buku ajar statistika industri(1)
TRANSCRIPT
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 1/214
Tahun Pembuatan : 2011
Dibuat oleh team dosen Statistika Industri:
Ir. Wiyono MT
Judi Alhilman Drs. MSIE
Ir. Hermita dyah MT.
FAKULTAS REKAYASA INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 2/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-2
KATA PENGANTAR
Bismillaahirrohmaanirrohiim,Assalaamu‟alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh
Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata
kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya
yang harus diperbaiki di masa yang akan datang.
Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan
digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di
mana penyusun mengajar.
Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih
dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga
mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang
disampaikan oleh dosen di kelas.
Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang
telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan
tinggi.
Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan
memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih
kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini.
Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi
perbaikan Buku Ajar ini ke depannya.
Wassalaamu‟alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh.
Bandung, Agustus 2011,
Penulis
(team dosen Statistika Industri )
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 3/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-3
SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)
Mata Kuliah : Statistika Industri (3 SKS)
Kode Mata Kuliah : IE2333
Buku Acuan :
1. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007
2. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006
3. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 4/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-4
Minggu
ke
Pokok
BahasanMateri
Tujuan
Instruksional
Umum (TIU)
Tujuan Instruksional
Khusus (TIK)
Kegiatan Evalua
siAcuan
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
1. Pendahulu
an
Teori Sampling Mahasiswa
memahami tentang
pengertian konsep
dasar metoda
sampling
Mahasiswa mampu
menjelaskan pengertian:
1. sampling2. populasi dan sample3. statistik dan parameter
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
8)
2. Statistika
Deskriptif
Ukuran pemusatan,
keragaman dan letak
Mahasiswa
memahami tentang
pengertian konsep
dasar Statistika
Deskriptif
Mahasiswa mampu
menjelaskan pengertian:
1. Ukuran pemusatan
2. Ukuran keragaman
3. Ukuran letak
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
8)
3. Distribusi
sampling
rataan dan
proporsi
Distribusi sampling
rataan dan proporsi
dari satu populasi
dan dua populasi ( Z
dan t)
Mahasiswa
memahami distribusi
sampling rataan dan
proporsi dari satu
populasi dan dua
populasi
Mahasiswa mampu:
1. menjelaskan teorema
“central limit” 2. menghitung nilai
probabilitas distribusisampling rataan dan proporsi untuk satu dan
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
8]
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 5/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-5
dua populasi
4. Distribusi
sampling
variansi
Distribusi sampling
variansi ( Chi Square
dan F)
Mahasiswa
memahami distribusi
sampling Chi Square
dan F
Mahasiswa mampu:
1. menghitung nilai probabilitas distribusisampling variansi darisatu populasi
2. menghitung nilai
probabilitas distribusisampling variansi daridua populasi
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
8]
5. Estimasi
dan uji
hipotesa
rataan
untuk satu
dan dua
populasi
1. Pengertian dansifat-sifatestimator
2. Estimasi rataansatu populasi
3. Estimasi rataandua populasi
4. Pengertian ujihipotesa
5. Jenis kesalahandalam ujihipotesis
Mahasiswa
memahami pengertian
dan sifat-sifat umum
estimator dan
pengujian hipotesa
khususnya selang
rataan dan
pengujiannya baik
satu populasi maupun
dua populasi
Mahasiswa mampu :
1. menjelaskan pegertiandan sifat-sifat umumestimator
2. menjelaskan metodauntuk menentukanestimator rataan populasi
3. menghitung nilaiestimasi selang rataansuatu populasi (satu dan
dua populasi).4. menjelaskan kesalahan
dalam uji hipotesis5. melakukan uji hipotesis
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
9, 18]
[2, Bab
6]
[3, Bab
9]
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 6/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-6
rataan (satu dan dua populasi).
6. Estimasi
dan
pengujian
hipotea
proporsi
populasi
1. Estimator proporsi
2. Pengujian danEstimasi selang proporsi baik satu dan dua
populasi
Mahasiswa
memahami pengertian
dan sifat-sifat umum
estimator dan
Pengujian hipotesa
khususnya proporsi
baik satu populasi
maupun dua populasi
Mahasiswa mampu :
1. menjelaskan metodauntuk menentukanestimator proporsi populasi
2. menghitung nilaiestimasi selang proporsisuatu populasi (satu dandua populasi).
3. Menguji proporsi satudan dua proporsi
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
9]
[2, Bab
6]
7. Estimasi
dan uji
hipotesa
variansi
1. Estimator variansi
2. Estimasi selangvariasi baik satudan dua populasi
3. Pengujianhipotesa variansisatu dan dua populasi.
Mahasiswa
memahami pengertian
dan sifat-sifat umum
estimator dan
pengujian hipotesa
khususnya untuk
variansi baik satu
populasi maupun dua
populasi
Mahasiswa mampu :
1. menjelaskan metodauntuk menentukanestimator variansi populasi
2. menghitung nilaiestimasi selang variasnisuatu populasi (satu dandua populasi).
3. Menguji variansi untuk satu dan dua populasi
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
9]
[2, Bab
6]
8. UTS
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 7/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-7
9. Uji
Hipotesis
1. Goodness of fit2. Uji independesi
Mahasiswa
memahami metoda uji
goodness of fit dan uji
independensi
Mahasiswa mampu :
1. melakukan uji goodnessof fit
2. melakukan ujiindependesi
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
10]
[2, Bab
8]
10. Uji
variansi
satu arah
1. Metoda analisisvarian
2. CRD (completyrandomizedesign)
3. BRD(Bock Random design)
Mahasiswa
memahami metoda uji
variansi satu arah
Mahasiswa mampu :
1. Menjelaskan metoda ujivariansi
2. melakukan uji variansisatu arah
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
13]
[2, Bab
10]
11. Regresi
sederhana
1. Regresisederhana
2. Pengujian regresi
Mahasiswa
memahami metoda
regresi sederhana
Mahasiswa mampu :
1. melakukan perhitungan regresisederhana dan pengujiannya.
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
11]
12. Korelasi 1. Korelasi2. Pengujian
korelasi
Mahasiswa
memahami konsep
korelsi dan
pengujiannya.
Mahasiswa mampu :
1. Menghitung nilai
korelasi dan pengujiannya.
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
11]
[3, Bab14, 15]
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 8/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-8
13. Uji
Hipotesis
non
parametrik
1. Uji tanda2. Run test
Mahasiswa
memahami metoda uji
tanda dan run test
Mahasiswa mampu :
3. melakukan uji tanda4. melakukan run test
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
16]
[2, Bab
8]
14. Uji
Hipotesis
non
parametrik
1. Uji Wilcoxon2. Uji Kruskal
Wallis
Mahasiswa
memahami metoda uji
Wilcoxon dan Uji
Kruskal Wallis
Mahasiswa mampu :
3. melakukan uji Wilcoxon4. melakukan uji Kruskal
Wallis
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
[1, Bab
16]
[2, Bab
8]
15. Tugas
besar
Persentasi tugas Mahasiswa mampu
mengaplikasikan
statistika ke dunia
nyata
Mahasiswa mampu
mengaplikasikan dan
merepresantasikan
materi
Tatap
muka
Diskusi
Tanya
Jawab
16. UAS
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 9/214
Toshiba | RISET OPERASI II I-9
Penilaian :
UTS : 30%
UAS : 30%
QUIS : 25%
TUGAS : 15%
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 10/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
x IT TELKOM
DAFTAR ISI
BAB I TEORI SAMPLING ................................................................................................... 1
I.1 PENGERTIAN DASAR .................................................................................... 3I.1.1 Sampling ................................................................................................ 3
I.1.2 Sample (n) : ............................................................................................ 3
I.1.3 Elemen / unsur ....................................................................................... 4
I.1.4 Populasi (N) ........................................................................................... 4
I.1.5 Kerangka sampel .................................................................................... 5
I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK ................................................................... 5
I.3 UKURAN SAMPEL .......................................................................................... 7
I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL.............................................. 9
I.4.1 Sampling dengan Pengembalian .......................................................... 10
I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian : ........................................................... 10
I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya ................................... 11
I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL ....................................................... 17
I.5.1 Penyajian Data ..................................................................................... 17
I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi .................................................................... 17
I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif : ............................................................... 21
I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik ........................................................... 22
BAB II DISTRIBUSI SAMPLING ....................................................................................... 30
II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z ......................................................... 31
II.2 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T ......................................................... 41
II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI .......................................................... 44
II.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI ................................... 46
II.5 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI .......................................................... 47
BAB III TEORI ESTIMASI ................................................................................................... 54
III.1 ESTIMASI RATAAN ..................................................................................... 58
III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel ........................................................ 58
III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; diketahui ............................................ 59
III.1.3 Kesalahan estimasi ............................................................................... 59
III.1.4 Sampel sedikit ...................................................................................... 61
III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. .................................. 62
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 11/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
xi IT TELKOM
III.2 ESTIMASI PROPORSI ................................................................................... 63
III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi .............................................................. 70
III.3 ESTIMASI VARIANSI ................................................................................... 75
III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi ............................................................. 77BAB IV UJI HIPOTESIS ........................................................................................................ 89
IV.1 HIPOTESIS STATISTIK ................................................................................ 91
IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS .................................................................. 93
IV.2.1 Uji Ekasisi ............................................................................................ 94
IV.2.2 Uji Dwisisi ........................................................................................... 96
IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS ..................................... 97
IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS ............................................. 100
IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN .................................................................. 100
IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI ................................................................ 103
IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI ................................................................ 106
BAB V UJI CHI-SQUARE.................................................................................................. 113
V.1 GOODNESS OF FIT TEST........................................................................... 115
V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN) ........................................................ 121
BAB VI REGRESI DAN KORELASI ................................... Error! Bookmark not defined.
VI.1 REGRESI .........................................................Error! Bookmark not defined.
VI.1.1 Regresi Linier Sederhana .....................Error! Bookmark not defined.
VI.1.2 Regresi Linier Berganda .................................................................... 151
VI.2 KORELASI ......................................................Error! Bookmark not defined.
VI.2.1 Definisi Korelasi ..................................Error! Bookmark not defined.
VI.2.2 Koefisien Korelasi ............................... Error! Bookmark not defined.
VI.2.3 Teknik Korelasi ....................................Error! Bookmark not defined.
VI.2.4 Uji Hipotesis Korelasi ..........................Error! Bookmark not defined.
BAB VII ANOVA .................................................................................................................. 153
VII.1 O NE WAY ANOVA...........................................Error! Bookmark not defined.
VII.2 TWO WAY ANOVA ..........................................Error! Bookmark not defined.
VII.2.1 Two Way Anova dengan n replikasi .................................................. 168
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 12/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
1 IT TELKOM
BAB I. TEORI SAMPLING
Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:
a) Pengertian dasar teori sampling
b) Syarat sampel yang baik
c) Ukuran sampel
d) Teknik-teknik pengambilan sampel
e) Teknik penyajian data sampel
PENDAHULUAN
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 13/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
2 IT TELKOM
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat
menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat
menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling
2. Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik
3. Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik.
4. Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample
5. Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 14/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3 IT TELKOM
I.1 PENGERTIAN DASAR
I.1.1 Sampling
Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang
berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah
penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang
tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung.
I.1.2 Sample (n) :
Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota
populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya
elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi
adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas
seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya,
seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak
meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari
keseluruhan elemen atau unsur tadi.
HUBUNGAN SAMPEL DAN POPULASI
Populasi Sampel
Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara
lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin
seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia,
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 15/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
4 IT TELKOM
membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan
kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap
populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan
kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (UmaSekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh
elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari
satu pohon jeruk
Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya
dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya
harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik
sampling atau teknik pengambilan sampel .
I.1.3 Elemen / unsur
Elemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan
keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian.
Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah
pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500
elemen penelitian.
I.1.4 Populasi (N)
Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan
berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan
variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK
dengan karektaristik indeks antara 0-4.
Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan
obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk
tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti
adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka populasinya adalah keseluruhan laporan
keuangan perusahaan “X” tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen
“A” maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen “A”.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 16/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
5 IT TELKOM
I.1.5 Kerangka sampel
Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi,
sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan
bagian dari populasi.
I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK
Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin
karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa
mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat
Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel
tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda).
Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.
Pertama : Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam
sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin
akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi.
Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa “there is no systematic variance ”
yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh
yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu
titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan,
lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau
skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil
secara sistematis
Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian
adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang
terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976).
Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang
akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk
dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya
salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan
Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata
Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 17/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
6 IT TELKOM
Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam
menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang
memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon
dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih olehmasyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh :
(1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya
jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus
mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976).
Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi.
Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik
populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur
ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun
berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata-rata 58
unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil
penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat
perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat
presisi sampel tersebut.
Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh
karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang
dikenal dengan nama “sampling err or ” Presisi diukur oleh simpangan baku ( standard error ).
Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan
simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak
selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah
sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah (
Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara
populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah. Katakanlah
dari 50 menjadi 75.
Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti
yang diutarakan oleh Kerlinger
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 18/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
7 IT TELKOM
I.3 UKURAN SAMPEL
Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah
”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar hasil (berupa data
perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan
(statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95
disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90.
Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting
manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis
kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan
menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnyasedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat.
Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor
lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana
analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989).
Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang
harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun
harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan
perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat
pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang
pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang
dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa
apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable).
Misalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 400 buah.
Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya
mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika
besar
kesalahan
kecil
kecil besarBesarnya sampel
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 19/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
8 IT TELKOM
ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran
populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30,
maka sampelnya harus 100%.
Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi, penelitian korelasional, paling sedikit 30 elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, 30
elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan
Diehl, 1992).
Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah
sampel sebagai berikut :
1. Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen
2. Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb),
jumlah minimum subsampel harus 30
3. Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel
harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis.
4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran
sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen.
Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa
dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)
Tabel 0.1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel
Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n)
10 10 220 140 1200 291
15 14 230 144 1300 297
20 19 240 148 1400 302
25 24 250 152 1500 306
30 28 260 155 1600 310
35 32 270 159 1700 313
40 36 280 162 1800 317
45 40 290 165 1900 320
50 44 300 169 2000 322
55 48 320 175 2200 327
60 52 340 181 2400 331
65 56 360 186 2600 335
70 59 380 191 2800 338
75 63 400 196 3000 341
80 66 420 01 3500 346
85 70 440 05 4000 351
90 73 460 10 4500 35495 76 480 14 5000 357
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 20/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
9 IT TELKOM
100 80 500 17 6000 361
110 86 550 26 7000 364
120 92 600 34 8000 367
130 97 650 42 9000 368
140 103 700 48 10000 370
150 108 750 54 15000 375
160 113 800 60 20000 377
170 118 850 65 30000 379
180 123 900 69 40000 380
190 127 950 74 50000 381
200 132 1000 78 75000 382
210 136 1100 85 1000000 384
Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji
statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau
dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk
menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic
Statistics for Social Research, Second Edition)
I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL
Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian
diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.
Sampel nonprobabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi
sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang
sama untuk dijadikan sampel.
DEFINISI
Sampel probabilitasMerupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi
sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau
peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 21/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
10 IT TELKOM
Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
TEKNIK SAMPLING
Menurut proses memilihMenurut peluang
pemilihannya
Sampling dengan
pengembalian
Sampling tanpa
pengembalian
Non probability
sampling
Probability sampling/
random sampling
quota snowbal l purposive conv iniencehaphazard
Stratified
random
sampling
Cluster
sampling
Systematic
sampling
Area
sampling
Simple
random
sampling
Gambar 0.1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih
I.4.1 Sampling dengan Pengembalian
Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelumdilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih
dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang
mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa
dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang
berkatian dengan pengambilan sampel.
I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian :
Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam populasi.Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi
berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang
mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk
menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa
pengembalian adalah: nCr = n!/(r!(n-r)!)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 22/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
11 IT TELKOM
I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya
I.4.3.1 Random sampling
Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan
yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinyaada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai
kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel.
Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah
memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame” .
Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen
populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang
orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi
penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi “A”, maka peneliti harus bisa memiliki daftar
semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi “A “ tersebut selengkap mungkin.
Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya..
Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika
populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar
seluruh rumah tangga kota tersebut. Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka
penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan,Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda
satu sama lainnya.
Di samping sampling frame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan
penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi
sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau
undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen
populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu
konsep “acak” atau “random” itu sendiri.
1. Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana
Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif
dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen
populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam
populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 23/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
12 IT TELKOM
bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Selama perbedaan gender, status
kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut
bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan
terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana.Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa
dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :
o Susun “sampling frame”
o Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil
o Tentukan alat pemilihan sampel
o Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi
2. Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan
DEFINISI
Penarikan sampel acak terstruktur:
Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota
populasi dalam beberapa sub kelompok yang disebut strata, lalu suatu
sampel dipilih dari masing-masing stratum.
Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut
mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat
mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap
manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas
cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji
dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat
atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 24/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
13 IT TELKOM
distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu
stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum
tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya :
o
Siapkan “sampling frame” o Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki
o Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum
o Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.
Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan
secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional
adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi
dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15
manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada
100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang
akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 =
9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer.
Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau
elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam
stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambilsemua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II)
ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.
3. Cluster Sampling atau Sampel Gugus
Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan
gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana
setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-
laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus
boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen. Misalnya,
dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat
banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis kelaminnya, beda tingkat
pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan-
perbedaan lainnya. Jika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai
terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 25/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
14 IT TELKOM
menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau
dua departemen saja. Prosedur :
a. Susun sampling frame berdasarkan gugus
b. Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampelc. Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak
d. Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample
4. Systematic Sampling atau Sampel Sistematis
Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat
pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan.
Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu
unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang “keberapa”. Misalnya, setiap
unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa”-nya satu
unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran
sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil
adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan
seterusnya adalah 25. Prosedurnya :
Susun sampling frame
Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil
Tentukan K (kelas interval)
Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau
random – biasanya melalui cara undian saja.
Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.
Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya
5. Area Sampling atau Sampel Wilayah
Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi
penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer
sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas
sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat.
Prosedurnya :
o Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) –
Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 26/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
15 IT TELKOM
o Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?,
Kecamatan?, Desa?)
o Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.
o
Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.o Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya,
bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah.
I.4.3.2 Non random sampli ng atau nonprobabili ty sampli ng
Seperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak
semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi
sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan ataukarena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.
1. Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan.
Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali
berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang
tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa
penulis menggunakan istilah accidental sampli ng – tidak disengaja – atau juga captive
sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk
penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya
diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis
sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.
2. Purposive Sampling
Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu.
Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa
seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya.
Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.
Judgment Sampling
Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang
paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data
tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka
manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 27/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
16 IT TELKOM
Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel
karena mereka mempunyai “information rich”.
Dalam program pengembangan produk (product development ), biasanya yang
dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalaukaryawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan
terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory,
1992).
Quota Sampling
Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara
proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja.
Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika
seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi
maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan
pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel
tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.
3. Snowball Sampling – Sampel Bola Salju
Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi
penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa
dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada
sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel.
Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga
perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan
wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa
mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil
diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian
lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-
kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).
4. Haphazard Sampling
Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun
tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian
mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 28/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
17 IT TELKOM
siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang
pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.
I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL
I.5.1 Penyajian Data
Penyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Data-
data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh
dengan berbagai cara, antara lain:
Wawancara
Pengamatan
Surat menyurat
Kuisioner
Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data)
dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lain-
lain.
I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi
Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa
kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat
dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah
dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data
berkelompok.
Tabel 0.2 Contoh tabel distribusi frekuensi
Kelas interval Frekuensi
3 – 5 2
6 – 8 5
9 – 11 7
12 – 14 1
15 - 17 1
Langkah-langkah distribusi frekuensi:
1. Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya.
2. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 29/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
18 IT TELKOM
N : banyaknya pengamatan
Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15
3. Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :
KI sebaiknya kelipatan 5.
4. Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval
kelas.
5. Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas
atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas).
6. Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau
poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah
dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x
satuan pengukuran terkecil dari data).
Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi
frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :
Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval
kelas
Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval
kelas
Contoh Batas Kelas :
Kelas Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 14
2 2123 4030 4
3 4031 5938 1
4 5939 7846 1
5 7847 9754 1
Interval
k = 1 + 3,3 log N
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 30/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
19 IT TELKOM
Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu
angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di
tengah-tengah pada setiap interval kelas.
Contoh nilai tengah:
Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan
nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan
penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua.
Contoh nilai tepi kelas :
Kelas Nilai tengah
1 215 2122 1168.5
2 2123 4030 3076.5
3 4031 5938 4984.5
4 5939 7846 6892.5
5 7847 9754 8800.5
Interval
Kelas Interval Jumlah Frekuensi
(F) Nilai Tepi
Kelas
1 215 2122 14 214.5
2 2123 4030 3 2122.5
3 4031 5938 1 4030.5
4 5939 7846 1 5938.5
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 31/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
20 IT TELKOM
Contoh 1 :
1.
2. N = 20
k = 1 + 3,322 Log 20
k = 1 + 3,322 (1,301)
k = 1 + 4,322
k = 5,322
3. Nilai tertinggi = 9750
Nilai terendah = 215
Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907
5 7847 9754 1 7846.5
9754.5
No Perusahaan Harga saham
1 Jababeka 215
2 Indofarma 290
3 Budi Acid 310
4 Kimia farma 365
5 Sentul City 530
6 Tunas Baru 580
7 proteinprima 650
8 total 750
9 Mandiri 84010 Panin 1200
11 Indofood 1280
12 Bakrie 1580
13 Berlian 2050
14 Niaga 2075
15 Bumi resources 2175
16 BNI 3150
17 Energi mega 3600
18 BCA 5350
19 Bukit Asam 6600
20 Telkom 9750
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 32/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
21 IT TELKOM
Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas
atau kategori
4. Lakukan penturusan atau tabulasi data
Kelas Interval Frekuensi Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 IIIII IIIII IIII 14
2 2123 4030 III 3
3 4031 5938 I 1
4 5939 7846 I 1
5 7847 9754 I 1
I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif :
Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan
frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca datasecara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.
Kelas
1 215 2122
2 2123 4030
3 4031 5938
4 5939 7846
5 7847 9754
Interval
2122
2123
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 33/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
22 IT TELKOM
I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik
Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam
bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu
grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik
kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya.
1. Grafik Histogram
Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk
tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau
selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam
mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang
berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu
horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y).
Contoh Histogram:
Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F)
1 215 2122 14
2 2123 4030 3
3 4031 5938 1
4 5939 7846 1
5 7847 9754 1
Gambar 0.2 Contoh Histogram
Contoh Distribusi Frekuensi Relatif :
Kelas Interval Jumlah Frekuensi
(F) Frekuensi relatif (%)
1 215 2122 14 70
2 2123 4030 3 15
3 4031 5938 1 5
4 5939 7846 1 5
5 7847 9754 1 5
10
15
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 34/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
23 IT TELKOM
2. Grafik Polygon
Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik – titik yang merupakan
koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut.
Contoh Grafik Polygon:Kelas Nilai Jumlah
Tengah Frekuensi (F)
1 1168.5 14
2 3076.5 3
3 4984.5 1
4 6892.5 1
5 8800.5 1
Gambar 0.3 Contoh Grafik Polygon
3. Kurva Ogif
Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval
kelas dengan frekuensi kumulatif.
Contoh kurva ogif:
Kelas nterval
Nilai Tepi Kelas Frekuensi kumulatif
Bawah Atas Kurang dari Lebih dari
1 215 2122 214.5 0 20
Jumlah Frekuensi (F)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5
Jumlah
Frekuensi (F)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 35/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
24 IT TELKOM
2 2123 4030 2122.5 14 6
3 4031 5938 4030.5 17 3
4 5939 7846 5938.5 18 2
5 7847 9754 7846.5 19 1
9754.5 20 0
Gambar 0.4 Contoh kurva ogif
4. Box plot
Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi
kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian
tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3,
dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :
25% 25% 25% 25%
Xmin K1 K2 K3 Xmax
Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai.
Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan :
Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median
Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak
antara K1 dan K3
0
5
10
15
2025
1 2 3 4 5 6
Interval kelas
F r e k u a n s i K u m u l a t i f
Kurang dari
Lebih dari
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 36/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
25 IT TELKOM
Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak
median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif
(menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke
K3.Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau
tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilai-
nilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung
menggunakan rumus :
Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat
(∗), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο).
Gambar 0.5 contoh boxplot
5. Diagram dahan daun
Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini
sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk
sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahan-
daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi
visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi
antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada
histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data.
Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua
bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun. Angka yang menjadi
daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 37/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
26 IT TELKOM
Gambar 0.6 contoh diagram batang daun
Stem-and-leaf of C1 N = 30
Leaf Unit = 1.03 0 3335 0 457 0 66
11 0 8899
(6) 1 00001113 1 22239 1 557 1 66 1 884 2 012 2
2 2 44
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 38/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
27 IT TELKOM
SOAL – SOAL SAMPLING
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan:
a) Sampling seadanya
b) Sampling purposif c) Sampling pertimbangan
d) Sampling kuota
e) Sampling nonpeluang
f) Sampling peluang
g) Sampling acak
h) Sampling proporsional
i) Sampling petala
j) Sampling area
k) Sampling sistematik
l) Sampling ganda
m) Sampling tunggal
n) Sampling multiple
o) Sampling sekuensial
p) Sampling klaster
2. Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud
dengan kekeliruan nonsampling!
3. Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara:
a) Pengembalian
b) Tanpa pengembalian
c) Ada berapa buah sampel yang mungkin?
4. Diberikan sebuah populasi dengan data:
23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24
Diambil sampel berukuran dua.
a) Ada berapa buah sampel semuanya? b) Berikan semua sampel yang mungkin!
c) Tentukan rata-rata tiap sampel!
d) Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya!
e) Hitunglah rata-rata populasi!
f) Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak?
5. PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yangrelatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. ApabilaPT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut
dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 39/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
28 IT TELKOM
berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dankolom ke-1.
6. PT Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP ingin
mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya.Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan denganmenggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaanmasing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.
Kelompok/Strata Jumlah Perusahaan
Tenaga kerja 1-5 5
Tenaga kerja 6-10 15
Tenaga kerja 11-15 20
Tenaga kerja 16-20 5
Tenaga kerja 21-25 10
Tenaga kerja >25 5
7. Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7.
Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian,
Carilah:
a) Rata2 dan simpangan baku populasi
b) Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya.
c) Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?
8. Diketahui data sbb:
Umur: 29 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59
Frek.: 1 1 3 4 2 3 2 2 3 1 1 1
Buatlah diagram kotak garisnya /box plot
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 40/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
29 IT TELKOM
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 41/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
30 IT TELKOM
BAB II DISTRIBUSI SAMPLING
Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi
yaitu:
a) Distribusi sampling rataan Z
b) Distribusi sampling rataan T
c) Distribusi sampling proporsi
d) Distribusi sampling proporsi 2 populasie) Distribusi sampling variansi
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan
macam-macam distribusi sampling.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab5. Tes akhir
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 42/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
31 IT TELKOM
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan
prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi
Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan
kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering
menggunakan sampel dari populasi tersebut.
Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan
250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas
minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh = 246 ml, dan berdasarkan
hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-
rata isi = 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang
tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan
ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel
seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai yang didapat nantinya
berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin
tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada
sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu
statistik disebut dengan distribusi sampel.
II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z
Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan dan
variansi σ2. Tiap pengamatan i, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi
normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat
merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 43/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
32 IT TELKOM
Berdistribusi normal dengan rataan
Dan variansi
CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET
Bank Retun On Asset %
Bank Bukopin 2
Bank BCA 4Citi Bank 6
Bank Jabar 4
Bank Tugu 4
a. Nilai rata-rata populasi
=X/N = 2 + 4 + 6 + 4 + 4 = 20/5 = 4
5
b. Nilai rata-rata populasi dan sampel apabila
diambil sampel 2 dari 5 bank
1) Kombinasi
N
C = N!/n! (N - n)! = 5!/2!(5 - 2)! = 10n
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 44/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
33 IT TELKOM
CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET
2) Perhitungan rata-rata dari setiap sampel
3) Nilai rata-rata sampel
X C
X N
n
1
440/1045 5 44 5 33 4310
1X
Bank Kombinasi Retun On Asset % Rata-rata Hitung
Bukopin-BCA 2 + 4 (6/2)= 3
Bukopin-Citibank 2 + 6 (8/2)= 4
Bukopin-Bank Jabar 2 + 4 (6/2)= 3
Bukopin-Bank Tugu 2+ 4 (6/2)= 3
BCA-Citibank 4 + 6 (10/2)= 5
BCA-Bank Jabar 4 + 4 (8/2)= 4
BCA-Bank Tugu 4 + 4 (8/2)= 4
Citi Bank-Bank Jabar 6 + 4 (10/2)= 5Citi Bank-Bank Tugu 6 + 4 (10/2)= 5
Bank Jabar-Bank Tugu 4 + 4 (8/2)= 4
x
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 45/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
34 IT TELKOM
CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET
c. Nilai rata-rata populasi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 4 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
3 4 5
Distribusi probabilitas dalam bentuk poligon
X
Nilai Frekuensi Probabilitas Nilai Frekuensi Probabilitas
2 1 (1/5)= 0,20 3 3 (3/10)= 0,30
4 3 (3/5)= 0,60 4 4 (4/10)= 0,40
6 1 (1/5)=0,20 5 3 (3/10)= 0,30
Jumlah 5 1.00 10 1.00
Populasi Sampel
X
X
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 46/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
35 IT TELKOM
CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET
d. Standar deviasi populasi
(X - ) ( X - ) 2X
2 -2 4
4 0 0
6 2 4
4 0 04 0 0
(X - ) ( X - ) 2
X = 20
= 20/5 = 4
( X - ) 2= 8.0
= ( X - ) 2/N = 8/5 = 1,3
Standar deviasi populasiN
X
2)(
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 47/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
36 IT TELKOM
CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET
Standar deviasi sampel 2
N
n
1s X x
C
X
3 -1 1
4 0 0
3 -1 1
3 -1 1
5 1 1
4 0 0
4 0 0
5 1 1
5 1 1
(X - ) ( X - ) 2
X = 40
x = 40/10 = 4
( X - ) 2= 6,0
x = 1/CNn ( X -x)
2 =6/10 = 0,77
X
X
X
HUBUNGAN STANDAR DEVIASI SAMPEL
DAN POPULASI
Hubungan antara x dan untuk populasi terbatas
Hubungan antara x dan untuk populasi yang tidak terbatas
N ns
N 1n
sn
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 48/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
37 IT TELKOM
Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak,
maka distribusi sampel masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan dan
variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema
Limit Pusat, yaitu bila rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi denganrataan dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi
bila n
, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)
Hampiran normal untuk umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran
besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n <
30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila
populasinya normal, maka distribusi sampel akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran
sampelnya tidak menjadi masalah.
√
Contoh :
Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir
normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya
bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata
kurang dari 775 jam.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 49/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
38 IT TELKOM
Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan 1 dan variansi σ21,
dan yang kedua dengan rataan 2 dan variansi σ22. Misalkanlah statistik 1 menyatakan
rataan sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik
2
menyatakan rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua
sampel bebas satu sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, ,
berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansi :
Jawab :
Secara hampiran, distribusi sampel
akan normal dengan
= 800 dan
= 40 /
√ = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar
1.1. Nilai z yang berpadanan dengan = 775 adalah
Sehingga
P( < 775) = P( < -2,5)
= 0,0062
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 50/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
39 IT TELKOM
Sehingga
Secara hampiran merupakan peubah normal baku.
Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi sangat baik tidak
tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal
lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua
populasi normal, maka berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.
Contoh :
Suatu sampel berukuran n1 = 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi
normal dengan rataan 1 = 50 dan variansi σ2
1 = 9, dan rataan sampel 1 dihitung. Sampel
acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga
berdistribusi normal, dengan rataan 2 = 40 dan variansi σ2
1 = 4, dan rataan sampel 2
dihitung. Cari nilai P( < 8,2)!
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 51/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
40 IT TELKOM
SKEMA SELISIH POPULASI ATAU SAMPEL
Populasi 1
1, 1
Apakah
Sampel 2
berukuran
Sampel 1
berukuran
Populasi 2
2, 2
2121 , ,X X
22 xSX ,
11
xSX ,
OUTLINE
Distribusi selisih rata-rata
Distribusi selisih proporsi
211121 X X X x x
212121 p p p P p P P p p
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 52/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
41 IT TELKOM
DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN t
Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan
menghitung nilai S 2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S
2 akan berubah cukup besar
dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak ( √ ) menyimpang cukup jauh
dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang
dinamakan distribusi t, dengan
√
Jawab :
Dari distribusi sampel kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :
Rataan :
Variansi :
Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2.
berpadanan dengan nilai = 8,2, diperoleh
Sehingga
P( < 8,2) = P( < )
= 0,1401
√
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 53/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
42 IT TELKOM
Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat
kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
Diberikan oleh
Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.
Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal
dari populasi normal. Selanjutnya :
Dengan
Berdistribusi normal baku, dan
Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari
populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa
dan
bebas, oleh karena itu Z dan V juga
bebas. Sekarang akan kita turunkan distribusi T.
,- √ .
/
√
√
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 54/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
43 IT TELKOM
Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya
berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung
pada dua besaran yang berubah-ubah, dan , sedangkan nilai Z hanya tergantung pada
perubahan dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran
sampel, n , kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan
hubungan antara distribusi normal baku (v = ) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2
dan 5.
Gambar 1.3 Kurva distribusi t
Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka , yaitu nilai t yang luas sebelah
kanannya , atau luas sebelah kirinya , sama dengan minus nilai t yang luas bagian
kanannya
V = 2
V = 5
V =
0
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 55/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
44 IT TELKOM
II.2 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N.
Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n
dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :
1. Rata-rata
Contoh :
Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500
jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t
yang dihitung terletak antara -t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik tadi
akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari
sampel dengan rataan = 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi
waktu menyala ,secara hampiran,normal.
√
Jawab :
Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi
akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711
dan 1,711. Bila memang = 500, maka :
Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat
kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila
> 500, nilai t hasil perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar. Jadi pengusaha tadi
kemungkinan besar akan menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada yang
didudaganya semula.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 56/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
45 IT TELKOM
2. Simpangan baku jika populasi terbatas atau sampling tanpa pengembalian atau n/N
>5% :
3. Simpangan baku jika populasi tidak terbatas, atau sampling dengan pengembalian
atau n/N < 5%
4. Variabel random
Contoh :Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk
mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :
a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku sampel dari populasi ibu-ibu rumah tangga
yang memakai detergen A!
b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang
memakai detergen A, tentuka probabilitasnya!
Jawab:
a. Rata-rata = 0,1
b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 57/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
46 IT TELKOM
P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475
II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI
Terdiri dari 2 populasi.
Populasi 1 berukuran terdapat jenis dengan proporsi
Populasi 2 berukuran terdapat jenis dengan proporsi
Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran maka sampel ini akan mengandung
jenis dengan proposi . Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak
berukuran maka sampel ini juga akan mengandung jenis dengan proporsi
Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.
Distribusinya mempunyai :
a) Rata-rata
b) Simpangan baku
c) Variabe random
Contoh :
5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak
10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari
gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2%
lebih banyak disbanding gudang timur!
Jawab :
Gudang barat :
Gudang timur:
= proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel
= proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 58/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
47 IT TELKOM
=
Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka
> 0,02 sehingga diperoleh :
Jadi probabilitasnya adalah P
= P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 =
90,32 %
II.4 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI
Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi , dan variansi
sampel dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic . Variansi sampel hasil
perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk . Karena itu statistic disebut
penaksir .
Taksiran selang untuk dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.
Contoh
Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan
simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah
pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?
Jawab
Mula-mula dihitung variansi sampel :
= 0,815
Kemudian
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 59/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
48 IT TELKOM
Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai
dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan
menggunakan = 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk
mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 60/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
49 IT TELKOM
SOAL – SOAL
1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan
sampling pengembalian diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran
5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan
untuk :
a) rata-rata ke 1000 rata-rata?
b) varians ke 1000 rata-rata?
c) rata-rata ke 1000 varians?
2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku
6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata
maksimum 0,5 cm.
a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel?
Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa :a) Paling sedikit 155 cm
b) Paling besar 175 cm
c) Antara 158 cm dan 172 cm
d) Kurang dari 160 cm
3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah
sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata :
a) antara 62 dan 72
b) paling sedikit 72,5c) kurang dari 67
5. Diberikan dua buah populasi dengan:
data populasi I: 3,2,3,5,4,8.
data populasi II: 10,12,15,10.
a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II
semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu :
b) Hitung rata-rata kedua populasi.
c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini
µx dan µy.
d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan
populasi II. Apa yang nampak?
e) Bagaimana untuk µx + µy ?
6. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300
jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi
diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari
sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A
paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dariB.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 61/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
50 IT TELKOM
7. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500
lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai
rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampelrandom sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata
daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?
8. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12Januari 2004.
Perusahaan Harga persaham
PT Rajawali 275
PT Bukaka Plantindo 280
PT London 500
PT Inti Boga 350
PT Surya Pangan
Nusantara
575
Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata
hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan
dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?
8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003
Perusahaan Hasil Investasi (%/tahun)
Nikko 17
Investa 15
GTF Tunai 10
Dana Investa 11
Phinis Dana Kas 14
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 62/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
51 IT TELKOM
Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3
perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi
sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan
perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.
9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT IndahKarya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangkaefisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari totalkaryawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT IndahKarya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda
persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT DharmaRaya?
10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalamkonveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkanmempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU.menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan
pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntunganrata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkanselisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebuttercapai?
11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi = 6, akan mempunyai variansi
a) Lebih besar dari 9,1;
b) Antara 3,462 dan 10,745
c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.
12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM diJawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila
pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai.
13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan
elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16
baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai – berada antara dan
maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya
diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai = 27,5 jam dengan
simpangan baku = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 63/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
52 IT TELKOM
14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg.
Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel
ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9,
2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg?
15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok
kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai
tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai
pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka:
a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000
dan Rp.30.000?
b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000?
c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling
besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas
berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak?
16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik.
Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk
pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas
yang baik:
a) Antara 90% dan 98%?
b) Paling sedikit 97,5%?
17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukulrata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika
dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B
diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan:
a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A?
b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A?
18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih
menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk
lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan
lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ.
19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :
x x
x x f 3
)5/3()5/2)(3
()( x=0,1,2,3
= 0 untuk lainnya
Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X2
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 64/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
53 IT TELKOM
20. Misalkan adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform
dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ ≤ 2/3)
21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y
22. Diketahui adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial
dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ ≤ 4)
23. Hitunglah P(39,75
) dimana
adalah rata-rata dari sampel acak
ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. =8
24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf
f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2
; 0 untuk yang lainnya
a) Hitung µ dan
b) Hitung P(2/3 )
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 65/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
54 IT TELKOM
BAB III TEORI ESTIMASI
Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan
besaran-besaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample.
Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi:
a) Teori estimasi berdasarkan rataan
b) Teori estimasi berdasarkan proporsic) Terori estimasi berdasarkan variansi
Pokok bahasan pada materi “teori estimasi” dititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik
untuk satu populasi ataupun dua populasi.
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak
diketahui berdasarkan statistik sampel.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan,
proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi.
2. Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 66/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
55 IT TELKOM
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 67/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
56 IT TELKOM
Penduga Tidak Bias
SIFAT-SIFAT PENDUGA
E( ) = E( )
Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias Gambar B Penduga Bersifat Bias
Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator ) jika di
dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau
nilai harapan (expexted value, ) dari statistik sampel sama dengan
parameter populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( ) = .
X
X
X X
Penduga Efisien
SIFAT-SIFAT PENDUGA
sx12 < sx2
2
sx12
sx22
Penduga yang efisien (efficient estimator ) adalah penduga yang tidak bias dan
mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 68/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
57 IT TELKOM
DEFINISI
Penduga Konsisten
Penduga yang konsisten (consistent estimator ) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin
mendekati nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n).
n kecil
n sangat besar
n besar
n tak terhingga
X
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 69/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
58 IT TELKOM
III.1 ESTIMASI RATAAN
III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel
DEFINISI
Pendugaan interval:
Pendugaan interval adalah menyatakan jarak di dalam mana
suatu parameter populasi mungkin berada.
Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik . Sebaran statistik ini berpusat
pada µ dan variansinya lebih kecil daripada estimator lain.
, sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang
semakin kecil.
Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya
cukup besar, dapat diturunkan sbb :
Dari gambar di atas
( ⁄ ⁄ ) = 1 - α, dimana √
Jadi
⁄
√ ⁄ ⁄
atau
⁄
√ ⁄
√
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 70/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
59 IT TELKOM
Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui dan mean
yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.
√ √
III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; diketahui
Bila rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi 2 yang
diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah
√
√
zα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan
0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya.
Jawab : titik estimasi adalah = 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat
didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di
sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu
selang kepercayaan 95% adalah
2.6 – (1.96) (0.3)/√ ) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/√ ) atau
2.50 < µ < 2.70
Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang
kepercayaan ini adalah :
2.6 – (2.575) (0.3/√ ) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/√ ) atau
2.47 < µ < 2.73
Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya.
III.1.3 Kesalahan estimasi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 71/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
60 IT TELKOM
DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI
POPULASI TIDAK DIKETAHUI
Standar error untuk populasi tidak terbatas
Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05:
Distribusi t dengan n=25
Distribusi t dengan n=5
Distribusi normal standar
Distribusi t dengan n=15
n
SS
x
1
N
nN
n
SS
x
Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat
selang, mengestimasi µ tanpa kesalahan.
Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara dengan µ, dan kita
percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari zα/2(σ/
√ ).
Teorema : jika digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa
nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/√ ).
Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel
= 2.6 berbeda sebesar
0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13.
Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa
kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian
hingga zα/2(σ/√ ) = e.
Teorema : jika digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa
kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah
⁄ ⁄ 2
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 72/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
61 IT TELKOM
Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk
melakukan estimasi variansi tersebut.
FAKTOR UKURAN SAMPEL
Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel
1. Tingkat keyakinan yang dipilih.2. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan.
3. Variasi dari populasi.
Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita
ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05?
Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk
menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh zα/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas
n = ⁄ ⁄ 2 = [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3
dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan
hasil estimasi yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.
III.1.4 Sampel sedikit
Bagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat
dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini
T = √ ⁄
Prosedur lain sama dengan yang sebelumnya.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 73/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
62 IT TELKOM
Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir
P(-tα/2<T< tα/2) = 1 – α
Di mana tα/2 adalah nilai t untuk derajat bebas n-1. Luas sebelah kanan nilai ini adalah α/2,
dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari -tα/2 juga α/2. Substitusi untuk T menghasilkan
P(-tα/2<( √ ⁄ )< tα/2) = 1 – α
Maka diperoleh P( ⁄ √ ⁄ √ ) = 1 – α
Dengan demikian, untuk n sampel, mean dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 –
α)100% diberikan oleh ⁄ √ ⁄ √
III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui.
Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% untuk µ adalah:
⁄ √
⁄ √
Dimana dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu
populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan ⁄ adalah nilai distribusi-t dengan derajat
bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.
Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,
10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainer-
kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 74/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
63 IT TELKOM
Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel =10.0 dan simpangan baku sampel
s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu,
selang kepercayaan 95% dari adalah
10.0 – (2.447) (0.283 / √ )< < 10.0 + (2.447) (0.283 / √ ), atau
9.74< <10.26
Tambahan soal latihan estimasi rataan
1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang
dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter.
Hitunglah selang kepercayaan untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan mesin
tersebut bila:
a) sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.
b) sampel acak 9 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.
2. Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk
membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia
perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan
sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.
III.2 ESTIMASI PROPORSI
Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic
dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi
sampel
⁄akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.
Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau
1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel .
Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan
keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai
jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka hanyalah rataan sampel dari n
nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi hampir
normal dengan rataan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 75/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
64 IT TELKOM
( ) ./
Dan variansi
⁄
Dengan demikian dapat dituliskan
⁄ ⁄
Dengan
⁄
dan ⁄ menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah
seluas. Gantikan Z dalam ketidaksamaan
⁄ ⁄ ⁄ Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan ⁄ , kemudian kurangi dengan dan kalikandengan -1, diperoleh
⁄ ⁄ Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang
kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar,
galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik
⁄. Dalam hal
demukian, maka dapat ditulis
⁄ ⁄ Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel ⁄ , maka
hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p dapat diperoleh.
Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara
mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 76/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
65 IT TELKOM
digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu dan
lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter
binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi
hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1
Selang kepercayaan sampel-besar untuk p
Bila menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan
, maka hampiran selang kepercayaan (1-) 100% untuk parameter binomial p
adalah
< p <
dengan menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.
Contoh 1
Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton,
Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95%
untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut.
Jawab
Taksiran titik untuk p ialah . Dari table diperoleh . Jadi, selang
kepercayaan 95% untuk p adalah
Yang, bila disederhanakan akan menjadi
0,64 < p < 0,72
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 77/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
66 IT TELKOM
Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1-) 100% maka menaksir p
tanpa galat. Tapi, biasanya, tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset
(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara dan p, dan
dengan selang kepercayaan (1- ) 100% selisih ini akan lebih kecil dari ⁄ ⁄ .
Teorema 1
Bila
dipakai sebagai taksiran p , galatnya akan lebih kecil daripada
⁄ ⁄
dengan kepercayaan (1-α) 100%.
Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel berbeda dengan proporsi p yang
sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan
berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p tidak
melebihi suatu besaran g . Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar
⁄ ⁄
Teorema 2
Bila dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan (1-α) 100% galat
akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar ⁄
Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n
digunakan , padahal dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa
mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak
tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan
menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 78/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
67 IT TELKOM
derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan
ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.
Contoh 2
Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02
dengan kepercayaan 95%?
Jawab :
Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran
. Maka menurut teorema 3
Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak
akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%.
Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan
ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n
dapat diperoleh dengan menyadari bahwa ⁄ , karena terletak antara 0
dan 1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi
. / . /,
yang selalu lebih kecil dari ⁄ kecuali bila p = ⁄ yang mengakibatkan ⁄ . Jadi,
bila dimasukkan
⁄pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup
berbeda dengan ⁄ , maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf
kepercayaan yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan
meningkat.
Teorema 3
Bila dipakai sebagai taksiran p , maka dengan kepercayaan paling sedikit (1-α) 100%
galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel
⁄
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 79/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
68 IT TELKOM
Contoh 3
Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan
kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02?
Jawab
Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk
menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita
peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih
ukuran sampe l
Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran)
mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman
masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap
mempertahankan taraf ketelitian semula.
MENAKSIR SELISIH RATA-RATA.
Dalam hal ini kita berhubungan dengan dua buah populasi yang selisih rata-ratanya
( μ1 – μ2 ) akan kita taksir.
a. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika σ1 dan σ2 diketahui:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 80/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
69 IT TELKOM
Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rata-rata sampel acak berukuran n1 dan n2 yang
diambil dari populasi dengan simpangan baku σ1 dan σ2 diketahui.:
2
2
2
1
2
12/2121
2
2
2
1
2
12/21 )()(
nn
Z x x
nn
Z x x
b. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika simpangan baku σ1
dan σ2 tidak diketahui tetapi σ1 = σ2 :
21
2/2121
21
2/21
11)(
11)(
nnSpt x x
nnSpt x x
dimana Sp= dugaan simpangan baku populasi
2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
S nS nSp
dengan dk = ν = n1 + n2 -2
c. jika simpangan baku σ 1 dan σ 2 tidak diketahui dan σ1 ≠ σ 2 :
2
2
2
1
2
12/2121
2
2
2
1
2
12/21 )()(
n
S
n
S t x x
n
S
n
S t x x
dengan dk =)]1/()/[()]1/()/[(
)//(
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
nnS nnS
nS nS
Contoh:
Masa pakai barang A yang dihasilkan oleh dua pengusaha akan diteliti. Dari barang yang
dihasilkan oleh pengusaha 1 diteliti 150 buah dan dicatat masa pakainya. Rata-ratanya
1400 jam dean simpangan baku 80 jam.Barang yang dihasilkan pengusaha II diteliti
sebanyak 100 buah. Ternyata rata-ratanya = 1300 jam dan S = 70 jam. Carilah interval
taksiran selisih rata-ratanya. dengan kepercayaan 95%.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 81/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
70 IT TELKOM
Jawab:
Asumsi σ 1 = σ 2
55422100150
4900)1100(6400)1150(2
Sp
sehingga sp= 74,5
dari daftar t dengan kepercayaan 95% dan V= 248 didapat t0,05(248)= 1,96
100
1
150
1)5,74(96,1)13001400(
100
1
150
1)5,74(96,1)13001400( 21
8,1152,84 21
Ditaksir bahwa selisih rata-rata masa pakai barang A yang dihasilkan oleh kedua
pengusaha terletak antara 84,2 s/d 115,8 jam dgan keyakinan 95%.
III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi
Pandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai
contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsiyang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua
proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2
dari dua populasi binomial dengan rataan n1 p1 dan n2 p2 serta variansi n1 p1q1 dan n2 p2q2,
kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap
sampel, dan tentukanlah proporsi ⁄ dan ⁄ . Penaksir titik untuk selisih
dua proporsi p1- p2 adalah statistik . Jadi, selisih kedua proporsi sampel, ,
akan digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .
Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel
. Dari materi menaksir proporsi diketahui dan masing-masing berdistribusi
hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan
mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah akan
bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat
disimpulkan bahwa
berdistribusi hampir normal dengan rataan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 82/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
71 IT TELKOM
= p1 – p2
dan variansi
Dengan demikian dapat ditulis
( ⁄ ⁄ )
Dengan
(
)
. / . /Dan ⁄ nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya ⁄ . Ganti Z pada
rumus di atas, maka dapat ditulis
[ ⁄ ( )
.
/ .
/ ⁄
]
Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah
tanda akar dengan taksirannya ⁄ , ⁄ , dan , asal
saja dan semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh
hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk .
Selang kepercayaan untuk
Bila menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran
, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100%
untuk selisih kedua parameter binomial, , adalah
⁄
⁄
Bila ⁄ nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya ⁄
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 83/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
72 IT TELKOM
Contoh 4
Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil
dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan
perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80
dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk
selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat
dalam cara lama dan baru. Jadi
⁄
dan
⁄
, dan
taksiran titik untuk ialah
Dari table diperoleh . Jadi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas,
maka diperoleh kepercayaan 90%,
,
Yang disederhanakan, menjadi
-0,0017 < p1 – p2 < 0,0217
Karena selang ini mengandung nilai 0, tak ada alasan mempercayai bahwa cara baru tersebut
memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding
dengan cara lama.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 84/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
73 IT TELKOM
Latihan soal
1. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas
Elpiji. Cari selang kepercayaan 99% untuk proporsi rumah di kota tadi yang
menggunakan gas Elpiji.
2. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai
meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunyai peluang
berhasil meluncurkan sebuah roket p =0,8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan
sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.
a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p
b) Apakah kenyataannya cukup besar untuk mendukung
3. Berapakah sampel yang diperlukan di soal 1 bila diinginkan yakin 99% bahwa
proporsi sampel paling banyak berjarak 0,05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah
di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji.
4. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota
yang memilih arinya diberi flour. Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila
seseorang berharap yakin paling sedikit 95% taksirannya paling banyak sejauh 1%
dari presentasi sesungguhnya?
5. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih
banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai
merk A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang
kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan
apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 85/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
74 IT TELKOM
6. Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang ahli
psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya 0,08 detik. Untuk menentukan
berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil rata-rata waktu reaksi dengan
kepercayaan 95%, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik, asumsiapakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi? Tentukan berapa orang
yang perlu diukur! Bagaimana jika dikehendaki kepercayaan 99%? Apa yang tampak?
7. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152,
149, 148, 200, 182, 164.
Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan, 95% untuk rata-
rata berat tomat.
8. Sampel acak yang terdiri atas 400 petani, ternyata 65% tidak memiliki tanah sendiri.
Tentukan interval kepercayaan 95% persentase sebenarnya untuk para petani yang
memiliki tanah sendiri. Bagaimana jika koefisien kepercayaannya diambil 0,99?
Jelaskan apa yang tampak?
9. Diberikan dua buah sampel dengan data:
Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63
yang diambil dari dua buah populasi.Untuk menentukan batas-batas interval kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya
antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil? Tentukan interval kepercayaan 95%
untuk selisih tersebut jika:
a) Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5.
b) Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya.
c) Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar.
10. Hasil dua jenis semacam tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah
sebagai berikut:
Jenis I : 39,3 – 45,5 – 41,2 – 53 – 44,2 – 42,5 – 63,9
Jenis II : 51,5 – 39,4 – 41,2 – 56,7 – 35,7
Tentukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnya!
11. Metode latihan pertama telah digunakan terhadap 250 orang dan 160 dinyatakan
berhasil. Metode latihan kedua dilakukan terhadap 300 orang dan 225 berhasil.
Tentukan interval kepercayaan 0,95 untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang
berhasil, juga untuk interval kepercayaan 0,99! Apa yang tampak?
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 86/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
75 IT TELKOM
III.3 ESTIMASI VARIANSI
Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi dan variansi
sampel S2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil
perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk . Karena itu statistik S
2
disebut penaksir .
Taksiran selang untuk dapat diturunkan dengan menggunakan statistic
Statistik berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n – 1 bila sampel berasal dari
populasi normal.
Jadi, dapat ditulis
. ⁄ ⁄ /
Bila ⁄ dan ⁄ masing- masing menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan n -1 , sehingga luas di sebelah kanannya 1- ⁄ dan ⁄ . Ganti dalam
rumus di atas, peroleh
⁄ ⁄
Bagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan (n-1) S2 , dan kemudian balikkan tiap suku
(jadi ubah arah ketidaksamaan), maka diperoleh
⁄
⁄
Untuk ukuran sampel n, hitunglah variansi sampel S2 , maka diperoleh selang kepercayaan (1-
α) 100% untuk .
Selang kepercayaan (1-α)100% untuk diperoleh dengan menarik akar setiap ujung selang
untuk .
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 87/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
76 IT TELKOM
Selang kepercayaan untuk
Bila S2 variansi sampel acak ukuran n dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α)
100% untuk variansi
diberikan oleh
⁄
⁄
Bila ⁄ dan ⁄ menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar ⁄ dan 1 - ⁄ .
Contoh 5
Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang
dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1 , 45,8 , 47,0 , 46,1 , 45,9 , 45,8 , 46,9 , 45,2 dan
46, 0 . Carilah selang kepercayaan 95 % untuk variansi semua bungkusan bibit yang
dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal.
Jawab
Mula-mula hitunglah
∑ ∑
Untuk memperoleh selang kepercayaan 95%, ambil α = 0,05. Dari table chi -kuadrat untuk
derajat kebebasan diperoleh dan
Jadi, selang kepercayaan 95% untuk
atau
0,135 < < 0,953
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 88/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
77 IT TELKOM
III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi
Taksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi ⁄ diberikan oleh nisbah
variansi sampel ⁄ . Karena itu statistik ⁄ disebut penaksir ⁄ .
Bila dan variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk ⁄ dapat
diperoleh dengan memakai statistic
Menurut teorema 6.20, peubah acak F mempunyai distribusi-F dengan derajat kekebasan
dan . Jadi, dapat ditulis (lihat gambar 7.8)
⁄ ⁄ , bila ⁄ dan ⁄
menyatakan nilai distribusi F dengan derajat kebebasan dan sehingga di sebelah
kanannya, masing-masing, luasnya 1- ⁄ dan ⁄ . Ganti F dalam rumus di atas, diperoleh
⁄
⁄
Gambar 7.8
Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan ⁄ dan balikkan tiap suku (ubah arah
ketidaksamaan) diperoleh
⁄
⁄
Hasil teorema 6.19 memungkinkan kita mengganti ⁄ dengan 1/ ⁄ . Jadi
⁄
⁄
Untuk dua sampel acak bebas ukuran n1 dan n2, yang diambil dari dua populasi normal,
hitunglah nisbah variansi sampel ⁄ , maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100%
untuk ⁄ .
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 89/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
78 IT TELKOM
Seperti pada pasal 7.10, selang kepercayaan (1- α) 100% untuk ⁄ , dapat diperoleh
dengan mengambil akar setiap ujung selang untuk ⁄ .
Selang kepercayaan untuk
⁄
Bila dan variansi dari sampel bebas masing-masing ukuran n1 dan n2 dari populasi
normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk nisbah ⁄ adalah
⁄
⁄
Bila ⁄ menyatakan f 1 dengan derajat kebebasan dan ,
sehingga luas di sebelah kanannya
⁄, dan
⁄ menyatakan nilai f yang sama
dengan derajat kebebasan dan
Contoh :
Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter,
pada dua stasion di sungai James telah dihitung di contoh 7.8 dengan menganggap kedua
variansi populasi normal tidak sama. Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat
selang kepercayaan 98% untuk ⁄ dan untuk ⁄ , bila dan variansi populasi
kadar ortofosfor masing-masing di stasion 1 dan 2.
Jawab
Dari contoh 7.8 diperoleh n1 = 15, n2 = 12, s1 = 3,07 dan s2 = 0,80 . Untuk selang
kepercayaan 98%, α = 0,02. Dengan menggunakan interpolasi dari tabel, kita peroleh
Jadi, selang kepercayaan 98 % untuk ⁄ adalah
Yang, bila disederhanakan, menjadi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 90/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
79 IT TELKOM
Ambil akar batas kepercayaan selang ini maka diperoleh selang kepercayaan 98% untuk
⁄ adalah
Karena selang ini tidak mencakup kemungkinan ⁄ sama dengan 1, maka anggapan
bahwa atau di contoh 7.8 mendapat dukungan dari data
Sampai tahap ini semua selang kepercayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik
K g.b
(taksiran titik), K disini suatu tetapan (ataukah r ataupun titik perseratus normal). Hal ini
benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi.
Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk variansi dan nisbah dua variansi.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 91/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
80 IT TELKOM
Latihan soal
1. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3
tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9 , 2,4 , 3,0 , 3,5
dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk dan jelaskan apakah
pernyataan perusahaan tadi bahwa = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi
baterai berdistribusi hampiran normal.
2. Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi,
sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr.W.H.
Bowen dari Institut Kesehatan Nasional dab Dr. J. Yudhen, Profesor Nutrisi dan Diet
di Universitas London. Dalam suatu sampel acak 20 porsi yang sama Alpha-Bits
(sejenis sereal) rata-rata kadar gulanya 11,3 gr dengan simpangan baku 2,45 gr. Bila
dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang kepercayaan 95%
untuk !
3. Suatu percobaan yang dipopulerkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama.
Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalam uji coba pada kecepatan
tetap 90 km per jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempuh 16 km per liter dengan
simpangan baku 1,0 liter per km dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km per liter dengan
simpangan baku 0,8 km per liter, buatlah selang kepercayaan 98% untuk ⁄ , bila
dan masing-masing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan
bakar oleh truk VW dan Toyota.
4. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B
untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu
percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek
A : , s1 = 5000 km ; merek B : , s2 = 6100 km.
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk
⁄. Apakah anggapan bahwa
mendapat dukungan dalam membuat selang kepercayaan untuk ?
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 92/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
81 IT TELKOM
5. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas
Elpiji.
a) Cari selang kepercayaan 99% bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang
menggunakan gas Elpiji.
b) Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0.05 dari proporsi sesungguhnya dari
rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji
6. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai
meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunya
peluang berhasil meluncurka sebuah roket p=0.8. Sampel 40 peluncuran
percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.
a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p b) Apakah kenyataannya cukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih
baik? Jelaskan.
7. A. Menurut suatu laporan di koran Roanoke times & world news, 20 agustus
1981, sekitar 2/3 dari 1600 orang dewasa yang disigi lewat tilpon mengatakan
bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara
(AS). Cari selang kepercayaan 95% untuk proporsi orang AS dewasa yang
berpendapat bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik
bagi negara.
B. Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga
kepercayaan95% bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat
bahwa program pesawat ulang alik invesatasi yang baik sebesar 2/3
8. Washington University school of Dental Medicine di St. Louis, dua cangkir teh
hijau atau teh hitam Cina tiap hari sudah akan cukup memberi fluor untuk menjaga
gigi anda dari kerusakan. Mereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yangairnya tidak diberi fluor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi
fluor pada airnya. Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir
persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi fluor bila
diinginkan paling sedikit 99% yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh 1% dari
presentasi sesungguhnya.
9. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan
pinggirannya yang mendukung pendirian PLTN. Berapakah sampel yangdiperlukan agar yakin paling sedikit 95% bahwa taksirannya paling banyak
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 93/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
82 IT TELKOM
berjarak 0.04 dari proporsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan
pinggirannya uang mendukung pendirian PLTN?
10. Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan rata-rata gaji bulanankaryawan diperusahan A dan perusahan B. Untuk itu diambil sampel acak masung-
masing 9 orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka
diwawancara satu persatu. Hasil wawancara menunjukan bahwa gaji perbulan (dalam
dolar) karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb.:
Kywn 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gaji
perusahaan
A
40 46 50 36 38 34 42 44 30
Gaji
perusahaan
B
30 24 16 25 35 40 46 38 34
Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama.
Buatlah interval taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan rata-rata
gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut.
11. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih
banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih
menyukai merek A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah
selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek
dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.
12. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rata-
ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9, 2,4,
3,0, 3,5, dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan
apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur
populasi baterai berdistribusi hampiran normal.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 94/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
83 IT TELKOM
13. Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh
terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam cairan
tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan
lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan
baku 1,1 mm. sampel kedua dengan 200 potong logam yang sma direndam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku
0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98 % untuk selisih kedua rataan populasi.
Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?
14. Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State
University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis
antara akar pohon dan cendawan yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon
dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan
Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam sejenis
tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya
sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai
control dan setengah lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3. Berat
batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sbb:
Tanpa Nitrogen Nitrogen
0,32
0,53
0,28
0,37
0,47
0,43
0,36
0,42
0,38
0,43
0,26
0,43
0,47
0,49
0,52
0,75
0,79
0,86
0,62
0,46
Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak
mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 95/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
84 IT TELKOM
15. Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai
sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang
dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing;
Obat 1 Obat 2
N1= 14
ẋ1=17
s12=1,5
N2= 116
ẋ2= 19
s22= 1,8
Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat
µ1- µ2, anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
16. Suatu percobaan yang dilaporkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan
pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama.
Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalm uji coba pada kecepatan 90
km/jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempukh 16 km per liter dengan simpangan
baku 1,0 km per liter dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km dengan simpangan baku 0,8
per liter. Buat lah selang kepercayaan 90% untuk selisih antara rataan km per liter
kedua jenis truk mini. Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk
berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
17. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B
untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu
percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek
A: x1= 36.300 km, s1= 5000 km; merek B x2= 38.100 km, s2=6100 km. hitunglah
selang kepercayaan 95% untuk µ1- µ2, anggap kedua populasi berdistribusi hamper
normal.
18. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film
gambar hidup.
perusahaan Waktu (menit)
A 103 94 110 87 98
88 118B 97 82 123 92 175
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 96/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
85 IT TELKOM
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang
diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi
normal.
19. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk µ1- µ2 bila suatu ban dari tiap merek dipasang secara acak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam
km, adalah ;
20. Taksi 21. Merek A 22. Merek B
23. 1 24. 33,400 25. 36,700
26. 2 27. 45,500 28. 46,800
29. 3 30. 36,700 31. 37,700
32. 4 33. 32,000 34. 31,100
35. 5 36. 48,400 37. 47,800
38. 6 39. 32,800 40. 36,400
41. 7 42. 38,100 43. 38,900
44. 8 45. 30,100 46. 31,500
Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal.
20. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan universitas untuk
menguji kemampuan menghasilkan dua varietas gandum yang baru. Tiap varietas ditanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dalam
kilogram per petak, adalah sebagai berikut;
varietasUniversitas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38
Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43
HItunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap
bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat
berpasangan dalam soal ini.
21. Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-ratadari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbinganDepartemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalayadan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 jutadengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah
interval rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat!
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 97/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
86 IT TELKOM
22. Pemerintah DKI Jakarta mengadakan program peningkatan usaha kecil dan
menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah. Untuk
mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang
yang mengikuti proyek dan tidak. Pendapatan 13 orang dari 67 peserta yang ikut proyek
sebesar 1,2 juta perbulan dengan standar deviasi sebesar 0,2 juta. Sedang pendapatan 5orang dari 34 orang nonpeserta rata-rata sebesar 0,8 juta dengan standar deviasi 0,4.
Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%, buatlah interval keyakinan tentang
selisih dari kedua kelompok tersebut.
23. PT Lipo Karawaci yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akanmembangun perumahan di Sentul, Bogor. Untuk keperluan tersebut diadakan surveytentang daya beli masyarakat. Berdasarkan data di Kecamatan diketahui standar deviasi
pendapatan masyarakat sebesar 0,8 juta. Apabila diasumsikan bahwa kesalahan
penarikan sampel sebesar 0,1 juta, dengan tingkat kepercayaan 99%, berapa sampelyang harus diambil oleh PT Lipo Karawaci?
24. PT. Islamic Net ingin mengetahui jumlah rata-rata nilai penjualan per hari dari
tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya. Hasil sementara
menunjukkan rata-rata perjalanan 150 ribu dengan standar deviasi 14 ribu. Berapa
sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler
adalah 2 ribu dan tingkat keyakinan 99%?
25. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder.Sampel
beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99 ,
0.98,0.99,1.01, dan 1.03.Hitunglah selang kepercayaan 0.99% untuk rataan potongan
diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal.
26. Pengukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis cat lateks
merek tertentu.
3 ,4 2,5 4,8 2,9 3,6
2,8 3,3 5,6 3,7 2,8
4,4 4,0 5,2 3,0 4,8
Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel acak yang diambil dari populasi
normal, hitunglah batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% waktu
mengering.
27. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya :
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 98/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
87 IT TELKOM
1,01 0,97 1,03 1,04 0,99 0,98 0,99 1,01 dan 1,03 cm.
Hitunglah selang kepercayaan 99 % untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan
mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.
28. Diketahui x1 + x2 +......+ x7, diambil ample acak dari populasi yang mempunyai
rata-rata μ dan variansi . Perhatikan estimator µ sbagai berikut:
= (x1+x2+....+x7)/7
= (2x1 – x6 + x4)/2
Apakah kedua estimator unbiased?
Yang mana estimator terbaik?
29. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengann ukuran n dari populasi yang
dinotasikan sebagaii x, dan E(x) = μ dan var x =.
Diketahui 1 = ∑ dan 2 =
∑
Adalah dua estimator μ . Yang mana estimator μ yang lebih baik? Jelaskan pilihan anda.
30. Misalkan adalah estimator estimator θ . Kita tahu bahwa E( =
E( dan = θ, E( ≠θ, var =12, var =10 and E[ – θ] =6. Bandingkan ke
tiga estimator. Yang mana yang lebih baik? Kenapa?
31. In a binomial experiment exactly x successes are observed in n independent trials. The
following two statistics are proposed as estimators of the proportion parameter p: T1 =
x/n and T2 = (x+1)/(n+2)
Determine and compare the MSE for T1 and T2.
32. X1, X2, X3 and X4 adalah sample random dengan ukuran n= 4 dari suatu populasi
yang berdistribusi exponensial dengan parameter θ yang tidak diketahui.
Diantara:
T1= 1/6(x1+x2) + (1/3(x3+x4)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 99/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
88 IT TELKOM
T2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5
T3=(x1+x2+x3+x4)/4
Tentukan Statistik mana yang unbiased estimator dari θ?
Diantara estimator θ yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik
33. Diketahui populasi 1 dengan rata-rata = 80 dan simpangan baku=5, dan populasi 2
dengan rata-rata = 75 dan simpangan baku = 3, diambil sampel masing-masing n1= 25
dan n2=36.
Ditanya: berapa probabilitas (3,4≤1-2≤5,9)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 100/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
89 IT TELKOM
BAB IV UJI HIPOTESIS
Dalam bab ini akan dibahas bagaimana cara menguji suatu statemen dimana statemen
tersebut belum tentu kebenarannya. Uji hipotesis yang akan dibahas antara lain :
a) Uji menyangkut rataan
b) Uji menyangkut proporsi
c) Uji menyangkut variansi
Baik untuk satu ataupun dua populasi.
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan
dapat digunakan dalam situasi nyata.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian
masalah menggunakan uji hipotesis
3. Mahasiswa diharapakan dapat mengidentifikasi terhadap masalah yang dihadapi
perusahaan
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PENDAHULUAN
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 101/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
90 IT TELKOM
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
7. Penutup
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 102/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
91 IT TELKOM
IV.1 HIPOTESIS STATISTIK
DEFINISI
Pengujian hipotesa
Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada
bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah
hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh
karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar
dan oleh karena itu harus ditolak.
Pengujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar inferensi statistik. Hipotesis
statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak,
mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau
penolakan suatu hipotesis. Kebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan
pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Namun, karena tidak memungkinkan
memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel acak dan menggunakaninformasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.
Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK
hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan penolakan suatu
hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan
BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 103/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
92 IT TELKOM
PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II
Situasi H0 H0
Keputusan Benar Salah
Terima H0 Keputusan tepat (1 – a) Kesalahan Jenis ITolak H0 Kesalahan Jenis I (a) Keputusan tepat (
PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II
Kesalahan Jenis II
Adalah apabila keputusan menerima H0,
padahal seharusnya H0 salah"
Kesalahan Jenis I
Adalah apabila keputusan menolak H0, pada
hal seharusnya H0 benar"
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 104/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
93 IT TELKOM
MERUMUSKAN HIPOTESA
Hipotesa nol
Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi
Hipotesa alternatif
Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel
memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah
Prosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan Hipotesis Awal yang diharap
akan ditolak dan biasanya disebut dengan Hipotesis Nol (H0). Hipotesis Nol ini juga sering
menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti
nilai parameter. Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1).
H0 → ditulis dalam bentuk persamaan (=)
H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠)
Contoh 1
Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian
formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem
pendaftaran "ONLINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata-rata
waktu pendaftaran dengan sistem ONLINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang
lama”. Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit. Perumusan
hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)
H1 : µ < 50 menit (sistem baru lebih cepat dibanding sistem lama)
IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :
1. Uji Satu Arah (uji ekasisi)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 105/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
94 IT TELKOM
2. Uji Dua Arah (uji dwisisi)
Hipotesis nol (H0), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda
kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal. Untuk penggunaan uji ekasisi
dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika H0 ditolak. Letak daerahkritis (daerah penolakan H0) baru dapat ditentukan hanya setelah H1 ditentukan.
MENENTUKAN DAERAH KEPUTUSAN
Daerah tidak menolak Ho
Daerah penolakan
Ho
Skala z1,65
Probabilitas 0,95 Probabilitas 0,5
Daerah Keputusan Uji Satu Arah
Daerah Keputusan Uji Dua Arah
Daerah tidak
menolak Ho
Daerah penolakan
Ho
Daerah penolakan
Ho
0,025 0,0250,95
0-1,95 1,95
IV.2.1 Uji Ekasisi
Uji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah
kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam
uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) tidak dibagi dua,
karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang.
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung
pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 106/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
95 IT TELKOM
Gambar IV.1 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kiri
OUTLINE
Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0
Tidak menolak H0Tidak menolak H0
1,651,65
GambarA GambarB
H0 : mx £ 13,17 H0 :mpa – mpl³ 0
H1 : mx > 13,17 H1 : mpa – mpl < 0
Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung pada
ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 107/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
96 IT TELKOM
Gambar IV.2 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kanan
Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)
Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis
Langkah 1. Merumuskan Hipotesa
(Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))
Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata
(Probabilitas menolak hipotesa)
Langkah 3. Menentukan Uji statistik
(Alat uji statistik, uji Z, t, F, X2 dan lain-lain)
Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan
(Daerah di mana hipotesa nol diterima atau
ditolak))
Langkah 5. Mengambil Keputusan
Menolak H0 MenerimaH1Menolak H0
PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESA
IV.2.2 Uji Dwisisi
Uji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah
kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam
uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)
Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) dibagi dua, karena αdiletakkan di kedua sisi selang.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 108/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
97 IT TELKOM
Misalkan :
H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)
H1 : µ < µ0
Wilayah kritis : z < -z atau t < -t(db; ) (pengunaan z atau t tergantung pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil
menggunakan t)
Gambar IV.3 Wilayah Kritis untuk Uji Dwisisi
IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS
Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan
kesalahan (kesalahan = error = galat), yaitu:
Galat jenis 1 (α) : menolak H0 padahal H0 benar
Galat jenis 2 (β) : menerima H0 padahal H0 salah
Tabel IV.1 Kemungkinan Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Statistik
KesimpulanKeadaan Sebenarnya
H0 benar H0 salah
Terima H0 Keputusan benar Galat jenis 2
Tolah H0 Galat jenis 1 Keputusan benar
Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β. Dalam
perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis
alternatif sangat spesifik.
Contoh 2
Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25% setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk
menentukan apakah vaksin baru leih unggul daripada vaksin lama, dipilih 100 orang secara
acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari 2 tahun, 36 orang
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 109/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
98 IT TELKOM
atau lebih tidak terserang virus, maka vaksin baru dianggap lebih unggul daripada vaksin
lama. Hitung galat jenis I (α) dan galat jenis II (β) dengan p = !
Jawab :
H0 : p =
H1 : p >
Daerah kritis : x > 36 daerah penerimaan : x ≤ 36
(gunakan pendekatan distribusi normal baku)
a. µ = n . p = 100 . = 25 = = = 4,33
Z =
= = 2,66
Gambar IV.4 Peluang Suatu Galat Jenis I
α = P (galat jenis I)
= P (H0 tolak H0 benar)
= P (x > 36 p =)
= P (Z > 2,66)
= 1 - P (Z < 2,66)
= 1 – 0,9961
= 0,0039
b. µ = n . p = 100 . = 50 = = = 5
36,5
α
25
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 110/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
99 IT TELKOM
Gambar IV. Peluang Suatu Galat Jenis II
c. Z =
= = -2,7
α = P (galat jenis II)
= P (H0 terima H0 salah)
= P (x ≤ 36 p =)
= P (Z < - 2,7)
= 0,0035
Sifat-sifat galat :
Galat jenis I dan galat jenis II berkaitan. Memperkecil peluang yang satu dapat
biasanya memperbesar peluang yang lainnya.
Ukuran daerah kritis, jadi juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat
diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.
Menaikkan ukuran sampel nakan memperkecil α dan β secara serentak.
Bila H0 salah, β akan mencapai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekatdengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya
dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin kecil pula β.
Suatu pengertian yang amat penting yang berkaitan dengan kedua peluang galat ialah
perngertian kuasa uji. Kuasa suatu uji adalah peluang menolak H0 bila suatu tandingan
tertentu benar. Kuasa suatu uji dapat dinotasikan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan 1 – β.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 111/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
100 IT TELKOM
IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS
Untuk melakukan suatu uji hipotesis, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah
sebagai berikut :
1. Tentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis tandingan (H1).2. Pilih taraf keberartian α
3. Tentukan arah pengujian (ekasisi atau dwisisi)
4. Tentukan daerah kritisnya
5. Pilih uji statistik yang sesuai
6. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
7. Tentukan kesimpulan (tolak H0 bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah
kritis dan terima H0 bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis)
Beberapa nilai Z yang sering digunakan:
z5% = z0.05 =1.645 z2.5% = z0.025 =1.96
z1% = z0.01 = 2.33 z0.5% = z0.005 = 2.575
IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN
Pengujian hipotesis yang menyangkut rataan terdiri dari berbagai macam cara,
diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui, uji menangkut satu
rataan dengan variansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi diketahui,
uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui tapi 1=2 atau 1 ≠ 2, dan uji
menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan.
Tabel IV.2 Uji Menyangkut Rataan
NO
H0 Statistik H1 Daerah Kritis
1.
= 0 √
; diketahui
< 0 > 0 0
Z <- Z
Z > Z Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
2.
= 0 √ ⁄ ;
tidak diketahuiv= n-1
< 0 > 0 0
t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
3. 1- 2=d 0
z = ( ⁄ )( ⁄ ) ; 1- 2<d 0 1- 2>d 0
Z <- Z Z > Z
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 112/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
101 IT TELKOM
Contoh 3. Uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui
Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukan rata-rata usia mereka
71,8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8,9 tahun, apakah ini menunjukan bahwa rata-rata
usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf keberartian (α) 0,05.
Jawab :
1. H0 : µ = 70 tahun2. H1 : µ > 70 tahun
3. α = 0,05
daerah kritis z > 1,645Gambar IV.5 Daerah Kritis contoh 3.
4. perhitungan : = 71,8 tahun ; = 8,9 tahun
Z = √ =
√ = 2,02
5. Keputusan : Tolak H0 6. Kesimpulan : rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun.
Contoh 4. Uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang
dilapisi. Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin
pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan 1
memberikan rata-rata keausan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku 4 sedangkansampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel
1 dan 2 diketahui 1- 2 d 0 Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
4.
1- 2=d 0 ⁄ ⁄ ; v = n1+ n2 -2
1=2 tetapi tidak diketahui=
1- 2<d 0 1- 2>d 0
1- 2 d 0
t <- t
t > t
t <- t /2 ;t > t /2
5.
1- 2=d 0
( ⁄ )( ⁄ ) 1 ≠ 2 dan tidak diketahui
( ⁄ )( )
( )
1- 2<d 0 1- 2>d 0 1- 2 d 0
t <- t
t > t
t <- t /2 ;
t > t /2
6. D=d 0
√ ⁄
v = n-1 pengamatan berpasangan
D<d 0
D>d 0 1D d 0
t <- t
t > t t <- t /2 ;
t > t /2
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 113/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
102 IT TELKOM
5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada taraf kepercayaan 0,05 keausan bahan 1 melampaui
keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggaplah populasi hampir normal dengan
variansi yang sama.
Jawab :Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan populasi keausan bahan 1 dan bahan
2.
1. H0 : µ1 - µ2 = 2
2. H1 : µ1 - µ2 > 2
3. α = 0,05
4. daerah kritis t > 1,725
5. perhitungan :
1 = 85 ; s1 = 4 ; n1 = 12 ;
2 = 81 ; s2 = 5 ; n2 = 10
s p = = 4,478
t =
= 1,04
6. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui bahan 2
lebih dari 2 satuan.
Contoh 5. Uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan
Dalam makalah „ Influence of Physical Restraint and Restraint-Facilitating Drugs on Blood
Measuraments of White-Tailed Deer and Other Selected Mammals‟, Virginia Polythechnic
Institue and State University (1976), J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine
terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup
bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan succinylcholine pada otot
menggunakan panah dan senapan penangkap. Risa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap
dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sebagai
berikut: (anggap populasi androgen berdistribusi normal)
Rusa Androgen (ng/ml) di
Waktu
suntikan
30 menit setelah
suntikan
1 2,76 7,02 4,262 5,18 3,10 -2,08
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 114/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
103 IT TELKOM
3 2,68 5,44 2,76
4 3,05 3,99 0,94
5 4,10 5,21 1,11
6 7,05 10,26 3,21
7 6,60 13,91 7,31
8 4,79 18,53 13,74
9 7,39 7,91 0,52
10 7,30 4,85 -2,45
11 11,78 11,10 -0,68
12 3,90 3,74 -0,16
13 26,00 94,03 68,03
14 67,48 94,03 26,55
15 17,04 41,70 24,66
Dengan menggunakan taraf keberartian 0,05, apakah konsentrasi androgen berubah setelah
ditunggu 30 menit?
Jawab :
Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu
suntikan dan 30 menit setelah suntikan.
1. H0 : µ1 = µ2 atau HD : µ1 - µ2 = 0
2. H1 : µ1 µ2 atau HD : µ1 - µ2 ≠ 0
3. α = 0,05
4. daerah kritis t < -2,145 dan t > 2,145 v = 14
5. perhitungan : rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai di adalah = 9,848 dan
sd = 18,474
t =√ = 2,06
6. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran
androgen.
IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI
Uji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang.
Sebagai contoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang
akan mendukungnya dalam pemilihan. Uji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut proporsi
dan uji menyangkut selisih proporsi.
Tabel IV.3 Uji Menyangkut Proporsi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 115/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
104 IT TELKOM
Ho Statistik H1 Daerah Kritis
p=p0 ⁄
p<p0
p>p0
p p0
Z <- Z
Z > Z Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
p1=p2 ⁄ ⁄ ⁄
p1<p2
p1>p2
p1 p2
Z <- Z
Z > Z Z <- Z /2 ;
Z > Z /2
p1=p2=.....=pk ∑ Tidak semuanya
sama
2 > 2
SEMAKIN BANYAK SAMPEL MENDEKATI NORMAL
0
Distribusi Z
Distribusi t, v= n - 1= 25
Distribusi t, v= n- 1= 15
Distribusi t, v= n - 1= 2
Contoh 6. Menguji proporsi dengan sampel kecil
Suatu perusahaan tv menyatakan bahwa 70% tv di kota B berasal dari perusahaan tersebut.
Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel acak di kota B menunjukan
bahwa 8 dari 15 tv berasal dari perusahaan tadi? Gunakan taraf keberartian 0,01.
Jawab :
1. H0 : p = 0,7
2. H1 : p ≠ 0,7
3. α = 0,10
4. uji statistik: peubah binomial X dengan p = 0,7 dan n = 15
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 116/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
105 IT TELKOM
5. perhitungan : x = 8 dan npo = (15)(0.7) = 10,5
P = 2P(X ≤ 8 bila p = 0,7)
= 2∑
= 0,2622 > 0,106. Keputusan : Terima H0
7. Kesimpulan : tidak cukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut.
Contoh 7. Menguji proporsi
Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syaraf diyakini manjur hanya
60%. Hasil percobaan dengan obat baru yang dicobakan pada sampel acak 100 orang dewasa
yang menderita ketegangan syaraf menunjukan bahwa 70 merasa tertolong. Apakah
kenyataan ini cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasa/
gunakan taraf keberertian 0,05.
Jawab :
1. H0 : p = 0,6
2. H1 : p > 0,6
3. α = 0,05
4. daerah kritis z > 1,645
5. perhitungan : x = 70 ; n = 100 ; npo = (100)(0,6) = 60
Z =√ = 2,04
6. Keputusan : Tolak H0
7. Kesimpulan : obat baru lebih unggul.
Contoh 8. Menguji selisih dua proporsi
Pemungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk
menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah
industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten
merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui
pembangunan pabrik tersebut. Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara
proporsi penduduk kota dan kabupaten yang meng=dukung rencana tersebut, suatu pol
diadakan. Bila 120 dari 200 penduduk kota yang setuju dan bila 240 dari 500 penduduk
kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 117/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
106 IT TELKOM
setuju lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang setuju? Gunakan taraf keberartian
0,025.
Jawab :
Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yangmenyetujui rencana tersebut.
1. H0 : p1 = p2
2. H1 : p1 > p2
3. α = 0,025
4. daerah kritis z > 1,96
5. perhitungan :
1 = = = 0,62 = =
= 0,48
= =
= 0,51
Z =
*. / = 2,9
6. Keputusan : Tolak H0
7. Kesimpulan : penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi
penduduk kabupaten yang tidak menyetujui.
IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI
Pengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin
menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan
keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya. Statistik yang cocok sebagai dasar
keputusan adalah statistik chi-square dan statistik F.
Tabel IV.4 Uji Menyangkut Variansi
Ho Statistik H1 Daerah Kritis
= 0
= n-1
< 0 > 0 0
2 <
2
2 >
2
2< 2 /2
2> 2 /2
1= 2
1 = n1-1
1< 2
1< 2 1 2
f < f 1- ( 1, 2)
f > f ( 1, 2) f < f 1- /2( 1, 2)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 118/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
107 IT TELKOM
1 = n1-1 f > f /2 ( 1, 2)
Contoh 9. Menguji variansi
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir
normal dengan simpangan baku 0,9 tahun/ Bila sampel acak 10 beterai tersebut menghasilkan
simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa > 0,9 tahun? Gunakan taraf
keberartian 0,05.
Jawab :
1. H 0 :
= 0,81.
2. H 1 :
> 0,81.
3. α = 0,05. 4. Daerah kritis
2 > 16,919 dengan derajat kebebasan v = 9
5. Perhitungan = 1,44, = 10
2 =
= 16,0
6. Keputusan : Statistik 2 tidaklah berarti pada taraf 0,05. Akan tetapi, ada sedikit
kenyataan bahwa > 0,9.
Contoh 10. Menguji selisih dua variansi
Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di contoh V.2, dianggap bahwa kedua variansi
populasi yang tidak diketahui sama besarnya. Apakah anggapan seperti ini beralasan ?
Jawab :
1. H 0 :
=
2. H 1 : ≠
3. α = 0,10
4. Daerah kritis :
f 0,05 (11,9) = 3,11
f 0,95 (11,9) = = 0,34
Jadi, hipotesis nol ditolak bila f < 0,43 atau f > 3,11, untuk f = dengan derajat
kebebasan v1 = 9 dan v2 = 9
5. Perhitungan = 16, = 25, jadi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 119/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
108 IT TELKOM
f = = 0,64
6. Keputusan : terima H0.
7. Kesimpulan : tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.
Latihan Soal
1. Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar p =
0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli
susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p < 0,6
didukung.
a. Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6. b. Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.
2. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir
sebanyak p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 200 orang dewasa dipilih. Bila
banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 48 dan 72, maka
hipotesis nol bahwa p = 0,3 diterima. Jika tidak, maka disimpulkan bahwa p ≠ 0,3.
a. Carilah α kalau p = 0,3. b. Carilah β untuk tandingan p =0,2 dan p = 0,4.
3. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir
normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa µ =
800 jam lawan tandingan µ ≠ 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata -
rata umur 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.
4. Suatu pernyataan menyatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km
setahun di suatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini sampel acak sebanyak 100
pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda
setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan
simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,05.
5. Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang rata-rata benang A melebihi daya rentang
rata-rata benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 120/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
109 IT TELKOM
dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya
rentang 86,7 dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata-
rata daya rentang 77,8 dengan simpanagn baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi
dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
6. Untuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, 9 tikus dipilih
yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut. Lima tikus mendapat
serum tadi dan empat lainnya tidak. Umur, dalam tahun, sejak permulaan percobaan
sebagai berikut:
perlakuan 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9
Tanpa perlakuan 1,9 0,5 2,8 3,1
Pada taraf keberartian 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong? Anggap
kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.
7. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film
gambar hidup:
Perusahaan Waktu (menit)
A 102 86 98 109 92
B 81 165 97 134 92 87 114
Ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari
rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya
melebihi 10 menit. Gunakan taraf keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut
hampir normal dengan variansi tidak sama.
8. Dari penelitian „Comparison of Sorbic Acid in Countri Ham Before and After Storage‟ yang dilakukan di Virginia Polythecnic Institute and State University pada tahun 1983,
diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam
bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan
setelah disimpan 60 hari dicatat:
Potongan Sisa asam sorbat dalam ham
Sebelum disimpan Setelah disimpan
1 224 116
2 270 96
3 400 239
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 121/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
110 IT TELKOM
4 444 329
5 590 437
6 660 597
7 1400 689
8 680 576
Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang
cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan
mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
9. Misalkan bahwa dulu 40% dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati. Apakah
cukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang
menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel acak 15 orang dewasa, 8
yang menyetujui hukuman mati? Gunakan taraf keberartian 0,05.
10. Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi.
Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga
yang memiliki televisi? Gunakan taraf keberartian 0,04.
11. Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok. Bila diketahui bahwa 56 dari 200 perokok lebih menyenangi merek A dan 19 dari 150 perokok lebih menyenangi merek B,
dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,06 bahwa merek A lebih laris daripada B?
12. Pengalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas 3 SMA untuk
menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan
baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa = 6 lawan tandingan bahwa < 6 bila sampel
acak 20 murid SMA kelas 3 mempunyai simpangan baku s = 4,51. Gunakan taraf keberartian 0,05.
13. Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu
kota pada PMI berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,40 ribu rupiah. Ada
dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada PMI mempunyai simpangan baku
1,75 ribu rupiah. Dapatkan disimpulkan, pada taraf keberartian 0,01, bahwa simpangan
baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota
tersebut?
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 122/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
111 IT TELKOM
14. Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila variansi isi minuman yang
dikeluarkannya melebihi 1,15 desiliter. Bila sampel acak 25 cangkir minuman dari
mesin ini mempunyai variansi 2,03 desiliter, apakah ini menunjukan, pada taraf keberartian 0,05, bahwa mesin diluar kendali? Anggap bahwa isi cangkir berdistribusi
hampir normal.
15. Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan-
perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-
rata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang.
Perubahan-perubahan akan memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan
terlebih dahulu sebelum dilakukan secara menyeluruh dalam proses produksi.
Percobaan terhadap 6 unit proses produksi (dalam persen), sebagai berikut:
8,2 – 7,9 – 8 – 8,4 – 8,3 – 7,8
Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi
rata-rata kerusakan paling banyak 8%. Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan
apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan!
16. Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 40% mahasiswa tingkat pertama lulus
mata kuliah A. jika tahun ini 496 dari 1.078 lulus mata kuliah A, dapatkah kita
menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku?Ambil Taraf nyata 0,05 dan 0,01 lalu bandingkan!
17. Suhu udara di kota B selama 60 bulan terakhir mencapai simpangan baku 0,8°
Celsius. Pengamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun mencapai rata-rata
suhu (dalam ° Celsius): 28,4 – 30,7 – 30,2 – 29,4 – 29,9 – 31,2 – 27,9 – 29,8 – 30,9 – 29,2 – 28 – 30,2.
Tentukanlah apakah variabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan
dengan selama 60 bulan terakhir tersebut. Ambil taraf nyata 0,05.
18. Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya
ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya (dalam kg)
sebagai berikut:
Pasien Berat Sebelum Diet Berat Sesudah Diet
1
2
3
4
5
78,3
84,7
77,4
95,6
82,0
77,4
83,2
75,7
92,4
80,2
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 123/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
112 IT TELKOM
6
7
8
9
10
69,4
79,7
85,6
92,8
99,2
68,1
76,9
83,9
90,4
95,2
Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan?
Ujilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet
sama besar!
Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil?
19. Sampel-sampel acak yang masing-masing berukuran 100 mengenai pendapatan
bulanan pegawai (dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij), telah diambil
dari tiga kota. Hasilnya sebagai berikut:
Kota Ukuran Sampel Σ j Yij Σ j Yij
I
II
III
100
100
100
475,0
526,5
507,5
5.001,25
5.948,50
5.678,25
Misalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal. Dengan taraf nyata 0,05
ujilah apakah varians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidak!
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 124/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
113 IT TELKOM
BAB V UJI CHI-SQUARE
Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujian:
a) Goodest of fit test
b) Indepedent (uji kebebasan)
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik kecocokan
ataupun kebebasan dengan menggunakan uji Chi- Square.
1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji chi-square
2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian
masalah
3. Mahasiswa diharapkan dapat mengimplementasikan terhadap masalah yang dihadapi
perusahaan
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 125/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
114 IT TELKOM
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian7. Penutup
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 126/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
115 IT TELKOM
Uji Chi Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi
observasi atau frekuensi aktual dengan frekuensi harapan atau frekuensi ekspektasi.
Frekuensi obserfasi diperoleh dari nilai pada hasil percobaan, sedangkan frekuensi harapan
diperoleh dari perhitungan secara teoritis. Bentuk distribusi Chi Square dinotasikan dengan
oleh karena itu nilainya selalu positif.
V.1 GOODNESS OF FIT TEST
Goodness of fit test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap kecocokan
atau baiknya kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan
frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan. Uji goodness of fit
antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan didasarkan pada besaran:
: nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat
dengan derajat kebebasan v=k-1 k : jumlah sel atau kelas
oi : frekuensi amatan
ei : frekuensi harapan
Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan, maka nilai akan kecil. Hal
ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara frekuensi amatan dengan frekuensi
harapan. Tetapi jika frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai
akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek. Kesesuaian yang baik akan
mendukung penerimaan terhadap H0, sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung
penolakan terhadap H0.
Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi Chi-Kuadrat. Untuk taraf keberartian
α, ditemukan nilai kritis dari tabel, maka daerah kritisnya adalah > . Uji goodness
of fit sebaiknya digunakan jika setiap frekuensi harapan paling sedikit 5. Jika kurang dari 5,
maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan
besarnya derajat kebebasan.
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 127/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
116 IT TELKOM
Contoh 1
Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak 120 kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut
setangkup. Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu
tersebut adalah distribusi seragam (uniform) diskret. Maka :H0 = Hasil pelemparan dadu setangkup
H1 = Hasil pelemparan dadu tidak setangkup
f(x) = x = 1,2,…,6
Secara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemunculan setiap
muka sebanyak 20 kali. Hasilnya diberikan pada tabel berikut :
Tabel V.1 Frekuensi Amatan dan Harapan dari Lantunan Dadu 120 Kali
MUKA
1 2 3 4 5 6
Amatan 20 22 17 18 19 24
Harapan 20 20 20 20 20 20
Dari tabel tersebut diperoleh nilai adalah:
=
= 1,7
Apabila ditetapkan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh
:
dengan derajat kebebasan v = 5
Gambar V.1 Daerah Kritis Distribusi Chi-Square
Karena nilai , maka H0 diterima.
Jadi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup.
Daerah Penolakan H0
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 128/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
117 IT TELKOM
Contoh 2
Akan diuji hipotesis bahwa distribusi frekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan
distribusi normal dengan rataan µ = 3,5 dan simpangan baku = 0,7. Distribusi frekuensi
umur baterai disajikan dalam tabel berikut :
Tabel V.2 Frekuensi Umur Baterai
Selang Kelas Titik Tengah Kelas Frekuensi
1,5 – 1,9 1,7 2
2,0 – 2,4 2,2 1
2,5 – 2,9 2,7 4
3 – 3,4 3,2 15
3,5 – 3,9 3,7 10
4,0 – 4,4 4,2 5
4,5 – 4,9 4,7 3
Frekuensi harapan untuk 7 kelas (sel) diperoleh dengan menghitung luas di bawah
kurva normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas.
Sebagai contoh, nilai z pada kedua batas kelas keempat adalah
Z1 = = -0,79 Z2 =
= -0,07
Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara z1 = -0,79 dengan z2 = -0,07.Luas = P(-0,79 < Z < -0,07)
= P(Z<-0,07) – P(Z<-0,79)
= 0,4721 – 0,2148
= 0,2573
Frekuensi harapan untuk kelas keempat adalah
e4 = luas x total frekuensi
= 0,2573 x 40
= 10,3
Frekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan.
Frekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah
kurva normal di sebelah kiri batas 1,95. Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah
kurva normal di sebelah kanan batas 4,45. Semua frekuensi harapan kelas lainnya dapat
dihitung dengan cara yang sama pada kelas keempat.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 129/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
118 IT TELKOM
Tabel V.3 Frekuensi Amatan dan Harapan Umur Baterai Bila Distribusinya Normal
Batas Kelas oi ei
1,45 – 1,95 2 0,51,95 – 2,45 1 2,12,45 – 2,95 4 5,92,95 – 3,45 15 10,33,45 – 3,95 1 10,73,95 – 4,45 5 7,04,45 – 4,95 3 3,5
Pada kelas pertama, frekuensi harapan yang diperoleh kurang dari 5, maka dilakukan
penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga. Begitu juga
dengan kelas keenam dan ketujuh. Karena penggabungan tersebut, jumlah kelas (sel)
berkurang dari 7 kelas menjadi 4 kelas.
=
= 3,05
Dengan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh :
dengan derajat kebebasan v = 3. Artinya tidak ada alas an untuk menolak
hipotesis nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan µ = 3,5 dan simpangan
baku
= 0,7 mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai.
LATIHAN SOAL
1. Suatu mesin seharusnya mencampur kacang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam
perbandingan 5 : 2 : 2 : 1. Suatu kaleng yang berisi 500 keempat jenis kacang ini
ditemukan mengandung 269 kacang tanah, 112 kemiri, 74 mete, dan 45 kenari. Pada taraf
keberartian 0,05, uji hipotesis bahwa mesin tersebut mencampur kacang dalam
perbandingan 5 : 2 : 2 : 1.
2. Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian. Y adalah banyaknya
kartu spade yang terambil. Setelah percobaan sebanyak 64 kali diperoleh hasilnya sebagai
berikut :
Y 0 1 2 3
F 21 31 12 0
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa data yang diperoleh sesuai dengan
distribusi binomial b(y; 3, ¼), y = 0, 1, 2, 3
8
8,57
10,5
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 130/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
119 IT TELKOM
3. Tiga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng
hijau. X adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian
dikembalikan lagi dan percobaan diulangi sebanyak 112 kali. Hasil yang diperoleh adalah
sebagai berikut :X 0 1 2 3
F 1 31 55 25
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 5% bahwa data di atas sesuai dengan distribusi
hipergeometrik h(x,N,n,k)dimana N = 8, n = 3, k = 5.
4. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika.
23 60 79 32 57 74 52 70 82 36
80 77 81 95 41 65 92 85 55 7652 10 64 75 78 25 80 98 81 76
41 71 83 54 64 72 88 62 74 43
60 78 89 76 84 48 84 90 15 79
34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
a. Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok
Ujilah kebaikan suai kelompok amatan dengan frekuensi harapan padanannya dari distribusi
normal dengan µ = 65 dan = 21 dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
5. Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi
Poisson. Pengamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak
setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini.
Mesin Banyak barang rusak tiap hari
1
2
3
4, 3, 4, 6, 3, 5
3, 2, 3, 6, 5, 2
5, 5, 3, 4, 4, 6
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh
ketiga mesin itu sama besar?
6. Hasil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai (laki-laki dan perempuan) mengenai
pendapat tentang peraturan baru adalah sebagai berikut.
Pegawai
Pendapat
Laki- Laki Perempuan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 131/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
120 IT TELKOM
Setuju 102 88
Tak Setuju 78 136
Tak Peduli 20 76
Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut?
7. Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari.
Percobaan terhadap 158 orang yang pilek telah dilakukan. Setengahnya diberi obat A
dan sisanya diberi obat gula. Pada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai,
hasilnya dicatat dan diberikan dalam daftar berikut.
Sembuh Bertambah
payah
Tidak
berubahObat A 54 10 15
Obat gula 48 12 19
Ujilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 132/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
121 IT TELKOM
V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)
Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua
variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat menyimpulkan
apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh).
Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk Tabel
Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k kolom.
Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan Hipotesis Awal
(H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu:
H0 : variabel-variabel saling bebas
H1 : variabel-variabel tidak saling bebas
Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang diperoleh
dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi terlebih dahulu
sebelum melakukan pengujian.
Frekuensi ekspektasi =
Uji kebebasan dirumuskan dalam:
( )
: nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat
dengan derajat kebebasan v=(r-1)(k-1)
k : jumlah kolom
r : jumlah baris
oij : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j
eij : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 133/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
122 IT TELKOM
Contoh 1
Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu
pabrik. Data yang diperoleh disajikan dalam tabel berikut:
Pria Wanita Total Baris
< 25 jam/minggu 2 3 5
25-50 jam/minggu 7 6 13
> 50 jam/minggu 5 7 12
Total Kolom 14 16 Total Observasi=30
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Gunakan taraf uji 0,05.
Jawab :
1. H0 : gender dan jam kerja saling bebas
2. H1 : gender dan jam kerja tidak saling bebas
3. α = 0,05
4. Daerah kritis 2 > 5,99147 dengan derajat kebebasan v =(3-1)(2-1)= 2
5. Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
- Pria, < 25 jam = = 2,33 - Wanita, < 25 jam = = 2,67
- Pria, 25-50 jam = = 6,07 - Wanita, 25-50 jam =
= 6,93
- Pria, > 50 jam = = 5,60 - Wanita, >50 jam =
= 6,40
kategori oij eij (oij - eij) / eij
P, < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467
P, 25-50 7 6,07 0,93 0,8649 0,1425
P, > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643
W, < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408
W, 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249
W, > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563
∑ 2 hitung = 0,4755
6. Keputusan : 2 hitung < 2 tabel, H0 diterima
7. Kesimpulan : gender dan jam kerja saling bebas
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 134/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
123 IT TELKOM
Contoh 2
Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara
bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat
penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di Illinois dikelompokan
menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju
atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji
0,05)
Perubahan
Pajak
Tingkat Pendapatan Total
R (Rendah) M (Menengah) B (Berada)
Setuju 182 213 203 598
Tidak Setuju 154 138 110 402Total 336 351 313 1000
Jawab :
1. H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak
baru dan tingkat penghasilannya saling bebas
2. H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak
baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas
3. α = 0,05
4. Daerah kritis 2 > 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2
5. Perhitungan 2
Frekuensi harapan untuk:
- Setuju, R = = 200,9 - Tidak Setuju, R =
= 135,1
- Setuju, M = = 209,9 - Tidak Setuju, M =
= 141,1
- Setuju, B = = 187,2 - Tidak Setuju, B = = 125,8
kategori oij eij (oij - eij) / eij
Setuju, R 182 200,9 -18,9 357,21 1,78
Setuju, M 213 209,9 3,1 9,61 0,05
Setuju, B 203 187,2 15,8 249,64 1,33
Tidak Setuju, R 154 135,1 18,9 357,21 2,64
Tidak Setuju, M 138 141,1 -3,1 9,61 0,07
Tidak Setuju, B 110 125,8 -15,8 249,64 1,98
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 135/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
124 IT TELKOM
∑ 2 hitung = 7,85
6. Keputusan : 2 hitung > 2 tabel, H0 ditolak
7. Kesimpulan : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai
perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas.
Latihan Soal
1. Dalam percobaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh
data berikut yang menyangkut 180 orang:
Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat
Hipertensi 21 36 30
Tidak hipertensi 48 26 19
Ujilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan
merokok. Gunakan taraf keberartian 0,05.
2. Suatu sampel acak 200 pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi
menurut pendidikan dan jumlah anak:
Pendidikan Ayah Jumlah Anak
0-1 2-3 Lebih dari 3
Sekolah Dasar 14 37 32
Sekolah Menengah 19 42 17
Perguruan Tinggi 12 17 10
Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa banyaknya anak tidak tergantung
pada tinggi pendidikan yang dicapai oleh ayah.
3. Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai
kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar. Kejahatan
yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pencurian, dan pembunuhan.
Tabel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 4 bagian kota tahun lalu.
Daerah Jenis Kejahatan
Penodongan Pembongkaran Pencurian Pembunuhan
1 162 118 451 18
2 310 196 996 25
3 258 193 458 10
4 280 175 390 19
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 136/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
125 IT TELKOM
Dapatkah disimpulkan dari data ini pada taraf keberartian 0,01 bahwa terjadinya
kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu?
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 137/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
126 IT TELKOM
BAB VI
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA
6.0. Tujuan Pembelajaran:Mahasiswa Mampu:
1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel
2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier
3. Menentukan korelasi dan mengujinya
4. Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana
5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi
6. Menentukan Model Regresi yang Layak
7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien
Regresi
8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi
9. Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan
analisis regresi secara benar
6.1. Scatter Plot
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 138/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
127 IT TELKOM
Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau
sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat
apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak
dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:
Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)
Scatter Plot
BAB 11-
Hubungan Linier Positif
Hubungan Linier Negatif
Tidak Ada Hub.linier
Tidak ada Hubungan
© 2010 Hermita Dyah Puspita
Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif
Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel
dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier
Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah
pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak
memilki hubungan.
6.2. Analisis Korelasi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 139/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
128 IT TELKOM
Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara
dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan
hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien
korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut
Koefisien Korelasi Pearson Product Momernt.
6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)
Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau
korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik.
Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua
variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya
bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin
pengujian terhadapnya sah.
Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua
variabel menurut Walpole :
Tabel 1.
Interval Koefisien Tingkat Hubungan
0.00 – 0.199
0.20 – 0.399
0.40 – 0.599
0.60 – 0.799
0.80 – 1.000
Sangat rendah
Rendah
Cukup
Kuat
Sangat Kuat
Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan
sebagai berikut:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 140/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
129 IT TELKOM
Tabel 2.
Interval Hubungan Tingkat Hubungan
0 Tidak ada korelasi antara dua
variabel
>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah
>0,25 – 0,5 Korelasi cukup
>0,5 – 0,75 Korelasi kuat
>0,75 – 0,99 Korelasi sangat kuat
1 Korelasi sempurna
Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu
hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai
dengan +1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang
terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam
pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan
penurunan suatu variabel yang lain, sedangkan penurunan suatu variabel akan
menyebabkan kenaikan variabel yang lain.
Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua
variabel, dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan
variabel yang lain dan sebaliknya penurunan suatu variabel akan
menyebabkan penurunan variabel yang lain.
Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara
dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu
variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang
tetap.
Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk
mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan
digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi
berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 141/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
130 IT TELKOM
Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data
Tipe / Tingkat Data Teknik Korelasi yangDigunakan
Nominal Koefisien Kontingensi
OrdinalSpearman Rank
Kendal Tau
Interval dan rasio
Pearson / Produk Momen
Korelasi Ganda
Korelasi Parsial.
Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:
Atau:
Atau:
dimana:
r = Koefisien Korelasi Sampel
n = Ukuran Sampel
x = Nilai dari Variabel Independen
y = Nilai Variabel dependen
Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya
hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara
x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap
unit x.
Dalam kasus dimanai r 1 = 0,3 dan r 2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat
korelasi positif dimana r 2 lebih kuat daripada r 1. Adalah salah jika
])(][)([
))((
22 y y x x
y y x xr
])()(][)()([2222 y yn x xn
y x xynr
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 142/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
131 IT TELKOM
menyimpulkan bahwa r 2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik
dibandingkan dengan r 1.
6.2.2.Koefisien DeterminansiKoefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan
untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi
disimbolkan dalam R 2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam
nilai variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan
variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai
variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai
variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :
juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika
suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik,
tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang
terbaik.
Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan
penafsirannya jika 0.994 sehingga R 2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh
variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan
sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X.
Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk
hasil perhitungan koefisien regresi.
6.2.3. Korelasi Ganda
Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan
antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel
yang lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan
pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas
kerja.
Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara
serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas,
1 2, ,.. .,
k X X X dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear
maka besarnya korelasi bergandanya adalah :
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 143/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
132 IT TELKOM
∑ ∑ ∑ ∑
dengan
∑ ∑
∑ ∑
∑
6.2.4. Korelasi Parsial
Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya
hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan
terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan
variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.
Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau
korelasi antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :
( )
Dimana :
= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y
= korelasi product moment antara x1 dengan y = korelasi product moment antara x2 dengan y
= korelasi product moment antara x1 dengan x2
6.3. Uji Hipotesis Korelasi
Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat
hubungan antara dua variabel tertentu.
Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 144/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
133 IT TELKOM
H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
Atau H0 : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
Statistik uji:
Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai
berikut:
√ atau
Kriteria uji
Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel
Kesimpulan
Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan
koefisien korelasi taksiran (, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:
dimana
Statistik uji:
√
(uji satu sisi) atau (uji dua sisi)
Kriteria uji:
Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel
Kesimpulan
S
SSR
S
S xx
b
thitung
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 145/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
134 IT TELKOM
6.4.Analisis Regresi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan
dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau
hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan
tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara
kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.
Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu :
Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan
sebab-akibat)
Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi
6.4.1. Sejarah Regresi
Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang
membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton
menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa
generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain,
anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dariayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek
cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua
peramalan.
6.4.2. Definisi Regresi
Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk
menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabelatau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak
bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel
independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor
Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada
variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.
Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan
satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained
variabel ) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory).
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 146/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
135 IT TELKOM
Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua
disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis
regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa
variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan
menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara
aplikatif lebih bersifat eksploratif.
6.4.3. Asumsi
Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
Error (ε) independen secara statistik
Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal
Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan
Ada hubungan linier antara kedua variabel
Catatan (*):
Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai
pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.
Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan
yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.
Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value)
dengan pengamatan sebenarnya.
Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.
6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua
variabel yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel
terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana
dari populasi adalah:
Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai
berikut:
εβxy
bxyi a
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 147/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
136 IT TELKOM
Keterangan :
= nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat ( dependen
variable)
a = konstanta yang merupan nilai estimasi jika nilai x=0 (intercept ) b = koefisien regresi/gradient garis regresi ( slope)
x = variabel bebas (independent variable)
6.4.5.1. Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method )
Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan
antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:
Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model
regresi dari nilai yang sebenaranya.
Gambar 0.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε
Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian
terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 148/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
137 IT TELKOM
= 2∑( (
=1
))( ) = 0
Penyederhanaan dua persamaan tersebut di atas menghasilkan persamaan normal
kuadrat terkecil sebagai berikut:
+ ∑
=1
= ∑
=1
dan
∑ = ∑ + ∑2
=1
=1
=1
Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:
atau atau
atau
Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan
nilai a: a =∑ ∑
atau:
a = – b
Dimana:
= rata – rata yi = rata – rata xi
2)(
))((
x x
y y x xb
n
x x
n
y x xy
b2
2)(
x xn
y x xynb
22
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 149/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
138 IT TELKOM
6.4.5.2. Partisi dari Varians Total
Estimasi parameter menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan
model dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi
varians dapat dijabarkan sebagai berikut:
SST = SSR + SSE
Keterangan:
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =
SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = b
SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror = b
Dimana : ∑
∑
∑
6.4.5.3. Estimasi dari Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan
penyimpangan dari nilai – nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE
() atau yang biasa disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari dan
diestimasi dengan persamaan berikut:
= S = ∑ = =
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 150/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
139 IT TELKOM
Standar Error Koefisien Regresi
Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing – masing sampel tersebut
memiliki gradien/ slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi
tersebut dengan persamaan berikut:
6.4.5.3. Standar Error untuk bila nilai x diketahui
Jika nilai x dimasukkan berulang – ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata – rata
yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai bervariasi. Sehingga nilai
standar error dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):
= . /
6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi
Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Statistik Uji:
⁄
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
n
x)(x
s
)x(x
ss
22
ε
2
ε b
xxS
s
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 151/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
140 IT TELKOM
6.4.7. Uji Intersep Model Regresi
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : α = 0
H1 : α ≠ 0
Statistik Uji:
∑
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.8. Selang Kepercayaan
Selang Kepercayaan untuk α:
Selang Kepercayaan untuk β:
6.4.9.Prediksi
Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat x p
Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat x p
b/2s b
t
2
2
pε/2
)x(x)x(x
n1sˆ
t y
2
2
p
ε/2)x(x
)x(x
n
11sˆ
t y
xx
i
nS
xS t
2
/2a
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 152/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
141 IT TELKOM
6.5. Pemilihan Model Regresi
Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya
dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya.
Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan biasdalam estimasinya.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa
digunakan adalah 0,01 atau 0,05
Tabel 0.1 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s
Error SSE n –
2
S = SSE/n-2
Total SST n –
1
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of
significance) α
Kesimpulan
6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)
Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis
varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel
dependen menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi
error.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 153/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
142 IT TELKOM
6.6. Analisis Residual
Analisis residual dapat dilakukan dengan:
a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik,
yaitudengan melakukan plot dengan , apabila terdapat pola-pola tertentu
berarti varians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.
b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan:
Stem and leaf
Histogram
Dot diagram
Plot normal (Normal Probability Plot)
c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak
berdistribusi normal.
d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot
dengan
time order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana
penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam
pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.
e. Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas
pengujian ±3σ ( dengan ).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau
nilainya lebih besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 154/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
143 IT TELKOM
6.7. Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang
Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan
pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujianapakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan
kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan
Lack Of Fit.
6.7.1. Pengujian Lack Of Fit
Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang
muncul antar nilai y untuk setiap nilai x ( pure experimental error) dan komponen
yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.
Prosedur Pengujian:
Hipotesis
H0 : Tidak ada LoF
H1 : Ada LoFModel Linier tidak sesuai
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung Pure Error sum of square ()
∑ ∑ dengan df = n – k
Tabel 0.2 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s
Error: SSE n –
2
S = SSE(/n-2)
Lof
Pure error
SSE - k - 2 (SSE – n - k S2= /(n-k)
Total SST n
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 155/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
144 IT TELKOM
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Contoh 1
nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir
semester (y) sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67
yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68
a. Tentukan persamaan garis regresi linear.
b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian
tengah semester.
Jawab :
persamaan regresi linear
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
xi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707
yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658
xiyi 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258
xi 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557
Sehingga b =
= 0,777142
dan
a = = 12,06232
jadi, persamaan regresi linear adalah
= 12,06232 + 0,777142x
x = 85
= 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 156/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
145 IT TELKOM
Contoh 2
Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :
x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7
y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17
Jawab :
Σx = 31,9 Σy = 230 Σ xiyi = 675,5
Σ xi2 = 94,49 Σ yi
2 = 4866
= 2,9 = 20,9091
b = 0,777142
a = 12,06232
Sxx = Σ xi2 – n()2 = 1,98
Sxy = Σ xiyi – n()= 8,4997
Syy = Σ yi2 – n()2 = 56,9049
SSR = b2 Sxx = 36,4894
SSE = Syy – SSR = 20,4155
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
α = 0.05
Tabel Anaysis of Variance
KomponenRegresi SS df MS Fhitung
Regresi 36,49 1 36,49 16,08276
Error 20,42 9 2,27
Total 56,9049 10
Pengambilan Keputusan
F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12
Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak
Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 157/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
146 IT TELKOM
Contoh 3
Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan
ABC.
Tahun Jumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)
2005 22 30
2006 36 38
2007 31 35
2008 32 37
2009 31 34
2010 32 38
Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan
menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!
Jawab:
Tahun
Jumlah
Biaya
Promos
i (x)
Jumlah
Penjuala
n (y)
Range
x
Range
y
2005 22 30 1 1 0 0
2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25
2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25
2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25
2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25
2010 32 38 4.5 5.5 -1 1
∑ 2
Uji Hipotesis:
H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 158/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
147 IT TELKOM
H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan.
Statistika uji:
√ √
. /
Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0
Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara
variabel biaya promosi dengan variabel penjualan
LATIHAN SOAL:
1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian
prestasi pengetahuan umum (Y).
Xi Yi Xi Yi Yi Yi
114
110
113
137
116
132
90
121
107
120
125
92
29
41
48
73
55
80
40
75
43
64
53
31
130
142
137
140
125
134
106
121
111
126
95
105
71
68
69
66
39
78
49
59
66
67
46
47
96
89
105
125
107
97
134
106
99
98
117
100
45
32
50
57
59
48
55
45
47
59
47
49
a. Gambar diagram pencarnya.
b. Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 159/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
148 IT TELKOM
c. Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.
d. Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?
e. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120.
Jelaskan artinya!f. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan
artinya!
g. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ
berubah dengan satu unit.
h. Perlukah diambil model berbentuk lain?
i. Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan
diatas?
2. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 2860 44 39 42
75 48 51 44
Carilah persamaan garis regresi
Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1. dengan pendekatan anava
4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang
diperoleh
(dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 160/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
149 IT TELKOM
Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194
Keuntungan
(y)
10 15 13 17 19 14 13 11 13 15
a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan
ujiah!
b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan
keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!
5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta
apakah
ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi
pearson!
nKondisi temperatur
(x)
KepuasanKerja
(y)
1 8 20
2 12 20
3 10 17
4 7 18
5 8 19
6 7 20
7 12 18
8 10 19
9 12 16
10 9 17
11 10 16
12 12 17
13 12 18
14 12 12
15 12 17
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 161/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
150 IT TELKOM
6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel
dua (X dan Y).
X Y X Y X Y
15
13
10
11
16
12
9
12
4
8
108
106
99
110
135
97
74
98
20.
69
8
11
17
20
12
18
16
13
18
11
56
75
137
163
84
149
140
137
170
109
17
6
8
5
3
6
14
5
15
16
153
73
95
26
24
50
96
35
132
141
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 162/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
151 IT TELKOM
V.2.1 Regresi Linier Berganda
Analisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara
variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel bebas (x) yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi
linier berganda:
= a +
Keterangan:
= nilai dari variabel terikat
a = konstata nilai estimasi jika nilai x=0 (intercept )
= koefisien regresi gradient garis regresi ( slope)
= variabel bebas
V.2.1.1 Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method )
Untuk setiap pengamatan * + akan memenuhi persamaan:
= a + Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan:
=
- a -
Dengan syarat meminimasikan nilai a, , dan penurunannya, maka diperoleh persamaan:
∑ = an + ∑ + ∑
∑ = a∑ + ∑ + ∑
∑ = a∑ + ∑ + ∑
Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:
a. Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata –rata 0 dan dan varians σ2
b. Bersifat homoskedastisitas
c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi
d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna
diantara variabel – variabel bebas.
Latihan soal
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 163/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
152 IT TELKOM
1. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 28
60 44 39 42
75 48 51 44
a. Carilah persamaan garis regresi
b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
2. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 164/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
153 IT TELKOM
BAB VI ANOVA (ANALISA VARIANS)
Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one wayANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).
Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan
menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor.
Mahasiswa mampu:
1. Mengetahui konsep desain eksperimen
2. Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova)
3. Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari
beberapa populasi
4. Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova
5. Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi
didunia nyata.
6.
Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:
1. Perkuliahan
2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang
akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)
3. Tes pendahuluan
4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan
tanya jawab
5. Tes akhir
6. Evaluasi pencapaian
PENDAHULUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
SKENARIO PEMBELAJARAN1………….
2………….
3………….
4………….
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 165/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
154 IT TELKOM
7. Penutup
Anova ( Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika
Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu
percobaan dengan membandingkan rata-rata dari lebih dua sampel.
Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang
diuji lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif
karena memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan
dilakukan secara berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan
dilakukan pengujian terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan
uji t sebanyak sepuluh kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu
untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam
perhitungan, pembandingan ataupun pengulangan menjadi semakin besar.
Anova ( Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika
parametrik.. `Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel
independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan
bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan.
Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan
untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat
mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.
Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan
distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor
(tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).
7.1.2. Asumsi
Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
1. Data berdistribusi normal
2. Skala pengukuran minimal interval
3. Varians homogen
RINGKASAN MATERI
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 166/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
155 IT TELKOM
4. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data
setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansidalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas (independen) menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya
pada setiap kelompok bersifat saling bebas.
7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)
Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak
lengkap adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh
perlakuan dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang
menggunakan satu faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level.
Disebut juga Desain Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel
yang sama. Dalam analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n
diambil masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini
diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda.
Model perbandingan k teratment (perlakuan):
Dimana:
µ = Mean
= efek perlakuan ke-j
IIDN(0,σ)
Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah:
Pengujian hipotesis:
: ==…=,
: paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 167/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
156 IT TELKOM
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel((k-1) , k(n-1)) pada selang kepercayaan (level of
significance) α
Kesimpulan
Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu:
1. Dengan cara Matriks
2. Dengan Cara rumus
Tabel VII.1 k sampel acak
Perlakuan
1 2 … j … K
… …
…
…
… … …
… …
Jumlah … … T..
Rataan … … ..
Keterangan:
: menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j.
: menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i.
: menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.
T.. : jumlah semua nk pengamatan.
.. : rataan semua nk pengamatan
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Residual
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 168/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
157 IT TELKOM
= + + (-
(- = + (-
(- = + (- + (-
= 0
∑ ∑ ∑ + ∑ ∑
SST SSA
SSE
Keterangan:SST = Sum Square TotalSSA = Sum Square of TreatmentSSE = Sum Square of Error
Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah:
SST = ∑ ∑
SSA =∑
SSE = SST – SSA
Tabel VI.2 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah
Sumber variansi SS Df MS F hitung
Perlakuan SSA k-1
Error SSE k(n-1)
Total SST nk-1
Contoh 1:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 169/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
158 IT TELKOM
Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4
macam operator:
Mesin
1 2 3 4 Total12 22 19 11
10 13 14 13
14 16 20 16
13 15 19 12
11 14 18 18
Total 60 80 90 70 300
Rataan 12 16 18 14 15
Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang
dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda!
Jawab:
: = =…= ,
: paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.
Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan dan
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Residual
= + + (-
[
] [
] [
] [
]
(dikuadratkan)=100 (dikuadratkan)=116
SSA SSE
SST = SSA +SSE = 216
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 170/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
159 IT TELKOM
Dengan cara rumus:
SST=
SSA=
100
SSE= 216-100=116
Tabel Anova
Sumber
variansi SS df MS Fhitung
Perlakuan 100 3 33,3333 4,5977
Error 116 16 7,25
Total 216 19
Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil
yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu
cara tersebut.
Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24
Keputusan: tolak
dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan
yang sama (Mesin memang berpengaruh)
Latihan soal:
1. Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk
keempat konsentrasi.
Konsentrasi NaCl
A B C D
11,01 11,38 11,02 6,04
12,09 10,67 10,67 8,65
10,55 12,33 11,50 7,76
11,26 10,08 10,31 10,13
2. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup.
Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 171/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
160 IT TELKOM
Sampel acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah
rataan daya rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang
dalam kg per x .
Mesin1 2 3 4 5 6
17,5 16,4 20,3 14,6 17,5 18,3
16,9 19,2 15,7 16,7 19,2 16,2
15,8 17,7 17,8 20,8 16,5 17,5
18,6 15,4 18,9 18,9 205 20,1
Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan
daya rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!
3. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas
V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran
dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.
Cara I Cara II Cara III
89
93
75
69
83
99
67
90
79
75
86
94
64
69
78
92
81
70
Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar
masing-masing.
Ujilah dengan ANOVA apakah ada perbedaan efek dari ketiga cara mengajar? Gunakan
alpha 0.05.
4. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas
V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran
dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 172/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
161 IT TELKOM
Cara I Cara II Cara III
89
93
75
69
83
99
69
57
85
67
90
79
75
86
94
64
69
78
92
81
70
84
Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar
masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah
untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar
matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu
menggunakan data yang diberikan.
7.1.4 TWO WAY ANOVA
Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block
Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah
Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat
satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok.
Uji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata.
Uji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan.Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):
Dimana:µ = Mean= efek perlakuan ke-i= efek blok ke-j
IIDN(0,σ)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 173/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
162 IT TELKOM
Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah:
Pengujian hipotesis untuk treatment:
:
: Ada pengaruh treatment
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung => Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level
of significance) α
Kesimpulan
Pengujian hipotesis untuk blok:
:
: Ada pengaruh blok
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung dengan menggunakan tabel Anova
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika Fhitung = > Ftabel(k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level
of significance) α
Kesimpulan
Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana
ada dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu:
1. Dengan cara Matriks
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 174/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
163 IT TELKOM
2. Dengan Cara rumus
Tabel VI.3 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA)
Block
(B)
Treatment (A)Jml
Mean1 2 … a
1 y11 y12 … y1a T1. 2 y21 y22 … Y2a T2. : : : :
b Y b1 Y b2 … y ba T b.. Jml T.1 T.2 … T.a T..
Mean
Dengan cara matriks:
Observasi = Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
= + + + (-
(- = ) + + ( -
∑ ∑
∑
+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
SSA = ∑
SSB = ∑
SSE = ∑ ∑
Dengan cara rumus:
∑
∑
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 175/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
164 IT TELKOM
Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel VII.4 Two Way Anova
Sumber VariasiSS df MS f hitung
A (Treatment) SSA a-1
B (Block) SSB b-1
Error SSE (a-1) (b-1)
Total SST (ab-1)
Contoh 2:
Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga
sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan
statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :
SistemRudal
Jenis bahan bakar
1 2 3 4
1 12 20 13 11
2 2 14 7 5
3 8 17 13 10
4 1 12 8 3
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 176/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
165 IT TELKOM
5 7 17 14 6
Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
a. Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar?
b. Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal?
Jawab :
Sistem RudalJenis bahan bakar
Jml Mean1 2 3 4
1 12 20 13 11 56 14
2 2 14 7 5 28 7
3 8 17 13 1048 12
4 1 12 8 324 6
5 7 17 14 644 11
Jumlah 30 80 55 35200
Mean 6 16 11 710
Hipotesis
a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar)
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh) b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal)
H1 = Paling sedikit salah satu β j tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)
Dengan cara matriks:
Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual
=
+
+ (
-
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 177/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
166 IT TELKOM
[
]
[
]
[
]
[
]
(dikuadratkan)=310 (dikuadratkan)=184
SSA SSB
+
[
]
(dikuadratkan)= SSE= 24
SST = SSA +SSB+SSE = 518
Dengan cara rumus:
∑ ∑ = 2518 - = 518
∑
=
0
1-
= 2310 – 2000 = 310
∑ = 0
1 -
=2184 – 2000 = 184
= 518 – 310 -184 = 24
Tabel analisis variansi
Sumber Variasi SS df MS F Hitung
Jenis bahan
bakar 310 3 103,3 51,7
Sistem rudal 184 4 46 23
Error 24 12 2
Jumlah 518 19
Keputusan-1:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 178/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
167 IT TELKOM
51,1 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan-1:
Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar
Keputusan-2:
Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12)
23 > 3,26 Tolak H0
Kesimpulan-2:
Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda
Latihan soal
1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap
umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu
dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada
tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu
(0C)
Tungku
T1 T2 T3 T4
500 227 214 223 240
550 187 181 232 246
600 202 194 213 219
Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah :
a. Ada pengaruh suhu?
b. Ada pengaruh tungku?
2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk
meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian „An
Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan
oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 179/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
168 IT TELKOM
tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial
mayor,Posterior deltoid,Deltoid tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu
servis, adalah sebagai berikut :
OrangOtot
1 2 3 4 5
159 1.5 61 10 20
260 9 78 61
61
3 47 42 23 55 95
Dengan α= 0,01 ujilah apakah:
a. Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang
sama)?
b. Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada
pengukuran elektromygraf)?
VI.1.1 Two Way Anova dengan n replikasi
Tabel VI.5 Two Way Anova dengan n replikasi
Sumber Variasi Jumlah KuadratDerajatKebebasan
Rataan Kuadrat f hitungan
PengaruhUtama
A JKA a-1
B JKB b-1
Interaksidwifaktor
AB JK(AB) (a-1) (b-1)
Galat JKG ab(n-1)
JKT abn-1
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 180/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
169 IT TELKOM
Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :
Tabel VI.6 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA
AB
Jumlah1 2 … b
1 T11. T12. … T1b. T1…
2 T21. T22. … T2b. T2…
: :
A Ta1. Ta2. … Tab. Ta…
Jumlah T.1. T.2. … T. b. T…
Keterangan:
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
Contoh 2:
Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari
tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan
statis. Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi
pengamatan laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah datanya :
SistemRudal
Jenis Bahan Bakar
b1 b2 b3 b4
a1 34,0 30,1 29,8 29,0
32,7 32,8 26,7 28,9
a2 32,0 30,2 28,7 27,6
33,2 29,8 28,1 27,8
a3 28,4 27,3 29,7 28,8
29,3 28,9 27,3 29,1
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 181/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
170 IT TELKOM
Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :
a. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem
rudal yang berlainan.
b. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar c. H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang
berlainan.
Jawab :
1. Hipotesis
a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol
b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu β j tidak sama dengan nol
c. H0 = (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0
H1 = Paling sedikit salah satu (αβ)ij tidak sama dengan nol
2. Taraf keberartian = 5%
3. Daerah kritis (penentuan f tabel)
a. f 1 = f 9.05 (a-1,ab(n-1)) = f 9.05 (2,12) = 3,89
b. f 2 = f 9.05 (b-1,ab(n-1)) = f 9.05 (3,12) = 3,49
c. f 3 = f 9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f 9.05 (6,12) = 3,00
4. Tabel jumlah
b1 b2 b3 b4 Jumlah
a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0
a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4
a3 57,7 56,2 57,0 57,9 228,8
Jumlah 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2
5. Tabel analisis variansi
Sumber VariasiJumlahKuadrat
DerajatKebebasan
RataanKuadrat
f Hitungan
Sistem rudal 14,52 2 7,26 5,85
Jenis bahan bakar
40,08 3 13,36 10,77
Interaksi 22,17 6 3,70 2,98
Galat 14,91 12 1,24
Jumlah 91,68 23
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 182/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
171 IT TELKOM
6. Statistik Uji
Tolak H0 jika f hitung > f tabel
7. Kesimpulana. 5,85 > 3,89 Tolak H0
Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran
yang berbeda.
b. 10,77 > 3,49 Tolak H0
Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat
jenis bahan bakar.
c. 2,98 < 3,00 Terima H0
Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan
bakar yang berlainan.
Latihan soal
1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur
sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai
dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap
kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :
Suhu (0C)Tungku
T1 T2 T3 T4
500227 214 225 260
221 159 236 229
550187 181 232 246
208 179 198 273
600174 198 178 206
202 194 213 219
Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa :
a. Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
b. Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut
c. Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi
2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan
kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian „An Electromoygraphic-
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 183/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
172 IT TELKOM
Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan
di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang
berbeda tersebut adalah :
a. Anterior deltoid, b. Pectorial mayor,
c. Posterior deltoid,
d. Deltoid tengah,
e. Trisep
Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap
kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut
:
OrangOtot
1 2 3 4 5
1
32 5 58 10 19
59 1.5 61 10 20
38 2 66 14 23
2
63 10 64 45 43
60 9 78 61 61
50 7 78 71 42
3
43 41 26 63 61
54 43 29 46 85
47 42 23 55 95
Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa:
a. Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama
b. Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf
c. Orang dan jenis otot tidak berinteraksi
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 184/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
173 IT TELKOM
BAB VIII
STATISTIKA NON-PARAMETRIK
8.0 Tujuan PembelajaranMahasiswa mampu :
1. Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik
2. Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik
3. Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji
nonparametrik
4. Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik
5. Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman
8.1 Statistika Nonparametrik
Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan
penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada
asumsi-asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya :
mengasumsikan bahwa sampel harus diambil dari populasi-populasi yang
berdistribusi normal dan mempunyai varians yang sama.
Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-
uji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut
dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum.
Ringkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data
yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang “cepat dan mudah”
ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi,
karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga
karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka
beruntunglah telah disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang bermanfaat.
Kelebihan prosedur nonparametrik:
1. Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga
kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 185/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
174 IT TELKOM
dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji
parametrik padanannya)
2. Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah
3. Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang
4. Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak
harus merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)
Kelemahan prosedur nonparamtrik:
1. Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)
2. Tidak seteliti pengu jian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya
kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar
8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)
Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk
diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapatdicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan
negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti “cacat” atau“tidakt”, atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya
berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan,
atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut.
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
1. Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang
belum diketahui2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
3. Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu
Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
:
: Tentukan Level of Significance (α)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 186/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
175 IT TELKOM
Tentukan daerah kritis:
1. Satu arah : P(X
2. Dua arah : 2 P(X
Dimana x : banyaknya tanda plus
Perhitungan Statistik Uji:
3. Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel
dengan median hipotesis
4. Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
5. Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
6. Hitung P(X
dengan distribusi binomial dan
bandingkan dengan α untuk n ≤ 10
7. Jika n >10 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati
dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi
kontinuitas yaitu:
. √
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah
kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 187/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
176 IT TELKOM
Contoh-1
Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat
digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:
1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7.
Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini
secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
:
:
Dengan Level of Significance (α)=0,05
Dimana x : banyaknya tanda plus
Perhitungan Statistik Uji:
Data 1.5 2.2 0.9 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7
Tanda - + - - + - 0 - + - -
*Median = 1,8
X=3; n= 10; p=0,5
P=2P(X <=3 , p=0,5)
P=2 ∑b(x;10;0,5) = 2(0,1719)= 0,3438 > 0,05
Keputusan:
Terima H0
Kesimpulan:
Median waktu operasi berbeda dari 1,8 jam adalah tidak signifikan.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 188/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
177 IT TELKOM
Uji tanda juga bisa digunakan untuk menguji hipotesis nol (median 1 – median 2 =
do) untuk observasi berpasangan. Dimana di= selisih mediannya.
Contoh:
Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau
ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang
dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti
supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali
lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat
sebagai berikut:
Mobil Ban radial Ban biasa
1 4.2 4.12 4.7 4.9
3 4.6 6.2
4 7.0 6.9
5 6.7 6.8
6 4.5 4.4
7 5.7 5.7
8 6.0 5.8
9 7.4 6.9
10 4.9 4.9
11 6.1 6.0
12 5.2 4.9
Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan
ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa? Gunakan hampiran
normal terhadap sebaran binom.
Jawab:
Pengujian hipotesis:
: = 0
:
Ban
Radial4.2 4.7 6.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2
Ban
Biasa4.1 4.9 6.2 6.9 6.8 4.4 5.7 5.8 6.9 4.9 6.0 4.9
Tanda + - + + - + 0 + + 0 + +
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 189/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
178 IT TELKOM
Perhitungan: Didapat jumlah = 8 tanda plus, 2 tanda minus dan 2 tanda nol.
Setelah tanda nol dibuang, n = 10 dan x = 8.
Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan
faktor koreksi kontinuitas yaitu:
√
∗ = 1,581
Maka: P=P(X>=11)=P(Z<1,581)
Daerah Kritis: z > 1.645
Keputusan: Karena , maka terima Ho
Kesimpulan :Rata-rata ban radial tidak meningkatkan penghematan bahan
bakar.
8.3. Uji wilcoxon bagi pengamatan Berpasangan (uji peringkat bertanda wilcoxon)
Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:
1. Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil
pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan
terhadap subyek yang sama
2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu
4. Ke-n pasangan hasil pengukuran independen
Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
Pengujian hipotesis:
: = 0
: 0
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Satu arah : P(X
b. Dua arah : 2 P(X
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 190/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
179 IT TELKOM
Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil
Perhitungan Statistik Uji:
Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing
nilai dari dua sampel berpasangan.
Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0
Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi
Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2P(X ∗ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α
Jika n >20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan
distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:
. √
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah
kritis
Kesimpulan:
Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho
menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
Contoh-3
Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut
jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketikasedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit):
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402
Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437
*X=Ketika tikus sendiri
Y= Ketika tikus berkumpul
Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung
tikus-tikus?
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 191/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
180 IT TELKOM
Jawab:
Pengujian hipotesis:
: 0
: 0
Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402
Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437 -60 -32 +1 -79 -26 -28 -30 +7 -61 -35
Tanda - - + - - - - + - -
Dua arah : 2 P(X
P(X ∗ =0,05
Keputusan:
Tolak H0
Kesimpulan:
Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.
8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan
Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari
selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan
minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel- berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. Sebuah uji
yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh
Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda wilcoxon,
atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan
berpasangan.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah:
1. Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari
pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkandalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 192/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
181 IT TELKOM
2. Data minimal mempunyai skala pengukuran interval
3. Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu
4. Selisih-selisih tsb independen
5. Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik
Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah:
Pengujian hipotesis:
:
:
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai W yang memenuhi P(W , jika n < 5
dan ujinya satu arah
b. Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W , jika n < 5
dan ujinya dua arah
c. Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel a.16 (buku Walpole),
jika 5 ≤ n ≤ 30
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan
tandanya : di = Yi - Xi
Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n
akan berkurang
Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan
tandanya
Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat
yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil
Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)
Jika n > 15, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:
dan
Dan Statitik Ujinya adalah:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 193/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
182 IT TELKOM
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan:
Contoh-5
Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien
dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang
memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti-
peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase
Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)
Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 18
24 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9
Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi
urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 %
Jawab:
:
:
TerapiTekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)
Pasien
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9 = – -12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 -9
Peringkat/ranking 7 4 7 1 2 7 3 5
buang
Keputusan:
Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan
W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H0
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 194/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
183 IT TELKOM
Kesimpulan:
Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru
8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Rank Sum Test )
Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode nonparametrik yang sangat
sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan
nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan
untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median.
Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah:
1. Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan
sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn
2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal
3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu
4. Kedua sampel independen
Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:
Pengujian hipotesis:
:
:
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai U yang memenuhi P(U , jika n2 ≤ 8 dan
ujinya satu arah
b. Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U , jika n2 ≤ 8
dan ujinya dua arah
c. Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 17 (buku Walpole),
jika 9 ≤ n2 ≤ 20
Perhitungan Statistik Uji:
Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 195/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
184 IT TELKOM
Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar
dan beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat
pengamatan yang besarnya sama, maka pengamatan tsb diganti dengan
rata-rata ranking Hitung W1= Jumlah ranking pada n1
W2= Jumlah ranking pada n2
U1 = W1 -
U2 = W2 -
Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan
distribusi normal dengan:
. dan
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah
kritis
Kesimpulan:
Contoh-4
Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja :
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65
Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang
berbeda?
Jawab:
:
:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 196/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
185 IT TELKOM
Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65
Ranking 20 8 14,5 5,5 16 1,5 18 13 3 19
Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60
Ranking 11,5 4 5,5 9 1,5 10 11,5 7 14,5 17
W1 = 1,5+3+5,5+8+13+14,5+16+18+19+20=118,5
– W1 =
U1 = W1 - = 118,5 –
U2 = W2 - = 91,5 –
Keputusan:
U2 < U1 Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23
Karena U hitung > U tabel terima H0
Kesimpulan:
Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain
kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y
8.7. Uji Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel.
Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan
untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang
identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan
beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa
sampel diambil dari populasi normal.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah:
1. Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk
2. Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel
3. Variabel yang diukur kontinyu
4. Skala pengukuran minimal ordinal
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 197/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
186 IT TELKOM
5. Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang-
kurangnya satu populasi
Struktur data dalam uji Kruskal Wallis:
Sampel
1 2 … … k
… …
… …
… … …
… …
Prosedur untuk memperoleh Statistik Uji:
1. Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk
2. Urutkan dari kecil ke besar dan beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang
sama ambil rata-rata rank/peringkatnya
3. Jumlah peringkat/rank semua pengamatan ni dan nyatakan dengan R i
4. Hitung :
5. Jika H jatuh dalam daerah kritis H > dengan v=k-1 tolak H0, dan jika
sebaliknya terima H0
Contoh- 8
Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan
pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan
dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk mengujihipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 198/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
187 IT TELKOM
Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan Bakar
Sistem Peluru Kendali
1 2 3
24.016.7
22.819.818.9
23.219.8
18.117.620.217.8
18.419.1
17.317.319.718.918.819.3
Jawab
H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama)
H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama
Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan
kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar
Sistem Peluru kendali
1 2 3
1911714.59.5
R 1 = 61.0
1814.564165
R 2 = 63.5
17112.52.5139.58
12
R 3 = 65.5
Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r 1 = 63.0, r 2 = 63.5, dan r 3 = 65.6,
maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 199/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
188 IT TELKOM
H = 1.6586
Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti
tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama
untuk ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H 0. Jadi ketiga sistem
peluru kendali mempunyai median yang sama.
8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal (One Sample Run Test )
Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji
ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak.
Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data
menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat
atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya.
Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadiandaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang
lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel
total n = n1 + n2.
Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah:
Pengujian hipotesis:
: Sampel berasal dari proses acak
:
Sampel tidak berasal dari proses acak
Tentukan Level of Significance (α)
Tentukan daerah kritis:
a. Semua nilai V yang memenuhi P(V , jika n1 dan n2 ≤
10 dan ujinya satu arah
b. Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V , jika jika n1
dan n2 ≤ 10 dan ujinya dua arah
Perhitungan Statistik Uji:
Hitung runtun dari barisan sampel
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 200/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
189 IT TELKOM
Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan
kasus
Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal
dengan:
01 dan
Dan Statitik Ujinya adalah:
Pengambilan Keputusan:
Jika P (Z ) < α maka tolak H0, dan terima H0 jika sebaliknya
Kesimpulan
Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya
terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis
kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan
dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah
ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin
laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P,
L L P P P L L P P L L L
Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama
berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga dua L dan demikian seterusnya.
Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya
runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel
A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20
runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di
salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb.
Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5
dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:
P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah
2 P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 > α
Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H
0)
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 201/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
190 IT TELKOM
Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil
pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau
periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya
dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan
membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkansuatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti
diilustrasikan dalam contoh berikut.
Contoh-6
Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke
dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang
dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-
turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter?
Gunakan taraf nyata 0.1.
Jawab.:
H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi
H1: Data tidak diambil secara acak
Langkah untuk mendapatkan statistik uji :
1. Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutanterjadinya
2. Tentukan besarnya median sampel
3. Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya
beri tanda negatif
4. Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif
5. Hitung banyaknya runtun (V)
6. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel
7. Jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah
Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α
Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan
mengganti setiap pengamatan dengan tanda “-“ bila lebih kecil dari 3.9, danmembuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan :
+ - - - - + + + + - + +
dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 202/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
191 IT TELKOM
Keputusan: P(V ≤ α bila H0 benar) =0.296 > α Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku
Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6)
Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis
bahwa isi kaleng itu memang bervariasi secara acak.
Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan
lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak
berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama.
Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara
dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk
melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:
Tentukan hipotesis :
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
Langkah :
1. Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2
2. Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya
3. Nyatakan data dari sampel ke-1 dengan A dan data dari sampel ke-2 dengan B
4. Hitung banyaknya runtun (v)
5. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel
6. Daerah kritis (Daerah penolakan):
Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji satu arah
Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji dua arah
Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :
01 dan
Contoh-7
Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu
normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan
April 2010:
BandungHari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Penyimpangan 7 6 5 -2 -1 3 2 -6 -5 8 -4
Tanda + + + - - + + - - + -Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 203/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
192 IT TELKOM
Jakarta Penyimpangan 5 8 -3 -7 -9 8 -1 -2 -3 2 3
Tanda + + - - - + - - - + +
Jawab:
H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak
H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi
normal, dengan:
0 1 = 12
= 5.238 =2.2887
= = -0.4369 ≈ -0.44
P(Z< -0.44) = 0.33 > α Terima H0
Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak
8.8 Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman
Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada
pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutan-urutan nilai
tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan
data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini
masuk dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak
lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan
variabel yang lain harus linier.
Koefisien korelasi Sperman rank (r s) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
∑
Dengan:
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 204/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
193 IT TELKOM
Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama
diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini
peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan
merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama.
Nilai r s biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik
dan ditafsirkan secara sama pula. Nilai r s dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau
-1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat
diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa
pemberian peringkat itu bertolak belakang. Bila r s dekat dengan nol, dapat disimpulkan
bahwa kedua peubah tidak berkorelasi.
Ada beberapa keuntungan penggunaan r s dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai
contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan
Y harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear,
maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa.
Keuntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y
adalah normal.
Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran bagi nilai-nilai r s dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01,
dan 0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai
tabel nilai kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya
pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai r s setangkup
terhadap r s = 0, maka nilai r s yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah
kanannya. Bila hipotesis alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama
besar di kedua ekor sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah
kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif,
daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.
Contoh 9
Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B
menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 205/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
194 IT TELKOM
Sample
Ke-
Hasil Produksi (ton)
Departemen A (x) Departemen B (y)
1 141.8 89.7
2 140.2 74.4
3 131.8 83.54 132.5 77.8
5 135.7 85.8
6 141.2 86.5
7 143.2 89.4
8 140.2 89.3
9 140.8 88
10 131.7 82.2
11 130.8 84.6
12 135.6 84.4
13 143.6 86.314 133.2 85.9
Jawab:
Sampel
ke-X Y
Rank
(x)
Rank
(y)
1 141.8 89.7 12 14 -2 4
2 140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.25
3 131.8 83.5 3 4 -1 1
4 132.5 77.8 4 2 2 4
5 135.7 85.8 7 7 0 0
6 141.2 86.5 11 10 1 1
7 143.2 89.4 13 13 0 0
8 140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.25
9 140.8 88 10 11 -1 1
10 131.7 82.2 2 3 -1 1
11 130.8 84.6 1 6 -5 25
12 135.6 84.4 6 5 1 1
13 143.6 86.3 14 9 5 25
14 133.2 85.9 5 8 -3 9
∑ 140.5
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 206/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
195 IT TELKOM
Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi daridepartemen A dan hasil produksi dari departemen B.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20,
12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk
menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih
dari 20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.
2. Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot
dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12,
10, 11, 18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α
=0.02 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot
bimbingannya berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 207/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
196 IT TELKOM
3. Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase
bahan campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3,
1.2, 1.1, 3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal
bagi sebaran binom, lakukan uji tanda pada taraf nyata 0.01 untuk menguji hipotesis nol bahwa presentase bahan campurannya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa presentase
bahan campuran rata-rata bukan 2.5%.
4. Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk
memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf
eksekutifsenior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di
Hawaii atau seminggu di Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai
pilihannya. Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji
tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama
disukai lawan alternatifnya bahwa preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara
18 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol.
5. Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya
telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat
ini, 12 papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya
mengering, dalam jam, tercatat sebagai berikut:
Papan Lamanya mengering(jam)
Cat baru Cat lama
1 6.4 6.6
2 5.8 5.8
3 7.4 7.8
4 5.5 5.7
5 6.3 6.0
6 7.8 8.4
7 8.6 8.8
8 8.2 8.4
9 7.0 7.3
10 4.9 5.8
11 5.9 5.8
12 6.5 6.5
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 208/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
197 IT TELKOM
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia
baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.
6. Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5
kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini
dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya :
Wanita Bobot sebelum Bobot sesudah
1 58.5 60.0
2 60.3 54.9
3 61.7 58.1
4 69.0 62.1
5 64.0 58.5
6 62.6 59.9
7 56.7 54.58 63.6 60.2
9 68.2 62.3
10 59.2 58.7
Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat
mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa
pengurangan bobot itu kurang dari 4,5 kilogram.
7. Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan.
Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:
Hari Sulfur monoksidaAlat A Alat B
1 26.46 25.41
2 17.46 22.53
3 16.32 16.32
4 20.19 27.48
5 19.84 24.97
6 20.65 21.77
7 28.21 28.17
8 33.94 32.02
9 29.32 28.9610 19.85 20.45
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 209/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
198 IT TELKOM
11 28.35 23.67
12 22.78 18.96
13 21.64 19.88
14 18.93 23.44
Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah
kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.
8. Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon
9. Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
10. Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok
tercatat sebagai berikut:
BB sebelum 58 60 62 69 70 64 76 72 66 75
BB setelah 60 55 58 65 69 64 70 67 61 70
Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata
0.05, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang,
lawan alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti
merokok.
11. Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
12. Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.
13. Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang
hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru.
Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :
Nilai
Dengan pelajaran tambahan
Tanpa pelajaran tambahan
87 69 78 91 80 85 78
75 88 64 82 93 79 67
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 210/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
199 IT TELKOM
Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai.
14. Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat
digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Kalkulator
A B C
4.96.14.34.65.3
5.55.46.25.85.5
5.24.8
6.46.85.66.56.3
6.6
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa
lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali
adalah sama.
15. Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut
menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba:
Cap A Cap B Cap C Cap D
14101113
16181415
16151412
17201921
Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda
nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut.
16. Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05,
untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda
nyata.
17. Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05,
untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu
secara rata-rata memberikan hasil yang sama.
18. Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga
proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 211/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
200 IT TELKOM
pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu
sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini :
T T T T Y Y T Y Y T Y T T T T
Gunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu
menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak.
19. Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila
prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak
mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku
0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan
peraknya adalah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022,
0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu
masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05
20. Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445.
21. Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui
cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat
C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut:
C C T T T C T T C C T T T T
T C C C T T C T T T T C T C
Dengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji
runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi
secara acak atai tidak
22. Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan
urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwadata itu merupakan suatu barisan yang acak.
23. Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10
mahasiswa :
Mahasiswa UTS UAS
L.S.A 84 73
W.P.B 98 63
R.W.K 91 87
J.R.L 72 66
J.K.L 86 78
D.L.P 93 78
B.L.P 80 91
D.W.M 0 0
M.N.M 92 88
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 212/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
201 IT TELKOM
R.H.S 87 77
a. Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnya
b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan
alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025.
24. Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378
a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya
b. Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya
sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.
25. Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu
yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346.
Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk
menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah
ini:
Pabrik Peringkat Harga (dlm $)
A 6 480
B 9 395
C 2 575
D 8 550
E 5 510
F 1 545G 7 400
H 4 465
I 3 420
Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro?
26. Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:
Mobil Berhias
1 2 3 4 5 6 7 8Juri AJuri B
57
85
44
32
68
21
76
13
a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya.
b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan
nol lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.
Gunakan α = 0.05
c. Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua
peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatandiperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05.
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 213/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
202 IT TELKOM
27. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka
waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai
pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah
tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalahsebagai berikut :
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 3,6 3,7 3,5
Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda.
28. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini.
Suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1
Istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3
Apakah nampak sifat “independen” penilaian yang dilakukan oleh suami istri?
29. Diberikan data berikut :
A 1,32 1,28 1,22 1,23 1,16 1,31 1,06 1,23
B 0,99 1,08 0,98 0,96 0,97 0,98 0,89 1,01
Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median.
30. Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan :
26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari
sebuah populasi dengan median sama dengan 23?
REFERENSI
1. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, JohnWiley & Sons.1978
2. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons,
1981
7/16/2019 Buku Ajar Statistika Industri(1)
http://slidepdf.com/reader/full/buku-ajar-statistika-industri1 214/214
Buku Ajar Statistika Industri FRI
3. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company,1978
4. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, PearsonEducation, 2006
5. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and PhysicalScientists”, Pearson Prentice Hall, 2010. 6. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”,
Prentice Hall, 2007
7. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlangga(Terjemahan), 1988