11. TRANSFORMASI LAPLACEI. A. RINA PRATIWI PUDJA, STP., MP.FTP-UNUD.

PengertianApabila F(t) merupakan fungsi t (waktu), untuk t>0, maka didefinisikan bahwa transformasi laplace dari f(t) yang dinyatakan dalam notasi L f(t) adalah :

dimana :f (t)= fungsi waktu sedemikian rupa sehingga f(t) = 0 untuk t < 0s= variable kompleks dengan anggapan bahwa parameter s adalah rielL= simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya ditransformasi dengan Laplace F(s) = transformasi Laplace dari f(t)

FUNGSI-FUNGSI SEDERHANA1. Fungsi Tangga/Langkah

Jika suatu fungsi f(t)=A mempunyai transformasi laplace, maka trasformasi Laplace dari Af(t), dengan A adalah suatu konstanta, maka :L[A f(t)] = A L[f(t)]

2. Fungsi Eksponensial

Tinjauan fungsi eksponensial :F(t) = 0 untuk t0dengan A dan adalah konstanta. Transformasi Laplace dari fungsi eksponensialini dapat diperoleh sebagai berikut :

3. Fungsi Landai/TanjakTinjauan fungsi :F(t) = 0 untuk t0Dengan A adalah konstanta. Transformasi Laplace dari fungsi landai/tanjak diperoleh:F(t)=At

4. Fungsi SinusoidaTinjauan fungsi :F(t) = 0 untuk t0Dengan A dan adalah konstanta, sin t dapat ditulis :

Transformasi Laplace dari fungsi sinusoidal :

Contoh Tabel Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana dapat dilihat pada Tabel 1.1.

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACELinearitasJika k adalah suatu konstanta atau suatu besaran yang tidak bergantung pada S dan t dimana f(t) adalah fungsi waktu yang dapat ditransformasikan, maka berlaku :L [ k f(t) ] = k L [ f(t) ] = k F(S)

SuperposisiTransformasi Laplace dari penjumlahan dua fungsi f1(t) dan f2(t) adalah jumlah Transformasi Laplace dari kedua fungsi tersebut. Secara matematis :L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(S) + F2(S) = L [ f1(t) ] + L [ f2(t) ]

Translasi Waktu (Translase/Pergeseran)Jika F(S) adalah Transformasi Laplace dari f(t) dan a adalah suatu bilangan positif nyata dimana berlaku f(t-a) = 0 untuk 0

Differensial (Transformasi Fungsi Turunan)Transformasi Laplace dari f (t) dimana f (t) adalah turunan pertama dari f(t) terhadap t, adalah :

Untuk turunan kedua dari f(t) terhadap t, transformasi Laplacenya adalah :

Jika fungsi ini diperluaas ke orde-n, maka transformasi Laplace turunan ke-n adalah :

Dalam hal ini f(0) adalah harga f(t) untuk t = 0.

IntegrasiTransformasi Laplace dari integral suatu fungsi t adalah :

dimana adalah harga awal integral, sedangkan f(0) adalah harga f(t) untuk t=0.Untuk tingkat (orde) yang lebih tinggi, integral ini dapat diperluas menjadi integral dalam orde-n, yaitu :

Nilai AkhirHarga ini memberikan harga f(t) jika t menuju tak berhingga, yaitu :

Teorema ini sangat berguna untuk meramalkan tabiat suatu respon dalam keadaan mantap (steady-state) dalam t tanpa melakukan seluruh transformasi balik terhadap F(S).Nilai Awal Teorema ini memberikan nilai f(t) jika t mendekati nol, yaitu :

dan dipakai untuk menetapkan nilai awal f(t) tanpa melakukan seluruh transformasi balik terhadap F(S).

Integral KompleksJika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(S) dan mempunyai suatu batas, maka berlaku :

Contoh Tabel Sifat-Sifat Transformasi Laplace dari beberapa fungsi, dapat dilihat pada Tabel 1.2.

TRANSFORMASI LAPLACE INVERSPengertianApabila L [f(t)] = F(S), maka yang dimaksud engan Transformasi Laplace Invers adalah :L-1[f(s)], yang dirumuskan L-1 [F(s)] = f(t).Simbul L-1 disebut operator Transformasi Laplace Invers.

Beberapa fungsi penting untuk Transformasi Laplace invers dapat dilihat pada Tabel berikut :

No.F(s)L-1[f(s)] = F(t) 1.12.T3.tn/n!4.eat5.(1/a) sin (at)6.Cos (at)7.(1/a) sin h (at)8.Cos h (at)9.(1/a) ebt sin (at)10.(1/a) ebt sin h (at)

Sifat-Sifat Transformasi Laplace InversSifat Linear L-1 [c1f(s) + c2g(s) + c3h(s)] = c1L-1[f(s)] + c2L-1[g(s)] + c3L-1[h(s)] = c1F(t) + c2G(t) + c3H(t)Sifat translasi atau PergeseranApabila L-1[F(s)] = f(s)] = f(t), maka L-1[F(s)] =

Beberapa sifat penting dari Transformasi Laplace Invers dapat dilihat pada Tabel Berikut:

No.F(s)F(t)1.C1f(s) + c2g(s) C1F(t) + c2G(t)2.a F(at)

3.f(s-a)eat F(t)4.s f(s) F(0)5.s2 f(s) s F(0) F(0)6.F (s)-t F(t)7.F(s)T2 F(t)

Metode untuk mendapatkan Transformasi Laplace Invers :Metode Pecahan ParsialApabila ditemui persamaan, adalah bentuk polinomial dengan derajat g(s) lebih kecil daripada h(s), maka L-1[f(s)]=

dapat ditulis dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut :a.

b.

c.

Metode DeretApabila

Metode Persamaan DifferensialMetode Turunan terhadap ParameterMetode Penggunaan Tabel Laplace Invers

ANALISA KEGUNAAN TRANSFORMASI LAPLACETransformasi Laplace sangat bermanfaat untuk memecahkan persamaan differensial, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat dari :Operasionalisasi Transformasi LaplaceOperasionalisasi Transformasi Laplace InversNilai Batas Awal dari F(t)

Secara lebih jelas pertahapan cara penyelesaian persamaan diferensial dengan menerapkan metode transformasi Laplace digambarkan sebagai berikut :

THANKS FOR YOUR ATTENTION