TRANSFORMASI LAPLACE

SISTEM KENDALI KLASIK

Pemodelan Matematika

Analisis

◦ Diagram Bode, Nyquist, Nichols

◦ Step & Impulse Response

◦ Gain / Phase Margins

◦ Root Locus

Disain

Simulasi

SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP

SISTEM KENDALI GENERATOR

KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

MODEL MATEMATIKA

Bagaimana membuat model matematika ?

MODEL MATEMATIKA

Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?

Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:

Bagaimana hubungan antara input dan output.

Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.

Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari

sistem kendali:

1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).

2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.

RANGKAIAN RLC

V(t)

L

R

Ci(t)

( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t

Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL:

0

( ) 1( ) ( ) ( )

t

R

di tv t v t L i d

dt C

Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): • Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? • Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan

Ouput dari sistem ? • Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?

Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.

Transformasi Laplace memberikan:

◦ Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.

◦ Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.

Keterbatasan dari Transformasi Laplace :

◦ Bekerja dalam domain frekuensi.

◦ Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

TRANSFORMASI LAPLACE tambahkan dari buku dspguide

Time Domain

Circuit

Time Domain

Circuit

s-Domain

Circuit

L 1L

x(t) y(t)

X(s) Y(s)s j Complex Frequency

2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

Laplace

Transform

Inverse

Laplace

Transform

TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.

Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.

Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.

Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.

Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.

Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).

VARIABEL KOMPLEKS

Variabel kompleks: s = + j

dengan : adalah komponen nyata

j adalah komponen maya

Bidang s

o

j

j 1 s

FUNGSI KOMPLEKS

Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGy

dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata

Bidang G(s)

O Re

Im

Gy

Gx

G

Besar dari besaran kompleks:

Sudut :

22yx GG)s(G

x

y

G

Gtan 1

TURUNAN FUNGSI ANALITIK

Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

s

Glim

s

)s(G)ss(Glim)s(G

ds

d

ss 00

Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.

Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda

Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)

yxyx

s

Gj

GGj

Glim)s(G

ds

d

0

Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka

yxyx

s

GGj

j

Gj

j

Glim)s(G

ds

d

0

Jika dua harga turunan ini sama

xyyx Gj

GGj

G

Syarat Cauchy-Riemann yx

GG

xy GG

Contoh Soal

Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1

1

s)s(G

Jawab:

yx jGGj

)j(G1

1

dimana

221

1xG

221

yGdan

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann:

222

22

1

1

yxGG

222

1

12

xy GG

Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.

Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah

Gxj

GyGj

G)s(G

ds

d yx

21

1

j2

1

1

s

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s

21

1

1

1

ssds

d

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.

Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole

KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL

• Zeros dari G(s) roots numerator

• Poles dari G(s) roots denominator

• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0

Im

Re

Pola pole-zero poles

zeros

Contoh Soal

Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:

221

3

)s()s(

)s(K)s(G