Edited by Agustina Page 1

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

1. Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan

menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o"

(komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

A. Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g

b. g o f

c. (f o g) (4)

d. (f o g) (2)

e. (g o f) (1)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1

Edited by Agustina Page 2

B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat

menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Edited by Agustina Page 3

2. Fungsi Linear

3. Fungsi Kuadrat

Bentuk Umum dari fungsi kuadrat adalah

f(x) = ax2 + bx + c atau

y = ax2 + bx + c

Selain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuk

Bentuk Pemetaan F : R –> R

x –> ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R ,a ≠ 0

b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ real a ≠ 0

Edited by Agustina Page 4

A. Grafik Fungsi Kuadrat

1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0)

Jika dari persamaan y = ax2 + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik

potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c).

2. Hubungan dengan sumbu x (y=0)

Dari bentuk ax2 + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadrat ax

2 + bx + c = 0,

dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D =

1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan

parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)

3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah

sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu

positif (melayang di atas sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu

negatif (melayang di bawah sumbu x)

B. Harga Ekstrem dan Titik Puncak

Rumus menentukan harga ekstrem

(xp,yp) = (

)

untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0

maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.

Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan

mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi

kuadrat adalah titik P (

) . Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik

minimum jika a < 0.

C. Sumbu Simetri

Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan

sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.

Persamaan untuk sumbu simetris adalah x =

Edited by Agustina Page 5

D. Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya

1. Jika fungsi y = ax2 + 6x + (a+1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai

ekstrimnya !

jawab :

2. Jika parabola f(x) = x2-bx+7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya

adalah?

3. Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif

sembarang, maka lukislah f (x) = -ax2-bx+c

Edited by Agustina Page 6

4. Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan

sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1

: B -> A.

dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1

(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun

sebaliknya.

Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1

(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f-1

(y) menjadi f-1

(x)]

Contoh Soal:

5. Fungsi Rasional (Fungsi Pecah)

A. Suku Banyak

Sebelum membicarakan fungsi rasional ada baiknya kita ketahui terlebih dahulu

mengenai apa yang disebut dengan suku banyak. Suku banyak disebut pula polinomial. Pada

paket ini hanya dibicarakan suku banyak dalam satu peubah.

Edited by Agustina Page 7

Bentuk umum dari suku banyak adalah sebagai berikut:

01

2

2

1

1 ... axaxaxaxa n

n

n

n

n

n

dengan 0na

Bilangan n disebut derajat suku banyak. Bilangan-bilangan onnn aaaaa ,,...,,, 121

disebut koefisien suku banyak. Jika koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilangan-

bilangan nyata, maka suku banyaknya disebut suku banyak nyata (real polynomials). Jika

koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilangan-bilangan rasional, maka suku banyaknya

disebut suku banyak rasional (rational polynomials). Dalam paket ini yang dibicarakan adalah

suku banyak rasional. Mirip dengan fungsi, suku banyak sering dinyatakan dengan P(x), Q(x),

dan sebagainya.

B. Definisi Fungsi Rasional

Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain) secara

tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak akan pernah

memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama. Penulisan fungsi

dilambangkan dengan

dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f disebut

bayangan x dan ditulis

( )

dibaca “ f dari x”.sedangkan ekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat dinyatakan dalam

bentuk pecahan 0, bb

a.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi rasional kadang-kadang juga disebut sebagai

fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh )(),(,)(

)()( xQxP

xQ

xPxf merupakan

polinomial dalam x dan 0)( xQ pada domainnya.

Contoh-contoh fungsi pecah adalah sebagai berikut

53

34)(,

5

34)(,

2

32)(,

5)(

2

22

xx

xxxf

x

xxxf

x

xxf

xxf

C. Mengevaluasi Fungsi Rasional

Konsep fungsi dalam matematika umumnya diartikan sebagai pemetaan yang

menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yaitu daerah asal (domain) dan daerah hasil

(range). Persamaan atau kesamaan akan terjadi apabila jumlah anggota himpunan yang

berhubungan adalah sama, sehingga satu anggota daerah asal berhubungan hanya dengan satu

anggota daerah hasil.

Edited by Agustina Page 8

Mengevaluasi fungsi rasional dapat dilakukan dengan cara subtitusi suatu nilai x atau

suatu nilai y yang diinginkan untuk mendapatkan hubungan, dimana x merupakan domain dan

y adalah range.

Contoh 1 :

Evaluasi fungsi rasional ,127

242)(

2

2

xx

xxxr untuk x = -5

Untuk menjawab soal seperti ini, cukup dengan mengganti atau subtitusi nilai 5 untuk setiap x

pada fungsi lalu disederhanakan.

8

1

72

9

123525

241025

12)5(7)5(

24)5(2)5()5(

2

2

r

D. Operasi Pada Fungsi Rasional

Mengoperasikan fungsi rasional tidak jauh berbeda dengan cara mengoperasikan

pecahan, yang membedakan fungsi ini menggunakan polinomial pada pembilang dan

penyebutnya, sehingga dibutuhkan banyak ketelitian.

Untuk mempermudah pengoperasiannya, akan lebih baik jika polinomialnya di

sederhanakan terlebih dahulu dengan menggunakan faktor (jika bisa), namun ketika

polinomialnya tidak bisa difaktorkan denga cara yang biasa, maka tak perlu memaksakan

untuk menggunakan metode lain karena akan terlihat lebih rumit, cukup mengerjakan tanpa

mengubahnya.

Bentuk umum beberapa pengoperasian fungsi rasional, jika diketahui )(

)()(

xQ

xPxg dan

)(

)()(

xS

xRxh

1. )()(

)()()()(

)(

)(

)(

)())((

xQxS

xSxPxQxR

xQ

xP

xS

xRxgh

2. )()(

)()(

)(

)(

)(

)())((

xQxS

xPxR

xQ

xP

xS

xRxgh

3. )()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)())((

xPxS

xQxR

xP

xQ

xS

xR

xQ

xP

xS

xRxgh

Edited by Agustina Page 9

E. Nilai Nol Fungsi Rasional

Jika diketahui fungsi ,)(

)()(

xQ

xPxf maka nilai (nilai-nilai) x yang menyebabkan f(x) = 0

disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat

dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x) = 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi

,)(

)()(

xQ

xPxf cukup dengan mencari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x) = 0.

Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu merupakan

nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi kalau nilai x tersebut ternyata juga membuat Q(x) = 0. Untuk x

yang bersama-sama membuat P(x) dan Q(x) bernilai nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai

tak tentu. Misalnya, pada ,32

2)(

2

2

xx

xxxf nilai x = 1 bukan nilai nol (pembuat nol) dari

fungsi f(x) sekalipun untuk 2)( 2 xxxP berlaku P(1) = 0. Ini karena juga berlaku Q(1) =

0, sehingga f(1) bernilai tak tentu. Tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol. Ini terjadi

kalau P(x) tidak mungkin bernilai nol.