bab11 anti aliasing

26
Radiosity 463 (3) Jika Ix ~k+ 1) - X ~k)1kurang dari sebuah ambang, untuk i = 1,2, . . ., n, maka menghentikan iterasi tersebut, jika tidak kembali ke langkah 2. Ini dikenal sebagai iterasi Jacobi. Metode Gauss-Seidel meningkatkan konver- gensi dari metode ini dengan memodifikasi Persamaan 10.3 menggunakan infor- masi paling akhir yang tersedia. Pada saat iterasi baru x ~k+ I) dihitung, nilai baru x \k+ I), X ~k+ 1),. . . , X ~~+11) telah dihitung dan Persamaan 10.3 dimodifikasi men- jadi: (k+l) x. I (k+l) (k+l) (k) (k) Ei - ailxl - aj,j-lxi-l - ai.i+lxi+l - ainXn a.. II (10.4) Catat bahwa bila i = 1 sisi sebelah kanan dari persamaan tersebut hanya berisi suku dengan subscript k, dan Persamaan 10.4 sederhana menjadi Persamaan 10.3. Bila i = n maka sisi sebelah kanan hanya berisi suku dengan subscript k + 1saja. Konvergensi dari metode Gauss-Seidel dapat ditingkatkan dengan metode berikut. Oihasilkan sebuah nilai baru X/(k + 1), sebuah nilai yang lebih baik diberikan oleh sebuah rata-rata yang dibebani dari nilai lama dan baru: x~k+l) = rx:(k+l) + (1 - r)x~k) dimana r (>0) adalah sebuah faktor relaksasi sembarang yang tidak tergantung pada k dan i. Cohen dan kawan-kawan (1988) melaporkan bahwa sebuah faktor relaksasi 1.1 bekerja untuk kebanyakan lingkungan.

Upload: beceng

Post on 25-Jun-2015

312 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab11 Anti Aliasing

Radiosity 463

(3) Jika Ix ~k+ 1) - X ~k)1kurang dari sebuah ambang, untuk i = 1,2, . . ., n, makamenghentikan iterasi tersebut, jika tidak kembali ke langkah 2.

Ini dikenal sebagai iterasi Jacobi. Metode Gauss-Seidel meningkatkan konver-gensi dari metode ini dengan memodifikasi Persamaan 10.3 menggunakan infor-

masi paling akhir yang tersedia. Pada saat iterasi baru x ~k+I)dihitung, nilai baru

x \k+ I), X ~k+1),. . . , X ~~+11) telah dihitung dan Persamaan 10.3 dimodifikasi men-jadi:

(k+l)x.I

(k+l) (k+l) (k) (k)Ei - ailxl - aj,j-lxi-l - ai.i+lxi+l - ainXn

a..II

(10.4)

Catat bahwa bila i = 1 sisi sebelah kanan dari persamaan tersebut hanya berisisuku dengan subscript k, dan Persamaan 10.4 sederhana menjadi Persamaan 10.3.Bila i = n maka sisi sebelah kanan hanya berisi suku dengan subscript k + 1saja.

Konvergensi dari metode Gauss-Seidel dapat ditingkatkan dengan metodeberikut. Oihasilkan sebuah nilai baru X/(k+ 1), sebuah nilai yang lebih baikdiberikan oleh sebuah rata-rata yang dibebani dari nilai lama dan baru:

x~k+l) = rx:(k+l) + (1 - r)x~k)

dimana r (>0) adalah sebuah faktor relaksasi sembarang yang tidak tergantungpada k dan i. Cohen dan kawan-kawan (1988) melaporkan bahwa sebuah faktorrelaksasi 1.1 bekerja untuk kebanyakan lingkungan.

Page 2: Bab11 Anti Aliasing

11 Anti-aliasing

11.1 Pendahuluan

Bab ini adalah pendekatan umum terhadap aliasing dalam grafik komputer danmemberikan sebuah latar belakang teoritis yang tidak sangat teliti terhadap suatumasalah. Teknik yang tergantung pada kontks untuk pemetaan tekstur dan pela-cakan sinar dipaparkan dalam Bab 7 dan Bab 8. Pemetaan tekstur, misalnya,memerlukan sebuah pendekatan anti-aliasing khusus dan dengan kebanyakanmetode tekstur, diperlukanteknik pemfilteran 'space-variant'. Anti-aliasingsemen-tara dibahas dalam Bab 8 (pelacakan sinar yang terdistribusi) dan Bab 13 (ani-masi).

Penyebab dasar dari aliasing didalam grafik komputer adalah penciptaan gam-bar dengan sebuah proses pencuplikan yang teratur di dalam kawasan ruang(dan, dalam kasus animasi, waktu). Proses pencuplikan yang disebabkan karenasifat alami piranti tampilan, yang mana di dalam raster grafik adalah sebuah lariktertentu dari pixel yang memiliki ukuran tertentu. Tahap akhir dalam pembangkit-an sebuah gambar adalah perhitungan intensitas untuk masing-masing pixel Iniselalu melibatkan pemetaan sebuah intensitas I(x,y), di dalam ruang gambardua-dimensi yang malar (yakni, sebuah proyeksi dari sebuah ruang tiga-dimensiyang malar. Pemetaan ini, biasanya dihasilkan oleh sebuah algortima bayanganyang bertambah (dimana sebuah intensitas baru I + OJdihitung untuk sebuahposisi baru X + oX) adalah setara dengan pencuplikan ruang gambar dua-dimensisecara terus menerus dengan sebuah larik dari titik cuplik diskret yang di-dasarkan, katakan, pada pusat masing-masing pixel. Pandangan sintesa gambarini sebagai sebuah proses pencuplikan adalah penting dalam anti-aliasing karenaia memungkinkan kita menggunakan teori pengolahan isyarat sebagai sebuahdasar teori.

Manifestasi yang paling terkenal dari aliasing adalah edge bayangan hitamyang bergerigi (Gambar 11.1 dan Plate 25). Sebuah edge bayangan hitam adalah

464

Page 3: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 465

batas dari sebuah poligon, untuk sembarang satuan permukaan, yang menunjuk-kan perbedan nyata pada latar belakangnya. (Secara umum, contrast berarti luasan

terang dan luasan gelap dari warna yang sarna: Aliasing tidak tampak bila edgebayangan hitam dan latar belakang memiliki pencahayaan yang sarna tetapidengan warna yang berbeda - mata lebih peka terhadap perbedaan pencahayaandaripada perbedaan warna.)

Benda hasil aliasing yang lain terjadi bila obyek kecil yang memiliki perluasanruang kurang dari luasan sebuah pixel, yang dirender atau tidak tergantung padaapakah mereka dipotong oleh sebuah titik cuplik. Sebuah obyek yang tipis pan-jang bisa dipotong tergantung pada orientasinya terhadap larik cuplikan (Gambar11.1).

Benda buatan ini khususnya dapat menyebabkan masalah dalam urutan ani-masi. Edge yang bergerigi 'bergerak pelan sekali' dan obyek yang kecil bisatampak atau tidak tampak ('berkilau'). Perubahan ini tidak dapat diterima dalamsimulator penerbangan, misalnya, dimana masalah dari urutan animasi adalahuntuk memerintahkan sebuah penuntun agar bereaksi terhadap perubahan yangsedikit sekali dalam suatu gambar.

Manifestasi penurunan mutu secara khusus dari aliasing terjadi bila teksturdigunakan pada permukaan yang merupakan subyek terhadap sebuah transfor-masi perspektif. Tekstur tersebut pada jarak jauh memisah dan menghasilkanaliasing frekuensi rendah yang kelihatan tinggi dan pola interferensi 'moire'(Gambar 11.2). Lagi ini harus dihilangkan dari simulator penerbangan dimanapola tekstur digunakan sebagai sebuah metode yang murah untuk peningkatankenyataan dan yang memberi isyarat kedalaman.

11.2 Benda buatan aliasing dan teori Fourier

Metode anti-aliasing secara algoritma mudah difahami dan merupakan penyele-saian yang paling sederhana yang mudah diimplementasikan. Dasar teori mereka,yang paling bagus memperlakukan dalam kawasan Fourier, adalah lebih sulit.Bagian ini menganggap sebuah apresiasi yang belum sempurna dari teori Fouriertetapi ia dapat dilompati dengan mudah. Metode standar yang digunakan di dalamanti-aliasing dapat diperlakukan secara informal - mekanismedari algoritmatersebut memberikan sebuah apresiasi yang dapat diterima dari suatu proses.

Page 4: Bab11 Anti Aliasing

466 Pengantar Komputer Grafik

Silhouette edge in Pixel array and samplegridcontinuoustwo-dimensionalimage space

Sampled edge

Jagged edge patterns change depending on line orientation

or:: 0] 0

Long thin objects may completely disappear

Long thin objects break up unpredictably

Gambar 11.1 Benda hasil aliasing yang umum.

Sebuah teori penting - teon pencuplikan - menghubungkan resolusi kisipencuplikan ke sifat alami dari suatu gambar atau, lebih khususnya, ke frekuensiruang dalam gambar tersebut. (Lihat Oppenheim dan Shafer (1975) untuk pena-

. . 0 0 0 o 0_._-- _. --

0 o 0 . o 0 o 0--I- _ - ,- __I-

I:0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 . 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Page 5: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 467

(at

. . .. ., : ;,"'. .. '.: ",'," :.." . .,. .' . ;-:...~: .,..

(h)

Gambar 11.2 Pola dalam (b) adalah sebuah versi supersampel dalam (a). Aliasing masih terjadiakan tetapi tampak pada frekuensi ruang yang lebih tinggi.

nganan yang rinci mengenai pengolahan isyarat digital.) Ini nyata secara intuisibahwa semakin sibuk, atau semakin rinci, suatu gambar, pencuplikan kisi harussemakin lebih bagus untuk menangkap rincian ini. Teori pencuplikan adalah yangpaling mudah diperhatikan untik fungsi-fungsi dari sebuah variabel tungal adalahsebagai berikut:

Sebuah fungsi malar dari sebuah variabel tunggal dapat dinyatakan sepenuh-nya dengan sebuah himpunan cuplikan yang dibuat pada interval yang berja-rak sarna. Interval antara cuplikan ini harus kurang dari setengah periodekomponen frekuensi tertinggi dalam fungsi tersebut.

Sebagai contoh, jika kita memperhatikan sebuah fungsi sinusoidal tunggal x, iamudah dilihat bahwa jika hubungan antara frekuensi pencuplikan dan fungsitersebut diperlihatkan dalam Gambar II.3(a) maka tidak ada informasi yanghHang. Ini berarti bahwa informasi yang asli dapat disusun kembali dari versiyang dicuplik. Frekuensi pencuplikan dalam kasus ini lebih besar dari dua kalifrekuensi sinusoida tersebut. Jika frekuensi pencuplikan sarna dengan dua kalifrekuensi gelombang sinus (Gambar 11.3b)maka cuplikan tersebut dapat berim-pit dengan simpangan nol gelombang sinus seperti yang diperlihatkan, dan tidakada informasi yang dapat dikembalikan dari cuplikan yang berhubungan dengangelombang sinus. Bila frekuensi pencuplikan kurang dari dua kali frekuensigelombang sinus (Gambar II.3c dan d) maka informasi yang terkandung dalam

Page 6: Bab11 Anti Aliasing

468 Pengantar Komputer Grajik

lel)

x

[(x)

./ FUII.:tjOfl'" he "flllpled

(a) (h)

[(x) [(x)

x

Aliasco sine wave

(e)(0)

Gambar 11.3 Pernyataan kawasan ruang darai pencuplikan sebuah gelornbang sinus: (a) selangpencuplikan kurang dari setengah periode gelornbang sinus; (b) selang pencuplikan sarna dengansetengah periode gelornbang sinus; (c) selang pencuplikan lebih besar dari setengah periode gelorn-bang sinus; (d) selang pencuplikan lebih besar dari setengah periode gelornbang sinus tersebut.

cllplikan tersebut menunjukkan gelombang sinus (yang diperlihatkan dengangaris putus) pada frekuensi yang lebih rendah dari fungsi yang dicuplik. Frekuensirendah ini dikenal sebagai 'aliases' dan ini menjelaskan asal istilah tersebut.

Situasi tersebut dapat disama-ratakan dengan memperhatikan bahwa kasus inidalam kawasan frekuensi untuk sebuah j(x) yang berisi informasi, yang bukansebuah gelombang sinus murni. Kini kita memiliki sebuah fungsi j(x) yangmerupakan sembarang variasi umum dalam x dan bisa, misalnya, menyatakanvariasi intensitas sepanjang segmen dari sebuah garis scan. Spektrum frekuensidari daraij{x) akan menampakkan beberapa 'sampul' (Gambar 11.4a) yang me-miliki batas komponen frekuensi tertinggi dalam j{x), katakan, /max.Spektrumfrekuensi dari sebuah fungsi pencuplikan (Gambar 11.4b) adalah sebuah deretdari garis, yang secara teoritis meluas sampai tak berhingga,yang dipisahkan olehselang/s (frekuensi .pencuplikan). Pencuplikan di dalam kawasan ruang melibat-

x

x

Page 7: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 469

(e)f

Id)f

(e)f

Gambar 11.4 Pernyataan kawasan frekuensi dari proses pencuplikan bilafs > 2fmax;(a) spektrumfrekuensi dari j(x); (b) spektrum frekuensi dari fungsi pencuplikan; (c) spektrum frekuensi darifungsi yang dicuplik (konvolusi dari (a) dan (b); (d) filter penyusunan kembali yang ideal; (e)j(x)yang disusun kembali.

kan perkalian j(x) dengan fungsi pencuplikan.Proses yang setara dalam kawasanfrekuensi adalah 'konvolusi' dan spektrum frekuensi dari fungsi pencuplikandikonvolusikan denganj{x) untuk menghasilkan frekuensi spektrum yang diperli-hatkan dalam Gambar 11.4(c) - spektrum versi yang dicuplik darij{x). Fungsiyang dicuplik ini kemudian dikalikan dengan sebuah filter penyusunan kembaliagar menghasilkan fungsi yang asli. Sebuah contoh yang bagus dari proses ini, didalam kawasan waktu, adalah sebuahjaringan telepon modern. Dalam bentuknyayang paling sederhana ini melibatkan pencuplikan gelombang pembicaraan, pe-nyandian, dan pentransmisian versi digital dari masing-masing cuplikan pada

1'1)fm.. ; J. II

IIIII

I I I I I

(h)f-J.

Page 8: Bab11 Anti Aliasing

470 Pengantar Komputer Grafik

(e)

(d)

(e)

Gambar 11.5 Pernyataan kawasan waktu dari proses pencuplikanj.. < 2j;l1ux:(a) spektrum fre-kuensi darifix); (b) spektrum frekuensi dari fungsi pencuplikan; (c) spektrum frekuensi dari fungsiyang dicuplik; (d) filter penyusunan kembali yang ideal; (e)fix) yang terdistorsi.

sebuah kanal komunikasi, kemudian penyusunan kembali isyarat yang asli dari

cuplikan yang disandikan dengan menggunakan sebuah filter penyusunan kem-bali.

Catat bahwa proses penyaringan, yang merupakan perkalian dalam kawasanfrekuensi, adalah konvolusi di dalam kawasan ruang. Sebagai ringkasan, proses didalam kawasan ruang adalah perkalian dari fungsi yang asli dengan fungsi yangdicuplik, yang diikuti dengan konvolusi versi yang dicuplik dari fungsi tersebutdengan sebuah filter penyusunan kembali.

Kini syarat contoh di atas:

Is> 2/max

(a)

i / i\ fI J;u_ : J:I

III

I I I I I(11)

f----

Page 9: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 471

adalah benar. Di dalam contoh yang kedua (gambar 11.5) kita memperlihatkandua proses yang sarnayakni perkaliandan konvolusitetapi saat ini kita mempunyai:

is < 2flllox

Sambillalu,is/2 dikenal sebagai batas Niquist. Di sini sampul, yang menyatakaninformasi dalam fix), tumpang tindih. Ini adalah jika spektrum tersebut terlipatpada sebuah garis yang ditentukan oleh batas Niquist (Gambar 11.5e).Lipatan iniadalah sebuah proses penghancuran informasi; frekuensi tinggi (rincian dalamgambar) hilang dan tampak sebagai interferensi (aliases) dalam daerah frekuensirendah. Pengaruh ini tepat sekali dengan yang diperlihatkan dalam Gambar 11.2

dimana struktur frekuensi ruang rendah muncul dalam daerah frekuensi tinggi.Dalam situasi dimana frekuensi pencuplikan harganya tetap (ini adalah kasus

yang paling banyak, misalnya, dalam pemakaian dimana.f{x)adalah sebuah fung-si waktu) aliasing dapat cegah dengan filter anti-aliasing. Fungsi yang dicuplikdisaring, sebelum pencuplikan, dengan sebuah penyaring frekuensi rendah yangmemiliki frekuensi pancung yang berhubungan dengan batas Niquist. Jadi semuakomponen di dalam.f{x)yang memiliki frekuensi yang lebih dariis/2 dihilangkan.

Bagaimana teori ini menghubungkan ke grafik komputer? Di dalam istilahgrafik komputer,.f{x) dapat berupa sebuah segmen sepanjang sebuah garis scan.Fungsi pencuplikan memilik frekuensi satu siklus per pixel Gadi, kita mencuplikinformasi ditengah masing-masing pixel). Kemudianjika kita mengubah cuplikanini, dengan melewatkan masing-masing harga melalui sebuah pengubah digital keanalog, ini ekuivalen dengan menggunakan sebuah filter penyusunan kembaliyang berbentuk-kotak.

Hal lain yang harus kita perhatikan adalah bahw~ kini kita memiliki gambaryang merupakan fungsi dari dua variabel ruang da.n sebuah kisi pencuplikandua-dimensi. Teori pencuplikan meluas ke frekuensi dua-dimensi atau frekuensi

ruang. Spektrum frekuensi dua-dimensi pada sebuah gambar grafik di dalamkawasan pembangkitan yang terus menerus adalah tidak terbatas secara teoritis.

Pencuplikan dan penyusunan kembali di dalam grafik komputer adalah prosesperhitungan sebuah harga di pusat sebuah pixel dan kemudian menetapkan hargatersebut ke seluruh perluasan ruang pada pixel tersebut.

Benda hasil aliasing di dalam grafik komputer dapat dikurangi dengan me-ningkatkan frekuensi kisi pencuplikan Gadi,peningkatan resolusi ruang dari suatularik pixel). Ada dua kekurangan dari pendekatan ini: salah satu yangjelas adalah

Page 10: Bab11 Anti Aliasing

1

472 Pengantar Komputer Grafik

batasan teknik dan biaya untuk meningkatkan resolusi ruang dari penampil (tidakmenyebutkan batasan komputasi pada biaya proses pembangkitan gambar) dan,karena spektrum frekuensi dari gambar grafik komputer dapat meluas sampai takterhingga, dengan meningkatkan frekuensi pencuplikan tidak perlu menyelesai-kan masalah tersebut. Jika, misalnya, kita terapkan pendekatan resolusi yangditingkatkan ke tekstur koheren dalam perspektif, kita hanya menggeser pengaruhke atas spektrum frekuensi ruang (Gambar 11.2).

Ada dua buah metode utama yang telah ditetapkan untuk menghilangkan/me-ngurangi benda hasil aliasing di dalam grafik komputer. Pendekatan yang palingterkenal dikenal sebagai 'supersampling' atau 'postfiltering'. Metode yangkedua, kurang umum, adalah dengan memperkirakan sebuah filter anti-aliasing

dua-dimensi dan melakukan operasi y~ng ekivalen untuk menghilangkan fre-kuensi ruang diatas batas Niquist. Ini kadang-kadang membingungkan disebut'prefiltering'. Metode yang ketiga, yang kini sedang dikembangkan, dikenalsebagai pencuplikan 'stochastic'. Kini tiga metode ini diuraikan.

11.3 Supersampling atau postfiltering

Metode ini secara teoritis adalah sebuah proses tiga-tahap dengan tahap keduadan ketiga digabungkan dalam praktek. Tahap tersebut adalah:

(1) Kawasan pembangkitan gambar terus menerus dicuplik pada n kali resolusitampilan. Dalam praktek ini berarti gambar tersebut dibangkitkan denganmenggunakan teknik sintesa gambar pada n kali resolusi tampilan.

(2) Gambar yang dicuplik ini kemudian disaring pelewat-rendah pada batasNiquist dari piranti tampilan.

(3) Gambar yang disaring tersebut dicuplik kembali pada resolusi piranti.

Di dalam istilah yang sederhana kita membangkitkan sebuah gambar yang se-benarnya (atau salah satu yang memiliki resolusi yang tidak dapat dihasilkan padapiranti keluaran) dan kemudian membuat resolusi gambar ini menjadi kasar. Jadimasing-masing pixel dalam gambar akhir atau gambar yang dapat ditampilkanmemiliki sebuah harga yang telah ditentukan dari banyak pixel di dalamgambar yang sebenarnya. Proses ini diperlihatkan secara diagram dalam Gam-bar 11.6. Sebuah gambar yang sebenarnya pada katakan tiga kali resolusi akhirdiciptakan dengan menggunakan prosedur perenderan normal untuk bayangan

Page 11: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 473

Virwallilla.:e

..--------

Real image

2 .2

ISingle value formedfrom tiller weightsand correspondingsuperpixel values

Gambar 11.6 Penyederhanaan sebuah gambar yang sebenarnya dengan penyaringan.

dan penghilangan permukaan yang tersembunyi. Kelompok 'superpixel' 3 x 3 didalam gambar ini disederhanakan menjadi sebuah harga pixel tunggal denganpembebanan masing-masing harga superpixel dengan sebuah filter penjumlahanberat dan penormalan. Kitajuga dapat memperhatikan kelompok superpixel5 x 5atau 7 x 7. Catat bahwa apapun ukuran filter tersebut, di dalam kasus ini pusatfilter ditempatkan pada setiap tiga pixel.

Metode ini bekerja baik dengan kebanyakan gambar grafik komputer danmudah disatukan kedalam sebuah algoritma penyangga-Z. Ia tidak bekerja de-ngan gambar yang memiliki spektrum energi yang tidak turun dengan kenaikanfrekuensi. (Sebagaimana yang telah kami sebutkan supersampling bukan, se-

Page 12: Bab11 Anti Aliasing

474 Pengantar Komputer Grafik

Tabel1.1 Jendela Bartlett yang digunakan dalam postfiltering sebuah gambar supersampel.

cara urnurn, sebuah metode anti-al iasing yang benar secara teoritis.) Yang diren-der tekstur dalam perspektif adalah contoh yang urnurn dari sebuah gambar yangtidak menunjukkan spektrum yang turun dengan kenaikan frekuensi ruang.

Metode supersampling secara trivial berbeda nilai n dan bentuk dari filteryang digunakan (yakni nilai bobot filter). Bagi, katakan, sebuah gambar resolusimenengah 512 x 512 ia biasanya dianggap mampu untuk supersampel pada2048 x 2048 (n = 4). Gambar resolusi tinggi dapat disederhanakan ke bentuk

akhir 512 x 512 dengan merata-ratakan dan ini sarna dengan mengkonvolusidengan sebuah filter kotak. Hasil yang lebih bagus dapat diperoleh dengan meng-gunakan sebuah filter yang dibentuk, sebuah filter yang memiliki nilai yangberubah-ubah pada perluasan kernelnya. Ada pengetahuan mengenai bentuk filteryang optimum terhadap sifat alami dari informasi dimana mereka beroperasi(Iihat, misalnya, Oppenheim dan Shafer (1975». Kebanyakan pekerjaan ini ada-lah dalam pengolahan isyarat digital dan dilaksanakan dengan fungsi variabeltunggalflt). Grafik komputer memiliki masalah unik yang dialamati oleh teknikpengolahan isyarat digital yang biasa. Sebagai contoh, filter 'space-variant' diper-lukan di dalam pemetaan tekstur. Di sini bobot dari kernel filter dan bentuknyakeduanya harus berubah.

Untuk kembali ke supersamplingdan filter bentuk; Crow (1981) menggunakansebuah jendela Bartlett, tiga diantaranya diperlihatkan dalam Tabel 11.1. Kon-

Jx3 5/.5 7 x 7

1 2 I I 2 3 2 I 1 2 3 J 22 4 2 2 4 (, 4 2 2 4 6 6 4 21 2 I 3 (, IJ (, 3 3 6 9 12 l) 6 3

2 4 6 4 2 4 8 12 16 12 H 4I 2 3 2 1 3 6 9 12 9 6 3

2 4 6 8 () 4 21 2 3 4 3 2 1

Page 13: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 475

volusi digital mudah untuk memahami dan mengimplementasikan akan tetapisecara komputasi maha!. Sebuah jendela dipusatkan pada sebuah supersampeldan jumlah bobot dari hasil perkalian diperoleh dengan mengalikan masing-ma-sing supersampel dengan bobot yang berhubungan dalam filter tersebut. Bobottersebut dapat diatur untuk mengimplementasikan kernel filter yang berbeda.Konvolusi digital berlangsung dengan menggerakkan jendela melalui n super-sampel dan menghitung jumlah bobot dari hasil perkalian. Dengan menggu-nakan sebuahjendela 3 x 3 berarti bahwa sembilan supersampel dilibatkan dalamkomputasi pixel akhir. Dilain pihak, dengan menggunakanjendela 7 x 7 berartisebuah komputasi dari 49 perkalian bulat. Dampak dari biaya tambahan untukkomputasi tersebut adalah jelas. Sebagai contoh, pengurangan sebuah gambarsupersampel 2048 x 2048 menjadi 512 x 512, dengan sebuah kernel filter 7 x7, memerlukan 512 x 512 x 49 perkalian dan penambahan. Plate 25 memperli-hatkan sebuah gambar asli, sebuah pembesaran a x 3 dan a x 10 bersama-samadengan dua buah versi anti-aliasing masing-masing dengan menggunakan se-buah penyusunan kembali a 3 x 3 dan 5 x 5.

Sebuah pengaruh sampingan yang pasti dari penyaringan adalah pengaburan.Ini terjadi karena informasidisatukandari sejumlahpixeltetangga. Ini berarti bahwapilihan mengenai perluasan ruang dari filter tersebutmerupakan sebuah kompromi.Sebuah filter yang lebar memiliki frekuensi pancung yang lebih rendah dan akanmenjadi lebih baik pada pengurangan benda hasil aliasing. Akan tetapi, ini akanmengaburkan gambar yang melebihi sebuah filter yang lebih sempit yang akanmenunjukkan frekuensi pancung yang lebih tinggi.

Akhirnya, kekurangan dari teknik ini harus dicatat. Supersampling bukansebuah metode yang cocok untuk memperlakukan obyek yang sangat keci!.Begitu juga ia adalah sebuah metode global - komputasi bukan tergantungpada konteks. Sebuah gambar yang menampakkan beberapa poligon denganluasan yang besar akan menjadi subyek pada tambahan biaya komputasi begitusalah satu dengan sejumlah besar poligon dengan luasan yang kecil (Iihat,misalnya, Bab 8 untuk sebuah uraian mengenai sebuah metode dimana 'usaha'anti-aliasing adalah fungsi dari kerumitan ruang dari suatu gambar). Keperluanakan memori adalah besar jika metode tersebut digunakan dengan sebuahpenyangga-Z. Versi supersampel dari gambar tersebut harus diciptakan dandisimpan sebelum proses pemfilteran dapat diterapkan. Peningkatan keperluanakan memori dari penyangga-Z ini dengan faktor n2, yang membuatnya padadasarnya sebuah teknik memori yang sebenarnya.

Page 14: Bab11 Anti Aliasing

476 Pengantar Komputer Grafik

11.4 Pre filtering atau teknik pencuplikan luasan

Yang mula-mula mempunyai teknik ini adalah Catmull .<1978). Meskipun algo-

ritma Catmull yang asli sangat mahal, ia menelorkan sejumlah pengganti yanglebih praktis.

Algoritma tersebut pada dasarnya membentuk geometri subpixel di dalam ka-wasan pembuatan garnbar secara terus-menerus dan mengembalikan untuk ma-sing-masing pixel sebuah intensitas yang dihitung dengan menggunakan luasanfragmen subpixel yang dapat dilihat sebagai beban di dalam sebuah jumlahintensitas (Gambar 11.7). Ini sarna dengan mengkonvolusikan gambar tersebutdengan sebuah filter kotak dan menggunakan nilai dari integral konvolusi tersebutpada sebuah titik tunggal sebagai nilai pixel akhir. (Catatan bahwa lebar filtertersebut kurang dari yang ideal dan sebuah filter yang lebih lebar menggunakaninformasi dari daerah tetangga yang akan memberikan frekuensi pancung yanglebih rendah.) Cara lain untuk melihat metode tersebut adalah dengan mengata-kan bahwa ini adalah sebuah metode pencuplikan bidang. Semua luasan fragmensubpixel diperhitungkan (kebalikan dari peningkatan resolusi ruang dari kisipencuplikan).

Kita dapat menanyakan pertanyaan: apakah arti pembentukan geometri sub-pixel dalam istilah praktis grafik komputer? Untuk melakukan ini tidak pelak lagikita harus menggunakan sebuah perkiraan praktis. (Untuk mengiterasi kembalisebuah titik yang terlebih dahulu, kita tidak memiliki akses terhadap sebuahgambar malar.) Ini berarti bahwa perbedaan antara teknik pencuplikan luasan dansupersampling agak dibuat-buat dan sebagai gantinya adalah pendekatan pe-nyangga-A (segera diuraikan), biasanya dikategorisasikan sebagai sebuah teknikpencuplikan luasan,yang sarnabaiknyadilihatsebagaisupersampling.

Metode Catmull digabungkandalam sebuahperendergaris scan. la berlangsungdengan pembagian kawasan pembangkitan gambar malar menjadi pixel bujursangkar yang luas. Sebuah intensitas untuk masing-masing bujur-sangkar dihi-tung dengan penjepitan poligon terhadap batas pixel bujur-sangkar. Jika fragmenpoligon saling menutupi dalam sebuah bujur-sangkar mereka disortir dalam z dandijepit satu sarna lain untuk menghasilkan fragmen yang dapat dilihat. Sebuahintensitas akhir dihitung dengan mengalikan bayangan dari sebuahpoligondenganluasan fragmenyang dapat dilihat dan menjumlahkan.

Asal dari biaya tambahan yang sangat besar yang melekat dalam metode iniadalah jelas. Metode yang asli begitu mahal sehingga ia hanya digunakan dalam

Page 15: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 477

Gambar 11.7 Poligon yang dijepit pada edge pixel dan satu terhadap yang lain untuk mengha-silkan sebuah himpunan fragmen yang dapat dilihat.

pemakaian animasi dua-dimensi melibatkan beberapa poligon largish. Di sinikebanyakan pixel ditutupi sepenuhnya oleh sebuah poligon dan proses penjepitansecara rekursifdari &agmenpoligonterhadap &agmenpoligontidak dimasukkan.

Perkembangan melibatkan perkiraan &agmen subpixel dengan masker bit(Carpenter, 1984; Fiume, Fournier, dan Rudolph, 1983).Carpenter (1984) meng-gunakan pendekatan ini dengan sebuah penyangga-Z untuk menghasilkan sebuahteknik yang dikenal sebagaai penyangga-A (anti-aliased, area-averaged, accu-mulator buffer). Keuntungan yang cukup berarti dari pendekatan ini adalah bah-wa perhitungan geometri floating-point diabaikan. Liputan dan pembobotanluasan diatasi dengan menggunakan operator logika bit antara pola bit ataumasker yang menyatakan fragmen poligon. Ini adalah sebuah teknik pencuplikanluasan yang efisien, dimana pemrosesan per bujur-sangkar pixel akan tergantungpadajumlah &agmen yang dapat dilihat.

Pendekatan lain yang efisien terhadap pencuplikan luasan, Abram, Westover,dan Whitted (1985), menghitung terlebih dahulu kontribusi terhadap integralkonvolusi dan menyimpan ini di dalam tabel 'look-up' yang diindeks oleh fragmenpoligon. Metode tersebut didasarkan pada kenyataan bahwa cara sebuah poligonmenutupi sebuah pixel dapat diperkirakan dengan sejumlah kasus yang terbatas.Algoritma tersebut ditambahkan pada dalam sebuah perender garis scan. Kon-

Page 16: Bab11 Anti Aliasing

478 Pengantar Komputer Grafik

Gambar 11.8 Sebuah fragmen tunggal di dalam pixel pusat akan menyebabkan kontribusi ter-hadap penyaringan pada masing-masing dari sembilan bujur-sangkar.

volusi tidak terbatas pada pada perluasan satu pixel akan tetapi lebih tepatnyameluas pada, katakan, sebuah luasan 3 x 3. Pixel bertindak sebagai pengumpulyang memiliki nilai akhir adalah benar bila semua fTagmenyang dapat mempe-ngaruhi nilainya diperhitungkan.

Perhatikan sebuah luasan pixel 3 x 3 dan sebuah kernel filter 3 x 3 (Gambar11.8). Sebuah fTagmentunggal yang dapat dilihat di dalam pixel pusat akan andilterhadap integral konvolusi bila filter tersebut dipusatkan pada masing-masingdari sembilan bujur-sangkar. Sembilan kontribusi fTagmenseperti ini membuatdapat dihitung terlebih dahulu dan disimpan di dalam sebuah tabellook-up. Duatahap yang utama dalam proses tersebut adalah:

(1) Tentukan fragmen yang dapat dilihat dan identifikasi atau kategorisasikanbentuknya.

(2) Indekslah sebuah tabel 'look-up' yang telah dihitung sebelumnya yangmemberikan sembilan kontribusi untuk masing-masing bentuk. Sebuah per-kalian tunggal dari intensitas fragmen dengan pembobotan kontribusi yangsudah dihitung terlebih dahulu memberikan hasil yang diinginkan.

Abram menganggap bahwa bentuk tersebut masuk kedalam salah satu dari tujuhkategori:

. Tidak ada fTagmendalam pixel.

. Fragmen benar-benar menutupi pixel.

+ + +

+ +

+ + +

Page 17: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 479

. Fragmen adalah trapesoid dan memisahkan pixel sepanjang edge yang ber-lawanan.

. Fragmen adalah segitiga dan memisahkan pixel sepanjang edge yang ber-dekatan.

. Komplemen dari kategori diatas (sebuah fragmen lima sisi).

. Fragmen adalah sebuah bentuk ganjil yang dapat diuraikan dengan perbedaandari dua jenis sebelumnya atau lebih.

. Fragmen tidak dapat didefinisikan secara mudah dengan jenis sederhana ini.

11.5 Sebuah perbandingan matematika

Kita dapat menyama-ratakan dan membandingkan dua metode di atas dari titikpandang yang lebih teliti. Operasi penyaringan atau konvolusi dapat didefinisikansebagai:

s(i,j) = ffI(i + x,j + y )F(x,y) dxdy(11.1)

dimana:

s(iJ) adalahsebuahcuplikantunggaldarisebuahgambarI dua-dimensiyang malarF(x,y) adalah sebuah kernel filter

Pengintegralan tersebut dilakukan dengan menempatkan kernel filter pada I(ij)dan mengitegrasikan pada perluasan filter tersebut. Persamaan ini dievaluasi un-tuk semua s(ij).

Pertama, perhatikan oversampling. Metode ini digunakan dengan algoritmapencuplikan titik seperti penyangga-Z atau pelacakan sinar. I telah disederhana-kan untuk mencuplik atau mencuplik-super dan integral diatas hanya dapat diper-kirakan. Kita tidak memiliki sebuah gambar I yang malar yang tersedia untukmencuplik. Kita dapat meningkatkan integritas dari perkiraan tersebut denganmeningkatkan jumlah supersampel, akan tetapi ini memiliki dampak serius terha-dap biaya perenderan.

Metode yang kedua, dilain pihak, menyelesaikan Persamaan 11.1 secara lang-sung akan tetapi menggunakan sebuah kernel filter F yang buruk. Perendermempertahankan sebuah gambar malar I dengan membentuk geometri subpixel. Iini dikonvolusi dengan F untuk menghasilkan cuplikan yang diperlukan akantetapi F adalah hanya selebar sebuah pixel tunggal, dan sebagai akibatnya

Page 18: Bab11 Anti Aliasing

480 Pengantar Komputer Grajik

frekuensi pancungnya tinggi dan kemampuannya untuk menangani benda hasilfrekuensi-tinggi kurang dari sebuah filter dengan sebuah kernel yang lebih besar.

Untuk menyimpulkan kita memiliki: di dalam metode yang pertama I telahdicuplik dan kita mencoba mengurangi ini dengan meningkatkan jumlah cuplik-an; di dalam metode yang kedua I adalah malar akan tetapi kekangan algoritmadari metode tersebut membatasi F pada sebuah luasan satu pixel.

11.6 Pencuplikan stochastic

Metode ini digunakan oleh Cook (Cook, Porter, dan Carpenter, 1984;Cook, 1986)keduanya menyelesaikan masalah aliasing dan untuk memodel fenomena yangkabur dalam pelacakan sinar yang didistribusikan. Metode tersebut juga diselidikioleh Abram, Westover, dan Whitted (1985), dan Dippe dan Wold (1985). Rele-vansinya terhadap pelacakan sinar dibahas dalam Bab 8.

Sebuah acuan terhadap pengorganisasian penerima di dalam mata manusiadiberikan oleh Cook (1986). Cook menunjukkan bahwa mata manusia berisi se-buah larik penerima cahaya yang terdistribusi tidak merata, dan inilah alasanmengapa kita tidak merasakan benda hasail aliasing. Sel penerima cahaya didalam fovea dikemas dengan erat dan lensa beraksi sebagai sebuah filter anti-ali-asing. Akan tetapi, di dalam daerah diluar fovea, kerapatan ruang dari sel tersebutjauh lebih rendah dan sel tersebut terdistribusi secara tidak merata. Sebuah uraian

rinci dari faktor ini diberikan oleh Williams dan Collier (1983).Dasar dari metode tersebut adalah untuk mengganggu posisi titik pencuplikan.

Kemudian informasifTekuensi-tinggidiatas batasNiquist dipetakan kedalam noise.Benda hasil aliasing ditukar untuk noise. Pendistribusian dari mana gangguandipilih menentukan karakter spektral dari noise, dan frekuensi dari informasi yangdicuplik (relatif terhadap frekuensi pencuplikan) menentukan daya dari noisetersebut. Metode tersebut dapat dilihat sebagai sebuah proses dua tahap:

(1) Cuplik gambar dengan menggunakan sebuah kisi pencuplikan dimana posisi(x,y) dari masing-masing titik pencuplikan yang menjadi subyek terhadapgangguan acak.

(2) Gunakana nilai cuplikan ini dengan sebuah filter penyusunan kembali untukmenentukan intensitas pixel terhadap mana posisi cuplikan yang tidak di-ganggu berhubungan.

Page 19: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 481

~w

.p

1i~

,~A'--'

Extentofsamplejiuer

'--'Sampleinterval

(a)

}

Extent ofsamplingerror

yExtent of sample jiuer

ySample interval

(b)

Gambar 11.9 Pencuplikan sebuah gelombang sinus yang frekuensinya adalah (a) di bawah dan(b) di atas batas Niquist. (Menurut Cook.)

Oasar dari Metode diatas didemonstrasikan dalam Gambar 11.9 yang didasarkanpada gambaranCool (Cook,1986).Oi dalamGambar 11.9(a)sebuahgelombangsinusdengan frekuensi dibawah batas Niquist dicuplik. Jittering atau gangguan cuplik-an tersebut pada daerah yang diperlihatkan memperkenalkan sebuah kesalahanyang berhubungan dengan amplitudo cuplikan. Kemudian informasi dicuplik dantingkat noise diperkenalkankedalam spektrumcuplikantersebut.Oi dalam Gambar11.9(b) sebuah gelombang sinus dengan frekuensi diatas batas Niquist dicuplik.Oisini gangguan menghasilkan nilai yang hampir acak untuk magnitudo. Jadidimana pencuplikanyang seragamakan menghasilkansebuah 'alias' untuk gelom-bang sinus ini, kita telah memperkenalkan sebagai pengganti noise dan 'alias'ditukar dengan noise.

Page 20: Bab11 Anti Aliasing

482 Pengantar Komputer Grafik

t. = 2.3f

,",,/,,,//,

r. = 4/

Frequency_

Gambar 11.10 Perubahan frekuensi sebuah gelombang sinus (j) terhadap frekuensi pencuplikan(Is)yang diganggu.

t. =Sf

Faktor ini mudah didemonstrasikan di dalam kawasan frekuensi dengan mem-

perhatikan spektrum sebuah gelombang sinus yang dicuplik dengan metode ini danmengubah-ubah frekuensi sekitar batas Niquist (Gambar 11.10). Begitu frekuensi

pencuplikan dikurangi terhadap frekuensi gelombang sinus tersebut, amplitudopuncak gelombang sinus tersebut berkurang dan amplitudo noise bertambah.Akhirnya, puncak gelombang sinus tersebut tidak tampak. Maksud dari gambarantersebut adalah bahwa tidak tampak puncak alias. Informasi yang dinyatakan oleh

gelombang sinus aknimya tidak tampak akan tetapi sebagai pengganti aliasing kitaperoleh noise. Gangguan dapat memiliki jangkauan x pada setengah siklus minimum(dimana frekuensi gelombang sinus pada batas Niquist) dan akan, secara umum,memiliki jangkunan pada sejumlah siklus lengkap. Jika jangkauan tersebut mencakupsejumlah siklus yang tepat maka, untuk 'white noise jitter', probabilitas pencuplikanmasing-masing bagian dari gelombang sinus cenderung sarna dan energi di dalamcuplikan tersebut tampak sebagai white noise. Sebuah penanganan matematis daripelemahan yang disebabkan oleh 'white noise jitter' dan 'Gaussian jitter' diberi-kan oleh Balakrishman (1962).

Salah satu masalah dari metode ini adalah bahwa ia hanya mudah digabungkankedalam metode dimana sintesa gambar dapat dipisah secara praktis kedalam dua

Page 21: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 483

fase pembangkitan di dalam sebuah kawasan malar yang diikuti dengan pencu-plikan. Ini merupakan kasus dalam pelacakan sinar, dimana sinar dihasilkan da-lam kawasan ruang obyek yang malar, dan pengaruhnya, cuplikan dalam ruangini. Mereka mudah dijitter. Di dalam metode 'sintesa gambar standar, denganmenggunakan bayangan interpolasi dalam konteks pada sebuah penyangga-Zatau algoritma garis-Iacak, memperkenalkanjitter yang muncul jauh lebih sulit.Algoritma tersebut didirikan pada metode penambahan yang seragam dalamruang layar dan akan memerlukan modifikasi yang banyak agar memiliki pe-ngaruh gangguan pencuplikan dua-dimensi. Meskipun algoritma ini sarna de-ngan pembangkitan gambar dalam sebuah kawasan malar yang dihasilkan olehpencuplikan dua dimensi, dalam praktek pencuplikan dan fase pembangkitantidak mudah untuk tidak ditautkan.

Sebuah sistem perenderan utama, yang disebut REYES (Cook, Carpenter, danCatmuH, 1987) mengintegrasikan sebuah metode yang berdasarkan penyangga-Zdengan pencuplikan stochastic. Ini bekerja dengan pembagian bentuk sederhanayang asli, seperti lekatan parametrik bikubus, menjadi poligon mikro yang datar(kira-kira ukurannya dalam ruang layar adlah setengah pixel). Semua perhitunganbayangan dan visibilitas beroperasi pada poligon mikro. Pembayangan terjadisebelum perhitungan visibilitas dan tetap pada sebuah poligon mikro. Kemudianpoligon mikro tersebut dicuplik secara stochastic dari ruang layar, nilai Z darimasing-masing titik cuplik dihitung dengan interpolasi dan benturan cuplikanyang bisa dilihat difilter untuk menghasilkan intensitas pixel (Gambar 11.11).Jadi pembayangan dilakasanakan pada tingkat poligon mikro dan perhitunganvisibilitas pada tingkat pencuplikan stochastic.

Metode ini membuang koheren dari metode perenderan klasik, dengan me-misahkan obyek kedalam poligon mikro. Ini paling cocok untuk obyek yangberisi lekatan parameter bikubus karena mereka .dapat dibagi-bagi denganmudah.

Proyek, catatan, dan saran

Beberapa proyek dalam bab ini meliputi penggunaan teori Fourier. Ini sangatberguna dalam memperoleh pemahaman mengenai dasar dari aliasing dan keam-puhan dari bermacam-macam cara. Sebuah catatan singkat mengenai transfor-masi Fourier dicantumkan disini.

Page 22: Bab11 Anti Aliasing

484 Pengantar Komputer Grafik

Each pixd isslochastically

sampled

Pixel

Gambar 11.11 Bentuk sederhana dibagi-bagi menjadi poligon mikro. Ini dibayangi dan perhi-tungan visibilitas dilakukan oleh pencuplikan poligon mikro secara stochastic dalam ruanglayar.Menurut Cook, Carpenter, dan Catmull (1987».

Sebuah catatan singkat mengenai transformasi Fourier

Transformasi Fourier diskrit (discrete Fourier transform, DFT) adalah sebuahperkiraan terhadap integral Fourier malar:

""

F(w) = L", x(t) exp (-j21Twt) dt

Transformasi diskret digunakan bila sebuah himpunan nilai fungsi cuplikan, Xi,tersedia pada selang yang berjarak sarna i = 0, 1,2, ...,N - 1.DFTmengubahnilaiyang telah ditentukan kedalam jumlah dari sejumlah gelombang sinus diskrityang memiliki frekuensi yang diberi nomor u = 0, 1, 2, ...,N - 1 dan memilikiamplitudo yang diberikan oleh:

1 N-l

(

.

)F(u) = N ~ x(i) exp -j21Tu~

Pernyataan ini dapat diimplementasikan secara langsung sebagai sebuah DFTyang lambat. (Yang lebih biasa adalah transformasi fourier yang cepat (fastFourier transform, FFT) yang akan digunakan untuk menghitung DFT.) Pernya-taan DFT diatas dapat dinyatakan sebagai:

Page 23: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 485

1 N-l

(

.

)

. N-I

(

.

)F(u) = N ? x(i) cos 2rru ~ - NJ ? x(i) sin 2rru ~1-0 1-0

dan bentuk ini mudah diimplementasikan dalam sebuah program. Ini masing-ma-sing akan memberikan sebuah transformasi cosinus dan sinus untuk fungsi yangbernilai kompleks F(u). Spektrum amplitudo adalah yang diperlukan untukproyek dan ini diberikan oleh jumlah dari kuadrat dari transformasi cosinus dansmus.

11.1 Supersampling

Ujilah keampuhan supersampling dengan menggunakan sebuah gambar uji yangdiperbesar (lihat, misalnya Plate 25). Percobaan dengan tingkat supersamplingdan dengan kotak dan filter bentuk dengan lebar yang bermacam-macam.

11.2 Benda hasil tekstur

Hasilkan sebuah tekstur bermasalah, katakan sebuah pola chequerboard di dalam

perspektif yang masuk ke sebuah titik di p~ncak layar. Pilihlah sejumlah garisscan untuk meningkatkan nilai Ys dan hasilkan sebuah transformasi Fourier dariperubahan intensitas sepanjang sebuah garis. Korelasikan informasi di dalamspektrum &ekuensi dengan batas Niquist dari piranti dan permulaan dari bendahasil aliasing pada layar.

\.01pixelsn

Gambar 11.12 Pola uji satu-dimensi yang digunakan dalam proyek 11.3.

Page 24: Bab11 Anti Aliasing

486 Pengantar Komputer Grajik

11.3 Kawasan Fourier dan penyaringan

Buatlah sebuah uraian mengenai sebuah pola uji satu-:dimensiyang tidak me-mungkinkan, misalnya sebuah himpunan segitiga yang agak lebih lebar dari salahsatu pixel (Gambar 11.12).Hasilkan gambar berikut:

. Kawasan ruang(la) fungsi asliJ{x);(2a) fungsi yang dicuplik (yakni nilaiJ{x) pada pusat pixel);(3a) fungsi yang dicuplik yang dikonvolusi dengan sebuah filter kotak yanglebarnya satu pixel.Catat bahwa (3a) adalah sebuah perkiraanterhadap keluaran yang akan tampakpada layar. Disana ada sebuah proses penurunan mutu akhir yang membulat-kan edge dalam (3a) karena ketidakfokusan atau pengaruh pengolesan dariberkas elektron dalam CRT.

. Kawasan frekuensi

(lb) sebuah spektrum amplitudo dariJ{x);(2b) sebuah spektrum amplitudo versi yang dicuplik dariJ{x);(3b) sebuah spektrum amplitudo dari filter;(4b) perkalian dari (2b) dan (3b), yakni spektrum amplitudo dari isyarat yangdicuplik setelah penyaringan.Catat perbedaan antara (4b) dan (1b). Hubungkan perbedaan ini terhadap tam-pilan dari benda hasil aliasing dalam (2a) dan *3a).

Ulangi prosedur diatas dengan menggunakan sebuah pola uji dimana lebardari segitiga tersebut kini ditingkatkan menjadi 10pixel dan bandingkan hasilnya.

11.4 Pencuplikan stochastic

Proyek ini didasarkan pada kerja yang dilaporkan oleh Cook (1986). Gunakansegitiga dalam proyek sebelumnya sebagai sebuah pola uji dua-dimensi (Gambar11.13)dari segitiga yang terang pada sebuah latar-belakang gelap pada perluasanruang, katakan, 100 x 100 pixel. Cupliklah pola ini dengan menggunakan satucuplikan per pixel dan sebuah kernel filter 3 x 3 untuk menyusun kembali sebuahpola yang dirender pada layar.

Ulangi proses ini namun saat ini 'jitter' cuplikan tersebut dalam x dan y. Ban-dingkan hasilnya. Akhirnya, tingkatkan pesat pencuplikan dan hasilkan dua gam-

Page 25: Bab11 Anti Aliasing

Anti-aliasing 487

Pixel

Gambar 11.13 Sebuah pola uji dua-dimensi yang digunakan dalam Proyek 11.4.

bar berikutnya menggunakan 16 cuplikan yang seragam per pixel dan 16 cuplikan

yang di-jitter per pixel.

Page 26: Bab11 Anti Aliasing

12 Metode PemodelanBerdasarkanPadaFungsional

12.1 Pendahuluan

Bab ini melihat gagasan mengenai pembangkitan obyek atau struktur menurutprosedur. Ini adalah sebuah bidang penting dalam grafik komputer, dan hanyamerupakan cara praktis dimana adegan tertentu dapat dihasilkan. Sebagai contoh,pohon dalam sebuah pemandangan alam hanya pantas dihasilkan menurut prose-duro Sebuah contoh mengenai pembangkitan yang menurut prosedur yang telahkita singgung adalah definisi dari sebuah medan tekstur tiga-dimensi. Perhitung-an terlebih dahulu dan penyimpanan sebuah medan tekstur akan mahal dantekstur tersebut dihitung pada saat perenderan dari sebuah prosedur.

Di dalam bab ini kita memaparkan tiga teknik umum yang digunakan dalamgrafik komputer tiga-dimensi. Ini adalah:

· fungsi deterministicatau non-stochasticyang telah digunakan (terutama fungsiharmonik dalam pembangkitan tanah lapang),

. fungsi stochastic yang digunakan dalam pembangkitan fenomena seperti tanahlapang, api, dan turbulensi, dan

· sebuah gabungan dari yang diatas yang telah digunakan, misalnya, didalammodel air atau gelombang.

Teknik ini digunakan untuk memodulasi sebuah atribut dari sebuah obyek yangada (seperti dalam, misalnya, tekstur kelereng yang diuraikan dalam Bab 7) ataufungsi yang barangkali ia sendiri menghasilkan sebuah obyek seperti dalamsistem partikel yang kini diuraikan.

488