modul 3 transformasi laplace
TRANSCRIPT
MODUL IIITRANSFORMASI LAPLACE
PENGERTIAN INTEGRAL TAK WAJAR
Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk t ≥ 0. Integral tak wajar yang didefinisikan oleh,
dikatakan konvergen, bila limit pada ruas kanan ada. Jika limitnya tidak ada nilainya, maka integral tak wajar dikatakan divergen.
dttfdttfb
b)(lim)(
00
21
21
2lim
2lim
lim
2
0
2
02
02
b
b
bt
b
b t
b
t
e
e
dtedte
Contoh Contoh :Fungsi Gamma yang dinyatakan dengan Γ(n) didefinisikan oleh,
!)1( )2(
)()1( )1(
)(0
1
nn
nnn
dtetn tn
PENGERTIAN TRANSFORMASI LAPLACE
dtetftfLsF st 0
)()]([)(
Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari dinyatakan dengan F(s) = L{f} didefinisikan oleh
jika limitnya ada
22
0)(
0
10
10
22
0
)(
cos
cos]cos[
)1( ][
! ][
cos][cos
: Contoh
bas
as
dtbte
dtebtebteL
s
rdtettL
s
ndtettL
bs
s
dtbtebtL
tas
statat
rstrr
nstnn
st
aseL
dte
dteeeL
at
tas
statat
1][
][
: Contoh
0)(
0
Contoh :
1 jika ,
10 jika ,
1)(
t
tttf
2
2
110
1
)1(1
)]([
nya-Laplace sitransforma Maka
s
e
se
s
es
dtedttetfL
s
ss
stst
2 jika ,
21 jika ,
10 jika ,
1
0)(
: Contoh
t
t
tt
tf
2
22
10
)1(1
0)]([
nya-Laplace sitransforma Maka
s
sees
dtedttetfL
ss
stst
Pergeseran Pada Sumbu s
Andaikan F(s) adalah transformasi Laplace dari fungsi f(t). Menurut definisi transformasi Laplace dari eatf(t) didefinisikan oleh,
)(
)(
)()]([
0)(
0
asF
dtetf
dtetfetfeL
tas
statat
Jadi, jika diberikan bahwa
L{f(t)} = F(s),
maka
L{eatf(t)} = F(s - a). 22
22
1
1
22
22
)()(]sin[
)(][sin
)(
! )(][
)(!
][
)()(]cos[
)(][cos
: Contoh
bas
basFbteL
sFbs
bbtL
as
nasFteL
sFs
ntL
bas
asasFbteL
sFbs
sbtL
at
nnat
nn
at
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
Contoh
)2(
3)2(4
234
21
3!2
2
]3[]2[]32[
3
3
3
12
2222
ss
ss
ss
ss
eLtLetL tt
)9)(2(
)9(3)2(6
23
9
6
21
33
32]33sin2[
2
2
2
222
ss
ss
ss
ssetL t
6
13
)3)(2()2(2)3(3
)3(1
22
13
]2[]3[]23[
2
3232
ss
s
ssss
ss
eLeLeeL tttt
)4(
3)4(4
4
34
23
!22]2cos32[
23
42
23
22122
ss
ss
s
s
s
s
s
sttL
)136()3(
)3(3)3(1248
4)3(
)3(3
)3(
12
2))3((
)3(3
)]3([
!32
]2cos3[]2[])2cos32[(
24
52
24
2213
33333
sss
ss
s
s
s
s
s
s
teLetLettL tttContoh
)134()3(
)3(9)3(1654
9)2(
9
)3(
6
3)2(
33
)3(
!23
]3sin3[]3[]3sin33[(
23
32
23
2212
232232
sss
ss
ss
ss
teLetLteetL tttt
INVERS TRANSFORMASI LAPLACEAndaikan bahwa :
F(s) = L{f}
menyatakan trasformasi Laplace dari f(t). Fungsi f yakni L–1{F(s)}, disebut invers transformasi Laplace F(s) sehingga,
f(t) = L–1{F(s)}
Jika diketahui :
L–1{F(s)} = f(t), Maka
L–1{F(s - a)} = eat f(t)tt
sL
s
sLtf
ss
ssF
ee
sL
sLtf
sssF
tt
2sin23
3cos4
4
13
94)(
4
3
9
4)( )2(
43
31
42
13)(
34
23
)( )1(
:Contoh
21
21
22
32
11
tt ette
sL
sLtf
ss
s
s
s
ssF
tts
Ls
sLtf
ss
ss
ssF
222
31
21
32
33
21
21
22
2
211
4
)2(
111
)2(
14)(
)2(
11
)2(
4
)2(
38)2(4
)2(
34)( )4(
2sin22cos3 4
14
43)(
4
4
4
3
4
43)( )3(
Contoh :
tete
sL
s
sLtf
ss
s
s
s
s
s
ss
ssF
tt 3cos35
3cos4
9)2(
15
9)2(
)2(4)(
9)2(
5
9)2(
)2(4
9)2(
138)2(4
9)2(
134
134
134)( )5(
22
21
21
22
2
22
KASUS 1 : Faktor Q(s) Linier Tidak BerulangMisalkan,
)()(
)( dan ,)()(
)( 1sQsP
LtfsQsP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a1)(s – a2) … (s – an)
Tulislah F(s) menjadi tan
tatan
n
as
i
asi
n
n
n
ii
eAeAeA
asLA
asLAtf
sQ
sPas
sQsP
A
as
A
as
A
as
A
sQsP
...
1...
1)(
)(
)()(
)(')(
...)()(
2121
1
1
11
2
2
1
1
Contoh
)4)(3()3()4(
43
)4)(3(34
127
34)(
2
sssBsA
sB
sA
sss
ss
ssF
tt ee
sL
sL
ss
sLtf
34
11
21
1519
31
154
119
127
34)(
Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :P(s) = s2 – 4s + 13Q(s) = s3 – 2s2 – s +2 =(s + 1)(s – 1)(s – 2)Tulis F(s) menjadi :
22
134)(
23
2
sss
sssF
211
)2)(1)(1(134
22
134)(
321
2
23
2
s
A
s
A
s
A
sssss
sss
sssF
ttt
s
s
s
eee
sL
sL
sLtf
ssssF
ssssss
A
ssssss
A
ssssss
A
2
111
2
2
3
1
2
2
1
2
1
353
23
15
13
)(
dan,2
31
51
3)(
maka
3)2)(1)(1()134)(2(
5)2)(1)(1()134)(1(
3)2)(1)(1()134)(1(
Mengingat,
KASUS 2 : Faktor Q(s) Linier Berulang
Misalkan,
)()(
)(
dan ,)()(
)(
1sQsP
Ltf
sQsP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a)m, m < n
Tulislah F(s) menjadi as
m
km
km
k
as
m
m
mm
mm
m
sQsPas
ds
dkm
A
sQsPas
A
as
A
as
A
as
A
as
sPsQsP
)()()(
)!(1
)()()(
...)()(
)(
)()()(
11
1
12
2
1
1
111
11
1
...)!2()!1(
1...
)(
1
)(
1)(
AtAmt
Amt
Ae
asLA
asLA
asLAtf
m
m
m
mat
mmmm
Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :P(s) = 4s + 3Q(s) = (s – 1)(s – 2)2
Tulis F(s) menjadi :
2)2)(1(
34)(
ss
ssF
7)2)(1(
)34)(1(
Karena,
2)2(1
)2)(1(
34)(
12
12
2
2
sss
ssA
s
B
s
B
sA
ss
ssF
ttt
s
s
ss
etee
sL
sL
sLtf
ssssF
s
ss
ssdsd
B
ss
ss
ssB
22
12
11
2
22
22
2
1
222
2
2
7117
27
)2(
111
7)(
Jadi,
27
)2(
111
7)(
sehingga,
7)1(
7
)2)(1(
)34()2()!12(
1
11134
)2)(1(
)34()2(
Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :Tulis F(s) menjadi :
32 )2()3(
64)(
ss
ssF
14)2(
)64(
6)2()3(
)64()3(
Karena,
2)2()2(
3)3()(
331
332
2
2
12
23
3
12
2
s
s
s
sdsd
A
ss
ssA
s
B
s
B
s
B
s
A
s
AsF
ttttt
ss
ss
ss
eteetete
sL
sL
sL
sL
sLtf
ssssssF
s
s
s
sdsd
B
s
s
s
sdsd
B
s
s
ss
ssB
222233
12
13
1
12
1
232
24
231
23
222
22
232
3
3
148146
214
)2(
8
)2(
2
314
)3(
6)(
Jadi,
214
)2(
8
)2(
23
14
)3(
6)(
sehingga,
14)3(2
128
)3(
4)!13(
1
8)3(
4
)3(
64)!23(
1
2)3(
64
)2()3(
)64()2(
KASUS 3 : Faktor Q(s) Kompleks KonjugateMisalkan,
)()(
)(
dan ,)()(
)(
1sQsP
Ltf
sQsP
sF
Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate tidak berulang,
Q(s)=(s – a)2 + b2
Tulislah F(s) menjadi
2222
2222
)()(
)(
)(
)(
)(
bas
BaA
bas
asA
bas
BaAasA
bas
BAs
biasa
aa
a
atat
sQsPbas
bQ
QbBaAQbBaA
QA
btebBaA
btAe
bas
BaAL
bas
asAL
bas
BAsLtf
)()(])[(1
)Re(),Re(
dan ),Im(
dimana,
sincos
)()(
)(
)()(
22
221
221
221
Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :Tulis F(s) menjadi :
)84)(3(
155)(
2
sss
ssF
6)84)(3(
)155)(3(
Karena,
4)2(
2)2(3
4)2(3)(
32
2
2
ssss
ssA
s
CBsBsA
s
CBssA
sF
tetee
sL
s
sL
sLtf
ss
ss
sF
iCB
iA
iii
sss
sssQ
ttt
isa
2sin21
2cos66
4)2(
1
4)2(
)2(63
6)(
4)2(
1
4)2(
)2(63
6)(
1621
Re22
,6621
Im
sehingga,
621
)21(21025
)84)(3(
)155)(84(21
223
21
211
22
222
2
ContohHitung, f(t) dari :
Jawab :Tulis F(s) menjadi :
)136()2(
305)(
22
2
sss
ssF
8)136(
)1807030
136
305
10)136()2(
)305()2(
Karena,
4)3(2)2()(
222
2
22
2
1
222
22
2
21
22
s
s
s
ss
ss
ss
sdsd
A
sss
ssA
s
CBss
A
s
AsF
4)3(
3
4)3(
)3(8
28
)2(
10)(
4)3(
3
4)3(
)2(82
8
)2(
10)(
3823
Re23
8823
Im
823
)43(26055
)136()2(
)305)(136(21
21
21
12
1
2
22
2322
22
sL
s
sL
sL
sLtf
s
s
sss
sF
iCB
iA
iii
sss
sssQ
isa
Soal-soal Latihan,Tentukanlah invers Laplace, f(t), jika :
3
4
23
23
23
2
23
2
23
2
2
)3)(1(
124)( .7
)3(
124)( .6
15239
124)( .5
12158
62)( .4
8147
82)( .3
1644
62)( .2
86
32)( .1
ss
ssF
s
sssF
sss
ssF
sss
ssF
sss
ssF
sss
sssF
ss
ssF
)52()2(
1210)( .13
)106()2(
128)( .12
)84)(3(
2010)( .11
)136)(2(
128)( .10
)4()2(
128)( .9
)4)(2(
128)( .8
23
2
22
2
2
2
42
2
4
2
sss
ssF
sss
ssF
sss
ssF
sss
ssF
ss
ssF
ss
ssF
LAPLACE TURUNAN FUNGSI
Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk semua t ≥ 0, dan mempunyai turunan-
turunan f′(t), f′′(t), f′′′ (t), …, fn–1(t) yang kontinu untuk semua t ≥ 0, dan jika
f(n)(t) kontinu sepotong-sepotong untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari
turunan fungsi fn(t) diberikan oleh :
)0()0()0()()0()0()0(][)]([ (3)
)0()0()()0()0(][)]([ (2)
)0()()0(][)]([ (1)
:khusus Kasus
)0()0(...)0()0()(
)0()0(...)0()0(][)]([
2323
22
)1()2(2)1(
)1()2(2)1()(
ffsfssFsffsfsfLstfL
fsfsFsfsffLstfL
fssFffsLtfL
fsffsfssFs
fsffsfsfLstfL
nnnnn
nnnnnn
Contoh
Hitung, F(s) dari :f(t) = cos2btJawab :Mengingat,f(t) = –2 cosbt sinbt = – sin2btf(0) = cos 0 = 1Maka.
)4(
42][cos
4
21)(
4
2)0()(
]2sin[)]([
22
222
22
22
bss
bbsbtL
bs
bssF
bs
bfssF
btLtfL
Contoh
Hitung, F(s) dari :f(t) = t cos bt. f(0) = 0Jawab :Mengingat,f(t) = cos bt – b t sinbt, dan f(0) = 1f(t) = –2b sin bt – b2t cos bt Maka.
222
22
22
222
222
22
2
)(]cos[
21)()(
)(2
)0()0()(
]cos[][sin2)]([
bs
bsbttL
bs
bsFbs
sFbbs
bfsfsFs
bttLbbtbLtfL
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
ContohHitung, f(t) dari :
Jawab :Tulislah F(s) menjadi,
22
2
)4(
8)(
s
ssF
ttt
tttttt
sL
s
sLtf
ss
ssF
2cos23
2sin41
)2cos22(sin)2(2
18)2cos22(sin
)2(21
)4(
8
)4()(
Jadi,
)4(
8
)4()(
3
221
22
21
2222
2
ContohHitung, F(s) dari :
Jawab :Tulislah F(s) menjadi,
22
2
)84(
82)(
ss
ssF
16)2(8)2(2
8168)2(8)44(282
4)2(84
Mengingat,
2
22
22
ss
ssss
sss
ttttte
ttte
tte
ttte
sL
s
sL
s
sLtf
ss
s
s
ssF
t
ttt
2cos2sin22sin23
)2cos22(sin)2(2
162sin
)2(28
)2cos22(sin)2(2
2
]4)2[(
18
]4)2[(
)2(8
]4)2[(
)2(2)(
Jadi,
]4)2[(
16
]4)2[(
)2(8
]4)2[(
)2(2)(
2
3
222
221
221
22
21
222222
2
KASUS 4 : Faktor Q(s) Kompleks Berulang
Misalkan,
)()(
)(
dan ,)()(
)(
1sQsP
Ltf
sQsP
sF
Bilamana Q(s) memuat akar kompleks konjugate berulang,
Q(s)=[(s – a)2 + b2]2
Tulislah F(s) menjadi)(
)()(])[(
)Im(21
)],Re([2
1
)Re( ),Im(1
)(
)(
])[(
)(
])[(
)(
222
2
22
222222
biaRSasQ
sPbasRa
Sab
DaCSaAb
C
RaBaARab
A
bas
DaCaSC
bas
BaAasA
bas
sP
bias
bDaC
btcebtbtbtb
ebaAbtt
bAe
bas
DaCasCL
bas
BaAasALtf
atatat
cos)cos(sin2
)(sin2
)(
)(
])[(
)()(
3
221
2221
ContohHitung, f(t) dari :
Jawab :Tulislah F(s) menjadi,
22
2
)]4)[(2(
162)(
ss
ssF
i
ss
ssRa
ss
ssE
sE
s
DCs
s
BAssF
is
s
22
)4)(2(
)162()4(
83
)4)(2(
)162)(2(
Mengingat,
24
)]4[()(
222
222
222
2
2
22
21
83
4
143
483
)4(
2
)4()(
Jadi,
43
)32Im()2(2
1
,83
))32Re(1()2(2
1
2)22Re(,1)22Im(21
Sehingga,
32
)2(
16822162
12
12
1
221
221
2
22
2
2
2
sL
sL
s
sL
sL
s
sLtf
iD
iC
iBiA
i
s
ssss
dsd
Sa
isis
ContohHitung, f(t) dari :
Jawab :Tulislah F(s) menjadi,
22
3
)]84)[(2(
162)(
sss
ssF
i
sss
sssRa
sss
ssE
sE
s
DCsC
s
BAsAsF
is
s
816
)84)(2(
)162()84(
2)84)(2(
)162)(2(
Mengingat,
24)2(
2)2(
)]4)2[(
2)2()(
2222
322
222
3
2
22
22
4)2(
2
4)2(
)2(2
)4)2(
16
)4)2(
)2(4)(
Jadi,
2)820Im()2(2
12
,2))820Re(4()2(2
1
16)816Re(2
,4)816Im(21
820 2162
12
1
21
221
221
2
22
3
sL
sL
s
sL
sL
s
sLtf
iDC
iC
iBA
iA
iss
dsd
Sa
is
SOAL-SOAL LATIHAN
Hitung transformasi Laplace dari :
.cos)( .6
sin)( .5
cos)( .4
sin)( .3
cos)( .2
sin)( .1
2
2
2
2
2
btetf
btttf
btttf
bttf
btttf
btttf
at
Hitung invers Laplace dari :
222
2
222
2
22
2
22
2
22
2
22
2
)136)(4(
84sF(s) .12
)136)(4(
84sF(s) .11
)134)(2(
84sF(s) .10
)2)(2(
84sF(s) .9
)64(
188sF(s) .8
)2(
84sF(s) .7
sss
sss
sss
s
ss
ss
s
LAPLACE INTEGRAL FUNGSIAndaikan fungsi f(t) kontinu untuk t ≥ 0 dan L{f(t)} = F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t). Transformasi Laplace integral fungsi f(t) kontinu diberikan oleh
duufsFs
L
sFs
duufL
t
t
)()(1
akibatnya, Sebagai
)(1
)(
01
0
Rumus diatas berguna untuk menghitung invers Laplace :
)(
11)(
11
sFss
sFs nn
ContohHitung, f(t) dari :Jawab :Mengingat,
)4(
1)(
22
sssF
tt
uuduu
sssL
ssL
tuduss
L
ts
L
tt
2sin81
41
2sin21
41
)2cos1(41
)4(
11
)4(
1
)2cos1(41
2sin21
4
11
maka,
2sin21
4
1
0 0
21
221
202
1
21
ContohHitung, f(t) dari :Jawab :
tess
Lsss
sF t sin54
1 dan,
)54(
1)( 2
21
22
)45(251
)cos4sin3(251
)cos2(sin5
)cossin2(5
251
51
)cos2sin2(5
)54(
11
)54(
1
51
)cossin2(5
)cossin2(5
sin54
11
2
0
22
0
2
21
221
2
0
220
22
1
ttte
uuue
uue
duuue
ssssL
sssL
tte
uue
uduesss
L
t
tuu
t t
t
tut
ContohHitung, f(t) dari :Jawab :
ttes
Lss
sF 22
123 )2(
1 dan ,
)2(
1)(
43
21
43
21
41
21
21
41
21
41
1(41
)2(
11
)2(
1
)1(41
21
21
41
41
41
21
)2(
11
)2(
1
41
41
21
21
2)2(
11
222
0
2222
0
2222
123
1
22
0
222
0
222
122
1
22
0
2
02
21
tteteuueeue
duueuesss
Lss
L
teteueeue
dueuesss
Lss
L
eteue
duuess
L
ttt
uuu
t uu
ttt
uuu
t uu
tttut u
DIFERENSIAL TRANSFORMASI LAPLACE
,)()1()(
dan,,)(
)1()]([ )3(
,)()]([
dan,),()]([ )2(
,)()]([
dan,),()]([ )1(
,umum Rumus
)]([ )()(
: maka , terhadap diturunkan Jika
)()(
,0 untuk kontinu )( Andaikan
1
2
21
2
1
0
0
tftds
sFdL
ds
sFdtftL
tftsFL
sFtftL
ttfsFL
sFttfL
ttfLdtttfesF
s
dttfesF
ttf
nnn
n
n
nn
t st
t st
ContohHitung, L[t cos bt ] dan L[t sin bt]Jawab :
222
22
22
222
22
22
22
)(
2
]sin[
)(][sin
)(
]cos[
)(][cos
bs
bsbs
bdsd
bttL
sFbs
bbtL
bs
bs
bs
sdsd
bttL
sFbs
sbtL
ContohHitung, L[t2cos bt ] dan L[t2sin bt]Jawab :
222
32
222
222
322
22
222
222
222
222
)(
6
2]sin[
)()(
2]sin[
)(
)3(2
)(]cos[
)()(
]cos[
bs
bbs
bs
bsdsd
bttL
sFbs
bsbttL
bs
bs
bs
bsdsd
bttL
sFbs
bsbttL
ContohHitung, L[t4eat ]Jawab :
544
433
322
2
)(
!4
)(
!3][
)(
!3
)(
2][
)(
2
)(
1][
)(
1
1][
1][
asasdsd
etL
asasdsd
etL
asasdsd
etL
asasdsd
teL
aseL
at
at
at
at
at
INTEGRASI TRANSFORMASI LAPLACE
ttf
dzzFL
tfsFL
dzzF
dzzFttf
L
ttf
dttfesF
ttf
s
sb
s
t
st
)( )(
: maka
),()}({ ,bila Akibatnya
)(lim
)( )(
: maka ada )(
lim Jika,
)()(
,0 untuk kontinu )( Andaikan
1
1
0
0
ContohHitung, F(s) dari Jawab : t
etf
at 1)(
ass
zaz
dzzazt
eL
saseL
aae
te
b
sb
s
at
at
at
t
at
t
lnlnlim
111
maka,
11]1[
1lim
1lim
Mengingat,
00
ContohHitung, F(s) dari Jawab : t
btetf
at cos)(
2
22
22
2
22
2
22
2
22
22
22
00
)(ln
21)(
ln21)(
lnlim21
)(lnlim
21
)ln(21
)ln(lim
1cos
maka,
1]cos[
1sin
limcos
lim
Mengingat,
as
bs
bs
as
bt
at
bz
azbzaz
dzbz
zazt
bteL
bs
sas
bteL
abtbae
tbte
t
t
st
t
st
s
at
at
at
t
at
t
ContohHitung, f(t) dari Jawab :
2
21ln)(
s
bsF
)cos1(22cos2
22
1ln
Sehingga,
1lnlnlnlim 22
2cos22222
dan,
22ln)ln(ln1ln
Mengingat,
222
21
2
2
2
22
2
22 22
122
122
1
22222
2
22
2
2
bttt
tbtdz
zbz
zL
s
bL
s
b
s
bs
t
btdz
zbz
z
bts
Lbs
sL
sbs
sL
sbs
ss
dsd
bsdsd
s
bsdsd
s
bdsd
s
t
sts
ContohHitung, f(t) dari Jawab :
2
22
2
2
)(
)(ln
)(1ln)(
as
bas
as
bsF
)cos1(22cos2
2
)(
)(2
)(1ln
Sehingga,
)(
)(ln
)(
)(lnlim
2
)(
)(2
2cos22
)(
)(2 dan,
2
)(
)(2)ln()])ln[(
)(
)(ln
Mengingat,
222
21
2
22
2
22 22
221
22222
2
22
btte
tebte
dzazbaz
azL
as
bL
as
bas
at
batdz
azbaz
az
ebteasbas
asL
asbas
asas
dsd
basdsd
as
basdsd
atatat
s
t
sts
atat
SOAL-SOAL LATIHANHitunglah F(s), jika diberikan f(t) berikut ini
t1atsinatcose
)t(f).6(
tbtcosbeb
)t(f).5(
tatcosbtcose
)t(f).4(
tbtcos1t
)t(f).3(
t1tbtcose
)t(f).2(
tt2sinet
)t(f).1(
bt
at
at
at
at
Hitunglah f(t), jika diberikan F(s) berikut ini
22
22
2
22
2
22
2
22
2
2
ba)(s
bslnF(s) ).6(
b)-(s
ba)-(slnF(s) (5).
a)-(s
bslnF(s) ).4(
a)-(s
2bs-1lnF(s) ).3(
b2s
2bs1lnF(s) ).2(
a)-(s
b1lnF(s) ).1(
PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
)0();0(
batasnya, syarat
)(
l,diferensia Persamaan
yy
trcyybya
cbsas
yaybas
cbsas
sRsY
yaybassRsYcbsas
trLycLybLyaL
22
2
)0()0()()()(
)0()0()()()()(
)}({}{}{}{
Laplace, siTransforma
)()(
)()(
)(
)0()0()()(
)(
)}({)(
Y(S),pembantu Persamaan
2
sQsG
sQsR
sY
yaybassG
cbsassQ
trLsR
)()(
)()(
)(
adalah,
)0();0(
)(
l,diferensia persamaan Solusi
11sQsG
LsQsR
Lty
yy
trcyybya
Kasus PD Orde 3
)0(),0( );0(
batasnya syarat
)(
l,diferensia Persamaan
123
yyy
tryayayaya o
)()(
)()(
)(
)0()0()()0()()(
)(
)}({)(
Y(S),pembantu Persamaan
323122
3
012
23
3
sQsG
sQsR
sY
yayasayasasasG
asasasasQ
trLsR
)()(
)()(
)(
l,diferensia persamaan Solusi
11sQsG
LsQsR
LsY
Contoh, Kasus 1Tentukanlah solusi PD
Jawab :
5)0(,2)0(
465
yy
eyyy t
)3)(2)(1(972
)65)(1(
)1)(52(4
65
52
)651)(s-(s
4Y(s)
Jadi,
525)5(2
)0()0()5()(
)3)(2(65)(
14
]4[)(
Y(s)pembantu Persamaan
2
2
22
2
sssss
sss
ss
ss
s
s
ss
yyssG
sssssQ
seLsR t
ttt
s
eee
ssssss
32
1-1-1-
32
1
2
1
321
332
3-s3
L2-s
3L-
1-s2
Ly(t)
PD Solusi3-s
22-s
31-s
2Y(s)
.3 Adan,3A
2)3)(2)(1()972)(1(
A
dengan,3-s
A
2-s
A
1-s
AY(s)
parsial pecahan Jumlahan
Contoh, Kasus 1Tentukanlah solusi PD
Jawab :
6)0(,12)0(,6)0(
0652
yyy
yyyy
)3)(1)(2(12-24s-6s
Y(s)
Jadi,
12-24s-s6
6)2(12-5)2(s6G(s)
3))(s1(s)2(
65s-2s-s)(
0]0[)(
Y(s)pembantu Persamaan
2
2
2
23
sss
ss
s
sQ
LsR
ttt
s
s
s
eee
sssss
sssss
sssss
32
1-1-1-
3
2
3
1
2
2
2
2
1
321
354
3-s3
L1-s
5L
2s4
Ly(t)
PD Solusi3-s
31-s
52s
4Y(s)
3)3)(1)(2(
)12-24s-6)(3(A
5)3)(1)(2()12-24s-6)(1(
A
4)3)(1)(2(
)12-24s-6)(2(A
dengan,3-s
A
1-s
A
2s
AY(s)
parsial pecahan Jumlahan
Contoh, Kasus 2Tentukanlah solusi PD
Jawab :
8)0(,2)0(
4644 23
yy
eeyyy tt
)3()2(
14102
)2(
2
2)-(s
1)3)(2(
2Y(s)
28)4(2)(
)2(44)(
)3)(2(2
24
36
]46[)(
Y(s)pembantu Persamaan
3
23
22
22
23
ss
sss
s
ssss
sssG
ssssQ
sss
sseeLsR tt
tt
s
s
s
s
ette
ssss
ds
d
ssss
dsd
ss
ssss
ss
ssss
sA
2231-
21-
31-1-
2
23
2
2
1
2
23
2
23
233
3
33
23
12
23
3
)422(62-s
4L
2)-(s
2L-
2)-(s
4L-
3-s6
Ly(t)
PD Solusi
43
1410221
B
23
14102B
4)3()2(
)14102()2(B
6)3()2(
)14102)(3(A
2-s
B
2)-(s
B
2)-(s
B
3Y(s)
Contoh, Kasus 3Tentukanlah solusi PD
Jawab :5)0(,5)0(
1084 3
yy
eyyy t
)3](4)2[(
10)3(5
4)2(
155
]42)-[(s
1)3(
10Y(s)
1555)4(5)(
4)2(84)(
310
]10[)(
Y(s)pembantu Persamaan
2
2
2
2
22
3
ss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
seLsR t
ttee
e
ss
ssQ
ss
ss
tt
isa
s
2sin27
2cos22
42)-(s
7L
42)-(s
3L
3-s2
Ly(t)
7-3i27-
2RB2C
,33i27-
Im A. 3i27
-
]4)2)[(3(
)116s-(5]4)2[(21
2]4)2)[(3(
)116s-(5)3(A
42)-(s
C2B
42)-(s
2)-B(s3-s
AY(s)
23
21-
21-1-
222
22
32
2
22
Contoh, Kasus 3Tentukanlah solusi PD
Jawab :50)0(,0)0(
2cos5044 3
yy
teyyy t
22
2
2
22
22
23
)2](4)3[(
)105(50
)2(
50
2)-(s
1
]4)3[(
)3(50Y(s)
5050)4(0)(
)2(44)(
4)3(
)3(50]2cos50[)(
Y(s)pembantu Persamaan
ss
ss
s
s
s
ssG
ssssQ
s
steLsR t
43)-(s
32L-
43)-(s
3)-12(sL
2-s6
L2)-(s
40Ly(t)
-32_1216(2RBC3
,1212i)Im(-16 A, 12i16-.
]4)3[()2(2
)105(50]4)3[(
64)3(
]105(10A
40]4)3[()2(
)10s5(50)2(A
43)-(s
CB33)-B(s2-s
A
2)-(s
AY(s)
21-
21-
1-2
1-
2322
22
22
2
1
222
22
2
21
22
ie
ss
sssQ
s
ssdsd
ss
ss
isa
s
s
Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD
Jawab :
4)0(,4)0(
2sin82cos44
yy
ttyy
22
23
222
22
2
)4(
2044
4
44
)4(s
1
)4(
164Y(s)
444)0(4)(
440)(
4
164
]2sin82cos4[)(
Y(s)pembantu Persamaan
s
sss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
s
s
ttLsR
4s
4L
4s
4sL
4)(s
16L-
4)(s
4sLy(t)
PD Solusi
4)1828Im()2(2
1
,4)1628Re(4[)2(2
1
16)816Re( ,4)816Im(21
A
16282044S
816)4(
)5(4)4(R
4s
DCs
4)(s
BAsY(s)
21-
21-
221-
221-
2
2
23a
222
2322
a
222
iD
C
iBi
isssdsd
is
ssss
i
is
Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)8)0(,2)0(
)2sin82cos4(84 2
yy
tteyyy t
428)2(2)(
4)2(84)(
4)2(
16)2(4
)]2sin82cos4([)(
22
2
2
sssG
ssssQ
s
s
tteLsR t
)2sin32cos22cos22sin(4)2(
4L
4)2(
)2(2L
]4)2[(
16L
]4)2[(
)2(4Ly(t)
PD Solusi
4)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(Y(s)
parsial pecahan Jumlahan
]4)2[(
82082
4)2(
42
4)2(
1
4)2(
84)(
22
1-
21-
221-
221-
222
22
23
222
ttttttes
s
s
ss
s
s
BCsC
s
BAsA
s
sss
s
s
ss
ssY
t
Contoh, Kasus 4Tentukanlah solusi PD
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)50)0(,10)0(,0)0(
2cos5016167 2
yyy
teyyyy t
)2(1050)7(100)(
]4)2)[(3(
16207)(
4)2(
)2(20]2cos[16)(
2
23
22
sssG
ss
ssssQ
s
steLsR t
ttttttees
s
s
ss
ss
iSiRsE
s
BCsC
s
BAsA
ss
sss
ss
s
ss
ssY
tt
aa
2cos42sin211
2cos52sin25
104)2(
6L
4)2(
)2(4L
]4)2[(
40L
]4)2[(
)2(10L
310
Ly(t)
PD Solusi
2422,2040,34)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(Y(s)
parsial pecahan Jumlahan
]4)2)[(3(
)26216(10
]4)2)[(3(
)2(10
]4)2)[(3(
)2(50)(
232
1-
21-
221-
221-1-
222
22
23
222
SOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi persamaan diferensial berikut ini
4(0)y2,(0)y,0 y(0)
e41)y-(aa-yay1)-(a-y (6)
b(0)y, y(0)
e1)y1)(ba(y2)b(a-y (5)
b(0)y2, y(0)
2sine4yay2a-y (4)
b(0)y2, y(0)
2cose41)y-a(ay1)-(2a-y(3).
b(0)ya,(0)y0, y(0)
10e15y-y23y9-y(2).
b(0)y2, y(0)
4ey3y4-y ).1(
1)t-(a22
bt
1)t-(a2
at
at
at
t
a
a
t
t
(7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at, y(0)=a, y(0)=a+b
(8) y+(a+b+1)y+b(a+1)y = be–atcos 2t, y(0)=0, y(0)=0
(9). y - (2a–1)y + a(a-1)y = teat y(0)=b, y’(0)=b(a – 1)
(10). y + 2ay+(a2+b2)y = ab2te–at
y(0)=0, dan y(0)=a
,
FUNGSI TANGGA SATUAN
at
atatu
jika ,
jika ,
1
0)(
Gambar fungsi tangga satuan
Secara umum fungsi tangga yang bernilai 0 bila t < a dan f(t – a) bila t > a, diberikan oleh :
Fungsi tangga satuan yang disebut juga dengan fungsi Heaviside satuan didefinisikan oleh :
at
at
atftg
jika ,
jika ,
)(
0)(
Dalam bentuk fungsi tangga satuan, u(t – a), fungsi g(t) dinyatakan oleh f(t – a)u(t – a),dengan demikian fungsi diatas ditulis menjadi
at
at
atfatuatf
jika ,
jika ,
)(
0)()(
Contoh
Nyatakan fungsi berikut dalam tangga satuan
Jawab :Dengan memperhatiikan sketsa pada gambar,
1 jika,
10 jika,
0 jika,
0
1
0
)(
t
t
t
tf
)1()(
1 jika,
10 jika,
0 jika,
0
1
0
)(
tutu
t
t
t
tf
LAPLACE FUNGSI TANGGAJika F(s) = L{f(t)}, f(t) = L–1{F(s)} maka transformasi Laplace dari fungsi tangga
adalah,
at
at
atfatuatf
,
,
)(
0)()(
)()()}({
,Laplacenya invers dan
)()}()({
1 atuatfsFeL
sFeatuatfL
as
as
)(L
dan,
)}({
khusus, Kasus
1- atus
e
se
atuL
as
as
ContohTentukanlah transformasi Laplace dari
f(t) = u(t) – u(t-1)
Jawab :Karena, f(t) = u(t) – u(t-1), maka :
se
se
se
tuLtuLtfL
s
ss
1
)}1({)}({)}({
10
ContohTentukanlah transformasi Laplace dari
f(t) = tu(t)–u(t -1) - (t-1)u(t-1)
Jawab :Karena, maka :
21
}{s
tL
2
22
0
1
)}1()1{(
)}1({)}({)}({
s
ese
s
es
e
s
e
tutL
tuLttuLtfL
ss
sss
21
}{s
tL
2
22
2
22
2
)}2()2{(
)}2({)}1()1{()}({
s
esee
s
es
e
s
e
tutL
tuLtutLtfL
sss
sss
ContohTentukanlah transformasi Laplace dari
f(t)=(t–1)u(t–1)–u(t–2)–(t–2)u(t – 2)Jawab :Karena, maka :
ContohTentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
23
1)(
2
ss
esY
s
1,
1,
)1()(
)(
11
21
)(
11
21
)2)(1(1
)(
)()( )2)(1(
1)(
22
1
2
)1()1(2
2
211
t
t
ekek
ee
tuee
eety
ees
Ls
Ltf
sssssF
esFsFsse
sY
tt
tt
tt
tt
tt
ss
ee
k
e
ek
1
,1
2
2
2
1
ContohTentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
4)(
2
s
sessY
s
,
0,
0
2cos
)()(2cos2cos)(
2cos4
)(
,4
)(
)()(4
)(
21
2
2
t
tt
tuttty
ts
sLtf
s
ssF
esFsFs
sessY s
s
ContohCarilah solusi PD : y′′ – 4y′ + 4y = r(t)y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) = u(t) – u(t – 1)Jawab : Persamaan pembantu Y(s),
2
2
22
)2(
1)(
dengan,
)()()2(
1)(
00)0)(4()(
)2(44)(
1)}1({)}({)(
sssF
esFsFss
esY
ssG
ssssQ
se
tuLtuLsR
ss
s
Solusi PDMengingat,
)1(}1)1(2{41
)12(41
)()()()(
adalah, PD Solusi
)12(41
)2(
1)}({)(
maka,
)2(
1
)1(2)1(2
22
22 0
2
211
22
1
tueet
ete
atuatftfty
eteduue
ssLsFLtf
tes
L
tt
tt
ttt u
t
ContohCarilah solusi PD : y′′ + 4y = r(t)y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana r(t) =sin 2t u(t) – sin2(t–π)u(t–π)Jawab : Persamaan Y(s),
22
22
2
2
)4(
2)(
dengan,,)()(
)4(
22)(
00)0)(0()(
4)(
4
22
)}()(2{sin
}2{sin)(
ssF
esFsF
s
esY
ssG
ssQ
s
e
tutL
tLsR
s
s
s
Solusi PDMengingat,
t
t
t
ttt
tuttt
ttt
tutftfty
ttt
sLsFLtf
,
,
2cos41
2cos41
2sin81
)()(2cos)(41
)(2sin81
2cos41
2sin81
)()()()(
adalah, PD solusi maka
2cos41
2sin81
)4(
2)}({)(
2211
Selesaikanlah persamaan diferensial berikut ini
(1). y + b2y = cos b(t - ) u(t - ), dengan
syarat y(0) = a, dan y’(0) = b
(2).y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 18,
y′(0) = 0, dan r(t) = sin3(t - π)u(t – π)(3). y′′ – 5y′ + 6y = r(t), dengan syarat y(0) = 8, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 2)(4). y′′ + 4y = r(t), syarat y(0) = 8, y′ (0) = 0,
dan r(t) = cos 2t – cos 2(t – 2π) u(t – 2π)(5). y′′ – 3y′ + 2y = r(t), dengan syarat y(0) =
10, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 1)(6). y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 4, y
′(0) = 6, dan r(t) = cos 3t – cos 3(t – 3π) u(t – 3π)
2222
s22
222
s2
2
s
2
s
2
s
2
s
)b)as((
)ses()s(F ).6(
)as(
)e1(s)s(F ).5(
8s4s
)e1(4)s(F ).4(
9s
)e4s2)s(F ).3(
4s
)se4)s(F ).2(
2s3s
)e1(s)s(F ).1(
SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukanlah f(t), jika :
TEOREMA KONVOLUSIAndaikan f(t) dan g(t) terdefinisi untuk t ≥ a, memenuhi konsistensi transformasi transformasi Laplace sedemikian sehingga L{f(t)} = F(s), dan L{g(t)} = G(s), transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh, h(t) = (fοg)(t) diberikan oleh :
H(s) = L(fοg)(t) = L(f) L(g) = F(s)G(s)Akibatnya bila, h(t) = L–1[H(s)] dengan H(s)= F(s)G(s), maka fungsi h(t) diberikan oleh,
dzztgzf
thtfsGsFL
sHLth
t )()(
)()()}()({
)}({)(
0
1
1
ContohCarilah h(t) jika Jawab :Mengingat,
22 )(
1)(
asssH
)2()2(1
22
1
)(zeh(t)
)(
1,
1
33
0 32
2
0 2
t0
az
21
21
ata
eat
a
eaa
zaz
eaa
zt
dzzt
teas
Lts
L
at
taz
taz
at
ContohCarilah solusi PD : y′′ + b2y = bty(0)=0, dan y′(0)=0 Jawab : Persamaan Y(s),
22
2
222
22
2
)(
1)(
Konvolusi, Teorema
)()(
00)0)(0()(
)(
}{)(
bs
bsG
ssF
bss
bsY
ssP
bssQ
s
bbtLsR
)sin(1
sin1
coscos
dz sin)(
sin)}()({y(t)
adalah, PD Makasolusi
sin,1
Mengingat
2
0 2
0
1
221
21
btbtb
bzb
bzbz
btbt
btzt
bttsGsFL
btbs
bLt
sL
t
t
ContohCarilah solusi PD : y′′ + 4y = 8 cos 2ty(0)=3, dan y′(0)=6 Jawab : Persamaan Y(s),
4
8)(,
4)(
Konvolusi, Teorema
4
4
4
3
)4(
8
4
43
)4(
8)(
43)(
4)(
4
8}2{cos8)(
22
2222
222
2
2
ssG
s
ssF
ss
s
s
s
s
s
s
ssY
ssP
ssQ
s
stLsR
tttt
zzzt
ttstt
ttztz
tttts
Ls
sLsGsFL
ts
Lts
sL
t
t
t
2sin22cos32sin41
22cos2sin
41
2sin24
2sin41
2cos24
sin22cos3
2sin22cos3dz )(2cos2sin4
2sin22cos32sin2cos44
4
4
3)}()({y(t)
adalah, PD solusi Maka
2sin21
4
1,2cos
4
Mengingat
0
0
2
0
21
211
21
21
Persamaan integral biasanya diberikan oleh persamaaan,
PERSAMAAN INTEGRAL
duuyutktfty
duuytuktfty
t
ba
)()()()(
integral, persamaan khusus Kasus
)(),()()(
0
Fungsi, k(u,t)=k(t – u) disebut Kernel. Dalam bentuk konvolusi ditulis
y(t) = f(t) + k(t)*y(t)
Dengan transformasi Laplace solusi persaman integral diberikan oleh,
L{y(t)} =L{f(t)} + L{k(t)*y(t)}
Y(s) = F(s) + K(s)Y(s)
(1 – K(s))Y(s) = F(s)
Jadi persamaan pembantunya adalah,
)(1)(
L y(t)
adalah
integral persamaan Solusi
)(1)(
)(
1-sK
sF
sKsF
sY
ContohCarilah solusi persaman integral,
Jawab : Persamaan pembantu Y(s),
duuttetytt )(2cos y(u)2)( 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
)2(
4)(1
1
4
)2(
4
44
4
41)(1
4
4}2cos4{)(
)2(
1}{)(
s
ssK
s
s
s
ss
s
ssK
s
stLsK
tteLsF t
t
s
s
ettt
AAsdsd
A
s
ss
s
s
s
s
ssY
2232
1-
31-
41-
122
23
24
24
4
12
23
34
4
4
2
2
2
2
24
68
2)-(s
1L
2)-(s
4L
2)-(s
8Ly(t)
PD Solusi
0,1,4)4(
8)2(
4)2(A
2-s
A
2)-(s
A
2)-(s
A
2)-(s
AY(s)
parsial, Jumlahan
)2(
4
)2(
4
)2(
1)(
pembantu, Persamaan
SOAL-SOAL LATIHANDengan Teorema Konvolusi, hitunglah f(t)
)b(s
bsF(s) (6).
)b(s
sF(s) (5).
)1s)(a(s
s(4).F(s)
)as(s
2a(3).F(s)
)as(s
1F(s) (2).
)as(s
1F(s) ).1(
222
22
222
2
222
2
222
3
3
Selesaikanlah persamaan integral berikut ini
dr e )r(y e2te y(t)).6(
dr e )rt( )r(y e2e1 y(t)).5(
dr )rt( sin )r(y 2tcose y(t)).4(
dr )rt(2cos )r(y t2sin2e y(t)).3(
dr )rt( 2acos )r(y a2
)t(u)t(asine y(t)).2(
dr )rt( 2acos )r(y a2te y(t)).1(
rt
0
tt
rt
0
tt
t
0
2t
t
0
t
t
0
)-a(t
t
0
1)t(b-