BILANGAN RASIONAL Sejarah dan pengertiannya

oleh

Sumardyono, M.Pd.

Konsep bilangan rasional pada Standar Isi terkait dengan konsep bilangan bulat dan pecahan,

sebagai berikut:

Kelas VII, Semester 1

Standar Kompetensi Komptensi Dasar

Bilangan

1. Memahami sifat-sifat operasi

hitung bilangan dan

penggunaannya dalam

pemecahan masalah

1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan

pecahan

1.2 Menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan

bulat dan pecahan dalam pemecahan masalah

Pada makalah ini akan dibahas mengenai tema bilangan rasional secara umum. Sifat-sifat

bilangan bulat dan pecahan tidak dibahas secara khusus. Pembahasan bilangan rasional ini untuk

menjadi wawasan bagi guru dan agar dapat memahami bilangan bulat dan pecahan secara lebih

komprehensif.

“Sejarah” Bilangan Rasional

Sebelum mempelajari bilangan rasional, siswa telah dikenalkan dengan beberapa jenis bilangan,

antara lain: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan bulat, bilangan pecahan atau

pecahan, bilangan positif, bilangan negatif.

Mula-mula yang dikenal manusia adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli (natural

numbers, N). Bilangan asli dibutuhkan manusia untuk membilang sesuatu yang utuh, seperti

banyak orang, banyak hewan, dan semacamnya.

Selanjutnya manusia mengenal bilangan pecahan (fractions) dengan berbagai macam bentuk. Di

Mesir kuno dikenal dengan penyebut 1 atau 2 saja. Di Perancis kuno, dikenal dengan penyebut

kelipatan 6 atau 12. Di bangsa-bangsa lain juga akhirnya mengenal pecahan dengan ragam

bentuk yang berbeda-beda.

Mengenai bilangan prima (prime numbers), telah menjadi kajian intensif orang Yunani kuno,

terutama pada perguruan Pythagoras. Mereka menemukan bahwa bilangan prima adalah

“sumber bilangan asli” di mana semua bilangan asli dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima.

Pada perkembangan selanjutnya, orang membutuhkan bilangan bertanda

oleh karena kuantitas sesuatu dapat “berjalan” ke dua arah yang

berlawanan. Misalnya untuk menjawab pertanyaan “berapa kambing

yang dia punya?”. Padalah faktanya ia berutang 3 ekor kambing dan

tidak memiliki kambing sama sekali. Daripada menjawab “tidak ada”,

jawaban “negatif tiga” akan lebih masuk akal. Dipelopori Brahmagupta

(598-670) dan juga al-Biruni (973-1048), penggunaan bilangan bertanda

menjadi luas diterima orang.

Salah satu perkembangan penting kemampuan berhitung manusia adalah dimulainya

penggunaan angka nol. Walaupun telah disinggung oleh bangsa Maya dan juga oleh

matematikawan India-semisal Brahmagupta, tetapi konsep bilangan

nol (zero) dan penggunaan angka nol belum dipahami manusia

hingga pengenalan dan penggunaan sistem desimal sekitar abad ke-

12 hingga abad ke-15. Di tangan matematikawan muslim, terutama

al-Kashi (1380-1429), penulisan desimal menjadi trend. Dalam

penulisan desimal ini, angka nol mutlak dibutuhkan. Muncullah

kemudian angka dan bilangan nol.

Dengan bilangan nol, orang sekarang telah memiliki referensi untuk

menjawab pertanyaan “berapa banyak ... ?” Kita menyebutnya

dengan istilah bilangan cacah (whole numbers).

Ditambah pecahan, manusia telah memiliki pengetahuan dalam menyatakan semua kuantitas

hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan asli.

Kemunculan Bilangan Rasional dari Sudut Pandang Matematis

Mula-mula dikenal bilangan asli. Apakah setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai perkalian

bilangan-bilangan lain? Ya, yaitu dengan satu dan jenis bilangan baru yang disebut bilangan

prima.

Untuk 2 + ... = 6 maka dapat ditemukan bilangan asli 4 untuk mengisi titik-titik.

Tetapi bagaimana bila 2 + ... = 2. Daripada menyebut bahwa tidak ada bilangan asli yang

mengisi titik-titik, lebih baik kita memperluas jenis bilangan yang kita kenal. Muncullah

bilangan nol.

Semua bilangan asli dan nol, kita golongkan sebagai himpunan bilangan cacah (whole numbers).

Untuk mengisi titik-titik pada 3 + ... = 2 kita memerlukan bilangan dengan “arah” yang

berlawanan dari biasanya. Muncullah bilangan negatif.

Semua bilangan cacah dan bilangan negatifnya, kita golongkan sebagai himpunan bilangan bulat

(integers)

Selanjutnya, untuk menjawab 2 × ... = 3 maka kita memerlukan jenis bilangan baru yang kita

sebut pecahan. Dalam kasus ini, kita dapatkan pecahan dalam bentuk a/b dengan a dan b

bilangan-bilangan bulat. Satu-satunya kasus di mana kita tidak menemukan adanya pecahan

yang sesuai adalah kasus

0 × ... = a dengan a sebarang bilangan bulat kecuali nol.

Seperti bilangan bulat, pecahan-pun terdiri atas pecahan positif dan pecahan negatif.

Nah, semua bilangan yang telah kita kenal hingga di sini, digolongkan menjadi satu jenis

bilangan yang disebut bilangan rasional.

Pengertian Bilangan Rasional

Apa sesungguhnya bilangan rasional itu? Dapatkah kita menyatakan pengertian bilangan

rasional secara sederhana?

Pengertian bilangan rasional dapat dikaitkan dengan kata “rasio” (ratio) yang menjadi kata dasar

dari “rasional”. Dalam matematika, rasio berarti perbandingan. Umumnya sebuah perbandingan

dinyatakan dengan bilangan bulat.

Perhatikan yang berikut ini merupakan perbandingan.

2 : 5 3 : 10

Tetapi tidaklah lazim dalam matematika menulis perbandingan seperti.

2,4 : 1,7

Suatu perbandingan terkait dengan notasi pembagian.

Untuk contoh pertama di atas 2 : 5 menyatakan perbandingan a terhadap b, maka kita tulis a =

2/5b atau a/b = 2/5.

Nah, bilangan rasional memiliki pengertian yang serupa, yaitu bilangan real yang dapat

dinyatakan dalam bentuk dengan a, b bilangan-bilangan bulat.

Seharusnya jelas bahwa b ≠ 0, karena bila b = 0 maka bukan bilangan real.

Perhatikan bahwa setiap bilangan real tidak dapat dibagi dengan nol.

Untuk a ≠ 0 maka tidak terdefinisi

Sedang bentuk tidak tentu.

Kedua bentuk di atas bukan bilangan real, sebab tidak ada bilangan real r sedemikian hingga 0.r

= a atau 0.r = 0.

Kalimat lain yang ekuivalen, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk dengan a, b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0.

pertanyaan

Bagaimana kebenaran kalimat berikut? Bilangan rasional adalah bilangan bulat atau bilangan

pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa paling sederhana.

Struktur Himpunan Bilangan Rasional

Dengan mengikuti uraian sebelumnya, maka bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai

bilangan bulat atau pecahan yang dapat dinyatakan dalam bentuk biasa atau common fraction

(terdiri atas pembilang dan penyebut). Himpunan bilangan rasional adalah gabungan semua

bilangan bulat dan pecahan “biasa”. Lambang himpunan bilangan rasional adalah Q.

Secara lengkap struktur bilangan rasional sebagai berikut.

Catatan:

Pecahan murni adalah pecahan dalam bentuk a/b dengan a b.

Pecahan tak murni adalah pecahan dalam bentuk a/b dengan a b.

Salah satu jenis pecahan murni adalah pecahan satuan (kadang disebut pecahan mesir).

Pecahan satuan adalah pecahan biasa dengan pembilang 1. Seperti bilangan satu yang

“membentuk” semua bilangan asli, maka pecahan satuan juga membentuk semua pecahan

biasa.

Pertanyaan

Di mana kedudukan pecahan desimal dan pecahan campuran?

BILANGAN RASIONAL

BILANGAN BULAT PECAHAN “BIASA”

BILANGAN BULAT

NEGATIF

BILANGAN

CACAH

NOL BILANGAN ASLI

SATU BILANGAN PRIMA BILANGAN KOMPOSIT

PECAHAN

MURNI

PECAHAN

TAK MURNI

Bilangan Rasional pada Garis Bilangan

Diketahui himpunan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ....

Jika setiap bilangan asli di atas diwakili oleh ruas garis sebanyak 1, 2, 3, 4, 5, ... maka diperoleh.

1 ______

2 ____________

3 __________________

4 ________________________

5 ______________________________

dan seterusnya (semua ruas garis dirangkaikan)

Jika semua ruas garis yang mewakili bilangan asli tersebut kita himpitkan pada ujung-ujungnya,

kita peroleh “sebuah garis” yang dinamakan garis bilangan asli.

Jika akhirnya kita menganggap setiap bilangan asli di atas sebagai jarak (dalam satuan tertentu)

ke titik ujung yang sama, maka kita dapat menganggap titik ujung yang sama itu dengan 0

Dengan cara serupa untuk arah berlawanan, kita dapat garis bilangan untuk bilangan bulat

negatif (beserta titik nol)

Dengan menggabung kedua garis bilangan di atas, kita peroleh garis bilangan untuk bilangan

bulat.

Kenyataannya, pada garis bilangan di atas, setiap titik mewakili sebuah bilangan (real). Garis

bilangan di atas untuk kemudian disebut garis bilangan real atau cukup disebut garis bilangan.

1 2 3 4 5 ...

1 2 3 4 5 ... 0

4 3 2 1 0 ... 5

4 3 2 1 0 ... 5 1 2 3 4 5 ...

Di mana titik-titik yang mewakili semua bilangan rasional?

Sebuah titik pada garis bilangan merupakan (mewakili) sebuah bilangan rasional jika terdapat

bilangan asli n sedemikian hingga n kali jaraknya terhadap titik nol jatuh di sebuah titik bilangan

bulat.

Contoh. Sebuah titik adalah ¾ jika 4 kali jaraknya terhadap titik 0 jatuh pada titik bilangan 3.

Sifat Bilangan Rasional

Dengan menganggap setiap bilangan bulat sebagai sebuah “pecahan” dalam bentuk pecahan

biasa dengan penyebut 1, maka sifat-sifat bilangan rasional “mengikuti” sifat-sifat pecahan

biasa.

Berlaku sifat-sifat terhadap operasi penjumlahan: identitas 0, tertutup, komutatif, asosiatif.

Berlaku sifat-sifat terhadap operasi perkalian: identitas 1, tertutup, komutatif, asosiatif.

Negatif dari suatu bilangan rasional adalah juga bilangan rasional.

Kebalikan dari suatu bilangan rasional adalah juga sebuah bilangan rasional.

pertanyaan

1. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a2 + b

2 = 1

2. Carilah beberapa bilangan rasional a dan b yang memenuhi a2 + b

2 = 2

3. Himpunan bilangan rasional bersifat “padat di mana-mana” (dense every where), yaitu

bahwa untuk setiap 2 bilangan rasional, pasti ada bilangan rasional lain di antara keduanya.

Buktikan hal ini!

4 3 2 1 0 ... 5 1 2 3 4 5 ...

¾

Bilangan Rasional dalam Bentuk Desimal

Pandang beberapa bilangan rasional berikut: 2 ¾ 8/3 22/7

Semua bilangan rasional di atas jika dinyatakan dalam bentuk desimal, diperoleh

¾ = 0,75000... dapat ditulis 0,750

atau 2,00..0..

8/3 = 2,666... dapat ditulis 2, 6

atau 2,666..6..

22/7 = 3,142857142857142857..... dapat ditulis 3,142857

atau 3,142857...142857...

Terlihat bahwa pada setiap bilangan rasional di atas, bentuk desimalnya memuat pengulangan

angka atau deretan angka tertentu secara terus menerus. Pada ¾ sesungguhnya memuat

pengulangan angka nol. Akan tetapi, biasanya pengulangan angka nol tidak diperhatikan atau

dikatakan tidak ada pengulangan angka (terus menerus). Pada 8/3 terdapat pengulangan angka 6.

Dan pada 22/7 terdapat pengulangan deretan angka “142857”.

Apakah setiap bentuk rasional a/b jika dinyatakan dalam bentuk desimal pasti memiliki angka

atau deretan angka yang berulang? Ya.

Sebaliknya juga benar bahwa setiap bilangan dalam bentuk desimal yang memiliki angka atau

deretan angka yang berulang pasti merupakan bilangan rasional.

Contoh perhatikan bilangan 2, 71717171...

Misal x = 2, 71717171... maka 100x = 271,717171... sehingga 100x – x = 269. Dari sini

diperoleh x = 269/99 suatu bilangan rasional.

Jadi, bilangan rasional adalah bilangan real yang dalam bentuk desimal memiliki angka atau

deretan angka yang berulang.

Pertanyaan

1. Apakah π bilangan rasional?

2. Nyatakan 2,02820282028...2028... dalam bentuk pecahan biasa!

3. Temukan deretan angka yang berulang pada bilangan rasional 1/13, 1/17, dan 1/109.

4. Nyatakan 0,999999..... (9 berulang) dalam bentuk pecahan biasa. Apa simpulan Anda?

Bilangan 2

Jika kita dapat menyatakan suatu bilangan dalam bentuk pecahan biasa, maka kita telah

membuktikan bahwa bilangan tersebut merupakan bilangan rasional. Cara lain adalah dengan

membuktikan bahwa bentuk desimal bilangan tersebut memuat angka atau deretan angka yang

berulang secara terus menerus.

Akan tetapi dalam beberapa kasus bilangan, cara-cara tersebut tidak dapat diterapkan. Untuk

mendapatkan keyakinan (bukti matematis) maka diperlukan cara-cara cerdas atau kreatif untuk

membuktikan rasional atau tidak suatu bilangan. Jadi, tidak ada cara umum untuk membuktikan

suatu bilangan merupakan bilangan rasional atau bukan.

Salah satu kasus yang cukup sederhana dan terkenal adalah kasus bilangan dalam bentuk akar,

2.

Apakah bilangan 2 merupakan bilangan rasional?

Perhatikan beberapa angka desimal dari 2 berikut ini.

Tampak bahwa belum ada angka atau deretan angka yang berulang. Apakah kita cukup yakin

bahwa 2 bukan bilangan rasional? Secara matematis, ini tidak cukup. Siapa tahu setelah

desimal ke-1000 misalnya mulai muncul yang berulang? Nah, daripada menulis semua angka

desimal 2 (yang jelas tidaklah mungkin), maka diperlukan cara lain untuk meyakinkan bahwa

2 rasional atau 2 bukan rasional.

Bukti paling sederhana menggunakan metode pengandaian (reductio ad absurdum). Pada bukti

ini konsep yang dipergunakan hanyalah konsep bilangan genap dan konsep FPB.

Andaikan 2 bilangan rasional. Jadi, menurut definisi bilangan rasional maka 2 dapat

dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa, misal 2 = a/b dengan a dan b bilangan-bilangan

bulat.

Karena setiap bentuk pecahan biasa memiliki bentuk paling sederhana, maka dapat

diasumsikan a/b adalah bentuk paling sederhana. (jika belum sederhana, buat menjadi paling

sederhana). Bentuk a/b paling sederhana artinya a dan b tidak memiliki faktor prima yang

sama. Dengan kata lain, FPB a dan b adalah 1.

Kuadratkan kesamaan 2 = a/b maka diperoleh: 2 = (a2)/(b

2) atau 2b

2 = a

2. Ini apa

artinya? Setiap bilangan bila dikali dua pasti menjadi bilangan genap, bukan? Jadi, a2

merupakan bilangan genap. Nah, mungkinkah kuadrat dari suatu bilangan ganjil adalah

bilangan genap? Tentu tetap merupakan bilangan ganjil. Jadi, hanya bilangan genap yang

dikuadratkan menjadi bilangan genap. Contoh, 32 = 9 (tetap bilangan ganjil), 4

2 = 16 (tetap

bilangan genap). Jadi, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa a pasti merupakan

bilangan genap.

Misalkan a = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Ingat, bahwa setiap bilangan genap pasti

merupakan penggandaan (dikali dua) sebuah bilangan bulat.

Kembali ke 2b2 = a

2 dengan a = 2k diperoleh

2b2 = a

2 2b

2 = (2k)

2 2b

2 = 4k

2 b

2 = 2k

2

Jadi, b2 adalah bilangan genap. Serupa sebelumnya, maka b adalah bilangan genap.

Perhatikan hingga di sini kita dapatkan bahwa a maupun b merupakan bilangan genap. Ini

artinya a dan b memiliki faktor persekutuan 2. Jelas, ini kontradiksi dengan asumsi bahwa

FPB a dan b adalah 1. Karena penalaran kita di atas tidak ada yang salah, maka seharusnya

pengandaian mula-mula yang salah. Ini artinya 2 bukan bilangan rasional.

Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional (irrational numbers).

Selain 2, semua bilangan bentuk akar dari bilangan yang bukan bilangan kuadrat adalah bukan

bilangan rasional.

Beberapa bilangan rasional dan bukan rasional.

Pecahan dengan deretan 108 angka yang berulang di bawah ini merupakan bilangan rasional

1/109.

0,0091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128

44036697247706422018348623853211009174311926605504587155963302752293577981651

37614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321100917431192660

55045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128440366972477064

22018348623853211009174311...

Namun pecahan berikut – yang merupakan pecahan yang sangat penting – tidak memiliki bagian

desimal (berapapun panjangnya) yang berulang – sehingga bukan merupakan pecahan rasional,

dengan kata lain termasuk pecahan irasional.

= 3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899

8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502

8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165

2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817

4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724

8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277

0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091

7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960

8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859

5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083

8142061717 7669147303 ....

Daftar pustaka dan bacaan

Posamentier, Alfred. 2003. Math Wonders, to inspire teachers and students. Virginia (USA):

Associasion for Supervision and Curriculum Development (ASCD)

Vivaldi, Franco. 2008. Essensial Mathematics. London: School of Mathematical Sciences

(Quenn Mary Univ.)