GEOMETRI TRANSFORMASI SEMESTER V (LIMA)

OLEH :

DOSEN PENGAMPU

SUTINI, M.Si

FAKULTAS TARBIYAH

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA

PEMBAHASAN

A. Transformasi

Definisi :

Suatu trnsformasi bidang adalah fungsi satu-satu dari bidang onto bidang.

Contoh :

Pilihlah pada bidang euclides V suatu sistem Ortogonal. T adalah padanan yang mengaitkan setiap titikP dengan P' yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi !!

Jawab : Y

P P'

0 X

Kalau P = (x,y) maka T (P) = P' dan P' = (x = 1,y)

Jelas aerah asal T adalah seluruh bidang V.

Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu :

1). Apakah T surjektif ?

2). Apakah T injektif ?

Jika A (x,y), pertanyaannya yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prepeta oleh T ?

Andaikan B = (x', y')

1). Kalau B ini prapeta titik A (x,y) maka haruslah berlaku T (B) = (x' + 1, y')

Jadi x' + 1 = x, y' = y

1

x' = x - 1

Atau

y' = y

jelas T (x-1, y) = ((x-1) + 1, y) = (x,y)

oleh karena x', y' selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada sehingga

T(B) = A

Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiiki prapeta yang berarti bahwa T surjektif.

2). Andaikan P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q

Apakah T (P) ≠ T (Q)?

Di sini T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = (x2 + 1, y2)

Kalau T (P) = T (Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2)

Jadi x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 , ini berarti x1 = x2 dan y1 = y2. Jadi P = Q.

Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. Jadi haruslah T (P) ≠ T (Q).

Dengan demikian, ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang bijektif. Jai T suatu transformasi dari V ke V.

Hasil kali transformasi (Komposisi Transformasi)

Definisi :

Misalkan ada dua transformasi T 1dan T 2 maka komposisi dari T 1 dan

T 2 merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi T1 o T 2 ditetapkan sebagai :

(T 1 o T 2 ) (R) = T 1 [T 2 (R)], " RÎn .

Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah :

2

1. T 1 o T 2 fungsi dari n ke n

Karena T 2 suatu transformasi maka T 2 merupakan fungsi dari n ke n ,

sehingga prapeta dari T 1 o T 2 = prapeta dari T 2.

Ambil x În sebarang, karena T 2 transformasi berarti ada y În sehingga

T 2 (x)= y dan T 1 juga merupakan transformasi berarti ada z În sehingga

T 1 (y) = z.\ z =T 1 (y), y =T 2 (x)

z =T 1 [T 2 (x)]=(T 1 o T 2 )(x)

Jadi " xÎn nilai dari (T 1 o T 2 )(x) adalah z În . Akibatnya transformasi ini

dikatakan sebagai fungsi dari n ke n

2. T 1 o T 2 fungsi bijektif :

a) T 1 o T 2 fungsi kepada

ambil z În karena T 1 transformasi maka T 1 fungsi kepada,

akibatnya ada y În sehingga T 1 (y)= z dan karena T 2 juga

transformasi maka T 2 juga fungsi kepada, akibatnya y În sehingga

T 2 (x)= y . Jadi, untuk z În sebarang ada x În sehingga

z= T 1 (y)= T 1 [T 2 (x)] =(T 1 o T 2 )(x). \" În mempunyai prapeta oleh T 1 o T 2 akibatnya T 1 o T 2 suatu fungsi kepada.

b) T 1 o T 2 fungsi satu – satu

ambil x,y În sehingga (T 1 o T 2 )(x)=(T 1 o T 2 )(y) maka

T 1 [T 2 (x)]=T 1 [T 2 (y)] dari hubungan ini didapat T 2 (x)=T 2 (y)® x = y. karena T1 o T 2 fungsi satu – satu dan kepada

Maka T 1 o T 2 suatu fungsi bijektif.

Kesimpulan : dari uraian di atas maka T 1o T 2 suatu transformasi.

3

B. Isometri

Definisi :

Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik-titik P dan Q,

P' Q' = PQ

Dengan P' = T (P) dan Q' = T (Q)

Perlu diperhatikan bahwa definisi ini tidak memerlukan PP' = QQ'. Dengan kata lain, dalam isometri tidak memerlukan sifat mempertahankan jarak antara suatu titik dengan bayangannya (petanya).

Contoh :

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :

T (P) = P'

= (x,-y)

Dengan bekal pengetahuan terdahulu, dapat dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil sepasang titik A' (a1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian buktikan bahwa A' B' = AB.

Y A (a1,a2)

B (b1,b2)

x

B' (b1,-b2)

A' (a1,-a2)

Dengan rumus jarak, diperoleh :

A' B' =

=

4

=

=

= AB

Karena itu, T adalah isometri.

Teorema 1 :

Setiap Refeksi garis adalah suatu isometri.

Bukti :

Pembuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat bahwa suatu sistem koordinat dapat dibentuk dengan menggunakan sepasang garis tegak lurus dalam suatu satuan panjang, serta menetapkan sumbu x dan y positifnya, kita bebas memilih sumbu mana yang akan dijadikan sumbu refleksi. Dalam hal ini, dipilih sumbu x sebagai garis s – nya, sedangkan sumbu y menjadi garis yang tegak lurus s.

Teorema 2 :

Sebuah isometri bersifat :

1. Memetakan garis menjadi garis.2. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis.3. Mengawatkan kesejajaran dua garis.

Bukti :

a). Andaiakan g sebuah garis dan T suatu isometri.

Kia akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga.

B B'

A A'

g h

Ambil A g dan B g. Maka A' = T (A) h, B' = T (B) h ; melalui A' dan B' ada satu garis, misalnya h'.

5

Akan kita buktikan h' = h.

Untuk ini akan dibuktikan h' h dan h h'

(i) Bukti h' hAmbil X' h'. Oleh karena bidang kita adalah bidang euclides,kita andaikan (A', X', B'), artinya A' X' + X' B' = A' B'. Oleh karena T suatu isometri. Jadi sutu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X' dan oleh karena T suatu isometri maka AX = A' X' ; begitu pula XB = X' B'. Jadi pula AX + XB = AB. Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g.Ini berarti lagi bahwa X' = T (X) h.Sehingga h' h sebab buti serupa berlaku untuk posisi X' dengan (X', A', B') atau (A', B', X').

(ii) Bukti h h'Ada lagi Y' hMaka ada Y g sehingga T (Y) = Y' dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y V g dan AY + YB = AB. Oleh karena T suatu isometri maka A' Y' = AY, Y' B' = YB, dan A' B' = AB.Sehingga A' Y' + B' Y' = A' B'. Ini berarti bahwa A', Y', B' segaris, yaitu garis yang melewati A' dan B'.Oleh karena h' satu-satunya garis yang melalui A' dan B' maka Y' h'. Jadi haruslah h h'.Bukti serupa berlaku pada keadaan (Y A B) atau (A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.

b). Ambil sebuah < ABC

A A'

B C B' C'

Andaikan A' = T (A), B' = T (B), C' = T (C)

Menurut (a), maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus.

Oleh karena < ABC = BA BC maka < A' B' C' = B' A' B' C' sedangkan A' B' = AB,

B' C' = BC, C' A' = CA.

Sehingga ABC A' B' C'. Jadi < A' B' C' = < ABC.

6

Sehingga suatu isometri dapat mengawetkan besarnya suatu sudut.

c).

a b a' b'

Kita harus memperlihatkan a' // b'.

Andaikan a' memotong b' di sebuah titik P'. Jadi P' a' dan P b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (P) = P' dengan P a dan P b.

Ini bearti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b.

Maka pengandaian bahwa a'memotong b' salah.

Jadi haruslah a' // b'.

Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1.3 ialah bahwa apabila a b maka T(a) T (b) dengan T sebuah isometri.

Contoh : Diketahui garis g { (x.y)│y = - x }dan h { (x,y)│y = 2x – 3 }.

Apabila Mg adalah releksi pada garis g, tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).

Jawab :

Oleh karena g sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h' adalah sebuah garis.

Y

7

0 R Q X

P

Garis h' akan melalui titik potong pada h dan g misalnya R, sebab Mg (R) = R.

Jelas bahwa R = (1, -1) : h akan pula melalui Q' = Mg (Q).

Oleh karena Q = (3/2, 0) maka Q' = (0, -3/2).

Dengan demikian persamaan h' adalah :

h' = { (x, y) │x – 2y – 3 = 0 }

Isometri Langsung dan Isometri Lawan

Definisi :

Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak

segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum

jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila

urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka,

P,Q,R disebut memiliki orientasi positif.

Definisi :

Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi

itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut

transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah

orientasi.

Definisi :

Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi

8

apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak

segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan

lainnya disebut mengubah orientasi.

Isometri lawan

misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

P R P' Q'

Q R'

D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' searah

dengan jarum jam (-).

Isometri langsung

misalnya suatu rotasi (perputaran)

P R'

Q R P' Q'

D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' tetap

berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :

• Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.

• Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di

lihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah sebuah

isometri langsung.

• Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri

9

lawan.

C. Involusi

Teorema :

Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri.

Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi.

Bukti :

Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan yag lalu maka dapat dinyatakan

(TL)-1 = L-1 T-1

Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1

= [T(LI-1)] T-1

= [TI] T-1

= TT-1

= I

Dengan cara yang sama diperoleh

(L-1T-1) (TL) = I

D. Kolineasi

Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi.

Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi.

Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan berupa garis lagi.

10

Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T(g) berupa garis, yaitu himpunan titik P’ = T(P) dengan P terletak pada g.

Contoh :

1. f(x) = x2 dengan x > 0

Fungsi di atas dapat dipandang sebagai transformasi dengan domain

sumbu X positif yang berupa garis lurus, dan hasil transformasinya berupa

kurva y = x2.

f(x) bisa dituliskan sebagai

transformasi

T : (x,0)→(x,x2)

Rumus transformasinya :

Gambar di samping memperlihatkan

bahwa hasil transformasi garis lurus

(sumbu X positif) adalah kurva y = x2

yang tidak berupa garis lurus.

Maka dapat disimpulkan bahwa T (x,0)=(x,x2) bukan kolineasi. Atau

fungsi f(x) = x2 bukan transformasi kolineasi.

2. f(x) = x + 1

Fungsi itu dapat dinyatakan

sebagai transformasi T : (x,0)

→(x,x + 1), yaitu

mentransformasikan garis lurus

(sumbu X) menjadi garis y = x + 1.

Rumus transformasinya .

11

X

Y

y = x2

O

X

Y

O

y = x + 1

1

-1

Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus

(sumbu X) juga berupa garis lurus (y = x + 1). Maka fungsi f(x) = x + 1

merupakan transformasi kolineasi.

3. f(x,y) = x + 2y

Bisa dianggap sebagai transformasi T : (x,y,0) → (x,y, x + 2y), yaitu yang

mentransformasikan bidang XOY menjadi bidang z = x + 2y.

Rumus transformasinya

Gambar di samping

memperlihatkan bahwa hasil

transformasi bidang XOY juga

berupa bidang datar (z = x +

2y).

Bisa dikatakan, setiap garis pada bidang XOY ditransformasikan menjadi

garis yang menyusun bidang z = x + 2y. Maka, f(x,y) = x + 2y merupakan

transformasi kolineasi.

Diantara kolineasi-kolineasi ini ada yang disebut dilatasi.

Definisi : suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat (g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran.

PEMBAHASAN

1. Setengah Putaran

1.1 Ketentuan dan Sifat

12

X

Y

O

Z

z = x + 2y

Definisi : Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan SA

yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :

1) Apabila P ≠ A maka SA (P) = P' , sehingga A titik tengah ruas garis PP'

2) SA (A) = A

Teorema 7.1 : Andaikan A sebuah titik dan g dan h dua garis tegak lurus yang

berpotongan di A. Maka SA = MgMh.

Bukti : Oleh karena g ┴ h , maka kita dapat membuat sebuah sistem sumbu

orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y.

A dipakai sebagai titik asal. Y

P' (-x,y) P (x,y)

g

P" (-x,-y) h

Harus dibuktikan bahwa untuk setiap P berlaku SA (P) = MgMh (P)

Andaikan P (x,y) ≠ A dan andaikan pula bahwa SA (P) = P " (x1,y1).

Oleh karena A titik tengah PP" maka (0,0) = x1 + x y1 + y

2 2

Sehingga x1 + x = 0 dan y1 + y = 0 atau x1 = -x dan y1 = -y

Jadi SA (P) = P (-x,-y).

13

Perhatikan sekarang komposisi pencerminan

(MgMh) (P) = Mg [Mh (P) ] = Mg [(-x,y) ] = (-x,-y)

Jadi kalau P ≠ A maka

SA (P) = MgMh (P)

Jika P = A maka

(MgMh) (P) = Sg (A) = A

Sedangkan SA (A) = A . Jadi MgMh (A) = SA (A) sehingga untuk setiap P pada

bidang berlaku

MgMh (A) = SA (P)

Ini berarti : MgMh = SA

Teorema 7.2 : Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = MhMg.

Bukti : Kalau P = A maka

MgMh (A) = Mg (A) = A

Juga MhMg (A) = Mh (A) = A

Sehingga MgMh (A) = MhMg (A)

Untuk P ≠ A maka MgMh = SA

Selanjutnya MhMg (P) = Mh ( (x,-y) ) = (-x,-y) = SA (P)

Jadi MhMg = SA

Sehingga diperoleh MgMh = MhMg

Teorema 7.3 : Jika SA setengah putaran, maka SA-1 = SA

Bukti : Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = SA dengan A

titik potong antara g dan h .

14

Jadi (MgMh)-1 = Mh-1 Mg

-1 = SA-1

Oleh karena Mh-1 = Mh dan Mg

-1 = Mg maka MhMg = SA-1 . Menurut teorema 7.2

MhMg = MgMh oleh karena g ┴ h .

Jadi SA-1 = MgMh = SA .

teorema 7.4: jika A = (a,b) dan P(x,y) maka

2. Geseran (Translasi)

2.1 Ketentuan dan Sifat – sifat

Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A

dan B maka AA" = BB" dengan A" = MhMg (A) dan B" = MhMg (B) .

Bukti : Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya g sebagai sumbu y

dan sebuah garis tegak lurus pada g , sebagai sumbu x

y

A A"

N

B B"

15

Andaikan A = (a1 , a2 ) dan B = (b1 , b2 ) . Kalau N tengah-tengah ruas garis A"B maka harus dibuktikan SN (A) = B" . Andaikan persamaan h adalah x = k (k ≠ 0),

apabila P = (x,y) dan P' = Mh (P) maka PP' memotong h disebuah titik Q (k,y)

dengan Q sebagai titik tengah PP' , jadi P' = Mh (P) = (2k – x, y) sedangkan Mg (P) = (-x,y).

Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh [(-x,y)] = (2k + x,y)

Jadi pula A" = MhMg (A) = (2x + a1 , a2 )

B" = MhMg (B) = (2x + b1 , b2 )

Oleh karena N titik tengah A"B, maka

N = (2k + a1) + b1a2 + b2

2 2

Sedangkan SN (A) = 2 (2k + a1 + a2 -a1 , 2 a2 + b2 -a2

2 2

Atau SN (A) = (2k + b1 , b2 ) = B"

Dengan demikian maka AA" = BB"

Jadi setiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik

petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap ruas garis berarah seperti di

atas. Jadi hasil transformasi Mhmg adalah seakan – akan kita menggeser setiap titik

sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi

(geseran).

16

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis

berarah AB sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan

PP' = AB .

Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB suatu

garis berarah maka dengan lambing GAB kita maksud sebuah geseran yang sesuai

dengan AB ; nanti akan dibuktikan bahwa suatu geseran adalah suatu

transformasi. Sebelumnya akan dibuktikan teorema berikut :

Teorema 10.2 : Apabila AB = CD maka GAB = GCD

Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan GAB (X) = GCD (X)

Andaikan GAB (X) = X1 dan GCD (X) = X2

Jadi XX1 = AB dan XX2 = CD

Karena AB = CD maka XX1 = XX2 ini berarti bahwa X1 = X2 sehingga GAB = GCD

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis

berarah tegak lurus pada g dan C є g dan D є h .

Apabila AB = 2 CD maka GAB = MhMg .

Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P' = GAB (P) dan P" = MhMg (P),

maka harus dibuktikan bahwa P' = P"

17

C"

D B P"

C

h

A

P g

Menurut ketentuan geseran, PP' = AB. Oleh karena AB = 2 CD, maka PP' = 2 CD.

Berhubung C" = MhMg (C) , C є g , maka C" = Mh (C) .

Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" = 2 CD . Oleh karena CC" = PP"

(teorema 10.1), maka PP" = 2 CD = PP' .

Ini berarti bahwa P' = P" jadi GAB (P) = MhMg (P)

Karena P sebarang, maka GAB = MhMg.

Catatan :

1 ) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat

sebagai hasil kali dua reflexi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan

berjarak 1/2 AB.

2 ) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g , h dan n tiga garis

masing – masing tegak lurus di A , di M dan di B pada AB maka GAB = MhMg =

MnMh.

18

g h n

A

M B

3 ) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasil kali dua reflexi

sedangkan suatu reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah

suatu transformasi yang merupakan isometri pula karena suatu reflexi adalah

suatu isometri. Lagi pula suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu

isometri lawan.

Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)-1 = GBA

Bukti : Oleh karena himpunan isometri – isometri merupakan grup bagian dari

grup transformasi – transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)-1

GAB = MhMg = MnMh.

Sedangkan

GAB = MhMn = MgMh

Sehingga

(GAB)-1 = (MnMh)-1 Mh-1 Mn

-1 = MhMn = G BA

Jadi

(GAB)-1 = GAB

19

2.2 Komposisi Translasi

Teorema 10.5 : Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik

sehingga AB = 2 CD maka

GAB = SDSC

Bukti : Andaikan g = CD , k ┴ g di C , m ┴ g di G .

g

B

D

C

A m

K

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m . Oleh karena AB = 2 CD maka GAB =

MmMk sedangkan SD = MmMg dan SC = MgMk .

Jadi :

SDSC = (MmMg) (MgMk) = Mm (MgMg) Mk

Atau

SDSC = Mm I Mk = MmMk

20

Dengan demikian maka

GAB = SDSC

Contoh : Jika A = (3,-1) , B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang

diketahui, tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SDSC

Jawaban : Andaikan E sebuah titik sehingga CE = AB maka

E = (4 + [1 -3] , 2 + [7-(-1)] ) atau E = (2,10)

Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) , sehingga

CE = 2 CD

Jadi AB = 2 CD

Menurut teorema 10.5 diperoleh GAB = SDSC maka titik D yang dicari adalah (3,6)

Teorema 10.6 : Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu

setengah putaran.

Bukti : Andaikan GAB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang.

Andaikan E titik (yang tunggal) sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka

CE = 2 CD ; menurut teorema 10.5

GAB = SDSC

Jadi GABSC = (SDSC)SC = SD(SCSC) = SD I = SD maka GABSC = SD

Akibat : Andaikan SA , SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SC SB SA

=

SD dengan D sebuah titik sehingga AD = BC

21

Bukti : Kita peroleh berturut-turut : SC SB = G ZBC , jadi SC SCSA

A B

D C

Gambar 10.6

Andaikan G ZBCSA = SX maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX

Jadi SC SB SA = SD sehingga BC = AD

Perhatikan dua geseran GAB dan GBC , maka GBC (A) = B, dan GBC (B) = C,

sehingga dapat kita tulis bahwa GBC GAB (A) = C (gambar 10.7).

Apabila E titik sebarang, maka GAB (E) = E ' dengan EE ' = AB sedangkan (E ") =

E "

sehingga E ' E " = BC E'

B

Q

A P R C E E"

Maka GBC GAB (E) = E " dengan EE " = AC sehingga

22

GEE ' (E) = E " = GAC (E). jadi GBC GAB = GAC

Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema 10.6 :

Andaikan P, Q dua titik sehingga 2 PQ = AB dan titik R sehngga 2 QR = BC

maka

GAB = SQSP dan GBC = S2SQ Q

Sehingga

GBC GAB = (SRSQ) (SQSP) = SRSQ

Oleh karena 2 PR = AC maka SR SP = GAC

Jadi

GBC GAB = GAC

Dengan demikian terbukti teorema berikut :

Teorema 10.7

Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

B E’

A gb.1 C E gb.2 E”

GAB (A) = B

GBC(B) = C maka GBCGAB(A) = C

EE’ = AB

EE” = BC

Kemudian ambil sebarang titik E yang digeser

23

GAB (E) = E’

GBC(E’) = E” maka GBCGAB(E) = E”

Sehingga GEE’(E) = E” jadi GBCGAB(A) = AC

Catatan :

Apabila

Disini adalah transformasi identitas. Jadi kalau maka kalau

dianggap sebagai translasi, teorema di atas tetap berlaku.

Teorema 10.8

Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik dan A(a,b) dan T

transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P (x,y) sebagai

Bukti:

Untuk . Andaikan maka

sehingga

Jadi .

Ini berarti

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat (teorema 10.7) perhatikan dua

translasi .

24

Andaikan A=(a,b) dan B=(c,d) dua titik sehingga maka

apabila P(x,y) titik sebarang, diperoleh dan

maka

Ini berarti bahwa adalah translasi yang membawa titik 0(0,0) ke titik

(a+c,b+d)

A. REFLEKSI

Pencerminan terhadap garis g disimpulkan M(g), garis g disebut sumbu

pencerminan. Jika titik A di luar garis g maka A' dapat diperoleh dengan

menarik garis tegak lurus g sedemikian hingga jarak A ke sumbu pencerminan

sama dengan jarak peta ke sumbu pencerminan.

I. Sifat-sifat Refleksi

Definisi :

Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis S adalah suatu fungsi M

yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut :

25

P

A'

AP = A'P .

1. Jika P S maka Ms(P) = P

2. Jika P S maka Ms(P) = P' sehingga garis S adalah sumbu PP'

menjadi tegak lurus

1. Pencerminan merupakan transformasi

a. Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh

bidang V.

b. Ms adalah padanan yang surjektif sebab ambil x' V.

Jika x' S maka x = x' sebab Ms (x) = x = x'

Andaikan x' s

Dari sifat geometri ada x V sehingga S menjadi sumbu ruas xx'

ini berarti bahwa Ms (x) = x'. Artinya, setiap x' memiliki prapeta.

Jadi M adalah subjektif.

Andai A = B dengan A S dan B S

Maka A' = Ms(A) = A dan B' = Ms(B) = B

Jadi A' B'

Misal A S maka A' = Ms(A), karena B S, B' = Ms dengan B’ S.

Disini pula A' B' atau Ms(A) Ms(B) terbukti M adalah

injektif.

Jadi, M adalah sebuah transformasi.

2. Pencerminan merupakan isometric

Bukti : ambil sebarang titik A dan B pada Rx

Misal A' dan B' masing-masing merupakan peta A dan B oleh refleksi

F(g).

26

A

P' B

P Q

P" B'

A'

g

Buat // dan //

Maka BP' = PQ , B'P" = PQ dan AP' = A'P"

Lihat AP'B dan A'B'P"

AP' = A'P"

BP' = B'P"

AP'B = A' P" B'

AP'B A' B' P" (s sd s)

Akibatnya AB = A' B'

Karena A dan B sebarang R2 dan berlaku AB = A' B' maka refleksi

merupakan isometric.

II. Sifat-sifat Komposisi Refleksi

1. Hasil kali transformasi yang terdiri atas dua refleksi adalah suatu

setengah putaran dengan pusat titik potong sumbu-sumbu refleksi

apabila sumbu-sumbu ini tegak lurus.

Teorema 7.2

Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = MhMg

27

Bukti :

Kalau P = A, maka MgMh (A) = Mg(A) = A

Juga Mh Mg (A) = Mh (A) = A

Sehingga MgMh (A) = MhMg (A)

Untuk P A, maka MgMh = SA

Selanjutnya MhMg (P) = Mh (x, -y) = (-x, -y) = SA (P)

Jadi MhMg = SA

Sehingga diperoleh MgMh = MhMg

2. Apabila sumbu-sumbu refleksi itu sejajar maka hasil kali dua refleksi

menghasilkan suatu gesekan (translasi)

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila dua titik A dan B

maka dengan A" = MhMg(A) dan B"

= MnMg (B).

28

y

h

g' h'

p (x, y)

p' (x, -y)p" (-x, -y)

x

Bukti :

Misal, g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai

sumbu x.

Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Kalau N tengah-tengah ruas

garis maka harus dibuktikan SN(A) = B". Andaikan

persamaan h adalah x = k (k 0), apabila P = (x, y) dan P' = Mh(P)

maka PP' memotong h di sebuah titik Q(k, y) dengan Q sebagai titik

tengah , jadi P' = Mh (P) = (2k-x, y) sedangkan Mg(P) = (-x, y)

Jadi MhMg(P) = MhMg(P) = Mh [(-x,y)] = (2kx, y)

Jadi pula A" = MhMg(A) = (2x + a1, a2)

B" = MhMg(B) = (2x + b1, b2)

Oleh karena N titik tengah , maka

N =

29

A

y

N

A"

B"

0

g h

B

x

Sedangkan SN(A) = 2

atau SN(A) = (2k + b1, b2) = B"

Dengan demikian maka

3. Hasil kali dua refleksi yang sumbu-sumbunya tidak tegak lurus dan

tidak pula sejajar menghasilkan suatu putaran (rotasi) dengan titik

potong kedua garis itu sebagai pusat.

Teorema 11.2

Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A

dan jika sudut antara garis s ke garis t adalah 1/2 , maka RA = MtMs

Andaikan sebuah titik P A dan titik K A pada s. Andaikan k' =

MtMs (K) maka m ( KAK') = 2 x ½ =

Jika P' = MtMs(P) maka menurut teorema 11.1 m ( PAP') =

m ( KAK'), sehingga m ( PAP') =

Berhubung A' = MtMs(A) = A dan berhubung MtMs sebuah isometri

maka P'A' = PA atau PA = P'A'. Menurut ketentuan maka MtMs = RA.

B. ROTASI

30

k't

kA s

Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi , adalah sebuah transformasi

titik pada R2 ditransformasikan ke titik A1 dan A1PA =

Dengan demikian untuk dapat melakukan putaran harus ada atau ditentukan

dulu sebuah titik sebagai pusat putaran dan sebuah sudut sebagai sudut

putaran. Jika arah putar A ke A' berlawanan dengan putaran jarum jam,

diberi tanda positif dan sebaliknya negatif.

Dari pengertian rotasi di atas jelaslah bahwa :

J (P, A) = J (P, A')

Rotasi pusat P dan sudut ditulis R (P, )

I. Sifat-sifat Rotasi

1. Teorema 4.1

Suatu rotasi merupakan isometri

Bukti : Ambil sebarang titik A dan B di R2

Misal oleh rotasi R(P,) ; R(A) = A1 dan R(B) = B2

J (P,A) = J (P, A1 dan J) P, B) = J (P, B1)

Lihat PAB dan PA1B1

PA = PA1 dan PB = PB1

APA1 = BPB1 = B1PA1 = - A1PB BPA = - A1PB

Jadi B1PA1 = BPA

31

A1

AP

Jadi PAB = PAB1 (s, sd, s)

Akibatnya AB = A1B1

Hal ini berlaku untuk setiap titik A B di R2

Jadi rotasi adalah sebuah isometri

Misal diketahui R1(P, 1) dan R2(P, 2) sedang R1(A) = A1 dan R2(A')

= A", Rotasi R1 diteruskan R2 dari titik A ditulis :

R2(R1(A)) = A" atau (R2, R1) (A) = A"

Transformasi R2, R1 juga merupakan rotasi dengan pusat P dan sudut

putar 1 + 2

2. Teorema 4.2

Jika R1 dan R2 suatu rotasi dengan pusat sama maka untuk setiap titik

A R2 berlaku (R2, R1) (A) = (R1, R2) (A)

32

B'

P A

B

A'

P

2

1

A"

A'

A

Bukti :

J (P, A) = J (P, AI), def R1

J (P, AI) = J (P, AII) , def R2

J (P, A) = J (P, AIII), def R2

J (P, AIII) = J (P, AIV), def R1

Jadi J (P, A) = J (P, AIV) ………………1)

J (P, A) = J (P, AIV) ……………… 2)

Dari 1) dan 2) didapat J (P, A) = J (P, AII) = J (P, AIV)

Jadi, (R2, R1) (A) = (R1, R2) (A)

Misal rotasi R1(P, ) dan R2(P1, -) dan (R2, R1) (A) = A

untuk setiap A R2, maka R2 disebut invers R2 dan juga R1 invers R2

Dengan demikian R2 dan R1-1 dan R1 = R2

-1

A. SIFAT-SIFAT KOMPOSISI REFLEKSI

Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

F : V V

G : V V

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F

didefinisikan sebagai

( G o F ) (P ) = G [F (P )], P Є V.

33

P A

A'

1

1

A"

1

1

P

A'

A"'

A

Teorema 5.1 : Jika F : V V dan G : V V masing – masing suatu

transformasi, maka hasil kali H = G o F : V V adalah juga suatu

transformasi.

Bukti :

Untuk ini harus dibuktikan dua hal yaitu : 1) H surjektif, 2) H injektif.

1) Oleh karena F suatu transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V,

dan daerah asal G juga seluruh V sebab G transformasi juga.

Ambil y Є V ; apakah ada x sehingga H(x) = y ?

Karena G transformasi maka untuk setiap y Є V ada z Є V sehingga y = G(z).

Karena F suatu transformasi maka pada z ini ada x Є V sehingga z = F(x).

Maka y = G {F (x)} atau y = ( G o F ) (x). Jadi y = H(x).

2) Untuk membuktikan bahwa H injektif, harus kita perlihatkan bahwa kalau P ≠

Q maka H(P ) ≠ H(Q ).

Andaikan H(P ) = H(Q ), maka G [F (P )] = G [F(Q )]

Oleh karena G injektif maka F(P ) = F(Q ), karena F injektif maka pula P = Q.

Ini bertentangan dengan pengandaian bahwa P ≠ Q.

Jadi permisalan bahwa H(P ) = H(Q ) tidak benar.

Sehingga haruslah H(P ) ≠ H(Q ).

Catatan : Dengan jalan yang serupa dapat pula dibuktikan bahwa hasil kali F o

G juga suatu transformasi.

Contoh : Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi

T : V V yang didefinisikan sebagai berikut : Jika X Є g maka T(X) =

X.

Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g ( gambar 5.1.)

yang tegak lurus.

34L

g

T(X)

Xh

y

Gambar 5.1.

Jelas T suatu transformasi ( buktikan ). Apakah T suatu isometri? Ambil

kemudian transformasi kedua, misalnya sebagai berikut :

Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah refleksi pada garis h. Jadi hasil kali Mh

[T (X)] = Y adalah suatu transformasi pula sehingga Y = ( Mh o T ) (X).

Apakah hasil kali ini suatu isometri? Selidiki !

Pada contoh di atas kebetulan Mh o T = T o Mh . Untuk membuktikan ini

ambillah pada gambar 5.1. , garis g sebagai sumbu X suatu sistem h dan g kita

ambil sebagai titik asal.

Andaikan X = ( x, y ) maka T(x) = ( x, y ) dan Mh [T (x)] = ( -x, y ).

Selanjutnya perhatikan ( T o Mh ) (X) = T [Mh (X)]

Kalau X = ( x, y ) maka Mh(x) = ( -x, y ) dan T [Mh (X)] = ( -x, y ).

Oleh karena Mh [T (X)] = T [Mh (X)] maka ( Mh o T ) (X) = ( T o Mh ) (X)

Yang berlaku untuk semua X Є V . Jadi Mh o T = T o Mh.

Akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku.

Untuk memperlihatkan ini, ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus

pada g. Lihat gambar 5.2.

35

>

>

T(X)

X

L

h

gT[Mh(X)]

Mh(X)Mh [T(X)]

Gambar 5.2

Tampak bahwa Mh [T (X)] ≠ T [Mh (X)]. Jadi Mh o T ≠ T o Mh.

Dari contoh di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka

S o T ≠ T o S.

Buktikan bahwa memang Mh [T (X)] ≠ T [Mh (X)] pada gambar 5.2.

Hasil kali transformasi yang telah dibahas di atas tidak hanya terbatas pada dua

transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T2 o T1 kemudian

dikalikan dengan T3. Untuk hasil kali transformasi ini kita tulis sebagai T3 (T2

T1).

Jadi andaikan P’ = T1 (P ), P’ = T2 (P’ ). P’’’ = T3 (P’ )

Maka :

[T3 ( T2 T1 )] (P ) = T3 [T2 T1(P )]

= T3 [T2 (T1(P’)]

= T3 [T2 (P’ )]

= T3 (P’ )

= P’’’

Kita juga dapat mengalikan sebagai berikut :

[( T3T2 ) T1] (P ) = ( T3 T2 ) [T1 (P )]

= ( T3 T2 ) (P )

= T3 [T2 (P’ )]

= T3 (P’’’ )

= P’’’

Jadi hasil kali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat juga mengatakan

bahwa

T3 ( T2 T1 ) = ( T3 T2 ) T1 = T3T2T1

36

37