BilanganBilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif,bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi unermengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, 

danperakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika. Silsilah bilangan

1.BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks adalahsuatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Contoh : {3 + 2i}

Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau  . Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:  .

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks,polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

DefinisiDefinisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)

identitas perkalian ("satu"): (1, 0)

invers penjumlahan (a,b): (−a, −b) invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b): 

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

dan

maka

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk   juga sering ditulis sebagai  .

Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleksatau Diagram Argand.

Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebutmodulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

dan

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (  radian). Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (  radian).

2. BILANGAN REALBilangan real atau bilangan riilmenyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilanganrasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilanganyang panjangnya tak terhingga.

Sifat-sifat

Aksioma medanBilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.[1][3]. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+ymerupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yxAksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)zAksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xzAksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=xdan 1.x=x.Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai-x.Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutanKita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:[3]

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus

Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Aksioma kelengkapanAksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada

suatu bilangan riil Bsehingga B=sup(S). 

Garis bilangan takterhingga yang menggambarkan bilangan riil

3. BILANGAN IMAJINER Bilangan imajiner (bahasa Inggris: imaginary number) adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian dari bilangan kompleks, bilangan imajiner merupakan bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner   ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekuivalen

atau juga sering dituliskan sebagai

 .

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

), dengan j = −i.Penafsiran geometri

Rotasi 90 derajat dalam bidang kompleks

Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada bidang bilangan kompleks, digambarkan secara tegak lurus terhadap sumbu bilangan real. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu garis bilangan, bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada titik nol "O"

garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-x, suatu sumbu-y dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini

sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan iℝ,  , atau ℑ.

Dalam representasi ini, perkalian dengan –1 berhubungan dengan suatu rotasi 180 derajat

mengelilingi titik nol. Perkalian dengan iberhubungan dengan rotasi 90 derajat pada arah "positif"

(yaitu, berlawanan dengan jarum jam), dan persamaan i2 = −1 ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180 derajat. Perhatian bahwa rotasi 90 derajat pada arah "negatif" (yaitu searah jarum

jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa −i juga memecahkan

persamaan x2 = −1. Pada umumnya, perkalian dengan suatu bilangan kompleks sama dengan rotasi mengelilingi titik nol oleh argument bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala besarannyaPerkalian akar kuadratPerkalian akar kuadrat bilangan negatif perlu perhatian khusus. Misalnya,[1] pemikiran berikut ini salah:

Kekeliruan (fallacy) yang diperbuat adalah penggunaan aturan √x√y = √xy, di mana nilai

prinsip akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika x dan y dibatasi dengan sepatutnya.[note 1] Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada

semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi √−1dalam konteks ini harus

dianggap "tidak berarti", atau sebagai ekspresi bernilai ganda dengan kemungkinan nilai i dan −i.

4. BILANGAN RASIONALBilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat danb merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).Contoh :{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...} bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.Contoh dari bilangan rasional:

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.

Dalam doctorate in Absentia-nya pada tahun 1799, A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree (Sebuah bukti baru teorema bahwa setiap fungsi aljabar rasional yang tidak terpisahkan dari satu variabel dapat diselesaikan menjadi faktor nyata pada derajat pertama atau kedua), Gauss memberikan bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d'Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d'Alembert.

Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun, dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar. Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak 

dibicarakan (dari contoh bilangan irasional paling terkenal : ,memecahnya dengan menempatkan minus pada satu tingkat dibawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real,Gauss mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).

Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya pada tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetikamodular.

Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks pada abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid. Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle's Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine, tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.

Pecahan kontinyu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek ini.

Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

5. BILANGAN IRRASIONAL Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan 

rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π,  , dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan  :

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..dan untuk bilangan e: = 2,7182818....

π      =          3,141592653358…….. 

√2    =          1,4142135623……..

e      =          2,71828281284590…….

6. Bilangan BulatBilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau  ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat [

Penambahan Perkalian

closure:a + b   adalah bilangan bulat

a × b   adalah bilangan bulat

Asosiativitas: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c

Komutativitas: a + b  =  b + a a × b  =  b × a

Eksistensi unsur identitas:

a + 0  =  a a × 1  =  a

Eksistensi unsur invers:

a + (−a)  =  0

Distribusivitas: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

Tidak ada pembagi nol:jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrogramanDalam PascalBilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integer adalah type datasigned maka hanya mampu di-assign nilai antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

7. Bilangan pecahanPecahan (Fraksi) adalah istilah dalam matematika yang terdiri dari pembilang dan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. Contohnya: bila dibandingkan antara 50/100 dan ½ maka lebih mudah dan sederhana melihat angka ½. 50/100 terlihat sebagai ”angka raksasa” yang kelihatannya lebih kompleks dibandingkan ½, padahal sebenarnya kedua angka ini tetap memiliki nilai yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan selain disederhanakan juga penyebutnya harus disamakan dengan bilangan yang sama, sedangkan pada operasi perkalian caranya adalah pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. dan dalam operasi pembagian, pecahan yang di kanan dibalikkan, setelah dibalikkan, tanda : diubah menjadi tanda kali (X), seperti 3/4 : 5/6 = 3/4 X 6/5 = 18/20 = 9/10

Bilangan pecahan terbagi menjadi tiga yaitu:

bilangan desimal

Angka Cara dibaca

0,5 nol koma lima

0,75 nol koma tujuh lima

0,025 nol koma nol dua lima

bilangan pecah biasa

Angka

Cara dibaca

1/2 setengah

Angka

Cara dibaca

1/3 sepertiga

1/4 seperempat

1/5 seperlima

1/6 seperenam

1/7 sepertujuh

1/8 seperdelapan

1/9 sepersembilan

2/3 dua per tiga

3/4 tiga per empat

bilangan campuran

Angka Cara dibaca

1 1/2 satu setengah

2 2/3 dua dua per tiga

3 3/4tiga tiga per empat

8. Bilangan CacahBilangan Cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol.yang termasuk bilangan ini adalah : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

9. Bilangan Asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Sejarah bilangan asliBilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. OrangMesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.[1] Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.

Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer.[2] Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.[3]

PenulisanPara ahli matematika menggunakan N atau   untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Himpunan bilanan ini bisa dikatakan tidak terbatas.

Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, seringkali dalam penulisan ditambahkan indeks (superscrip). Indeks "0" digunakan untuk

memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks " " atau " " ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.

10. Bilangan GenapBilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.Contoh : Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 14, 20,… dll.

11. Bilangan GanjilBilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.Contoh : Bilangan 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21, 31,… dll.

12. Bilangan Prima Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes

bilangan prima terbesarSecara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS

13. Bilangan KompositBilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.