. 0.60

P(x > 8.30) = P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085

(Gambarkan!)

Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30

= 0.3085 x 1 000

= 308.5 = 309 o rang

c. 7.80 < x < 8.30

z1 = -0.33 z2 = 0.50

P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208

(Gambarkan)

Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai $ 8.30

= 0.3208 x 1 000

= 320.8 = 321 orang

Soal Evaluasi :

1. Sebuah mesin minuman ringan diukur sedemikian rupa sehingga

mengeluarkan secara rata -rata 200 mililiter per gelas. Bila

banyaknya minuman yang dikeluarkan itu menyebar normal

dengan simpangan baku 20 mililiter(bobot 25 %)

a. Berapa banyaknya gelas (dalam pecahan atau persentase)

yang berisi lebih dari 240 mililiter?

b. Berapa peluang sebuah gelas berisi antara 191 dan 209

mililiter?

c. Berapa gelas diantara 1000 gelas berikutnya yang akan tumpah

meluap bila gelas-gelas itu berukuran 245 mililiter?

2. Sebuah rumah rata-rata memakai lampu dengan tegangan 80

watt. Bila tegangan total rumah menyebar normal dengan

simpangan baku 5 watt.

a. Berapa banyak lampu yang mempunyai tegangan lebih dari 115

watt?

b. Berapa peluang sebuah lampu bertegangan antara 75 dan 1 00

watt?

3. Seorang siswa secara rata -rata berangkat dari rumah ke sekolah

dengan menggunakan sepeda 27 menit. Bel masuk sekolah

berdentang tepat jam 07.00. Jika waktu tempuh siswa tersebut

menyebar normal dengan simpangan baku 10 menit. Tentukan :

(bobot15%)

a. peluang siswa tersebut tidak terlambat masuk sekolah jika dia

berangkat dari rumah jam 06.40

b. pada hari senin semua siswa wajib mengikuti upacara bendera

yang dilaksanakan pada jam 07.00 – 08.00. berapa peluang

siswa mengikuti upacara jika dia berangkat d ari rumah jam

06.38

4. Umur penggunaan bolam jenis awet berdistribusi normal

dengan rata-rata 38.000 jam dan simpangan baku 3.000.

a.Berapa probabilitas bahwa pengambilan secara random

sebuah bolam akan memiliki umur penggunaan sekurang -

kurangnya 35.000 jam?

b.Berapa probabilitas bahwa pengambilan secara random

sebuah bolam akan memiliki umur penggunaan lebih dari

45.000 jam?

c. Jika ada grosir mempunyai 500 buah bolam, tentukan

jumlah bolam yang memiliki umur penggunaan antara

40.000 jam sampai dengan 45.000 jam?

d. Berapa banyak bolam dari 100 bolam berikutnya memiliki

umur penggunaan sekurang -kurangnya 38.000 jam?

Penerapan Sebaran Normal

Beberapa dari sekian banyak masalah yang dapat diselesaikan

dengan sebaran norm al akan diuraikan dalam contoh -contoh berikut :

Contoh:

Diberikan sebuah sebarannormal dengan µ = 40 dan σ = 6. Hitunglah

nilai x yang :

a. luas daerah di bawahnya ada 38 %

b. luas di atasnya 5 % di atasnya

Jawab :

Untuk menyelesaikan soal di atas kita harus memperhatikan rumus,

karena yang ditanya adalah nilai x maka :

z x

untuk x = σ z + µ

a. Daerah seluas 0.38 di sebelah kiri x yang diinginkan diperlihatkan

dalam gambar 13.1. Kita memerlukan nilai z yang luas daerah di

sebelah kirinya sebesar 0.38. Dari Tabel Z -Score kita

mendapatkan P(z< -0.31) = 0.38, sehingga nilai z tersebut adalah

-0.31. Dengan demikian :

38.1 4

Gambar 4.9 Luas daerah di bawah 38 % pada contoh a

b. Dalam gambar 13.2 ki ta tandai daerah seluas 0.05 di sebelah

kanan nilai x yang diinginkan dengan warna gelap. Kali ini kita

memerlukan nilai z yang luas daerah di sebelah kanannya

sebesar 0.05 atau yang berarti juga luas daerah di sebelah kirinya

0.95. Sekali lagi dari Tabel Z-score kita mendapatkan P(z< 1.645)

= 0.95, sehingga nilai z yang dicari adalah z = 1.645 dan

x=(6)(1.645) + 40 = 49.87

49.8 7

Gambar 4.10 Luas daerah di atas 5 % pada contoh b

Hampiram Normal terhadap Sebaran Binom

Nilai-nilai peluang untuk percobaan binom dengan mudah dapat

diperoleh daru rumus b(x; n, p) bagi debaran binom atau dari tabel

binom bila n kecil. Bila n tidak ada dalam table yang tersedia, kita

dapat menghitung peluang binom melalui prosedur hampiran. Pada

modul 11 telah dijelaskan bahwa sebaran Poisson dapat digunakan

untuk menghampiri peluang binom bila n besar dan p sangat kecil.

Sekarang akan dikemukakan sebua h rumus yang akan

memungkinkan kita menggunakan luas daerah di bawah kurva normal

untuk menghampiri peluang binom bila n cukup besar. Di bawah ini

perbedaan penggunaan pendekatan poisson dan normal :

a. JIKA rata-rata () 20 MAKA lakukan pendekatan denga n

distribusi POISSON dengan = n p

b. JIKA rata-rata () > 20 MAKA lakukan pendekatan dengan

distribusi NORMAL dengan = n p

2 n p q

n p q

Ternyata sebaran normal memberikan hampiran yang sangat

baik pada sebaran binom bila n besar dan p dekat pada ½. Bahkan,

bila n kecil dan p tidak terlalu dekat pada nol atau 1, hampiran itu

masih cukup baik.

Untuk menyelidiki hampiran normal bagi sebaran binom,

pertama-tama kita membuat histogram bagi b(x; 15, 0.4) dan

kemudian menumpang-tindihkan sebaran normal yang memiliki rata -

rata dan ragam seperti peubah acak binom x tersebut. Jadi kita

menggambar sebuah kurva normal dengan :

= n p = (15) x (0.4) = 6

2 n p q = (15) x (0.4) x (0.6) = 3.6

Histogram bagi b(x; 15, 0.4) dan kurva normal yang ditumpang -

tindihkan, yang seperti kita ketahui detentukan sepenuhnya oleh rata -

rata dan ragamnya, dapat dilihat di bawah ini :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gambar 4.11 Hampiran Normal bagi b(4;15,0.4)

Nilai peluang pasti bahwa peubah acak x mengambil nilai tertentu x

adalah sama dengan luas empat persegi panjang yang alasnya

berpusat di x. Misalnya. Peluanag bahwa x mengambil nilai 4 dama

dengan luas empat persegi panjang yang alasnya berpusat di x = 4.

Dengan menggunakan rumus bagi sebaran binom, kita mendapatkan

bahwa luas itu sama dengan :

b(4; 15, 0.4) = 0.1268

Nilai peluang ini kira -kira sama dengan luas daerah gelap di bawah

kurva normal antara x1 = 3.5 dan x2 = 4.5. Dengan mengubahnya ke

nilai Z, kita memperol eh :

z1 x1 np

npq

3.5 6 1.316

3.6

z2 x2 np

4.5 6

0.789

npq 3.6

Bila x adalah suatu peubah acak binom dan z peubah acak normal

baku, maka :

P(x=4) = b(4; 15, 0.4)

≈ P(-1.316 < z < -0.789)

= P(z < -0.789) – P(z < -1.316)

= 0.2151 – 0.0941

= 0.1210

Perhatikan bahwa nilai ini sangat dekat pada nilai peluang pastinya

sebesar 0.1268

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gambar 4.12 Hampiran No rmal bagi b(4;15,0.4)

Contoh :

Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari lima

pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang anda akan menjawab

BENAR lebih dari 50 soal?

n = 300 p = 1/5 = 0.20

q = 1 - 0.20 = 0.80

Kerjakan dengan POISSON

P(x >50, p = 0.20) = n p = 200 0.20 = 40

Poisson (x > 50; = 40 ), = 40 tidak ada di dalam TABEL

POISSON sehingga kita harus menggunakan RUMUS yang terlalu

rumit!

KERJAKAN dengan NORMAL

P (x > 50, p = 0.20) = n p = 200 0.20 = 40

2 n p q = 200 0.20 0.80 = 32

n p q = 32

P(x > 50 , p = 0.20) P (z > ?)

50 40

z = 32

10 1.7677 1.77

5.6568...

P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %

Soal Evaluasi :

1. Tentukan area dibawah kurva normal baku berikut ini :

a. Area disebelah kanan dari z = 2.32

b. Area sisebelah kiri z = -1.54

2. Tentukan peluang kurva normal baku berikut ini :

a. P(1.19 < z < 2.12)

b. P(-1.56 < z < 2.31) c. P(z > -0.75)

3. Tentukan peluang kurva normal baku berikut ini :

a. P(0 < z < 5.67)

b. P(z < -5.35)

4. Bila diberikan sebuah sebaran normal dengan µ = 200 dan

σ2 =100, hirunglah :

a. Luas daerah di bawah 214

b. Luas daerah di atas 179

c. Luas daerah antara 188 dan 206

d. Nilai x yang lua s daerah di bawahnya 80%

e. Dua nilai x yang luas daerah di antara keduanya 75%

5. Jika x adalah sebuah variabel acak kontinyu yang memiliki

distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku, yaitu 50

dan 10. Tentukan nilai z untuk:

a. x = 55

b. x = 35

6. Jika x adalah sebuah variabel acak kontinyu yang memiliki

distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku, yaitu 25

dan 4. Tentukan !

a. P(25 < x < 32)

b. P(18 < x < 34)

7. Notebook adalah salah satu barang elektronik yang diproduksi

oleh Perusahaan Toshiba. W aktu yang diperlukan untuk merakit

sebuah notebook pada perusahaan tsb terdistribusi normal

dengan rata-rata 55 menit, dan simpangan baku 4 menit. P erush

tsb tutup tiap hari pada jam 17.00. Jika seorang pekerja mulai merakit

pada jam 16.00, bagaimana peluang pekerja tsb dapat selesai

merakit sebelum perusahaan tsb tutup pada hari itu?

8. Diameter bagian dalam gelang (ring) piston menyebar normal

dengan rata-rata 10 cm dan simpangan baku 0.03.

a. Berapa proporsi ring yang diameter bagian dalamnya lebih

dari 10.075 cm?

b. Berapa peluang bahwa sebuah ring akan mempunyai diameter

bagian dalam antara 9.97 dan 10.03 cm

c. Di bawah nilai berapa terdapat 15% ring yang dip roduksi?

9. Tinggi 1000 mahasiswa menyebar normal dengan rata -rata 174.5

cm dan simpangan baku 6.9 cm. Bila tinggi dicatat sampai

setengah cm terdekat, berapa banyak di antara mahasiswa itu

yang memiliki tinggi ?

a. kurang dari 160.5 cm

b. antara 171.5 dan 182.0 cm

c. sama dengan 175.0 cm

d. lebih besar atau sama dengan 188.0 cm

10. Sekeping uang logam dilemparkan 400 kali. Gunakan hampiran

kurva normal untuk menghitung peluang mendapatkan.

a. Antara 185 dan 210 sis gambar

b. Tepat 205 sisi gambar

c. Kurang dari 176 atau lebih dari 2 27 sisi gambar

11. Seorang pemburu burung pegar mengatakan bahwa 75% di

antara tembakannya mengenai sasaran. Dari 80 tembakan

berikutnya, berapa peluang bahwa :

a. Sekurang-kurangnya 50 ekor berhasil terbang menyelamatkan

diri?

b. Sebanyak-banyaknya 56 ekor berhasil ditembak jatuh

BAB VI

REGRESI LINIER DAN KORELASI

6.1 Pendahuluan

o Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-

1911)

o Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan

nilai suatu peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas

(independent variable)

o Diagram Pencar = Scatter Diagram

Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah

takbebas dan peubah bebas.

Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal) Nilai peubah

takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)

x

Dua variabel yang berhubungan (bivariat) diplotkan dalam grafik diagram

pencar yang menyatakan berbagai pola hubungan tertentu :

a. Hubungan positif linier b.

b .Hubungan negatif linier

c. Hubungan non-linier (eksponential)

d. Tidak ada hubungan

Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas?

Contoh :

Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi)

Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi, Y : Vol.

penjualan)

Jenis-jenis Persamaan Regresi :

a. Regresi Linier :

- Regresi Linier Sederhana

- Regresi Linier Berganda

b. Regresi Nonlinier

- Regresi Eksponensial

Regresi Linier

Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana

Y = a + bX

Y : peubah takbebas

X : peubah bebas a

: konstanta

b : kemiringan

Bentuk Umum Regresi Linier Berganda

Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn

Y : peubah tak bebasa : konstanta

X1: peubah bebas ke-1 ; b1 : kemiringan ke-1

X2 : peubah bebas ke-2 ; b2 : kemiringan ke-2

Xn : peubah bebas ke-n ; bn : kemiringan ke-n

Regresi Non Linier

- Bentuk umum Regresi Eksponensial

Y = abx

log Y = log a + (log b) x

6.2 Regresi Linier Sederhana

Metode Kuadrat terkecil (least square method): metode paling

populer untuk menetapkan persamaan regresi linier sederhana

Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana :

Y = a + bX

Y : peubah tak bebas

X : peubah bebas

a : konstanta

b : kemiringan

Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)

b : positif → Y = a + bX b : negatif → Y = a - bX Y

Y

X X

Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

Dimana :

sehingga

n : banyak pasangan data

yi : nilai peubah takbebas Y ke-i

xi : nilai peubah bebas X ke-i

Contoh :

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL

perusahaan Minyak Goreng.

bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + b X

n = 5

Y = a + b X → Y = 2.530 + 1.053 X

Peramalan dengan Persamaan Regresi

Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume

penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi

linier berikut

Y = 2.530 + 1.053 X

Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp.10 juta ?

Jawab :

Y = 2.530 + 1.053 X

X = 10

Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)

Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

6.3 Korelasi Linier Sederhana

Koefisien Korelasi (r) : ukuran hubungan linier peubah X dan Y

Nilai r berkisar antara (+1) sampai (-1)

Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+)

Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-)

o Jika nilai r mendekati +1 atau r mendekati -1 maka X dan Y

memiliki korelasi linier yang tinggi

o Jika nilai r = +1 atau r = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna

o Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier (dalam

kasus r mendekati 0, anda d apat melanjutkan analisis ke regresi

eksponensial)

Koefisien Determinasi Sampel (R)

R = r²

Ukuran proporsi keragaman total nilai peubah Y yang dapat

dijelaskan oleh nilai peubah X melalui hubungan linier.

Penetapan & Interpretasi Koefisien Korelasi dan Koefisien

Determinasi

Contoh :

Lihat Contoh sebelumnya, setelah mendapatkan persamaan Regresi Y =

2.530 + 1.053 X, hitung koef. korelasi (r) dan koef determinasi (R).

Gunakan data berikut (lihat Contoh 2)

Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346

Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume

penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi

R = r2 = 0.9857....2 = 0.97165....= 97 %

Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah

Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi)

melalui hubungan linier.

Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain

Suhu, x Gula yang terbentuk, y

1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.0

8.17.88.59.89.58.98.6

10.29.39.2

10.5

Soal Evaluasi :

1. Nilai kuis (x) dan ujian akhir semester (y) dari 9 mahasiswa adalah

sebagai berikut :

a. Tentukan persamaan garis regresinya

b. Dugalah nilai ujian akhir dari seorang mahasiswa yang nilai

kuisnya adalah 85

c. Tentukan koefisien korelasi

2. Tabel berikut menunjukkan besarnya income per minggu (dalam dolar)

dan biaya telepon untuk 10 keluarga sebagai sampel yang diambil

acak.

a. Dugalah persamaan garis regresinya b.

Tentukan koefesien korelasi

3. Sebuah penelitianmengukur banyaknya gula yang terbentuk pada

berbagai suhu. Datanya telah dikodekan sebagai berikut

a. Dugalah garis regresi liniernya

b. Dugalah banyaknya gula yang terbentuk bila suhunya 1.75 c.Tentukan koefisien korelasinya

4. Dalam tabel di bawah ini, y menyatakan banyaknya suatu senyawa kimia

yang larut dalam 100 gram air pada berbagai suhu x.

X0 C Y (gram)

0

15

30

45

60

75

8

12

25

31

44

48

6

10

21

33

39

51

8

14

24

28

42

44

a. Tentukan persamaan garis regresinya

b. Gambarkan garis regresi tersebut pada diagram pencarnya

c. Dugalah banyaknya senyawa kimia tersebut yang akan larut dalam

100 gram air pada suhu 50 0C.d. Tentukan koefisien korelasinya

BAB VII

HIPOTESIS

7.1. Pengertian Hipotesis Statistik

Hipotesis pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang

mungkin benar, dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan/pemecahan

persoalan ataupun untuk dasar penelitian lebih lanjut. Hipotesis statistik ialah suatu

pernyataan tentang bentuk fungsi suatu variabel atau tentang nilai sebenarnya suatu

parameter. Suatu pengujian hipotesis statistik ialah prosedur yang memungkinkan

keputusan dapat dibuat, yaitu keputusan untuk menolak atau tidak menolak hipotesis

yang sedang dipersoalkan/diuji.

Hipotesis (atau lengkapnya hipotesis statistik) merupakan suatu anggapan atau

suatu dugaan mengenai populasi. Sebelum menerima atau menolak sebuah hipotesis,

seorang peneliti harus menguji keabsahan hipotesis tersebut untuk menentukan apakah

hipotesis itu benar atau salah. H0 dapat berisikan tanda kesamaan (equality sign)

seperti : = , ≤ , atau ≥. Bilamana H0 berisi tanda kesamaan yang tegas (strict equality

sign) = , maka Ha akan berisi tanda tidak sama (not-equality sign). Jika H0 berisikan

tanda ketidaksamaan yang lemah (weak inequality sign) ≤ , maka Ha akan berisi tanda

ketidaksamaan yang kuat (stirct inequality sign) > ; dan jika H0 berisi ≥, maka Ha

akan berisi <.

Sebagai contoh : ��0: 𝑋̅ = 𝜇 ���: 𝑋̅ ≠ 𝜇

��0: 𝑋̅ ≤ 𝜇 ��� : 𝑋̅ > 𝜇

��0: 𝑋̅ ≥ 𝜇 ���: 𝑋̅ < 𝜇

Istilah hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu dari kata hupo dan thesis.

Hupo artinya sementara, atau kurang kebenarannya atau masih lemah kebenarannya.

Sedangkan thesis artinya pernyataan atau teori. Karena hipotesis adalah pernyataan

sementara yang masih lemah kebenarannya, maka perlu diuji kebenarannya, sehingga

istilah hipotesis ialah pernyataan sementara yang perlu diuji kebenarannya.

Hipotesis dapat diartikan sebagai pernyataan statistik tentang parameter populasi.

Dengan kata lain, hipotesis adalah taksiran terhadap parameter populasi, melalui

data-data sampel. Dalam statistik dan penelitian terdapat dua macam hipotesis, yaitu

hipotesis nol dan alternatif. Pada statistik, hipotesis nol diartikan sebagai tidak

adanya perbedaan antara parameter dengan statistik, atau tidak adanya perbedaan

antara ukuran populasi dan ukuran sampel. Dengan demikian hipotesis yang diuji adalah

hipotesis nol, karena memang peneliti tidak mengharapkan adanya perbedaan data populasi

dengan sampel.selanjutnya hipotesis alternatif adalah lawan hipotesis nol, yang berbunyi

ada perbedaan antara data populasi dengan data sampel.

7.2. Tipe – tipe Hipotesis Statistik

Hipotesis dibagi menurut tingkat eksplanasi hipotesis yang akan diuji, maka

rumusan hipotesis dapat dikelompokkan menjadi tiga macam yaitu hipotesis deskriptif

(pada satu sampel atau variabel mandiri/tidak dibandingkan dan dihubungkan),

komparatif dan hubungan.

1. Hipotesis Deskriptif

Hipotesis deskriptif adalah dugaan tentang nilai suatu variabel mandiri, tidak

membuat perbandingan atau hubungan. Dalam perumusan hipotesis statistik, antara

hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (Ha) selalu berpasangan, bila salah satu

ditolak, maka yang lain pasti diterima sehingga dapat dibuat keputusan yang tegas,

yaitu kalau H0 ditolak pasti Ha diterima. Hipotesis statistik dinyatakan melalui

simbol-simbol.

Contoh pernyataan yang dapat dirumuskan hipotesis deskriptif -statistiknya :

Suatu perusahaan minimum harus mengikuti ketentuan, bahwa salah satu unsur kimia

hanya boleh dicampurkan paling banyak 1%. Dengan demikian rumusan hipotesis

statistik adalah :

��0: 𝜇 ≤ 0,01

���: 𝜇 > 0,01

Suatu bimbingan tes menyatakan bahwa murid yang dibimbing di lembaga itu ,

paling sedikit 90% dapat diterima di Perguruan Tinggi Negeri. Rumusan hipotesis

statistik adalah :

��0: 𝜇 ≥ 0,90

���: 𝜇 < 0,90

Seorang peneliti menyatakan bahwa daya tahan lampu merk A = 450 jam dan B =

600 jam. Hipotesis statistiknya adalah :

Lampu A : Lampu B :

��0: 𝜇 = 450 jam ��0: 𝜇 = 600 jam

���: 𝜇 ≠ 450 jam ��� : 𝜇 ≠ 600 jam

Hipotesis pertama dan kedua diuji dengan uji satu pihak (one tail) dan ketiga

dengan dua pihak (two tail).

2. Hipotesis Komparatif

Hipotesis komparatif adalah pernyataan yang menunjukkan dugaan nilai dalam satu

variabel atau lebih pada sampel yang berbeda.

Contoh rumusan masalah komparatif dan hipotesisnya :

Apakah ada perbedaan daya tahan lampu merk A dan B ?

Rumusan Hipotesis adalah :

1) Tidak terdapat perbedaan daya tahan lampu antara lampu merk A dan B.

2) Daya tahan lampu merk B paling kecil sama dengan lampu merk A.

3) Daya tahan lampu merk B paling tinggi sama dengan lampu merk A.

Hipotesis statistiknya adalah :

��0: ��1 = ��2

���: ��1 ≠ ��2

��0: ��1 ≥ ��2

���: ��1 < ��2

��0: ��1 ≤ ��2

���: ��1 > ��2

Rumusan uji hipotesis dua pihak Rumusan uji hipotesis satu pihak

Rumusan uji hipotesis satu pihak

3. Hipotesis Hubungan (Assosiatif)

Hipotesis asosiatif adalah suatu pernyataan yang menunjukkan dugaan tentang

hubungan antara dua variabel atau lebih. Contoh rumusan masalahnya adalah

“Apakah ada hubungan antara Gaya Kepemimpinan dengan Efektifitas Kerja ?”

Rumus dan hipotesis nolnya adalah : Tidak ada hubungan antar gaya

kepemimpinan dengan efektifitas kerja.

Hipotesis statistiknya adalah ;

��0: 𝜌 = 0

���: 𝜌 ≠ 0 ( 𝜌 = simbol yang menunjukkan kuatnya hubungan)

7.3. Tipe – tipe Kesalahan

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kesalahan yang dapat

terjadi, dikenal dengan nama-nama :

1. Kesalahan tipe I yaitu menolak hipotesis (H0) yang seharusnya tidak ditolak atau Ho

ditolak padahal Ho benar. Kesalahan ini disebut kesalahan α..

2. Kesalahan tipe II yaitu tidak menolak hipotesis (H0) yang seharusnya ditolak atau

Ho diterima padahal Ho salah. Kesalahan ini disebut kesalahan β.

D. Prosedur Uji Hipotesis

Pengujian hipotesis ada tiga macam yaitu :

1. Uji dua pihak

2. Uji satu pihak yaitu pihak kanan

3. Uji satu pihak yaitu pihak kiri

Untuk dapat memutuskan apakah H0 ditolak atau diterima, maka diperlukan

kriteria tertentu dengan nilai tertentu baik dari hasil perhitungan maupun hasil dari

tabel. Kedua hasil tersebut dibandingkan. Dalam hal ini dimisalkan menggunakan

perhitungan t dengan menggunakan rumus t sehingga d iperoleh thitung. Kemudian dicari

ttabel dari tabel t dengan 𝛼 tertentu. Nilai ttabel dua pihak dan satu pihak dengan 𝛼

tertentu diperoleh dengan melihat daftar atau tabel t. Sebelum mengadakan pengujian

hipotesis, maka asumsi – asumsi yang berlaku hendaklah dipenuhi terlebih dahulu.

Asumsi-asumsi yang diperlukan sebelum melakukan pengujian hipotesis

adalah :

1. Nyatakanlah data yang akan diuji tersebut berasal dari sampel atau populasi. Jika

menggunakan data sampel, maka rata – ratanya adalah ��. Dan jika menggunakan

data populasi, maka rata – ratanya adalah ��.

2. Data yang diuji berdistribusi normal.

Langkah – langkah Pengujian Hipotesis adalah sebagai berikut:

1. Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.

2. Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

3. Hitung �ℎ������𝑔 atau ��ℎ������𝑔 (salah satu tergantung 𝜎 tak diketahui atau diketahui)

Jika 𝜎 tidak diketahui, maka �ℎ��������adalah :

𝑥 −��0

�hitung = ��

√𝑛

Di mana

:

𝑥 = rata-

rata data

yang ada

�

�

0

=

r

a

t

a

-

r

a

t

a

s

e

k

a

r

a

ng

� = simpangan baku

𝑛 = jumlah data sampel

Jika 𝜎 diketahui, maka ��ℎ������𝑔 adalah :

��hitung =

𝑥

−

�

�

0

𝜎

√

𝑛

Di mana : 𝑥 = rata-rata data yang ada

��0 = rata-rata sekarang

𝜎 = simpangan baku

𝑛 = jumlah data sampel

4. Tentukan taraf signifikansi (��).

5. Cari ������𝑙 dengan ketentuan :

𝛼 seperti langkah

4,

𝑑�� = 𝑛 − 1

Dengan menggunakan tabel t diperoleh ������𝑙 atau �������𝑙

6. Tentukan kriteria pengujian.

7. Bandingkan �ℎ������𝑔 dengan ������𝑙 atau ��ℎ������𝑔 dengan �������𝑙

8. Buatlah kesimpulannya

Penentuan kriteria pengujian dan nilai kritis digambarkan seperti tabel berikut ini

1. Uji Dua Pihak ( Two Tail Test )

Uji dua pihak digunakan bila hipotesis nol (H0) berbunyi “sama dengan” dan

hipotesis alternatifnya (Ha) berbunyi “tidak sama

dengan”

Hipotesis

statistiknya :

H0 : 𝜇 = ��0

Ha : 𝜇 ≠ ��0

Kriteria Pengujian :

Jika −������𝑙 ≤ �ℎ������𝑔 ≤ +������𝑙

Maka H0 diterima dan Ha ditolak

Contoh

soal :

2

Telah dilakukan pengumpulan data untuk menguji hipotesis yang menyatakan

bahwa daya tahan berdiri pramuniaga (pelayan toko) di Jakarta adalah 4 jam/hari.

Berdasarkan sampel 31 orang yang diambil secara random terhadap pelayanan toko

yang dimintai keterangan masing-masing memberikan data sebagai berikut :

3 2 3 4 5 6 7 8 5 3 4 5 6 6 7 8 8 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 2 3

3

Penyelesaia

n :

Berdasarkan pertanyaan tersebut, maka

Menentukan H0 dan Ha dalam bentuk kalimat

H0 : Daya tahan berdiri pramuniaga di Jakarta adalah 4 jam / hari.

Ha : Daya tahan berdiri pramuniaga di Jakarta bukan 4 jam / hari.

Menentukan H0 dan Ha dalam bentuk statistik

H0 : 𝜇 = 4 jam / hari

Ha : 𝜇 ≠ 4 jam / hari

Menghitung thitung

n = 31 ; ��0 = 4 jam / hari

∑ 𝑥 𝑖

𝑥 =

𝑛

𝑥 = 3+2+3+⋯+3+3

= 144

= 4,645

31 31

� = √ 𝑛 ∑ 𝑥 2 −(∑ 𝑥 )

𝑛 (��−1)

� = √ 31 (768 ) −(144 ) 2

31(30)

� = √ 23808 −20736

930

� = √ 3072

= 1,81

930

𝑥 −𝜇 0

�ℎ������𝑔 =

�ℎ������𝑔 =

��

√𝑛

4,645−4

1,81

√31

= 1,98

Taraf signifikansi (��) = 0,05

ttabel dengan ktentuan :

𝛼 = 0,05

𝑑�� = 𝑛 − 1 = 31 − 1 = 30

Dengan menggunakan uji dua pihak. Maka diperoleh ttabel = 2,042

Kriteria pengujian dua pihak :

Jika −������𝑙 ≤ �ℎ������𝑔 ≤ +������𝑙 , maka H0 diterima dan Ha ditolak

Ternyata −2,04 ≤ 1,98 ≤ +2,042 , sehingga H0 diterima

Kesimpulannya :

H0 yang berbunyi : “Daya tahan berdiri pramuniaga di Jakarta = 4 jam / hari”

diterima. Sebaliknya Ha yang berbunyi : “Daya tahan berdiri pramuniaga di Jakarta

≠ 4 jam / hari” ditolak.

Hipotesis Page 6

2. Uji Satu Pihak Untuk Pihak Kiri

Uji pihak kiri digunakan apabila : hipotesis nol (H0) berbunyi “lebih besar

atau sama dengan (≥)” dan hipotesis alternatifnya berbunyi “lebih kecil (<)”.

Hipotesis statistiknya :

H0 : ��0 ≥ ��1

Ha : ��0 < ��1

Kriteria Pengujian :

Jika �ℎ������𝑔 ≥ −������𝑙

Maka H0 diterima dan Ha ditolak

Contoh soal :

Suatu perusahaan lampu pijar merk Laser, menyatakan bahwa daya tahan lampu

yang dibuat paling sedikit 400 jam. Berdasarkan pernyataan produsen tersebut,

maka lembaga konsumen akan melakukan pengujian, apakah daya tahan lampu itu

betul 400 jam atau tidak, sebab ada keluhan dari masyarakat yang menyatakan

bahwa lampu pijar merk Laser tersebut cepat putus.

Untuk membuktikan pernyataan produsen lampu pijar tersebut, maka dilakukan

penelitian melalui uji coba terhadap daya tahan 25 lampu yang diambil secara

random. Dari uji coba diperoleh data tentang daya tahan 25 lampu sebagai berikut:

450 390 400 480 500 380 350 400 340 300 300

345 375 425 400 425 390 340 350 360 300 200

300 250 400

Penyelesaian:

Menulis H0 dan Ha dalam bentuk kalimat

H0 : Daya tahan lampu yang dibuat paling sedikit 400 jam

Ha : Daya tahan lampu yang dibuat lebih kecil dari 400 jam

Menulis H0 dan Ha dalam bentuk statistik

H0 : ��0 ≥ 400 jam

2

Ha : ��0 < 400 jam

Menghitung thitung

n = 25 ; ��0 = 400 jam

∑ 𝑥 𝑖

𝑥 =

𝑛

𝑥 = 450 +39 0 +400 +⋯. +250 +400

= 9 150

= 366

25 25

� = √ 𝑛 ∑ 𝑥 2 −(∑ 𝑥 )

��(��−1)

� = √ 25 (346070 0) −(9 150)

2

25(24)

� = √ 86517500 −837225 00

600

� = √ 279 5000

= 68,25

600

𝑥 −𝜇 0

�ℎ������𝑔 =

�ℎ������𝑔 =

��

√𝑛

366−400

68,25

√25

= −2,49

Menentukan taraf signifikansi (��) = 0,05

Mencari ttabel dengan ketentuan :

𝛼 = 0,05

𝑑�� = 𝑛 − 1 = 25 − 1 = 24

Dengan menggunakan uji satu pihak untuk pihak kiri . Maka diperoleh ttabel = 1,711

Menentukan kriteria pengujian

Jika �ℎ������𝑔 ≥ −������𝑙 , Maka H0 diterima dan Ha ditolak

Membandingkan thitung dan ttabel

Ternyata −2,49 ≤ −1,71 , sehingga H0 ditolak dan Ha diterima

Kesimpulannya :

Pernyataan produsen lampu, yang menyatakan bahwa daya tahan lampu pijar merk

Laser paling sedikit 400 jam ditolak dan daya tahan lampu lebih kecil dari 400 jam

diterima.

3. Uji Satu Pihak Untuk Pihak Kanan

Uji pihak kanan digunakan apabila : hipotesis nol (H0) berbunyi “lebih kecil

atau sama dengan (≤)” dan hipotesis alternatifnya berbunyi “lebih besar (>)”.

Hipotesis statistiknya :

H0 : ��0 ≤ ��1

Ha : ��0 > ��1

Kriteria Pengujian :

Jika �ℎ������𝑔 ≤ +������𝑙

Maka H0 diterima dan Ha ditolak

2

Contoh soal :

Karena terlihat ada kelesuan dalam perdagangan jeruk, maka akan dilakukan

penelitian untuk mengetahui berapa kg jeruk yang dapat terjual oleh pedagang pada

setiap hari. Berdasarkan pengamatan sepintas terhadap perdagangan jeruk, maka

peneliti mengajukan hipotesis bahwa pedagang jeruk tiap hari paling banyak dapat

menjual 100 kg jeruk kepada konsumen.

Berdasarkan hipotesis tersebut, maka telah dilakukan pengumpulan data terhadap

20 pedagang jeruk. Pengambilan sampel 20 pedagang jeruk dilakukan s ecara

random. Data dari 20 pedagang diberikan data sebagai berikut :

98 80 120 90 70 100 60 85 95 100

70 95 90 85 75 90 70 90 60 110

Penyelesaian :

Menulis H0 dan Ha dalam bentuk kalimat

H0 : Pedagang jeruk tiap hari paling banyak dapat menjual 100 kg jeruk kepada

konsumen.

Ha : Pedagang jeruk tiap hari dapat menjual lebih dari 100 kg jeruk kepada

konsumen.

Menulis H0 dan Ha dalam bentuk statistik

H0 : ��0 ≤ 100 kg/hr

Ha : ��0 > 100 kg/hr

Menghitung thitung

n = 20 ; ��0 = 100 kg/hr

∑ 𝑥 𝑖

𝑥 =

𝑛

𝑥 = 98+80 +120 +⋯+60 +110

= 1733

= 86,65

20 20

� = √ 𝑛 ∑ 𝑥 2 −(∑ 𝑥 )

��(��−1)

� = √ 20 (1549 29 ) −(1733 ) 2

20(19)

� = √ 309 8580 −3003289

380

� = √ 9 529 1

= 15,83

380

�ℎ������𝑔 = 𝑥 −𝜇 0

��

√𝑛

�ℎ������𝑔 =

86,65−100

15,83

√20

= −3,77

Menentukan taraf signifikansi (��) = 0,05

Mencati ttabel dengan ketentuan :

𝛼 = 0,05

𝑑�� = 𝑛 − 1 = 20 − 1 = 19

Dengan menggunakan uji satu pihak untuk pihak kanan, maka diperoleh ttabel =

1,729

Kriteria pengujian satu pihak untuk pihak kanan :

Jika �ℎ������𝑔 ≤ +������𝑙 , Maka H0 diterima

Ternyata −3,77 ≤ +1,729 , maka H0 diterima dan Ha ditolak

Kesimpulannya :

Pedagang jeruk tiap hari paling banyak dapat menjual 100 kg jeruk kepada

konsumen adalah betul.

E. Tingkat Signifikansi Amatan

𝛼 disebut juga taraf signifikansi, taraf arti, taraf nyata atau probability = p, taraf

kesalahan dan taraf kekeliruan. Taraf signifikansi dinyatakan dalam dua atau tiga

desimal atau dalam persen. Lawan dari taraf signifikansi atau tanpa kesalahan ialah

taraf kepercayaan. Jika taraf signifikansi = 5%, maka dengan kata lain dapat disebut

taraf kepercayaan = 95%. Demikian seterusnya.

Dalam penelitian sosial, besarnya 𝛼 biasanya diambil 5% atau 1% (0,05 atau

0,01). Arti 𝛼 = 0,01 ialah kira – kira 1 dari 100 kesimpulan akan menolak hipotesis

yang seharusnya diterima. Atau dengan kata lain kira – kira 99% percaya bahwa kita

telah membuat kesimpulan yang benar.

Hipotesis Page 12

DAFTAR PUSTAKA

Ronald E. Walpole, PENGANTAR STATISTIKA, Edisi ke 3,

PT.Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1995.

J. Supranto M.A, STASTISTIK TEORI DAN APLIKASI, Jilid 1, 2 Edisi

ketiga, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1981.

Subiyakto,Haryono, STATISTIKA 2, Penerbit Gunadharma, 1993.

http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_poisson

http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika_untuk_ekonomi_

dan_bisnis/bab7_distribusi_binomial_poisson_dan_hipergeometri k.pdf